TUGAS AKHIR - SM0141501

METODE CRANK-NICOLSON UNTUKMENGHITUNG NILAI STOCK LOAN DENGANDIVIDEN YANG DIINVESTASIKAN KEMBALISEBELUM PEMBAYARAN PINJAMAN

NUR ILMAYASINTANRP 1212 100 703

Dosen Pembimbing:Endah Rokhmati M.P., Ph.DDrs. Lukman Hanafi, M.Sc

JURUSAN MATEMATIKAFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamInstitut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya 2016

FINAL PROJECT - SM141501

CRANK-NICOLSON METHOD FORCALCULATING VALUE OF STOCK LOAN WITHDIVIDEND REINVESTED BEFORE REDEMPTION

NUR ILMAYASINTANRP 1212 100 703

Supervisors:Endah Rokhmati M.P., Ph.DDrs. Lukman Hanafi, M.Sc

DEPARTMENT OF MATHEMATICSFaculty of Mathematics and Natural SciencesInstitut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya 2016

METODE CRANK-NICOLSON UNTUKMENGHITUNG NILAI STOCK LOAN

DENGAN DIVIDEN YANGDIINVESTASIKAN KEMBALI SEBELUM

PEMBAYARAN PINJAMAN

Nama Mahasiswa : Nur IlmayasintaNRP : 1212 100 703Jurusan : Matematika FMIPA-ITSPembimbing : 1. Endah Rokhmati M.P., Ph.D

2. Drs. Lukman Hanafi, M.Sc

Abstrak

Stock loan merupakan salah satu alternatif yang menarikbagi para investor untuk meningkatkan nilai likuiditas tanpaharus menjual saham. Mekanisme stock loan menyerupaiAmerican call option. Dari kesamaan mekanisme stockloan dengan American call option ini, maka penentuannilai stock loan dapat menggunakan persamaan Black-Scholes. Dalam penelitian ini dilakukan perhitungan nilaistock loan dengan dividen yang diinvestasikan kembalisebelum pembayaran pinjaman menggunakan metode Crank-Nicolson. Nilai stock loan yang diperoleh selanjutnyaakan dibandingkan dengan metode Pohon Binomial daripenelitian sebelumnya[3]. Berdasarkan nilai stock loan yangdiperoleh, dapat disimpulkan bahwa hasil perhitungan nilaistock loan menunjukkan semakin tinggi harga saham (X), danbertambahnya waktu (T ) maka nilai stock loan juga semakintinggi. Sedangkan dari hasil perbandingan didapat bahwa padagrid N=10000 nilai optimal exit price menggunakan metodeCrank-Nicolson semakin mendekati nilai optimal exit price

vii

menggunakan metode Pohon Binomial.

Kata-kunci: Option, model Black-Scholes, Stock Loan,American call option, metode Crank-Nicolson.

viii

CRANK-NICOLSON METHOD FORCALCULATING VALUE OF STOCK LOANWITH DIVIDEND REINVESTED BEFORE

REDEMPTION

Name : Nur IlmayasintaNRP : 1212 100 703Department : Mathematics FMIPA-ITSSupervisors : 1. Endah Rokhmati M.P., Ph.D

2. Drs. Lukman Hanafi, M.Sc

AbstractStock loan is one of alternative that appeal investors to get

the liquidity without selling the stock. Stock loan mechanismresembles American call option, therefore the determination ofthe value of stock loan can use Black-Scholes equation. Thisresearch is carried out the calculation of stock loan value withdividends reinvested before redemption using Crank-Nicolsonmethod. The obtained stock loan value will be compared usingBinomial Tree method from precious research[3]. Based onthe stock loan value obtained, it can be concluded that theresults of the calculation of stock loan value shows the higherstock price X. Increasing time T, the stock loan value isalso higher. Meanwhile, from the comparison result is knownthat on grid N=10000 optimal exit price value using Crank-Nicolson method is close to the optimal exit price value usingBinomial Tree method.

Keywords: Option, Black-Scholes models, Stock Loan,American call option, Crank-Nicolson method.

ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL i

LEMBAR PENGESAHAN vi

ABSTRAK vii

ABSTRACT ix

KATA PENGANTAR xi

DAFTAR ISI xiii

DAFTAR GAMBAR xvii

DAFTAR TABEL xix

DAFTAR SIMBOL xxi

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 7

2.1 Penelitian Terdahulu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Istilah-istilah dalam Option . . . . . . . . . . 8

2.2.2 Jenis-jenis Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.3 Keuntungan dari Perdagangan Option 10

xiii

2.2.4 Faktor-faktor yang MempengaruhiHarga Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Saham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1 Stock Loan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Persamaan Diferensial Black-Scholes . . . . . . . . 13

2.5 Metode Beda Hingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.1 Metode Beda Hingga Eksplisit . . . . . . . 20

2.5.2 Metode Beda Hingga Implisit . . . . . . . . 21

2.5.3 Metode Beda Hingga Crank-Nicolson . 22

2.6 Metode SOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

BAB III METODE PENELITIAN 25

3.1 Studi Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Analisis Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Simulasi Menggunakan Matlab . . . . . . . . . . . . 26

3.4 Penarikan Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN 27

4.1 Pembentukan Persamaan Diferensial Black-Scholes dengan Dividen yang di InvestasikanKembali Sebelum Pembayaran Pinjaman . . . . 27

4.2 Transformasi Sistem Persamaan DiferensialParsial menjadi Bentuk non-Dimensional . . . . 29

4.3 Pendiskritan Formula untuk Stock Loan . . . . . 34

4.4 Pendiskritan Persamaan Difeerensial Black-Scholes non-Dimensional dengan MetodeCrank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.5 Hasil Perhitungan Numerik Stock Loandengan Metode Beda Hingga Crank-Nicolson 39

4.6 Hasil Perbandingan Metode Crank-Nicolsondan Metode Pohon Binomial . . . . . . . . . . . . . . 42

BAB V PENUTUP 45

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

xiv

DAFTAR PUSTAKA 47

LAMPIRAN A Listing Program Penentuan Nilai StockLoan Menggunakan Metode Crank-Nicolson 49

LAMPIRAN B Biodata Penulis 53

xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Skema Eksplisit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Gambar 2.2 Skema Implisit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Gambar 2.3 Skema Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . 22

Gambar 4.1 Pembagian Grid dengan Syarat Batas . 35Gambar 4.2 Pembagian Grid pada Skema Crank-

Nicolson U(X, τ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Gambar 4.3 Grafik Nilai Stock Loan saat T=1 . . . . . 40Gambar 4.4 Grafik Nilai Stock Loan saat T=5 . . . . . 41Gambar 4.5 Grafik Nilai Stock Loan saat T=20 . . . . 41

xvii

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Hasil Perhitungan Nilai Stock loan . . . . . . 40Tabel 4.2 Optimal Exit Price Metode Crank-

Nicolson dan Metode Pohon Binomial . . . 42

xix

Daftar Simbol

S Harga saham.St Harga saham pada waktu t.S0 Harga saham pada saat t = 0.Sf Harga saham optimal.T Maturity date/tanggal jatuh tempo.r interest rate.δ dividen.σ volatility parameter.Wt Proses Wiener atau biasa disebut dengan Brownian

Motion.Π Nilai portofolio.dΠ Perubahan nilai portofolio.∇ Banyaknya lembar saham.V Nilai option.dτ Perubahan waktu.dX Perubahan harga saham.U Nilai stock loan non-dimensional.X Harga non-dimensional saham.Xt Harga saham non-dimensional pada waktu t.X0 Harga saham non-dimensional pada saat t = 0.Xf Harga saham non-dimensional optimal.Xmax Harga saham non-dimensional maksimal.j Notasi perubahan pada sumbu X.i Notasi perubahan pada sumbu τ .Uj,i Nilai stock loan non-dimensional pada titik j,i.K Strike price.γ Bunga Pinjaman.

xxi

BAB IPENDAHULUAN

Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakangpermasalahan, rumusan masalah, batasan masalah, tujuandan manfaat dari tugas akhir ini.

1.1 Latar Belakang

Investasi adalah penempatan sejumlah dana pada saatini dengan harapan untuk memperoleh keuntungan di masadepan. Bentuk investasi secara garis besar ada dua jenisaset yang dapat digunakan sebagai sarana investasi: realasset yaitu investasi yang dilakukan dalam asset-assetyang berwujud nyata seperti emas, real estate dan karyaseni dan financial asset yaitu investasi yang dilakukanpada sektor-sektor financial, seperti deposito, saham,obligasi, reksadana[1]. Saham sendiri merupakan suratberharga yang menunjukkan kepemilikan perusahaansehingga pemegang saham memiliki hak klaim atasdividen (pengembalian laba) atau distribusi lain yangdilakukan perusahaan kepada pemegang saham lainnya. Jikaperusahaan mendapat keuntungan dalam suatu periode, makainvestor akan mendapat deviden berdasarkan jumlah sahamyang dimilikinya pada perusahaan tersebut. Kelemahanberinvestasi saham adalah mempunyai risiko kehilangandana yang besar pula. Investasi ini menuntut investor untukselalu mengikuti pergerakan saham agar dapat meminimalisirkerugian.

