Ecuaciones para resolver polinomios de tercer y cuarto grado. Cardano y Ferrari Alejandro Emilio Pradillo Macias 411925175

ARS MAGNA CAPTULO TIPO DE ECUACIN XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX XXI XXII XXIII x3 + px= q x3 = px + q x3 + q = px x3 = px2 + q x3 + px2 = q x3 + q = px2 x3 + px2 + qx = r x3 + qx = px2 + r x3 + px2 = qx + r x3 = px2 + qx + r x3 + r = px2 + qx x3 + qx + r = px2 x3 + px2 + r = qx DENOMINACIN Cubo y primera potencia iguales a nmero Cubo igual a primera potencia y nmero Cubo y nmeros iguales a primera potencia Cubo igual a cuadrados y nmero Cubo y cuadrados iguales a nmero Cubo y nmero iguales a cuadrados Cubo, cuadrados y primeras potencias iguales a nmero Cubo y primeras potencias iguales a cuadrados y nmero Cubo y cuadrados iguales a primeras potencias y nmero Cubo igual a cuadrados, primeras potencias y nmero Cubo y nmero iguales a cuadrados y primeras potencias Cubo, primeras potencias y nmero iguales a cuadrados Cubo, cuadrados y nmero iguales a primeras potencias

Procedimiento de resolucin para la cbica x3 + px = q.

u3 v3 = (u v)3 + 3(u v)2v + 3(u v)v2 => u3 v3 = (u v)3 + 3(u v)[(u v)v + v2] => u3 v3 = (u v)3 + 3(u v)[uv v2 + v2] => u3 v3 = (u v)3 + 3uv(u v) [1] Comparando la identidad [1] con la ecuacin propuesta, resulta que u v = x, siempre que: u3 v3 = q 3uv = p Se deduce que:

Por lo tanto:

La cbica x3 + px2 + qx = r x3 + 6x2 + 20x = 100 Transformar la ecuacin dada en otra equivalente sin trmino cuadrtico. Cambio de variable: x = y (6/3) = y 2 Advirtamos que para el caso general, ax3 + bx2 + cx = d, el cambio adecuado sera x = y (b/ 3a). La cbica x3 + 6x2 + 20x = 100 pasa a: y3 + 8y = 124 [2],

Mtodo de Ferrari x4 + 6x2 + 36 = 60x [3] Introduce la identidad (x2 + a + b)2 = (x2 + a)2 + 2x2b + 2ab + b2 [4] 6x2 a los dos miembros de [3], resulta que: x4 + 6x2 + 36 + 6x2 = 60x + 6x2 => (x2 + 6)2 = 60x + 6x2 Si en la identidad [4] hacemos a = 6: (x2 + 6 + b)2 = (x2 + 6)2 + 2x2b + 12b + b2 Si sumamos 2x2b + 12b + b2 a [5] se tiene que: (x2 + 6)2 + 2x2b + 12b + b2 = 60x + 6x2 + 2x2b + 12b + b2 => (x2 + 6 + b)2 = (6 + 2b)x2 + 60x + (b2 + 12b)[6] El primer miembro de [6] es un cuadrado perfecto. El segundo miembro tambin lo ser si la ecuacin (6 + 2b)x2 + 60x + (b2 + 12b)= 0 tiene una raz doble. Para ello su discriminante debe ser cero. Es decir: 602 4(6 + 2b)(b2 + 12b) = 0 => 602 = 4(6 + 2b)(b2 + 12b) => (6 + 2b)(b2 + 12b) = 302 => 2b3 + 30b2 + 72b = 900 => b3 + 15b2 + 36b = 450 Se puede extraer la raz cuadrada de los dos miembros de [6] obtenindose una ecuacin de segundo grado en x. [5]

a+b+c = 10,

a/b = b/c, ab = 6

a = 6/b, c = b^2/a = b^3/6 6/b + b + b^3/6 = 10 b^4 + 6b^2 - 60b + 36 = 0 Quartica con t{ermino de tercer grado: (b^2 + 6)^2 = 6b^2 + 60b Nuevo variable dez (b^2 + 6 + z)^2 = (2z + 6)b^2 + 60b + (12z + z^2)......(1) Lado derecho es un cuadrado perfecto si, el discriminante del polinomio es igual a cero. 4(2z+6)(z^2 + 12z) = 60^2 z^3 + 15z^2 + 36z - 450 = 0 z = y-5 nos desasemos del cuadrado: y^3 - 39y - 380 = 0 Ej: x^4 - 6x^3 + 15x^2 - 18x + 10 = 0 (x^2 + ax + 5)(x^2 + bx + 2) x^4 + x^3(a+b) + x^2(2 + 5 + ab) + x(2a+5b) + 10 x^4 + x^3(a+b) + x^2(7+ab) + x(2a+5b) + 10 x^4 + x^3(-6) + x^2(15) + x(-18) + 10

a+b = -6 if a = -4, b = -2

ab = 8

2a+5b = -18

(x^2 -4x +5)(x^2 -2x + 2) = 0 x^2 - 4x + 5 = 0 gives x = 2 +-i

x^2 - 2x + 2 = 0 gives x = 1 +-i Ejemplos de libro de Mtodos Numricos para Ingenieros.