PROBLEMAS DE ASIGNACIN

Elproblema de asignacines una variacin del problema original de transporte, variacin en la cual las variables de decisin X(i,j) solo pueden tomar valores binarios, es decir ser cero (0) o uno (1) en la solucin ptima, lo que supone que la oferta y la demanda estn perfectamente alineadas, de hecho ambas son iguales a uno (1).Mltiples son los casos en los que como ingenieros industriales podemos hacer uso del problema de asignacin para resolver diversas situaciones, entre los que cabe mencionar se encuentran la asignacin de personal a maquinas, herramientas a puestos de trabajos, horarios a maestros, candidatos a vacantes, huspedes a habitaciones, comensales a mesas, vendedores a zonas territoriales etc.

En el modelo de asignacin la idea fundamental de resolucin es qu fuente satisface mejor el destino?, y dado que hemos asociado el modelo a una gran diversidad de circunstancias esta pregunta puede plantearse en mltiples contextos, como qu candidato es el idneo para la vacante?, o qu personal es el indicado para la lnea productiva?, o qu personal es el mejor para ejecutar determinada tarea?. Una caracterstica particular del modelo de asignacin es que para su resolucin no se hace necesario que el nmero de fuentes sea igual al nmero de destinos, lo cual es muy comn en la vida real teniendo en cuenta su aplicacin, pues generalmente la cantidad de aspirantes es exageradamente superior al nmero de vacantes (lgicamente haciendo referencia a la aplicacin del modelo al contexto de oferta y demanda laboral).

MTODO HNGARO

Apartndonos un poco de la idea expresada en mdulos anteriores respecto a la facilidad de resolver problemas atinentes a la investigacin operativa en especial aquellos de transporte mediante el uso de herramientas tecnolgicas como lo son WinQSB, LINGO, TORA, STORM, Excel etc.. vale la pena ya sea para fines acadmicos o de cultura ingenieril realizar la resolucin del problema de asignacin mediante el algoritmo que se cre para tal fin, como lo es elMtodo Hngaro.El mtodo Hngaro es un mtodo de optimizacin de problemas de asignacin, conocido como tal gracias a que los primeros aportes al mtodo clsico definitivo fueron deDnes Knig y Jen Egervry dos matemticos hngaros. El algoritmo tal como se detallar a continuacin est diseado para la resolucin de problemas deminimizacinnicamente, ser entonces cuestin de agregar un paso adicional para abordar ejercicios de maximizacin.ALGORITMO HNGARO, PASO 1Antes que nada cabe recordar que el mtodo hngaro trabaja en una matriz de costos n*m (en este caso conocida como matriz m*m, dado que el nmero de filas es igual al nmero de columnas n = m), una vez construida esta se debe encontrar el elemento ms pequeo en cada fila de la matriz.ALGORITMO HNGARO, PASO 2Una vez se cumple el procedimiento anterior se debe construir una nueva matriz n*m, en la cual se consignarn los valores resultantes de la diferencia entre cada costo y el valor mnimo de la fila a la cual cada costo corresponde (valor mnimo hallado en el primer paso).ALGORITMO HNGARO, PASO 3Este paso consiste en realizar el mismo procedimiento de los dos pasos anteriores referidos ahora a las columnas, es decir, se halla el valor mnimo de cada columna, con la diferencia que este se halla de la matriz resultante en el segundo paso, luego se construir una nueva matriz en la cual se consignarn los valores resultantes de la diferencia entre cada costo y el valor mnimo de la columna a la cual cada costo corresponde, matriz llamada "Matriz de Costos Reducidos".ALGORITMO HNGARO, PASO 4A continuacin se deben de trazar lneas horizontales o verticales o ambas (nicamente de esos tipos) con el objetivo de cubrir todos los ceros de la matriz de costos reducidos con el menor nmero de lneas posibles, si el nmero de lineas es igual al nmero de filas o columnas se ha logrado obtener la solucin ptima (la mejor asignacin segn el contexto de optimizacin), si el nmero de lneas es inferior al nmero de filas o columnas se debe de proceder con el paso 5.ALGORITMO HNGARO, PASO 5Este paso consiste en encontrar el menor elemento de aquellos valores que no se encuentran cubiertos por las lineas del paso 4, ahora se restar del restante de elementos que no se encuentran cubiertos por las lneas; a continuacin este mismo valor se sumar a los valores que se encuentren en las intersecciones de las lineas horizontales y verticales, una vez finalizado este paso se debe volver al paso 4.