Bagi investor maupun emiten, hal yang menjadipertimbangan saham tersebut menguntungkan atau tidak

1

2

adalah likuiditas saham. Likuiditas saham merupakanukuran jumlah transaksi suatu saham di pasar modal dalamsuatu periode tertentu. Semakin tinggi frekuensi transaksisaham tersebut, maka semakin tinggi pula likuiditas saham.Hal tersebut menunjukkan bahwa saham tersebut semakindiminati investor. Jika saham tersebut likuid akan lebihmudah ditransaksikan sehingga terdapat peluang untukmendapatkan capital gain. Bagi emiten sendiri likuiditassaham juga akan menguntungkan, karena apabila perusahaanmenerbitkan saham baru akan cepat terserap pasar, selainitu juga memungkinkan perusahaan terhindar dari ancamandelisting (dikeluarkan) dari pasar modal.

Alternatif yang menarik bagi investor untuk meningkatkanlikuiditas dari saham tanpa menjual saham adalah stock loan.Pemberi pinjaman yang merupakan sebuah perusahaanatau bank menawarkan pinjaman dengan saham sebagaijaminannya. Sedangkan peminjam memberi hak untukmengolah saham kepada pemberi pinjaman tanpa kehilangankepemilikan. Pemberi pinjaman bisa memiliki saham yangdijadikan jaminan ketika peminjam tidak dapat membayarhutangnya sampai batas waktu kadaluarsa yang ditentukandan seorang peminjam bisa menerima kembali saham yangdijadikan jaminan kapanpun dalam range waktu perjanjianketika dia membayar hutangnya dan akumulasi bunga yangsudah ditentukan sebelumnya. Jika harga saham meningkatdalam setiap waktu, peminjam dapat membayar hutangnya,menerima kembali sahamnya dan memperoleh keuntungantak terhingga. Dalam kondisi sebaliknya, jika harga sahammenurun dibawah akumulasi hutang, peminjam dapatmeninggalkan hutangnya (non-recourse loan). Dalam kasusini peminjam hanya kehilangan biaya service mulai dari awalkontrak[2].

Mekanisme stock loan menyerupai American call

3

option. Selama kontrak berlangsung, jika harga sahammeningkat peminjam dapat membayar hutangnya untukmenyelesaikan kontraknya, menerima kembali sahamnyauntuk menghasilkan keuntungan. Peminjam bisa dianggapsebagai holder (pembeli) pada call option, sedangkan pemberipinjaman yang berkewajiban mengembalikan sahamnyakepada peminjam dianggap sebagai writer (penjual) option,dan hak peminjam untuk mengakhiri kontrak kapanpunselama waktu kontrak dianggap sebagai hak early exercisecall option. Peminjam dapat tidak membayar hutangnya danmenyerahkan jaminannya (saham) saat harga saham turundibawah total nilai pinjaman. Kondisi tersebut mirip dengankondisi option yang tidak di exercise yang hanya kehilanganbiaya preminya saja. Dari kesamaan mekanisme stock loandengan American call option, stock loan dapat dianggapsebagai model American option dengan strike price yangbergantung waktu[2].

Untuk menentukan harga option, model yang digunakanadalah model Black-Scholes. Kenyataannya, terkadang sulituntuk mencari solusi analitik atau eksak sehingga caralainnya adalah dengan solusi numerik. Sedangkan untukperhitungan nilai stock loan sendiri, fungsi pembayaran padasaat jatuh tempo bergantung pada pembagian dividen kepadapeminjam. Kondisi pembagian dividen dibagi menjadi tigayakni ketika pemberi pinjaman mengumpulkan dividensebelum pembayaran pinjaman, dividen diinvestasikankembali sebelum pembayaran pinjaman dan dividen langsungdiberikan kepada peminjam. Dalam tugas akhir ini,membahas mengenai perhitungan nilai stock loan dalamkondisi dividen diinvestasikan kembali sebelum pembayaranpinjaman dengan metode Crank-Nicolson.

4

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang, disusun beberapa rumusanmasalah yang dibahas dalam tugas akhir ini yaitu:

1. Bagaimana penghitungan nilai stock loan dengandividen diinvestasikan kembali sebelum pembayaranpinjaman menggunakan pendekatan numerik Crank-Nicolson?

2. Bagaimana analisis hasil simulasi penghitungannilai stock loan dengan dividen diinvestasikankembali sebelum pembayaran pinjaman menggunakanpendekatan numerik Crank-Nicolson?

3. Bagaimana perbandingan antara hasil perhitunganoptimal exit price dengan dividen diinvestasikan kembalisebelum pembayaran pinjaman menggunakan metodeCrank-Nicolson dengan hasil perhitungan menggunakanmetode Pohon Binomial?

1.3 Batasan Masalah

Batasan masalah yang digunakan dalam Tugas Akhir iniantara lain:

1. Hasil perhitungan menggunakan metode PohonBinomial diambil dari referensi nomor[3].

2. Periode peminjaman berhingga.

3. Pertumbuhan nilai pinjaman adalah qeγt.

4. Simulasi menggunakan software Matlab.

1.4 Tujuan

Tujuan dari penelitian tugas akhir ini yaitu:

5

1. Mendapatkan nilai stock loan dengan dividendiinvestasikan kembali sebelum pembayaran pinjamanmenggunakan pendekatan numerik Crank-Nicolson.

2. Mendapatkan analisis hasil simulasi dari nilai stockloan dengan dividen diinvestasikan kembali sebelumpembayaran pinjaman menggunakan metode Crank-Nicolson.

3. Mengetahui perbandingan antara hasil perhitunganoptimal exit price dengan dividen diinvestasikan kembalisebelum pembayaran pinjaman menggunakan metodeCrank-Nicolson dengan hasil perhitungan menggunakanmetode Pohon Binomial.

1.5 ManfaatManfaat yang didapat dalam Tugas Akhir ini adalah

mendapatkan nilai stock loan dengan dividen diinvestasikankembali sebelum pembayaran pinjaman dan perbandinganoptimal exit price antara metode Pohon Binomial dan metodeCrank-Nicolson.

1.6 Sistematika PenulisanPenulisan Tugas Akhir ini disusun dalam lima bab, yaitu:

1. BAB I PENDAHULUANBab ini berisi tentang gambaran umum dari penulisanTugas Akhir yang meliputi latar belakang, rumusanmasalah, batasan masalah, tujuan, manfaat, dansistematika penulisan.

2. BAB II TINJAUAN PUSTAKAPada Bab II berisi penelitian terdahulu dan teori-teoriyang terkait dengan permasalahan dalam Tugas Akhirini, option, stock loan, persamaan diferensial parsialBlack-Scholes, dan metode beda hingga Crank-Nicolson.

6

3. BAB III METODE PENELITIANDalam bab ini dijelaskan tahapan-tahapan yangdilakukan dalam pengerjaan Tugas Akhir. Tahapan-tahapan tersebut antara lain studi literatur, selanjutnyadilakukan analisis masalah dan simulasi. Tahap terakhiradalah melakukan penarikan kesimpulan berdasarkanhasil analisis dan pembahasan yang telah dilakukan.

4. BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASANPada Bab IV dibahas secara detail mengenai solusinumerik perhitungan nilai stock loan dengan dividenyang diinvestasikan kembali sebelum pembayaranpinjaman menggunakan metode Crank-Nicolson.

5. BAB V PENUTUPBab ini berisi kesimpulan akhir yang diperoleh dariTugas Akhir serta saran untuk pengembangan penelitianselanjutnya.

BAB IITINJAUAN PUSTAKA

Pada Bab ini menjelaskan tentang penelitian terdahuludan teori-teori yang terkait dengan Tugas Akhir ini yaituoption, stock loan, persamaan diferensial parsial Black-Scholes, dan metode beda hingga Crank-Nicolson.

2.1 Penelitian Terdahulu

Metode Crank-Nicolson dikembangkan oleh Crank Johndan Phyllips Nicholson pada pertengahan abad ke-20. MetodeCrank-Nicolson ini merupakan salah satu dari beberapametode beda hingga yang memiliki kestabilan tanpa syaratdan nilai eror-nya paling kecil dibandingkan dengan metode-metode yang lain. Selvi mengaplikasikan metode Crank-Nicolson untuk menentukan harga European call option padamodel Heston[4].

Model Black-Scholes merupakan model yang sesuai untukmenghitung harga opsi. Gina dan Ana melakukan penelitianyang berkaitan dengan Model Black-Scholes di pasar finansial.Mereka mendapatkan metode numerik untuk European optiondan exotic option, untuk satu aset dan untuk model duaaset[5]. Dalam kasus lain Li dan Hong menggunakanHopscotch dan metode Crank-Nicolson untuk menentukannilai Europian option, dan juga menganalisis hasil harga daridua metode ini dengan membandingkan hasil nilai dari modelBlack-Scholes[6].

