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Introduzione al MatLab
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Metodi Numerici con Elementi di Programmazione
A.A. 2018-2019
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Docente: Vittoria Bruni Email: [email protected] Ufficio: Via A. Scarpa, Pal. B, I piano, Stanza n. 16 Tel. 06 49766648 Ricevimento: consultare la sezione Avvisi nella pagina web dedicata al corso
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Il materiale didattico è disponibile sul sito http://ingaero.uniroma1.it/
nella pagina dedicata al corso Metodi Numerici con elementi di
Programmazione
Per consultazione: Getting Started with MatLab – The mathworks
www.mathworks.com
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Esercizio
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Lo schema alle differenze finite per il seguente problema differenziale
richiede la soluzione del seguente sistema
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Si ottiene il seguente risultato
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Si ottiene il seguente risultato
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Esercizio Le oscillazioni di un pendolo possono essere descritte dall'equazione differenziale del secondo ordine non lineare dove L è la lunghezza del pendolo, g è l'accelerazione di gravità e è l'angolo tra il pendolo e la verticale. Il problema è completato con le condizioni iniziali Scrivere tre funzioni matlab per la soluzione di sistemi di equazioni differenziali del primo ordine rispettivamente mediante il metodo di Eulero, di Heun e di Runge Kutta del IV ordine con passo di discretizzazione h. Usare le funzioni per approssimare la soluzione del problema del pendolo non lineare nei primi 10 secondi di oscillazione sapendo che Confrontare i risultati ottenuti con quelli prodotti dalla funzione Matlab ode45.m Confrontare i risultati al variare di L, del tempo si osservazione e delle condizioni iniziali.
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Soluzione L'equazione differenziale del secondo ordine non lineare si trasforma nel seguente sistema di equazioni differenziali del primo ordine
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1. Si scrive la funzione Matlab che descrive il problema specifico
function [f] = eqPendolo(t,theta) % Equazione differenziale che descrive le oscillazioni del pendolo % SINTASSI % f = eqPendolo(t,theta) % INPUT % t : Valore della variabile indipendente % theta : Valore della funzione vettoriale theta % OUTPUT %f: Valore di f(t, theta) in t e theta % costante di gravità g = 9.81; % lunghezza del pendolo L = 0.6; % equazione differenziale f = [theta(2);-g/L*sin(theta(1))];
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2. Si scrivono le funzioni Matlab che risolvono un sistema di equazioni differenziali rispettivamente con i metodo di Eulero, Heun e Runge Kutta del IV ordine
function [T] = Eulero_sistemi(I,Y0,h,ffun) % Soluzione del sistema di due equazioni differenziali % del primo ordine Y’=ffun(x,Y) con il metodo di Eulero esplicito % % INPUT % I = intervallo in cui si cerca la soluzione [x0, xN] % Y0= vettore delle condizioni iniziali % h = passo di discretizzazione % ffun = funzione del problema differenziale % % OUTPUT % T = matrice contenente la soluzione [xi;Yi+ nell’intervallo *x0,xN+ n_step = (I(end)-I(1))/h +1; L=length(Y0); xi(1) = I(1); Yi(1:L,1) = Y0(:);
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for i = 2:n_step x = xi(i-1); Y = Yi(:,i-1); xi(i) = x + h; Yi(:,i) = Y + h*ffun(x,Y); end T = [xi;Yi];
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function [T] = Heun_sistemi(I,Y0,h,ffun) % Soluzione del sistema di due equazioni differenziali % del primo ordine Y’=ffun(x,Y) con il metodo di Heun % % INPUT % I = intervallo in cui si cerca la soluzione [x0, xN] % Y0= vettore delle condizioni iniziali % h = passo di discretizzazione % ffun = funzione del problema differenziale % % OUTPUT % T = matrice contenente la soluzione [xi;Yi+ nell’intervallo *x0,xN+ n_step = (I(end)-I(1))/h +1; L=length(Y0); xi(1) = I(1); Yi(1:L,1) = Y0(:);
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for i = 2:n_step x = xi(i-1); Y = Yi(:,i-1); K1 = ffun(x,Y); K2 = ffun(x+h,Y+h*K1); xi(i) = x + h; Yi(:,i) = Y + h*(K1 + K2)/2; end T = [xi;Yi];
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function [T] = RK_sistemi(I,Y0,h,ffun) % Soluzione del sistema di due equazioni differenziali % del primo ordine Y’=ffun(x,Y) con il metodo di Runge-Kutta classico % % INPUT % I = intervallo in cui si cerca la soluzione [x0, xN] % Y0= vettore delle condizioni iniziali % h = passo di discretizzazione % ffun = funzione del problema differenziale % % OUTPUT % T = matrice contenente la soluzione [xi;Yi+ nell’intervallo *x0,xN+ n_step = (I(end)-I(1))/h +1; L=length(Y0); xi(1) = I(1); Yi(1:L,1) = Y0(:);
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for i = 2:n_step x = xi(i-1); Y = Yi(:,i-1); K1 = ffun(x,Y); K2 = ffun(x+0.5*h,Y+0.5*h*K1); K3 = ffun(x+0.5*h,Y+0.5*h*K2); K4 = ffun(x+h,Y+h*K3); xi(i) = x + h; Yi(:,i) = Y + h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6; end T = [xi;Yi];