RESOLUCIN DE UN PROBLEMA DE ASIGNACIN MEDIANTE EL MTODO HNGARO

EL PROBLEMALa compaa de manufactura "Jimnez y Asociados" desea realizar una jornada de mantenimiento preventivo a sus tres mquinas principales A, B y C. El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada mquina es de 1 da, sin embargo la jornada de mantenimiento no puede durar ms de un da, teniendo en cuenta que la compaa cuenta con tres proveedores de servicios de mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada mquina para poder cumplir con la realizacin del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta que segn el grado de especializacin de cada equipo prestador de servicios de mantenimiento el costo de la tarea vara para cada mquina en particular, debe de asignarse el equipo correcto a la mquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla:www.ingenieriaindustrialonline.comPASO 1Encontramos el menor elemento de cada filawww.ingenieriaindustrialonline.comPASO 2Construimos una nueva matriz con las diferencias entre los valores de la matriz original y el elemento menor de la fila a la cual corresponde.www.ingenieriaindustrialonline.comPASO 3En la matriz construida en el paso anterior se procede a efectuar el paso 1 esta vez en relacin a las columnas, por ende escogemos el elemento menor de cada columna. Igualmente construimos una nueva matriz con la diferencia entre los valores de la matriz 2 y el elemento menor de la columna a la cual corresponde cada valor.www.ingenieriaindustrialonline.comPASO 4En este paso trazaremos la menor cantidad de combinaciones de lneas horizontales y verticales con el objetivo de cubrir todos los ceros de la matriz de costos reducidos.www.ingenieriaindustrialonline.comComo se puede observar el menor nmero de lneas horizontales y/o verticales necesarias para cubrir los ceros de la matriz de costos reducidos es igual a 2, por ende al ser menor que el nmero de filas o columnas es necesario recurrir al paso 5.PASO 5En este paso seleccionamos el menor elemento de los elementos no subrayados.

Luego se procede a restarse de los elementos no subrayados y a adicionarse a los elementos ubicados en las intersecciones de las lneas, en este caso existe una nica interseccin (3).www.ingenieriaindustrialonline.comAhora ya efectuado este paso pasamos al paso 4.www.ingenieriaindustrialonline.comAhora observamos cmo se hace necesario trazar tres lneas (la misma cantidad de filas o columnas de la matriz) por ende se ha llegado al tabulado final, en el que por simple observacin se determina las asignaciones ptimas.www.ingenieriaindustrialonline.comPor ende la asignacin que representa el menor costo para la jornada de mantenimiento preventivo determina que el Equipo 1 realice el mantenimiento de la Mquina 1, el Equipo 2 realice el mantenimiento de la Mquina 3 y el Equipo 3 realice el mantenimiento de la Mquina 2, jornada que tendr un costo total de 17 unidades monetarias.

RESOLUCIN DE UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIN MEDIANTE EL MTODO HNGARO

EL PROBLEMAUna organizacin de recoleccin de caf cuenta con tres equipos de siembra y cosecha del mismo (equipos 1, 2, 3). Estos equipos de trabajo se encuentran entrenados para trabajar en condiciones particulares del proceso, condiciones como lo son el tipo de suelo, las condiciones del clima y el tipo de grano. La organizacin cuenta con cuatro terrenos disponibles para efectuar el proceso de siembra y cosecha (terrenos A, B, C, D), estos terrenos tienen condiciones particulares de suelo, clima y tipo de grano. Cada equipo cuenta con la capacidad de efectuar el proceso en solo uno de los terrenos disponibles, salvo elequipo 2, que cuenta con una serie de herramientas tecnolgicas que le permiten realizar la siembra y cosecha del grano en dos de los terrenos disponibles. Se ha contratado a un Ingeniero Industrial con el objetivo de realizar las asignaciones precisas que maximicen la cantidad de sacos de caf cosechados en total. El siguiente tabulado muestra la capacidad (en cientos de sacos) de cosecha de caf de cada uno de los equipos dependiendo de cada uno de los terrenos.

RESOLUCINEn este problema debemos recordar un concepto fundamental para la aplicacin del mtodo hngaro, este concepto nos dice que el nmero de filas debe ser exactamente igual al nmero de columnas. Por ende, la accin a realizar debera ser crear un equipo ficticio, el cual nos deje el tabulado balanceado y a este asignarle un nmero de sacos cosechados equivalente a cero en cada uno de los terrenos. Sin embargo el problema nos indica que uno de los equipos se encuentra en capacidad de que se le asignen dos terrenos, en este caso crearemos un equipo 2 alternativo (Equipo 2B) el cual nos balancear el tabulado y nos har prescindir del equipo ficticio pensado inicialmente. A este equipo 2B que crearemos le corresponder la misma capacidad de cosecha del equipo 2 (en adelante equipo 2A) segn el terreno, lgicamente.

Una vez balanceado el tabulado debemos de cuestionarnos acerca del criterio de optimizacin, pues recordemos que el mtodo hngaro se encuentra diseado para ejercicios de minimizacin. En este caso nuestro objetivo es maximizar, por lo que tendremos que aplicar un paso adicional.Lo primero que debemos hacer es ubicar el mayor valor del tabulado inicial.

