metodo la tapadita
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8192019 Metodo La Tapadita
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Meacutetodo de in tegrac ioacuten de func iones rac iona les
Queremos calcular( )
( )intb
a
dx
x D
x P con ( )
( )
( ) x D
x P x f f = continua en [a b]
Siendo P y D funciones polinoacutemicas
Al igual que con los otros meacutetodos no solo aprenderemos una teacutecnica para realizar el
caacutelculo sino que ademaacutes podremos encontrar primitivas de estas funciones en los
intervalos en los que D no tiene raiacuteces
Ejemplo ( )13 minus
= x
x f ( )( )2
3minus=
x
x x f ( )
1
22
+
+=
x
x x f
Podraacute imaginar el lector que la cantidad de funciones raciones es impresionante sinembargo veremos que sin que importe cuaacutel es tendraacute primitiva elemental
Observacioacuten
Algunos casos particulares de este tipo de funciones pueden resolverse a traveacutes de un
cambio de variable ( ) ( ) x D xu = nos referimos al caso en que ( ) ( ) x D x P =
Si queremos calcular la primitiva de ( ) ( )
( ) x D
x D x f f
= la misma es inmediata ya que
( )( )
( ) k x Ddx x D
x D+=int ln
Ejemplo
k x xdx x
x+minus=
minus
minusint 5ln
5
52 2
2 o si queremos calcular
( ) ( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ==minus=
minus
minusint 2
3ln4ln-6ln5ln
5
522
1
2
1
2
2 x xdx
x x
x
Salvo estos casos el resto necesita un estudio particular
Distinguiremos 2 casos
grado del numerador grado del denominador
En este caso realizamos la divisioacuten de P ( x) entre D( x) y obtenemos un cociente Q( x) y
un resto R( x) entonces por definicioacuten de divisioacuten
1er caso
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( ) ( ) ( ) ( ) x R x D xQ x P +=
Dividimos entre ambos miembros entre D( x) (que no tiene raiacuteceshellip f es continua)
( )( )
( ) ( ) ( )( ) x D
x R x D xQ
x D
x P +
=
Integramos ambos miembros
( )( )
( ) ( ) ( )( )intint
+=
b
a
b
a
dx x D
x R x D xQdx
x D
x P
De donde
( )( ) ( ) ( )( ) dx x D x R xQdx
x D x P
b
a
b
a intint ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
Al final de cuentas el uacutenico caso que vale la pena estudiar con mayor dedicacioacuten es el
proacuteximo ya que al dividir obtuvimos un polinomio y una racional en esas condiciones
Ejemplo
Para calcular int minus
++5
2
2
1
3dx
x
x x primero realizamos la divisioacuten entera numerador y
denominador
32 ++ x x 1minus x
x x +minus 2 x + 2
32 +
22 +minus x
5
Luego
int minus
++5
2
2
1
3dx
x
x x = xd
x xint ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
minus++
5
2
1
52 = =minus++
5
2
2
1ln522
x x x
( ) ( )4ln52
33424ln510
2
25+=minusminus++=
grado del numerador lt grado del denominador2do caso
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Meacutetodo de descomposicioacuten en fracciones simples
Nos ocuparemos en esta seccioacuten a descomponer una expresioacuten racional en suma de
expresiones racionales ldquomaacutes simplesrdquo Dada la diversidad de casos optaremos por
realizar el anaacutelisis seguacuten la descomposicioacuten factorial de ( ) x D o sea del denominador
Distinguiremos cuatro situaciones dentro de estaacute opcioacuten
a) Sea D (x )= 01
1 a xa xa nn
nn +++ +
minus Λ Consideremos el caso de que D (x )
tenga todas sus raiacuteces reales y distintas 1α 2α nα
Por el teorema de descomposicioacuten factorial
( )( )
( )( )( ) ( )nn x x xa
x P
x D
x P
α α α minusminusminus= 21
Es razonable que existan A B C N reales tales que
( )( )
( )( )( ) ( )nn x x xa
x P
x D
x P
α α α minusminusminus=
21
=( ) ( ) ( )n x
N
x
B
x
A
α α α minus++
minus+
minusΛ
21
Entonces por uacuteltimo resolveremos
( )( )
=intb
a
dx x D
x P
( ) ( ) ( )int ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minus+
minus+
minus
5
2 21
dx x
N
x
B
x
A
nα α α
Λ
O sea hemos descompuesto la integral de un cociente de dos funciones polinoacutemicas
que no sabiacuteamos resolver en la integral de una suma de fracciones simples que son de
inmediata resolucioacuten
Todo se reduce a hallar los nuacutemeros A B hellip N
Veremos con un ejemplo como hallar los nuacutemeros A B
Ejemplo
( )( )intminus
+minus
+0
121
39dx
x x
x
( )( ) 2121
39
++
minus=
+minus
+
x
B
x
A
x x
x
Veremos dos meacutetodos para calcular A y B
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i) Primer meacutetodo para calcular A y B
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )21
2
21
12
2121
39
+minus
minus++
=+minus
minus++
=++minus=+minus
+
x x
B A x B A
x x
x B x A
x
B
x
A
x x
x
Igualando numeradores
( ) B A x B A x minus++=+ 239
Utilizando identidad de polinomios obtenemos el sistema
⎩
⎨⎧
minus=
+=
B A
B A
23
9
de donde
4= A y 5= B
por lo que
( )( ) 2
5
1
4
21
39
++
minus=
+minus
+
x x x x
x
y entonces
( )( ) =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
++
minus=
+minus
+intintminusminus
0
1
0
12
5
1
4
21
39dx
x xdx
x x
x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2ln2ln42ln52ln51ln40
1 =minus=++minus=
minus x x
ii) Segundo meacutetodo para calcular A y B
Meacutetodo conocido con el nombre de la ldquotapaditardquo1
Veamos un ejemplo del meacutetodo
( )( ) 2121
39
++
minus=
+minus
+
x
B
x
A
x x
x
( )( )
( ) ( )
( )( )21
12
2121
39
+minus
minus++=
++
minus=
+minus
+
x x
x B x A
x
B
x
A
x x
x
1 Este resultado fue demostrado por Ostrodradsky
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( ) ( )1239 minus++=+ x B x A x
si x = 1 rArr )11(3)1(9 +=+ A rArr A=+
+
21
3)1(9
Obseacutervese que para hallar A en( )( )21
39
+minus
+
x x
x se ldquotapoacuterdquo x-1 que es el denominador de
la fraccioacuten cuyo numerador es A y se sustituyoacute en la fraccioacuten remanente( )2
39
+
+
x
x la x
por 1 (que es el valor que anula su denominador) quedando
A=+
+
21
3)1(9
Para hallar B es similar
( ) ( )1239 minus++=+ x B x A x
si x = -2 rArr )12(3)2(9 minusminus=+minus B
Obteniendo
B=minusminus
+minus
12
3)2(9
Obseacutervese que para hallar B en( )( )21
39
+minus
+
x x
x se ldquotapoacuterdquo x+2 y se sustituyoacute x por -2
y entonces
B=minusminus
+minus
12
3)2(9
Conclusioacuten del meacutetodo de la tapadita
( )( ) 2121
39
++
minus=
+minus
+
x
B
x
A
x x
x
Para hallar A o B ldquotapamosrdquo en el denominador del miembro de la izquierda de la
igualdad el denominador de la fraccioacuten de la derecha cuyo numerador se desea
hallar y se sustituye x por la raiacutez de dicho denominador
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Otro ejemplo
Si queremos calcular la primitiva de ( ) x x x
x x x f f
2
42
23
2
minusminus
minus+=
Primero factorizamos x x x 2
23
minusminus que no es complicado de hacer puesto que tieneraiacuteces evidentes por lo tanto ( )( )21223 minus+=minusminus x x x x x x Procediendo como en el
caso anterior tenemos
( )( ) 2121
42
2
42 2
23
2
minus+
++=
minus+
minus+=
minusminus
minus+
x
C
x
B
x
A
x x x
x x
x x x
x x
de donde podemos deducir
1y12 =minus== C B A
por lo tanto
2
1
1
12
2
4223
2
minus+
+minus=
minusminus
minus+
x x x x x x
x x
Entonces
k x- x xdx x x x
dx x x x
x x+++minus=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
minus+
+minus=
minusminus
minus+intint 2ln1lnln2
2
1
1
12
2
4223
2
b) Sea D (x )= 01
1 a xa xa n
nn
n +++ +minus Λ Consideremos el caso de que D (x )
tenga raiacuteces reales muacuteltiples 1α 1m veces 2α 2m veces jα jm
veces
O sea que D( x)= ( ) ( ) ( ) jm j
mmn x x xa α α α minusminusminus Κ 21
21
En este caso calculamos
( )( )int
b
a
dx x D
x P
de la siguiente forma
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )int ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
minus++
minus+
minus++
minus++
minus+
minus minusminus
b
ammmm
dx x
P
x
M
x
L
x
K
x
B
x
AΛΛΛΛ
21
2211
112211 α α α α α α
A L etc se pueden hallar por la tapadita (observe que son coeficientes de los quetienen mayor grado en su denominador) para los demaacutes hay dos formas
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Lo veremos con un
Ejemplo
( ) ( )dx
x x
x xdx
x x x
x xint intminus minus +minus
+minus=
+minus+
+minus0
1
0
12
2
23
2
31
1383
35
1383
Observemos que en este caso el exponente de )1( minus x es 2 por lo tanto decimos que el
orden de multiplicidad de la raiacutez 1 es 2 Para descomponer en fracciones simples deben
aparecer todos los exponentes de ( )1minus x desde 1 hasta 2 en el denominador Es decir
( ) ( ) ( ) 31131
1383
22
2
+
+
minus
+
minus
=
+minus
+minus
x
C
x
B
x
A
x x
x x
Se podriacutea usar el primer meacutetodo para hallar A B y C (realizando operaciones en la
igualdad anterior y resolviendo los sistemas que resultan de igualar los numeradores)
Lo haremos de otra manera
A y C se pueden hallar por el meacutetodo de la tapadita (son los que tienen mayor exponente
en el denominador)
4y2 == C A
sustituimos y queda
( ) ( ) ( ) 3
4
11
2
31
138322
2
++
minus+
minus=
+minus
+minus
x x
B
x x x
x x
Para hallar B damos a x cualquier valor menos 1 y -3 por ejemplo 0= x
de donde
3
42
3
13+minus= B
resultado
1minus= B
Sustituyendo queda
( ) ( ) ( ) 3
4
1
1
1
2
31
138322
2
++minusminusminus=+minus
+minus
x x x x x
x x
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El caacutelculo se simplifica pues
