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Dagoberto Salgado Horta Página 1

MÉTODOS ESTADÍSTICOS

MULTIVARIADOS

Elaboró: Dagoberto Salgado Horta


CONTENIDO

1. Coeficiente de Cronbach

2. Métodos de análisis multivariado

3. ANOVA de K direcciones

4. Análisis multivariado de Varianza (MANOVA)

5. Análisis de Covarianza

6. Análisis Discriminante

7. Análisis de Conglomerados (Clusters)

8. Análisis de componentes principales

9. Análisis Factorial

10. Análisis de Regresión Múltiple

11. Análisis de correspondencia


1. COEFICIENTE DE CRONBACH


1. CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CONFIABILIDAD

(FIABILIDAD) ALFA-CRONBACH

Existen tres procedimientos para determinar el coeficiente ―” o alfa :

1. Sobre la base de la varianza de los ítems, con la aplicación de la siguiente

Fórmula:

En donde N representa el número de ítems de la escala, ―s2 (Yi)‖ es igual a la

sumatoria de las varianzas de los ítems y ―s2x” equivale a la varianza de toda la

escala.

2. Sobre la base de la matriz de correlación de los ítems, el procedimiento

Sería:

a) Se aplica la escala.

b) Se obtienen los resultados.

c) Se calculan los coeficientes de correlación r de Pearson entre todos los

ítems (todos contra todos de par en par).

d) Se elabora la matriz de correlación con los coeficientes obtenidos. Por

Ejemplo:


Los coeficientes que se mencionan como ―ya fue calculado‖, se ubican en la

Parte superior de las líneas horizontales (guiones). Es decir, cada coeficiente

se incluye una sola vez y se excluyen los coeficientes que vinculan al ítem o

Puntuación consigo misma (1 con 1, 2 con 2, 3 con 3 y 4 con 4).


3. Mediante otra fórmula que se basa en la correlación promedio


2. MÉTODOS DE ANÁLISIS

MULTIVARIADO


2. LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS MULTIVARIADO

Los métodos de análisis multivariado son aquellos en que se analiza la relación

entre diversas variables independientes y al menos una dependiente. Son

métodos más complejos que requieren del uso de computadoras para efectuar

los cálculos necesarios

Entre las técnicas más comunes se encuentran (1) Análisis de componentes

principales y factores comunes, (2) regresión y correlación múltiple, (3) análisis

discriminante múltiple, (4) análisis multivariado de varianza y covarianza, (5)

análisis conjunto, (6) correlación canónica, (7) análisis de clusters, (8) escala

multidimensional. Otras técnicas nuevas incluyen (9) análisis de

correspondencia, (10) modelos de probabilidad lineal tales como el logit y

probit, y (11) modelos de ecuación simultaneas / estructurales. A continuación

se describen brevemente éstas técnicas.

Análisis de componentes principales y de factores comunes

Es un método estadístico que puede usarse para analizar las interrelaciones

entre un gran número de variables y explicar esas variables en términos de sus

dimensiones subyacentes comunes. El objetivo es hallar la forma de sintetizar

la información contenida en un número de variables originales, dentro de un


conjunto más pequeño de variates (factores) con mínima pérdida de

información.

Regresión múltiple

En un método de análisis adecuado cuando el problema de investigación

involucra una variable dependiente única que se presume se relaciona a dos o

más variables independientes medibles. El objetivo es predecir el cambio en la

variable dependiente de respuesta con cambios en las variables

independientes, normalmente con el método de mínimos cuadrados.

Por ejemplo se pueden predecir los montos gastados en cenas a partir de

ingresos de las familias (variable dependiente), su tamaño, y la edad del padre

(variables independientes).

Análisis discriminante múltiple (MDA)

Se aplica cuando la variable dependiente es dicotómica (Vg. hombre – mujer) o

multitómica (Vg.. Alto – medio – bajo) y por tanto no medible. Como en la

regresión las variables independientes deben ser medibles. Se aplica cuando la

muestra total se puede dividir en grupos con base en una variable no medible

caracterizando varias clases conocidas. Su objetivo es comprender las

diferencias entre grupos y predecir la probabilidad de que una entidad (objeto

individual) pertenezca a una clase o grupo particular con base en varias

variables independientes medibles o métricas.

Por ejemplo el análisis discriminante se puede utilizar para distinguir entre

innovadores y no innovadores de acuerdo a su perfil demográfico y

psicográfico.

Análisis multivariado de varianza y covarianza (MANOVA)

Es un método estadístico para explorar simultáneamente la relación entre

varias variables categóricas independientes (referidas como tratamientos) y dos

o más variables dependientes medibles o métricas. Es una extensión del

ANOVA univariado. El análisis multivariado de covarianza (MANCOVA) se


puede usar en conjunto con el MANOVA para remover (después del

experimento) el efecto de cualquier variable métrica independiente no

controlada (conocida como covariada) en la variable independiente.

Análisis conjunto

Se aplica a nuevos productos para evaluar la importancia de los atributos del

nuevo producto así como los niveles de cada atributo, mientras que el

consumidor evalúa solo unos pocos perfiles del producto como combinaciones

de los niveles de producto.

Por ejemplo asumir un producto con tres atributos (precio, calidad y color),

cada uno en tres niveles posibles (Vg.. Rojo, amarillo y azul). En vez de tener

que evaluar las 27 combinaciones posibles (3x3x3), se evalúa un subconjunto

de 9 o más combinaciones con base en su atractivo para el consumidor, de

manera que el investigador no solo conozca la importancia de cada atributo,

sino además la importancia de cada nivel (atractivo del rojo vs. amarillo vs.

azul).

Correlación canónica

El análisis de correlación puede ser visto como una extensión lógica de la

regresión múltiple. Donde se trata de correlacionar simultáneamente varias

variables dependientes medibles o métricas y varias variables independientes

medibles. El principio es establecer una combinación lineal de cada conjunto de

variables (dependientes e independientes) para maximizar la correlación entre

los dos conjuntos (obteniendo ponderaciones adecuados para las variables).

Análisis de conglomerados (Clusters)

Es una técnica analítica para desarrollar subgrupos significativos de individuos

u o objetos. Específicamente, el objetivo es clasificar una muestra de entidades

(individuos u objetos) en un número más pequeño de grupos más pequeños

con base en las similitudes entre entidades. A diferencia del análisis

discriminante, los grupos no están definidos, más bien se usa para

identificarlos.


Normalmente se realiza en tres pasos. El primero es la medición de alguna

forma de similitud o asociación entre las entidades para identificar cuantos

grupos realmente existen en la muestra. El segundo paso es el proceso en sí

de conglomerados, donde las entidades se particionan en grupos

(conglomerados o clusters). El paso final es perfilar las personas o variables

para determinar su composición. Muchas veces esto último se realiza con el

análisis discriminante.