Stock loan adalah alternatif yang menarik bagi investoruntuk meningkatkan likuiditas dari saham tanpa menjualsaham itu sendiri. Graselli dan Gomez telah memperlajari

7

8

stock loan dalam pasar yang tidak sempurna. Merekamenyediakan pernyataan tegas dalam menghitung biayaperawatan untuk stock loan abadi dan menggunakanmetode numerik untuk perhitungan nilai stock loan denganwaktu jatuh tempo yang terbatas. Dalam penelitiannyamenggunakan metode beda hingga dengan PSOR (projectedsuccessive over relaxion) untuk perhitungan nilai stockloan dengan batas waktu jatuh tempo dalam pasar yangtidak sempurna[7]. Salah satu penelitian tentang stockloan telah dilakukan oleh Endah R.M. Putri dan XiaopingLu, dalam penelitiannya Lu dan Putri melakukan evaluasisemi analitik dari stock loan standart dengan tanggaljatuh tempo yang terbatas (Finite Maturity) menggunakanmetode transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaandiferensial parsialnya. Lu dan Putri juga menyajikan rumusanstock loan dengan tiga model pembagian dividen yangberbeda[2].

2.2 Option

Option merupakan perjanjian secara tertulis antara duapihak, yaitu pihak holder (pembeli) dan writer (penjual),dimana holder diberi hak oleh writer untuk membeliatau menjual sejumlah aset dengan harga tertentu (strikeprice/exercise price) dan pada waktu tertentu (expirationdate) sesuai dengan perjanjian yang telah disepakati antaradua pihak[8].

2.2.1 Istilah-istilah dalam Option

Beberapa istilah penting yang mendasari perdaganganoption antara lain [9]:

1. Underlying AssetAset mendasar yang diperdagangkan dalam pasarmodal. Dalam pasar option, underlying asset

9

yang diperdagangkan hanya tersedia untuk sekuritas-sekuritas tertentu dan indeks-indeks yang disetujui.

2. Maturity/ Expiration DateTanggal waktu jatuh tempo atau batas waktu dimanaoption tersebut dapat dilaksanakan. Setelah melewatimaturity date, option dinyatakan kadaluarsa atau tidakdapat dieksekusi.

3. Strike/ Exercise PriceHarga pembelian atau penjualan yang telah ditentukanuntuk underlying asset ketika option dieksekusi. Hargatersebut menjadi patokan pada saat jatuh tempo.

4. PremiHarga yang harus dibayarkan oleh pembeli optionkepada penjual option.

2.2.2 Jenis-jenis OptionTerdapat dua jenis option berdasarkan bentuk hak yang

terjadi, antara lain [9]:

a. Call Option. Sebuah kontrak option yang memberikanhak (bukan kewajiban) kepada pemegangnya untukmembeli suatu aset dalam jumlah tertentu pada jangkawaktu dan harga yang telah ditentukan sebelumnya.

b. Put Option. Sebuah kontrak option yang memberikanhak (bukan kewajiban) kepada pemiliknya untukmenjual suatu aset dalam jumlah tertentu pada jangkawaktu dan harga yang telah ditentukan sebelumnya.

Berdasarkan waktu eksekusinya, option dibedakan menjadidua, yaitu [9]:

a. American option. Option yang dapat dieksekusi setiapsaat sampai waktu maturity date.

10

b. European option. Option yang dapat dieksekusi hanyapada saat waktu maturity date saja.

2.2.3 Keuntungan dari Perdagangan OptionBeberapa keuntungan yang dapat diperoleh dengan

adanya perdagangan option antara lain [9]:

(a) Manajemen Risiko.Put option dari suatu underlying asset yang dimilikioleh pemodal/investor dapat digunakan untukmelakukan hedging(melindungi portofolio terhadaprisiko penurunan harga pasar) melalui penundaanpenjualan saham yang dimilikinya terhadap penurunanharga, sehingga dapat menghindari terjadinya risikokerugian.

(b) Memberikan Waktu yang Fleksibel.Pemegang call option maupun put option darisebuah kontrak option dapat menentukan apakah akanmelaksanakan haknya atau tidak hingga masa jatuhtempo berakhir (maturity date).

(c) Menyediakan Sarana Spekulasi.Para investor dapat memperkirakan harga naik denganpertimbangan membeli call option dan pertimbanganmembeli put option jika perkiraan harga turun. Hal inidilakukan untuk memperoleh keuntungan.

2.2.4 Faktor-faktor yang Mempengaruhi HargaOption

Beberapa faktor yang mempengaruhi harga option antaralain [9]:

a) Harga Underlying Asset.Harga suatu underlying asset dijadikan patokan dalammenentukan harga option. Harga suatu call option akan

11

semakin meningkat apabila harga underlying asset-nyajuga meningkat. Sedangkan untuk harga put optionakan mengalami penurunan. Hal ini menunjukkanbahwa harga underlying asset berbanding lurus denganharga call option dan berbanding terbalik dengan hargaput option.

b) Moneyness.Moneyness merupakan perbedaan antara hargaunderlying asset saat ini dengan strike price. Suatuput option dan call option akan memiliki nilai apabilaberada pada kondisi in the money. Sehingga hargaput option tersebut semakin meningkat apabila strikeprice-nya tinggi dan berlaku sebaliknya pada calloption.

c) Jangka Waktu Jatuh Tempo.Harga suatu option bergantung pada jangka waktujatuh tempo option tersebut. Untuk American optionakan menjadi lebih berharga apabila jangka waktu jatuhtemponya semakin meningkat. Dikarenakan Americanoption dapat diexercise sewaktu-waktu sampai batasmaturity date. Sementara untuk European option, tidakterpengaruh terhadap waktu jatuh tempo. Hal inidikarenakan European option diexercise hanya pada saatmaturity date.

d) Volatilitas.Volatilitas suatu underlying asset merupakan tolak ukurtingkat ketidakpastian pergerakan underlying tersebutdi masa mendatang. Semakin besar volatilitas (semakinbesar jarak antara naik turunnya harga underlyingasset), maka semakin meningkat harga call option danput option.

12

e) Tingkat Suku Bunga Bebas Risiko.Tingkat suku bunga bebas risiko juga mempengaruhiharga suatu option. Jika tingkat suku bunga dalamperekonomian meningkat, maka akan mempengaruhiharapan kenaikan harga suatu underlying asset,misalnya saham. Harga put option akan menurundengan adanya peningkatan risk free interest rate.Begitu pula sebaliknya, call option akan meningkat.

f) Dividen.Jika aset dasar option adalah saham, dividen dapatmempengaruhi nilai option. Dividen akan mengurangiharga saham sebesar jumlah dividen yang dibagikansehingga akan menurunkan nilai call dan meningkatkannilai put.

2.3 SahamSaham (stock) dapat didefinisikan tanda penyertaan atau

kepemilikan seseorang atau badan dalam suatu perusahaanatau perseroan terbatas. Wujud saham adalah selembarkertas yang menerangkan bahwa pemilik kertas tersebutadalah pemilik perusahaan yang menerbitkan surat berhargatersebut. Porsi kepemilikan ditentukan oleh seberapa besarpenyertaan yang ditanamkan di perusahaan tersebut[10].

2.3.1 Stock LoanStock loan adalah kontrak antara borrower (pemilik

saham) dan lender (pemilik uang), dimana borrowermemberikan collateral (jaminan) dan lender memberikanloan (pinjaman). Ketika borrower membutuhkan uang,borrower menjual saham tapi tidak ingin kehilangan sahammaka borrower bisa hanya menjaminkan sahamnya agarmendapatkan uang. Mekanisme dari stock loan sendirimenyerupai mekanisme American call option dan stock loandapat dianggap sebagai American option dengan strike

13

price yang bergantung pada waktu dimana jika dalamAmerican call option dikenal istilah holder yakni orang yangmembeli saham dan writer yakni orang yang menjual saham,maka pada Stock Loan ada pihak yang mempunyai saham(borrower) dan pihak yang mempunyai uang (lender).

Borrower mengajukan pinjaman kepada lender(perusahaan pribadi atau bank) dengan menjaminkansaham (stock). Borrower tidak kehilangan hak kepemilikandari stock tersebut, lender hanya berhak menyimpan stockyang dijaminkan saja. Namun, jika borrower gagal untukmelunasi pinjaman sampai batas waktu yang ditentukanmaka stock yang dijaminkan akan diambil alih oleh lender.Pada setiap saat selama kontrak stock loan, jika harga sahamnaik maka borrower dapat membayar kembali pinjamanditambah bunga untuk keluar dari kontrak. Jika harga sahamturun, borrower dapat meninggalkan kewajibannya untukmembayar pinjaman (walk away) dan hanya kehilangan biayapremi saja[2].

