RAÍCES DE ECUACIONES

El objeto del calculo de las raíces de una ecuación es determinar los valores de x para los que se cumple que f(x)=0

Métodos cerrados para cálculo de raíces

Método de bisección:

La principal característica del método de bisección consiste en buscar un intervalo donde la función a analizar cambia de signo. Por lo tanto, la localización del cambio de signo se logra con más exactitud al dividir el intervalo en una cantidad definida de subintervalos. Se rastrea cada uno de estos subintervalos para encontrar el cambio de signo. El proceso se repite y la aproximación a la raíz mejora cada vez más a medida que los subintervalos se dividen en espacios más pequeños.

El método de bisección sigue los siguientes pasos:

Sea continua,

a) Encontrar valores iniciales , tales que y tienen signos opuestos, es decir,

b) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre y :

c) Evaluar . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

ü

En este caso: y tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se

encuentra en el intervalo .

ü

En este caso : y tienen el mismo signo, y de aquí que y

tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo

.

ü

En este caso: y por lo tanto ya localizamos la raíz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

Es decir,

El método de bisección por lo general es lento, y en casos como el de la siguiente gráfica (figura 2), puede ser demasiado lento.

Figura 2

En un caso como éste, el proceso de bisección comienza a acercarse a la raíz de forma muy lenta, ya que el método solamente toma en cuenta que la raíz se encuentra dentro del intervalo, sin importar si se encuentra más cerca de alguno de los extremos del intervalo. Sería bueno implementar un método que tome en cuenta este detalle.

Método de la Falsa Posición:

Una de las principales desventajas del método de la Bisección, es que puede converger muy lentamente debido a que como el intervalo se toma en mitades iguales, no se tiene en cuenta la cercanía de la raíz a uno de los extremos.

El método de la Falsa Posición, es una buena alternativa, para corregir este inconveniente de una manera gráfica.

Usando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta con el eje de las x puede ser estimada como:

Salvo esta diferencia el algoritmo del método de falsa posición es prácticamente el mismo al de bisección.