metodo de young

8/6/2019 Metodo de Young

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Determinacin de Mdulos de Young - F.Arrufat, U. Novick, M.P. Frigerio y G. Sardelli

Determinacin de Mdulos de Young

Arrufat, Francisco Toms [email protected]

Novick, Uriel Sebastin Tel: 4861-1542

Frigerio, Mara Paz [email protected]

Sardelli, Gastn [email protected]

Universidad Favaloro, Facultad de Ingeniera Bs. As. , Argentina- Julio 2001.

Utilizamos mtodos dinmicos y estticos para analizar los modos de vibracin

excitados en varas y tubos de diversos materiales. En el mtodo dinmico

estudiamos la dependencia de la frecuencia de vibracin con las longitudes de las

varas y tubos. En el mtodo esttico estudiamos la dependencia entre la

deformacin de las varas con la carga a la que son sometidas. Con la informacin,

buscamos obtener el mdulo de elasticidad de los materiales, encontramos que se

puede conseguir dicho valor con slo analizar el sonido emitido por los tubos al

golpearlos.

INTRODUCCIN

Todo material existente es elstico y se deforma en cierto grado. Al construir un edificio se debe buscar que el materialsea fuerte, pero a su vez flexible para no derrumbarse ante un terremoto; queremos que las alas de un avin puedan

flexionarse, pero que a su vez sean resistentes.

Para determinar las propiedades elsticas de un material dado, es necesario en general someter a ensayos una muestradel material. Es claro que disponer de tcnicas de ensayos no destructivos es una gran ventaja en muchas aplicaciones

prcticas.

Definimos el mdulo de elasticidadE 1de un material como la relacin entre el esfuerzoA

F= y la deformacin

l

l= :

E=

El objetivo de este trabajo es determinar el mdulo de elasticidad por distintos mtodos experimentales. Analizamostambin los diferentes modos de vibracin que surgen en los materiales al estar sometidos a las diferentes condiciones

de contorno.

I. EXPERIMENTO

El objetivo del presente experimento es, a travs del anlisis de varas y tubos de distintos materiales, variando las

condiciones de contorno en que se encuentran las mismas, determinar el mdulo de elasticidad de los materialescausando el menor dao y deformacin a los mismos.

Para tal fin, optamos por dos mtodos de anlisis, uno dinmico y uno esttico.

MTODO DINMICO : Este mtodo es representado mediante una ecuacin diferencial de cuarto orden en la cualvaran los resultados segn las condiciones de contorno. Dicha ecuacin

2es:

04

4

2

2

=+

x

yEI

t

yA (1)

dondeA es el rea transversal a la onda de las varas, es la densidad del material,Ies el momento de rea respecto deuna lnea neutra yEes el mdulo de elasticidad buscado.

Las experiencias que realizamos fueron las siguientes:

EXPERIMENTO CON AMBOS EXTREMOS LIBRES

En esta primera parte del experimento analizamos el sonido emitido por los distintos tubos al ser golpeados. Para ello

utilizamos tubos de bronce y de aluminio de distintos largos, un micrfono conectado a un digitalizador de seales

conectado a una PC.


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Figura 1. Ilustracin del experimento realizadocon ambos extremos de la vara libres y sujetada

de un nodo tomando el sonido que emite al

golpearla con un micrfono.

El primer paso fue estimar la posicin del primer nodo desde

uno de los extremos de cada vara, considerando que los nodos

principales se encontraban ubicados aproximadamente al

22,4% de la longitud de las mismas. Esta medida se obtiene a

partir del anlisis de datos especificados en el apndice. (Esfundamental que este paso sea efectuado con la mayorprecisin posible para optimizar al mximo la nitidez yduracin del sonido, como as tambin cuidar de golpear eltubo en un antinodo). Una vez hecho esto, procedimos agolpear los distintos tubos cerca del micrfono, y registramoslos datos en la PC.

Una vez obtenidos los datos, y con la ayuda de la herramienta

FFT (Fast Fourier Transformer), efectuamos Transformada de

Fourier a los datos, obteniendo as los distintos modos que se

excitaban en los tubos y las correspondientes frecuencias.

Resolviendo la ecuacin (1) por el mtodo de separacin de

variables con las condiciones de contorno correspondientes(*)

se llega a la siguiente expresin para cada modo:

A

EI

L

kLf nn 2

2

2

)(=

(2)

donde kL satisface Cos(kL)Cosh(kL)=1. Esta ecuacin tiene

varias soluciones, la cual da lugar a los distintos modos.

(kL)1=4,73004; (kL)2=7,8532; (kL)3=10,99561; etc.

