MTODOS ENERGTICOSOBJETIVO GENERALComprender las hiptesis bsicas y la aplicacin de los mtodos energticos en el anlisis de estructuras.OBJETIVOS ESPECFICOSEvaluar analtica y experimentalmente la energa de deformacin de un resorte.Verificar experimentalmente el principio de trabajo real.Verificar experimentalmente el teorema de deflexiones recprocas de Maxwell y Betti.FUNDAMENTO TERICOLos conceptos de trabajo y energa son ampliamente usados en ingeniera. Imaginemos una bomba que contribuye con energa al sistema hidrulico de un edificio manifestndose esta energa en forma de presin y haciendo subir al agua hasta cierta altura gastando para ello cierta cantidad de energa. Al llegar su mxima altura el agua ha perdido su energa cintica pero adquiere energa potencial (debido a su posicin) por lo que puede seguir movindose a lo largo de la tubera. La energa del sistema nunca se perdi, solamente se transform y siempre se encontr latente para realizar un trabajo. Sea una estructura sujeta a una fuerza externa P en un punto determinado. Si en ese punto la estructura sufriera una deformacin producida por alguna otra fuerza, permaneciendo la carga original constante, el trabajo de la fuerza P en la estructura es el producto de dicha carga por la deformacin (Figura 1a). En caso de que la deformacin fuera producida por la fuerza P (Figura 1b), en el rango lineal-elstico, el rea bajo la curva esfuerzo-deformacin es un tringulo y la pendiente representa la rigidez de la estructura, es decir, la resistencia que opone sta a ser deformada. Al sobrepasar el lmite elstico, la respuesta de la estructura es no lineal y su rigidez cambia, pero el rea bajo la curva esfuerzo-deformacin seguir representado el trabajo externo producido por la fuerza P. Las fuerzas internas desarrolladas en una estructura cuando sta responde a una fuerza o carga aplicada y sus deformaciones producen trabajo para tratar de restituir la configuracin inicial de la estructura. Este trabajo, denominado trabajo interno, se considera positivo y es conocido tambin como energa de deformacin interna de una estructura, definindose como la capacidad de las fuerzas internas (esfuerzos) de hacer trabajo a travs de las deformaciones en la estructura.Observando la Figura 1b, se puede ver que la curva esfuerzo-deformacin de cualquier estructura es similar a la de un resorte, por lo cual los conceptos de trabajo y energa de deformacin pueden de manera simple ser ejemplificados a partir del comportamiento de un resorte, como ms adelante se demostrar.

Figura 1 Trabajo externo debido a las cargas actuantes sobre una estructura.Por definicin, trabajo es el producto punto de una fuerza por el desplazamiento producido por sta, (1)donde:W= Trabajo realizado por la fuerza aplicada.F= Fuerza aplicada.s= Desplazamiento producido por la fuerza aplicada. = Angulo inscrito entre las lneas de accin de la fuerza y el desplazamiento producido por esta.Si tenemos un resorte ideal como el de la Figura 2 y aplicamos una fuerza que produce un desplazamiento del punto x0 al punto x1, el trabajo realizado por dicha fuerza es:

En la frmula anterior, la relacin trabajo-energa de deformacin de un resorte queda expresada al ser el trabajo producido por la fuerza igual a la diferencia entre la energa inicial y la energa final de deformacin en el resorte. Graficando fuerza contra desplazamiento, el rea bajo la recta limitada entre x0 y x1 representa el trabajo producido por la fuerza.

Figura 2 Grfica de fuerza vs. desplazamiento para el resorte acotado entre x0 y x1.La relacin trabajo-energa es claramente entendible si relacionamos el concepto trabajo con la Segunda Ley de Newton. Esta ley establece que la fuerza aplicada a una partcula de masa determinada produce una aceleracin constante en direccin de la fuerza aplicada. Observemos la Figura 3.

