métodos de resolução –solução analítica –solução numérica solução numérica - idéia...
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• Métodos de Resolução – Solução Analítica– Solução Numérica
• Solução Numérica - Idéia Geral• Exemplo: Problema de Localização• Ótimo Local e Ótimo Global• Busca Local: uma iteração• Cálculo da Direção de Caminhada
– Direção Factível e Direção de Melhoria– Gradiente de f(x)– Direção de crescimento e de decrescimento.
• Busca Unidimensional• Observações:
– Função Unimodal– Função Unimodal, Conjuntos Convexos e Ótimo Global– Direção de Caminhada em Problemas com restrições
AULA 5 - Resolvendo Problemas de Programação Matemática:Métodos de Busca
5-1
• Obtenção da Solução
– Método Analítico (solução fechada)• Exemplo : Problema EOQ (Aula 2)
– Lote Ótimo : q* = (2fD/h)1/2
– Método Numérico • Solução obtida através de processo numérico iterativo
Solução de Problemas de OtimizaçãoMétodos de Resolução
5-2
IDÉIA GERAL:
– Obter uma solução inicial factível.– Repetir enquanto a condição de parada não é satisfeita :
• Numa vizinhança da solução atual procurar uma nova solução factível com melhor valor da função objetivo (Busca Local ou em vizinhança)
• Atualizar solução.• Realizar teste de parada.
Métodos NuméricosAlgoritmos de Busca
5-3
Uma empresa pretende abrir um novo supermercado em uma região com 3 cidades, conforme mostrado na figura a seguir.
• Problema : Determinar em que local da região deve ser localizada a nova loja.
• Restrição : As prefeituras das 3 cidades não permitem que se localize a nova loja dentro de numa zona delimitada por um raio de 1/2 quilômetro a partir do centro das cidades, com o propósito de evitar congestionamentos na área central.
Exemplo: Problema de Localização
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Os centros populacionais e número de habitantes.
Problema de Localização
5-5
O Problema de Localização: Formulação
Função Objetivo : adota um perfil gravitacional, ou seja, supõe que a loja tem uma capacidade de atrair clientes que é proporcional à população da região e inversamente proporcional ao quadrado (1+) distância que a separa dos clientes.
Maximizar p=(60/[1+(x1 + 1)2 + ( x2 - 3)2 ] + 20/[1+(x1 - 1)2 + ( x2 - 3)2 ] + 30/[1+(x1)2 + ( x2 + 4)2 ]
Restrições : (x1 + 1)2 + ( x2 - 3)2 >= (1/2)2
(x1 - 1)2 + ( x2 - 3)2 >= (1/2)2
(x1 - 1)2 + ( x2 - 3)2 >= (1/2)25-6
Visão espacial da função objetivo
Problema de Localização
Uma Solução: é uma escolha de valores para as variáveis de decisão. Ex. : x1 = 1 , x2 = 0,5. Equivale a um ponto no espaço n, onde n é o número de variáveis de decisão. 5-7
Processo Iterativo (visão espacial)
Problema de Localização
Cada passo do processo iterativo gera uma nova solução factível
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• O processo de busca local termina em uma solução conhecida como ótimo local.
• Nem sempre um ótimo local é um ótimo global (a melhor de todas as soluções). Um ótimo local é sempre um ótimo global só quando o problema apresenta características específicas, tais como convexidade.
• Dependendo da solução inicial, pode-se obter diferentes ótimos locais.
• Procedimento Heurístico: determinar vários ótimos locais e escolher o melhor deles (não garante achar o ótimo global).
Ótimo Local e Ótimo Global
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Problema: A partir de x(3) determinar uma nova solução factível x(4) com valor da função objetivo maior.
Graficamente:
Numericamente: x(4) = x(3) + α.x •Onde:
• x é uma direção de melhoria• α é o tamanho do passo na direção x
Busca Local: Uma iteração
Um procedimento para busca local :1) Cálculo da direção de caminhada (Direção de melhoria)
2) Busca unidimensional (Quanto caminhar nesta direção ?)5-10
• Direção Factível : x(k+1) = x(k) + α.x– Uma direção x é dita factível a partir de um ponto x(k) CSF se existir
algum α > 0 tal que o novo ponto x(k+1) também pertença ao CSF.
• Direção de Melhoria :– A direção x é de melhoria se ela é uma direção factível a partir de um
ponto x(k) e se existir algum α > 0 tal que o novo ponto x(k+1) é também factível e apresente um valor de função objetivo melhor que o ponto x(k) .
Cálculo da Direção de Caminhada:Direção Factível e Direção de Melhoria
5-11
Cálculo da Direção de Caminhada:Direção Factível e Direção de Melhoria
Supondo um problema de minimização e o CSF definido por x1 0 e x2 0, então todas as direções indicadas na figura abaixo são factíveis, porém somente a direção d1 é uma direção de melhoria.
d1
5-12