128

BAB 7

METODE EULER

7.1 Penyelesaian Persamaan Differensial Biasa dengan Metode Euler

Persamaan differensial biasa adalah sebuah persamaan dari suatu variabel bebas beserta derivatif-derivatif dari fungsi variabel tersebut. Biasanya variabel bebas yang dipakai adalah waktu (t). Bentuk umum dari persamaan differensial ini adalah:

++++

...22

21

1

1 n

n

nn

n

nn

n

n dtxda

dtxda

dtxda )(01 tfxadt

dxa =+ ...............................(7.1)

Persamaan (7.1) ini dapat juga dituliskan:

++++

...)2(

2)1(

1)( n

nn

nn

n xaxaxa )(011 tfxaxa =+ .................................(7.2) Atau :

..)([1 )2(2)1(

1)( =

nn

nn

n

n xaxatfa

x ... ]01

1 xaxa .................................(7.3)

Atau secara singkat Persamaan (7.3) dapat dituliskan:

),....,,,,( )1(111)( == nnnn

xxxxtfxdt

xd .................................................................(7.4)

Dimana x adalah fungsi dari variabel t dan n adalah bilangan bulat positif

yang menunjukkan tingkat (order) dari persamaan differensial. Koefisien-koefisien 01 ,........,, aaa nn dapat berupa konstanta atau fungsi dari t,x dan /atau derivatif dari x. Jika ada salah satu koefisien ini merupakan fungsi x dan/atau derivatif dari x maka persamaan differensial ini disebut dengan persamaan differensial non linier. Sebaliknya jika tidak ada koefisien yang merupakan fungsi x atau derivatif dari x maka persamaan differensial ini disebut persamaan differensial linier.

Integrasi numerik adalah suatu teknik yang dapat dipakai untuk mendapatkan hampiran penyelesaian dari persamaan differensial non linier. Metode Euler adalah suatu metode sederhana dan akurat untuk penyelesaian numerik.

129

Misalkan persamaan differensial orde-1

)(xfdtdx

= ..........................................................(7.5)

Metode Euler dijelaskan berdasarkan Gambar 7.1, dimana kurva menunjukkan penyelesaian dari x(t). Jika pada waktu 0t nilai dari

)( 0tx ditunjukkan oleh 0x , kurva dapat didekati dengan harga tangen pada titik ini. Untuk harga t yang sangat kecil yaitu t , maka nilai x terkecil adalah:

0X

X

t0t 1t 2t 3t

1X

2X

3X

t t t

0 Gambar 7.1 Kurva x = f(t) yang didekati dengan metode Euler

txdt

dxx 0

............................................................................(7.6)

Dimana:

xdtdx

0

adalah slope dari kurva pada ( ), 00 xt yang mana nilainya ditentukan

dari persamaan (7.5). Jadi nilai x pada tt +0 adalah: xxx += 01

130

txdt

dxxx +=0

01 ...................................................(7.7)

Untuk selanjutnya nilai x dapat ditentukan dengan cara yang sama yaitu:

txdt

dxxxi

ii +=+1 ..............................................(7.8)

Dengan menggunakan algoritma dalam Persamaan (7.8) diatas kita dapat menghampiri nilai x(t) pada tiap titik dari keadaan awal ),( 00 xt sampai keadaan akhir ),( ff xt . Grafiknya dapat digambar seperti Gambar 7.1. Metode Euler tersebut diatas adalah mengandaikan bahwa slope adalah konstan setiap interval waktu t yang menyebabkan titik-titik yang ditinjau jatuh terlalu jauh dibawah kurva. Suatu perbaikan dapat diperoleh dengan menghitung slope pada awal interval dan akhir interval, kemudian dihitung harga rata-rata pada interval ini. Prosedur ini dinamakan dengan metode Euler yang diperbaiki (Modified Euler Method). Jadi dengan menggunakan metode Euler yang diperbaiki nilai x pada ujung interval dihitung sebagai berikut:

Nilai x pada ujung interval ttt += 01 dengan slope pada awal interval txdt

dx

0

diprediksi:

txdt

dxxx p +=0

01 .......................................................(7.9)

Dengan menggunakan nilai prediksi px1 maka diperoleh slope diujung interval adalah:

),( 11

1

pxtftxdt

dxp

=

Maka nilai x yang dikoreksi adalah:

txdtdx

xdtdx

p

xxc +

+= )2

( 1001 ..........................(7.10)

131

Selanjutnya nilai x dapat ditentukan dengan algoritma:

txdtdx

xdtdx

piixx ici

+

+= ++

)2

( 11 ..........................(7.11)

7.2 Penyelesaian Persamaan Ayunan Dengan Metode Euler Persamaan ayunan adalah merupakan persamaan differensial order-2 yaitu:

aem PPPdtdM ==2

2 ...........................................(7.12)

Dimana:

0fGHM

= ..................................................................(7.13)

Rating mesin dalam perunit yaitu puG 0,1= , sehingga Persamaan (7.13) dapat dituliskan:

aem PHfPP

Hf

dtd

== )(22

.................................................(7.14)

Dalam analisis stabilitas sistem tenaga, sistem tenaga yang dianalisis

tersebut dibagi atas tiga subsistem sesuai waktu bila gangguan itu terjadi, yaitu:

Sistem sebelum gangguan ( Pre-fault system ) Sistem selama gangguan ( Fault- on system ) Sistem sesudah gangguan diputus (Post-fault system)

Ketiga subsistem ini digunakan pada persamaan ayunan dalam Persamaan (7.14), dimana daya yang disalurkan eP ke-infinite bus (beban) akan berubah sesuai dengan ketiga subsistem ini. Persamaan daya yang disalurkan tersebut adalah: Sistem sebelum gangguan:

sin1max1 PPe = ...................................................................(7.15) Sistem selama gangguan:

sin2max2 PPe = ..................................................................(7.16) Sistem sesudah gangguan:

sin3max3 PPe = ...................................................................(7.17)

132

Dimana:

seb

g

XVE

P =1max ..........................................................................(7.18)

sel

g

XVE

P =2max ..........................................................................(7.19)

ses

g

XVE

P =3max ..........................................................................(7.20)

Dimana:

sebX = Reaktansi total sebelum gangguan

selX = Reaktansi total selama gangguan

sesX = Reaktansi total sesudah gangguan diputus Dari ketiga persamaan diatas dapat dilihat bahwa daya maksimum yang disalurkan berbeda untuk ketiga subsistem sebelum, selama dan sesudah gangguan dihapus . Kurva daya fungsi sudut torsi untuk ketiga subsistem digambarkan seperti dalam Gambar 7.2.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

delta, derjat

Pe,

per

unit

Kurva Sudut Daya

Pe1

Pe3

Pe2

delta0 deltaccdeltamak

Pm

Aa

Ad

Gambar 7.2 Kurva Sudut Daya

133

Berdasarkan Gambar 7.2, delta0 0 adalah sudut daya sebelum gangguan saat sistem beroperasi stabil, deltacc cc adalah sudut daya penghapus kritis (critcal clearing angle power) dan m adalan sudut daya maksimum sesudah gangguan diputus. Besar sudut 0 dan m diberikan oleh Persamaan (7.21) dan (7.22) sebagai berikut:

max

10 sin P

Pm= ..........................................................(7.21)

sm = ................................................................(7.22) Dimana:

max2

1sinPrPm

s= .......................................................(7.23)

Dengan metode Euler yang diperbaiki,persamaan ayunan pada Persamaan (7.14) yaitu:

aem PHfPP

Hf

dtd

== )(22

diubah kedalam dua bentuk yaitu:

== smdtd ....................................................(7.24)

Dan

ema PPPHf

dtd

== .............................................(7.25)

Daya yang disalurkan tergantung dari keadaan yaitu sebelum gangguan, selama gangguan dan sesudah gangguan dihapus, yaitu: Sebelum gangguan: sin1max1 PPe = Selama gangguan: sin2max2 PPe = Sesudah gangguan: sin3max3 PPe = Perhatikan kurva ayunan Gambar 7.3, dengan menggunakan slope pada awal interval, maka nilai prediksi dan pada ujung interval ttt += 01 :

tdtd

ii

pi +=

+

1 .............................................(7.26)

tdt

di

ip

i

+= +

1 ....................................(7.27)

134

Gunakan nilai prediksi ini , maka slope pada ujung interval:

+Pi

dtd

1

............................................................(7.28)

Dan

Pi

dtd

1+

...........................................................(7.29)

Maka nilai dan yang dikoreksi adalah:

tdtd

dtd p

ii

ici

+

+= +

+ )2(

1

1

.....................................(7.30)

tdt

ddt

dpii

i

c

i

+

+= + + )2(1

1

..........................(7.31) Dengan bantuan program komputer MATLAB, maka berdasarkan

algoritma pada Persamaan (7.30) dan (7.31) dapat ditentukan besar sudut dan pada setiap interval waktu t , sehingga kurva sudut sebagai fungsi waktu t

dapat digambarkan seperti Gambar 7.3. Dari kurva ayunan ini dapat ditentukan sistem stabil atau tidak bila gangguan diputus pada waktu pemutusan tertentu. Dengan program Matlab kita dapat mengatur atau memilih waktu pemutusan tersebut . Bila kurva ayunan yang diperoleh terus naik maka sistem tidak stabil dan bila kurva yang diperoleh naik mencapai maksimum lalu turun maka sistem adalah stabil.

0

t0t 1t 2t 3t

1

2

3

t t t

0 Gambar 7.3 Kurva ayunan

135

Soal 7.1

Pada one line diagram Gambar 7.4 diberikan data peralatan dan saluran dalam perunit : Rating generator G = 1,0 pu, konstanta inersia H = 3 MJ/MVA dan frekuensi f = 60 Hz. Gangguan hubung singkat 3 phasa terjadi ditengah-tengah salah satu saluran ( titik F ). Tentukanlah :

a. Waktu penghapus kritis untuk gangguan menetap (sustained fault) agar sistem tetap stabil.

b. Hitunglah sudut torsi fungsi waktu t dari waktu t = 0 sampai t = 0,60 det dan gambarkan kurva ayunannya untuk gangguan dihapus pada t = 3 cycle dan t = 4,5 cycle. Dilihat dari kurva ayunan ini apakah sistem stabil atau tidak ?