Escala multidimensional

El objetivo es transformar los juicios del consumidor de similitud o preferencias

(Vg. Preferencia por tiendas o marcas) en distancias representadas en un

espacio multidimensional. Si los objetos A y B se juzgan por el consumidor

como similares, comparados con cualquier otro par de objetos, la técnica

posiciona los objetos A y B de manera que la distancia entre ellos en un

espacio multidimensional es más pequeña que la distancia entre cualquier otro

par de objetos. Al final se muestra un mapa perceptual con la posición relativa

de los objetos.

Análisis de correspondencia

Facilita tanto la reducción dimensional de objetos en un conjunto de atributos y

el mapa perceptual de objetos respecto a estos atributos. En su forma más

elemental es una tabla de contingencia o tabulación cruzada de dos variables

categóricas. Transforma los datos no métricos a un nivel medible y realiza una

reducción dimensional (similar al análisis de factores) y un mapa perceptual

(similar al análisis multidimensional).

Por ejemplo, las preferencias de marcas de los consumidores pueden ser

tabuladas contra variables demográficas (Vg. Género, categorías de ingresos,

ocupación) indicando cuanta gente prefiere cada una de las marcas que caen

en cada categoría de las variables demográficas. Por medio del análisis de

correspondencia, la asociación o ―correspondencia‖ de marcas y las

características distintivas de aquellos que prefieren las marcas se muestran en


un mapa tridimensional o bidimensional tanto de marcas como de las

características que distinguen a aquellos que prefieren cada marca.

Modelos de probabilidad lineal (Análisis Logit)

Son una combinación de regresión múltiple y análisis discriminante. Es similar

al análisis de regresión múltiple excepto que la variable dependiente es

categórica no métrica como en el análisis discriminante.

Modelos de ecuaciones estructurales

A veces se refiere como el nombre del software LISREL, es una técnica que

permite separar las relaciones del conjunto de variables dependientes. En su

forma más sencilla proporciona el modelo más adecuado y la técnica de

estimación más eficiente para una serie de ecuaciones de regresión múltiple,

evaluadas simultáneamente. Se caracteriza por dos componentes básicos: (1)

el modelo estructural y (2) el modelo de medición.

El modelo estructural es la ―vía‖ que relaciona variables dependientes e

independientes. El modelo de medición permite al investigador a usar varias

variables (indicadores) para una variable dependiente e independiente.


Los datos para HATCO son los siguientes:

Variables / Tipo

Percepciones / Medibles (Métricas)

X1 Tiempo de entrega - entrega del producto con la orden confirmada

X2 Nivel de precios - nivel de precio percibido ponderación por

proveedores

X3 Flexibilidad de precios - flexibilidad para negociar precios

X4 Imagen de la empresa - general

X5 Servicio en general - nivel necesario para mantener relaciones

X6 Imagen de la fuerza de ventas - general

X7 Calidad del producto – calidad percibida en desempeño o rendimiento

Resultados de compras / Medibles (Métricas)

X9 Nivel de utilización - que porcentaje de producto es surtido por Hatco

X10 Nivel de satisfacción – que tan satisfecho esta el cliente con Hatco

Características del comprador / No Medibles (No Métricas)

X8 Tamaño de la empresa - 1- Grande 0 - pequeño

X11 Especificación de compra - 1-Evalúa por el valor total y 0- especificación

X12 Estructura de abastecimiento – 1- centralizado 0 - descentralizado

X13 Tipo de industria - 1- industria A 0 – otras industrias

X14 Tipo de situación de compra – 1- nueva 2- modificada 0- tradicional


3. ANOVA DE K DIRECCIONES


3. ANOVA (análisis de varianza de k direcciones )

El ANOVA es similar a la regresión en el sentido de que se utiliza para

investigar y modelar la relación entre una variable de respuesta y una o más

variables independientes. Sin embargo, el ANOVA difiere de la regresión en

dos aspectos: las variables independientes son cualitativas (categóricas), y no

hay supuestos acerca de la naturaleza de la relación (o sea que el modelo no

incluye coeficientes para variables). En efecto el ANOVA extiende la prueba de

dos muestras con prueba t para probar la igualdad de dos poblaciones a una

hipótesis más general al comparar más de dos medias, versus que no sean

iguales.

Definición: Es una prueba estadística para evaluar el efecto de dos o más

variables independientes sobre una variable dependiente.

Responde a esquemas como el que se muestra en la figura:

Constituye una extensión del análisis de varianza unidireccional, solamente


Que incluye más de una variable independiente. Evalúa los efectos por

separado de cada variable independiente y los efectos conjuntos de dos o más

variables independientes.

Variables: Dos o más variables independientes y una dependiente.

Nivel de medición de las variables: La variable dependiente (criterio) debe estar

medida en un nivel por intervalos o razón, y las variables independientes

(factores) pueden estar en cualquier nivel de medición, pero expresadas de

manera categórica.

Interpretación y ejemplo

Hi: La similitud en valores, la atracción física y el grado de retroalimentación

positiva son variables que inciden en la satisfacción sobre la relación en

parejas de novios.

Contexto: Muestra de parejas de adultos jóvenes (23-29 años), pertenecientes

a estratos económicos altos (n=400).

El ANOVA efectuado mediante un paquete estadístico computacional como

SPSS produce los siguientes elementos básicos:

• Fuente de la variación (source of variation). Es el factor que origina variación

en la dependiente. Si una fuente no origina variación en la dependiente, no

tiene efectos.

• Efectos principales (main effects). Es el efecto de cada variable independiente

por separado; no está contaminado del efecto de otras variables

independientes ni de error. Suele proporcionarse la suma de todos los efectos

principales.


• Interacciones de dos direcciones (2-way interactions). Representa el efecto

conjunto de dos variables independientes, aislado de los demás posibles

efectos de las variables independientes (individuales o en conjuntos). Suele

proporcionarse la suma de los efectos de todas estas interacciones.

• Interacciones de tres direcciones (3-way interactions). Constituye el efecto

conjunto de tres variables independientes, aislado de otros efectos. Suele

proporcionarse la suma de los efectos de todas estas interacciones.

• Puede haber efecto de K-direcciones, esto depende del número de variables

independientes.

En nuestro ejemplo, tenemos los resultados siguientes:

TABLA ANOVA

VARIABLE DEPENDIENTE: SATISFACCIÓN EN LA RELACIÓN

Fuente de variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

Estadístico F Significancia de Fc = P

Efectos principales (main effects

22.51 .001**

SIMILITUD 31.18 0.001**

ATRACCIÓN 21.02 0.001**

RETROALIM 11.84 0.004**

SIMILITUD ATRACCIÓN

-4.32 0.04*

SIMILITUD RETROALIM

2.18 0.11

ATRACCION RETROALIM

1.56 0.190

SIN – RETROL-ATRACCION

8.01 0.02*

NOTA: Normalmente interesa saber si las razones ―F‖ resultaron o no

significativas; por tanto, sólo se incluyen estos valores. Se recomienda


concentrarse en dichos valores y evitar confusiones. Desde luego, el

investigador experimentado acostumbra estudiar todos los valores.