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3. Si scrive uno script Matlab che risolve richiama le funzioni Eulero_sistemi , Heun_sistemi e RK_sistemi con gli input relativi al problema differenziale specifico
% File mainPendolo.m I = [0, 10]; Y0 = [pi/6;0]; h = 0.05; [T_E] = Eulero_sistemi(I,Y0, h,@eqPendolo); [T_H] = Heun_sistemi(I,Y0, h,@eqPendolo); [T] = RK_sistemi(I,Y0, h,@eqPendolo);
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% grafico dei risultati Eulero figure subplot(2,1,1) plot(T_E(1,:),T_E(2,:),’o’) xlabel(‘t’) ylabel(‘\theta(t) - Eulero’) title(‘oscillazione’) subplot(2,1,2) plot(T_E(1,:),T_E(3,:),’*’) xlabel(‘t’) ylabel(‘d\theta(t) - Eulero’) title(‘velocita’’ angolare’)
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% grafico dei risultati Heun figure subplot(2,1,1) plot(T_H(1,:),T_H(2,:),’o’) xlabel(‘t’) ylabel(‘\theta(t) - Heun’) title(‘oscillazione’) subplot(2,1,2) plot(T_H(1,:),T_H(3,:),’*’) xlabel(‘t’) ylabel(‘d\theta(t) - Heun’) title(‘velocita’’ angolare’)
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% grafico dei risultati Runge-Kutta IV ordine figure subplot(2,1,1) plot(T(1,:),T(2,:),’o’) xlabel(‘t’) ylabel(‘\theta(t) – RK4’) title(‘oscillazione’) subplot(2,1,2) plot(T(1,:),T(3,:),’*’) xlabel(‘t’) ylabel(‘d\theta(t) – RK4’) title(‘velocita’’ angolare’)
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4. Usare lo help di Matlab per conoscere cosa implementa la funzione ode45 e come usarla; quindi, completare lo script mainPendolo.m utilizzando la funzione ode45 per il problema specifico
% File mainPendolo.m options = odeset('Vectorized','on','InitialStep',h); [t,Y]=ode45(@eqPendolo,I,Y0,options); subplot(2,1,1), hold on plot(t,Y(:,1),’ro’);, legend(‘Rksistemi’,’ode45’) subplot(2,1,2), hold on plot(t,Y(:,2),’r*’); legend(‘Rksistemi’,’ode45’)
implementa una coppia
di metodi Runge-Kutta espliciti di ordine 4 e 5, con
passo di discretizzazione
adattivo. Il metodo è del quarto ordine
e ad un passo
Usare help!!!
Scrivere le istruzioni necessarie per confrontare il risultato di ode45 anche con il risultato prodotto dai metodi di Eulero e di Heun
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5. Richiamare il file mainPendolo.m dal Command Window; osservare e commentare i risultati
% File mainPendolo.m >> mainPendolo
EULERO
Nota: Osservare la griglia di discretizzazione usata dalla funzione ode45
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HEUN
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RK4
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6. Modificare i parametri del problema e/o dei metodi numerici, richiamare il file mainPendolo.m dal Command Window; osservare e commentare i risultati
Caso h = 0.5 Eulero
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Caso h = 0.5 Heun
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Caso h = 0.5 RK4
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6. Modificare i parametri del problema e/o dei metodi numerici, richiamare il file mainPendolo.m dal Command Window; osservare e commentare i risultati
Caso h = 0.05 tf=10 Eulero
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Caso h = 0.05 tf=10 Heun
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Caso h = 0.05 tf=10 RK4
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6. Modificare i parametri del problema e/o dei metodi numerici, richiamare il file mainPendolo.m dal Command Window; osservare e commentare i risultati
Caso h = 0.1 L=0.06 tf=1 Eulero
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Caso h = 0.1 L=0.06 tf=1 Heun
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Caso h = 0.1 L=0.06 tf=1 RK4
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Esercizio Scrivere la funzione Matlab SOR_opt.m che implementi il metodo iterativo S.O.R.. La funzione deve ricevere in input la matrice A del sistema, il vettore b dei termini noti, il vettore dell’approssimazione iniziale X0, l’accuratezza eps richiesta alla approssimazione della soluzione prodotta e il numero massimo di iterazioni consentite max_iter.
Se il parametro di rilassamento non è dato in input, la funzione deve assegnare alla variabile omega il valore del parametro ottimo.
La funzione deve restituire in output, la approssimazione X della soluzione del sistema, il vettore ERR dell’errore massimo commesso ad ogni iterazione e il numero di iterazioni eseguite iter.
Se richiesto, la funzione deve restituire come variabile output il parametro di rilassamento omega usato.
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Esercizio Scrivere la funzione Matlab SOR_opt.m che implementi il metodo iterativo S.O.R.. La funzione deve ricevere in input la matrice A del sistema, il vettore b dei termini noti, il vettore dell’approssimazione iniziale X0, l’accuratezza eps richiesta alla approssimazione della soluzione prodotta e il numero massimo di iterazioni consentite max_iter.