Figura 3 Cuerpo sobre el que se aplican fuerzas coplanares y se desplaza un x.Podemos enunciar que:(2)donde:W= Trabajo realizado por el sistema de fuerzas. FR= Fuerza resultante. x = Desplazamiento resultante.A su vez, utilizando la Segunda Ley de Newton:(3)donde:F= Fuerza actuante.m= Masa del cuerpo.a= Aceleracin constante producto de la fuerza aplicada.Como la aceleracin es constante y el movimiento es rectilneo en este caso, podemos sustituir el producto x resultante de sustituir la Ecuacin 3 en la Ecuacin 2 por:(4)(5)La frmula anterior confirma lo que inicialmente se plante: El trabajo efectuado no es sino la diferencia entre la energa cintica final y la energa cintica inicial de la partcula.En todo tipo de estructuras la relacin que existe entre trabajo y energa se puede conceptualizar de manera sencilla: Los elementos estructurales estn diseados para soportar cargas. Al estar estos elementos trabajando bajo la accin de estas, surgirn en ellos deformaciones. Dado el caso de la viga en cantiliver presentada en la Figura 4, el trabajo realizado sobre este sistema se almacena en forma de energa de deformacin. Aparentemente la viga no sufri ms que un desplazamiento pero si imaginamos la magnitud de la fuerza que se requiere para poder deformar una viga de concreto, podremos tener una idea de los esfuerzos internos que se generaron en dicha viga. Si conocemos tanto las dimensiones de la viga como las cargas que actan sobre ella podremos determinar desplazamientos y por lo tanto el trabajo externo es conocido. Aplicando el principio de conservacin de la energa se puede establecer que: El trabajo realizado por un sistema de fuerzas aplicadas a una estructura es igual a la energa de deformacin almacenada en la estructura.

Figura 4 Viga en cantiliver sujeta a la accin de cargas.Existen varias mecnicas para poder determinar el trabajo realizado sobre una estructura. Para ejemplificar lo que es el principio del trabajo real consideremos una estructura esttica en la cual acta sistema externo de fuerzas Q. Debido a este sistema de fuerzas dentro del cuerpo en cuestin se generarn resultantes internas de esfuerzo q que actuarn en equilibrio con el sistema de fuerzas externo. Este sistema de fuerzas puede ser el que realmente est actuando sobre la estructura o un sistema virtual unitario definido por nosotros. Permitamos que la estructura se deforme y sufra desplazamientos externos D y desplazamientos internos (deformaciones unitarias) d. El principio del trabajo real se aplicara en este caso enunciando que el trabajo realizado por el sistema de fuerzas externo Q a travs de sus desplazamientos D debe ser igual en magnitud al trabajo realizado por las fuerzas internas q reflejadas por las deformaciones d.

Las suposiciones del principio son las siguientes: Las fuerzas Q y q se mantienen constantes durante los desplazamientos D y d. Las lneas de accin de las fuerzas Q y q se mantienen constantes con respecto a la estructura no deformada. Las fuerzas Q y q deben estar en equilibrio, pudiendo estar estos sistemas compuestos de cualquier combinacin de momentos y fuerzas, correspondindoles un sistema de fuerzas interno con esfuerzos de flexin, corte, torsin y axiales. Las deformaciones externas a las que llamamos D pueden ser determinadas solo a travs de las deformaciones d, llamndosele a esta condicin compatibilidad de deformaciones. En la Figura 5 se grafica el comportamiento fuerza-deformacin de una estructura correspondiendo a una situacin elstica. El rea bajo la curva delimitada por la vertical representa la energa real de deformacin Wi almacenada en la estructura, esta energa fue producida por el trabajo externo real de la estructura provocado por fuerzas y desplazamientos reales. El rea arriba de la curva delimitada por la recta horizontal P1 representa la energa complementaria real W* i. Teniendo a la estructura en equilibrio podemos adicionar una deformacin virtual pequea (inexistente realmente) la cual provocar trabajo adicional. Este trabajo adicional ser independiente de la historia de carga de la estructura quedando definido como:Energa virtual de deformacin Energa virtual complementaria de deformacin El principio del trabajo real, cuyos principios fueron arriba expuestos, se aplica exclusivamente en sistemas elsticos, conservativos.