( ) ( ) ( )
=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
++
minusminus
minus
=
+minus
+minus=
+minus+
+minusintint intminusminus minus
dx x x
x
dx
x x
x xdx
x x x
x x0
1
2
0
1
0
1
2
2
23
2
3
4
1
1
1
2
31
1383
35
1383
( ) ( ) ( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=minus+minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus
minus
minus
minus4
27ln12ln32ln13ln323ln31ln
1
20
1
x x- x
c) Sea D (x )= 01
1 a xa xa n
nn
n +++ +minus Λ Consideremos el caso de que D (x )
tenga algunas o todas sus raiacuteces complejas simples
Al igual que en los casos anteriores haremos su descomposicioacuten factorial
Ejemplo
Calculemos( )( )int
++
+minusdx
x x
x x
114
1362
2
Primero descomponemos( )( )114
1362
2
++
+minus
x x
x x en fracciones simples
La expresioacuten( )( )114
1362
2
++
+minus
x x
x x admite una descomposicioacuten de la forma
114 2 +
++
+ x
C Bx
x
A
que efectuando los caacutelculos de rigor obtendremos que 1y12 minus=== C B A (Soacutelo A se podriacutea hacer por ldquotapaditardquo)
De donde
( )( ) 1
1
14
2
114
13622
2
+
minus+
+=
++
+minus
x
x
x x x
x x
y por lo tanto
( )( )int int int+
minus++
=++
+minus dx x
xdx x
dx x x
x x
1
1
14
12114
13622
2
Como se puede apreciar la primera de las integrales no representa ninguna dificultad
de hecho los factores lineales que tenga el denominador determinaraacuten fracciones
simples cuya integral es faacutecil de obtener Por esta razoacuten solo nos dedicaremos a estudiar
la segunda de ellas es decir con int+
minusdx
x
1
12
Operando podemos obtener que
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int intint+
minus+
=+
minus
11
2
2
1
1
1222 x
dxdx
xdx
x
x
La primera de ellas puede ser resuelta a traveacutes de cambio de variable ( ) 2 x xu =
mientras que la segunda es inmediata De alliacute que obtengamos
( ) k x xdx x
x+minus+=
+
minusint Arctan1ln
2
1
1
1 2
2
y en resumen
( )( )int =++
+minusdx
x x
x x
114
1362
2
( ) k x x x +minus+++ Arctan1ln2
114ln
2
1 2
Pero iquestcoacutemo procederiacuteamos para encontrar( )
dx x D
N Mxint + en el caso que ( ) x D tenga
raiacuteces complejas
Antes que nada recordar que todo polinomio de estas caracteriacutesticas puede escribirse de
la forma ( ) 22ba x A ++ y que sin perder generalidad podemos considerar 1= A
En otras palabras trataremos de integrar las funciones de la forma( ) 22
ba x
N Mx
++
+
El procedimiento en el caso general es similar al caso particular que acabamos deestudiar
Como( )
( )
( ) ( )dx
ba x
Ma N dx
ba x
a x M dx
ba x
N Mxintintint
++
minus+
++
+=
++
+222222
2
2
2
La primera integral es relativamente simple usando un cambio de variable
( ) ( ) 22ba x xu ++=
Obtendremos que( )
( )( )( ) 1
22
22
ln2
2
2k ba x
M dx
ba x
a x M +++=
++
+
int
2 Note el lector que nuestra intencioacuten es utilizar un cambio de variable
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En la segunda
( )( )intint =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus=
++
minus
1
22
22
b
a xb
dx Ma N dx
ba x
Ma N
( )int
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
minus
1
2
b
a xb
dx
b
Ma N
Usando el cambio ( )b
a x xu
+= obtenemos que
( )
( )222
Arctan k
b
a x
b
Ma N dx
ba x
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +minus=
++
minusint
Obteniendo como resultado general
( )=
++
+int dx
ba x
N Mx22
( )( )22ln
2ba x
M ++
( )k
b
a x
b
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus+ Arctan
Para el caso en el que el denominador tiene raiacuteces complejas muacuteltiples vea el anexo
iquestEjercicios
Si deseas ampliar y ejercitar el tema puedes consul tar
Teoacuterico y praacutectico
Integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones simples
Integracioacuten de funciones racionales
Praacutectico
Integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones simplesIntegracioacuten de funciones racionales-Paacuteg 5
notas de caacutelculo integral ‐ capitulo 3
Acaacute tienes varios meacutetodos de integracioacuten explicados a traveacutes de ejercicios en
particular integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones parciales
Video
Sintetiza con un ejemplo de descomposicioacuten en fracciones simples pero es muy pesado de bajar
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( ) ( ) ( ) ( ) x R x D xQ x P +=
Dividimos entre ambos miembros entre D( x) (que no tiene raiacuteceshellip f es continua)
( )( )
( ) ( ) ( )( ) x D
x R x D xQ
x D
x P +
=
Integramos ambos miembros
( )( )
( ) ( ) ( )( )intint
+=
b
a
b
a
dx x D
x R x D xQdx
x D
x P
De donde
( )( ) ( ) ( )( ) dx x D x R xQdx
x D x P
b
a
b
a intint ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
Al final de cuentas el uacutenico caso que vale la pena estudiar con mayor dedicacioacuten es el
proacuteximo ya que al dividir obtuvimos un polinomio y una racional en esas condiciones
Ejemplo
Para calcular int minus
++5
2
2
1
3dx
x
x x primero realizamos la divisioacuten entera numerador y
denominador
32 ++ x x 1minus x
x x +minus 2 x + 2
32 +
22 +minus x
5
Luego
int minus
++5
2
2
1
3dx
x
x x = xd
x xint ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
minus++
5
2
1
52 = =minus++
5
2
2
1ln522
x x x
( ) ( )4ln52
33424ln510
2
25+=minusminus++=
grado del numerador lt grado del denominador2do caso
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Meacutetodo de descomposicioacuten en fracciones simples
Nos ocuparemos en esta seccioacuten a descomponer una expresioacuten racional en suma de
expresiones racionales ldquomaacutes simplesrdquo Dada la diversidad de casos optaremos por
realizar el anaacutelisis seguacuten la descomposicioacuten factorial de ( ) x D o sea del denominador
Distinguiremos cuatro situaciones dentro de estaacute opcioacuten
a) Sea D (x )= 01
1 a xa xa nn
nn +++ +
minus Λ Consideremos el caso de que D (x )
tenga todas sus raiacuteces reales y distintas 1α 2α nα
Por el teorema de descomposicioacuten factorial
( )( )
( )( )( ) ( )nn x x xa
x P
x D
x P
α α α minusminusminus= 21
Es razonable que existan A B C N reales tales que
( )( )
( )( )( ) ( )nn x x xa
x P
x D
x P
α α α minusminusminus=
21
=( ) ( ) ( )n x
N
x
B
x
A
α α α minus++
minus+
minusΛ
21
Entonces por uacuteltimo resolveremos
( )( )
=intb
a
dx x D
x P
( ) ( ) ( )int ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minus+
minus+
minus
5
2 21
dx x
N
x
B
x
A
nα α α
Λ
O sea hemos descompuesto la integral de un cociente de dos funciones polinoacutemicas
que no sabiacuteamos resolver en la integral de una suma de fracciones simples que son de
inmediata resolucioacuten
Todo se reduce a hallar los nuacutemeros A B hellip N
Veremos con un ejemplo como hallar los nuacutemeros A B
Ejemplo
( )( )intminus
+minus
+0
121
39dx
x x
x
( )( ) 2121
39
++
minus=
+minus
+
x
B
x
A
x x
x
Veremos dos meacutetodos para calcular A y B
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i) Primer meacutetodo para calcular A y B
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )21
2
21
12
2121
39
+minus
minus++
=+minus
minus++
=++minus=+minus
+
x x
B A x B A
x x
x B x A
x
B
x
A
x x
x
Igualando numeradores
( ) B A x B A x minus++=+ 239
Utilizando identidad de polinomios obtenemos el sistema
⎩
⎨⎧
minus=
+=
B A
B A
23
9
de donde
4= A y 5= B
por lo que
( )( ) 2
5
1
4
21
39
++
minus=
+minus
+
x x x x
x
y entonces
( )( ) =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
++
minus=
+minus
+intintminusminus
0
1
0
12
5
1
4
21
39dx
x xdx
x x
x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2ln2ln42ln52ln51ln40
1 =minus=++minus=
minus x x
ii) Segundo meacutetodo para calcular A y B
Meacutetodo conocido con el nombre de la ldquotapaditardquo1
Veamos un ejemplo del meacutetodo
( )( ) 2121
39
++
minus=
+minus
+
x
B
x
A
x x
x
( )( )
( ) ( )
( )( )21
12
2121
39
+minus
minus++=
++
minus=
+minus
+
x x
x B x A
x
B
x
A
x x
x
1 Este resultado fue demostrado por Ostrodradsky
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( ) ( )1239 minus++=+ x B x A x
si x = 1 rArr )11(3)1(9 +=+ A rArr A=+
+
21
3)1(9
Obseacutervese que para hallar A en( )( )21
39
+minus
+
x x
x se ldquotapoacuterdquo x-1 que es el denominador de
la fraccioacuten cuyo numerador es A y se sustituyoacute en la fraccioacuten remanente( )2
39
+
+
x
x la x
por 1 (que es el valor que anula su denominador) quedando
A=+
+
21
3)1(9
Para hallar B es similar
( ) ( )1239 minus++=+ x B x A x
si x = -2 rArr )12(3)2(9 minusminus=+minus B
Obteniendo
B=minusminus
+minus
12
3)2(9
Obseacutervese que para hallar B en( )( )21
39
+minus
+
x x
x se ldquotapoacuterdquo x+2 y se sustituyoacute x por -2
y entonces
B=minusminus
+minus
12
3)2(9
Conclusioacuten del meacutetodo de la tapadita
( )( ) 2121
39
++
minus=
+minus
+
x
B
x
A
x x
x
Para hallar A o B ldquotapamosrdquo en el denominador del miembro de la izquierda de la
igualdad el denominador de la fraccioacuten de la derecha cuyo numerador se desea
hallar y se sustituye x por la raiacutez de dicho denominador
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Otro ejemplo
Si queremos calcular la primitiva de ( ) x x x
x x x f f
2
42
23
2
