RAÍCES DE ECUACIONES

El objeto del calculo de las raíces de una ecuación es determinar los valores de x para los que se cumple que f(x)=0

Métodos abiertos para cálculo de raíces

Método de punto fijo:

Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma:

Si la ecuación es , entonces puede despejarse ó bien sumar en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada.

Por ejemplo:

La ecuación se puede transformar en .

La ecuación se puede transformar en .

Dada la aproximación , la siguiente iteración se calcula con la fórmula:

2.8.2

Supóngase que la raíz verdadera es , es decir,

2.8.3

Restando las últimas ecuaciones se obtiene:

2.8.4

Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, se puede decir que si es

contínua en y diferenciable en entonces existe tal que

.

En este caso, existe en el intervalo determinado por y tal que:

2.8.5

De aquí que:

2.8.6

O bien,

2.8.7

Tomando valor absoluto en ambos lados,

2.8.8

El término es precisamente el error absoluto en la ésima iteración,

mientras que el término corresponde al error absoluto en la ésima iteración.

Por lo tanto, solamente si , entonces se disminuirá el error en la siguiente iteración. En caso contrario, el error irá en aumento.

En resumen, el método de iteración del punto fijo converge a la raíz si para

en un intervalo que contiene a la raíz y donde es contínua y

diferenciable, pero diverge si en dicho intervalo.

Método de Newton Raphson:

Este método, es uno de los más usados y efectivos, debido a que converge rápidamente, una vez se obtiene un valor cercano a la raíz

Supongamos que se tiene la aproximación a la raíz de ,

Al trazar la recta tangente a la curva en el punto ; ésta cruza al eje en un

punto que será la siguiente aproximación a la raíz .

Para calcular el punto , se obtiene primero la ecuación de la recta tangente, con pendiente:

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

Haciendo :

Y despejando :

Que es la fórmula de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:

Método de la secante:

Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo de la derivada usando la siguiente aproximación:

Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson:

Que es la fórmula del método de la secante. Para poder calcular el valor de ,

necesitamos conocer los dos valores anteriores y .

Observamos, el gran parecido con la fórmula del método de la falsa posición. La diferencia entre una y otra es que mientras el método de la falsa posición trabaja sobre intervalos cerrados, el método de la secante es un proceso abierto y por lo mismo, encuentra la aproximación casi con la misma rapidez que el método de Newton-Raphson. Claro, corre el mismo riesgo de éste último de no converger a la raíz, mientras que el método de la falsa posición lo hace de manera segura.