Dalam pembagiannya terdapat tiga model pembagiandividen, dan pada Tugas Akhir ini akan digunakan modeldividen yang diinvestasikan kembali sebelum pembayaranpinjaman. Dalam hal ini, dividen yang diinvestasikan kembalisegera setelah dibayar, akan dikembalikan sebagai bagiandari penebusan jaminan. Pergerakan harga saham diwakilioleh[2]:

eδtS = S0e(rt+σWt− 1

2σ2t) (2.1)

2.4 Persamaan Diferensial Black-Scholes

Dalam menentukan harga option dan penyelesaianpersamaanya dapat menggunakan model Black-Scholes,dimana perubahan harga saham (S) saat t diasumsikanmengikuti gerak Geometric Brownian, maka pembentukan

14

model Black-Scholes adalah sebagai berikut[10]:

dS = rSdt+ σSdWt (2.2)

Π = V −∇SdΠ = dV −∇dS (2.3)

dimana Π adalah nilai portofolio.Penurunan V (dV), didapat dengan menggunakan

pendekatan deret Taylor dua variabel bebas:

dV (S, t) =∂V

∂SdS +

1

2

∂2V

∂S2dS2 +

∂V

∂tdt+ ... (2.4)

Substitusi persamaan (2.2) ke dalam persamaan (2.4):

dV (S, t) =∂V

∂S(rSdt+ σSdWt) +

1

2

∂2V

∂S2(rSdt+ σSdWt)

2

+∂V

∂tdt

= rSdt∂V

∂S+ σSdWt

∂V

∂S+

1

2

∂2V

∂S2(r2S2dt2 + σ2S2

dWt2 + 2rSdtσSdWt) +

∂V

∂tdt

= rSdt∂V

∂S+ σSdWt

∂V

∂S+

1

2

∂2V

∂S2r2S2dt2 +

1

2

∂2V

∂S2

σ2S2dWt2 + rSdtσSdWt

∂2V

∂S2+∂V

∂tdt (2.5)

dengan menggunakan Quadratic Variation pada BrownianMotion[11]:

dWt2 = dt

dWtdt = 0

dt2 = 0

15

dengan mensubstitusikan persamaan Quadratic Variationpada Brownian Motion kedalam persamaan (2.5), didapatpersamaan sebagai berikut:

dV (S, t) = rSdt∂V

∂S+ σSdWt

∂V

∂S+ 0 +

1

2

∂2V

∂S2σ2S2dt+ 0

+∂V

∂tdt

= σSdWt∂V

∂S+

(rS∂V

∂S+

1

2

∂2V

∂S2σ2S2 +

∂V

∂t

)dt

(2.6)

persamaan (2.6) merupakan Lemma Ito, dimanaLemma Ito ini digunakan untuk mengubah persamaandifferensial stokastik menjadi persamaan differensial parsial.

Substitusikan Lemma Ito pada persamaan (2.6) kepersamaan (2.3):

dΠ = σSdWt∂V

∂S+

(rS∂V

∂S+

1

2

∂2V

∂S2σ2S2 +

∂V

∂t

)dt−∇dS

(2.7)

dengan mensubstitusikan persamaan ∇ = ∂V∂S dan persamaan

(2.2) ke persamaan (2.7) maka:

dΠ = σSdWt∂V

∂S+

(rS∂V

∂S+

1

2

∂2V

∂S2σ2S2 +

∂V

∂t

)dt− ∂V

∂S

(rSdt+ σSdWt)

= σSdWt∂V

∂S+ rS

∂V

∂Sdt+

1

2

∂2V

∂S2σ2S2dt+

∂V

∂tdt− rS

∂V

∂Sdt− σS∂V

∂SdWt

=1

2

∂2V

∂S2σ2S2dt+

∂V

∂tdt

16

Pada kenyataannya ketika investor menyimpan uangnya diBank, investor akan mendapat profit tanpa melakukan apa-apa sehingga investor mengharapkan hal yang sama ketikameletakkan uangnya di pasar modal. Sehingga harapan untukperubahan nilai portofolio di bank = portofolio di marketadalah sebagai berikut:

dΠbank = dΠmarket

dΠ = rΠdt1

2

∂2V

∂S2σ2S2dt+

∂V

∂tdt = r(V −∇S)dt(

1

2

∂2V

∂S2σ2S2 +

∂V

∂t

)dt =

(rV − rS ∂V

∂S

)dt

1

2

∂2V

∂S2σ2S2 +

∂V

∂t− rV + rS

∂V

∂S= 0

∂V

∂t+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2+ rS

∂V

∂S− rV = 0 (2.8)

dengan,σ = volatilitasr = suku bungaV = harga opsi sahamS = harga saham.Persamaan (2.8) menggunakan syarat batas sehinggamembentuk sistem persamaan differensial parsial Black-Scholes sebagai berikut:

∂V∂t + 1

2σ2S2 ∂2V

∂S2 + rS ∂V∂S − rV = 0

V (0, t) = 0

V (S, T ) = max(S −K, 0)

V (Sf (t), t) = Sf (t)−K∂V∂S (Sf (t), t) = 1

17

2.5 Metode Beda Hingga

Persamaan diferensial parsial merupakan persamaandiferensial yang memuat satu atau lebih fungsi (peubahtak bebas) beserta turunannya terhadap lebih dari satupeubah bebas. Salah satu cara untuk menyelesaikanpersamaan diferensial parsial secara numerik adalah denganmenggunakan metode beda hingga. Metode ini menggunakanpendekatan ekspansi Taylor di titik acuan (x).

Suatu fungsi dari sauatu variabel bebas f(x)didifferensialkan n kali didalam interval [x0 − h, x0 + h]dimana h cukup kecil, dapat diuraikan dalam bentuk deretpangkat menurut Deret Taylor sebagai berikut[12]:

f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h+f ′′(x0)

2!h2 + ...+

f (n−1)

(n− 1)!hn−1 +O(hn). (2.9)

Sedangkan pada titik (x0 − h) diperoleh bentuk deret Taylorsebagai berikut:

f(x0 − h) = f(x0)− f ′(x0)h+f ′′(x0)

2!h2 − ...+

f (n−1)

(n− 1)!hn−1 +O(hn). (2.10)

Pendekatan untuk turunan pertama dilakukan denganmemotong suku-suku berorde lebih dari satu. Hal inidisebabkan untuk h yang cukup kecil, h2 jauh kecilsehingga dapat diabaikan. Pendekatan turunan pertama daripersamaan (2.9) dan persamaan (2.10) adalah sebagai berikut:

f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h+O(h2)

18

f ′(x0) =f(x0 + h)− f(x0)

h−O(h)

atau

f ′(x0) ≈f(x0 + h)− f(x0)

h. (2.11)

Persamaan (2.11) dikenal sebagai pendekatan beda maju(forward difference), sedangkan persamaan (2.12) dibawahini dikenal sebagai pendekatan beda mundur (backwarddifference).

f(x0 − h) = f(x0)− f ′(x0)h+O(h2)

f ′(x0) =f(x0 + h)− f(x0)

h+O(h)

atau

f ′(x0) ≈f(x0)− f(x0 − h)

h. (2.12)

Dengan mengurangkan persamaan (2.9) ke persamaan(2.10) diperoleh pendekatan turunan pertama yang lain yaitupendekatan beda pusat atau beda tengah (center difference)pada persamaan (2.13) berikut:

f ′(x0) ≈f(x0 + h)− f(x0 − h)

2h. (2.13)

Karena turunan kedua ditinjau dari deret Taylor hingga sukuberorde dua, maka pemotongan dilakukan mulai suku-sukuberorde tiga.

f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h+f ′′(x0)

2!+O(h3). (2.14)

f(x0 − h) = f(x0)− f ′(x0)h+f ′′(x0)

2!−O(h3). (2.15)

19

Dengan menjumlahkan persamaan (2.14) dan persamaan(2.15) diperoleh pendekatan turunan kedua pada persamaan(2.16) berikut:

f ′′(x0) ≈f(x0 + h)− 2f(x0) + f(x0 − h)

h2. (2.16)

Nilai pendekatan untuk turunan ketiga, keempat danseterusnya dapat dilakukan dengan cara yang sama.

Apabila sumbu x dibagi menjadi beberapa bagian interval∆x yang panjangnya sama, maka absis titik i dapat ditulisdalam bentuk xi = i(∆x) dengan i = 1, 2, 3, ... sehinggapendekatan turunan pertama dan kedua di titik i menjadi:

1. Pendekatan beda maju

f ′(xi) ≈fi+1 − fi

∆x.

2. Pendekatan beda mundur

f ′(xi) ≈fi − fi−1

∆x.

3. Pendekatan beda pusat/tengah

f ′(xi) ≈fi+1 − fi−1

2(∆x).

4. Pendekatan turunan kedua

f ′′(xi) ≈fi+1 − 2fi − fi−1

(∆x)2.

