mÉtodo de crank- nicolson

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PONENTES: - CHOQUE APAZA, JANETH RAQUEL - ROMERO GMEZ, FIORELLA LUZ

Representacin matricialyPara cada

donde

yY las matrices

y

estn

dadas por:

yY ahora veremos el algoritmo

de Crank-Nicolson:

yVamos a hallar la solucin de

la ecuacin parablica:

diferencial

ySujeta a las condiciones de

frontera:

yY a las condiciones iniciales:

Diagrama de flujo

x "

f(x)

wi,j

yElementos de entrada: "(extremo

de la barra),T(tiempo mximo), (constante), m3, N1 (enteros). yElementos de salida: wi,j(aproximaciones a u(xi, tj))

yTomaremos: h="/m;

k=T/N; = yPara i=1,,nl-1 tome wi=f(ih). yTome l1=1+ ;u1=- /(2l1). yPara i=2,,m-2 tome li=1+ + ui-1/2;ui=- /(2li). yTome lm-1=1+ + um-2/2.

2k/h2;w =0. nl

yPara

j=1,,N hacer tome t=jk; (tj actual) z1=[(1- )w1+( /2)w2]/l1. para i=2,,m-1 tomezi=[(1- )wi+( /2)(wi+1+wi-1+zi-1)]/li.

:

tome wm-1=zm-1,

Para i=m-2,,1 tome wi=zi-uiwi+1. ySalida (t); para i=1,,m-1 tome x=ih; Salida (x,wi) Fin del algoritmo.

Cmo calcular el error?yConocemos que el mtodo de

Crank-Nicolson es el resultado de promediar los mtodos de diferencias progresivas (en el jsimo paso en t)y las diferencias regresivas (en el (j+1)-simo paso en t).

yEl mtodo de diferencias

progresivas:

yY este posee un error local de

truncamiento:

yEl mtodo de diferencias

regresivas:

yY este posee un error local de

truncamiento:

yEn

base a lo anterior si suponemos que:

yEntonces Crank-Nicolson

yTiene

un error local truncamiento del orden

de

ysiempre y cuando se cumplan

las condiciones diferenciabilidad.

de

ySi hablamos en porcentajes:

El mtodo de Crank-Nicolson posee 1.8% de error Mientras que: El mtodo de diferencias regresivas posee 14.2% de error en su proceso.

CONCLUSIONESyPodemos

afirmar viendo los resultados anteriores que el mtodo de Crank-Nicolson nos ofrece soluciones numricas para las ecuaciones diferenciales parciales parablicas ms prximas a los valores reales.