metodologia c.c
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METODOLOGIAECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS CON COEFICIENTES
CONSTANTES(C.C)
Para la solución de los C.C se sugieren los siguientes pasos:
1.- Se sustituye los parámetros: y’’= m2 y’=m yy=1
2.- Se resuelve la ecuación cuadrática por trinomio cuadrado perfecto y su comprobación.
3.- Se determina las raíces de acuerdo al caso de que se trate.
CASO I. (raíces reales diferentes)m1≠m2
Y=C1em1x + C2em2x
CASO II. (raíces iguales)m1=m2
Y=C1em1x + C2Xem2x
CASO III. (raíces complejas)m1=α−βi m2=α−βi
Y=eαx(C1 cosβx+C2 senβx )
Nota: En estos casos se tomara m1 primera raíz con el signo negativo de la solución del T.C.P.
METODOLOGIAECUACIONES LINEALES POR EL METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
(C.I)Para la solución de una ecuación por el método de los C.I., se recomienda los siguientes pasos:1.- Selección que tipo de ecuación se trata de la ecuación general.
r(x)……………”1”Y’’ + f(x)Y’ + g(x)Y= eαx…………….”2”
Senβx………..”3”Cosβx………..”4”
2.- En caso de que se trate “1” se recomienda los siguientes pasos: 2.1 Convertir:
Y’’=λ2
Y’=λY=1
Sustituyendo la ecuación e igualando a 0 únicamente del lado izquierdo.
2.2 Extraer las raíces de la ecuación por T.C.P. y comprobar y seleccionar las raíces para sustituir en cualquiera de los 3 casos, obteniendo así Yh
2.3 Transformar la ecuación particularYp=AXn + Bn-1 +….+C IV
Apareciendo todos los términos y considerarlos positivos.Nota: Si en Yp por ejemplo no aparece el término Bxn-1 supondremos que existe, es decir, ordenamos a Yp desde Xn pasando por xn-1 hasta llegar al termino independiente.
2.4 Obtener la primera y segunda derivada de Yp.
2.5 Sustituyendo la ecuación e igualandoY’’p=Y’’Y’p=Y’Yp=T.I.
En la ecuación original y desarrollando.
2.6 Obtener los coeficientes indeterminados de acuerdo a la primera y segunda derivada de Yp y r(x) obteniéndose así un sistema de ecuaciones lineales y resolverlo.
2.7 Sustituir los coeficientes de Yp.
2.8 Sustituir finalmente Yh y Yp en la ecuación general III.Y=Yh + Yp III.
3. En caso de que se trate “2” se recomienda los siguientes pasos:3.1 Convertir:
Y’’=λ2
Y’=λY=1
Sustituyendo la ecuación e igualando a 0 únicamente del lado izquierdo.
3.2 Extraer las raíces de la ecuación por T.C.P. y comprobar y seleccionar las raíces para sustituir en cualquiera de los 3 casos, obteniendo así Yh
3.3 Transformar la parte derecha de la ecuación de acuerdo a la tabla, aquí se tienen 3 casos.
3.3.1 Cuando los raíces son imaginarios.Yp= Aem
3.3.2 Cuando las raíces son diferentes.Yp=Axem
3.3.3 Cuando las raíces son iguales.Yp= Ax2em
Nota: En todos los casos se omiten las constantes incluyendo su signo em=eαx y se considera como positiva.
3.4 Obtener la primera y segunda derivada de Yp
3.5 Sustituyendo la ecuación e igualandoY’’p=Y’’Y’p=Y’Yp=T.I.
3.6 Obtener los coeficientes indeterminados de acuerdo a la primera y segunda derivada de Yp y r(x) obteniéndose así un sistema de ecuaciones lineales y resolverlo.
3.7 Sustituir los coeficientes de Yp.
3.8 Sustituir finalmente Yh y Yp en la ecuación general III.Y=Yh + Yp III.
4. En caso de que se trate de “3” se procede a los pasos anteriores, es decir, son similares de acuerdo a su solución.
METODOLOGIAECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS CON COEFICIENTES
CONSTANTES(C.C)
Para la solución de los C.C se sugieren los siguientes pasos:
1.- Se sustituye los parámetros: y’’= m2 y’=m yy=1
2.- Se resuelve la ecuación cuadrática por trinomio cuadrado perfecto y su comprobación.
3.- Se determina las raíces de acuerdo al caso de que se trate.
CASO I. (raíces reales diferentes)m1≠m2
Y=C1em1x + C2em2x
CASO II. (raíces iguales)m1=m2
Y=C1em1x + C2Xem2x
CASO III. (raíces complejas)m1=α−βi m2=α−βi
Y=eαx(C1 cosβx+C2 senβx )
Nota: En estos casos se tomara m1 primera raíz con el signo negativo de la solución del T.C.P.
METODOLOGIAECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS CON
COEFICIENTES CONSTANTES(C.C)
Para la solución de los C.C se sugieren los siguientes pasos:
1.- Se sustituye los parámetros: y’’= m2
y’=m y y=1
2.- Se resuelve la ecuación cuadrática por trinomio cuadrado perfecto y su comprobación.
3.- Se determina las raíces de acuerdo al caso de que se trate.
CASO I. (raíces reales diferentes)m1≠m2
Y=C1em1x + C2em2x
CASO II. (raíces iguales)m1=m2
Y=C1em1x + C2Xem2x
CASO III. (raíces complejas)m1=α−βi m2=α−βi
Y=eαx(C1 cosβx+C2 senβx )
Nota: En estos casos se tomara m1 primera raíz con el signo negativo de la solución del T.C.P.