métodos cuantitativos

"AÑO DE LA PROMOCIÓN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y DEL COMPROMISO

CLIMÁTICO"

Especialidad : Métodos Cuantitativos para los negocios.

Docente : Pebes Heredia, Elena.

Facultad : Ciencias Contables.

Ciclo : VI- Noche.

Apellidos y Nombres : Huacasi Miranda, Beatriz.

: Acevedo Martínez, Angélica.

: Almeyda Ramos, Belgica.

: Saravia Tasayco, José.

: Campos Huamán, Luis Felipe.

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………………………………. Pág. 4

NÚMEROS ÍNDICES……………………………………………………………………………………….. Pág. 5

Objetivos generales Objetivos específicos.

NOCIONES SOBRE LOS NÚMEROS ÍNDICES, TIPOS………………………………………….. Pág.6

Importancia. Razón relativa.

EJEMPLO………………………………………………………………………………………………………… Pág.7

INTERPRETACIÓN DEL EJEMPLO……………………………………………………………………… Pág.8

ÍNDICES SIMPLES DE PRECIOS Y CANTIDADES…………………………………………………. Pág.9

Tipos de números índices.

ÍNDICE COMPUESTOS O PONDERADOS……………………………………………………………. Pág.10

Ejemplo y soluciones.

EJEMPLO 2………………………………………………………………………………………………………. Pág.11

SOLUCIÓN EL EJEMPLO……………………………………………………………………………………. Pág.12

ÍNDICE PONDERADO……………………………………………………………………………………….. Pág.13

EJEMPLO…………………………………………………………………………………………………………. Pág.14

DEDICATORIADios quién supo guiarnos por el buen

Camino, darnos fuerzas para seguir adelante, en especial a nuestros padres por su ayuda y constante cooperación.

SOLUCIÓN DEL EJEMPLO…………………………………………………………………………………. Pág.15

ÍNDICE AGREGADOS PONDERADOS DE PRECIO Y CANTIDADES……………………….. Pág.16

EJEMPLO…………………………………………………………………………………………………………. Pág.17

SOLUCIÓN:………………………………………………………………………………………………………. Pág.18

ÍNDICE LASPEYRES…………………………………………………………………………………………… Pág.19


ÍNDICE PASSCHE……………………………………………………………………………………………… Pág.21


ÍNDICE FISHER…………………………………………………………………………………………………. Pág.23


INTRODUCCIÓN

En esta unidad estudiaremos a los números índices que sirven para describir la variable dada que existe a través del tiempo a consecuencia del aumento ó disminución del precio de diferentes productos.

Supongamos que nos dicen que el número índice del costo de vida es de 140 cuando se compara con el año base de 1997. Este número es una forma rápida, los estadistas usan para saber que el costo de vida ha aumentado en 40% desde 1997.

También se emplea los números índices para medir los cambios de productividad, empleos, tarifas de sueldos y los salarios en aumento.

También sirve para medir en cuanto se ha incrementado la canasta familiar a partir de un año base y comparado con el año actual.

En nuestro quehacer diario juega un papel muy importante para poder observar los incrementos que sufren los productos de primera necesidad.

NÚMEROS INDICES

OBJETIVOS GENERALES

Al término de esta unidad los alumnos podrán determinar los números índices simples y ponderados aplicados en diferentes áreas.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Calcular los números índices en las diferentes áreas para indicar los cambios en la productividad, costo de vida.

CONTENIDO

Nociones de números índices y tipos.

Calcular números índices simples, compuestos y ponderados.

Calcular los números índices de precios y cantidades.

Calcular números índices de productividad y costo de vida.

NOCIONES SOBRE LOS NUMEROS INDICES, TIPOS

CONCEPTO:

Los números índices son valores relativos que muestran o indican la variación que existe en una variable determinada en dos momentos distintos, siendo estos momentos: Uno actual y el otro de referencia o comparación.

NOCIONES DE NÚMEROS ÍNDICES

Es una medida estadística diseñada para mostrar los cambios de una variable con el tiempo, también se dice que un conjunto de variables cambia a través del tiempo como:

a) Situación Geográfica.b) Renta.c) Costo de vida.d) Producción, etc.

IMPORTANCIA: Se emplea como medida de los cambios en los valores de bienes o servicios a través del tiempo.

Debemos tener en cuenta dos puntos:

1. El periodo de base.2. El periodo actual, para determinar la razón relativa.

LA RAZÓN RELATIVA:

P (A)P (B) R= X100

DONDE: P (base) = P (B) P (actual) = P(A)

OBSERVACIÓN: También se dice que esta razón relativa dividiendo el valor actual sobre el valor base, luego multiplicamos el número resultante por 100 para expresarlo el índice como un porcentaje.