EXPERIMENTO CON VARA EMPOTRADA

En esta parte del experimento utilizamos slo una vara de bronce. Aqu necesitamos un fotointerruptor conectado a una

PC y una prensa para empotrar la vara, como as tambin el programa para el procesamiento de los datos.

La disposicin de los elementos ha de ser la siguiente:

Figura 2. Ilustracin del experimento realizado con la vara empotrada tomando con un fotointerruptor las vibracionesde la misma al moverla de su posicin de equilibrio.

Variando la longitudL del extremo libre de la vara, e imprimindole una ligera fuerza inicial para ponerla a oscilar, se

recogen los datos del periodo de dicha oscilacin para las distintas longitudes deL.Resolviendo la ecuacin (1) con las condiciones de contorno correspondientes

(*)se llega a la siguiente ecuacin para el

modo fundamental:

EI

Lf

2

2

2

597.0= (3)

*La resolucin de la ecuacin (1) con las condiciones de contorno para llegar a (2) y (3) pueden verse en el apndice.


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MTODO ESTTICO : Este mtodo se representa mediante otra ecuacin diferencial, la cual describe eldesplazamiento en el eje y de la vara cuando se le suspenden diversos pesos. La ecuacin correspondiente

3es:

2

2

)(dx

ydEIxM = (4)

siendoM(x) el momento flexor,Iel momento de rea respecto de una lnea neutra yEel mdulo de elasticidad buscado.

EXPERIMENTO CON VARA EMPOTRADA Y DIVERSOS PESOS

Para esta parte del experimento, utilizamos la misma vara que en la etapa anterior. Esta vez, precisamos de la prensa

antes utilizada, una regla milimetrada y diversos pesos (Po) bien especificados (Tuvimos cuidado de no utilizar pesosexcesivos, ya que le imprimen una deformacin permanente a la vara, lo cual es no deseable).Dejando libre una porcin de longitud L constante, procedimos a colgar los pesos a diferentes distancias l desde donde

empotramos la vara, midiendo el desplazamiento en el extremo libre de la vara con los distintos pesos.

Figura 3. Ilustracin del experimento realizado conla vara empotrada agregando diversos pesos a la

misma.

La ecuacin (4) puede ser resuelta aplicando la transformacin

de Laplace(*)

para llegar al siguiente resultado:

=62

)(2

xl

EI

xPxy o 0


4/8

y = 68,268x - 2,3643

R2

= 0,9998

0

200

400

600

800

1000

1200

0 5 10 15 20

1/L [1/m]

f[hz]

Figura 4. Grfico de las frecuencias fundamentales enfuncin de 1/L

2para los tubos de bronce.

Hicimos la misma comprobacin para los tubos de aluminio como puede observarse en la Figura 5.

y = 91,343x + 6,7212

R2

= 0,9999

0

500

1000

1500

2000

2500

0 5 10 15 20 25 30

1/L [1/m]

f[hz]

Figura 5. Grfico de las frecuencias fundamentales enfuncin de 1/L

2para los tubos de aluminio.

Para la vara de bronce utilizada en la segunda experiencia del mtodo dinmico, recogimos los datos del perodo deoscilacin y realizamos el mismo grfico de la frecuencia en funcin de 1/L

2realizado para la primera experiencia.

y = 3,3246x + 0,7351

R2

= 0,9909

4

4,5

5

5,5

6

6,5

7

7,5

8

1,3 1,5 1,7 1,9 2,11/L [1/m]

f[hz]

Figura 6. Grfico de la frecuencia fundamental de la vara enfuncin de 1/L

2.


5/8


DETERMINACIN DEL MDULO DE ELASTICIDAD

Con el fin de conseguir el valor del mdulo de elasticidad, podemos rescribir la ecuacin (2) como:

CEfn =2

con42

4

4

)(

LA

kLIC n

= (6)

La pendiente ser igual aE.

y = 9,6E+10x + 6,0E+04

R2 = 1,0E+00

0,E+00

1,E+06

2,E+06

3,E+06

4,E+06

5,E+06

6,E+06

7,E+06

8,E+06

9,E+06

1,E+07

0 0,00002 0,00004 0,00006 0,00008 0,0001

C[m/kg]

f[hz]

y = 6,3E+10x + 4,2E+04

R2 = 1,0E+00

0,E+00

1,E+06

2,E+06

3,E+06

4,E+06

5,E+06

6,E+06

7,E+06

8,E+06

9,E+06

1,E+07

0 0,00005 0,0001 0,00015

C[m/kg]

f[hz]

Figura 7. Grfico para la determinacin del mdulo de Figura 8. Grfico para la determinacin del mdulo deelasticidad de los tubos de bronce. elasticidad de los tubos de aluminio.

