Método SingapurUna oportunidad para mejorar la enseñanza y el aprendizaje de las

matemáticas en Chile

Ivonne Salinas

¿Por qué usar el Método Singapur Singapur ha demostrado un éxito sostenido en los niveles de

aprendizaje de matemática. El método ha demostrado su efectividad con toda la gama de

alumnos en Singapur y en otros países con distintos niveles de desarrollo.

Su propuesta curricular es plenamente compatible con el currículum chileno.

Por la detallada secuencia de contenidos. Porque está diseñado para que un docente promedio lo

pueda aplicar.

Algunas características del Método Singapur

• Se centra en el pensamiento y pone fuerte énfasis en la comprensión conceptual y en la solución de problemas matemáticos.

• La pedagogía utilizada se basa en que los alumnos vayan progresando de lo concreto a lo pictórico y luego a las representaciones abstractas.

• El currículum sigue una progresión en espiral y considera el desarrollo de conceptos, habilidades y procesos.

Teorías de Aprendizaje

• El método Singapur tiene una fuerte fundamentación para que los alumnos tengan buenos resultados en matemáticas.

• Los principios usados en este método son: El enfoque Concreto-Pictórico-Abstracto(Cpa)progresión desde objetos concretos pasando porImágenes, llegando a los símbolos abstractos.Esto se basa en el trabajo de Jerome Bruner .

Enfoque C-P-A

• Nuevamente una situación concreta representada en forma pictórica.

Esta es la representación abstracta de conectores numéricos.

El enfoque Espiral

• Esta también es una de las teorías de Bruner y significa que los alumnos vuelven a trabajar con ideas centrales a medida que profundizan su comprensión de aquellas ideas.

• Por ejemplo:

En 1° Básico los alumnos aprender a dividir cantidades discretas sin necesidad de escribir las expresiones de división.

En 2° básico vuelven a trabajar con esta idea y utilizan expresiones de división para representar los problemas expresados en

palabras.

En 3° la idea se extiende para incluir la idea de reserva. También aprenden a reagrupar antes de dividir números de 2 y de 3

dígitos.

Aportes de la teoría de Zoltan Dienes

• Variación sistemática — a los alumnos se les presenta una variedad de tareas de manera sistemática.

• Por ejemplo:

Este ejemplo muestra la Variabilidad Matemática: suma sin reagrupamiento y con reagrupamiento.

El ejemplo muestra la variabilidad perceptual: el concepto matemático es el mismo pero a los alumnos se les presentan

diferentes formas de percibir un número de 2 dígitos.

La idea de la incorporación múltiple es utilizar diferentes formas para representar el mismo

concepto.

En el ejemplo anterior, el concepto de número de 2 dígitos como el 34 se representa de

múltiples formas utilizando palitos, monedas y ‐bloques de base 10.

En el próximo ejemplo, se representan números de 3 dígitos utilizando bloques de base 10, discos

con números y dígitos.

• Este es otro ejemplo de como representar el mismo concepto matemático de diferentes formas, algunas más abstractas que otras.

Es importante entregarles a los alumnos estas variaciones de manera sistemática.

Aportes de la teoría de Richard Skemp

• Proporciona a los profesores de Matemáticas una manera de pensar respecto a qué constituye la comprensión en las Matemáticas.

• Skemp distingue entre: Una comprensión instrumental (o comprensión procesal u operativa) que es la capacidad de realizar una operación (por ejemplo, una división larga)

Una comprensión relacional (comprensión conceptual). que es la capacidad para explicar el procedimiento (por ejemplo,

explicar la razón para “invertir y multiplicar” al dividir una fracción propia por otra fracción propia).

• El currículo de Matemáticas de Singapur espera que la comprensión instrumental vaya

acompañada de la comprensión relacional. No tiene sentido aprender con procedimiento u

operación sin tener una comprensión conceptual.

• La comprensión convencional involucra la capacidad de entender el uso de las convenciones.

• Por ejemplo, es una convención utilizar el signo + como el símbolo de la suma. Algunas convenciones no son universales. Por ejemplo, ÷ se usa como el símbolo de la división en algunos países, pero: se usa como el símbolo de la división en otros.

.

• Los textos de Singapur están diseñados de forma sistemática para permitir que las y los estudiantes aprendan en forma progresiva. Por lo tanto hay una razón para el orden de los capítulos.

• Se aconseja que las y los profesores usen los capítulos de la forma sugerida y que no modifiquen el orden de los mismos.