minusminus
minus+=
Primero factorizamos x x x 2
23
minusminus que no es complicado de hacer puesto que tieneraiacuteces evidentes por lo tanto ( )( )21223 minus+=minusminus x x x x x x Procediendo como en el
caso anterior tenemos
( )( ) 2121
42
2
42 2
23
2
minus+
++=
minus+
minus+=
minusminus
minus+
x
C
x
B
x
A
x x x
x x
x x x
x x
de donde podemos deducir
1y12 =minus== C B A
por lo tanto
2
1
1
12
2
4223
2
minus+
+minus=
minusminus
minus+
x x x x x x
x x
Entonces
k x- x xdx x x x
dx x x x
x x+++minus=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
minus+
+minus=
minusminus
minus+intint 2ln1lnln2
2
1
1
12
2
4223
2
b) Sea D (x )= 01
1 a xa xa n
nn
n +++ +minus Λ Consideremos el caso de que D (x )
tenga raiacuteces reales muacuteltiples 1α 1m veces 2α 2m veces jα jm
veces
O sea que D( x)= ( ) ( ) ( ) jm j
mmn x x xa α α α minusminusminus Κ 21
21
En este caso calculamos
( )( )int
b
a
dx x D
x P
de la siguiente forma
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )int ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
minus++
minus+
minus++
minus++
minus+
minus minusminus
b
ammmm
dx x
P
x
M
x
L
x
K
x
B
x
AΛΛΛΛ
21
2211
112211 α α α α α α
A L etc se pueden hallar por la tapadita (observe que son coeficientes de los quetienen mayor grado en su denominador) para los demaacutes hay dos formas
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Lo veremos con un
Ejemplo
( ) ( )dx
x x
x xdx
x x x
x xint intminus minus +minus
+minus=
+minus+
+minus0
1
0
12
2
23
2
31
1383
35
1383
Observemos que en este caso el exponente de )1( minus x es 2 por lo tanto decimos que el
orden de multiplicidad de la raiacutez 1 es 2 Para descomponer en fracciones simples deben
aparecer todos los exponentes de ( )1minus x desde 1 hasta 2 en el denominador Es decir
( ) ( ) ( ) 31131
1383
22
2
+
+
minus
+
minus
=
+minus
+minus
x
C
x
B
x
A
x x
x x
Se podriacutea usar el primer meacutetodo para hallar A B y C (realizando operaciones en la
igualdad anterior y resolviendo los sistemas que resultan de igualar los numeradores)
Lo haremos de otra manera
A y C se pueden hallar por el meacutetodo de la tapadita (son los que tienen mayor exponente
en el denominador)
4y2 == C A
sustituimos y queda
( ) ( ) ( ) 3
4
11
2
31
138322
2
++
minus+
minus=
+minus
+minus
x x
B
x x x
x x
Para hallar B damos a x cualquier valor menos 1 y -3 por ejemplo 0= x
de donde
3
42
3
13+minus= B
resultado
1minus= B
Sustituyendo queda
( ) ( ) ( ) 3
4
1
1
1
2
31
138322
2
++minusminusminus=+minus
+minus
x x x x x
x x
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El caacutelculo se simplifica pues
( ) ( ) ( )
=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
++
minusminus
minus
=
+minus
+minus=
+minus+
+minusintint intminusminus minus
dx x x
x
dx
x x
x xdx
x x x
x x0
1
2
0
1
0
1
2
2
23
2
3
4
1
1
1
2
31
1383
35
1383
( ) ( ) ( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=minus+minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus
minus
minus
minus4
27ln12ln32ln13ln323ln31ln
1
20
1
x x- x
c) Sea D (x )= 01
1 a xa xa n
nn
n +++ +minus Λ Consideremos el caso de que D (x )
tenga algunas o todas sus raiacuteces complejas simples
Al igual que en los casos anteriores haremos su descomposicioacuten factorial
Ejemplo
Calculemos( )( )int
++
+minusdx
x x
x x
114
1362
2
Primero descomponemos( )( )114
1362
2
++
+minus
x x
x x en fracciones simples
La expresioacuten( )( )114
1362
2
++
+minus
x x
x x admite una descomposicioacuten de la forma
114 2 +
++
+ x
C Bx
x
A
que efectuando los caacutelculos de rigor obtendremos que 1y12 minus=== C B A (Soacutelo A se podriacutea hacer por ldquotapaditardquo)
De donde
( )( ) 1
1
14
2
114
13622
2
+
minus+
+=
++
+minus
x
x
x x x
x x
y por lo tanto
( )( )int int int+
minus++
=++
+minus dx x
xdx x
dx x x
x x
1
1
14
12114
13622
2
Como se puede apreciar la primera de las integrales no representa ninguna dificultad
de hecho los factores lineales que tenga el denominador determinaraacuten fracciones
simples cuya integral es faacutecil de obtener Por esta razoacuten solo nos dedicaremos a estudiar
la segunda de ellas es decir con int+
minusdx
x
1
12
Operando podemos obtener que
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int intint+
minus+
=+
minus
11
2
2
1
1
1222 x
dxdx
xdx
x
x
La primera de ellas puede ser resuelta a traveacutes de cambio de variable ( ) 2 x xu =
mientras que la segunda es inmediata De alliacute que obtengamos
( ) k x xdx x
x+minus+=
+
minusint Arctan1ln
2
1
1
1 2
2
y en resumen
( )( )int =++
+minusdx
x x
x x
114
1362
2
( ) k x x x +minus+++ Arctan1ln2
114ln
2
1 2
Pero iquestcoacutemo procederiacuteamos para encontrar( )
dx x D
N Mxint + en el caso que ( ) x D tenga
raiacuteces complejas
Antes que nada recordar que todo polinomio de estas caracteriacutesticas puede escribirse de
la forma ( ) 22ba x A ++ y que sin perder generalidad podemos considerar 1= A
En otras palabras trataremos de integrar las funciones de la forma( ) 22
ba x
N Mx
++
+
El procedimiento en el caso general es similar al caso particular que acabamos deestudiar
Como( )
( )
( ) ( )dx
ba x
Ma N dx
ba x
a x M dx
ba x
N Mxintintint
++
minus+
++
+=
++
+222222
2
2
2
La primera integral es relativamente simple usando un cambio de variable
( ) ( ) 22ba x xu ++=
Obtendremos que( )
( )( )( ) 1
22
22
ln2
2
2k ba x
M dx
ba x
a x M +++=
++
+
int
2 Note el lector que nuestra intencioacuten es utilizar un cambio de variable
8192019 Metodo La Tapadita
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En la segunda
( )( )intint =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus=
++
minus
1
22
22
b
a xb
dx Ma N dx
ba x
Ma N
( )int
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
minus
1
2
b
a xb
dx
b
Ma N
Usando el cambio ( )b
a x xu
+= obtenemos que
( )
( )222
Arctan k
b
a x
b
Ma N dx
ba x
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +minus=
++
minusint
Obteniendo como resultado general
( )=
++
+int dx
ba x
N Mx22
( )( )22ln
2ba x
M ++
( )k
b
a x
b
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus+ Arctan
Para el caso en el que el denominador tiene raiacuteces complejas muacuteltiples vea el anexo
iquestEjercicios
Si deseas ampliar y ejercitar el tema puedes consul tar
Teoacuterico y praacutectico
Integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones simples
Integracioacuten de funciones racionales
Praacutectico
Integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones simplesIntegracioacuten de funciones racionales-Paacuteg 5
notas de caacutelculo integral ‐ capitulo 3
Acaacute tienes varios meacutetodos de integracioacuten explicados a traveacutes de ejercicios en
particular integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones parciales
Video
Sintetiza con un ejemplo de descomposicioacuten en fracciones simples pero es muy pesado de bajar
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Meacutetodo de descomposicioacuten en fracciones simples
Nos ocuparemos en esta seccioacuten a descomponer una expresioacuten racional en suma de
expresiones racionales ldquomaacutes simplesrdquo Dada la diversidad de casos optaremos por
realizar el anaacutelisis seguacuten la descomposicioacuten factorial de ( ) x D o sea del denominador
Distinguiremos cuatro situaciones dentro de estaacute opcioacuten
a) Sea D (x )= 01
1 a xa xa nn
nn +++ +
minus Λ Consideremos el caso de que D (x )
tenga todas sus raiacuteces reales y distintas 1α 2α nα
Por el teorema de descomposicioacuten factorial
( )( )
( )( )( ) ( )nn x x xa
x P
x D
x P
α α α minusminusminus= 21
Es razonable que existan A B C N reales tales que
( )( )
( )( )( ) ( )nn x x xa
x P
x D
x P
α α α minusminusminus=
21
=( ) ( ) ( )n x
N
x
B
x
A
α α α minus++
minus+
minusΛ
21
Entonces por uacuteltimo resolveremos
( )( )
=intb
a
dx x D
x P
( ) ( ) ( )int ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minus+
minus+
minus
5
2 21
dx x
N
x
B
x
A
nα α α
Λ
O sea hemos descompuesto la integral de un cociente de dos funciones polinoacutemicas
que no sabiacuteamos resolver en la integral de una suma de fracciones simples que son de
inmediata resolucioacuten
Todo se reduce a hallar los nuacutemeros A B hellip N
Veremos con un ejemplo como hallar los nuacutemeros A B
Ejemplo
( )( )intminus
+minus
+0
121
39dx
x x
x
( )( ) 2121
39
++
minus=
+minus
+
x
B
x
A
x x
x
Veremos dos meacutetodos para calcular A y B
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i) Primer meacutetodo para calcular A y B
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )21
2
21
12
2121
39
+minus
minus++
=+minus
minus++
=++minus=+minus
+
x x
B A x B A
x x
x B x A
x
B
x
A
x x
x
Igualando numeradores
( ) B A x B A x minus++=+ 239
Utilizando identidad de polinomios obtenemos el sistema
⎩
⎨⎧
minus=
+=
B A
B A
23
9
de donde
4= A y 5= B
por lo que
( )( ) 2
5
1
4
21
39
++
minus=
+minus
+
x x x x
x
y entonces
( )( ) =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
++
minus=
+minus
+intintminusminus
0
1
0
12
5
1
4
21
39dx
x xdx
x x
x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2ln2ln42ln52ln51ln40
1 =minus=++minus=
