métodos de probabilidad

Universidad Tecnológica de TorreónOrganismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila

Estadística

Método de conteo Diagrama de árbol

Permutaciones Combinaciones

Procesos IndustrialesÁrea Manufactura

Alumno

Angel Alberto García Guerrero2° ``A´´

Matrícula: 1110289

Profesor

Lic. G. Edgar Mata Ortiz

A lunes 27 de febrero de 2012


Método de Conteo

Los métodos de conteo son estrategias utilizadas para determinar el número de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento.

http://www.kalipedia.com/matematicas-estadistica/tema/metodos-conteo.html?x=20070926klpmateyp_49.Kes

Ejercicios

Se extrae una carta aleatoriamente de una baraja de 52 cartas.




Describir el espacio muestral si:

(a) No se tiene en consideración el palo.(b) Si se tiene en cuenta el palo.

(a) Si no tenemos en cuenta los palos, el espacio muestral consiste de;

2, 3,. . ., 10, J, Q, K, A, y puede indicarse como {1, 2,..., 13}.

(b) Si tenemos en cuenta los palos el espacio muestral consiste del 2 de corazón (♥), picas (♠), diamantes (♦) y tréboles (♣); ... ; A de corazones (♥), picas (♠), diamantes (♦) y tréboles (♣).Denotando ♥, ♠, ♦, ♣, respectivamente por l, 2, 3,4, por ejemplo, podemos indicar una J de picas por (11,2). Luego el

espacio muestral consiste de 52 puntos indicados a continuación.

T ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣

D ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

P ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠

C ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A

Espacio Muestra


Una carta se extrae aleatoriamente de una baraja de 52 cartas.

Encontrar la probabilidad de que sea:

(a) A(b) J ♥(c)3 ♣ ó 6 ♦(d) ♥(e) Cualquier palo excepto ♥(f) 10 ó ♠(g) Ni un 4 ni un ♣

El espacio muestra en todos los ejercicios tiene 52 cartas.

(a) Casos favorables = 4

P(A) ¿452

=0.76923076ó7.692307692%

(b) Casos favorables = 1

P(J♥) ¿152

=0.019230769ó1.923076923%

(c) Casos favorables = 2

P(3 ♣ ó 6 ♦) ¿252

=0.038461538 ó3.846153846%

(d) Casos favorables = 13

P(♥) ¿1352

=0.25ó25%

(e) Casos favorables = 39

P(♥’) ¿3952

=0.75ó75%

(f)Casos favorables = 16

P(10 ó ♠) ¿1652

=0.307692307ó30.76923077%

(g) Casos favorables = 16


P(4’ ni ♣’) ¿3652

=0.692307692ó69.23076923%

BibliografíaProbabilidad y

EstadísticaMurray & Spiegel

Primera EdiciónMc Graw Hill

Diagrama de árbol

Es un método gráfico de conteo que consiste en marcar, como si fueran rutas o las ramas de un árbol, las posibilidades que aparecen en cada uno de los experimentos simples en los que se descompone el experimento.El número de posibilidades se obtiene contando las ramas finales.

http://www.kalipedia.com/matematicas-estadistica/tema/metodo-diagrama-arbol.html?x=20070926klpmateyp_49.Kes&ap=1

Ejercicios




Se lanzan tres monedas distintas ($10, $5, $1) y se observan si se obtuvo águila o sello en cada una de ellas.

Determina las siguientes

probabilidades.

a) De obtener tres águilas.b) De obtener dos águilas y un sello.c) De obtener dos sellos y un águila.d) De obtener tres sellos.

$10 $5 $1

1 Águila Águila Águila

2 Águila Águila Sello

3 Águila Sello Águila

4 Águila Sello Sello

5 Sello Águila Águila

6 Sello Águila Sello

7 Sello Sello Águila

8 Sello Sello Sello

Espacio Muestra

$10

$5

$1


Monedas

Águila

ÁguilaÁguila

Sello

SelloÁguila

Sello

Sello

ÁguilaÁguila

Sello

SelloÁguila

Sello

1.- ¿Qué probabilidad hay que salga en las tres monedas águila?