Las Matemáticas como un Vehículo para desarrollarlas Habilidades del Pensamiento

• La versión más reciente del Currículo de Matemáticas de Singapur estipula que las Matemáticas son “un excelente vehículo para el desarrollo y el mejoramiento de las competencias intelectuales de una persona en el razonamiento lógico, la visualización especial, el análisis y el pensamiento abstracto”

Currículum en Singapur

Fundamentos

Comunicación

Visualización

Sentido numéricoPatrones y relaciones

Metacognición

Lección 1 : Nidos en un árbol Visualización

Lección2: Filas de númerosSentido numérico

• Los números del 1 al 10 se representan utilizando filas de cuadrados

• Los lados de las filas de cuadrado adyacente deben tocarse entre sí. El número 3 puede representarse con dos figuras diferentes. Formen diferentes figuras para mostrar el número 5 utilizando las filas de cuadrados proporcionadas.

• ¿Cuántas figuras diferentes existen para el número 5 ?

• En esta lección, los estudiantes de kínder tienen oportunidades para desarrollar visualización a medida que aprenden a contar.

• Los estudiantes pueden también asociar que “5 es 1 menos que 6” (ver la figura más abajo) mientras forman las distintas figuras para el número 5. Esto puede ayudar a los alumnos a desarrollar un sentido numérico.

Lección 3 : Compartir tres cuartosMetacognición

• Compartir tres cuartos de una torta de igual manera entre 4 personas

¿Qué fracción de torta le corresponde a cada persona?

Usar problemas de etapas múltiples entrega a los estudiantes la posibilidad de desarrollar la metacognición.

Igualmente, la resolución de problemas más complejos también ayuda a desarrollar la metacognición.

Lección 4: ¿Qué viene después?Patrones y Relaciones

Lección 5: Exploremos Comunicación

• Se espera:•que los estudiantes puedan comunicarse ellos

mismos todo el tiempo durante las clases.

• que los estudiantes muestren claramente en sus cuadernos el método que usaron para resolver el problema.

• Los estudiantes deberían mantener un cuaderno y usarlo para explicar sus análisis y reflexiones al término de las clases.

Enseñanza de los números

Truco de cartas

• El profesor le muestra un truco de cartas.• Distribuya las cartas de manera que usted

también pueda hacer el truco. Luego llene los espacios que están abajo, comenzando con el número de la carta superior.

• ¿Cuántas cartas había al principio?• ¿Cuántas cartas fueron quedando cuando

usted estaba el número ocho?• En el arreglo final de las cartas, ¿Cuál es la

primera carta de arriba hacia abajo? ¿En qué posición estaban las cartas numeradas 1, 2, y 3?

Propuesta Didáctica de Singapurpara la enseñanza de los números

• Ampliación Progresiva del ámbito numérico.

Primer año Del 0 al 10:Capítulo 1, primer semestre

Hasta 20:Capítulo 7, primer semestreHasta el 40:Capítulo 12, segundo semestreHasta el 100:Capítulo 17, segundo semestre

Segundo año Hasta 1 000: Capítulo 1, primer semestre

Tercer año Hasta el 10 000:Capítulo 1, primer semestre

Reiteración de actividades, cada vez que se amplía el ámbito numérico

• Contar• Valor posicional• Comparar• Ordenar y secuenciar

Características de la propuesta didáctica

• Los números y sus relaciones son presentados en distintas modalidades.

• Se retoma el estudio de un tema, sobre la base de lo ya aprendido, con ejercitación intensiva.

• Se enfatiza el aprendizaje de procedimientos algoritmizados.

• Se estimula la flexibilidad en el abordaje de las tareas matemáticas.

• El progreso gradual de los aprendizajes es matizado con pequeños saltos: Problemas.

Comparación de la propuesta de Singapur con la propuesta vigente en Chile

• Aspectos Comunes Énfasis en la comprensión del sistema de

numeración.-Tipo de actividades: contar, comparar, identificarValor posicional, ordenar y secuenciar.-Lectura y escritura de los números, en cifras y en

palabras.(mayor énfasis a nivel oral en Chile)

-Uso de la descomposición aditivaPrograma chileno: 15 como 14+1 (sucesor) y

como 10+5 (decenas)Singapur: 15 es 1 más que 14 y 10 y 5 hacen

15;10+5=15-Uso de representaciones gráficas

(cinta numerada y recta numérica, en Chile)

Aspectos diferentesProgreso en el estudio del ámbito numérico

Singapur Chile

Primer año 0-10Hasta 20Hasta 40Hasta 100

0-30

Hasta 100

Segundo año Hasta 1 000 Hasta 1 000

Tercer año Original: hasta 10 000Adaptación: hasta 100 000

Hasta 1 000 000

Cuarto año Original: hasta 100 000Adaptación: hasta 1 000 000

Hasta 1 000 000

• En Chile:-Énfasis en asociar el aprendizaje de los números

a la vida cotidiana y social de los alumnos.(Incluso: usar números más allá del ámbito estudiado)

-Énfasis en variación de contexto (objetos para contar) y del material concreto (representación de los números)

-Se promueve la estimación de cantidades, previa al conteo.