XF

G

j 0,28 pu

j 0,24 pu

j 0,24 pu

j 0,16 pu

j 0,16 pu

j 0,16 pu

j 0,16 pu

j 0,16 pu

V = 1,0 pu

Infinite Bus

Eg = 1,25 puPm = 1,0 pu

Gambar 7.4 Diagram Untuk Gangguan Ditengah-Tengah Saluran Untuk Soal 6.1

Penyelesaian:

1. Hitung Daya yang disalurkan kebeban

Sebelum gangguan

Gambarkan diagram reaktansi sebelum gangguan :

j0,16 pu j0,16 puj0,24 pu

j0,16 pu j0,16 puj0,24 pu

gE

-

+V

j0,28 pu j0,16 pu

a

b c

d

136

Reaktansi total sebelum gangguan adalah:

puX seb 72,016,0216,024,016,028,0 =++++=

Daya yang disalurkan sebelum gangguan adalah:

sin735,1sin72,0

0,125,1sinsin1max1 ====x

XVE

PPseb

ge

Selama Gangguan

Gambarkan diagram reaktansi selama gangguan:

j0,16 pu j0,16 puj0,12 pu

j0,16 pu j0,16 puj0,24 pu

gE

-

+V

j0,28 pu j0,12 puj0,16 pu

FX

n

a

b c

d

j0,28 pu

j0,56 pu

gE

-

+

Vj0,28 pu

j0,16 pu

n

j0,28 pu

a

b c

d

Transformasi - Y :

puXX cobo 14,028,056,028,0)56,0)(28,0(

=++

==

puX no 07,028,056,028,0)28,0)(28,0(

=++

=

137

Diagram reaktansi diatas menjadi sebagai berikut:

j0,14 pu

gE

-

+

Vj0,07 pu

j0,16 pu

n

j0,28 pu

a

O

d

cbj0,14 pu

j0,30 pu

gE

-

+

Vj0,07 pu

n

aO

d

j0,42 pu

Kemudian transformasi Y - :

puX ad 52,207,0)42,0)(07,0()07,0)(30,0()30,0)(42,0(=

++=

puXX selad 52,2== = reaktansi total selama gangguan Diagram reaktansi selama gangguan yang telah direduksi dari diagram reaktansi

diatas adalah sebagai berikut:

Xad = j 2,52 pu

gE

-

+

V

a d

138

Daya yang disalurkan selama gangguan adalah:

sin49,0sin52,2

)0,1)(25,1(sinsin2max2 ====sel

ge X

VEPP

Sesudah Gangguan

Diagram reaktansi sesudah gangguan dihapus sebagai berikut:

j0,16 pu j0,16 puj0,24 pu

gE

-

+V

j0,28 pu j0,16 pu

a

b c

d

Reaktansi total sesudah gangguan dihapus adalah:

puX ses 0,116,016,024,016,028,0 =++++=

Daya yang disalurkan sesudah gangguan adalah:

sin25,1sin0,1

)0,1)(25,1(sinsin3max3 ====ses

ge X

VEPP

2. Hitung sudut penghapus kritis cc

Sudut torsi awal yaitu sebelum gangguan adalah:

radPPm 615,02,35

735,10,1sinsin 01

1max

10 ====

Sudut torsi maksimum adalah: sm =

0180

01

3max

1 1,5325,10,1sinsin ===

PPm

s

radm 22,29,1261,53180

000 ===

139

Sudut penghapus kritis adalah:

2max3max

02max3max01 coscos)(cosPP

PPP mmmcc

+=

49,025,12,35cos49,09,126cos25,1)615,022,2(0,1cos

001

+

= cc

76,0400,0751,0605,1cos 1 = cc

01 1,536,0cos == cc

Perhitungan sudut fungsi t dengan metode Euler

Daya sebelum gangguan : sin735,11 =eP

Daya selama gangguan : sin49,02 =eP

Daya sesudah gangguan : sin25,13 =eP

Interval waktu : det05,0=t

Frekuensi : 60=f Hz

Konstanta inersia : 3=H Mj/MVA :

8,623

6014,3=

=

Hf

Untuk gangguan menetap Sebelum gangguan: _________________________________________________________________

= 0t : 615,02,350 == rad 00 =

000= =

dtd

140

Selama gangguan: _________________________________________________________________

+= 0t sin49,012 == ema PPP

)sin49,01( 00 =Hf

dtd

)2,35sin49,01(8,62)2,35sin49,01(3

6014,3=

=

063,45= rad/det _________________________________________________________________

05.0=t det ==+=+= 2,35615,0)05,0(0615,0001t

dtdp

253,2)05,0)(1,45(0001 =+=

+= tdt

dp rad/det

253,21

1 ==

ppdt

d

rad/det

)sin49,01( 11pp

Hf

dtd =

062,45)2,35sin49,01(8,62 == rad/det

tdtd

dtd pc ++= )(

21

1001

05,0)253,20(21615,0 ++=

671,0= rad/det = 47,38

tdt

ddt

d pc

+

+= 1001 2

1

05,0)062,45062,45(210 ++=

253,2= rad/det

141

_________________________________________________________________

10,0=t det ==+=

+= 6,41727,0)05,0)(253,2(615,01

12 tpdtdpp

tdt

d ppp += 112

05,0)2,35sin49,01(8,62253,2 += 506,4253,2253,2 =+= rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