Una ventaja de este ltimo procedimiento es que comprueba la validez general de la ecuacin (2) y nos permiti utilizar

todas las frecuencias correspondientes a los diversos modos excitados para obtenerE.

A partir de los grficos, obtuvimos los valores del mdulo de elasticidad para ambos materiales:

Ebronce = (9,6 0,2)1010

Pa

Ealuminio = (6,32 0,03)1010

Pa

En el segundo experimento del mtodo dinmico, para determinar el mdulo de elasticidad de la vara, rescribimos la

ecuacin (3) como:

DEf =2 con

4

2

4

4597.0

LID=

(7)

Analizamos el grfico (Figura 9) que muestra aEcomo la pendiente de la recta.

y = 8,1259E+10x + 5,2074E+00R

2= 9,9011E-01

20

25

30

35

40

45

50

55

60

2,5E-10 3,5E-10 4,5E-10 5,5E-10 6,5E-10

D[m/kg]

f[hz]

Figura 9. Grfico para la determinacin del mdulo de elasticidadde la vara mediante regresin lineal.

El valor deEobtenido fue: E = (8,1 0,6)1010

Pa


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MTODO ESTTICO

ANLISIS DE LA DEFORMACIN EN FUNCIN DE LOS PESOS

Como sealan las ecuaciones (5), la deformacin en un punto es directamente proporcional al peso aplicado

transversalmente, manteniendo constante la posicin donde ste se aplica. Para corroborar esta relacin realizamos un

grfico ilustrativo.

y = 0,0077x - 0,0003

R2

= 0,9828

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,014

0,016

0,018

0,02

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Po [N]

y[m]

Figura 10. Grfico de la deformacin en funcin del peso.

DETERMINACIN DEL MDULO DE ELASTICIDAD

Para determinar el mdulo de elasticidad de la misma vara utilizada en el experimento anterior, graficamos

=

62

2lx

I

lPG oo en funcin de la deformacin medida cerca del extremo libre en un puntoxo en la Figura 11.

y = 9E+10x + 5E+07

R2

= 0,9821

0,0E+00

5,0E+08

1,0E+09

1,5E+09

2,0E+09

2,5E+09

3,0E+09

3,5E+09

4,0E+09

0 0,01 0,02 0,03 0,04

y[m]

G[N/m

]

Figura 11. Grfico para determinar el mdulo de elasticidad dela vara que puede apreciarse como la pendiente de la recta.

El mdulo de elasticidad obtenido en este caso fue: E = (9,3 0,5)1010

Pa

III. CONCLUSIN

En este experimento se estudi, por una parte, los modos de vibracin de barras con distintas condiciones de contorno, y

tambin buscamos la determinacin del mdulo de elasticidad de un material causndole el menor dao posible.

En cuanto a los modos de vibracin, observamos por medio de las figuras 4, 5 y 6, que en todos los mtodos dinmicos,

la frecuencia de vibracin de los modos excitados depende de forma inversa con la longitud elevada al cuadrado de las

varas y los tubos. A partir de esto, observamos que cunto ms larga es la vara o el tubo, mayor es la cantidad de modos

que se excitan en los mismos.

Para los mdulos de elasticidad, construimos la siguiente tabla con los valores de E obtenidos para los distintos

materiales, y los valores que proporcionan los libros de texto.


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MATERIAL CASO 1 CASO 2 CASO 3 MEJOR VALOR TABLASBRONCE (9,6 0,2)1010 Pa (8,1 0,6)1010 Pa (9,3 0,5)1010 Pa (9,4 0,2)1010 Pa 10,8.1010 Pa

ALUMINIO (6,32 0,03)1010 Pa - - (6,32 0,03)1010 Pa 7,0.1010 Pa

Tabla 1. Cuadro comparativo de los valores de E obtenidos experimentalmente para los diversos materiales y losvalores conocidos.

De aqu observamos que los valores de los mdulos de elasticidad obtenidos, varan, para el bronce, en un rango de 8 a

10x1010

Pa, lo cual concuerda con otras experiencias consultadas y es prxima al valor de las tablas, y en cuanto a los

tubos de aluminio, el valor obtenido fue prximo al valor que se encuentra en tablas. Estas variaciones son aceptables

ya que se deben a que, a pesar de tratarse de un mismo material, las varas y los tubos analizados poseen propiedadespropias de elaboracin.