minus x x
ii) Segundo meacutetodo para calcular A y B
Meacutetodo conocido con el nombre de la ldquotapaditardquo1
Veamos un ejemplo del meacutetodo
( )( ) 2121
39
++
minus=
+minus
+
x
B
x
A
x x
x
( )( )
( ) ( )
( )( )21
12
2121
39
+minus
minus++=
++
minus=
+minus
+
x x
x B x A
x
B
x
A
x x
x
1 Este resultado fue demostrado por Ostrodradsky
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( ) ( )1239 minus++=+ x B x A x
si x = 1 rArr )11(3)1(9 +=+ A rArr A=+
+
21
3)1(9
Obseacutervese que para hallar A en( )( )21
39
+minus
+
x x
x se ldquotapoacuterdquo x-1 que es el denominador de
la fraccioacuten cuyo numerador es A y se sustituyoacute en la fraccioacuten remanente( )2
39
+
+
x
x la x
por 1 (que es el valor que anula su denominador) quedando
A=+
+
21
3)1(9
Para hallar B es similar
( ) ( )1239 minus++=+ x B x A x
si x = -2 rArr )12(3)2(9 minusminus=+minus B
Obteniendo
B=minusminus
+minus
12
3)2(9
Obseacutervese que para hallar B en( )( )21
39
+minus
+
x x
x se ldquotapoacuterdquo x+2 y se sustituyoacute x por -2
y entonces
B=minusminus
+minus
12
3)2(9
Conclusioacuten del meacutetodo de la tapadita
( )( ) 2121
39
++
minus=
+minus
+
x
B
x
A
x x
x
Para hallar A o B ldquotapamosrdquo en el denominador del miembro de la izquierda de la
igualdad el denominador de la fraccioacuten de la derecha cuyo numerador se desea
hallar y se sustituye x por la raiacutez de dicho denominador
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Otro ejemplo
Si queremos calcular la primitiva de ( ) x x x
x x x f f
2
42
23
2
minusminus
minus+=
Primero factorizamos x x x 2
23
minusminus que no es complicado de hacer puesto que tieneraiacuteces evidentes por lo tanto ( )( )21223 minus+=minusminus x x x x x x Procediendo como en el
caso anterior tenemos
( )( ) 2121
42
2
42 2
23
2
minus+
++=
minus+
minus+=
minusminus
minus+
x
C
x
B
x
A
x x x
x x
x x x
x x
de donde podemos deducir
1y12 =minus== C B A
por lo tanto
2
1
1
12
2
4223
2
minus+
+minus=
minusminus
minus+
x x x x x x
x x
Entonces
k x- x xdx x x x
dx x x x
x x+++minus=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
minus+
+minus=
minusminus
minus+intint 2ln1lnln2
2
1
1
12
2
4223
2
b) Sea D (x )= 01
1 a xa xa n
nn
n +++ +minus Λ Consideremos el caso de que D (x )
tenga raiacuteces reales muacuteltiples 1α 1m veces 2α 2m veces jα jm
veces
O sea que D( x)= ( ) ( ) ( ) jm j
mmn x x xa α α α minusminusminus Κ 21
21
En este caso calculamos
( )( )int
b
a
dx x D
x P
de la siguiente forma
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )int ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
minus++
minus+
minus++
minus++
minus+
minus minusminus
b
ammmm
dx x
P
x
M
x
L
x
K
x
B
x
AΛΛΛΛ
21
2211
112211 α α α α α α
A L etc se pueden hallar por la tapadita (observe que son coeficientes de los quetienen mayor grado en su denominador) para los demaacutes hay dos formas
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Lo veremos con un
Ejemplo
( ) ( )dx
x x
x xdx
x x x
x xint intminus minus +minus
+minus=
+minus+
+minus0
1
0
12
2
23
2
31
1383
35
1383
Observemos que en este caso el exponente de )1( minus x es 2 por lo tanto decimos que el
orden de multiplicidad de la raiacutez 1 es 2 Para descomponer en fracciones simples deben
aparecer todos los exponentes de ( )1minus x desde 1 hasta 2 en el denominador Es decir
( ) ( ) ( ) 31131
1383
22
2
+
+
minus
+
minus
=
+minus
+minus
x
C
x
B
x
A
x x
x x
Se podriacutea usar el primer meacutetodo para hallar A B y C (realizando operaciones en la
igualdad anterior y resolviendo los sistemas que resultan de igualar los numeradores)
Lo haremos de otra manera
A y C se pueden hallar por el meacutetodo de la tapadita (son los que tienen mayor exponente
en el denominador)
4y2 == C A
sustituimos y queda
( ) ( ) ( ) 3
4
11
2
31
138322
2
++
minus+
minus=
+minus
+minus
x x
B
x x x
x x
Para hallar B damos a x cualquier valor menos 1 y -3 por ejemplo 0= x
de donde
3
42
3
13+minus= B
resultado
1minus= B
Sustituyendo queda
( ) ( ) ( ) 3
4
1
1
1
2
31
138322
2
++minusminusminus=+minus
+minus
x x x x x
x x
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El caacutelculo se simplifica pues
( ) ( ) ( )
=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
++
minusminus
minus
=
+minus
+minus=
+minus+
+minusintint intminusminus minus
dx x x
x
dx
x x
x xdx
x x x
x x0
1
2
0
1
0
1
2
2
23
2
3
4
1
1
1
2
31
1383
35
1383
( ) ( ) ( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=minus+minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus
minus
minus
minus4
27ln12ln32ln13ln323ln31ln
1
20
1
x x- x
c) Sea D (x )= 01
1 a xa xa n
nn
n +++ +minus Λ Consideremos el caso de que D (x )
tenga algunas o todas sus raiacuteces complejas simples
Al igual que en los casos anteriores haremos su descomposicioacuten factorial
Ejemplo
Calculemos( )( )int
++
+minusdx
x x
x x
114
1362
2
Primero descomponemos( )( )114
1362
2
++
+minus
x x
x x en fracciones simples
La expresioacuten( )( )114
1362
2
++
+minus
x x
x x admite una descomposicioacuten de la forma
114 2 +
++
+ x
C Bx
x
A
que efectuando los caacutelculos de rigor obtendremos que 1y12 minus=== C B A (Soacutelo A se podriacutea hacer por ldquotapaditardquo)
De donde
( )( ) 1
1
14
2
114
13622
2
+
minus+
+=
++
+minus
x
x
x x x
x x
y por lo tanto
( )( )int int int+
minus++
=++
+minus dx x
xdx x
dx x x
x x
1
1
14
12114
13622
2
Como se puede apreciar la primera de las integrales no representa ninguna dificultad
de hecho los factores lineales que tenga el denominador determinaraacuten fracciones
simples cuya integral es faacutecil de obtener Por esta razoacuten solo nos dedicaremos a estudiar
la segunda de ellas es decir con int+
minusdx
x
1
12
Operando podemos obtener que
8192019 Metodo La Tapadita
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int intint+
minus+
=+
minus
11
2
2
1
1
1222 x
dxdx
xdx
x
x
La primera de ellas puede ser resuelta a traveacutes de cambio de variable ( ) 2 x xu =
mientras que la segunda es inmediata De alliacute que obtengamos
( ) k x xdx x
x+minus+=
+
minusint Arctan1ln
2
1
1
1 2
2
y en resumen
( )( )int =++
+minusdx
x x
x x
114
1362
2
( ) k x x x +minus+++ Arctan1ln2
114ln
2
1 2
Pero iquestcoacutemo procederiacuteamos para encontrar( )
dx x D
N Mxint + en el caso que ( ) x D tenga
raiacuteces complejas
Antes que nada recordar que todo polinomio de estas caracteriacutesticas puede escribirse de
la forma ( ) 22ba x A ++ y que sin perder generalidad podemos considerar 1= A
En otras palabras trataremos de integrar las funciones de la forma( ) 22
ba x
N Mx
++
+
El procedimiento en el caso general es similar al caso particular que acabamos deestudiar
Como( )
( )
( ) ( )dx
ba x
Ma N dx
ba x
a x M dx
ba x
N Mxintintint
++
minus+
++
+=
++
+222222
2
2
2
La primera integral es relativamente simple usando un cambio de variable
( ) ( ) 22ba x xu ++=
Obtendremos que( )
( )( )( ) 1
22
22
ln2
2
2k ba x
M dx
ba x
a x M +++=
++
+
int
2 Note el lector que nuestra intencioacuten es utilizar un cambio de variable
8192019 Metodo La Tapadita
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En la segunda
( )( )intint =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus=
++
minus
1
22
22
b
a xb
dx Ma N dx
ba x
Ma N
( )int
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
minus
1
2
b
a xb
dx
b
Ma N
Usando el cambio ( )b
a x xu
+= obtenemos que
( )
( )222
Arctan k
b
a x
b
Ma N dx
ba x
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +minus=
++
minusint
Obteniendo como resultado general
( )=
++
+int dx
ba x
N Mx22
( )( )22ln
2ba x
M ++
( )k
b
a x
b
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus+ Arctan
Para el caso en el que el denominador tiene raiacuteces complejas muacuteltiples vea el anexo
iquestEjercicios
Si deseas ampliar y ejercitar el tema puedes consul tar
Teoacuterico y praacutectico
Integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones simples
Integracioacuten de funciones racionales
Praacutectico
Integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones simplesIntegracioacuten de funciones racionales-Paacuteg 5
notas de caacutelculo integral ‐ capitulo 3
Acaacute tienes varios meacutetodos de integracioacuten explicados a traveacutes de ejercicios en
particular integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones parciales
Video
Sintetiza con un ejemplo de descomposicioacuten en fracciones simples pero es muy pesado de bajar
8192019 Metodo La Tapadita
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i) Primer meacutetodo para calcular A y B
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )21
2
21
12
2121
39
+minus
minus++
=+minus
minus++
=++minus=+minus
+
x x
B A x B A
x x
x B x A
x
B
x
A
x x
x
Igualando numeradores
( ) B A x B A x minus++=+ 239
Utilizando identidad de polinomios obtenemos el sistema
⎩
⎨⎧
minus=
+=
B A
B A
23
9
de donde
4= A y 5= B
por lo que
( )( ) 2
5
1
4
21
39
++
minus=
+minus
+
x x x x
x
y entonces
( )( ) =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
++
minus=
+minus
+intintminusminus
0
1
0
12
5
1
4
21
39dx
x xdx
x x