20

2.5.1 Metode Beda Hingga Eksplisit

Pendekatan Beda hingga eksplisit digunakan untukmencari penyelesaian fungsi U(X, τ) menggunakanpendekatan beda maju dan beda tengah pada titik interiornya.Titik i adalah indeks subskip untuk dimensi waktu sedangkantitik j adalah indeks subskrip untuk dimensi harga, sepertiterlihat pada gambar berikut:

Gambar 2.1: Skema Eksplisit

Pendekatan turuan parsial pertama beda maju digunakanuntuk mendapatkan ∂U

∂τ dan beda pusat untuk mendapatkan∂U∂X , sedangkan pendekatan turunan parsial kedua digunakan

untuk mendapatkan ∂2U∂X2 sebagai berikut:

∂U

∂τ≈ Uj,i+1 − Uj,i

∆τ(2.17)

∂U

∂X≈ Uj+1,i − Uj−1,i

2∆X(2.18)

∂2U

∂X2≈ Uj+1,i − 2Uj,i + Uj−1,i

(∆X)2(2.19)

21

2.5.2 Metode Beda Hingga Implisit

Pendekatan Beda hingga implisit digunakan untukmencari penyelesaian fungsi U(X, τ) menggunakanpendekatan beda maju dan beda tengah pada titik interiornya.Titik i adalah indeks subskrip untuk dimensi waktu sedangkantitik j adalah indeks subskrip untuk dimensi harga sepertiterlihat pada gambar berikut:

Gambar 2.2: Skema Implisit

Pendekatan turuan parsial pertama beda mundurdigunakan untuk mendapatkan ∂U

∂τ dan beda pusat untuk

mendapatkan ∂U∂X , sedangkan pendekatan turunan parsial

kedua digunakan untuk mendapatkan ∂2U∂X2 sebagai berikut:

∂U

∂τ≈ Uj,i+1 − Uj,i

∆τ(2.20)

∂U

∂X≈ Uj+1,i+1 − Uj−1,i+1

2∆X(2.21)

∂2U

∂X2≈ Uj+1,i+1 − 2Uji+1 + Uj−1,i+1

(∆X)2(2.22)

22

2.5.3 Metode Beda Hingga Crank-Nicolson

Metode Crank-Nicolson merupakan pengembangan darimetode eksplisit dan metode implisit. Pada metode ini,pendekatan solusi U(X, τ) dihitung melalui titik j, i dan titikj, i + 1, artinya pendekatan suku derivatif harga pada waktuke i + 1 merupakan rata-rata derifatif pada waktu ke i dani+1 atau dengan kata lain metode Crank-Nicolson merupakanrata-rata dari metode eksplisit dan metode implisit sepertigambar berikut:

Gambar 2.3: Skema Crank-Nicolson

Uj,i+ 12

=Uj,i+1 + Uj,i

2(2.23a)

∂U

∂τ=Uj,i+1 − Uj,i

∆τ(2.23b)

∂U

∂X=

1

4∆X(Uj+1,i − Uj−1,i + Uj+1,i+1 − Uj−1,i+1)

(2.23c)

∂2U

∂X2=

1

2(∆X)2(Uj+1,i − 2Uj,i + Uj−1,i + Uj+1,i+1

− 2Uj,i+1 + Uj−1,i+1) (2.23d)

23

2.6 Metode SOR

Sistem persamaan linier terdiri atas sejumlah persamaanlinier dan sejumlah variabel. Menyelesaikan suatu sistempersamaan linier adalah mencari nilai dari variabel-variabelyang memenihi persamaan linier yang diberikan. Padadasarnya terdapat dua kelompok metode yang dapatdigunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaanlinier. Metode pertama disebut metode langsung yaknidalam langkah berhingga, sedangkan metode kedua aadalahmetode tak langsung atau iteratif, metode ini digunakanuntuk menyelesaikan sistem persamaan linier berukuran besardan proporsi koefisien nolnya besar.

Kesulitan utama dalam penentuan harga American optionadalah kondisi batas yang memungkinkan terjadinya earlyexercise, sehingga untuk mengatasi kesulitan itu dapat dipilihmetode iteratif untuk menyelesaikan sistem linear daripadametode langsung. Salah satu metode iteratif yang dapatdigunakan adalah metode Succesive Overrelaxation (SOR),metode SOR merupakan variasi dari metode Gauss-Seideluntuk penyelesaian sistem persamaan linear.

Terdapat sistem persamaan linear sebagai berikut:

Ax = b

metode SOR dalah teknik iteratif yang menyelesaikan sisi kiridari persamaan x dan menggunakan nilai iteratif sebelumnyadari x pada sisi kanannya. Skema iteratif dimulai dariinisialisasi titik x(0):

x(k+1)i = x

(k)i +

ω

aii

(bi −

i−1∑j=1

aijx(k+1)j −

N∑j=1

aijx(k)j

)dimana i = 1, ..., N, k adalah iterasi dan ε adalah parameteroverrelaxation, hingga kriteria konvergensi terpenuhi

24

sehingga:

‖ x(k+1) − x(k) ‖< ε.

dengan ε adalah parameter toleransi.Aplikasikan langkah di atas untuk perhitungan nilai stock

loan dengan metode Crank-Nicolson harus diselesaikan sistemsebagai berikut:

M1fi+1 = M2fi (2.24)

namun dalam American Option terdapat perbedaan kondisibatas dimana tidak ada penghalang nilai option akan bernilaisama dengan payoff sehingga sistem diselesaikan dengan carasebagi berikut,

M1fi+1 = ri, (2.25)

dimana ri merupakan matriks sebelah kanan dinyatakansebagai berikut,

ri = M2fi +R, (2.26)

untuk mengecek kemungkinan exercise price yang bisadilakukan setiap saat selama masa berlaku kontrak,diperlukan

fk+1i = maks{gi, fkij} (2.27)

dengan gi merupakan nilai payoff disetiap titik i.

BAB IIIMETODE PENELITIAN

Dalam bab ini diuraikan mengenai langkah-langkahsistematis yang dilakukan dalam proses pengerjaan TugasAkhir. Metode penelitian dalam Tugas Akhir ini terdiri atastiga tahap, antara lain: studi literatur, analisis masalah danpenarikan kesimpulan.

3.1 Studi Literatur

Pada Bab ini menjelaskan tentang penelitian terdahuludan teori-teori yang terkait dengan Tugas Akhir ini yaituoption, stock loan, persamaan diferensial parsial Black-Scholes, metode beda hingga Crank-Nicolson dan metodeSOR.

3.2 Analisis Masalah

Pada tahap ini dilakukan analisis masalah yaitu denganmenyelesaikan model persamaan differensial parsial Black-Scholes untuk stock loan dengan metode Crank-Nicolson,yaitu :

1. Pembentukan persamaan diferensial Black-Scholesdengan dividen yang diinvestasikan kembali sebelumpembayaran pinjaman.

2. Mentransformasikan sistem persamaan diferensialparsial menjadi bentuk non-dimensional.

3. Pendiskritan model Black-Scholes non-dimensionaldengan metode Crank-Nicolson.

25

26

4. Pemilihan parameter yang digunakan untuk menghitungnilai stock loan, meliputi[3]:

a. Suku bunga atau interest rate. Suku bunga (r)yang digunakan adalah konstan dan nilianya 0.06.

b. Dividen (δ) sebesar 0.03.

c. Nilai volatilitas dari underlying asset (σ) sebesar0.4.

d. Nilai pinjaman (q) sebesar 0.7.

e. Bunga pinjaman (γ) sebesar 0.1.

5. Perhitungan nilai stock loan menggunakan hasildiskritisasi dari metode Crank-Nicolson kemudianmemasukkan nilai parameter-parameter yang telahdiberikan dengan memperhatikan syarat awal dansyarat batas dari stock loan dengan dividen yangdiinvestasikan kembali sebelum pembayaran pinjamanyang selnajutnya akan membentuk matriks Tridiagonalyang merupaka pennyelesaian dari metode Crank-Nicolson dan selanjutnya diselesaikan dengan metodeSOR.

3.3 Simulasi Menggunakan MatlabPada tahap ini akan dilakukan simulasi dengan

menggunakan software Matlab, yang selanjutnya akandibandingkan antara hasil perhitungan menggunakan metodeCrank-Nicolson dengan perhitungan menggunakan metodePohon Binomial pada penelitian sebelumnya, sebagaiperbandingan keakuratan.

3.4 Penarikan KesimpulanTahap akhir dalam penelitian ini adalah penarikan

kesimpulan dari hasil analisis dan pembahasan yang telahdilakukan pada tahap sebelumnya.

BAB IV

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini dilakukan analisis hasil dan pembahasanmengenai langkah-langkah dalam perhitungan nilaistock loan dengan dividen yang diinvestasikan kembalisebelum pembayaran pinjaman pada model Black-Scholesmenggunakan metode beda hingga Crank-Nicolson. Untukmenghitung nilai stock loan dapat digunakan model Black-Scholes pada American call option karena persamaanmekanisme antara keduanya. Penentuan nilai stock loandapat dilakukan dengan menggunakan penyelesaian numerikyaitu metode beda hingga Crank-Nicolson yang selanjutnyaakan dilakukan simulasi dari hasil perhitungan numeriktersebut.

4.1 Pembentukan Persamaan Diferensial Black-Scholes dengan Dividen yang di InvestasikanKembali Sebelum Pembayaran Pinjaman

Pada tahap ini dibahas bagaimana pembentukanpersamaan diferensial Black-Scholes dengan dividen yangdiinvestasikan kembali sebelum pembayaran pinjaman.Sebelumnya pada bab II dibahas mengenai pembentukanpersamaan diferensial Black-Scholes umum dan mengenaibentuk pergerakan saham dengan dividen yang diinvestasikankembali sebelum pembayaran pinjaman pada persamaan(2.1) sebagai berikut:

eδtS = S0e(rt+σWt− 1

2σ2t)

27

28

Dari persamaan diferensial Black-Scholes umum danmengenai bentuk pergerakan saham dengan dividen yangdiinvestasikan kembali sebelum pembayaran pinjaman ini,selanjutnya dicari bagaimana model Black-Scholes dengandividen yang diinvestasikan kembali sebelum pembayaranpinjaman.

