MÉTODO POR DETERMINANTESMétodo de Crammer y Método de Gauss-Jordan

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoColegio de Ciencias y Humanidades

Plantel VallejoMatemáticas III

MÉTODO DE CRAMMER

• Consiste en obtener las matrices en sistema de ecuaciones lineales 3x3

Ejemplo:

2x+3y-4z-80

2x-4y+5z-3=0

X+3y-6z-3=0

2 3 -4 82 -4 5 31 3 -6 3

X y z

MÉTODO DE CRAMMER

• Procedemos a obtener la Delta o Determinante del Sistema s

s=

Colocamos solo las matrices de X, Y y Z

A continuación duplicamos las dos primeras filas al final

X y z2 3 -4

2 -4 5

1 3 -6

2 3 -4

2 -4 5

• Lo que se realiza a continuación es un producto cruzado para obtener el resultado de la Delta del Sistema

s=

2 3 -4

2 -4 5

1 3 -6

2 3 -4

2 -4 5

X y z

Lo que obtendríamos seria:

((48)+(-24)+(15))-((16)+(30)+(-36) (39) - (10)

s= 29

MÉTODO DE CRAMMER

• Pasamos a obtener la Delta de X

MÉTODO DE CRAMMER

x= X y z8 3 -4

3 -4 5

3 3 -6

8 3 -4

3 -4 5

Continuamos con el paso anterior, hacer productos cruzados.

Lo único que cambia son las matrices de X, las cuales son sustituidas por las matrices de los resultados del Sistema de Ecuaciones.

Lo que obtendríamos seria:

((192)+(-36)+(45))-((48)+(120)+(-54)

(201) - (114)

x= 87

• E igualmente para las Deltas de Y y Z

MÉTODO DE CRAMMER

y=

X y z2 8 -4

2 3 5

1 3 -6

2 8 -4

2 3 5

((-36)+(-24)+(40))-((-12)+(30)+(-96)

(-20) - (-78)

y= 58

z=

X y z2 3 8

2 -4 3

1 3 3

2 3 8

2 -4 3

((-24)+(48)+(9))-((-32)+(18)+(18)

(33) - (4)

z= 29

• Para finalizar vamos a dividir las Deltas de X, Y y Z entre la del Sistema:

MÉTODO DE CRAMMER

Solo queda comprobar los valores de las incógnitas en el sistema de ecuaciones.

2(3)+3(2) -4(1)-802(3) -4(2)+5(1)-3=0 (3)+3(2) -6(1)-3=0

6+6 -4-806 -8+5-3=0 3+6-6-3=0

12 -12011-11 =0 9-9 =0

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

• Parecido al Método de Crammer, solo al sacar igualmente las matrices, pero en este método se debe obtener esta forma en las matrices:

Ejemplo: x- y+3z-8 =02x-2y+4z-12=03x-4y+5z-15=0

1 -1 3 82 -2 4 123 -4 5 15

Obtención de las Matrices

1 0 0 80 1 0 120 0 1 15

Método de Gauss-Jordan Completo

1 -1 3 80 1 4 120 0 1 15Método de

Gauss-Jordan

1 -1 3 80 -2 4 120 0 5 15

Método de Gauss

• En el método de Gauss-Jordan, se debe de obtener la línea inclinada central de 1 y los números de bajo de esta deben ser 0.

• Para lograr esto, los renglones solo pueden ser sumados o restados entre si.

• NO pueden ser multiplicados o divididos entre si.

• Pueden solo ser multiplicados o divididos entre una constante.

• Los renglones en un momento dado pueden intercambiar su lugar.MÉTODO DE GAUSS-

JORDAN

• Ejemplo:

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

x- y+3z-8 =02x-2y+4z-12=03x-4y+5z-15=0

Obtenemos las matrices

1 -1 3 82 -2 4 123 -4 5 15

R1

R2

R3

x y z R

*Antes de continuar, se recomienda el siguiente orden:

1 -1 3 80 1 4 120 0 1 15

1

2-R2+2R1

R21 -1 3 80 0 2 43 -4 5 15

2 -2 6 16-2 2 -4 -12 0 0 2 4

3-3R1+R3

R3

1 -1 3 80 0 2 40 -1 -4 -9

-3 3 -9 -24 3 -4 5 15 0 -1 -4 -9

1 -1 3 80 -1 4 -90 0 2 4

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

4 R3 / 2 R3

1 -1 3 80 -1 -4 -90 0 1 2

0 -1 -4 -9/ -1 0 1 4 9

5 R2 / -1 R2 1 -1 3 80 1 4 90 0 1 2

0 0 2 4/ 20 0 1 2

Terminamos cuando la diagonal central se encuentra en 1 para Gauss-Jordan, solo hace falta, obtener los valores de x, y & z y comprobarlos.

1x -1y 3z 80 1y 4z 90 0 1z 2

Para eso se hace lo sig.: zZ=2Y=4(2)=9Y=9-8Y=1X=-(1)+3(2)=8X=8-5X=3

(3)- (1)+3(2)-8 =02(3)-2(1)+4(2)-12=03(3)-4(1)+5(2)-15=0

(x- y+3z-8 =02x-2y+4z-12=03x-4y+5z-15=0

GRACIAS POR SU ATENCIÓN =D