En este caso este valor es 15, por lo cual procederemos a realizar la siguiente operacin con cada uno de los valores:Restaremos a 15, el valor de cada una de las celdas y este valor quedar en cada una de las celdas correspondientes.

Ahora nuestro tabulado inicial quedar de la siguiente manera:

A partir de este tabulado ya podemos aplicar el algoritmo del mtodo hngaro como se aplicara en un caso e minimizacin (normalmente).Ahora encontramos el menor elemento de cada fila.

y se lo restamos a todas las celdas de la fila.

Ahora efectuamos este mismo paso, pero esta vez con las columnas. Elegimos el menor de los valores de cada columna y se lo restamos a cada una de las celdas de la columna correspondiente.

Ahora procedemos a cubrir la mayor cantidad de ceros, con la menor cantidad de lneas, si el nmero de lneas que empleemos es igual al grado de la matriz (en este caso matriz grado 4, 4x4) habremos llegado al final del ejercicio.

Dado que el nmero de lneas es igual al grado de la matriz, hemos concluido el algoritmo. Lo nico que quedar ser asignar a cada equipo el terreno en el que el intercepto es igual a 0 (cero).

Las asignaciones, como es lgico debern iniciarse por el equipo al cual solo corresponda un terreno, en este caso al Equipo 3 le corresponde el Terreno A. De esta manera al Equipo 1 le corresponde el Terreno D. Mientras tanto el Equipo 2 se encargar de la cosecha en los terrenos B y C. Segn el tabulado del problema (recordemos que es de maximizacin), la cantidad de sacos (expresada en cientos de sacos) ser as:

RESOLUCIN DE UN PROBLEMA DE ASIGNACIN MEDIANTE PROGRAMACIN LINEAL

EL PROBLEMALa compaa de manufactura "Jimnez y Asociados" desea realizar una jornada de mantenimiento preventivo a sus tres mquinas principales A, B y C. El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada mquina es de 1 da, sin embargo la jornada de mantenimiento no puede durar ms de un da, teniendo en cuenta que la compaa cuenta con tres proveedores de servicios de mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada mquina para poder cumplir con la realizacin del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta que segn el grado de especializacin de cada equipo prestador de servicios de mantenimiento el costo de la tarea vara para cada mquina en particular, debe de asignarse el equipo correcto a la mquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla:

VARIABLES DE DECISINLas variables de decisin de este tipo de problemas es igual a las variables de cualquier modelo de transporte tradicional, es decir variables Xi,jdonde i {Equipo de mantenimiento 1,2,3} y j {Mquina 1,2,3}, y corresponden a variables binarias en las cuales el valor 1 significa la asignacin de un equipo de mantenimiento a una mquina en particular.RESTRICCIONESDado que un equipo de mantenimiento no puede ser asignado a ms de una maquinaria, esta caracterstica debe de restringirse mediante las siguientes inecuaciones.X1,1+ X1,2+ X1,3= 1X2,1+ X2,2+ X2,3= 1X3,1+ X3,2+ X3,3= 1Adems debe restringirse el hecho de que cada mquina solo requiere de un equipo de mantenimiento, por endeX1,1+ X2,1+ X3,1= 1X1,2+ X2,2+ X3,2= 1X1,3+ X2,3+ X3,3= 1Adems se hace necesario que para efectos de resolucin en cualquier paquete de herramientas se especifique que estas variables corresponden al conjunto de los enteros (por obvias razones) y que deben ser mayores que cero (dado que es un problema de minimizacin esta restriccin se hace muy necesario).Xi,j 0Xi,j {Z}FUNCIN OBJETIVOZMIN= 10X1,1+ 9X1,2+ 5X1,3+ 9X2,1+ 8X2,2+ 3X2,3+ 6X3,1+ 4X3,2+ 7X3,3INGRESANDO LOS DATOS A WINQSB

RESULTADOS OBTENIDO MEDIANTE EL WINQSB

Por ende la asignacin que representa el menor costo para la jornada de mantenimiento preventivo determina que el Equipo 1 realice el mantenimiento de la Mquina 1, el Equipo 2 realice el mantenimiento de la Mquina 3 y el Equipo 3 realice el mantenimiento de la Mquina 2, jornada que tendr un costo total de 17 unidades monetarias.