Se il parametro di rilassamento non è dato in input, la funzione deve assegnare alla variabile omega il valore del parametro
ottimo. La funzione deve rifiutare valori di omega (0,2)
La funzione deve restituire in output, la approssimazione X della soluzione del sistema, il vettore ERR dell’errore massimo commesso ad ogni iterazione e il numero di iterazioni eseguite iter.
Se richiesto, la funzione deve restituire come variabile output il parametro di rilassamento omega usato.
???
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Strutture dati Cell permette di collezionare in un’unica variabile: •oggetti di vario tipo (vettori, matrici, variabili numeriche o logiche, caratteri o stringhe) •variabili dello stesso tipo ma di dimensione diversa
Variabili di tipo cell si definiscono tra parentesi graffe. Le componenti si elencano una dopo l’altra e separate da virgole C = {componente1, componente2, …. , componenteN}; C{i} estrae la i-esima componente di C C{i}(k) estrae (se esiste) il k-simo elemento della i-esima componente di C
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Strutture dati Esempio: >> C = ,‘ciao’, *4 3 1 2+,3,*1 7 2; 0 5 8; 1 0 9+-;
>> whos Name Size Bytes Class C 1x4 488 cell array >>C{2} % estrae il secondo elemento della variabile di tipo cell C ans = 4 3 1 2 >>C{4}(2,3) %estrae l’elemento con indice di riga 2 e indice di colonna 3 della quarta componente di C ans = 8
definisce una variabile cell composta da 4 elementi: • una stringa • un vettore • un numero • una matrice
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Strutture dati
Nota: una variabile di tipo Cell contiene copie di variabili e non puntatori a variabili. Quindi se C ={A,B}, con A, B due generiche variabili, il contenuto di C non cambia se in seguito A e B sono modificate Esempio: >> A = [2 5 3 6]; >> B = [1 5; 8 9;3 6]; >> C = {A,B}; >> B = 1; >> C{2} ans = 1 5 8 9 3 6
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Strutture dati C può essere inizializzata con il comando C = cell(m,n) : C è composta da mxn matrici vuote Celldisp(C): visualizza il contenuto di una cell Cellplot(C): disegna il contenuto di una cell Le celle possono essere annidate, cioè un elemento di una cell può essere esso stesso una cell. Esempio: C = cell(1,4); A = [1 2 3; 4 5 6];, v = [1 4 6]; C{1} = {A,v}; C{2} = 4; C,4- = ‘stringa’; Per estrarre il contenuto della matrice A si digita il comando C{1}{1} gli indici sono ordinati da sinistra verso destra, dalla cell più esterna a quella più interna
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Alcune funzioni
varargin = variabile di tipo cell contenente le variabili di input di una funzione. Si usa quando gli input di una funzione possono variare (esistono parametri di default) Oss: l’uso di varargin richiede un ordine preciso delle variabili di input. L’assegnazione dei valori di default deve essere compresa nel primo blocco di istruzioni della funzione combinata con il comando nargin. nargin = numero delle variabili di input
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Alcune funzioni Esempio: function [R] = confronta(x,varargin) % la funzione stabilisce se un vettore x ha elementi maggiori di % un valore fissato T. Se T non viene dato in input, viene assegnato il % valore di default 256. Lo output è la variabile logica R che vale 1 se % esiste almeno un elemento in x che risulta maggiore di T, 0 altrimenti. if nargin == 0 error(‘Attenzione: e’’ necessario introdurre un vettore’) elseif nargin == 1 T = 256; elseif nargin == 2 T = varargin{1}; else error(‘Troppe variabili di input!!!’) end ind = find(x>T); if isempty(ind), R = 0, else R=1; end
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Alcune funzioni OSS: per lo output si usa varargout combinata con nargout (numero delle variabili di output) Esempio: function [R,varargout] = confronta(x,varargin) % la funzione stabilisce se un vettore x ha elementi maggiori di % un valore fissato T. Se T non viene dato in input, viene assegnato il valore di % default 256. Lo output è la variabile logica R che vale 1 se esiste almeno % un elemento > T, 0 altrimenti. La seconda variabile di output, se richiesta, % è il vettore contenente le posizioni degli elementi di % x > T ……… ……… ind = find(x>T); if isempty(ind), R = 0, else R=1; end if nargout == 2 varargout{1} = ind; elseif nargout>2 error(‘Troppe variabili di output’) end
Come funzione precedente
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Esercizio 1
• Scrivere la funzione Matlab num_cond.m che legga in input una matrice quadrata A e la variabile numerica tipo_norma che può essere uguale a 1, 2 o inf. La funzione restituisca in output il numero di condizionamento rispetto alla norma indicata nella variabile tipo_norma. Se quest’ ultima non viene data in input, la funzione deve calcolare il numero di condizionamento rispetto alla norma infinito.