2112

839,0168,0671,005,0)2

506,4253,2(671,0 =+=++= rad

= 07,48

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 2112 2

1

05,0)]6,41sin49,01(8,62062,45[21253,2 ++=

05,0)2

369,42062,45(253,2 ++=

185,2253,2 += 438,4= rad/det _________________________________________________________________

15,0=t det )05,0)(506,4(727,02

23 +=

+= tpdtdpp

952,0= rad = 56,54

tdt

d ppp += 223

05,0)6,41sin49,01(8,62506,4 += 622,6116,2506,4 =+= rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

3223

142

117,1278,0839,005,0)2

622,6506,4(839,0 =+=++= rad

= 01,64

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 3223 2

1

05,0)]56,54sin49,01(8,62369,42[21438,4 ++=

05,0)2

729,37369,42(438,4 ++=

002,2438,4 += 440,6= rad/det _________________________________________________________________

20,0=t det )05,0)(622,6(952,03

34 +=

+= tpdtdpp

283,1331,0952,0 =+= rad = 52,73

tdt

d ppp += 334

05,0)56,54sin49,01(8,62622,6 += 508,8886,1622,6 =+= rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

4334

495,1378,0117,105,0)2

508,8622,6(117,1 =+=++= rad

= 67,85

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 4334 2

1

05,0)]67,85sin49,01(8,62729,37[21440,6 ++=

05,0)2

115,32729,37(440,6 ++=

746,1440,6 += 186,8= rad/det _________________________________________________________________

143

25,0=t det )05,0)(508,8(283,14

45 +=

+= tpdtdpp

708,1425,0283,1 =+= rad = 86,97

tdt

d ppp += 445

05,0)52,73sin49,01(8,62508,8 += 172,10664,1508,8 =+= rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

5445

962,1467,0495,105,0)2

172,10508,8(495,1 =+=++= rad

= 42,112

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 5445 2

1

05,0)]86,97sin49,01(8,62115,32[21186,8 ++=

05,0)2

317,32115,32(186,8 ++=

610,1186,8 += 796,9= rad/det _________________________________________________________________

30,0=t det )05,0)(172,10(708,15

56 +=

+= tpdtdpp

216,2508,0708,1 =+= rad = 97,126

tdt

d ppp += 556

05,0)86,97sin49,01(8,62172,10 += 787,11615,1172,10 =+= rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

6556

144

510,2548,0962,105,0)2

787,11172,10(962,1 =+=++= rad

= 82,143

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 6556 2

1

05,0)]97,126sin49,01(8,62317,32[21796,9 ++=

05,0)2

214,38317,32(796,9 ++=

763,1796,9 += 559,11= rad/det dst ________________________________________________________________ Hasil perhitungan diatas dimasukkan kedalam tabel seperti Tabel 7.1.

Tabel 7.1 : Perhitungan sudut )(tf= untuk gangguan menetap

t

(det)

Metode step by step

(deg)

Metode Euler

(deg)

0- 35,2 35,2

0+ 35,2 35,2

0av 35,2 35,2

0,05 38,23 38.47

0,10 47,53 48.07

0,15 62,58 64.01

0,20 82,72 85.67

0,25 107,49 112.42

0,30 137,06 143.82

145

Berdasarkan Tabel 7.1 digambarkan kurva ayunan seperti Gambar 7.5.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.3520

40

60

80

100

120

140

160de

lta (d

eg)

waktu (det)

Kuva Ayunan (Swing Curve)

Gangguan Menetap

Gambar 7.5 Kurva Ayunan Dengan metode Euler Perhitungan sudut fungsi t dengan metode Euler ( Gangguan dihapus pada det 05,0=t )

Daya sebelum gangguan : sin735,11 =eP

Daya selama gangguan : sin49,02 =eP

Daya sesudah gangguan : sin25,13 =eP

Interval waktu : det05,0=t

Frekuensi : 60=f Hz

Konstanta inersia : 3=H Mj/MVA :

8,623

6014,3=

=

Hf

146

Gangguan dihapus pada watu t = 0.05 det ____________________________________________________________________ Sebelum gangguan:

= 0t : 615,02,350 == rad 00 =

000= =

dtd

____________________________________________________________________ Gangguan dihapus:

05.0=t det ==+=+= 2,35615,0)05,0(0615,0001t

dtdp

tdt

dp += 001 rad/det

00 =

)sin25,11(8,62 00

=dt

d

550,17)2,35sin25,11(8,62 == rad/det 877,0)05,0(550,1701 =+=

p rad/det

tdtd

dtd pc ++= )(

21

1001

615,00 =

000 ==

dtd

877,011 ==pp

dtd

05,0)877,00(21615,01 ++=

c

147

021,0615,0 += 636,0= rad/det = 44,36

tdt

ddt

d pc

+

+= 1001 2

1

00 =

550,170 = dt

d

550,171 == pdt

d

( ) 05,0550,17550,172101 ++=

c

877,0= rad/det ____________________________________________________________________