EJEMPLO:

Un empresario se da cuenta que su empresa está en constante variación desde 1971 dejo una utilidad de $ 9300, en 1976 dejo una cantidad de $6500, en 1981 con una cantidad de $9600 y en 1986 dejó una cantidad de $10 100 si 1971 es el año base, este empresario puede obtener los números índices que reflejan este cambio.

SOLUCIÓN:

Armamos una tabla y luego vamos hacer dividir el año actual sobre el año base 1971.

AÑO NUMEROS RAZÓN INDICE RELATIVO Ó PORCENTUAL

1971197619811986

930065009600

10100

9300/9300 = 1,0 6500/9300 = 0,7 9600/9300 = 1,0310100/9300 = 1,09

1x100 = 100 0,7x100 = 70 1,03x100 = 103 1,09x100 = 109

INTERPRETACIÓN:Por medio de este cálculo se puede decir que en 1976 tuvo un índice de 70 en relación con 1971, otra manera de informarse es decir que fue del 70% el cambio que sufrió desde 1971 a 1976.

EJEMPLO 1

Supóngase que los precios de consumo de un litro de leche en los años 1990 y 1995 fueron: de 0,25 y 0,30 centavos de dólar tomando como año base 1990. Determine Ud. El precio relativo de leche para el año 1995.

DATOS:

AÑOS 1 LITRO DE LECHE

1990

1995

0,25

0,30

X= Precio (Dado en centavo de dólar).

Se observa que del año 1990 al año 1995 aumenta el precio.

SOLUCIÓN:

Aplicando formula, tenemos: Precio Relativo = P(Actual) P (Base)

REEMPLAZANDO:

El problema toma como año base el 1990 (se calcula un solo producto)

PR=120

INTERPRETACIÓN:

El precio de la leche en 1995 fue del 120% del que tenía en 1990 o podemos afirmar que se ha incrementado en un 20%.

= 1.2x100 = 120%0,25

0,30Precio Relativo =

INDICES SIMPLES DE PRECIOS Y DE CANTIDADES

TIPOS DE NÚMEROS ÍNDICES

Existen tres tipos de números índices:

1. Índice de precios.2. Índice de cantidad.3. Índice de valor.

INDICE DE PRECIOS

Es el de mayor uso, compara los cambios en el precio entre dos periodos. El precio al consumidor mide los cambios globales del precio de varios bienes de consumo y de servicios. Se utiliza para definir el costo de vida.

ÍNDICE DE CANTIDAD

Mide cuanto cambia con el tiempo el número o cantidad de una variable, esto generalmente está en los años de cambio.

ÍNDICE DE VALOR

Mide los cambios del valor monetario total, en otras palabras podemos decir que mide los cambios en el valor monetario de una variable. Cuando por ejemplo el índice es 160 se deduce diciendo 160-100 = 60% aumento, pero en otro caso si el índice es 80 se deduce 80-100 = - 20% disminuyo.

INDICE COMPUESTOS O PONDERADOS

Cuando se trabaja con más variables, luego veamos la aplicación con un ejemplo.

EJEMPLO:

Supóngase que se desea calcular el número índice para los precios de 1980 a 3 variables tal como indica la tabla empleando como año base 1997.

a) Determine Ud. El precio relativo de cada variable.b) El promedio de los precios relativos.

Variables

BASE ACTUAL

Precio 1997 Precio 1980

A

B

C

$20

$30

$50

$30

$24

$65

n=3

SOLUCIÓN:

AÑO BASE 1997

Vamos hallar el precio relativo de cada producto respecto a (A).

A tiene un incremento del 50% A+50%

B tiene un decrecimiento del 20% A-20%

C tiene un incremento del 30% A+30%

0.8= 30

24=BPR

1.3= 50

65=CPR

1.5= 20

30=APR

Calculo del número índice: Siempre “n” igual a número de variables

Σ P(A)/P(B) n

Sumatoria de promedios:

1.5 + 0.8 + 1.3 3.6

Este paquete de variables creció en un 20%, (con este método se calcula la canasta familiar).

Ejemplo 2:

Construya el numero índice para comparar precios de 1980 con los precios de 1997 (año base) de la tabla adjunta.

SATISFACTOR PRECIO 1997 PRECIO 1980

Carne de res

Carne de cerdo

Carne de cordero

$1.50 kg

$1.20 kg

$1.00 kg

$1.80 kg

$1.20 kg

$1.10 kg

3 3 =

= =I 1.2X100= 120%

=I

SOLUCIÓN

Año base 1997

Vamos hallar el precio relativo de cada producto:

Ahora calculamos “I”

1.2 + 1.0 + 1.1 3.3

A = Tiene un incremento del 20 %

B = Esta en el promedio.