Haciendo una comparacin de los resultados obtenidos por medio de los sonidos emitidos por los tubos versus los

obtenidos por medio de los otros mtodos, vemos que podemos obtener un valor del mdulo de elasticidad que se

encuentra en el rango general de aceptacin de estos valores para cada material. Como se ve, al poder obtener el valor

del mdulo de elasticidad con slo golpear el material y analizar los sonidos emitidos, poseemos una muy buena forma

de obtener este valor, sin causar prcticamente dao alguno al material. Esto sera un ejemplo de un ensayo no

destructivo.

BIBLIOGRAFA1. Sears, Semansky y Young, Fsica Universitaria (Ed. Fondo Educativo Interamericano, 1986), Cap.10, Pg. 255.

2. D.L.R. Oliver, Hollow-Tube Chimes, Phys.Teach.36, 209 (Abril 1998).3. Pipes, Louis A.,Matemticas Aplicadas para Ingenieros y Fsicos (Ed. McGraw Hill, 1963), Cap.9, Seccin 4.4. Lafita Babio, Felipe y Mata Corts, Hilario, Introduccin a la teora de vibraciones mecnicas (Ed. Labor,

Barcelona).

5. www.fisicarecreativa.com Martnez, Patricia y Azuaga, Marcelo,Medicin del mdulo de elasticidad de Young.

APNDICE

En esta seccin pueden encontrarse los desarrollos tericos realizados para los distintos experimentos, los cuales son

tiles para analizar las ondas en cada situacin y para determinar el mdulo de elasticidad de los materiales:

EXPERIMENTO CON AMBOS EXTREMOS LIBRES

La ecuacin diferencial que describe las vibraciones de un tubo libre en ambos extremos 2 es la siguiente:

04

4

2

2

=+ xyEI

tyA (8)

dondeA es el rea transversal a la onda de las varas, es la densidad del material,Ies el momento de rea respecto deuna lnea neutra yEes el mdulo de elasticidad del material.

La ecuacin (8) puede resolverse por el mtodo de separacin de variables, considerandoy(x,t)=X(x)T(t). La solucin de

la ecuacin es:ti

exXtxy= )(),( (9)

Como la vara est libre en los extremos, no se doblan ya que no hay fuerzas restauradoras, por lo tanto, las derivadas

segunda y tercera deXson nulas.

03

3

2

2

==dx

Xd

dx

Xd (10)

Aplicando las condiciones (10) aX(x) se obtiene:

[ ]

+

++= )()(

)()()()()()()( kxSenhkxSen

kLSenhkLSenkLCoskLCoshkxCoshkxCosAxX (11)

donde kL satisface para cada modo:

1)()( =kLCoshkLCos (12)DE la ecuacin (12) se deduce tambin los puntos de los nodos para los distintos modos, estando al 22,4% del extremo

para el primer modo. Por lo tanto, la ecuacin para la frecuencia angular es:

A

EIk

2= (13)

De (13) sale que:


8/8

A

EI

L

kLf nn 2

2

2

)(= (14)

A partir de (12) se est en condiciones de conocer el mdulo de elasticidad simplemente reemplazando los valores de

frecuencias obtenidos para cada modo con el kL correspondiente. Sabiendo que =A

dAyI2

se da:

4

22

int extRR

A

I += (15)

para los tubos con radio internoRint y radio externoRext.

EXPERIMENTO CON VARA EMPOTRADA

La ecuacin diferencial que corresponde al movimiento de vibracin libre de la vara4

es:

02

2

4

42 =+

t

x

y

xc (16)

Siendo

EIc =2 una constante del sistema, donde Ees el mdulo de elasticidad, Iel momento de rea respecto de

una lnea neutra y es la masa de la vara por unidad de longitud.

Este caso, al igual que el anterior, puede resolverse con el mtodo de separacin de variables tomando x(y,t)=Y(y)T(t) y

ajustando las condiciones de contorno para este caso:

0),(),(

0),0(),0(

3

3

2

2

==

==

tLy

xtL

y

x

ty

xtx

(17)

La solucin ser de la forma:

)()(),( += tSenyYtyx (18)A partir de (16) y con las condiciones dadas en (17) se obtiene que:

+++=

cCoshy

cCos

Lc

SenhLc

Sen

LcCoshLcCosy

cSenhy

cSenAyY

)(

(19)

donde satisface:

Lc

Cosh

Lc

Cos

1= (20)

Lo cual da una infinidad de frecuencias naturales del sistema:

cL

nn 2

22

2

1 =

(21)

A partir de (21) se puede encontrar Ereemplazando el valor de la frecuencia con su correspondiente n. En este caso, I

puede calcularse como:

4

4RI

= (22)

dondeR es el radio de la vara maciza.

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