10,0=t det tpdtdpp

+=

112

615,01 =p

877,011 ==pp

dtd

)05,0(877,0615,02 +=p

043,0615,0 += 658,0= = 70,37

tdt

d ppp += 112

877,01 =p

550,171 = pdt

d

148

)05,0(550,17877,02 +=p

754,1877,0877,0 =+= rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

2112

636,01 =c

877,011 ===pp

dtd

754,122 ===pp

dtd

701,0065,0636,005,0)2

754,1877,0(636,02 =+=+

+= c rad/det

= 16,40

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 2112 2

1

877,01 =c

550,171 = pdt

d

795,14)70,37sin25,11(8,622 == pdt

d

05,0)795,14550,17(21877,02 ++=

c

808,0877,0 += 685,1= rad/det _________________________________________________

15,0=t det tpdtdpp

+=

223

658,02 =p

149

754,122 ==pp

dtd

)05,0(754,1658,03 +=p

087,0658,0 += 745,0= rad = 68,42

tdt

d ppp += 223

754,12 =p

795,142 = pdt

d

)05,0(795,14754,13 +=p

493,2739,0754,1 =+= rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

3223

701,02 =c

754,122 ===pp

dtd

493,233 ===pp

dtd

807,0106,0701,005,0)2

493,2754,1(701,03 =+=+

+= c rad

= 24,46

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 3223 2

1

685,12 =c

795,142 = pdt

d

150

584,9)68,42sin25,11(8,623 == pdt

d

05,0)584,9795,14(21685,13 ++=

c

609,0685,1 += 294,2= rad/det ____________________________________________________________________

20,0=t det tpdtdpp

+=

334

745,03 =p

493,233 ==pp

dtd

)05,0(493,2745,04 +=p

124,0745,0 += 869,0= rad = 79,49

tdt

d ppp += 334

493,23 =p

584,93 = pdt

d

)05,0(584,9493,24 +=p

972,2479,0493,2 =+= rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

4334

807,03 =c

151

493,233 ==pp

dtd

972,244 ===pp

dtd

943,0136,0807,005,0)2

972,2493,2(807,04 =+=+

+= c rad

= 03,54

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 4334 2

1

294,23 =c

584,93 = pdt

d

850,2)79,49sin25,11(8,624 == pdt

d

05,0)850,2584,9(21294,24 ++=

c

310,0294,2 += 604,2= rad/det ____________________________________________________________________

25,0=t det tpdtdpp

+=

445

869,04 =p

972,244 ==pp

dtd

)05,0(972,2869,05 +=p

148,0869,0 += 017,1= rad = 27,58

152

tdt

d ppp += 445

972,24 =p

850,24 = pdt

d

)05,0(850,2972,25 +=p

114,3142,0972,2 =+= rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

5445

943,04 =c

972,244 ==pp

dtd

114,355 ===pp

dtd

095,1152,0943,005,0)2

114,3972,2(943,05 =+=+

+= c rad

= 74,62

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 5445 2

1

604,24 =c

850,24 = pdt

d

967,3)27,58sin25,11(8,625 == pdt

d

05,0)967,3850,2(21604,25 +=

c

027,0604,2 = 577,2= rad/det

153

____________________________________________________________________

30,0=t det tpdtdpp

+=

556

017,15 =p

114,355 ==pp

dtd

)05,0(114,3017,16 +=p

155,0017,1 += 172,1= rad = 15,67

tdt

d ppp += 556

114,35 =p

967,35 = pdt

d

)05,0(967,3114,36 =p

916,2198,0114,3 == rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

6556

095,15 =c

114,355 ==pp

dtd

916,266 ==pp

dtd

245,1150,0095,105,0)2

916,2114,3(095,16 =+=+

+= c rad

= 33,71

154

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 6556 2

1

577,25 =c

967,35 = pdt

d

539,9)15,67sin25,11(8,626 == pdt

d

05,0)539,9967,3(21577,26 +=

c

337,0577,2 = 240,2= rad/det ____________________________________________________________________

35,0=t det tpdtdpp

+=

667

172,16 =p

916,266 ==pp

dtd

)05,0(916,2172,17 +=p

145,0172,1 += 317,1= rad = 46,75

tdt

d ppp += 667

916,26 =p

539,96 = pdt

d

)05,0(539,9916,27 =p

440,2476,0916,2 == rad/det

155

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

7667

245,16 =c

916,266 ==pp

dtd

440,277 ==pp

dtd

378,1133,0245,105,0)2

440,2916,2(245,17 =+=+

+= c rad

= 95,78

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 7667 2

1

240,26 =c

539,96 = pdt

d

185,13)46,75sin25,11(8,627 == pdt

d

05,0)185,13539,9(21240,27 +=

c

568,0240,2 = 672,1= rad/det ____________________________________________________________________

40,0=t det tpdtdpp

+=

778

317,17 =p

156

440,277 ==pp

dtd

)05,0(440,2317,18 +=p

122,0317,1 += 439,1= rad = 45,82

tdt

d ppp += 778

440,27 =p

185,137 = pdt

d

)05,0(185,13440,28 =p

781,1659,0440,2 == rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

8778

378,17 =c

440,277 ==pp

dtd

781,188 ==pp

dtd

483,1105,0378,105,0)2

781,1440,2(378,18 =+=+

+= c rad

= 97,84

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 8778 2

1

672,17 =c

185,137 = pdt

d

157

019,15)45,82sin25,11(8,628 == pdt

d

05,0)019,15185,13(21672,18 +=

c

705,0672,1 = 967,0= rad/det _________________________________________________________________