C = Tiene un incremento del 10%

1.2= 1.50

1.80=

Carne de res PR

1.0= 1.20

1.20=Carne de cerdo PR

1.1= 1.00

1.10=Carne de cordero PR

=

=

=

1.103 3I

INDICE PONDERADO DE PRECIOS

Las cantidades en periodo de base es considerado como peso de ponderación, para calcular en índice tenemos que seguir los procedimientos anteriores o de lo contrario aplicar la siguiente fórmula:

Σ P(A).Q(A)

Σ P(B).Q(B)

EJEMPLO:

Calcular el índice de precios.

ARTÍCULOS

1977 1977 1980

CANTIDAD (Q) PRECIO PRECIO

Leche

Gaseosa

Vinagre

100

20

3

$0,30

$1,50

$0,30

$0,33

$1,65

$0,24

SOLUCIÓN:

PRECIOS SOLES

BASE ACTUAL

1977 1980

30

30

0,9

33

33

0,72

Σ = 60,90 Σ = 66,72

=I

Multiplicamos las cantidades por el precio del año 1977:

100x0, 30 = 30

20x1, 50= 30

3x0, 30 = 0,90

Multiplicamos las cantidades por el precio del año 1980:

100x0, 33 = 33

20x1, 65 = 33

3x0, 24 = 0,72

Luego se calcula la sumatoria en cada columna:

Año 1977 = 30+30+0,90 = 60,90

Año 1980 = 33+33+0,72 = 66,72

Aplicando la fórmula:

I= 66,72 / 60,90 = (1,0955) x 100 = 109,55

EJEMPLO:

Hacer el cálculo del número índice de la tabla adjunta:

ELEMENTO

PRECIOS

1981 ( Base) 1987 (Actual)

1Galón de leche

1 Doc. de huevos

1 Libra de queso

1 G. de gasolina

$1,48

$0,65

$1,09

$0,48

$1,79

$0,83

$1,59

$1,17

SOLUCIÓN:

1. Observamos que no hay cantidades entonces quiere decir que ya son precios promedios.

2. Tendremos como año base (1981) y año actual (1987).3. Quiere decir que los números índices que vamos a calcular no son ponderados.4. Hallamos la sumatoria de cada columna.

Σ año 1981: 1,48 + 0,65 + 1,09 + 0,48 = 3,70 Σ año 1987: 1,79 + 0,83 + 1,59 + 1,17 = 5.38

Entonces según la fórmula el índice va a ser:

I = P(A)/P(B) I = (5,38/3,7)X100 = 145,4

I = 145,4

EJEMPLO:

La tabla muestra el sueldo mensual de una secretaria durante años.El índice del consumidor y el sueldo aumento de una manera sustancial.

Hallar el número índice.

AÑO

SUELDO PAGADO INDICE DEL PRECIO

SEMANAL $ (ACTUAL) CONSUMIDOR (BASE)

1980 76,50 100

1990 97,00 123

1995 315,32 200

Como sabemos cual es el precio base y el actual:

- Todo índice ya es un dato pasado por tanto es un dato base.- Sueldo es lo actual lo que generalmente se les paga (según el problema).

SOLUCIÓN:

= 76.50/100 = 0.7650

= 97.00/123 = 0.7886

= 315.32/200= 1.5766

Sumatoria = 3.1302

El índice es la sumatoria de los años que es 3.1302 entre 3 (por lo que es 3 años el tamaño de la muestra), multiplicado por 100.

I = (3.1302/3) X100 = 104.34

I = 104.34

1980 PR

1990 PR

1995 PR

ÍNDICE DE AGREGADOS PONDERADOS DE PRECIOS Y CANTIDADES

Esta ponderación nos permite incluir más información que el primero cambio de precios a través del tiempo. Además nos permite estimar con mayor precisión el nivel de los precios.

FÓRMULA:

Índices de precios de agregados ponderados = (Σ P Q / ΣP Q)100

P = Precio de cada elemento del grupo en el año actual.

P = Precio de cada elemento del grupo en el año base.

Q = Factor seleccionado de ponderación de cantidad.

EJEMPLO:

Calcular el índice ponderado de agregados.