x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2ln2ln42ln52ln51ln40
1 =minus=++minus=
minus x x
ii) Segundo meacutetodo para calcular A y B
Meacutetodo conocido con el nombre de la ldquotapaditardquo1
Veamos un ejemplo del meacutetodo
( )( ) 2121
39
++
minus=
+minus
+
x
B
x
A
x x
x
( )( )
( ) ( )
( )( )21
12
2121
39
+minus
minus++=
++
minus=
+minus
+
x x
x B x A
x
B
x
A
x x
x
1 Este resultado fue demostrado por Ostrodradsky
8192019 Metodo La Tapadita
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( ) ( )1239 minus++=+ x B x A x
si x = 1 rArr )11(3)1(9 +=+ A rArr A=+
+
21
3)1(9
Obseacutervese que para hallar A en( )( )21
39
+minus
+
x x
x se ldquotapoacuterdquo x-1 que es el denominador de
la fraccioacuten cuyo numerador es A y se sustituyoacute en la fraccioacuten remanente( )2
39
+
+
x
x la x
por 1 (que es el valor que anula su denominador) quedando
A=+
+
21
3)1(9
Para hallar B es similar
( ) ( )1239 minus++=+ x B x A x
si x = -2 rArr )12(3)2(9 minusminus=+minus B
Obteniendo
B=minusminus
+minus
12
3)2(9
Obseacutervese que para hallar B en( )( )21
39
+minus
+
x x
x se ldquotapoacuterdquo x+2 y se sustituyoacute x por -2
y entonces
B=minusminus
+minus
12
3)2(9
Conclusioacuten del meacutetodo de la tapadita
( )( ) 2121
39
++
minus=
+minus
+
x
B
x
A
x x
x
Para hallar A o B ldquotapamosrdquo en el denominador del miembro de la izquierda de la
igualdad el denominador de la fraccioacuten de la derecha cuyo numerador se desea
hallar y se sustituye x por la raiacutez de dicho denominador
8192019 Metodo La Tapadita
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Otro ejemplo
Si queremos calcular la primitiva de ( ) x x x
x x x f f
2
42
23
2
minusminus
minus+=
Primero factorizamos x x x 2
23
minusminus que no es complicado de hacer puesto que tieneraiacuteces evidentes por lo tanto ( )( )21223 minus+=minusminus x x x x x x Procediendo como en el
caso anterior tenemos
( )( ) 2121
42
2
42 2
23
2
minus+
++=
minus+
minus+=
minusminus
minus+
x
C
x
B
x
A
x x x
x x
x x x
x x
de donde podemos deducir
1y12 =minus== C B A
por lo tanto
2
1
1
12
2
4223
2
minus+
+minus=
minusminus
minus+
x x x x x x
x x
Entonces
k x- x xdx x x x
dx x x x
x x+++minus=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
minus+
+minus=
minusminus
minus+intint 2ln1lnln2
2
1
1
12
2
4223
2
b) Sea D (x )= 01
1 a xa xa n
nn
n +++ +minus Λ Consideremos el caso de que D (x )
tenga raiacuteces reales muacuteltiples 1α 1m veces 2α 2m veces jα jm
veces
O sea que D( x)= ( ) ( ) ( ) jm j
mmn x x xa α α α minusminusminus Κ 21
21
En este caso calculamos
( )( )int
b
a
dx x D
x P
de la siguiente forma
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )int ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
minus++
minus+
minus++
minus++
minus+
minus minusminus
b
ammmm
dx x
P
x
M
x
L
x
K
x
B
x
AΛΛΛΛ
21
2211
112211 α α α α α α
A L etc se pueden hallar por la tapadita (observe que son coeficientes de los quetienen mayor grado en su denominador) para los demaacutes hay dos formas
8192019 Metodo La Tapadita
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Lo veremos con un
Ejemplo
( ) ( )dx
x x
x xdx
x x x
x xint intminus minus +minus
+minus=
+minus+
+minus0
1
0
12
2
23
2
31
1383
35
1383
Observemos que en este caso el exponente de )1( minus x es 2 por lo tanto decimos que el
orden de multiplicidad de la raiacutez 1 es 2 Para descomponer en fracciones simples deben
aparecer todos los exponentes de ( )1minus x desde 1 hasta 2 en el denominador Es decir
( ) ( ) ( ) 31131
1383
22
2
+
+
minus
+
minus
=
+minus
+minus
x
C
x
B
x
A
x x
x x
Se podriacutea usar el primer meacutetodo para hallar A B y C (realizando operaciones en la
igualdad anterior y resolviendo los sistemas que resultan de igualar los numeradores)
Lo haremos de otra manera
A y C se pueden hallar por el meacutetodo de la tapadita (son los que tienen mayor exponente
en el denominador)
4y2 == C A
sustituimos y queda
( ) ( ) ( ) 3
4
11
2
31
138322
2
++
minus+
minus=
+minus
+minus
x x
B
x x x
x x
Para hallar B damos a x cualquier valor menos 1 y -3 por ejemplo 0= x
de donde
3
42
3
13+minus= B
resultado
1minus= B
Sustituyendo queda
( ) ( ) ( ) 3
4
1
1
1
2
31
138322
2
++minusminusminus=+minus
+minus
x x x x x
x x
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El caacutelculo se simplifica pues
( ) ( ) ( )
=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
++
minusminus
minus
=
+minus
+minus=
+minus+
+minusintint intminusminus minus
dx x x
x
dx
x x
x xdx
x x x
x x0
1
2
0
1
0
1
2
2
23
2
3
4
1
1
1
2
31
1383
35
1383
( ) ( ) ( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=minus+minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus
minus
minus
minus4
27ln12ln32ln13ln323ln31ln
1
20
1
x x- x
c) Sea D (x )= 01
1 a xa xa n
nn
n +++ +minus Λ Consideremos el caso de que D (x )
tenga algunas o todas sus raiacuteces complejas simples
Al igual que en los casos anteriores haremos su descomposicioacuten factorial
Ejemplo
Calculemos( )( )int
++
+minusdx
x x
x x
114
1362
2
Primero descomponemos( )( )114
1362
2
++
+minus
x x
x x en fracciones simples
La expresioacuten( )( )114
1362
2
++
+minus
x x
x x admite una descomposicioacuten de la forma
114 2 +
++
+ x
C Bx
x
A
que efectuando los caacutelculos de rigor obtendremos que 1y12 minus=== C B A (Soacutelo A se podriacutea hacer por ldquotapaditardquo)
De donde
( )( ) 1
1
14
2
114
13622
2
+
minus+
+=
++
+minus
x
x
x x x
x x
y por lo tanto
( )( )int int int+
minus++
=++
+minus dx x
xdx x
dx x x
x x
1
1
14
12114
13622
2
Como se puede apreciar la primera de las integrales no representa ninguna dificultad
de hecho los factores lineales que tenga el denominador determinaraacuten fracciones
simples cuya integral es faacutecil de obtener Por esta razoacuten solo nos dedicaremos a estudiar
la segunda de ellas es decir con int+
minusdx
x
1
12
Operando podemos obtener que
8192019 Metodo La Tapadita
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int intint+
minus+
=+
minus
11
2
2
1
1
1222 x
dxdx
xdx
x
x
La primera de ellas puede ser resuelta a traveacutes de cambio de variable ( ) 2 x xu =
mientras que la segunda es inmediata De alliacute que obtengamos
( ) k x xdx x
x+minus+=
+
minusint Arctan1ln
2
1
1
1 2
2
y en resumen
( )( )int =++
+minusdx
x x
x x
114
1362
2
( ) k x x x +minus+++ Arctan1ln2
114ln
2
1 2
Pero iquestcoacutemo procederiacuteamos para encontrar( )
dx x D
N Mxint + en el caso que ( ) x D tenga
raiacuteces complejas
Antes que nada recordar que todo polinomio de estas caracteriacutesticas puede escribirse de
la forma ( ) 22ba x A ++ y que sin perder generalidad podemos considerar 1= A
En otras palabras trataremos de integrar las funciones de la forma( ) 22
ba x
N Mx
++
+
El procedimiento en el caso general es similar al caso particular que acabamos deestudiar
Como( )
( )
( ) ( )dx
ba x
Ma N dx
ba x
a x M dx
ba x
N Mxintintint
++
minus+
++
+=
++
+222222
2
2
2
La primera integral es relativamente simple usando un cambio de variable
( ) ( ) 22ba x xu ++=
Obtendremos que( )
( )( )( ) 1
22
22
ln2
2
2k ba x
M dx
ba x
a x M +++=
++
+
int
2 Note el lector que nuestra intencioacuten es utilizar un cambio de variable
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En la segunda
( )( )intint =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus=
++
minus
1
22
22
b
a xb
dx Ma N dx
ba x
Ma N
( )int
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
minus
1
2
b
a xb
dx
b
Ma N
Usando el cambio ( )b
a x xu
+= obtenemos que
( )
( )222
Arctan k
b
a x
b
Ma N dx
ba x
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +minus=
++
minusint
Obteniendo como resultado general
( )=
++
+int dx
ba x
N Mx22
( )( )22ln
2ba x
M ++
( )k
b
a x
b
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus+ Arctan
Para el caso en el que el denominador tiene raiacuteces complejas muacuteltiples vea el anexo
iquestEjercicios
Si deseas ampliar y ejercitar el tema puedes consul tar
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Integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones simples
Integracioacuten de funciones racionales
Praacutectico
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notas de caacutelculo integral ‐ capitulo 3
Acaacute tienes varios meacutetodos de integracioacuten explicados a traveacutes de ejercicios en
particular integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones parciales
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( ) ( )1239 minus++=+ x B x A x
si x = 1 rArr )11(3)1(9 +=+ A rArr A=+
+
21
3)1(9
Obseacutervese que para hallar A en( )( )21
39
+minus
+
x x
x se ldquotapoacuterdquo x-1 que es el denominador de
la fraccioacuten cuyo numerador es A y se sustituyoacute en la fraccioacuten remanente( )2
39
+
+
x
x la x
por 1 (que es el valor que anula su denominador) quedando
A=+
+
21
3)1(9
Para hallar B es similar
( ) ( )1239 minus++=+ x B x A x
si x = -2 rArr )12(3)2(9 minusminus=+minus B
Obteniendo
B=minusminus
+minus
12
3)2(9
Obseacutervese que para hallar B en( )( )21
39
+minus
+
x x
x se ldquotapoacuterdquo x+2 y se sustituyoacute x por -2