**— Razón ―F‖ significativa al nivel del 0.01 (p < 0.01)

*—Razón ―F‖ significativa al nivel del 0.05 (p < 0.05)

Como podemos ver en la tabla, la similitud, la atracción y la retroalimentación

tienen un efecto significativo sobre la satisfacción en la relación.

Respecto a los efectos de dos variables independientes conjuntas, sólo la

similitud y la atracción tienen un efecto, hay un efecto conjunto de las tres

variables independientes. La hipótesis de investigación se acepta y la nula se

rechaza. Asimismo, se recuerda al lector que en el capítulo 5 del presente

disco: Otros diseños experimentales (en el apartado sobre diseños factoriales)

se explica la noción de interacción entre variables independientes. Cabe

agregar que el ANOVA es un método estadístico propio para los diseños

experimentales factoriales.

Ejemplo:

Un experimento se realizó para probar cuanto tiempo toma usar un modelo

nuevo y un modelo anterior de calculadora. Seis ingenieros trabajando en un

problema estadístico y uno de ingeniería se les toma el tiempo para resolver el

problema. Los ingenieros se consideran como bloques en el diseño

experimental.

Hay dos factores: Tipo de problema y modelo de calculadora – cada uno con

dos niveles, se hacen experimentos donde esos niveles de los factores se

cruzan. Los datos se muestran a continuación:

SolveTime Engineer ProbType Calculator

3.1 Jones Stat New

7.5 Jones Stat Old

2.5 Jones Eng New


5.1 Jones Eng Old

3.8 Williams Stat New

8.1 Williams Stat Old

2.8 Williams Eng New

5.3 Williams Eng Old

3 Adams Stat New

7.6 Adams Stat Old

2 Adams Eng New

4.9 Adams Eng Old

3.4 Dixon Stat New

7.8 Dixon Stat Old

2.7 Dixon Eng New

5.5 Dixon Eng Old

3.3 Erickson Stat New

6.9 Erickson Stat Old

2.5 Erickson Eng New

5.4 Erickson Eng Old

3.6 Maynes Stat New

7.8 Maynes Stat Old

2.4 Maynes Eng New

4.8 Maynes Eng Old

Las instrucciones de Minitab son las siguientes:

1 Abrir la worksheet EXH_AOV.MTW.

2 Stat > ANOVA > Balanced ANOVA.

3 Responses, poner SolveTime.

4 Model, poner Engineer ProbType | Calculator.

5 En Random Factors, poner Engineer.

6 Click Results. En Display means corresponding to the terms, poner ProbType | Calculator. Click OK cada cuadro de diálogo.

Los resultados obtenidos son los siguientes:

ANOVA: SolveTime versus Engineer, ProbType, Calculator Factor Type Levels Values

Engineer random 6 Adams, Dixon, Erickson, Jones, Maynes, Williams

ProbType fixed 2 Eng, Stat

Calculator fixed 2 New, Old

Analysis of Variance for SolveTime

Source DF SS MS F P


Engineer 5 1.053 0.211 3.13 0.039

ProbType 1 16.667 16.667 247.52 0.000

Calculator 1 72.107 72.107 1070.89 0.000

ProbType*Calculator 1 3.682 3.682 54.68 0.000

Error 15 1.010 0.067

Total 23 94.518

S = 0.259487 R-Sq = 98.93% R-Sq(adj) = 98.36%

Means

ProbType N SolveTime

Eng 12 3.8250

Stat 12 5.4917

Calculator N SolveTime

New 12 2.9250

Old 12 6.3917

ProbType Calculator N SolveTime

Eng New 6 2.4833

Eng Old 6 5.1667

Stat New 6 3.3667

Stat Old 6 7.6167

Interpretación de los resultados:

Se muestran los factores (fijos y aleatorios), niveles y valores. Después se

muestra la tabla de ANOVA, donde se indica de acuerdo al valor P que hay una

interacción significativa entre el tipo de problema y el modelo de calculadora, lo

que implica que la reducción en tiempo de proceso de la calculadora depende

del tipo de problema.

En la lista de promedios se observa un menor tiempo entre la calculadora

nueva y la anterior.


4. ANÁLISIS MULTIVARIADO DE VARIANZA

(MANOVA)


4. ANÁLISIS MULTIVARIADO DE VARIANZA (MANOVA) Es un modelo para analizar la relación entre una o más variables

independientes y dos o más variables dependientes. Es decir, es útil para

estructuras causales del tipo:

La técnica posee varios usos, entre los que destacan:

- Evaluar diferencias entre grupos a través de múltiples variables dependientes

(medidas por intervalos o razón). La(s) variable(s) independiente(s) es(son)

categórica(s) (no métricas). Tiene el poder de evaluar no solamente las

diferencias totales, sino diferencias entre las combinaciones de las

dependientes.

En este sentido representa una extensión del análisis de varianza (ANOVA)

para cubrir casos donde hay más de una variable dependiente y/o cuando las

variables dependientes simplemente no pueden ser combinadas. En otras

palabras, reconoce si los cambios en la(s) variable(s) independiente(s) tienen

un efecto significativo en las dependientes. Señala qué grupos difieren en una

variable o en el conjunto de variables dependientes.


- Identificar las interacciones entre las variables independientes y la asociación

entre las dependientes.

Las tres clases principales del MANOVA son:

1) Hotelling's T. Es parecida a la prueba t (dos grupos) pero con más

dependientes: una variable independiente dicotómica y varias dependientes.

2) MANOVA unidireccional. Análogo al ANOVA de una sola vía, pero con más

dependientes: una variable independiente multicategórica y varias

dependientes.

3) MANOVA factorial. Similar al ANOVA factorial, solamente que con dos o más

dependientes: varias independientes categóricas y varias dependientes.

Los modelos del MANOVA tienen en común que forman combinaciones

lineales de las dependientes que discriminan mejor entre los grupos en un

experimento o una situación no experimental. Es una prueba de significancia

de las diferencias en los grupos en un espacio multidimensional donde cada

dimensión está definida por combinaciones lineales del conjunto de variables

dependientes.

Una pregunta que suele hacer el estudiante al revisar el MANOVA es ¿por qué

no hacemos ANOVAS separados, uno para cada dependiente? La respuesta:

las dependientes están correlacionadas muy frecuentemente, por lo cual los

resultados de varios ANOVA pueden ser redundantes y difíciles de integrar. He

aquí una síntesis de la explicación de Wiersma (1999) sobre este tipo de

análisis:

Al incluir dos o más variables dependientes simultáneamente no se consideran

las diferencias entre las medias en cada variable, sino las diferencias en

variables canónicas. El interés no sólo es saber si los grupos definidos por las

variables independientes difieren en las variables canónicas, sino conocer la


naturaleza de éstas. Una variable canónica es una variable artificial generada a

partir de los datos. Representa constructos y se compone de variables reales,

las cuales deben ser descritas en términos de variables dependientes. Lo

anterior se efectúa por medio de las ponderaciones de los coeficientes de

correlación entre una variable dependiente y una variable canónica. Si una

ponderación entre la variable canónica y la dependiente es positiva y elevada,

significa que altos valores en la dependiente se asocian con altos valores en la

canónica. Por ejemplo, si una variable dependiente consiste en puntuaciones a

una prueba sobre innovación, y dichas puntuaciones se correlacionan en forma

considerable con una variable canónica, inferimos que la variable canónica

representa un constructo que involucra esencialmente a la innovación.

