metodo de graeffe
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Metodo de GraeffeCalculo numrico Otoo 07
Integrantes:Carlos Arancibia Felipe Contreras Ignacio Eguillor Karen Flores Danilo Hernndez
Introduccin
Qu problemas resuelve? El Mtodo El Cdigo El Ejemplo Conclusin
Qu problemas resuelve? Encuentra las n raices de un polinomio de grado n en m+n pasos. Donde m es el numero de veces que se quiere multiplicar el polinomio. El problema que tiene es que no entrega raices negativas o complejas.
El mtodo, en 7 simples pasos! Se tiene un polinomio P(x). Y sabemos que puede escribirse de la siguiente forma: P(x) = (x - a1)(x - a2)(x - an) Luego multiplicamos el polinomio por P(-x) Quedandonos asi el polinomio siguiente P(x^2)=(x^2-a1^2)(x^2-a2^2)(x^2-an^2) llamaremos a este polinomio P2(x) con el cambio de variable: x=x^2 y multiplicamos por P2(-x)..
El mtodo Repitiendo este procedimiento m veces:
yn + b1yn-1 + + bn = 0 donde y = x^2m y las n raices de este nuevo polinomio son: yk = (ak)^2m, con k = 1n
El mtodo Los coeficientes del polinomio son los siguientes (encontrados mediante la formula de Vieta): b1 =-(y1 + y2 ++ yn) b2 = (y1y2 + y2y3 ++ y(n-1)yn) ... bn = (-1)^n *(y1y2yn)
El mtodo Ahora, de la suposicin de que |an|< |an-1| < ...< |a1| lo que implica que |yn| a2 (-bn/b(n-1))^(1/2m)
luego uno evala y se queda con aquellas cercanas a cero.
El mtodo y consideraciones. Hay que considerar que este mtodo es bueno encontrando raices de polinomios de grado mayor a dos. Y que las raices complejas, de multiplicidad distinta de uno y negativas presentan dificultades. Este metodo es bueno cuando todas las raices son reales.
Ejemplo Ejemplo extraido de la pauta del control 3 2006/2
Encontrar las raices del polinomio:
Ejemplo
Ejemplo
La calculadora Ti-89 dio como resultado 2.4185063440827
Cdigo
Implementacin en Matlab
Errores variando el m
Con m=2 la aproximacin es mejor
Conclusin Es un buen mtodo para encontrar races de polinomios de grado alto.
El problema es que no es muy preciso, ya que la cantidad de operaciones es muy grande y eso provoca que el error aumente mucho.
Fin