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Método para la Estimación de Frecuencia de
Portadora de Señales Continuas con Muestreo Sub-
Nyquist, a través de su Máximo Valor Singular
Resumen- Dentro de los sistemas de Radio Cognitivo (CR), el
Sensado de Espectro (SS) es una función crítica, dado que de ella depende que el sistema de CR tenga un conocimiento adecuado de las bandas espectrales sub utilizadas. Los métodos
tradicionales de SS presentan grandes retos de implementación, dado que ellos requieren altas tasas de muestreo, superiores a la tasa de Nyquist, presentando alta complejidad en el
procesamiento de dichas muestras. Para abordar este problema, en este articulo se presenta un método para la estimación de la frecuencia central de la portadora de señales continuas
adquiridas con frecuencias menores que la establecida por el teorema de muestreo. Con los datos obtenidos se calcula la matriz de autocorrelación, posteriormente se obtienen los
valores singulares de dicha matriz y se comparan con valores preestablecidos, a partir de dichos valores, se estima la frecuencia central de portadora de la señal.
Palabras Clave- Autocorrelación, Awgn, Espectro, Frecuencia
de Muestreo, Radio Cognitiva, Sub-Nyquist, Valores Singulares.
Abstract- In Cognitive Radio (CR) ,the Spectrum Sensing (SS) is a
critical function, since of the SS function depends that the CR system
has an adequate knowledge of the spectral sub bands used.
Traditional methods of SS present great challenges of
implementation, because they require high sampling rates above the
Nyquist rate, doing that the number of samples to be processed is
high. To address this problem, in this paper a method for estimating
the center frequency of continuous signals is presented, The signal
is acquired at lower frequencies established by Nyquist sampling
theorem. With the obtained data autocorrelation matrix is
calculated, then the singular values of this matrix are obtained and
compared with preset values, from these values, the center
frequency of the signal is estimated.
Keywords- Autocorrelation, Awgn, Sampling frequency, Sub-
Nyquist, Singular Values, Cognitive Radio, Spectrum
I. INTRODUCCIÓN
EL crecimiento exponencial de las comunicaciones
inalámbricas, plantea discusiones sobre la actual saturación
del espectro [1], sin embargo, dicha situación no es correcta
en su totalidad, dado que existen bandas de frecuencias que
están siendo sub utilizadas [2], por ejemplo, las bandas
asignadas para el servicio de televisión. Por tal motivo, se
presentan huecos espectrales, algunos de carácter permanente,
mientras que otros, momentáneos sobre algunas bandas; lo
cual implica un dilema, ya que por un lado, los usuarios de
algunos servicios como los móviles, no cuentan con la
suficiente cantidad de espectro para transmitir, pero de otra
parte, algunas bandas espectrales no se encuentran
completamente en uso [2].
En [3], el concepto de Asignación Dinámica de Espectro
(DSA), surge como una propuesta de solución al problema de
sub-utilización del espectro, derivado de las políticas de
asignación fija de bandas. Esta solución presenta un modelo
oportunista de acceso al espectro, siendo necesario desarrollar
una técnica que permita la identificación rápida y precisa de
los huecos espectrales.
De lo anterior se deriva el concepto de Radio Cognitivo
(CR), el cual fue propuesto en [4], como una tecnología
promisoria para explotar el espectro sub-utilizado de manera
oportunista, donde los Usuarios Secundarios (SU) puedan
utilizar las bandas asignadas a los Usuarios Primarios (PU)
cuando estos últimos no se encuentren activos. Esto requiere
que los SU realicen un sensado de espectro permanente, con
el fin de detectar la presencia de señal en el canal
inalámbrico, permitiendo considerar un canal sin señal, como
una probable oportunidad de espectro [3].
En los últimos años, se han propuesto diversos métodos
para realizar el sensado de espectro, entre ellos se tiene la
prueba de tasa de verosimilitud (LRT) [5], detección de
energía [6], [7], [8], filtraje adaptado [5], [8], [9], [10] y
detección de características ciclo-estacionarias [11], [12],
[13]. Estos métodos presentan ventajas bajo ciertas
condiciones, por ejemplo, LRT es óptimo [5], sin embargo,
no es practico debido a que requiere conocimiento exacto de
la información del canal, como también de las distribuciones
de probabilidad de la fuente de señal y ruido. El detector de
energía no requiere información a priori de la señal o del
canal, sin embargo, requiere conocimiento de la potencia de
ruido, lo cual hace que malas estimaciones de la potencia de
ruido conduzcan a limitaciones de eficiencia con baja SNR y
altas probabilidades de falsa alarma [6], [9], [14].