y entonces
B=minusminus
+minus
12
3)2(9
Conclusioacuten del meacutetodo de la tapadita
( )( ) 2121
39
++
minus=
+minus
+
x
B
x
A
x x
x
Para hallar A o B ldquotapamosrdquo en el denominador del miembro de la izquierda de la
igualdad el denominador de la fraccioacuten de la derecha cuyo numerador se desea
hallar y se sustituye x por la raiacutez de dicho denominador
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Otro ejemplo
Si queremos calcular la primitiva de ( ) x x x
x x x f f
2
42
23
2
minusminus
minus+=
Primero factorizamos x x x 2
23
minusminus que no es complicado de hacer puesto que tieneraiacuteces evidentes por lo tanto ( )( )21223 minus+=minusminus x x x x x x Procediendo como en el
caso anterior tenemos
( )( ) 2121
42
2
42 2
23
2
minus+
++=
minus+
minus+=
minusminus
minus+
x
C
x
B
x
A
x x x
x x
x x x
x x
de donde podemos deducir
1y12 =minus== C B A
por lo tanto
2
1
1
12
2
4223
2
minus+
+minus=
minusminus
minus+
x x x x x x
x x
Entonces
k x- x xdx x x x
dx x x x
x x+++minus=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
minus+
+minus=
minusminus
minus+intint 2ln1lnln2
2
1
1
12
2
4223
2
b) Sea D (x )= 01
1 a xa xa n
nn
n +++ +minus Λ Consideremos el caso de que D (x )
tenga raiacuteces reales muacuteltiples 1α 1m veces 2α 2m veces jα jm
veces
O sea que D( x)= ( ) ( ) ( ) jm j
mmn x x xa α α α minusminusminus Κ 21
21
En este caso calculamos
( )( )int
b
a
dx x D
x P
de la siguiente forma
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )int ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
minus++
minus+
minus++
minus++
minus+
minus minusminus
b
ammmm
dx x
P
x
M
x
L
x
K
x
B
x
AΛΛΛΛ
21
2211
112211 α α α α α α
A L etc se pueden hallar por la tapadita (observe que son coeficientes de los quetienen mayor grado en su denominador) para los demaacutes hay dos formas
8192019 Metodo La Tapadita
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Lo veremos con un
Ejemplo
( ) ( )dx
x x
x xdx
x x x
x xint intminus minus +minus
+minus=
+minus+
+minus0
1
0
12
2
23
2
31
1383
35
1383
Observemos que en este caso el exponente de )1( minus x es 2 por lo tanto decimos que el
orden de multiplicidad de la raiacutez 1 es 2 Para descomponer en fracciones simples deben
aparecer todos los exponentes de ( )1minus x desde 1 hasta 2 en el denominador Es decir
( ) ( ) ( ) 31131
1383
22
2
+
+
minus
+
minus
=
+minus
+minus
x
C
x
B
x
A
x x
x x
Se podriacutea usar el primer meacutetodo para hallar A B y C (realizando operaciones en la
igualdad anterior y resolviendo los sistemas que resultan de igualar los numeradores)
Lo haremos de otra manera
A y C se pueden hallar por el meacutetodo de la tapadita (son los que tienen mayor exponente
en el denominador)
4y2 == C A
sustituimos y queda
( ) ( ) ( ) 3
4
11
2
31
138322
2
++
minus+
minus=
+minus
+minus
x x
B
x x x
x x
Para hallar B damos a x cualquier valor menos 1 y -3 por ejemplo 0= x
de donde
3
42
3
13+minus= B
resultado
1minus= B
Sustituyendo queda
( ) ( ) ( ) 3
4
1
1
1
2
31
138322
2
++minusminusminus=+minus
+minus
x x x x x
x x
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El caacutelculo se simplifica pues
( ) ( ) ( )
=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
++
minusminus
minus
=
+minus
+minus=
+minus+
+minusintint intminusminus minus
dx x x
x
dx
x x
x xdx
x x x
x x0
1
2
0
1
0
1
2
2
23
2
3
4
1
1
1
2
31
1383
35
1383
( ) ( ) ( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=minus+minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus
minus
minus
minus4
27ln12ln32ln13ln323ln31ln
1
20
1
x x- x
c) Sea D (x )= 01
1 a xa xa n
nn
n +++ +minus Λ Consideremos el caso de que D (x )
tenga algunas o todas sus raiacuteces complejas simples
Al igual que en los casos anteriores haremos su descomposicioacuten factorial
Ejemplo
Calculemos( )( )int
++
+minusdx
x x
x x
114
1362
2
Primero descomponemos( )( )114
1362
2
++
+minus
x x
x x en fracciones simples
La expresioacuten( )( )114
1362
2
++
+minus
x x
x x admite una descomposicioacuten de la forma
114 2 +
++
+ x
C Bx
x
A
que efectuando los caacutelculos de rigor obtendremos que 1y12 minus=== C B A (Soacutelo A se podriacutea hacer por ldquotapaditardquo)
De donde
( )( ) 1
1
14
2
114
13622
2
+
minus+
+=
++
+minus
x
x
x x x
x x
y por lo tanto
( )( )int int int+
minus++
=++
+minus dx x
xdx x
dx x x
x x
1
1
14
12114
13622
2
Como se puede apreciar la primera de las integrales no representa ninguna dificultad
de hecho los factores lineales que tenga el denominador determinaraacuten fracciones
simples cuya integral es faacutecil de obtener Por esta razoacuten solo nos dedicaremos a estudiar
la segunda de ellas es decir con int+
minusdx
x
1
12
Operando podemos obtener que
8192019 Metodo La Tapadita
httpslidepdfcomreaderfullmetodo-la-tapadita 910
int intint+
minus+
=+
minus
11
2
2
1
1
1222 x
dxdx
xdx
x
x
La primera de ellas puede ser resuelta a traveacutes de cambio de variable ( ) 2 x xu =
mientras que la segunda es inmediata De alliacute que obtengamos
( ) k x xdx x
x+minus+=
+
minusint Arctan1ln
2
1
1
1 2
2
y en resumen
( )( )int =++
+minusdx
x x
x x
114
1362
2
( ) k x x x +minus+++ Arctan1ln2
114ln
2
1 2
Pero iquestcoacutemo procederiacuteamos para encontrar( )
dx x D
N Mxint + en el caso que ( ) x D tenga
raiacuteces complejas
Antes que nada recordar que todo polinomio de estas caracteriacutesticas puede escribirse de
la forma ( ) 22ba x A ++ y que sin perder generalidad podemos considerar 1= A
En otras palabras trataremos de integrar las funciones de la forma( ) 22
ba x
N Mx
++
+
El procedimiento en el caso general es similar al caso particular que acabamos deestudiar
Como( )
( )
( ) ( )dx
ba x
Ma N dx
ba x
a x M dx
ba x
N Mxintintint
++
minus+
++
+=
++
+222222
2
2
2
La primera integral es relativamente simple usando un cambio de variable
( ) ( ) 22ba x xu ++=
Obtendremos que( )
( )( )( ) 1
22
22
ln2
2
2k ba x
M dx
ba x
a x M +++=
++
+
int
2 Note el lector que nuestra intencioacuten es utilizar un cambio de variable
8192019 Metodo La Tapadita
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En la segunda
( )( )intint =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus=
++
minus
1
22
22
b
a xb
dx Ma N dx
ba x
Ma N
( )int
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
minus
1
2
b
a xb
dx
b
Ma N
Usando el cambio ( )b
a x xu
+= obtenemos que
( )
( )222
Arctan k
b
a x
b
Ma N dx
ba x
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +minus=
++
minusint
Obteniendo como resultado general
( )=
++
+int dx
ba x
N Mx22
( )( )22ln
2ba x
M ++
( )k
b
a x
b
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus+ Arctan
Para el caso en el que el denominador tiene raiacuteces complejas muacuteltiples vea el anexo
iquestEjercicios
Si deseas ampliar y ejercitar el tema puedes consul tar
Teoacuterico y praacutectico
Integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones simples
Integracioacuten de funciones racionales
Praacutectico
Integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones simplesIntegracioacuten de funciones racionales-Paacuteg 5
notas de caacutelculo integral ‐ capitulo 3
Acaacute tienes varios meacutetodos de integracioacuten explicados a traveacutes de ejercicios en
particular integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones parciales
Video
Sintetiza con un ejemplo de descomposicioacuten en fracciones simples pero es muy pesado de bajar
8192019 Metodo La Tapadita
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Otro ejemplo
Si queremos calcular la primitiva de ( ) x x x
x x x f f
2
42
23
2
minusminus
minus+=
Primero factorizamos x x x 2
23
minusminus que no es complicado de hacer puesto que tieneraiacuteces evidentes por lo tanto ( )( )21223 minus+=minusminus x x x x x x Procediendo como en el
caso anterior tenemos
( )( ) 2121
42
2
42 2
23
2
minus+
++=
minus+
minus+=
minusminus
minus+
x
C
x
B
x
A
x x x
x x
x x x
x x
de donde podemos deducir
1y12 =minus== C B A
por lo tanto
2
1
1
12
2
4223
2
minus+
+minus=
minusminus
minus+
x x x x x x
x x
Entonces
k x- x xdx x x x
dx x x x
x x+++minus=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
minus+
+minus=
minusminus
minus+intint 2ln1lnln2
2
1
1
12
2
4223
2
b) Sea D (x )= 01
1 a xa xa n
nn
n +++ +minus Λ Consideremos el caso de que D (x )
tenga raiacuteces reales muacuteltiples 1α 1m veces 2α 2m veces jα jm
veces
O sea que D( x)= ( ) ( ) ( ) jm j
mmn x x xa α α α minusminusminus Κ 21
21
En este caso calculamos
( )( )int
b
a
dx x D
x P
de la siguiente forma
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )int ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
minus++
minus+
minus++
minus++
minus+
minus minusminus
b
ammmm
dx x
P
x
M
x
L
x
K
x
B
x
AΛΛΛΛ
21
2211
112211 α α α α α α
A L etc se pueden hallar por la tapadita (observe que son coeficientes de los quetienen mayor grado en su denominador) para los demaacutes hay dos formas
8192019 Metodo La Tapadita
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Lo veremos con un
Ejemplo
( ) ( )dx
x x
x xdx
x x x
x xint intminus minus +minus
+minus=
+minus+
+minus0
1
0
12
2
23
2
31