En los cálculos que se hacen en el MANOVA, se generan variables canónicas

hasta que se encuentra que no hay una diferencia estadística significativa entre

las categorías o los grupos de las variables independientes; o bien, hasta que

se agotan los grados de libertad de las variables independientes (lo que ocurra

primero). El número de variables canónicas no puede exceder el número de

variables dependientes, pero es común que el número de dependientes sea

mayor que el de variables canónicas estadísticamente significativas o los

grados de libertad.

La hipótesis general de investigación en el MANOVA postula que las medias de

los grupos o las categorías de la(s) variable(s) independiente(s) difieren entre sí

en las variables canónicas. La hipótesis nula postula que dichas medias serán

iguales.

Se calculan diversas estadísticas para evaluar ambas hipótesis, entre las que

destacan: F (total, toma en cuenta el modelo completo), la prueba Hotelling's

TSquare, T2 (cuando hay dos grupos formados por las variables

independientes), Wilks' lambda, U (cuando hay más de dos grupos formados

por las variables independientes), y Pillai-Bartlett (cuando hay coeficientes

canónicos); y si resultan significativas en un nivel de confianza, se acepta la

hipótesis de investigación de diferencia de medias. Esto indica que hay, por lo


menos, una variable canónica significativa (pero puede haber varias). Si

diversas variables canónicas son significativas, esto muestra que se presentan

diferencias en las variables canónicas en cuestión, entre los grupos o

categorías de las independientes.

Los paquetes estadísticos que contiene el MANOVA suelen posicionar a los

grupos de las variables independientes por puntuaciones discriminantes; éstas

son calculadas con una función discriminante, que es una ecuación de

regresión para un compuesto de variables dependientes. A cada grupo se le

asigna una puntuación discriminante en cada variable canónica. Las

puntuaciones discriminantes de una variable independiente pueden ser cero o

tener un valor positivo o negativo.

Una puntuación discriminante positiva y elevada para un grupo, indica que éste

se coloca por encima de los demás en la respectiva variable canónica. Y deben

considerarse las ponderaciones, las cuales son positivas o negativas. Las

puntuaciones discriminantes son utilizadas para interpretar las separaciones de

los grupos en las variables canónicas, en tanto que las ponderaciones se usan

para evaluar y ligar los resultados de las variables dependientes (Wiersma,

1999). Un ejemplo de las ponderaciones de los coeficientes de correlación

entre las variables dependientes y las variables canónicas así como las

puntuaciones discriminantes se muestran en las tablas siguientes:


Como observamos en la última tabla, se obtuvieron tres constructos

subyacentes en las puntuaciones recolectadas de la muestra: motivación

intrínseca, atribución de causalidad externa y desempeño laboral. Vemos en la

tabla que los grupos (niveles en la empresa) están separados en las tres

variables canónicas (los grupos difieren), particularmente en la primera variable

canónica (motivación intrínseca) y los obreros ocupan la posición más baja. Las

variables dependientes enmarcadas en un recuadro en la primera variable


canónica se ponderaron en ella; en consecuencia, los ejecutivos tienen las

puntuaciones más altas en motivación intrínseca medida por la escala

mencionada, en atribuciones internas y en sentimientos de éxito en el trabajo.

Así se interpretan todas las variables canónicas y dependientes.

En el MANOVA se incluyen razones F y análisis de varianza. Algunos paquetes

estadísticos agregan una prueba denominada correlación canónica, que es

muy similar al MANOVA. Ésta es la máxima correlación que llega a obtenerse

entre los conjuntos de puntuaciones y las relaciones entre las variables

independientes, entre las variables dependientes y entre los conjuntos de

ambas (dependientes e independientes) (Kerlinger, 1979). Las variables en el

MANOVA y la correlación canónica asumen que las variables dependientes

están medidas en un nivel de intervalos o razón. Tal correlación se interpreta

como otras; pero el contexto de interpretación varía de acuerdo con el número

de variables involucradas.


Ejemplo con Minitab

Se realiza un estudio para determinar las condiciones óptimas para extruir

película plástica. Se miden tres respuestas – Tear, gloss y opacity – cinco

veces en cada combinación de dos factores – tasa de extrusión y cantidad de

aditivo – cada grupo se pone en niveles bajos y altos. Se utiliza el MANOVA

balanceado para probar la igualdad de las medias.

DATOS

Tear Gloss Opacity Extrusión Additive

6.5 9.5 4.4 1 1

6.2 9.9 6.4 1 1

5.8 9.6 3 1 1

6.5 9.6 4.1 1 1

6.5 9.2 0.8 1 1

6.9 9.1 5.7 1 2

7.2 10 2 1 2

6.9 9.9 3.9 1 2

6.1 9.5 1.9 1 2

6.3 9.4 5.7 1 2

6.7 9.1 2.8 2 1

6.6 9.3 4.1 2 1

7.2 8.3 3.8 2 1

7.1 8.4 1.6 2 1

6.8 8.5 3.4 2 1

7.1 9.2 8.4 2 2

7 8.8 5.2 2 2

7.2 9.7 6.9 2 2

7.5 10.1 2.7 2 2

7.6 9.2 1.9 2 2

Instrucciones de Minitab

1 Abrir el archivo EXH_MVAR.MTW.

2 Seleccionar Stat > ANOVA > Balanced MANOVA.

3 En Responses, poner Tear Gloss Opacity.

4 En Model, poner Extrusion | Additive.


5 Click Results. En Display of Results, seleccionar Matrices

(hypothesis, error, partial correlations) y Eigen analysis.

6 Click OK en cada cuadro de diálogo.

Los resultados se muestran a continuación:

Results for: Exh_mvar.MTW

ANOVA: Tear, Gloss, Opacity versus Extrusion, Additive

MANOVA for Extrusion

s = 1 m = 0.5 n = 6.0

Test DF

Criterion Statistic F Num Denom P

Wilks' 0.38186 7.554 3 14 0.003

Lawley-Hotelling 1.61877 7.554 3 14 0.003

Pillai's 0.61814 7.554 3 14 0.003

Roy's 1.61877

SSCP Matrix for Extrusion

Tear Gloss Opacity

Tear 1.740 -1.505 0.8555

Gloss -1.505 1.301 -0.7395

Opacity 0.855 -0.739 0.4205

SSCP Matrix for Error

Tear Gloss Opacity

Tear 1.764 0.0200 -3.070

Gloss 0.020 2.6280 -0.552

Opacity -3.070 -0.5520 64.924

Partial Correlations for the Error SSCP Matrix

Tear Gloss Opacity


Tear 1.00000 0.00929 -0.28687

Gloss 0.00929 1.00000 -0.04226

Opacity -0.28687 -0.04226 1.00000

EIGEN Analysis for Extrusion

Eigenvalue 1.619 0.00000

Proportion 1.000 0.00000

Cumulative 1.000 1.00000

Eigenvector 1 2 3

Tear 0.6541 0.4315 0.0604

Gloss -0.3385 0.5163 0.0012

Opacity 0.0359 0.0302 -0.1209

MANOVA for Additive

s = 1 m = 0.5 n = 6.0

Test DF


Wilks' 0.52303 4.256 3 14 0.025


Pillai's 0.47697 4.256 3 14 0.025

Roy's 0.91192

SSCP Matrix for Additive

Tear Gloss Opacity

Tear 0.7605 0.6825 1.931

Gloss 0.6825 0.6125 1.732

Opacity 1.9305 1.7325 4.901

EIGEN Analysis for Additive



Cumulative 1.0000 1.00000


Eigenvector 1 2 3

Tear -0.6330 0.4480 -0.1276

Gloss -0.3214 -0.4992 -0.1694

Opacity -0.0684 0.0000 0.1102

MANOVA for Extrusion*Additive

s = 1 m = 0.5 n = 6.0

Test DF


Wilks' 0.77711 1.339 3 14 0.302


Pillai's 0.22289 1.339 3 14 0.302

Roy's 0.28683

SSCP Matrix for Extrusion*Additive

Tear Gloss Opacity

Tear 0.000500 0.01650 0.04450

Gloss 0.016500 0.54450 1.46850

Opacity 0.044500 1.46850 3.96050

EIGEN Analysis for Extrusion*Additive


Proportion 1.0000 0.00000 0.00000

Cumulative 1.0000 1.00000 1.00000

Eigenvector 1 2 3

Tear -0.1364 0.1806 0.7527

Gloss -0.5376 -0.3028 -0.0228

Opacity -0.0683 0.1102 -0.0000

Por default se muestra la tabla para las cuatro pruebas multivariadas (Wilks,

Lawley, Hotelling, Pillai y Roy) para cada uno de los términos en el modelo.


Los valores s, m y n se utilizan para los cálculos de los estadísticos de prueba

Fc, el cual es exacto si s = 1 o 2 de otra forma es aproximado.

Examinando los valores P de las pruebas para Extrusión y Aditivo se observa

que son significativas para un nivel de 0.05, no así la interacción.

Las matrices SSCP se usan para evaluar la contribución a la variabilidad de

manera similar a la suma de cuadrados en la ANOVA univariada. La matriz

SSCP para Extrusion es la suma de cuadrados de la hipótesis y matriz de

productos cruzados H para las tres respuestas con el término de modelo

Extrusión. Los elementos diagonales de esta matriz, 1.740, 1.301 y 64.924 son

las sumas de cuadrados univariados para el término del modelo Extrusión

cuando las variables de respuesta son Tear, Gloss y Opacity respectivamente.

Los elementos fuera de la diagonal son los productos cruzados.

La matriz SSCP para el error es la suma de cuadrados de los errores y

productos cruzados E. Los elementos diagonales de la matriz 1.764, 2.6280, y

64.924 son las sumas de cuadrados de los errores para las variables de

respuesta Teat, Gloss y Opacity, respectivamente. Los elementos fuera de la

diagonal de esta matriz son los productos cruzados.

La matriz de correlaciones parciales para el error SSCP, se usa para evaluar

que tanto se relacionan las variables de respuesta. Las correlaciones parciales

entre Tear y Gloss son pequeñas con 0.00929 y entre Gloss y Opacity -

0.04226. Y la correlación parcial entre Tear y Opacity es de -0.28687 tampoco

es grande. Como la estructura de las correlaciones es débil, se pueden realizar

análisis univariados de ANOVA para cada una de las respuestas.

Se puede utilizar el análisis de valores característicos o Eigenvalores, para

evaluar como difieren los promedios de las respuestas entre los niveles de los

diferentes términos del modelo. El análisis de Eigenvalores es E-1 H donde E es

la matriz SCCP del error y H es la matriz SCCP de las variables de respuesta.

Estos son los eigenvalores utilizados para calcular las cuatro pruebas de

MANOVA.


Poner la mayor importancia en los eigenvectores que corresponden a valores

altos de eigenvalores. En el ejemplo, el segundo y tercer eigenvalores son

pequeños, no significativos. Para ambos factores, Extrusion y Additive, los

primeros eigenvalores contienen información similar. Para Extrusion es 0.6541,

-0.3385, 0.0359 and for Additive it is -0.6630, -0.3214, -0.0684. El mayor valor

absoluto dentro de esos eigenvalores corresponde a la respuesta Tear, el

segundo a Gloss y el valor para Opacity es pequeño. Esto implica que Tear

tiene la mayor diferencia entre los dos niveles de los factores ya sea Extrusion

o Additive, el Gloss tiene las siguientes mayores diferencias y op.citp. tiene solo

pequeñas diferencias.

Para un análisis más general utilizar General MANOVA con diseños

balanceados y no balanceados, incluso si se tienen covariados.

1 Seleccionar Stat > ANOVA > General MANOVA.

2 En Responses, seleccionar hasta 50 columnas numéricas conteniendo las

variables de respuesta.

3 En Model, introducir los términos del modelo que se quiera ajustar.

4. Click OK.


5 ANÁLISIS DE COVARIANZA


5. ANÁLISIS DE COVARIANZA

Definición: Es un método estadístico que analiza la relación entre una variable

dependiente y dos o más independientes, con el que se elimina o controla el

efecto de al menos una de estas independientes. Similar al ANOVA, excepto

que permite controlar la influencia de una variable independiente, la cual con

frecuencia es una característica antecedente que puede variar entre los grupos

(Mertens, 2005) o influir los resultados y afectar la claridad de las

interpretaciones.

Perspectivas o usos: Wildt y Ahtola (1978, pp. 8-9) destacan tres perspectivas

para el análisis de covarianza:

A. Perspectiva experimental. Se aplica a aquellas situaciones en que el interés

del investigador se centra en las diferencias observadas en la variable

dependiente, por medio de las categorías de la variable independiente (o

variables independientes). Pero el experimentador asume que hay otras

variables independientes cuantitativas que contaminan la relación y cuya

influencia debe ser controlada.


Y el investigador únicamente se interesa por conocer la relación entre las

variables independientes categóricas y la variable dependiente. Desea al

mismo tiempo remover y controlar el efecto de las variables independientes

cuantitativas no categóricas (continuas). Es decir, desea tener un esquema

como el de la figura

El objetivo es ―purificar la relación entre las independientes categóricas y la

Variable dependiente, mediante el control del efecto de las independientes no

categóricas o continuas‖.

Ejemplos de variables independientes categóricas serían: género (masculino,

femenino), inteligencia (alta, media, baja), ingreso (menos de un salario

mínimo, dos a cuatro salarios mínimos, cinco a 10 salarios mínimos, 11 o más

salarios mínimos).