Harga saham pada dividen yang diinvestasikan kembalisebelum pembayaran pinjaman mengikuti pertumbuhandividen, misalkan eδtS = S2 menjadi harga saham yangefektif untuk jaminan pada saat t untuk stock loan dengandividen yang diinvestasikan kembali, dimana S adalah hargasaham[2]. Mengacu pada pembentukan Black-Scholes padapersamaan (2.2) menjadi:

dS2 = rS2dt+ σS2dWt (4.1)

dengan menggunakan langkah yang sama seperti padapembentukan Black-Scholes pada bab II maka didapatkanhasil akhir model Black-Scholes dengan dividen yangdinvestasikan kembali seperti berikut:

∂V2(S2, t)

∂t+

1

2σ2S2

2

∂2V2(S2, t)

∂S22

+rS2∂V2(S2, t)

∂S2−rV2(S2, t) = 0

(4.2)dengan kondisi batas untuk persamaan diferensial parsialadalah sebagai berikut:Saat jatuh tempo nilai stock loan adalah

V2(S2, t) = max(S2 − qeγt, 0). (4.3)

Jika harga saham S2 = 0 nilai stock loan=0 atau

V2(0, t) = 0. (4.4)

Pada harga saham yang optimal (Sf2) nilai stock loan adalah:

V2(Sf2(t), t) = Sf2 − qeγt (4.5)

29

dan continuity property dari batas diatas adalah:

∂V2∂S2

(Sf2(t), t) = 1. (4.6)

Sehingga sistem persamaan diferensial dari stock loan dengandividen yang diinvestasikan kembali sebelum pembayaranpinjaman terdapat pada persamaan (4.2) dan denganmenggunakan kondisi batas pada persamaan (4.3), (4.4), (4.5)dan (4.6) dapat dituliskan sebagai berikut:

∂V2∂t + 1

2σ2S2

2∂2V2∂S2

2+ rS2

∂V2∂S2− rV2 = 0

V2(0, t) = 0

V2(S2, t) = max(S2 − qeγt, 0)

V2(Sf2(t), t) = Sf2 − qeγt∂V2∂S2

(Sf2(t), t) = 1

4.2 Transformasi Sistem Persamaan DiferensialParsial menjadi Bentuk non-Dimensional

Pada tahap ini, dilakukan perubahan variabel untukmendapatkan persamaan diferensial yang lebih sederhana(sistem PDP non-dimensional) sehingga diperoleh persamaanBlack-Scholes dengan variabel baru. Dimana model Black-Scholes dengan dividen yang diinvestasikan kembali sebelumpembayaran pinjaman pada persamaan (4.2) dan diberikantransformasi variabel sebagai berikut[2]:

S2 = Xqeγt (4.7)

t = T − 2τ

σ2(4.8)

V2(S2, t) = U(X, τ)qeγt (4.9)

Model Black-Scholes pada persamaan (4.2) akanditransformasikan menggunakan variabel pada persamaan

30

(4.7), (4.8) dan (4.9) untuk mendapatkan persamaandiferensial yang lebih sederhana (sistem PDP non-dimensional). Berikut adalah turunan dari V2(S2, t) terhadapt:

∂(V2(S2, t))

∂t=

∂(U(X, τ)qeγt)

∂t

= qeγt∂(U(X, τ))

∂t+ (U(X, τ))

∂(qeγt)

∂t

= qeγt∂(U(X, τ))

∂t+ γqeγt(U(X, τ))

= qeγt(∂(U(X, τ))

∂(X)

∂X

∂t+∂(U(X, τ))

∂τ

∂(τ)

∂t

)+γqeγt(U(X, τ))

= qeγt(∂(U(X, τ))

∂X

∂

∂t

(Se−γt

q

)+∂(U(X, τ))

∂τ

∂

∂t

(σ2T

2− σ2t

2

))+ γqeγt(U(X, τ))

= qeγt(∂(U(X, τ))

∂X

(−γSqeγt

)+∂(U(X, τ))

∂τ(−σ2

2

))+ γqeγt(U(X, τ))

= −γS ∂(U(X, τ))

∂X− qeγtσ

2

2

∂(U(X, τ))

∂τ+γqeγt(U(X, τ)) (4.10)

Berikut adalah turunan dari V2(S2, t) terhadap S2:

∂V2(S2, t)

∂S2=

∂(U(X, τ)qeγt)

∂S2

31

∂V2(S2, t)

∂S2= qeγt

∂(U(X, τ))

∂S2+ (U(X, τ))

∂(qeγt)

∂S2

= qeγt(∂(U(X, τ))

∂X

∂X

∂S2+∂(U(X, τ))

∂τ

∂τ

∂S2

)+ 0

= qeγt(∂(U(X, τ))

∂X

∂

∂S2

(S

qeγt

)+∂(U(X, τ))

∂τ

∂

∂S2

(σ2(T − t)

2

))= qeγt

(∂(U(X, τ))

∂X

1

qeγt+∂(U(X, τ))

∂τ0

)= qeγt

(∂(U(X, τ))

∂X

1

qeγt

)=

∂(U(X, τ))

∂X(4.11)

Berikut adalah turunan kedua dari V2(S2, t) terhadap S2:

∂2V2(S2, t)

∂S22

=∂

∂S2

(∂V2(S2, t)

∂S2

)=

∂

∂S2

(∂(U(X, τ))

∂X

)=

∂

∂X

(∂(U(X, τ))

∂X

)∂(X)

∂S2+

∂

∂τ

(∂(U(X, τ))

∂X

)∂(τ)

∂S2

=∂2(U(X, τ))

∂X2

∂

∂S2

(S

qeγt

)+

∂

∂τ

(∂(U(X, τ))

∂X

)∂

∂S2

(σ2(T − t)

2

)

32

∂2V2(S2, t)

∂S22

=∂2(U(X, τ))

∂X2

1

qeγt+

∂

∂τ

(∂(U(X, τ))

∂X

)0

=∂2(U(X, τ))

∂X2

1

qeγt(4.12)

dengan mensubstitusikan persamaan (4.10), (4.11), (4.12) danjuga variabel transformasi pada persamaan (4.7), (4.8), (4.9)ke persamaan (4.2), maka didapat:

−∂U(X, τ)

∂τ+X2∂

2U(X, τ)

∂X2+ αX

∂U(X, τ)

∂X− αU(X, τ) = 0

(4.13)dimana:

α =2(r − γ)

σ2

Pada saat harga saham = 0 maka nilai stock loan mencapaititik terendah yaitu 0.

V2(0, t) = 0

U(0, τ)qeγt = 0

U(0, τ) =0

qeγt

= 0.

(4.14)

Pada saat tanggal kadaluarsa (t = T ) maka nilai stock loanmemenuhi persamaan berikut,

V2(S2, T ) = max(S2 − qeγt, 0)

U(X, 0)qeγt = max(Xqeγt − qeγt, 0)

U(X, 0)qeγt = max((X − 1)qeγt, 0)

U(X, 0) =max((X − 1)qeγt, 0)

qeγt

U(X, 0) = max(X − 1, 0).

(4.15)

33

Pada saat harga saham mencapai harga maksimal, maka nilaistock loan mencapai titik tertinggi yaitu,

V2(Smax2, t) = Smax2 − qeγt

U(Xmax, τ)qeγt = Xmaxqeγt − qeγt

U(Xmax, τ)qeγt = (Xmax − 1)qeγt

U(Xmax, τ) =(Xmax − 1)qeγt

qeγt

= Xmax − 1.

(4.16)

Ketika S2 = Sf2(t), borrower harus melunasi pinjamanya, jikatidak maka nilai stock loan akan jatuh dan tidak memenuhiprinsip arbitrage-free. Bentuk non-dimensional batas bebaspertama dinyatakan sebagai berikut,

V2(Sf2(t), t) = Sf2(t)− qeγt

U(Xf (τ), τ)qeγt = Xf (τ)qeγt − qeγt

= (Xf (τ)− 1)qeγt

U(Xf (τ), τ) =(Xf (τ)− 1)qeγt

qeγt

= (Xf (τ)− 1)

(4.17)

sedangkan bentuk non dimensional batas bebas keduadinyatakan sebagai berikut,

∂V2∂S2

(Sf2(t), t) = 1

=∂V2(Sf2(t), t)

∂X.∂X

∂S2= 1

=

∂V2(Sf2(t), t)

∂X∂S2

∂X

= 1

34

∂V2∂S2

(Sf2(t), t) =

∂U(Xf (τ), τ)

∂Xqeγt

qeγt= 1

=∂U

∂X(Xf (τ), τ) = 1.