45,0=t det tpdtdpp

+=

889

439,18 =p

781,188 ==pp

dtd

)05,0(781,1439,19 +=p

089,0439,1 += 528,1= rad = 55,87

tdt

d ppp += 889

781,18 =p

019,158 = pdt

d

)05,0(019,15781,19 =p

031,1750,0781,1 == rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

9889

483,18 =c

158

781,188 ==pp

dtd

031,199 ==pp

dtd

553,1070,0483,105,0)2

031,1781,1(483,19 =+=+

+= c rad

= 98,88

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 9889 2

1

967,08 =c

019,158 = pdt

d

628,15)55,87sin25,11(8,629 == pdt

d

05,0)628,15019,15(21967,09 +=

c

776,0967,0 = 201,0= rad/det ____________________________________________________________________

50,0=t det tpdtdpp

+=

9910

528,19 =p

031,199 ==pp

dtd

)05,0(031,1528,110 +=p

051,0528,1 += 579,1= rad = 47,90

159

tdt

d ppp += 9910

031,19 =p

628,159 = pdt

d

)05,0(628,15031,110 =p

250,0781,0031,1 == rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

109910

553,19 =c

031,199 ==pp

dtd

250,01010 ==pp

dtd

585,1032,0553,105,0)2

250,0031,1(553,110 =+=+

+= c rad

= 82,90

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 109910 2

1

201,09 =c

628,159 = pdt

d

697,15)47,90sin25,11(8,6210 == pdt

d

05,0)697,15628,15(21201,010 +=

c

783,0201,0 = 582,0= rad/det ____________________________________________________________________

160

55,0=t det tpdtdpp

+=

101011

579,110 =p

250,01010 ==pp

dtd

)05,0(250,0579,111 +=p

012,0579,1 += 591,1= rad = 16,91

tdt

d ppp += 101011

250,010 =p

697,1510 = pdt

d

)05,0(697,15250,011 =p

534,0784,0250,0 == rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

11101011

585,110 =c

250,01010 ==pp

dtd

534,01111 ==pp

dtd

578,1007,0585,105,0)2

534,0250,0(585,111 ==

+= c rad

= 41,90

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 11101011 2

1

161

582,010 =c

697,1510 = pdt

d

683,15)16,91sin25,11(8,6211 == pdt

d

05,0)683,15697,15(21582,011 +=

c

784,0582,0 = 202,0= rad/det ____________________________________________________________________

60,0=t det tpdtdpp

+=

111112

591,111 =p

534,01111 ==pp

dtd

)05,0(534,0591,112 =p

026,0591,1 = 565,1= rad = 67,89

tdt

d ppp += 111112

534,011 =p

683,1511 = pdt

d

)05,0(683,15534,012 =p

318,1784,0534,0 == rad/det

162

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

12111112

578,111 =c

534,01111 ==pp

dtd

318,11212 ==pp

dtd

532,1046,0578,105,0)2

318,1534,0(578,112 ==+

= c rad

= 78,87

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 12111112 2

1

202,011 =c

683,1511 = pdt

d

698,15)67,89sin25,11(8,6212 == pdt

d

05,0)698,15683,15(21202,012 +=

c

784,0202,0 = 986,0= rad/det ____________________________________________________________________

65,0=t det tpdtdpp

+=

121213

565,112 =p

318,11212 ==pp

dtd

163

)05,0(318,1565,113 =p

065,0565,1 = 500,1= rad = 95,85

tdt

d ppp += 121213

318,112 =p

698,1512 = pdt

d

)05,0(698,15318,113 =p

102,2784,0318,1 == rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

13121213

532,112 =c

318,11212 ==pp

dtd

102,21313 ==pp

dtd

447,1085,0532,105,0)2

102,2318,1(532,113 ==+

= c rad

= 91,82

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 13121213 2

1

986,012 =c

698,1512 = pdt

d

503,15)95,85sin25,11(8,6213 == pdt

d

164

05,0)503,15698,15(21986,013 +=

c

780,0986,0 = 766,1= rad/det ____________________________________________________________________

70,0=t det tpdtdpp

+=

131314

500,113 =p

102,21313 ==pp

dtd

)05,0(102,2500,114 =p

105,0500,1 = 395,1= rad = 93,79

tdt

d ppp += 131314

102,213 =p

503,1513 = pdt

d

)05,0(503,15102,214 =p

877,2775,0102,2 == rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

14131314

447,113 =c

102,21313 ==pp

dtd

165

877,21414 ==pp

dtd

323,1124,0447,105,0)2

877,2102,2(447,114 ==+

= c rad

= 80,75

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 14131314 2

1

766,113 =c

503,1513 = pdt

d

490,14)93,79sin25,11(8,6214 == pdt

d

05,0)490,14503,15(21766,114 +=

c

749,0766,1 = 515,2= rad/det ____________________________________________________________________