Los niveles de medición nominal y ordinal son categóricos en sí mismos,

mientras que los niveles de intervalos y razón deben transformarse en

categorías más discretas. Estos últimos son en sí: cuantitativos, continuos y de

categorías múltiples. Por ejemplo, el ingreso en su ―estado natural‖

(ponderaciones, dólares, euros, etc.) varía de la categoría cero hasta la

categoría (K)k, ya que puede haber millones de categorías.


Variable categórica — unas cuantas categorías o un rango medio.

Variable continua — muchas categorías (a veces una infinidad).

A dichas variables independientes cuantitativas continuas, cuya influencia se

controla, se les denomina “covariables”. Una covariable se incluye en el análisis

para remover su efecto sobre la variable dependiente, e incrementar el

conocimiento de la relación entre las variables independientes categóricas de

interés y la dependiente, lo cual aumenta la precisión del análisis.

En esta perspectiva, el análisis de covarianza puede ser concebido primero

como un ajuste en la variable dependiente respecto a diferencias en la

covariable o las covariables y, posteriormente, como una evaluación de la

relación entre las variables independientes categóricas y los valores ajustados

de la variable dependiente (Wildt y Ahtola, 1978). En términos de Creswell

(2005):

El procedimiento ―ajusta‖ las puntuaciones en la dependiente para dar cuenta

por la covarianza (por decirlo en términos sencillos: ―hace equivalentes a los

grupos en la(s) covariable(s)‖ y controla influencias potenciales que pueden

afectar a la variable dependiente).

B. Perspectiva de interés por la covariable. Esta perspectiva se ejemplifica con

aquellas instancias en las cuales el interés principal se centra en analizar la

relación entre la variable dependiente y la covariable (variable cuantitativa

continua) o las covariables. Aquí el enfoque es distinto; la influencia que se

remueve es la de las variables independientes categóricas. Primero se controla

el efecto (en este caso contaminante) de estas variables y después se analiza

el efecto ―purificado‖ de las covariables.

C. Perspectiva de regresión. En esta tercera perspectiva, tanto las variables

independientes categóricas como las covariables resultan de interés para el


investigador, quien puede desear examinar el efecto de cada variable

independiente (covariables y no covariables, todas) y después ajustar o corregir

los efectos de las demás variables independientes.

En cualquier caso, el análisis de covarianza elimina influencias no deseadas

sobre la variable dependiente. Se puede utilizar en contextos experimentales y

no experimentales. La mayoría de las veces la función del ANCOVA es

―remover‖ la varianza compartida entre una o más covariables y la dependiente,

de este modo, se valora en su justa dimensión la relación causal entre la(s)

variable(s) independiente(s) de interés y la dependiente (Creswell, 2005).

Veámoslo conceptualmente pero de forma gráfica con un ejemplo simple:

Ejemplo:

Estudio: Al investigador le interesa analizar el efecto en el aprendizaje de la

computación, por medio un nuevo método para su enseñanza a niños. La

hipótesis es: El nuevo método de enseñanza de la computación (MA-RH)

provocará un mayor aprendizaje en los niños que un método tradicional.

Entonces, implementa el siguiente experimento: A un grupo de infantes los

expone al nuevo método de enseñanza de computación (MA-RHS); a otro

grupo no lo expone al nuevo método, éste aprende con el método tradicional;

finalmente, a un tercer grupo, de control, no recibe ningún tipo de enseñanza

en computación.

La variable independiente es el tipo de método con tres categorías o niveles

(método nuevo, método tradicional y ausencia de método), la dependiente es el

aprendizaje en computación (medida por una prueba estandarizada a nivel de

intervalos). Se tiene un esquema como el de la figura.


Con el experimento el investigador desea conocer la varianza en común entre

método y aprendizaje (cuantificarla), la relación XY (pura). Si los niños son

asignados al azar a los grupos del experimento y tiene grupos de tamaño

aceptable, por el diseño mismo, remueve la influencia de las covariables que

pudieran afectar. Pero si no es factible hacerlo y tiene un diseño

cuasiexperimental (grupos intactos), debe remover tal influencia con el análisis

de covarianza (eliminar al mínimo posible la varianza del aprendizaje no

explicada), para evitar que las covariables impidan ver con claridad la relación

XY. Por ejemplo, el nivel educativo tecnológico de los padres puede influir

(hace variar al aprendizaje) y este efecto debe ser controlado, al introducirlo

como covariable.


Lo que el investigador desea también se puede expresar gráficamente así:

Wildt y Ahtola (1978, p. 13) definen algunos usos del análisis de covarianza:


1. Incrementar la precisión en experimentos con asignación al azar.

2. Eliminar influencias extrañas o contaminantes que pueden resultar cuando

las pruebas o los individuos no son asignados al azar a las diferentes

condiciones experimentales (grupos de un experimento).

3. Eliminar efectos de variables que confundan o distorsionen la interpretación

de resultados en estudios no experimentales.

Nivel de medición de las variables: La variable dependiente siempre está

medida por intervalos o razón y las variables independientes pueden estar

medidas en cualquier nivel.

Interpretación: Depende de cada caso específico, ya que el análisis de

covarianza efectuado mediante un programa estadístico computacional,

produce un cuadro de resultados muy parecido al del análisis de varianza. Los

elementos más comunes pueden observarse en la tabla ANOVA.

La razón F es, igual que en el análisis de varianza, una razón de varianzas. El

razonamiento estadístico es el mismo y F se interpreta igual, incluso se utiliza

el mismo cuadro de la distribución F. Solamente que las inferencias y

conclusiones se hacen al considerar que las medias de la variable

dependiente, a través de las categorías de las variables independientes, se han

ajustado, de este modo eliminan el efecto de la covariable o covariables.

Ejemplo:

Diseño de investigación que utiliza el análisis de covarianza

Hi: Los trabajadores que reciban retroalimentación verbal sobre el desempeño

de parte de su supervisor mantendrán un nivel mayor de productividad que los

trabajadores que reciban retroalimentación sobre el desempeño por escrito,

más aún que los trabajadores que no reciban ningún tipo de retroalimentación.

__ __ __


Hi: X1 > X2 > X3

(verbal) (por escrito) (ausencia)

El investigador plantea un diseño experimental para intentar probar su

hipótesis. Sin embargo, no puede asignar aleatoriamente a los trabajadores a

los tres grupos del experimento. El diseño sería con grupos intactos

(cuasiexperimental) y se esquematizaría así:

Asimismo, el investigador presupone que hay un factor que puede

contaminar los resultados (actuar como fuente de invalidación interna): la

motivación. Diferencias iniciales en motivación pueden invalidar el estudio.

Como la asignación al azar está ausente, no se sabe si los resultados se ven

influidos por dicho factor. Entonces, el experimentador decide eliminar o

controlar el efecto de la motivación sobre la productividad para conocer los

efectos de la variable independiente: tipo de retroalimentación. La motivación

se convierte en covariable.

El esquema es el que se muestra en la figura


Cabe destacar que, para introducir una covariable en el análisis, de preferencia

debe medirse antes del inicio del experimento.

