Metodos numericos Ecuaciones diferencialesFactor integranteMetodo Runge-Kutta

Presenta:Marisol Sanchez

Conceptos basicos

Las ecuaciones que contienen las derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una o mas variables independientes es una E.D.

Forma implicita F(x,y,y,y,,y(n)) Forma explicita y(n)=(x,y,y,y,,y(n-1))

Clasificacion:

Tipo: E.D.O. y E.D.P.Orden (la derivada mas alta)E.D. es lineal si:

La variable dependiente (y) y todas sus derivadas son de primer grado. Los coeficientes solo dependen de la variable independiente(x) Homogenea cuando g(x) en la ec.1 es cero

Variables separablesUna E.D.O. de primer orden de la forma

Es separable o de variables separablesLas cuales se separan y despues se integran

Si h(y)=1 caso facil. Cuando g(x)=1 se dice que la E.D. es autonoma

Factor integranteLa ecuacion lineal

Al dividir entre el primer coeficiente obtenemos la forma estandar de una ec. lineal

Identificamos m(x)para definir el factor integrante que sera

La ec. (6) se multiplica por el factor integrante obteniendo con esto:

Notese que el lado izquierdo es la derivada del producto del factor integrante, por la variable dependiente y, i.e.

La ec (8) se integra para conocer la solucion

Ejercicios

E.D.O. lineal de tercer orden

E.D.O. no lineal de cuarto orden

Metodo Runge-KuttaSe nombra asi en honor a dos matematicos alemanes que desarrollaron el metodo entre (1898-1901).Es muy similar a los metodos de Euler 1 y Euler mejorado (modificado)

Runge-Kutta de primer orden Considera la EDO y=f(y,t), con y(t0)=y0Para calcular yn+1 en tn+1=tn+t a partir de yn integramos y en [tn,tn+1]

Runge-Kutta de segundo ordenEs identico al metodo de Euler modificado con dos ciclos de iteracion.

Runge-Kutta de tercer ordenEste metodo con una presicion de tercer orden se escribe como:

Runge-Kutta de cuarto ordenPara calcular yn+1 a partir de yn empleamos 4 pendientes

Metodo Runge-Kutta para sistemas de ecuaciones diferencialesUna EDO de orden superior se puede resolver con este metodo despues de transformarla a un conjunto de EDO de primer orden, i.e. pueden ser expresadas como un sistema de primer ordenConsidera el sistema de primer orden con las condiciones iniciales:

Empleamos el algebra matricial usual para sistemas de ecuaciones donde

Y es la funcion buscada y ademas:

Aplicando el metodo Runge-Kutta al sistema anterior obtenemos:Necesitamos calcular cuatro vectores K1, K2, K3, K4 que son analogos a las cuatro pendientes que calculamos para ecuaciones de primer orden incluso definidos de la misma forma.

Tomamos un promedio ponderado como en el caso de las ecuaciones de primer orden, obteniendo asi

Y utilizamos K para formar el paso siguiente de (tk,Yk) i.e.

Error El error de truncamiento se debe a la discrepancia entre la serie de Taylor del metodo numerico y la solucion exacta.El tamano del error decrece al aumentar el orden del metodo.La inestabilidad es un efecto acumulado del error local de forma que el error de la solucion crece ilimitado al avanzar los intervalos de tiempo pero aun asi este metodo es mejor que el de Euler

Es todo gracias por su amable atencion y paciencia