Visión de número

1) Representación con filas de cuadrados. (Ya vistas en los fundamentos)

Permite: Comparar y ver el número como conjunto

2) Conectores Numéricos

Ejemplo

A jugar

• Junto a tu compañera saquen por turnos una carta del maso que recibirán (Con Números del 1 al 9).

• Decidan inmediatamente su posición, en las decenas o unidades, no pueden cambiar de idea.

• Gana quien logra formar 3 veces el número mayor.

Operatoria

Adición:• Dentro de 10• Solo contar

y es:___

Dentro de 20Se incorpora el signo +Se continúa con contar (Recta Numérica)

yEstrategia de sumar 10 Ej: 12 + 4 10 y 2 + 4

Sobre 20: Suma de Unidades diferentes

• Esto implica sumar por separado unidades y decenas.

• Ej: Ej: 45 + 23 = 40+5 20+3

40+20 y 5 + 3 = 68

Basándose en lo presentado, determinen cómo encontrar las siguientes sumas:

• 3 y 5 es:• 14 + 3 =• 42 + 27 =

Resta :Preferentemente si alguno de los números es pequeño

Estrategia de sacar

Estrategia de contar hacia atrás

Estrategia de contar de manera creciente

Resta: Para Números grandes

• Se incorpora la idea de restar unidades diferentes

• Ej: 27 - 12 = 20+7 10+2

20-10 y 7-2 =15

Multiplicación: Su progresión

• 1° Básico 2° Básico 3° Básico

arreglocuadro de centenas

grupos iguales

Multiplicación como arreglo

División

• 1.- Como repartir

- 2.-Como agrupar en cantidades iguales

Pictogramas

Progresión

2º básico

3º básico

4º básico

Medición

Progresión

• En el estudio de las magnitudes se aplica el campo aditivo en la resolución de problemas.

• Esto permite entrelazar los distintos campos de

estudio dentro de la propuesta.

• En 1º y 2º básico se trabaja con longitud (1º semestre) y peso (2º semestre).

• En segundo básico se agrega el trabajo con volumen

Longitud

comparación

Medición de objetos

Medición con unidades

Medición con unidades de medida

convencionales

Adición y sustracción de

longitudes

Multiplicación y división de longitudes

• Entregue a los estudiantes tres tiras de papel de diferente color pero de la misma longitud

• Pida a los estudiantes que corten una parte a cada papel de tal forma que obtengan tiras de

diferente longitud.• Pida a los estudiantes que organicen las tiras

que obtuvieron de la más larga a la más corta, y escriban afirmaciones para describir esto.

• La tira amarilla es la más corta de todas. La tira azul es más larga que la tira roja.

Peso

comparación

Peso en unidades

Peso en kilogramos y

gramos

Adición y sustracción de

peso

Multiplicación y división de peso

Volumen

conociendo

Medición : Geometría

• Figuras y patrones (1º y 2º básico)

• Líneas y superficies (2º básico)

Figuras y patrones

Conociendo círculo, cuadrado, triángulo

y rectángulo

Construyendo: figuras

configuras

Identificando: figuras en el

entorno

Reconociendo: Semicírculo, cuarto de círculo, polígono

Identificando y reconociendo:

cuerpos geométricos

Figuras

Lección 1: Rectángulos

• Realice diferentes rectángulos utilizando piezas del tangrama.

Usted puede utilizar cualquier cantidad de piezas.

Patrones

Líneas y superficies

Superficies planas

áreaperímetro

Líneas rectas y curvas

Líneas y superficies

• Observe estas letras. • A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z • Clasifique estas letras completando las siguientes tablas.

Lección 3: Identificando

Lección 4: Descubriendo el área y el perímetro

¿Cuál es la cantidad mínima de información requerida para determinar (a) el área y (b)el perímetro de la figura?

Anticipe las preguntas que los estudiantes puedan usar para resolver este problema.

El método modelo o Modelo de Barras

Una Introducción en el Método Modelo(Modelo de Barras)

• El método modelo involucra una construcción de una barra para representar cantidades que son conocidas o desconocidas en un problema matemático.

•Una herramienta que ayuda a identificar los cálculos que se debe realizar para determinar el valor de las incógnitas del problema.

•Un lenguaje simbólico compartido que permite representar los datos del problema, la(olas) incógnita(s) y la relación cuantitativa que se establece entre ellos.

No son:

• •Dibujos de uso personal para ilustrar el problema.