El análisis de covarianza ―quita‖ a la variabilidad de la dependiente lo que se

debe a la covariable. Ajusta la varianza de la variable dependiente en las

categorías de la independiente, al basarse en la covariable. En el ejemplo,

ajusta la varianza de la productividad debida a la motivación, en las categorías

experimentales (tratamientos o grupos). El ajuste se realiza sobre la base de la

correlación entre la covariable y la dependiente. Esto se muestra

esquemáticamente en la tabla.

Una vez realizado el análisis de covarianza, se evalúa si F es o no significativa.

Cuando F resulta significativa se acepta la hipótesis de investigación.

Si el resultado fuera:

G1 = 35

G2 = 36

La correlación entre la calificación en motivación y las puntuaciones en

productividad es la base para el ajuste.

G3 = 38

Gl entre = K – 1 = 3 – 1 = 2


Gl intra = N – K = 107

F = 1.70

Comparamos con el valor de la tabla respectiva: en el nivel de 0.05 es igual a

3.07, y nuestra razón F a 1.70 es menor a este valor. Por lo tanto, rechazamos

la hipótesis de investigación y aceptamos la hipótesis nula. Esto se contrasta y

profundiza con las medias ajustadas de los grupos que proporcione el análisis

de covarianza (no las medias obtenidas en el experimento por cada grupo, sino

las ajustadas con base en la covariable).

Recordemos que SPSS nos proporciona automáticamente la significancia de F.

Ejemplo:

Determinar si hay diferencia en la resistencia de una fibra monofilamento

producida por tres máquinas diferentes. El diámetro de la fibra parece tener

influencia en la resistencia como se muestra abajo (covariado de Y).

Datos de resistencia - Y es la respuesta, X es el covariado.

Y X Maq

36 20 1

41 25 1

39 24 1

42 25 1

49 32 1

40 22 2

48 28 2

39 22 2

45 30 2

44 28 2

35 21 3

37 23 3

42 26 3

34 21 3

32 15 3

La relación entre X y Y es significativa como se observa en la siguiente gráfica:


En Minitab:

1. Stat > Regression > Fitted line plot

2. Introducir Y y X, seleccionar Linear

3. OK

X

Y

32.530.027.525.022.520.017.515.0

50

45

40

35

30

S 1.78174

R-Sq 88.1%

R-Sq(adj) 87.2%

Fitted Line PlotY = 14.14 + 1.080 X

Para el ANOVA con Covariados, las instrucciones de Minitab son las

siguientes:

1. Stat > ANOVA > General Linear Model 2. Introducir en Response Y, en Model X y Maquina 3. En Covariates X 4. En Results en Display Least Square Means corresponding to the terms Maq 5. En Graphs seleccionar Normal plot for residuals 6. OK Los resultados se muestran a continuación: General Linear Model: Y versus Maq Factor Type Levels Values

Maq fixed 3 1, 2, 3


Analysis of Variance for Y, using Adjusted SS for Tests

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

X 1 305.13 178.01 178.01 69.97 0.000

Maq 2 13.28 13.28 6.64 2.61 0.118

Error 11 27.99 27.99 2.54

Total 14 346.40

S = 1.59505 R-Sq = 91.92% R-Sq(adj) = 89.72%

Term Coef SE Coef T P

Constant 17.177 2.783 6.17 0.000

X 0.9540 0.1140 8.36 0.000

Unusual Observations for Y

Obs Y Fit SE Fit Residual St Resid

7 48.0000 45.1080 0.7489 2.8920 2.05 R

R denotes an observation with a large standardized residual.

Means for Covariates

Covariate Mean StDev

X 24.13 4.324

Least Squares Means for Y

Maq Mean SE Mean

1 40.38 0.7236

2 41.42 0.7444

3 38.80 0.7879

Conclusión: Se observa que no hay diferencia en las máquinas una vez que eliminamos la

variabilidad introducida por el diámetro de la fibra, en caso de no haber tomado

en cuenta la covarianza del diámetro en la resistencia, se hubiese concluido al

revés, que si hay diferencia en las máquinas, como se muestra a continuación:

Con Minitab: 1. Stat > ANOVA > One way 2. Response Y Factor Maquina 3. OK Los resultados son los siguientes:


One-way ANOVA: Y versus Maq Source DF SS MS F P

Maq 2 140.4 70.2 4.09 0.044

Error 12 206.0 17.2

Total 14 346.4

S = 4.143 R-Sq = 40.53% R-Sq(adj) = 30.62%

Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled

StDev

Level N Mean StDev +---------+---------+---------+---------

1 5 41.400 4.827 (---------*----------)

2 5 43.200 3.701 (---------*---------)

3 5 36.000 3.808 (---------*---------)

+---------+---------+---------+---------

32.0 36.0 40.0 44.0

Pooled StDev = 4.143

Conclusión: Como P value es menor a 0.05 aparentemente si hay diferencia

entre máquinas.


7. ANÁLISIS DISCRIMINANTE MÚLTIPLE Y

REGRESIÓN LOGÍSTICA


7. ANÁLISIS DISCRIMINANTE MÚLTIPLE Y REGRESIÓN LOGÍSTICA El análisis discriminante, se aplica cuando las variables independientes son

medidas por intervalos o razón, y la dependiente es categórica. Tal análisis

sirve para predecir la pertenencia de un caso a una de las categorías de la

variable dependiente, sobre la base de varias independientes (dos o más). Se

utiliza una ecuación de regresión llamada función discriminante. Por ejemplo, si

queremos predecir el voto obtenido por dos partidos contendientes (variable

dependiente nominal con dos categorías) sobre la base de cuatro variables

independientes, aplicaremos el análisis discriminante, para resolver una

ecuación de regresión; así se obtienen las predicciones individuales.

En el ejemplo, hay dos categorías (votar por A o votar por B); por tanto, los

valores a predecir son 0 y 1 (A y B, respectivamente). Si el sujeto obtiene una

puntuación más cercana a cero, se predice que pertenece al grupo que votará

por A; si logra una puntuación más cercana a 1, se predice que pertenece al

grupo que votará por B. Además, se consigue una medida del grado de

discriminación del modelo.

Usar el Análisis Discrimínate para clasificar observaciones en dos grupos

(Análisis discriminante) o más grupos (Análisis discriminante múltiple – MDA) si

se tiene una muestra con grupos conocidos. Se puede utilizar también para

investigar como contribuyen las variables a la separación de grupos. La

regresión logística o Logit Analysis se limita a dos grupos. Para el caso de

clasificar las observaciones nuevas en una de dos categorías, la regresión

logística puede ser superior al análisis discriminante.

Se pueden hacer análisis discriminantes lineales y cuadráticos. Los lineales

asumen que todos los grupos tienen la misma matriz de covarianza, los

cuadráticos no hacen este supuesto y no son bien comprendidos.


Modelo discriminante

El problema que atiende la función discriminante es que tanto es posible

separar dos o más grupos de individuos, con base en las mediciones

realizadas en esos individuos en varias variables. Por ejemplo para el caso de

los pájaros que sobrevivieron y los que no sobrevivieron, es interesante

considerar si es posible utilizar las dimensiones de sus cuerpos para separar

sobrevivientes de no sobrevivientes.

