METODE NUMERIKTKM4104

Kuliah ke-3

SOLUSI PERSAMAAN

NONLINIER 1

SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER

Metode pengurung (Bracketing Method)

Metode Konvergen

Mulai dengan terkaan awal yang mengurungatau memuat akar dalam selang [a,b] dankemudian secara bersistem mengurangi lebarkurungan.

Contoh: Bisection, Regula Falsi.

SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER

Metode terbuka (Open Method)

Iterasi coba-coba yang sistematis

Bisa konvergen kadangkala divergen

Contoh: Newton Raphson, Secant.

METODE TERTUTUP

Syarat cukup keberadaan akar: Jika f(a) f(b) < 0 dan f(x) menerus di dalam selang [a, b], maka paling sedikit menerus di dalam selang[a, b], maka paling sedikit terdapat satu buahakar persamaan f(x) = 0 di dalam selang[a,b].

Selang [a, b] harus berbeda tanda pada nilai-nilai fungsinya supaya terdapat minimal 1 buah akar.

METODE TERTUTUP

METODE TERTUTUP

Kondisi yang mungkin terjadi

1. f(a)f(b) < 0, maka terdapat akar sebanyakbilangan ganjil

2. f(a)f(b) > 0, maka terdapat akar sebanyakbilangan genap (termasuk tidak ada akar)

METODE TERTUTUP

Cara menentukan selang yang cukup kecil danmengandung akar:

1. Membuat grafik fungsi di bidang X-Y, lalumelihat di mana perpotongannya dengansumbu-X.

2. Membuat tabel yang memuat nilai-nilai fungsipada pada titik-titik absis yang berjaraktetap (h). pada pada titik-titik absis yang berjarak tetap (h). Nilai h dibuat cukup kecil.

METODE BAGI DUA (BISECTION METHOD)

Algoritma

METODE BAGI DUA (BISECTION METHOD)

Penentuan x1 dan x2

Evaluasi : f (xmid) = 0 |f (xmid)|

METODE BAGI DUA (BISECTION METHOD)

f(x1) dan f(xmid) sama tanda x1 = xmid

f(x2) dan f(xmid) sama tanda x2 = xmid

METODE BAGI DUA (BISECTION METHOD)

No x1 x2 f(x1) f(x2) xmid f(xmid)

1 2,5 2,6 -0,875 0,376 2,55 -0,269

2 2,55 2,6 -0,269 0,376 2,575 0,049

3 2,55 2,575 -0,269 0,049 2,562 -0,117

4 2,562 2,575 -0,117 0,049 2,568 -0,041

5 2,568 2,575 -0,041 0,049 2,572 0,010

6 2,568 2,572 -0,041 0,010 2,570 -0,015

7 2,570 2,572 -0,041 0,010 2,571 -0,003

Sehingga salah satu akar yang dicari adalah 2,571

Contoh 1: Tentukan nilai nol dari suatu fungsi y = x3 - 7 x + 1 dengan = 0,01

METODE BAGI DUA (BISECTION METHOD)

Sehingga salah satu akar yang dicari adalah 0.605263

Contoh 2: Temukan akar dari suatu fungsi y = ex – 5x2dengan = 0,00001

METODE BAGI DUA (BISECTION METHOD)

Kasus yang Mungkin Terjadi pada Penggunaan Metode Bagidua:

1. Jumlah akar lebih dari 1 1. Bila dalam selang [a, b] terdapat lebih dari satu akar

(banyaknya akar ganjil), hanya satu buah akar yang dapat ditemukan.

2. Cara mengatasinya: gunakan selang [a,b] yang cukupkecil yang memuat hanya satu buah akar

2. Akar gandaMetode bagidua tidak berhasil menemukan akar ganda. Hal ini disebabkan karena tidak terdapat perbedaan tanda di ujung-ujung selang yang baru

METODE BAGI DUA (BISECTION METHOD)

Kasus yang Mungkin Terjadi pada Penggunaan Metode Bagidua:

3. Singularitas

Pada titik singular, nilai fungsinya tidak terdefinisi. Bilaselang [a, b] mengandung titik singular, lelaran metodebagidua tidak pernah berhenti. Penyebabnya, metodebagidua menganggap titik singular sebagai akarkarena lelaran cenderung konvergen. Yang sebenarnya, titik singular bukanlah akar, melainkan akar semu

METODE REGULA FALSI

Kelemahan metode bagidua adalah kecepatankonvergensinya sangat lambat.

Kecepatan konvergensi dapat ditingkatkan bilanilai f(a) dan f(b) juga turut diperhitungkan.

Bila f(a) lebih dekat ke nol daripada f(b), tentuakar lebih dekat ke x = a daripada ke x = b.

Metode yang memanfaatkan nilai f(a) dan f(b) iniadalah metode regula-falsi (bahasa Latin) ataumetode posisi palsu. (false position method)

METODE REGULA FALSI

Evaluasi suatu akar : | f(x*) |

xmid = Bisection

x* = xn–f(xn) Regula-Falsi

lelaran n = 0,1,2,…

2

1 nn xx

)()( 1

1

nn

nn

xx

xx

ff

METODE REGULA FALSI

METODE REGULA FALSI

Secara umum, metode regula-falsi lebih cepatdaripada metode bagidua. Tetapi, adakemungkinan metdoe regulasi lebih lambat

Kasus seperti ini akan terjadi bila kurvafungsinya cekung (konkaf) di dalam selang[a,b]

Akibatnya, garis potongnya selalu terletak di atas kurva atau selalu terletak di bawahkurva.

METODE REGULA FALSI

METODE REGULA FALSIContoh : Temukan akar dari suatu fungsi y = ex – 5x2dengan = 0,00001 dalam

selang [0,1]

Hampiran akar x adalah 0.605267

METODE REGULA FALSI

Pada kondisi yang paling ekstrim, |b-ar| tidakpernah < ε karena nilai b selalu tetap padalelaran r = 0,1,2,…

Titik ujung yang tidak pernah berubah inidisebut stagnant point

Pada stagnant point berlaku, |b-ar| = |b-ar| untuk r = 0,1,2,…

PERBAIKAN METODE REGULA FALSI

Tentukan titik ujung selang yang tidak berubah(jumlah perulangan > 1) stagnant point

Nilai f pada stagnant point diganti menjadisetengah kalinya

PERBAIKAN METODE REGULA FALSIContoh : Temukan akar dari suatu fungsi y = ex – 5x2dengan = 0,00001 dalam

selang [0,1]

Hampiran akar x adalah 0.605267

METODE REGULA FALSI

Kerjakan!!!

Temukan salah satu akar dari suatu fungsi y = x3 -7 x + 1 menggunakan metode regula-falsidengan = 0,001?