Si usi la funzione num_cond.m per calcolare il numero di condizionamento delle seguenti matrici
199.0
01.11 A
199
1011 A
40
81
32
A
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48
Soluzione
• Determinare la lista delle variabili di input e di output
Variabili di input: - matrice A di cui calcolare in numero di condizionamento - tipo di norma (tipo_norma) rispetto al quale calcolare il condizionamento. tipo_norma può non essere data in input
Variabili di output: - numero di condizionamento K Controllo sugli input: - controllo sul numero degli input - la matrice deve essere quadrata - il tipo di norma deve essere un numero pari a 1, 2, o inf
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49
• Aprire la finestra di Editor
• Salvare il file come num_cond.m nella directory di lavoro • Scrivere la seguente istruzione che contiene la lista degli output e degli input della funzione function [K] = num_cond(A,varargin) • Scrivere lo help della funzione % function [K] = num_cond(A,varargin) % calcola il numero di condizionamento della matrice quadrata % A rispetto alla norma indicata in tipo_norma. % Se tipo_norma non è data in input, il condizionamento è calcolato % rispetto alla norma infinito. tipo_norma non può assumere valori % diversi da ‘1’, ‘2’ o ’inf’
La funzione prevede parametri di input opzionali!
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50
• Controllo del numero delle variabili di input e controllo degli input
if nargin == 0 % non sono stati assegnati input error('E'' necessario definire una matrice!!!') elseif nargin == 1 % è stato passato un solo input tipo_norma = inf; elseif nargin == 2
tipo_norma = varargin{1}; if (tipo_norma ~= 1) & (tipo_norma ~= 2) & (tipo_norma ~= inf) error('la norma deve essere 1 2 o inf') end
else error('troppe variabili di input!!!')
end
Nota: poiché è stato assegnato un solo
input, allora necessariamente è la matrice (o comunque
deve essere assegnato alla variabile che corrisponde alla
matrice). In questo caso è necessario
assegnare il valore di default alla variabile
tipo_norma, necessaria per il calcolo del
numero di condizionamento
Nota: poiché sono stati assegnati due input,
allora necessariamente il primo è la matrice
mentre il secondo deve essere assegnato alla variabile tipo_norma,
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• Controllo del numero delle variabili di input
if nargin == 0 % non sono stati assegnati input error('E'' necessario definire una matrice!!!') elseif nargin == 1 % è stato passato un solo input tipo_norma = inf; elseif nargin == 2
tipo_norma = varargin{1}; if (tipo_norma ~= 1) & (tipo_norma ~= 2) & (tipo_norma ~= inf) error('la norma deve essere 1 2 o inf') end
else error('troppe variabili di input!!!') end
Nota: Lo input da assegnare a tipo_norma
è il primo elemento della cell varargin, cioè quella contenente tutte
le variabili di input opzionali con cui è stata chiamata la
funzione
Nota: poiché sono stati assegnati più di due
input, si da il messaggio di errore
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• Scrivere la lista di istruzioni per il controllo degli input dim = size(A); if dim(1)~=dim(2) error('La matrice deve essere quadrata') end if det(A)==0 error('La matrice e’’ singolare') end
• Scrivere la lista di istruzioni per il calcolo del numero di condizionamento rispetto al tipo di norma scelto
IA = inv(A); % matrice inversa di A NA = norm(A,tipo_norma); % norma di A NIA = norm(IA,tipo_norma); % norma della matrice inversa K = NA*NIA; % numero di condizionamento
• Salvare il file
Nota: il controllo su tipo_noma è stato fatto nel caso in cui nargin=2 quindi non va ripetuto
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Dalla finestra del Command Window >> A = [1 1.01;0.99 1]; >> KA_1 = num_cond(A,1); >> disp(KA_1) 4.0401e+004 >> KA = num_cond(A); >> disp(KA) 4.0401e+004 >> KA = num_cond(A,-1); ??? Error using ==> num_cond at 18 la norma deve essere 1 2 o inf >> A = [2 3; -1 8; 0 4]; >>KA_inf =num_cond(A,inf); ??? Error using ==> num_cond at 10 La matrice deve essere quadrata
Non è stato specificato il tipo di norma
il valore di input
assegnato per tipo di norma
non è accettabile
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Esercizio 2
• Modificare la funzione Matlab num_cond.m e chiamarla num_cond2.m. La
funzione deve prevedere come ulteriori variabili di output, se richieste, la matrice inversa di A e la norma di A calcolata rispetto a quanto indicato in tipo_norma.
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• Aprire la finestra di Editor
• Salvare il file come num_cond2.m nella directory di lavoro • Scrivere la seguente istruzione che contiene la lista degli output e degli input della funzione function [K,varargout] = num_cond2(A,varargin) • Scrivere lo help della funzione % function [K,varargout] = num_cond2(A,varargin) % calcola il numero di condizionamento K della matrice quadrata % A rispetto alla norma indicata in tipo_norma. % Se tipo_norma non è data in input, il condizionamento è calcolato % rispetto alla norma infinito. tipo_norma non può assumere valori % diversi da ‘1’, ‘2’ o ’inf’ % Se si chiedono due output, allora il primo è K e il secondo è la % matrice inversa di A % Se si chiedono tre output, il primo è K, il secondo è la matrice % inversa di A, il terzo è la norma di A
La funzione prevede parametri opzionali sia di input che di
output
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if nargin == 0 % non sono stati assegnati input error('E'' necessario definire una matrice!!!') elseif nargin == 1 % è stato passato un solo input tipo_norma = inf; elseif nargin == 2 % sono stati specificati due input
tipo_norma = varargin{1}; if (tipo_norma ~= 1) & (tipo_norma ~= 2) & (tipo_norma ~= inf) error('la norma deve essere 1 2 o inf') end
else % sono stati assegnati input più di due input error('troppe variabili di input!!!')