La descomposición en valores singulares SVD [15] ofrece
un nuevo campo de estudio dentro del sensado de espectro,
proyectándose como un camino prometedor para la futura
HERMAN HAMILTON GUERRERO 1*, EVELIO ASTAIZA HOYOS
2
1Universidad Mariana, Facultad de Ingeniería, Pasto, Colombia.
2Universidad del Quindio, Facultad de Ingenieria, Armenia, Colombia.
[email protected], [email protected]
*Autor principal
implementación de CR, es así como en los últimos años se
han realizado investigaciones [16], [17], [18] referentes a este
tema. Sin embargo, los resultados obtenidos se encuentran
bajo las condiciones requeridas por el teorema de Nyquist
[19], esto implica que, para realizar la detección de las bandas
elevadas del espectro radioeléctrico, la alta complejidad en el
procesamiento del detector, impide su implementación
práctica, todo esto en el ámbito monobanda.
En este artículo, se presenta un método experimental,
alternativo para el sensado monobanda de señales continuas,
basado en SVD, con muestreo sub-Nyquist.
II. VALORES SINGULARES DE MUESTRAS DE SEÑALES
CONTINUAS
Para el método propuesto es fundamental identificar el
comportamiento de los valores singulares de las señales
continuas.
A. Comportamiento de valores singulares:
Dos parámetros importantes que modifican las
características de los valores singulares, tales como su
máximo valor entre otros, son el número de muestras, y la
frecuencia de muestreo.
En las Fig. 1 y 2 se presentan los resultados obtenidos para
diferentes frecuencias de muestreo. Se observa que el máximo
valor singular en la Fig. 1 es menor que el presente en la Fig.
2, debido al menor número de muestras adquiridas.
B. Distribución de probabilidad de los máximos valores
singulares:
Al observar la diferencia que existe entre los máximos
valores singulares (MVS) obtenidos con sub y sobre
muestreo, se extrae los MVS de la matriz de muestras de
señales continuas con modulación análoga, con frecuencias
aleatorias (con distribución uniforme) de portadora. Estos
datos permiten identificar la distribución de los MVS para
frecuencias sub-Nyquist comprendidas en el intervalo de la
Ec. 1
𝑓𝑐 , 2𝑓𝑐 𝑓𝑐 = 𝑓. 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 (1)
Dicha distribución puede ser aproximada a una distribución
normal [20] (Ec. 2) descrita por su valor de media y su
varianza.
𝑀. 𝑉. 𝑆~𝑁 𝜇, 𝜎 (2)
La Fig. 3 muestra la distribución de los MVS y su
aproximación, obtenidos de 64 muestras de señales con
modulación AM con frecuencias de portadora (𝑓𝑐) aleatoria,
sub muestreadas con frecuencia de muestreo (𝑓𝑠) relacionada
en la Ec. 3:
𝑓𝑠 = 1.45 𝑓𝑐 (3)
A medida que la frecuencia de muestreo cambia dentro del
intervalo de la Ec. 1, los valores de media 𝜎 de la Ec. 2
varían, esto se evidencia en la Tabla I.
Fig. 1. Valores singulares, señal con modulación AM, frecuencia
central de portadora 910.6, frecuencias de muestreo
SUB-NYQUIST= 1183.8, OVER-NYQUIST=2458.7. Obtenidos a partir de 32 muestras.
Fuente: Autores.
Fig. 2. Valores singulares, señal con modulación AM, frecuencia
central de portadora 910.6, frecuencias de muestreo SUB-NYQUIST= 1183.8, OVER-NYQUIST=2458.7.
Obtenidos a partir de 64 muestras.
Fuente: Autores.
Fig. 3. Distribución de los MVS de señales con modulación AM
(izquierda) sub muestreadas con 𝑓𝑠 = 1.45 𝑓𝑐 y su aproximación
normal con 𝜇 = 24.52 y 𝜎 = 0.35 (derecha). Obtenidos a partir de 64 muestras.