75,0=t det tpdtdpp

+=

141415

395,114 =p

877,21414 ==pp

dtd

)05,0(877,2395,115 =p

143,0395,1 = 252,1= rad = 73,71

tdt

d ppp += 141415

166

877,214 =p

490,1414 = pdt

d

)05,0(490,14877,215 =p

601,3724,0877,2 == rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

15141415

323,114 =c

877,21414 ==pp

dtd

601,31515 ==pp

dtd

162,1161,0323,105,0)2

601,3877,2(323,115 ==+

= c rad

= 58,66

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 15141415 2

1

515,214 =c

490,1414 = pdt

d

742,11)73,71sin25,11(8,6215 == pdt

d

05,0)742,11490,14(21515,215 +=

c

655,0515,2 = 170,3= rad/det ____________________________________________________________________

167

80,0=t det tpdtdpp

+=

151516

525,115 =p

601,31515 ==pp

dtd

)05,0(601,3525,116 =p

180,0525,1 = 345,1= rad = 06,77

tdt

d ppp += 151516

601,315 =p

742,1115 = pdt

d

)05,0(742,11601,316 =p

188,4587,0601,3 == rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

16151516

162,115 =c

601,31515 ==pp

dtd

188,41616 ==pp

dtd

968,0194,0162,105,0)2

188,4601,3(162,116 ==+

= c rad

= 46,55

168

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 16151516 2

1

170,315 =c

742,1115 = pdt

d

706,13)06,77sin25,11(8,6216 == pdt

d

05,0)706,13742,11(21170,316 +=

c

636,0170,3 = 806,3= rad/det ____________________________________________________________________

85,0=t det tpdtdpp

+=

161617

345,116 =p

188,41616 ==pp

dtd

)05,0(188,4345,117 =p

209,0345,1 = 136,1= rad = 09,65

tdt

d ppp += 161617

188,416 =p

706,1316 = pdt

d

169

)05,0(706,13188,417 =p

873,4685,0188,4 == rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

17161617

968,016 =c

188,41616 ==pp

dtd

873,41717 ==pp

dtd

742,0226,0968,005,0)2

873,4188,4(968,017 ==+

= c rad

= 51,42

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 17161617 2

1

806,316 =c

706,1316 = pdt

d

397,8)09,65sin25,11(8,6217 == pdt

d

05,0)397,8706,13(21806,317 +=

c

552,0806,3 = 368,4= rad/det ____________________________________________________________________

90,0=t det tpdtdpp

+=

171718

170

136,117 =p

873,41717 ==pp

dtd

)05,0(873,4136,118 =p

243,0136,1 = 893,0= rad = 16,51

tdt

d ppp += 171718

873,417 =p

397,817 = pdt

d

)05,0(397,8873,418 =p

292,5419,0873,4 == rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

18171718

742,017 =c

873,41717 ==pp

dtd

292,51818 ==pp

dtd

488,0254,0742,005,0)2

292,5873,4(742,018 ==+

= c rad

= 96,27

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 18171718 2

1

368,417 =c

397,817 = pdt

d

171

656,1)16,51sin25,11(8,6218 == pdt

d

05,0)656,1397,8(21368,418 =

c

168,0368,4 = 536,4= rad/det ____________________________________________________________________

95,0=t det tpdtdpp

+=

181819

893,018 =p

292,51818 ==pp

dtd

)05,0(292,5893,019 =p

264,0893,0 = 629,0= rad = 04,36

tdt

d ppp += 181819

292,518 =p

656,118 = pdt

d

)05,0(656,1292,519 +=p

210,5082,0292,5 =+= rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

19181819

488,018 =c

172

292,51818 ==pp

dtd

210,51919 ==pp

dtd

266,0262,0488,005,0)2

210,5292,5(488,019 ==+

= c rad

= 94,12

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 19181819 2

1

536,418 =c

656,118 = pdt

d

610,16)04,36sin25,11(8,6219 == pdt

d

05,0)610,16656,1(21536,419 ++=

c

456,0536,4 += 080,4= rad/det ____________________________________________________________________

0,1=t det tpdtdpp

+=

191920

629,019 =p

210,51919 ==pp

dtd

)05,0(210,5629,020 =p

260,0629,0 = 369,0= rad = 14,21

173

tdt

d ppp += 191920

210,519 =p

610,1619 = pdt

d

)05,0(610,16210,520 +=p

380,4830,0210,5 =+= rad/det

tdtd

dtd ppcc ++= )(

21

20191920

266,019 =c

210,51919 ==pp

dtd

380,42020 ==pp

dtd

027,0239,0266,005,0)2

380,4210,5(266,020 ==+

= c rad

= 54,1

tdt

ddt

d ppcc

+

+= 20191920 2

1

080,419 =c

610,1619 = pdt

d

489,34)14,21sin25,11(8,6220 == pdt

d

05,0)489,34610,16(21080,420 ++=

c

277,1080,4 += 803,2= rad/det

174

Hasil perhitungan diatas dimasukkan dalam tabel seperti Tabel 7.2.