Casos favorables = 1

P($10A, $5A, $1A) ¿18=0.125ó12.5%

2.- ¿Qué probabilidad hay que salga dos monedas águilas y una sello?


P($10A, $5A, $1A) ¿38=0.375ó37.5%

3.- ¿Qué probabilidad hay que salga dos monedas sellos y una águila?


P($10A, $5A, $1A) ¿38=0.375ó37.5%

4.- ¿Qué probabilidad hay que salga en las tres monedas sello?


P($10A, $5A, $1A) ¿18=0.125ó12.5%


Permutaciones

Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/04Permutaciones.htm

Un arreglo de cosas en un orden dado; constituye una permutación. En una permutación el orden es importante.

n !=n (n−1 ) (n−2 ) (n−3 )… (2)(1) Es el factorial de un número.

6 !=(6 ) (5 ) (4 ) (3 ) (2 ) (1 )=720

8 !=(8 ) (7 ) (6 ) (5 ) (4 ) (3 ) (2 ) (1 )=40320Tendríamos 40320 formas diferentes de agrupar 8 elementos.

Los arreglos de n objetos en una línea es una permutación lineal. El número de permutaciones lineales de n objetos tomados r a la vez es representado por P(n, r). En tanto que los objetos se distingan perfectamente; cambiando aún un objeto crea una permutación distinta P(n, r) tiene el valor dado por la fórmula:




nPr=P (n , r )= n !(n−r )!

Ejercicio

¿De cuántas formas distintas podemos acomodar 4 sólidos

geométricos en una repisa; si los escogemos de entre 9 sólidos geométricos diferentes?

Permutación dependiente; porque una vez que colocamos el primer sólido en la repisa este afecta las opciones de los demás; y así sucesivamente. El orden es importante.

P (n , r )= n !(n−r )!

P (9 ,4 )= 9 !(9−4 )!

P (9 ,4 )=(9) (8 ) (7 ) (6 ) (5 ) (4 ) (3 ) (2 ) (1 )

(5 ) (4 ) (3 ) (2 ) (1 )

P (9 ,4 )=(9)(8 ) (7 ) (6 )

P (9 ,4 )=3024


http://tutormatematicas.com/ALG/Probabilidad_combinaciones_permutaciones.html

Combinaciones

Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.


De un grupo de 8 soldados del ejército, y 7 soldados de la guardia nacional; se formará una unidad de 4 soldados del ejército y 3 de la guardia. ¿Cuántas unidades distintas pueden formarse?






Combinación dependiente; pues un soldado no se puede seleccionar 2 veces en la unidad.

Fórmula para determinar el número de combinaciones.

C (n , r )= n!(n−r ) !r !

Formas de escoger a los soldados del ejército:

C (8 , 4 )= 8 !(8−4 )! 4 !

C (8 , 4 )= (8 ) (7 ) (6 ) (5 ) (4 ) (3 ) (2 ) (1 )(4 ) (3 ) (2 ) (1 ) (4 ) (3 ) (2 ) (1 )

C (8 , 4 )= (8 ) (7 ) (6 ) (5 )(4 ) (3 ) (2 ) (1 )

C (8 , 4 )=70

Formas de escoger a los soldados de la guardia nacional:

C (7 ,3 )= 7 !(7−3 ) !3 !

C (7 ,3 )= (7 ) (6 ) (5 ) (4 ) (3 ) (2 ) (1 )(4 ) (3 ) (2 ) (1 ) (3 ) (2 ) (1 )


C (7 ,3 )=35

Formas de integrar la unidad:

(70)(35)=2450


Comparación entre combinaciones y permutaciones

¿De cuántas formas distintas podemos escoger 7 cartas de un juego de 52 cartas?




¿Es esto una combinación o una permutación?

Es

combinación puesto que el orden no es importante.

C (52 ,7 )= 52 !(52−7 )!7 !

C (52 ,7 )=133,784,560

¿De cuántas formas distintas se pueden poner en línea, sobre una mesa, estas cartas?


¿Es esto una combinación o una permutación?

Esta es permutación pues el orden es importante.

P (7 ,4 )= 7 !(7−4 ) !

P (7 ,4 )=840


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