Fuente: Autores.
Tabla I
Variación de 𝜇 para ochco frecuencias de submuestreo. Fuente: Autores.
𝒇𝒔 𝝁 (𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂)
1.05𝑓𝑐 18.7859 1.13𝑓𝑐 30.0845 1.24𝑓𝑐 28.4694 1.37𝑓𝑐 26.8684 1.45𝑓𝑐 25.7138 1.73𝑓𝑐 21.4492 1.85𝑓𝑐 19.7938 1.99𝑓𝑐 35.0609
C. Curvas características de la media de los máximos valores
singulares:
La media 𝜇 de la distribución normal de los MVS.
obtenidos a diferentes relaciones de frecuencia de muestreo 𝑓𝑠
(Ec. 4), y reordenando la relación para obtener 𝑓𝑐 (Ec. 5),
permite caracterizar el comportamiento de dichos valores,
ofreciendo como resultado, curvas características de señales
continuas con modulación análoga. Estas curvas se presentan
en las Fig. 4 a 6.
𝑓𝑠 = 𝑚𝑓𝑐 1 ≤ 𝑚 ≤ 2 (4)
𝑓𝑐 = 𝑘𝑓𝑐 0.5 ≤ 𝑘 ≤ 1 (5)
La Fig. 4 muestra el comportamiento de los MVS para
señales senoidales puras, mientras que en las Fig. 5 y 6 se
presenta el comportamiento de los MVS de señales con
modulación AM y FM respectivamente.
III. MÉTODO DE ESTIMACIÓN
El método propuesto, consta de las siguientes etapas:
A. Señal adquirida:
Esta se compone de la señal a la cual se le estimará la
frecuencia de portadora 𝑥 𝑡 , mas ruido blanco aditivo
gaussiano 𝑟 𝑡 [19]:
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑟 𝑡 (6)
B. Muestreo:
La señal es muestreada con una frecuencia 𝑓𝑠 menor a la
establecida por el teorema de Nyquist, es decir, con una
frecuencia menor que doble de la frecuencia de portadora de
dicha señal (Ec. 4) Obteniendo como resultado un vector de
muestras, presentado en la Ec. 7:
𝑦 𝑚 = 𝑥 𝑚 + 𝑟 𝑚 (7)
C. Autocorrelación:
A partir del vector de muestras, Ec. 6, se calcula la matriz
de autocorrelación [21], Ec. 8
𝑦 𝑚 → 𝑅𝑦𝑦 = 𝑅𝑥𝑥 + 𝑅𝑟𝑟 (8)
Teniendo en cuenta las propiedades implícitas en el ruido
blanco gaussiano (ruido no correlacionado con la señal), la
matriz obtenida presenta valores relacionados principalmente
con la señal a detectar, siendo los valores relacionados al
ruido cercanos a cero, Ec. 9, permitiendo realizar un filtrado
implícito al proceso de autocorrelación.
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑅𝑟𝑟 → 0
𝑅𝑦𝑦 = 𝐸 𝑦𝑦𝐻 ≈ 𝐸 𝑥𝑥𝐻 (9)
D. S.V.D:
Se aplica el método de descomposición en valores
singulares a la matriz de autocorrelación. Posteriormente, se
obtiene su máximo valor singular, Ec.10.
𝑅𝑥𝑥 = 𝑈Σ𝑉𝐻 → 𝜆1 = max Σ (10)
D. Comparación:
El valor 𝜆1 es comparado con la media de las distribuciones
de probabilidad que presentan los máximos valores
singulares, obtenidos a diferentes frecuencias sub-Nyquist,
comprendidas en el intervalo mostrado en la ec. 1, y con la
misma SNR, Ec. 11.
𝜆1 ≈ 𝑉𝑆 𝑖 (11)
E. Estimación:
Según la ubicación del valor de media próximo al valor 𝜆1,
se estima la frecuencia de portadora de la señal. La Fig. 7
representa el método propuesto en este artículo. En esta, se
Fig. 4. Curva característica de la media de los MVS obtenidos a
partir de 64 muestras de señales senoidales puras
Fuente: Autores.
Fig. 5. Curva característica de la media de los MVS obtenidos a
partir de 64 muestras de señales con modulación AM
Fuente: Autores.