Tabel 7.2 Perhitungan sudut )(tf= untuk gangguan dihapus pada t = 0,05 det

t

(det)

Metode Euler

(deg)

0 35,2

0,05 36.44

0,10 40.07

0,15 46.24

0,20 54.03

0,25 62.74

0,30 71.33

0,35 78.95

0,40 84.97

0,45 88.98

0,50 90.82

0,55 90.41

0,60 87.78

0,65 82.91

0,70 75.80

0,75 66.58

0,80 55.46

0,85 42.51

0,90 27.96

0,95 12.94

1,0 1.54

175

Kemudian gambarkan kurva ayunan seperti Gambar 7.6.

Gambar 7.6 Kurva Ayunan Dengan Metode Euler Untuk Gangguan Dihapus Pada t = 0,05 detik

176

Program Matlab untuk perhitungan kurva ayunan dengan metode Euler. %==Perhitungan Kurva Ayunan Dengan Metode Euler== format short g delta_t = 0.01; %Data sistem : H =3; f = 60; xd = 0.15; xT = 0.1; xL1 = 0.58; xL2 = 0.58; xb = 0.15; Pm = 0.95; E = 1.2; V = 1.0; %Reaktansi antara tegangan terminal dan infinite bus sebelum gangguan : x1 = xd + xT + xb +((xL1*xL2)/(xL1+xL2)); %Reaktansi antara tegangan terminal dan infinite bus selama gangguan : x2 = 2.297; %Reaktansi antara tegangan terminal dan infinite bus sesudah gangguan : x3 = 0.98; %Harga r1 dan r2 : r1 = x1/x2; r2 = x1/x3; %Kondisi awal : Pe_max = E*V/x1; delta = 180/pi*asin(Pm/(Pe_max)); omega =0; disp('=========================================') disp('======= Harga delta dan omega =======') disp('=========================================') disp('== Waktu ! Delta ! omega ==') disp('== (detik) ! (derjat) ! (radian/detik) ==') disp('=========================================') tp = input(' Waktu Pemutusan(detik)= '); disp('=========================================') %Harga delta dan omega selama gangguan : for t = 0 : 0.01 : (tp - 0.01) d_delta1 = omega; d_omega1 = ((pi*f/H)*(Pm-r1*Pe_max*sin(delta*pi/180))); delta1 = (delta*pi/180 + d_delta1*delta_t)*180/pi; omega1 = omega + d_omega1*delta_t; d_delta2 = omega1;

177

d_omega2 = ((pi*f/H)*(Pm-r1*Pe_max*sin(delta1*pi/180))); fprintf('!%7.2f !%9.3f !%10.3f ! \n',t,delta, omega) delta = delta + ((d_delta1 +d_delta2)*180/(2*pi))*delta_t; plot(t,delta,'bx') grid on title('KURVA AYUNAN') Xlabel(' Waktu, detik') ylabel('Delta, derjat') hold on omega = omega + ((d_omega1 + d_omega2)/2)*delta_t; end disp([' Waktu Penghapus ']) for t = (tp + 0.01) : 0.01 : 0.5 %Harga delta dan omega sesudah gangguan : d_delta1 = omega; d_omega1 = ((pi*f/H)*(Pm-r2*Pe_max*sin(delta*pi/180))); delta1 = (delta*pi/180 + d_delta1*delta_t)*180/pi; omega1 = omega + d_omega1*delta_t; d_delta2 = omega1; d_omega2 = ((pi*f/H)*(Pm-r2*Pe_max*sin(delta1*pi/180))); fprintf('!%7.2f !%9.3f !%10.3f !\n',t,delta, omega) delta = delta + ((d_delta1 +d_delta2)*180/(2*pi))*delta_t; plot(t,delta,'bx') grid on omega = omega + ((d_omega1 + d_omega2)/2)*delta_t; end disp('=================================') delta = 180/pi*asin(Pm/(Pe_max)); omega = 0; for t = 0 : 0.01 : tp d_delta1 = omega; d_omega1 = ((pi*f/H)*(Pm-r1*Pe_max*sin(delta*pi/180))); delta1 = (delta*pi/180 + d_delta1*delta_t)*180/pi; omega1 = omega + d_omega1*delta_t; d_delta2 = omega1; d_omega2 = ((pi*f/H)*(Pm-r1*Pe_max*sin(delta1*pi/180))); delta = delta + ((d_delta1 + d_delta2)*180/(2*pi))*delta_t; omega = omega + ((d_omega1 + d_omega2)/2)*delta_t; end text((tp+0.021),delta,'Waktu Pemutusan =') text((tp+0.3),delta,num2str(tp)) text((tp+0.36),delta,'detik') text(0.03,-10,'Metode Euler')

178

Jika program diatas dijalankan hasilnya adalah: Fault is cleared at 0.050 Sec. time delta Dw s degrees rad/s 0 35.1697 0 0.0500 38.3840 2.2440 0.1000 45.8198 2.7825 0.1500 54.2573 2.9317 0.2000 62.5905 2.7355 0.2500 69.9338 2.2840 0.3000 75.6935 1.6723 0.3500 79.5336 0.9748 0.4000 81.2947 0.2396 0.4500 80.9210 -0.5040 0.5000 78.4227 -1.2317 Plot kurva ayunan seperti ditunjukkan Gambar 7.6.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.535

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85One-machine system swing curve. Fault cleared at 0.05s

t, sec

Del

ta, d

egre

e

Gambar 7.6 Kurva Ayunan dengan metode Euler