RESOLUCIN DE UN PROBLEMA DE ASIGNACIN MEDIANTE WINQSB - NETWORK MODELING

La facilidad de resolver un problema de asignacin mediante WinQSB es an mayor a la que se incurre medianteprogramacin lineal, y esta metodologa justifica el pensar en que el mtodo hngaro es sumamente anacrnico nicamente contemplado para fines histricos y acadmicos. En el mdulo NETWORK MODELING del paquete de herramientas WinQSB se puede resolver el modelo tan solo traspasando los costos de una matriz n*m a otra que brinda el mdulo n*m.INGRESANDO LOS DATOS A WINQSB - NETWORK MODELING

RESULTADOS OBTENIDOS MEDIANTE WINQSB - NETWORK MODELING

Por ende la asignacin que representa el menor costo para la jornada de mantenimiento preventivo determina que el Equipo 1 realice el mantenimiento de la Mquina 1, el Equipo 2 realice el mantenimiento de la Mquina 3 y el Equipo 3 realice el mantenimiento de la Mquina 2, jornada que tendr un costo total de 17 unidades monetarias.De esta manera se hace evidente cual es la alternativa predilecta para resolver problemas de asignacin.

http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/problemas-de-asignaci%C3%B3n/

MTODO DE LA ESQUINA NOROESTE

Elmtodo de la esquina Noroestees un algoritmo heurstico capaz de solucionarproblemas de transporte o distribucinmediante la consecucin de una solucin bsica inicial que satisfaga todas las restricciones existentes sin que esto implique que se alcance el costo ptimo total.Este mtodo tiene como ventaja frente a sus similares la rapidez de su ejecucin, y es utilizado con mayor frecuencia en ejercicios donde el nmero de fuentes y destinos sea muy elevado.

Su nombre se debe al gnesis del algoritmo, el cual inicia en la ruta, celda o esquina Noroeste. Es comn encontrar gran variedad de mtodos que se basen en la misma metodologa de la esquina Noroeste, dado que podemos encontrar de igual manera el mtodo e la esquina Noreste, Sureste o Suroeste.

ALGORITMO DE RESOLUCIN DE LA ESQUINA NOROESTE

Se parte por esbozar en forma matricial el problema, es decir, filas que representen fuentes y columnas que representen destinos, luego el algoritmo debe de iniciar en la celda, ruta o esquina Noroeste de la tabla (esquina superior izquierda).www.ingenieriaindustrialonline.comPASO 1:En la celda seleccionada como esquina Noroeste se debe asignar la mxima cantidad de unidades posibles, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restndole la cantidad asignada a la celda.PASO 2:En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 despus del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) segn sea el caso.PASO 3:Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo rengln o columna, si este es el caso se ha llegado al final el mtodo, "detenerse".La segunda es que quede ms de un rengln o columna, si este es el caso iniciar nuevamente el "Paso 1".

EJEMPLO DEL MTODO DE LA ESQUINA NOROESTE

Por medio de este mtodo resolveremos el problema de transporte propuesto y resuelto en mdulos anteriores mediante programacin lineal.EL PROBLEMAUna empresa energtica colombiana dispone de cuatro plantas de generacin para satisfacer la demanda diaria elctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogot, Medelln y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al da respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogot, Medelln y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al da respectivamente.

Los costos asociados al envo de suministro energtico por cada milln de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.www.ingenieriaindustrialonline.comFormule un modelo de programacin lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.SOLUCIN PASO A PASOwww.ingenieriaindustrialonline.comAhora la cantidad asignada a la esquina noroeste es restada a la demanda de Cali y a la oferta de la "Planta 1", en un procedimiento muy lgico. Dado que la demanda de Cali una vez restada la cantidad asignada es cero (0), se procede a eliminar la columna. El proceso de asignacin nuevamente se repite.www.ingenieriaindustrialonline.comContinuamos con las iteraciones.www.ingenieriaindustrialonline.comEn este caso nos encontramos frente a la eleccin de la fila o columna a eliminar (tachar), sin embargo podemos utilizar un criterio mediante el cual eliminemos la fila o columna que presente los costos ms elevados. En este caso la "Planta 2".Nueva iteracin.www.ingenieriaindustrialonline.comUna vez finalizada esta asignacin, se elimina la "Planta 3" que ya ha sido satisfecha con la asignacin de 60 unidades, por ende nos queda una sola fila a la cual le asignamos las unidades estrictamente requeridas y hemos finalizado el mtodo.www.ingenieriaindustrialonline.comEl cuadro de las asignaciones (que debemos desarrollarlo paralelamente) queda as:www.ingenieriaindustrialonline.comLos costos asociados a la distribucin son:www.ingenieriaindustrialonline.comEl costo total es evidentemente superior al obtenido medianteProgramacin Linealy elMtodo de Aproximacin de Vogel, lo cual demuestra lo enunciado en la descripcin del algoritmo que cita que no obtiene siempre la mejor solucin, sin embargo presenta un cumplimiento de todas las restricciones y una rapidez de elaboracin, lo cual es una ventaja en problemas con innumerables fuentes y destinos en los cuales no nos importe ms que satisfacer las restricciones.