end
• Lista di istruzioni per il controllo degli input dim = size(A); if dim(1)~=dim(2) error('La matrice deve essere quadrata') end if det(A)==0 error('La matrice e’’ singolare') end
• Controllo del numero delle variabili di input
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• Lista di istruzioni per il calcolo del numero di condizionamento rispetto al tipo di norma scelto
IA = inv(A); % matrice inversa di A NA = norm(A,tipo_norma); % norma di A NIA = norm(IA,tipo_norma); % norma della matrice inversa K = NA*NIA; % numero di condizionamento
• Controllo e assegnazioni output
if nargout == 2 % sono stati richiesti due output varargout{1} = IA; elseif nargout == 3 %sono stati richiesti tre output varargout{1} = IA; varargout{2} = NA; elseif nargout >3% sono stati richiesti troppi output
error('troppe variabili di output!!!') end
Nota: poiché sono stati richiesti due
output, allora necessariamente il primo è K mentre il secondo è l’inversa di A, che quindi diventa il primo elemento della
variabile di tipo cell varargout, che
contiene tutti gli output opzionali
richiesti
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• Lista di istruzioni per il calcolo del numero di condizionamento rispetto al tipo di norma scelto
IA = inv(A); % matrice inversa di A NA = norm(A,tipo_norma); % norma di A NIA = norm(IA,tipo_norma); % norma della matrice inversa K = NA*NIA; % numero di condizionamento
• Controllo e assegnazioni output
if nargout == 2 % sono stati richiesti due output varargout{1} = IA; elseif nargout == 3 %sono stati richiesti tre output varargout{1} = IA; varargout{2} = NA; elseif nargout >3% sono stati richiesti troppi output
error('troppe variabili di output!!!') end
Nota: poiché sono stati richiesti tre
output, allora necessariamente il
primo è K, il secondo è l’inversa di A, che diventa il primo elemento della variabile di tipo cell varargout, mentre il terzo è la norma di A che diventa il
secondo elemento di varargout
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Dalla finestra del Command Window >> A = [1 1.01;0.99 1]; >> KA_1 = num_cond2(A,1); >> disp(KA_1) 4.0401e+004 >> [KA,B] = num_cond2(A); >> disp(KA) 4.0401e+004 >> disp(B) 1.0e+004 * 1.0000 -1.0100 -0.9900 1.0000 >> [KA,B,nA] = num_cond2(A); >> disp(nA) 2.0100
Non è stato specificato il tipo di norma
E’ richiesto un terzo output
E’ richiesto un secondo output
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Esercizio Tornando all' esercizio proposto a pag. 1 function [X,ERR,iter,varargout] = SOR_opt(A,b,X0,eps,max_iter,varargin) % function [X, ERR, iter] = SOR_opt(A,b,X0,eps,max_iter,varargin) % Risolve un sistema lineare con metodo di sovra-rilassamento SOR % eventualmente usando il parametro ottimo qualora questo non sia % un parametro di input % INPUT: % A = matrice dei coefficienti del sistema % B = vettore dei termini noti % X0 = vettore dell'approssimazione iniziale % eps = accuratezza della soluzione % max_iter = numero massimo di iterazioni consentite % varargin{1} = omega, parametro di rilassamento del metodo % OUTPUT: % X = vettore soluzione % ERR = vettore dell'errore massimo per ogni iterazione % iter = numero di iterazioni eseguite % varargout{1} = valore del parametro di rilassamento
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% controllo e assegnazione valori di default alle variabili di input if nargin == 5 L = tril(A); Minv = inv(L); U = triu(A,1); C_GS = -Minv*(U); rho_GS = max(abs(eig(C_GS))); if (rho_GS >= 1) error('Attenzione: ==>> rho di Gauss Seidel > 1') else omega = 2/(1+sqrt(1-rho_GS)); end elseif nargin == 6 omega = varargin{1}; if (omega<=0 | omega >= 2) error(‘il parametro di rilassamento omega non e'' in (0,2)') end df = def_pos(A);
Modificare includendo un controllo per nargin<5 e sul determinante della matrice
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if df == 0 % Costruzione matrice di iterazione L = tril(A,-1); D = diag(diag(A)); Minv = inv(L+D/omega); U = triu(A,1); C_sor = -Minv*(U-(1-omega)*D/omega); % Verifica C.N.S. di convergenza per i metodi iterativi rhoCsor = max(abs(eig(C_sor))) if (rhoCsor >= 1) error('Attenzione: ==>> rho > 1, il metodo non converge') end end elseif nargin > 6 error('troppe variabili di input') end
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% controllo e assegnazione valori di default alle variabili di output
if nargout == 4 varargout{1} = omega; elseif nargout > 4 error('troppe variabili di output') end % Calcolo delle dimensioni della matrice dimA = size(A);, n = dimA(1);, X0 = X0(:)';