(4.18)

Dari persamaan (4.13), (4.14),(4.15), (4.16), (4.17) dan (4.18)didapat sistem stock loan dalam bentuk non-dimensionalsebagai berikut:

−∂U(X,τ)∂τ +X2 ∂

2U(X,τ)∂X2 + αX ∂U(X,τ)

∂X − αU(X, τ) = 0

U(0, τ) = 0

U(X, 0) = max(X(0)− 1, 0)

U(Xf (τ), τ) = Xf (τ)− 1∂U∂X (Xf (τ), τ) = 1

4.3 Pendiskritan Formula untuk Stock LoanPersamaan Black-Scholes untuk Stock Loan dengan

dividen yang diinvestasikan kembali sebelum pembayaranpinjaman dinyatakan pada persamaan (4.2). PersamaanBlack-Scholes dapat dinyatakan dengan pembagian M griddengan panjang interval ∆τ = τ

M . Dengan τ merupakan totalwaktu dari M+1 grid. Total waktu dapat dituliskan menjadi0,∆τ, 2∆τ, ..., τ .

Xmax merupakan harga tertinggi dari stock loan ketikadiexercise. Xmax didefinisikan dengan ∆X = Xmax

N ,kemudian dimasukkan kedalam grid N+1 sehingga menjadi0,∆X, 2∆X, ...,Xmax. (N+1) dan (M+1) merupakan jumlahtotal grid harga saham (X) dan waktu (τ) yang akandigunakan untuk menentukan nilai dari stock loan padawaktu ke-τ dan pada tingkat harga saham mencapai Xmax.Pembagian grid persamaan Black-Scholes dapat dengan syaratbatas dapat dilihat pada gambar berikut:

35

Gambar 4.1: Pembagian Grid dengan Syarat Batas

Koordinat titik (j,i) menghubungkan antar titik hargasaham j∆X dan titik waktu i∆τ . Koordinat titik (j,i)dinotasikan dengan Uj,i.

4.4 Pendiskritan Persamaan Difeerensial Black-Scholes non-Dimensional dengan Metode Crank-Nicolson

Pada tahap ini, akan dilakukan pendiskritan model Black-Scholes non-dimensional dengan metode beda hingga Crank-Nicolson. Metode beda hingga Crank-Nicolson adalah rata-rata dari metode beda hingga eksplisit dan implisit. Titik-titikyang digunakan dalam metode Crank-Nicolson adalah sepertipada gambar berikut:

36

Gambar 4.2: Pembagian Grid pada Skema Crank-NicolsonU(X, τ)

dimana titik i diketahui sedangkan titik i+1 tidakdiketahui. Variabel yang akan digunakan dalam pendiskritanbeda hingga Crank-Nicolson dinotasikan sebagai berikut:

U(X, τ) = U(j∆X, i∆τ) = Uj,i.

Penurunan pada metode beda hingga Crank-Nicolson didapatsebagai berikut:

U(X, τ) = Uj,i+ 12

=Uj,1 + Uj,i+1

2(4.19)

∂U

∂τ=

Uj,i+1 − Uj,i∆τ

(4.20)

∂U

∂X=

1

4∆X(Uj+1,i − Uj−1,i + Uj+1,i+1

−Uj−1,i+1) (4.21)

37

∂2U

∂X2=

1

2(∆X)2(Uj+1,i − 2Uj,i + Uj−1,i + Uj+1,i+1

−2Uj,i+1, + Uj−1,i+1) (4.22)

Substitusikan persamaan (4.19-4.22) ke persamaan (4.13),didapat:

0 = −(Uj,i+1 − Uj,i

∆τ

)+X2 1

2∆X2(Uj+1,i − 2Uj,i + Uj−1,i

+Uj+1,i+1 − 2Uj,i+1 + Uj−1,i+1) + αX1

4(∆X)(Uj+1,i

−Uj−1,i + Uj+1,i+1 − Uj−1,i+1)− α(Uj,i + Uj,i+1

2

)Kalikan kedua ruas dengan ∆τ :

0 = −(Uj,i+1 − Uj,i) +X2(∆τ)1

2∆X2(Uj+1,i − 2Uj,i + Uj−1,i

+Uj+1,i+1 − 2Uj,i+1 + Uj−1,i+1) + αX(∆τ)1

4(∆X)(Uj+1,i

−Uj−1,i + Uj+1,i+1 − Uj−1,i+1)− α(∆τ)

(Uj,i + Uj,i+1

2

)Substitusikan:

X = j(∆X)

j =X

∆X

diperoleh persamaan sebagai berikut:

0 = −Uj,i+1 + Uj,i +j2

2(∆τ)(Uj+1,i − 2Uj,i + Uj−1,i + Uj+1,i+1,

−2Uj,i+1 + Uj−1,i+1) +αj

4(∆τ)(Uj+1,i − Uj−1,i

+Uj+1,i+1 − Uj−1,i+1)−α

2(∆τ)(Uj,i + Uj,i+1,)

38

Nilai stock loan dapat diperoleh pada waktu ke i+1,apabila variabel yang indeks i dipindah ke ruas kiridan yang mengandung indeks sejenis dikumpulkan untukmempermudah perhitungan, sehingga diperoleh persamaansebagai berikut:

Uj−1,i

(j2

2∆τ − j

4α∆τ

)+ Uj,i

(1− j2∆τ − α

2∆τ)

+Uj+1,i

(j2

2∆τ +

j

4α∆τ

)= Uj−1,i+1

(j2

2∆τ − j

4α∆τ

)+Uj,i+1

(−1− j2∆τ − α

2∆τ)

+ Uj+1,i+1

+

(j2

2∆τ

j

4α∆τ

)(4.23)

Misalkan:

aj = ∆τj2

2−∆τα

j

4(4.24)

bj = −1−∆τj2 − α∆τ

2(4.25)

cj = ∆τj2

2+ ∆τα

j

4(4.26)

dj = −∆τj2

2+ ∆τα

j

4(4.27)

ej = −1 + ∆τj2 +α∆τ

2(4.28)

fj = −∆τj2

2−∆τα

j

4(4.29)

dengan menggunakan pemisalan pada persamaan (4.24)-(4.29), maka persamaan (4.23) dapat ditulis kembali menjadi:

ajUj−1,i + bjUj,i + cjUj+1,i = djUj−1,i+1 + ejUj,i+1

+fjUj+1,i+1 (4.30)

39

dimana i = 0, 1, 2, ...,M − 1 dan j = 1, 2, 3, ..., N . Variabeli merupakan titik grid yang membagi τ dengan interval[0,M] sebanyak M+1 vektor dan j merupakan titik grid yangmembagi X dengan interval [0,N] sebanyak N+1 vektor. Makapersamaan (4.30) dapat ditulis menjadi matriks tridiagonalsebagai berikut:

b1 c1 0 0 · · · 0a2 b2 c2 0 · · · 00 a3 b3 c3 · · · 00 0 a4 b4 · · · 0...

......

......

...0 · · · · · · · · · aN−1 bN−1

U1,i

U2,i

U3,i...

UN−2,iUN−1,i

+

a1U0,i+1

00...0

cN−1UN,i+1

=

e1 f1 0 0 · · · 0d2 e2 f2 0 · · · 00 d3 e3 f3 · · · 00 0 d4 e4 · · · 0...

......

......

...0 · · · · · · · · · dN−1 eN−1

U1,i+1

U2,i+1

U3,i+1...

UN−2,i+1

UN−1,i+1

4.5 Hasil Perhitungan Numerik Stock Loan denganMetode Beda Hingga Crank-Nicolson

Berikut ini adalah hasil nilai stock loan yang diperoleh daripersamaan Black-Scholes dengan dividen yang diinvestasikankembali sebelum pembayaran pinjaman menggunakanmetode beda hingga Crank-Nicolson. Parameter yangdigunakan adalah r = 0.06, σ = 0.4, γ = 0.1, δ = 0.03,dan Xmax = 3. Nilai stock loan ditunjukkan pada tabel (4.1).

40

Tabel 4.1: Hasil Perhitungan Nilai Stock loan

Dari Tabel (4.1) dapat disimpulkan bahwa nilai stock loanmengalami kenaikan seiring dengan kenaikan harga saham dansemakin lamanya waktu kontrak. Nilai-nilai stock loan padaTabel (4.1) dapat ditunjukkan dalam bentuk grafik sepertipada gambar (4.3), (4.4) dan (4.5).

Gambar 4.3: Grafik Nilai Stock Loan saat T=1

41

Gambar 4.4: Grafik Nilai Stock Loan saat T=5

Gambar 4.5: Grafik Nilai Stock Loan saat T=20

Berdasarkan gambar (4.3), (4.4), dan (4.5) dapatdisimpulkan bahwa nilai stock loan mengalami kenaikanseiring dengan kenaikan harga saham. Nilai payoff =nilai stock

42

loan adalah waktu yang optimal bagi investor untuk melunasipinjamannya atau yang biasa disebut dengan optimal exitprice, apabila investor melunasi pinjamannya sebelum atausesudah optimal exit price maka keuntungan yang didapatkantidak optimal.