1383
35
1383
Observemos que en este caso el exponente de )1( minus x es 2 por lo tanto decimos que el
orden de multiplicidad de la raiacutez 1 es 2 Para descomponer en fracciones simples deben
aparecer todos los exponentes de ( )1minus x desde 1 hasta 2 en el denominador Es decir
( ) ( ) ( ) 31131
1383
22
2
+
+
minus
+
minus
=
+minus
+minus
x
C
x
B
x
A
x x
x x
Se podriacutea usar el primer meacutetodo para hallar A B y C (realizando operaciones en la
igualdad anterior y resolviendo los sistemas que resultan de igualar los numeradores)
Lo haremos de otra manera
A y C se pueden hallar por el meacutetodo de la tapadita (son los que tienen mayor exponente
en el denominador)
4y2 == C A
sustituimos y queda
( ) ( ) ( ) 3
4
11
2
31
138322
2
++
minus+
minus=
+minus
+minus
x x
B
x x x
x x
Para hallar B damos a x cualquier valor menos 1 y -3 por ejemplo 0= x
de donde
3
42
3
13+minus= B
resultado
1minus= B
Sustituyendo queda
( ) ( ) ( ) 3
4
1
1
1
2
31
138322
2
++minusminusminus=+minus
+minus
x x x x x
x x
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El caacutelculo se simplifica pues
( ) ( ) ( )
=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
++
minusminus
minus
=
+minus
+minus=
+minus+
+minusintint intminusminus minus
dx x x
x
dx
x x
x xdx
x x x
x x0
1
2
0
1
0
1
2
2
23
2
3
4
1
1
1
2
31
1383
35
1383
( ) ( ) ( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=minus+minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus
minus
minus
minus4
27ln12ln32ln13ln323ln31ln
1
20
1
x x- x
c) Sea D (x )= 01
1 a xa xa n
nn
n +++ +minus Λ Consideremos el caso de que D (x )
tenga algunas o todas sus raiacuteces complejas simples
Al igual que en los casos anteriores haremos su descomposicioacuten factorial
Ejemplo
Calculemos( )( )int
++
+minusdx
x x
x x
114
1362
2
Primero descomponemos( )( )114
1362
2
++
+minus
x x
x x en fracciones simples
La expresioacuten( )( )114
1362
2
++
+minus
x x
x x admite una descomposicioacuten de la forma
114 2 +
++
+ x
C Bx
x
A
que efectuando los caacutelculos de rigor obtendremos que 1y12 minus=== C B A (Soacutelo A se podriacutea hacer por ldquotapaditardquo)
De donde
( )( ) 1
1
14
2
114
13622
2
+
minus+
+=
++
+minus
x
x
x x x
x x
y por lo tanto
( )( )int int int+
minus++
=++
+minus dx x
xdx x
dx x x
x x
1
1
14
12114
13622
2
Como se puede apreciar la primera de las integrales no representa ninguna dificultad
de hecho los factores lineales que tenga el denominador determinaraacuten fracciones
simples cuya integral es faacutecil de obtener Por esta razoacuten solo nos dedicaremos a estudiar
la segunda de ellas es decir con int+
minusdx
x
1
12
Operando podemos obtener que
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int intint+
minus+
=+
minus
11
2
2
1
1
1222 x
dxdx
xdx
x
x
La primera de ellas puede ser resuelta a traveacutes de cambio de variable ( ) 2 x xu =
mientras que la segunda es inmediata De alliacute que obtengamos
( ) k x xdx x
x+minus+=
+
minusint Arctan1ln
2
1
1
1 2
2
y en resumen
( )( )int =++
+minusdx
x x
x x
114
1362
2
( ) k x x x +minus+++ Arctan1ln2
114ln
2
1 2
Pero iquestcoacutemo procederiacuteamos para encontrar( )
dx x D
N Mxint + en el caso que ( ) x D tenga
raiacuteces complejas
Antes que nada recordar que todo polinomio de estas caracteriacutesticas puede escribirse de
la forma ( ) 22ba x A ++ y que sin perder generalidad podemos considerar 1= A
En otras palabras trataremos de integrar las funciones de la forma( ) 22
ba x
N Mx
++
+
El procedimiento en el caso general es similar al caso particular que acabamos deestudiar
Como( )
( )
( ) ( )dx
ba x
Ma N dx
ba x
a x M dx
ba x
N Mxintintint
++
minus+
++
+=
++
+222222
2
2
2
La primera integral es relativamente simple usando un cambio de variable
( ) ( ) 22ba x xu ++=
Obtendremos que( )
( )( )( ) 1
22
22
ln2
2
2k ba x
M dx
ba x
a x M +++=
++
+
int
2 Note el lector que nuestra intencioacuten es utilizar un cambio de variable
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En la segunda
( )( )intint =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus=
++
minus
1
22
22
b
a xb
dx Ma N dx
ba x
Ma N
( )int
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
minus
1
2
b
a xb
dx
b
Ma N
Usando el cambio ( )b
a x xu
+= obtenemos que
( )
( )222
Arctan k
b
a x
b
Ma N dx
ba x
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +minus=
++
minusint
Obteniendo como resultado general
( )=
++
+int dx
ba x
N Mx22
( )( )22ln
2ba x
M ++
( )k
b
a x
b
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus+ Arctan
Para el caso en el que el denominador tiene raiacuteces complejas muacuteltiples vea el anexo
iquestEjercicios
Si deseas ampliar y ejercitar el tema puedes consul tar
Teoacuterico y praacutectico
Integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones simples
Integracioacuten de funciones racionales
Praacutectico
Integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones simplesIntegracioacuten de funciones racionales-Paacuteg 5
notas de caacutelculo integral ‐ capitulo 3
Acaacute tienes varios meacutetodos de integracioacuten explicados a traveacutes de ejercicios en
particular integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones parciales
Video
Sintetiza con un ejemplo de descomposicioacuten en fracciones simples pero es muy pesado de bajar
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Lo veremos con un
Ejemplo
( ) ( )dx
x x
x xdx
x x x
x xint intminus minus +minus
+minus=
+minus+
+minus0
1
0
12
2
23
2
31
1383
35
1383
Observemos que en este caso el exponente de )1( minus x es 2 por lo tanto decimos que el
orden de multiplicidad de la raiacutez 1 es 2 Para descomponer en fracciones simples deben
aparecer todos los exponentes de ( )1minus x desde 1 hasta 2 en el denominador Es decir
( ) ( ) ( ) 31131
1383
22
2
+
+
minus
+
minus
=
+minus
+minus
x
C
x
B
x
A
x x
x x
Se podriacutea usar el primer meacutetodo para hallar A B y C (realizando operaciones en la
igualdad anterior y resolviendo los sistemas que resultan de igualar los numeradores)
Lo haremos de otra manera
A y C se pueden hallar por el meacutetodo de la tapadita (son los que tienen mayor exponente
en el denominador)
4y2 == C A
sustituimos y queda
( ) ( ) ( ) 3
4
11
2
31
138322
2
++
minus+
minus=
+minus
+minus
x x
B
x x x
x x
Para hallar B damos a x cualquier valor menos 1 y -3 por ejemplo 0= x
de donde
3
42
3
13+minus= B
resultado
1minus= B
Sustituyendo queda
( ) ( ) ( ) 3
4
1
1
1
2
31
138322
2
++minusminusminus=+minus
+minus
x x x x x
x x
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El caacutelculo se simplifica pues
( ) ( ) ( )
=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
++
minusminus
minus
=
+minus
+minus=
+minus+
+minusintint intminusminus minus
dx x x
x
dx
x x
x xdx
x x x
x x0
1
2
0
1
0
1
2
2
23
2
3
4
1
1
1
2
31
1383
35
1383
( ) ( ) ( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=minus+minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus
minus
minus
minus4
27ln12ln32ln13ln323ln31ln
1
20
1
x x- x
c) Sea D (x )= 01
1 a xa xa n
nn
n +++ +minus Λ Consideremos el caso de que D (x )
tenga algunas o todas sus raiacuteces complejas simples
Al igual que en los casos anteriores haremos su descomposicioacuten factorial
Ejemplo
Calculemos( )( )int
++
+minusdx
x x
x x
114
1362
2
Primero descomponemos( )( )114
1362
2
++
+minus
x x
x x en fracciones simples
La expresioacuten( )( )114
1362
2
++
+minus
x x
x x admite una descomposicioacuten de la forma
114 2 +
++
+ x
C Bx
x
A
que efectuando los caacutelculos de rigor obtendremos que 1y12 minus=== C B A (Soacutelo A se podriacutea hacer por ldquotapaditardquo)
De donde
( )( ) 1
1
14
2
114
13622
2
+
minus+
+=
++
+minus
x
x
x x x
x x
y por lo tanto
( )( )int int int+
minus++
=++
+minus dx x
xdx x
dx x x
x x
1
1
14
12114
13622
2
Como se puede apreciar la primera de las integrales no representa ninguna dificultad
de hecho los factores lineales que tenga el denominador determinaraacuten fracciones
simples cuya integral es faacutecil de obtener Por esta razoacuten solo nos dedicaremos a estudiar
la segunda de ellas es decir con int+
minusdx
x
1
12
Operando podemos obtener que
8192019 Metodo La Tapadita
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int intint+
minus+
=+
minus
11
2
2
1
1
1222 x
dxdx
xdx
x
x
La primera de ellas puede ser resuelta a traveacutes de cambio de variable ( ) 2 x xu =
mientras que la segunda es inmediata De alliacute que obtengamos
( ) k x xdx x
x+minus+=
+
minusint Arctan1ln
2
1
1
1 2
2
y en resumen
( )( )int =++
+minusdx
x x
x x
114
1362
2
( ) k x x x +minus+++ Arctan1ln2
114ln
2
1 2
Pero iquestcoacutemo procederiacuteamos para encontrar( )
dx x D
N Mxint + en el caso que ( ) x D tenga
raiacuteces complejas
Antes que nada recordar que todo polinomio de estas caracteriacutesticas puede escribirse de
la forma ( ) 22ba x A ++ y que sin perder generalidad podemos considerar 1= A
En otras palabras trataremos de integrar las funciones de la forma( ) 22
ba x
N Mx
++
+
El procedimiento en el caso general es similar al caso particular que acabamos deestudiar
Como( )
( )