• •Dibujos literales que representan fielmente la situación del problema

Progresión

• En los textos de Singapur, los alumnos de kindergarten y de grado 1 primero aprenden a usar cubos para plantear y resolver problemas aritméticos con palabras tales como:

• Jon tiene 3 galletas y Ming tiene 2 galletas. ¿Cuántas galletas tienen en conjunto?

• En dicha situación, los alumnos utilizan cubos para representar una galleta.

• A medida que progresan, los alumnos aprenden a utilizar los diagramas para resolver los problemas

• Jon

• Ming

• Jon

• Ming

• En 2do Grado, los alumnos aprenden a utilizar una unidad rectangular para representar los

números mayores que uno, mientras ellos encuentran problemas con palabras aritméticos que involucran cantidades mayores tales como:

• Jon tiene 125 estampillas. Ming tiene 25 estampillas más que Jon. Encuentre el número de estampillas que ambos tienen en conjunto.

• En los niveles mayores, los alumnos comienzan a utilizar unidades rectangulares para representar cantidades desconocidas y al mismo tiempo los alumnos mayores utilizan una letra para representar una cantidad desconocida.

• Jon tiene $15 más que Ming, Ambos en conjunto tienen $50. Encuentre la cantidad de dinero que tiene Ming.

Pedagogía del Modelo de Barra

• El método modelo proviene del uso de objetos reales para modelar o representar situaciones en problemas con historias.

Problema 2: Usar Representaciones

• Considere el siguiente problema:• Mario tiene 3 galletas. Natalie tiene 2 galletas. ¿Cuántas galletas tienen ellos en conjunto?

• Existen varios métodos que pueden utilizarse para ayudar a los alumnos a resolver el problema anterior.

• Método 1 – Utilizar galletas reales.• Método 2 – Utilizar cubos para armar para

representar las galletas• Método 3 – Utilizar fotos de galletas

Método 4– Utilice imágenes de cubos paraarmar

Método 5: Utilicedibujos

Método 6:

•Utilice ecuaciones como 3 + 2 = ?.

Modelos de Parte Todo‐

• En los modelos de parte todo, un entero ‐está conformado por dos o más partes. Cuando los alumnos encuentran problemas que requieren la utilización de modelos parte todo, tanto la parte o el ‐entero es desconocido

Parte y Todo

•Son problemas en los que hay dos tipos de cantidades involucradas; partes y un total.

• •Cada parte se representa por un trozo de barra distinto y el total viene representado por toda la barra.

• •El total es el resultado de la suma de todas las partes.

• •Una parte es el resultado de restar ,al Total, todas las demás partes

Modelo de Parte todo I‐

• Problemas simples (1)• Sumando grupos de objetos• 1 Gugo horneó 10 galletas de animales. Aída horneó 12 galletas de animales.• ¿Cuántas galletas de animales hornearon en

total?

Modelo Parte-todo II

• Filip y Gina tiene $300 entre los 2. Filip tiene $125 ¿Cuánto tiene Gina?

Modelos de Comparación

• En los modelos de comparación, se comparan dos o más cantidades. Para problemas que requieren el uso de modelos de comparación, a los alumnos se les da ambas cantidades y se les pide que encuentren la cantidad relativa (por ejemplo, P es 10 veces más mayor Q) o se les da la cantidad relativa y se les pide que averigüen una cantidad determinada dada las otras.

Problema 5: Comparación multiplicativa I

• Jack y Kyla se reparten $300. Jack obtiene el doble más que Kyla.

• ¿Cuánto obtiene Kyla?

Problema 6: Comparación multiplicativa II

• Larry y María se reparten $300 en una proporción 1 : 3.

• ¿Cuánto obtiene María?

Problema 7: Comparación Aditiva I

• Un número es 12 unidades más que otro. El número más pequeño es 58.

• Encuentre el número mayor.

Problema 8: Comparación Aditiva II

• Hay 12 niños más que niñas. Hay 58 niños.• Encuentre el número de niñas

Problema 9: Comparación Aditiva III

• La bolsa de Natalia pesa 12 kg más que la de Peter. Ambas bolsas pesan 58 kg.

• ¿Cuánto pesa la bolsa de Natalia?• ¿Cuánto pesa la bolsa de Peter?

Comparaciones múltiples

• Los problemas anteriores involucraban una comparación. Sin embargo, los próximos tres

problemas involucran comparaciones múltiples. El problema 10 incluye sólo comparación aditiva.

Comparaciones Múltiples sólo con comparaciones Aditivas

• Rosa hizo grullas de papel para llenar un frasco de vidrio. Cada día ella hizo 4 grullas más que el día el día anterior. Después de 10 días, ella hizo 250 grullas de papel. ¿Cuántas grullas de papel hizo en el último día?