Figura 5 Grfica de la estructura y de su energa complementaria y de deformacin.El teorema del ingeniero italiano Betti se present en 1872 y es una versin ms generalizada de lo que es el teorema de Maxwell de las deflexiones recprocas presentado en 1864.El principio de Betti enuncia: "En cualquier estructura donde el material sea elstico, los apoyos no se encuentren en fluencia y la temperatura se mantenga constante, el trabajo virtual externo provocado por un sistema de fuerzas Pa durante la deformacin causada por un sistema de fuerzas Pb es igual al trabajo virtual externo provocado por el sistema Pb durante las deformaciones causadas por el sistema Pa ". El principio de Maxwell de las deflexiones recprocas establece: "En cualquier estructura donde el material sea elstico, los apoyos no se encuentran en fluencia y la temperatura se mantenga constante, la deflexin en el punto 1 en la direccin ab debido a una fuerza P en el punto 2 actuando en la direccin cd es numricamente igual a la deflexin en el punto 2 en la direccin cd debida a la fuerza P en el punto 1 aplicada en la direccin ab ".Es importante mencionar que en los principios anteriores el trmino fuerza se refiere tanto a cargas como a momentos y el trmino deflexiones se debe de entender como desplazamientos y rotaciones, estando estos dos grupos en cualquier combinacin. En la Figura 6 se representan grficamente los principios de Maxwell-Betti.

Figura 6 Representacin grfica de los principios de Maxwell-Betti.21 = deflexin en el punto 2 debida a la carga P en el punto 112 = deflexin en el punto 1 debida a la carga P en el punto 2Del teorema de Maxwell:21 = 12Determinando las deflexiones por el mtodo del trabajo virtual tomando en cuenta solamente la aportacin por flexin:= donde:Mi= Momentos reales debidos a las cargas.mi= Momentos virtuales debidos a cargas unitarias aplicadas en donde se desea determinar la deflexin.E= Mdulo de elasticidad.I= Momento de inercia alrededor del eje de flexin.PROCEDIMIENTOMaterial Equipo

Resorte fijo a baseVernier

Viga asentada en resortesPrensas de tornillo

Juego de pesasCelda de carga

Barra de acero de 1.00 m. de longitudPuentes de Wheatstone

Micrmetro

1. Utilizando las prensas fije la base del resorte en el banco de trabajo de manera que el resorte quede pendiendo hacia abajo. Mida su longitud inicial utilizando el vernier. 2. Coloque una pesa en el extremo del resorte y registre la nueva longitud del mismo. Repita esto con varias pesas. 3. Coloque la barra de acero en el marco de prueba de tal manera que queden dos claros de 60 cm. y 40 cm. 4. Colocar un micrmetro a 30 cm. del primer apoyo, de tal manera que quede situado en la parte media del primer claro. 5. Aplicar carga en la parte media del claro de 40 cm. en incrementos de 50 kg. hasta llegar a 500 kg. y registrar para cada incremento la deflexin en el punto donde se encuentra ubicado el micrmetro. 6. Cambiar el micrmetro a la mitad del claro de 40 cm. y aplicar carga ahora en la parte media del claro de 60 cm. de la misma manera que en el punto anterior. Registrar la deflexin correspondiente a cada incremento de carga. RESULTADOS Con los datos obtenidos en el paso 2, construya la grfica carga vs. desplazamiento del resorte. Qu parmetros pueden ser obtenidos a partir de esta grfica? Utilizando los resultados obtenidos cuando se carg la viga, discuta la validez de los principios de Maxwell y Betti. Seran vlidos estos principios si el sistema estructural nos se comportara de manera lineal? Porqu? Existe diferencia entre los resultados experimentales de los puntos 5 y 6 y los tericos esperados? Discuta las posibles causas de error.