( ) ( )dx
ba x
Ma N dx
ba x
a x M dx
ba x
N Mxintintint
++
minus+
++
+=
++
+222222
2
2
2
La primera integral es relativamente simple usando un cambio de variable
( ) ( ) 22ba x xu ++=
Obtendremos que( )
( )( )( ) 1
22
22
ln2
2
2k ba x
M dx
ba x
a x M +++=
++
+
int
2 Note el lector que nuestra intencioacuten es utilizar un cambio de variable
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En la segunda
( )( )intint =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus=
++
minus
1
22
22
b
a xb
dx Ma N dx
ba x
Ma N
( )int
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
minus
1
2
b
a xb
dx
b
Ma N
Usando el cambio ( )b
a x xu
+= obtenemos que
( )
( )222
Arctan k
b
a x
b
Ma N dx
ba x
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +minus=
++
minusint
Obteniendo como resultado general
( )=
++
+int dx
ba x
N Mx22
( )( )22ln
2ba x
M ++
( )k
b
a x
b
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus+ Arctan
Para el caso en el que el denominador tiene raiacuteces complejas muacuteltiples vea el anexo
iquestEjercicios
Si deseas ampliar y ejercitar el tema puedes consul tar
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Integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones simples
Integracioacuten de funciones racionales
Praacutectico
Integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones simplesIntegracioacuten de funciones racionales-Paacuteg 5
notas de caacutelculo integral ‐ capitulo 3
Acaacute tienes varios meacutetodos de integracioacuten explicados a traveacutes de ejercicios en
particular integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones parciales
Video
Sintetiza con un ejemplo de descomposicioacuten en fracciones simples pero es muy pesado de bajar
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El caacutelculo se simplifica pues
( ) ( ) ( )
=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
++
minusminus
minus
=
+minus
+minus=
+minus+
+minusintint intminusminus minus
dx x x
x
dx
x x
x xdx
x x x
x x0
1
2
0
1
0
1
2
2
23
2
3
4
1
1
1
2
31
1383
35
1383
( ) ( ) ( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=minus+minus+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++minus
minus
minus
minus4
27ln12ln32ln13ln323ln31ln
1
20
1
x x- x
c) Sea D (x )= 01
1 a xa xa n
nn
n +++ +minus Λ Consideremos el caso de que D (x )
tenga algunas o todas sus raiacuteces complejas simples
Al igual que en los casos anteriores haremos su descomposicioacuten factorial
Ejemplo
Calculemos( )( )int
++
+minusdx
x x
x x
114
1362
2
Primero descomponemos( )( )114
1362
2
++
+minus
x x
x x en fracciones simples
La expresioacuten( )( )114
1362
2
++
+minus
x x
x x admite una descomposicioacuten de la forma
114 2 +
++
+ x
C Bx
x
A
que efectuando los caacutelculos de rigor obtendremos que 1y12 minus=== C B A (Soacutelo A se podriacutea hacer por ldquotapaditardquo)
De donde
( )( ) 1
1
14
2
114
13622
2
+
minus+
+=
++
+minus
x
x
x x x
x x
y por lo tanto
( )( )int int int+
minus++
=++
+minus dx x
xdx x
dx x x
x x
1
1
14
12114
13622
2
Como se puede apreciar la primera de las integrales no representa ninguna dificultad
de hecho los factores lineales que tenga el denominador determinaraacuten fracciones
simples cuya integral es faacutecil de obtener Por esta razoacuten solo nos dedicaremos a estudiar
la segunda de ellas es decir con int+
minusdx
x
1
12
Operando podemos obtener que
8192019 Metodo La Tapadita
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int intint+
minus+
=+
minus
11
2
2
1
1
1222 x
dxdx
xdx
x
x
La primera de ellas puede ser resuelta a traveacutes de cambio de variable ( ) 2 x xu =
mientras que la segunda es inmediata De alliacute que obtengamos
( ) k x xdx x
x+minus+=
+
minusint Arctan1ln
2
1
1
1 2
2
y en resumen
( )( )int =++
+minusdx
x x
x x
114
1362
2
( ) k x x x +minus+++ Arctan1ln2
114ln
2
1 2
Pero iquestcoacutemo procederiacuteamos para encontrar( )
dx x D
N Mxint + en el caso que ( ) x D tenga
raiacuteces complejas
Antes que nada recordar que todo polinomio de estas caracteriacutesticas puede escribirse de
la forma ( ) 22ba x A ++ y que sin perder generalidad podemos considerar 1= A
En otras palabras trataremos de integrar las funciones de la forma( ) 22
ba x
N Mx
++
+
El procedimiento en el caso general es similar al caso particular que acabamos deestudiar
Como( )
( )
( ) ( )dx
ba x
Ma N dx
ba x
a x M dx
ba x
N Mxintintint
++
minus+
++
+=
++
+222222
2
2
2
La primera integral es relativamente simple usando un cambio de variable
( ) ( ) 22ba x xu ++=
Obtendremos que( )
( )( )( ) 1
22
22
ln2
2
2k ba x
M dx
ba x
a x M +++=
++
+
int
2 Note el lector que nuestra intencioacuten es utilizar un cambio de variable
8192019 Metodo La Tapadita
httpslidepdfcomreaderfullmetodo-la-tapadita 1010
En la segunda
( )( )intint =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus=
++
minus
1
22
22
b
a xb
dx Ma N dx
ba x
Ma N
( )int
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
minus
1
2
b
a xb
dx
b
Ma N
Usando el cambio ( )b
a x xu
+= obtenemos que
( )
( )222
Arctan k
b
a x
b
Ma N dx
ba x
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +minus=
++
minusint
Obteniendo como resultado general
( )=
++
+int dx
ba x
N Mx22
( )( )22ln
2ba x
M ++
( )k
b
a x
b
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus+ Arctan
Para el caso en el que el denominador tiene raiacuteces complejas muacuteltiples vea el anexo
iquestEjercicios
Si deseas ampliar y ejercitar el tema puedes consul tar
Teoacuterico y praacutectico
Integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones simples
Integracioacuten de funciones racionales
Praacutectico
Integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones simplesIntegracioacuten de funciones racionales-Paacuteg 5
notas de caacutelculo integral ‐ capitulo 3
Acaacute tienes varios meacutetodos de integracioacuten explicados a traveacutes de ejercicios en
particular integracioacuten por descomposicioacuten en fracciones parciales
Video
Sintetiza con un ejemplo de descomposicioacuten en fracciones simples pero es muy pesado de bajar
8192019 Metodo La Tapadita
httpslidepdfcomreaderfullmetodo-la-tapadita 910
int intint+
minus+
=+
minus
11
2
2
1
1
1222 x
dxdx
xdx
x
x
La primera de ellas puede ser resuelta a traveacutes de cambio de variable ( ) 2 x xu =
mientras que la segunda es inmediata De alliacute que obtengamos
( ) k x xdx x
x+minus+=
+
minusint Arctan1ln
2
1
1
1 2
2
y en resumen
( )( )int =++
+minusdx
x x
x x
114
1362
2
( ) k x x x +minus+++ Arctan1ln2
114ln
2
1 2
Pero iquestcoacutemo procederiacuteamos para encontrar( )
dx x D
N Mxint + en el caso que ( ) x D tenga
raiacuteces complejas
Antes que nada recordar que todo polinomio de estas caracteriacutesticas puede escribirse de
la forma ( ) 22ba x A ++ y que sin perder generalidad podemos considerar 1= A
En otras palabras trataremos de integrar las funciones de la forma( ) 22
ba x
N Mx
++
+
El procedimiento en el caso general es similar al caso particular que acabamos deestudiar
Como( )
( )
( ) ( )dx
ba x
Ma N dx
ba x
a x M dx
ba x
N Mxintintint
++
minus+
++
+=
++
+222222
2
2
2
La primera integral es relativamente simple usando un cambio de variable
( ) ( ) 22ba x xu ++=
Obtendremos que( )
( )( )( ) 1
22
22
ln2
2
2k ba x
M dx
ba x
a x M +++=
++
+
int
2 Note el lector que nuestra intencioacuten es utilizar un cambio de variable
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En la segunda
( )( )intint =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus=
++
minus
1
22
22
b
a xb
dx Ma N dx
ba x
Ma N
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⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
minus
1
2
b
a xb
dx
b
Ma N
Usando el cambio ( )b
a x xu
+= obtenemos que
( )
( )222
Arctan k
b
a x
b
Ma N dx
ba x
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +minus=
++
minusint
Obteniendo como resultado general
( )=
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+int dx
ba x
N Mx22
( )( )22ln
2ba x
M ++
( )k
b
a x
b
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus+ Arctan
Para el caso en el que el denominador tiene raiacuteces complejas muacuteltiples vea el anexo
iquestEjercicios
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( )( )intint =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus=
++
minus
1
22
22
b
a xb
dx Ma N dx
ba x
Ma N
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⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟
⎠
⎞⎜⎝
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minus
1
2
b
a xb
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b
Ma N
Usando el cambio ( )b
a x xu
+= obtenemos que
( )
( )222
Arctan k
b
a x
b
Ma N dx
ba x
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +minus=
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minusint
Obteniendo como resultado general
( )=
++
+int dx
ba x
N Mx22
( )( )22ln
2ba x
M ++
( )k
b
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b
Ma N +⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +minus+ Arctan
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