% Ciclo iterativo err = 100;, iter = 0;, ERR = [];, X = X0; tic, while (err>eps & iter<= max_iter) for i = 1:n V(i)=(-sum(A(i,1:i-1).*X(1:i-1))-sum(A(i,i+1:n).*X0(i+1:n))+b(i))/A(i,i); X(i)=omega * V(i) + (1 - omega)*X0(i); end err = norm(X-X0,inf); ERR = [ERR err];, X0 = X;, iter = iter + 1; end, toc, if (iter > max_iter) & (err>eps) fprintf('accuratezza richiesta non raggiunta dopo %7d iterazioni',max_iter) end
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function [df] = def_pos(A) %function [df] = def_pos(A) % stabilisce se la matrice quadrata A è simmetrica e definita positiva usando il % criterio di Sylvester % % INPUT % A = matrice quadrata % % OUTPUT % df = variabile logica. df = 1 se A è simmetrica e definita positiva, % 0 altrimenti % controlla se A è una matrice quadrata [m,n] = size(A); if m ~=n error('la matrice A deve essere quadrata!!!') end
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S = A==A‘; if all(S) i = 1; while (i<=m) & (det(A(1:i,1:i))>0) % controllo prima la dimensione e poi il % determinante!!! i = i+1; end if i==m+1 df = 1; disp('la matrice e'' simmetrica e definita positiva') else df = 0; disp('la matrice e'' simmetrica ma non e'' definita positiva') end else disp('la matrice non e'' simmetrica') df = 0; end
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Switch
Switch-case-Otherwise:
switch nome_variabile (o espressione)
case valore1
1° blocco di istruzioni
case valore2
2° blocco di istruzioni
……….
otherwise
ultimo blocco di istruzioni
end
Se il valore di nome_variabile è valore1 viene eseguito il 1° blocco di
istruzioni;
Se è valore2, il 2° blocco di istruzioni, e così via,
altrimenti esegue l’ultimo blocco di istruzioni
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Switch
Esempio: a = rem(b,3); % resto della divisione per 3
switch a
case 0
c = b/3;
case 1
c = (b-a)/3;
otherwise
c = b-a/2;
end
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71
Esercizio
• Modificare la funzione Matlab num_cond2.m e chiamarla num_cond3.m
usando opportunamente l’istruzione switch/case/otherwise/end
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72
function [K,varargout] = num_cond3(A,varargin) % function [K,varargout] = num_cond3(A,varargin) % calcola il numero di condizionamento K della matrice quadrata % A rispetto alla norma indicata in tipo_norma. % Se tipo_norma non è data in input, il condizionamento è calcolato % rispetto alla norma infinito. tipo_norma non può assumere valori % diversi da ‘1’, ‘2’ o ’inf’ % Se si chiedono due output, allora il primo è K e il secondo è la % matrice inversa di A % Se si chiedono tre output, il primo è K, il secondo è la matrice % inversa di A, il terzo è la norma di A
A parte il nome, in questa prima parte non
cambia nulla rispetto alla funzione num_cond2
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73
switch nargin case 0 % non sono assegnati input error('E'' necessario definire una matrice!!!') case 1 % è assegnato un solo input, cioè la matrice tipo_norma = inf; case 2 % sono assegnati due input, cioè la matrice e tipo_norma tipo_norma = varargin{1};
if (tipo_norma ~= 1) & (tipo_norma ~= 2) & (tipo_norma ~= inf) error('la norma deve essere 1 2 o inf') end
otherwise error('troppe variabili di input!!!')
end
• Controllo del numero delle variabili di input
L’istruzione condizionale annidata
if elseif elseif else end usata in num_cond2 è
sostituita con l’istruzione switch sulla variabile
nargin
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• Lista di istruzioni per il controllo degli input
dim = size(A); if dim(1)~=dim(2) error('La matrice deve essere quadrata') end if det(A)==0 error('La matrice e’’ singolare') end
• Lista di istruzioni per il calcolo del numero di condizionamento rispetto al tipo di norma scelto
IA = inv(A); % matrice inversa di A NA = norm(A,tipo_norma); % norma di A NIA = norm(IA,tipo_norma); % norma della matrice inversa K = NA*NIA; % numero di condizionamento
non cambia nulla rispetto alla funzione num_cond2
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• Controllo e assegnazioni output
switch nargout case 2 % sono stati richiesti due output varargout{1} = IA; case 3 %sono stati richiesti tre output varargout{1} = IA; varargout{2} = NA; otherwise % il numero delle variabili di output richieste è troppo % alto o troppo basso
error('controllare il numero delle variabili di output!!!') end
• L’istruzione condizionale annidata if elseif else end usata in num_cond2 è sostituita con l’istruzione switch sulla variabile nargout
• otherwise corrisponde sia ad un numero di output troppo grande rispetto a quello previsto, sia ad un numero troppo piccolo!!!