Fig. 6. Curva característica de la media de los MVS obtenidos a
partir de 64 muestras de señales con modulación FM Fuente: Autores.
describe gráficamente cada proceso mencionado
anteriormente, mientras que el diagrama de flujo del proceso
de estimación es mostrado en la Fig.8.
F. Diferencias con otros métodos de estimación:
La diferencia con métodos basados en Pseudo espectro,
como lo son Music [22] y Pisarenko [23], es que, en estos
métodos, el análisis se realiza con muestras adquiridas bajo el
teorema de muestreo, además, el proceso de estimación
realizado en dichos métodos, se basa en la ortogonalidad
presente entre un vector de frecuencias base y los
autovectores de la matriz de muestras. Por otra parte, el
método propuesto está basado, principalmente, en la
comparación del máximo valor singular, con la media de los
valores singulares previamente obtenidos, presentados en las
Fig 4-6.
IV. RESULTADOS
Se realizaron pruebas al método de estimación propuesto,
con señales continuas con diferentes frecuencias de
portadora, inmersas en ruido blanco gaussiano, con una SNR
igual a 12dB.
En la Fig. 9, se presenta el histograma para diez mil
pruebas realizadas con señales senoidales puras, cuyas
frecuencias se generaron de forma aleatoria con una
distribución uniforme. Se observa que para este escenario, el
error en la frecuencia estimada es menor al 1%.
En la Fig. 10, el histograma muestra la distribución del
porcentaje de error en la frecuencia estimada para diez mil
pruebas con señales con modulación AM, con frecuencias de
portadoras aleatorias con distribución uniforme. Al observar
los resultados se encuentra que la mayoría de pruebas
presentaron un error en la frecuencia portadora estimada
menor al 1%, mientras que en pocos casos, el error de
frecuencia de portadora estimada se encontraba en el
intervalo de la Ec. 12.
2,12% (12)
V. CONCLUSIONES
En este artículo se propone un novedoso método de sensado
de espectro local para dispositivos de CR basado en muestreo
sub-Nyquist, demostrándose que es posible realizar la función
de sensado de espectro utilizando una cantidad de muestras
menor a las obtenidas con la tasa de Nyquist.
Fig. 7. Diagrama de bloques, Método propuesto.
Fuente: Autores.
Fig. 8. Estimación de frecuencia.
Fuente: Autores.
Fig. 9. Histograma de los porcentajes de error, obtenidos para
10000 señales senoidales de diferentes frecuencias.. Fuente: Autores.
Fig. 10. Histograma de los porcentajes de error, obtenidos para
10000 señales con modulación AM, diferentes frecuencias de portadora.
Fuente: Autores.
También se evidencia que
Los porcentajes de error, se encuentran dentro de
parámetros aceptables, teniendo en cuenta el submuestreo
realizado, y el número de muestras de la señal adquirida.
Para disminuir dichos porcentajes, se requieren mayor
número de muestras de la señal, es decir, extender el
tiempo de adquisición de la señal sin necesidad de
modificar las frecuencias de submuestreo.
El método propuesto, puede implementarse en sistemas de
bajo rendimiento, obteniendo así, sistemas de sensado
monobanda con muestreo sub-Nyquist de bajo costo.
El método de descomposición en valores singulares se
presenta como una gran herramienta matemática dentro
del análisis de señales, estableciendo un nuevo campo de
investigación.
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H.H. Guerrero, Es ing. Electrónico en 2010, de la
Universidad de Nariño. Actualmente es candidato a Magister
en Electrónica y Telecomunicaciones, de la Universidad del
Cauca. Docente de la Facultad de Ingeniería de la
Universidad Mariana, Pasto, Colombia. Es investigador del
grupo de investigación de ingeniería mecatrónica GRIM.
Áreas de interés, Telecomunicaciones, Sensado de Espectro,
Comunicaciones Inalámbricas.
E. Astaiza-Hoyos, Es ing. en Electrónica en 1998, de la
Universidad del Cauca, Magister en Ingeniería, area
Telecomunicaciones en 2008, Universidad del Cauca.
Actualmente es candidato a Dr. en Ciencias de la Electrónica,
de la Universidad del Cauca. Es profesor asociado en Ing.
Electrónica de la Universidad del Quindio. Investigador del
grupo GITUQ, de la Universidad del Quindío.