ARTICULOS VOLUMEN 1985 (Base) 1990 (Actual)

Leche

Huevos

Hamburguesas

Gasolina

Oro

20 000 lts

3 500 Kgs

11 000 Kgs

154 000 Gls

0.002 Grs

$1.48

$0.65

$1.09

$0.48

$36.50

$ 1.79

$0.83

$1.59

$1.17

$23.00

1 o

1

o

SOLUCIÓN:

Calculamos el precio base del año 1985 de la siguiente manera:

(El volumen lo tomamos como cantidad)

Año 1985 (20 0009) (1.48) = 29 600

(3 500) (0.65) = 2 275

(11 000) (1.09) = 11 900

(154 000) (0.48) = 73 920

(0.002) (36.50) = 0.073

Σ año 1985 = 117 785.073

Calculamos el precio actual de la siguiente manera:

Año 1990: (20 000) (1.79) = 35 800

(3 500) (0.83) = 2 905

(11 000) (1.59) = 17 490

(154 000) (1.17) = 180 180

(0.002) (23.00) = 0.046

Σ año 1990 = 236 375.046


I = (236 375.046)/117 785.073) X100 = 200 683

MÉTODO LASPEYRES

Es un índice compuesto o ponderado y permite hallar la variación de precios y cantidades de consumo para 2 o más artículos. Este índice le da importancia a las cantidades de consumo del tiempo base o de referencia por lo que se aplica la siguiente fórmula o relación matemática.

Se sirve de las cantidades consumidas durante el periodo base, es la técnica de mayor uso por requerir medidas de cantidades durante un solo periodo. Como cada índice se funda en el mismo precio y cantidad base, los gerentes pueden hacer comparaciones de un periodo a otro.

FÓRMULA:

Índice Laspeyres = (ΣP Q / ΣP Q ) 100

P = Precio en el año actual.

P = Precio en el año base.

Q = Cantidades vendidas en el año base.

EJEMPLO:

Hallar el índice compuesto de variación según Laspeyres para los precios y cantidades de consumo de los cuatros artículos que se muestran en el segundo cuadro.

JUNIO 2007 DICIEMBRE 2007

PRECIO CANTIDAD PRECIO CANTIDAD

Fideos 1.90 4 2.10 4

Aceite 4.20 4 4.80 3

Menestra 2.10 10 2.00 12

Queso 12.00 5 15.00 4

1 o o o

1

o

o

PERIODO

ARTÍCULO

APLICANDO LA FÓRMULA:

Índice Laspeyres = (ΣP Q / ΣP Q ) 100

= (2.10X4) + (4.80X4) + (2.00X10) + (15.00X5)

8.4 + 19.2 + 20 + 75

7.6 + 16.8 + 21 + 60

122.60

150.40

1.16318 x 100

116.31 %

Luego la variación de precios y cantidades de consumo según el índice de Laspeyres es:

VI = 116.31 % - 100%

VI = 16.31 %

= X100

= X100

=

=

1 o oo

LI

LI

LI

LI

LI

L

L

ÍNDICE DE PAASCHE

Índice compuesto o ponderado que permite hallar la variación de precios y cantidades de consumo para 2 o más artículos al mismo tiempo. Este índice le da importancia a las cantidades de consumo del tiempo actual o del momento actual.

Se calcula multiplicando el precio en el periodo actual por la cantidad del mismo en cada elemento del grupo y sumando dichos productos. Después el precio del periodo base se multiplica por la cantidad del periodo actual para cada producto y se suman los resultados.

FÓRMULA:

Índice de Paasche = (ΣP Q / ΣP Q ) 100

P = Precios en el periodo actual.

P = Precios en el periodo base.

Q = Cantidades en el periodo actual.

EJEMPLO:

Hallemos el índice compuesto de variación según Paasche para los precios y cantidades de consumo de los artículos que se muestran en el siguiente cuadro:

JUNIO 2007 DICIEMBRE 2007


Fideos 1.90 4 2.10 4

Aceite 4.20 4 4.80 3

Menestra 2.10 10 2.00 12

Queso 12.00 5 15.00 4

11 1 o

1

o

1

PERIODO

ARTÍCULO

Aplicando la fórmula se tiene:

(2.10X4) + (4.80X3) + (2.00X12) + (15X4)

8.4 + 14.4 + 24 + 60

7.6 + 12.6 + 25.2 +48

106.80

93.40

1.1434 x 100

114.34 %

Luego la variación de precios y cantidades de consumo según el índice de Paasche es:

VI = 114.34 % - 100%

VI = 14.34 %

Este resultado nos indica que en el mes de diciembre 2007 la variación de precios y cantidades de consumo se incrementa en 14.34 % con respecto al mes de julio 2007.