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Dalla finestra del Command Window >> A = [1 1.01;0.99 1]; >> KA_1 = num_cond3(A,1); >> disp(KA_1) 4.0401e+004 >> [KA,B] = num_cond3(A); >> disp(KA) 4.0401e+004 >> disp(B) 1.0e+004 * 1.0000 -1.0100 -0.9900 1.0000 >> [KA,B,nA] = num_cond3(A); >> disp(nA) 2.0100
non cambia nulla rispetto alla funzione num_cond2
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Esercizio Modificare la funzione SOR_opt.m assegnando valori di default alle variabili X0, eps, max_iter e omega nel caso in cui queste non siano date in input. La funzione restituisca in output la soluzione e, solo se richiesto, l'errore ad ogni iterazione, il numero di iterazioni eseguite e il valore del parametro di rilassamento. Si usi opportunamente il comando switch-case-otherwise sia sulla variabile nargin che su naragout.
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function [X,varargout] = SOR_opt_varargin(A,b,varargin) ……………………………………………..…………………………………………….. ……………………………………………..…………………………………………….. if nargin<2 error('I dati di input sono incompleti') end switch nargin case 2 X0 = zeros(length(b),1)’; eps = 0.5*10^-5; max_iter = 100; L = tril(A);, Minv = inv(L);, U = triu(A,1);, C_GS = -Minv*(U); rho_GS = max(abs(eig(C_GS))); if (rho_GS >= 1) error('Attenzione: ==>> rho di Gauss Seidel > 1') else omega = 2/(1+sqrt(1-rho_GS)); end
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case 3 X0 = varargin{1}; eps = 0.5*10^-5; max_iter = 100; L = tril(A);, Minv = inv(L);, U = triu(A,1);, C_GS = -Minv*(U); rho_GS = max(abs(eig(C_GS))); if (rho_GS >= 1) error('Attenzione: ==>> rho di Gauss Seidel > 1') else omega = 2/(1+sqrt(1-rho_GS)); end case 4 X0 = varargin{1}; eps = varargin{2}; max_iter = 100; L = tril(A);, Minv = inv(L);, U = triu(A,1);, C_GS = -Minv*(U); rho_GS = max(abs(eig(C_GS))); if (rho_GS >= 1), error('Attenzione: ==>> rho di Gauss Seidel > 1') else, omega = 2/(1+sqrt(1-rho_GS));, end
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case 5 X0 = varargin{1}; eps = varargin{2}; max_iter = varargin{3}; L = tril(A);, Minv = inv(L);, U = triu(A,1);, C_GS = -Minv*(U); rho_GS = max(abs(eig(C_GS))); if (rho_GS >= 1) error('Attenzione: ==>> rho di Gauss Seidel > 1') else omega = 2/(1+sqrt(1-rho_GS)); end case 6 X0 = varargin{1}; eps = varargin{2}; max_iter = varargin{3}; omega = varargin{4}; if (omega<=0 | omega >= 2) error('il metodo SOR non converge: omega non e'' in (0,2)') end
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if df == 0 % Costruzione matrice di iterazione L = tril(A,-1); D = diag(diag(A)); Minv = inv(L+D/omega); U = triu(A,1); C_sor = -Minv*(U-(1-omega)*D/omega); % Verifica C.N.S. di convergenza per i metodi iterativi rhoCsor = max(abs(eig(C_sor))) if (rhoCsor >= 1) error('Attenzione: ==>> rho > 1, il metodo non converge') end end otherwise error('Troppe variabili di input!!!') end … …
Implementazione del metodo
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if nargout >1 switch nargout case 2 varargout{1} = ERR; case 3 varargout{1} = ERR; varargout{2} = iter; case 4 varargout{1} = ERR; varargout{2} = iter; varargout{3} = omega; otherwise error('Troppe variabili di input!!!') end end
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Esercizio
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• Definire una griglia sul dominio D: >> [x,y]=meshgrid(-2:.1:2,-2:.1:2);
La funzione [x,y]=meshgrid(xvett,yvett) genera una griglia di punti le cui coordinate sono contenute nelle matrici x e y. I valori degli elementi di x e y sono dati dai vettori di punti equidistanti xvett e yvett
Grafici
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x = -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 y = -2.0000 -2.0000 -2.0000 -2.0000 -2.0000 -2.0000 -2.0000 -2.0000 -2.0000 -1.5000 -1.5000 -1.5000 -1.5000 -1.5000 -1.5000 -1.5000 -1.5000 -1.5000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000
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Grafici
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• Definire f(x) e valutarla nei punti della griglia:
>> f='x.*exp(-x.^2-y.^2)';
>> z=eval(f);
Sono le stesse istruzioni usare per definire funzioni di una sola variabile L’istruzione è equivalente a >> f=@(x,y)[x.*exp(-x.^2-y.^2)];
>> z=f(x,y);
oppure >> z=x.*exp(-x.^2-y.^2);
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Grafici
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z =
-0.0007 -0.0029 -0.0067 -0.0071 0 0.0071 0.0067 0.0029 0.0007 -0.0039 -0.0167 -0.0388 -0.0410 0 0.0410 0.0388 0.0167 0.0039 -0.0135 -0.0582 -0.1353 -0.1433 0 0.1433 0.1353 0.0582 0.0135 -0.0285 -0.1231 -0.2865 -0.3033 0 0.3033 0.2865 0.1231 0.0285 -0.0366 -0.1581 -0.3679 -0.3894 0 0.3894 0.3679 0.1581 0.0366 -0.0285 -0.1231 -0.2865 -0.3033 0 0.3033 0.2865 0.1231 0.0285 -0.0135 -0.0582 -0.1353 -0.1433 0 0.1433 0.1353 0.0582 0.0135 -0.0039 -0.0167 -0.0388 -0.0410 0 0.0410 0.0388 0.0167 0.0039 -0.0007 -0.0029 -0.0067 -0.0071 0 0.0071 0.0067 0.0029 0.0007