4.6 Hasil Perbandingan Metode Crank-Nicolson danMetode Pohon Binomial

Nilai stock loan yang didapat pada Tabel (4.1) selanjutnyaakan digunakan untuk menentukan nilai optimal exit price.Penelitian mengenai optimal exit price dengan dividenyang diinvestasikan kembali sebelum pembayaran pinjamandidapat pada referensi[3]. Hasil perhitungan dengan metodeCrank-Nicolson menggunakan parameter-parameter yangsama pada referensi[3], berikut adalah tabel perbandinganoptimal exit price antara metode Pohon Binomial dan metodeCrank-Nicolson:

Tabel 4.2: Optimal Exit Price Metode Crank-Nicolson danMetode Pohon Binomial

Dari Tabel (4.2) menunjukkan bahwa hasil perhitungannilai optimal exit price menggunakan metode Crank-Nicolsonmengalami kenaikan disetiap pertambahan waktu (T).Perhitungan pada Tabel (4.2) juga menunjukkan bahwa padagrid N=10000 nilai optimal exit price menggunakan metode

43

Crank-Nicolson semakin mendekati nilai optimal exit pricemenggunakan metode Pohon Binomial.

LAMPIRAN AListing Program Penentuan Nilai Stock Loan

Menggunakan Metode Crank-Nicolson

%Perhitungan Nilai Stock Loan Menggunakan MetodeCrank Nicolson%% Restart%clf;clear;clc;tic;%KonstantaXmax = 3 ;%Interest rater = 0.06;%Volatilitassigma = 0.4;%Expiry dateT = 5;Tmin = 0;t = ((T-Tmin)*sigma∧2)/2;%Bunga pinjamangamma = 0.1;delta = 0;% Parameter overrelaxationomega=1.5;% Toleransitol=0.001;% Pinjamanq = 0.7;

49

50

% Banyaknya grid arah XN = 200;% Banyaknya grid arah tauM = N;

% Range of time taut min = 0;t max = t;% Range of XX min = 0;X max = Xmax;

% Step% Arah taudt = (t max - t min) / M;% Arah XdX = (X max - X min) /N;

% Penentuan grid% Arah taut = t min : dt : t max;% Arah XX = X min : dX : X max;

vetj = 0:N;veti = 0:M;

% Kondisi batasC = zeros(N+1,M+1)’;C(:,1) = max(X - 1,0);payoff = C(:,1);pastval = payoff(2:N,1)’;

51

C(end,:) = 0;boundval = C(end,:);

% Deskripsi koefisien alfaalfa=2*(r-gamma)/sigma∧2;

% Koefisien matriksa = -dt/4*(2*vetj.∧2+(alfa)*vetj);b = -1 +((vetj.∧2) * dt) + (alfa * dt / 2);c = - (vetj.∧2) * dt / (2) + ((alfa) * vetj * dt) / (4);d = dt/4*(2*vetj.∧2+(alfa)*vetj);e = -1 -(vetj.∧2 * dt)-(alfa * dt / 2);f = (vetj.∧2 * dt) / (2) - ((alfa) * vetj *dt) / (4);

% Sistem matriksM1 = diag(c(3:N),-1) + diag(b(2:N)) + diag(a(2:N-1),1);M2 = diag(f(3:N),-1) + diag(e(2:N)) + diag(d(2:N-1),1);

%Successive overrelaxation%Menentukan nilai stock loanaux = zeros(N-1,1);for j=1:1:M

aux(1) = a(2)*(boundval(1,j)+boundval(1,j+1));aux(end) = 2*a(M)*(payoff(end));rhs = M1*pastval’+aux;oldval = pastval;error = REALMAX;while tol < error

newval(1) = max(payoff(2),...oldval(1)+(omega/b(2))*(...rhs(1)-(b(2)*oldval(1)+ c(2)*oldval(2))));

for k=2:N-2newval(k) = max(payoff(k+1),...

52

oldval(k)+ (omega/e(k+1))*(...rhs(k)-(a(k+1)*newval(k-1))-...(b(k+1)*oldval(k)+c(k+1)*oldval(k+1))));

endnewval(N-1) = max(payoff(N),...

oldval(N-1)+ (omega/b(N))*(...rhs(N-1)-(a(N)*newval(N-2))-...(b(N)*oldval(N-1))));

error = norm(newval-oldval);oldval = newval;

endpastval=newval;

endnewval = [boundval(1) newval payoff(end)];jdown = floor(X/dX);jup = ceil(X/dX);if jdown == jup

price = newval(1,jdown+1);else

price = newval(1,jdown+1)+...(X-jdown*dX)*(newval(1,jup+1)-newval(1,jup+1))’/dX;

endfigure(1)plot(X,newval,’b’,X,payoff,’g’);xlabel(’Dimensionless Stock Price X’);ylabel(’Dimensionless Stock Loan Value U’);legend(’price’,’payoff’,’Location’,’NorthWest’);toc;

BAB VPENUTUP

5.1 Kesimpulan

Kesimpulan dari Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Diperoleh nilai stock loan dengan dividen yangdiinvestasikan kembali sebelum pembayaran pinjamandengan menggunakan pendekatan numerik Crank-Nicolson pada Tabel (4.1) dan didapat bahwa nilai stockloan mengalami kenaikan seiring dengan kenaikan hargasaham dan semakin lamanya waktu kontrak.

2. Dari hasil perhitungan pada Tabel (4.1) menunjukkanbahwa nilai stock loan mengalami kenaikan pada X = 1dan X = 2 ketika T bertambah, sedangkan saat Xmaxyang dalam penelitian ini Xmax = 3 bernilai samayaitu U = 2 atau nilai dari payoff. Sehingga dapatdisimpulkan bahwa hasil perhitungan pada Tabel (4.1)menunjukkan semakin tinggi harga saham (X), danbertambahnya waktu (T ) maka nilai stock loan jugasemakin tinggi.

3. Berdasarkan hasil perhitungan optimal exit price denganmenggunkan metode Crank-Nicolson pada Tabel (4.2)menunjukkan bahwa hasil perhitungan nilai optimal exitprice menggunakan metode Crank-Nicolson mengalamikenaikan disetiap pertambahan waktu (T) dan padagrid N=10000 semakin mendekati nilai optimal exitprice yang didapat dengan menggunakan metode PohonBinomial.

45

46

5.2 SaranAdapun saran dari Tugas Akhir ini adalah untuk

penelitian selanjutya dapat digunakan metode ADI(Alternating Direction Implicit) untuk menentukan nilaistock loan.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Suselo, D., (2015). Dunia Manajemen.http://dedisuselopress.blogspot.co.id/2015/11/gambaran-umum-investasi.html. Diakses pada 02 Februari 2016.

[2] Lu, X., Putri, E.R.M., (2015). Semi-AnalyticValuation of Stock Loan with Finite Maturity.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 27 206-215.

[3] Dai, M., Xu Z.Q., (2010). Optimal RedeemingStrategy Of Stock Loans With Finite Maturity.Departement of Mathematics, National Universityof Singapore. Mathematical Institute, Uneversity ofOxford.

[4] Liyonita, S.I., (2015). Aplikasi Metode Crank-Nicolson untuk Menentukan Harga Europeancall option pada Model Heston. Tugas Akhir.Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

[5] Dura, G., Mosneagu A.M., (2010). NumericalApproximation of Black-Scholes Equation.

[6] Weitian, L., Xi, H., (2010). Solving Black-Scholes PDE by Crank-Nicolson and Hopscotchmethods. Mlardalen University, Sweden.

[7] Grasselli MR, Gomez C., (2010). Stock loans inincomplete markets. Appl Math Finance 119.

47

48

[8] Wilmott, P., (1995). The Mathematics OfFinancial Derivatives. Press Syndicate of theUniversity of Cambridge, England.

[9] Bapepam. (2003). Perdagangan Option di PasarModal Indonesia.http://www.bapepam.go.id/pasar modal/publikasi pm/kajian pm/option.pdf. Diakses pada 02 Februari 2016.

[10] Tjiptono, D., Fakhruddin H.M., (2001). Pasar Modaldi Indonesia.

[11] Willmot, P., (2007). Introduces QuantitativeFinance. 2nd Edition. John Wiley & Son, Ltd,Chichester.

[12] Recktenwald, G. W., (2011). Finite-DifferenceApproximations to the Heat Equation. Tesis.Portland State University.

LAMPIRAN BBiodata Penulis

Penulis bernama NurIlmayasinta, biasa dipanggil Maya.Penulis dilahirkan di Gresik, 03Desember 1994. Penulis merupakanputri dari pasangan Iskandar danAminah Ulfah. Penulis menempuhpendidikan formal dimulai dariRAM 202 (1999-2000), MIAssa’adah Sukowati (2000-2006),MTs Ma’arif NU Assa’adah IISampurnan Bungah (2006-2009),dan MA Ma’arif NU Assa’adahSampurnan Bungah (2009-2012).

Kemudian penulis melanjutkan studi ke jenjang S1 di JurusanMatematika ITS Surabaya pada tahun 2012 dengan NRP1212 100 703. Di Jurusan Matematika, penulis mengambilBidang Minat Matematika Terapan. Selama kuliah, penulismemiliki pengalaman berorganisasi di KM ITS sebagai stafDept. DALAM NEGERI HIMATIKA ITS (2013-2014), stafTKG BEM FMIPA ITS (2013-2014), staf Dept. DALAMNEGERI CSS MoRA ITS (2013-2015), dan Bendahara IIOLIMPIADE MATEMATIKA ITS (2013-2014).

Informasi lebih lanjut mengenai Tugas Akhir ini dapatditujukan ke penulis melalui email: ilmayasinta@gmail.com