= X100

= X100

=

=

PI

PI

PI

PI

=PI

P

P

ÍNDICE DE FISHER

Llamado también índice ideal, es otro índice compuesto o ponderado que permite hallar la variación de precios y cantidades de consumo para dos o más artículos. Es necesario señalar que este índice, a diferencia de los dos índices compuestos anteriores, le da importancia a los consumos de tiempo actual o del momento, como también el consumo del tiempo base o de referencia. La fórmula o relación matemática que permite hallar el índice de Fisher es:

FÓRMULA:

I =√ I x I

√¿¿¿

EJEMPLO:

Hallemos el índice compuesto de variación según Fisher para los precios y cantidades de consumo de los artículos que se muestran en el siguiente cuadro.

JULIO 2007 DICIEMBRE 2007


Fideos 1.90 4 2.10 4

Aceite 4.20 4 4.80 3

Arroz 2.10 10 2.00 12

Queso 12.00 5 15.00 4

L PF

n

oΣP .Q

ΣP . Q x

ΣP .Q

ΣP . Q

nn

o o

nI =

X100F

o

X 100

PERIODO

ARTÍCULO


√¿¿¿

I √¿

I √122.60 106.80¿

¿

I √1.163 x1.143

I √1.329809

I 1.1529 x 100

I 115.29 %

Luego la variación de precios y cantidades de consumo según el índice de Fisher es:

VI = 115.29% - 100%

VI = 15.29%

Esto significa que los precios y las cantidades de consumo en diciembre 2007 se incrementan en un 15.29% con relación a los precios y cantidades de consumo del mes de julio 2007.

(1.90x4) + (4.20x4) + (2.10x10) + (12.00x5) (1.90x4) + (4.20x3) + (2.10x12) + (12.00x4)x (2.10x4) + (4.80) + (2.00x10) + (15.00x5) (2.10x4) + (4.80x3) + (2.00x12) + (15.00x4)

8.40 + 19.2 + 20.00 + 75.00 80.40 + 14.40 + 24.00 + 60.00

7.60 + 16.80 + 21.00 + 60.00 7.60 + 12.60 +25.20 + 48.00 x

105.40 93.40x X100

X100

X100

X100

X100

I =

=

=

=

=

=F

F

F

F

F

F

=F

F

F

La empresa Artefactos SAC estudia la evolución de sus precios en soles de 3 piezas para un artefacto, en los años 2002, 2003, 2004

AÑOS Pieza A Pieza B Pieza C

2002 200 360 420

2003 250 400 450

2004 240 390 500

A) Calcular un índice simple para estudiar la evolución de los precios de los artefactos, usando como periodo base año 2002

B) Calcular un índice conjunto de los precios utilizando una media aritmética de índices simple y tomando como referencia el año 2002

C) Analizar como varían los resultados si escoge como promedio la media geométrica.

D) Suponiendo que en cada artefacto van 3 unidades de la pieza A, 5 en la pieza B, 7 en la Pieza C. Calcule el índice de precios conjunto para los tres componentes tomando como referencia el año 2002 y usando una media aritmética ponderada de los índices simples. Analiza como varían los resultados y cuál es el incremento medio anual de precios a partir del índice compuesto de media aritmética ponderada.

A) INDICE SIMPLE DE PRECIOS:

Pn X 100 Po

AÑO / PIEZA A

2002 (200/200)*100 100%

2003 (250/200)*100 125%

2004 (240/200)*100 120%

AÑO / PIEZA B

2002 (360/360)*100 100%

2003 (400/360)*100 111.11%

2004 (390/360)*100 108.33%

AÑO / PIEZA C

2002 (420/420)*100 100%

2003 (450/420)*100 107.14%

2004 (500/420)*100 119.05%

B) MEDIA ARITMETICA

AÑOS PIEZA A PIEZA B PIEZA C

2002 100 100 100

2003 125 111.11 107.14

2004 120 108.33 119.05

(100+100+100) / 3 100%

(125+111.11+107.14) / 3 114.42%

(120+108.33+119.05) / 3 115.79%

C) MEDIA GEOMETRICA

3√100 X100 X100 100%

3√125 X111 .11X 107 .14 114.17%

3√120 X108 .33 X 119 .05 115.67%

D) MEDIA GEOMETRICA PONDERADA

A(3) B(5) C(7)100 100 100125 111.11 107.14120 108.33 119.05

A [ (100*3)+(100*5)+(100*7) ] / (3+5+7) 100%

B [ (125*3)+(111.11*5)+(107.14*7) ] / (3+5+7) 112.04%

C [ (120*3)+(108.33*5)+(119.05*7) ] / (3+5+7) 115.67%

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