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Grafici
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• Tracciare il grafico di z >> surf(x,y,z);
>> colorbar
Il comando surf(x,y,z) disegna la superficie z=f(x,y) valutata nei punti della griglia le cui coordinate sono date dagli elementi corrispondenti delle matrici x e y Colorbar mostra la barra dei colori che distinguono i valori assunti da z 88
Grafici
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Il comando contour(x,y,z) disegna le linee di livello, cioè le curve dei punti in cui la superficie assume un valore fissato costante
89
Grafici
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Il comando mesh(x,y,z) si può usare in alternativa al comando surf I comandi meshc(x,y,z) e surfc(x,y,z) disegnano contemporaneamente la superficie e le linee di livello
>> meshc(x,y,z)
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Grafici
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Il grafico si può completare aggiungendo etichette e titoli, esattamente come accade per il caso 1D Altre funzioni utili sono view cambia l’orientamento del grafico (punto di vista) colormap cambia il colore del grafico shading cambia l’ombreggiatura del grafico Usare lo help per stabilire quando usare le funzioni pcolor e plot3
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Grafici
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Grafici: esempi
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Grafici: esempi
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Grafici: esempi
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Grafici: esempi
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Esempio: f(x; y) = x2+y2-3, g(x,y) = xy-1
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Esempio: f(x; y) = x2+y2-3, g(x,y) = xy-1
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Esercizio
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Per risolvere il problema con il metodi di Newton-Raphson è necessario: - Separare le radici in modo grafico - Per ogni intervallo contenente una radice compatibile con il
problema fisico, verificare che il determinante della matrice JF non si annulla (Oss: det( JF) = 0 è un’equazione non lineare)
- Eseguire le iterazioni del metodo e determinare le incognite k1, k2 e k3
- Usare le approssimazioni di k1, k2 e k3 prodotte dall’algoritmo per determinare il valore di r minimo (soluzione di un’equazione non lineare)
Osservazione
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% script per la soluzione di un sistema non lineare di tre equazioni in tre % incognite (Problema del disco nella sabbia) format long; % funzioni del sistema e derivate parziali rispetto alle incognite f = @(x,y,z)(0.78-x.*exp(2.5*y)-2.5*z); fx = @(x,y,z)(-exp(2.5*y)); fy = @(x,y,z)(-2.5*x.*exp(2.5*y)); fz = -2.5; g = @(x,y,z)(0.93-x.*exp(5*y)-5*z); gx = @(x,y,z)(-exp(5*y)); gy = @(x,y,z)(-5*x.*exp(5*y)); gz = -5; h = @(x,y,z)(1.16-x.*exp(7*y)-7*z); hx = @(x,y,z)(-exp(7*y)); hy = @(x,y,z)(-7*x.*exp(7*y)); hz = -7;
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% punto iniziale xn = 1.; yn = 1.; zn=1.; % inizializzazione variabili iter = 0; errx = 10.; erry = 10.; errz = 10.; errf = abs(f(xn,yn,zn)); errg = abs(g(xn,yn,zn)); errh =abs(h(xn,yn,zn)); [iter xn errx errf yn erry errg zn errz errh] % iterazioni del metodo di Newton for iter= 1:10 xv = xn; yv = yn; zv = zn; Jn = [fx(xv,yv,zv),fy(xv,yv,zv),fz; gx(xv,yv,zv),gy(xv,yv,zv),gz; hx(xv,yv,zv),hy(xv,yv,zv),hz]; % matrice jacobiana [iter det(Jn)] Bn = [f(xv,yv,zv);g(xv,yv,zv);h(xv,yv,zv)]; Vn = Jn\Bn xn = xv-Vn(1);, yn = yv-Vn(2);, zn = zv-Vn(3); errx = abs(xn-xv); erry = abs(yn-yv); errz = abs(zn-zv); errf = abs(f(xn,yn,zn)); errg = abs(g(xn,yn,zn)); errh =abs(h(xn,yn,zn)); [iter xn errx errf yn erry errg zn errz errh] end
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Indicato con [k1,k2,k3]T il vettore soluzione,
risolvere l’equazione non lineare usando un opportuno metodo numerico per determinare la radice positiva più piccola. Commentare i risultati. Modificare lo script precedente in modo che possa introdursi da input il punto iniziale, il numero massimo di iterazioni consentite e la precisione richiesta alla soluzione Stabilire per quali scelte dell’approssimazione iniziale la soluzione prodotta è compatibile con il problema fisico Risolvere il problema usando il metodo di Newton nella sua forma normale e confrontare i risultati in termini di precisione, convergenza e tempo di esecuzione