En el caso general donde hay m muestras aleatorias de diferentes grupos, de

tamaños n1, n2, …., nm y los valores disponibles para p variables X1, X2, …,

Xp para cada miembro de la muestra, la forma de los datos para una función de

análisis discriminante es :

Individuo X1 X2 …… Xp Grupo

1 X111 X112 …… X11p

2 X211 X212 …… X21p Grupo1

… …. …. …… ….

n1 Xn1,11 Xn1,12 …… Xn1,1p

1 X121 X122 …… X12p

2 X221 X222 …… X22p Grupo 2

… ….. ….. …… …..

n2 Xn2,2,1 Xn2,2,2 …… Xn2,2,p

1 X1m1 X1m2 …… X1mp

2 X1m1 X1m2 …… X1mp Grupo m

… …. …. …… ….

nm Xnm,m1 Xnm,m2 …… Xnm,mp

En este caso los datos no requieren ser estandarizados como en el análisis de

componentes principales y análisis factorial, ya que los resultados no son

afectados por la escala de los datos.


Discriminación por distancia de Mahalanobis

Suponiendo que hay g poblaciones y que las distribuciones multivariadas son

conocidas para p variables X1, X2,…, Xp. Sea ki la media de la variable Xk en

la población i-ésima, y asumiendo que la varianza de Xk tiene el mismo valor

Vk, en todas las poblaciones, se define a la distancia entre poblaciones y

muestras de Mahalanobis como:

)()(

1 1

2

sjsi

rs

rj

p

r

p

s

riijvD

Donde V(rs) es el elemento con renglón r-ésimo y columna s-ésima, de la

matriz inversa de covarianza para las variables p. También se puede escribir en

forma matricial como:

),.....,,('

),....,,('

21

21

p

pxxxx

pi

i

i

i

jijiijVD

.....

)()'(

2

1

12

i es el vector de medias para la población i-ésima y V es el vector de

covarianza. Una condición es que la V sea similar para todas las poblaciones.

La distancia de Mahalanobis se utiliza frecuentemente para medir la distancia

de una observación simple multivariada desde el centro de la población de la

que emerge la observación. También se puede interpretar como un residuo

respecto al centro, con la consideración de que si excede cierto valor se

investigue como punto aberrante.

Para el modelo discriminante, los vectores promedio de las m muestras pueden

ser considerados como estimados de los vectores promedio de los grupos.

Pueden calcularse las distancias de mahalanobis de individuos a centros de

grupos, y cada individuo puede ser asignado al grupo que le sea más cercano.


El grupo final puede ser diferente del grupo del que procede originalmente. El

porcentaje de asignación correcta es una indicación clara de que tan bien los

grupos pueden ser separados, usando las variables disponibles.

El procedimiento puede definirse de manera más clara como sigue:

El vector de valores promedio de la muestra del i-ésimo grupo es

),....,,('21 piii

xxxx

La matriz de covarianza para las muestras es:

pppp

p

p

ccc

ccc

ccc

C

....

.................

....

....

21

22221

11211

La distancia de Mahalanobis de una observación )',......,,('21 p

xxxx al centro

del grupo i se estima con:

)()'(12

iiixxCxxD

)()(

1 1

2

sis

rs

p

r

p

s

ririxxcxxD

Donde crs es el elemento den la r-ésima fila y la s-ésima columna de C-1. La

observación x es asignada al grupo para el cual Di2 tiene el valor más pequeño.

Funciones canónicas discriminantes

Es a veces útil poder determinar las funciones de las variables X’s que en

alguna forma separen los m grupos tan bien como sea posible. El método más

sencillo consiste en tomar una combinación lineal de las variables X:

ppXaXaXaZ ........

2211

Una forma de seleccionar los coeficientes a’s es seleccionar los que den la

mayor Fc en una ANOVA. Si se utiliza este método, se encuentran las

funciones canónicas discriminantes para cada observación i-ésima que no

están correlacionadas entre sí.

pipiiiXaXaXaZ ........

2211


La tabla ANOVA para una variable simple y m muestras es la siguiente:

Fuente de Suma de Grados de Cuadrado Medio F Variación cuadrados libertad Entre muestras B = T – W m -1 M1 = B/(m-1) M1/M2

Dentro

m

j

n

i

jij

j

xxW

1

2

1

)( n - m

de muestras

Total

m

j

n

i

ij

j

xxT

1

2

1

)( n – 1

jn Tamaño de la muestra j-ésima

n Número total de observaciones

ijx Es la observación i-ésima de la j-ésima muestra

jn

i j

ij

j n

xx

1

Media de la muestra j-ésima

m

j

n

i

ij

j

n

xx

1 1

Media global de todos los datos

El elemento en la fila r-ésima y columna c-ésima en la matriz T es:

))((

1 1

cijc

m

j

n

i

rijrrcxxxxt

j

El elemento en la r-ésima fila y c-ésima columna de la matriz W es:

))((

1 1

jcijc

m

j

n

i

jrijrrcxxxxw

j

Hallar los coeficientes de las funciones discriminantes canónicas se convierte

en un problema de eigenvalores. La matriz de variación dentro de la muestra W

y la matriz de suma de cuadrados total T se calculan con las ecuaciones

anteriores. Por tanto la matriz entre grupos se determina con:

B = T – W


Los eigenvalores y los eigenvectores se determinan con la matriz W-1B. Si los

eigenvalores 1>2>3>..s entonces i es la razón de la suma de cuadrados

entre grupos a la suma de cuadrados entre grupos para la i-ésima combinación

lineal, Zi, mientras que los elementos de los eigenvectores, a’i = (ai1, ai2,

ai3,…., aip), son los coeficientes de Zi.

Las funciones canónicas discriminantes Z1, Z2,…, Zp son combinaciones

lineales de las variables originales seleccionadas de tal forma que Z1 refleje

tanta diferencia de grupo como sea posible; Z2 capture tanta diferencia de

grupo como sea posible no mostrada por Z1; Z3 capture tanta diferencia de

grupo como sea posible que no sea mostrada por Z1 y Z2; etc. Se espera que

con las primeras funciones sea suficiente para acumular la mayor parte de las

diferencias de grupo. Si y solo si con las primeras dos variables se cumple esta

condición, se puede graficar la diferencia entre grupos, graficando las funciones

para los individuos de las muestras.

El número de variables canónicas es el mínimo entre el número de variables

(X’s) y el número de grupos menos uno (m – 1= 2). Para el análisis discrimínate

es necesario proporcionar el grupo al que pertenecen al inicio las

observaciones.

Para probar la significancia de la prueba, se puede utilizar el estadístico T2, de

Hottelling basado en el supuesto de normalidad y variabilidad similar dentro de

las muestras. Es decir que las muestras vengan de una distribución mutivariada

normal con matrices de covarianza similares.

Para probar si la función discriminante canónica Zj varía significativamente de

grupo a grupo se utiliza un estadístico Chi cuadrado.

Finalmente, se pueden analizar las distancias de Mahalanobis de las

observaciones a los centros de los grupos a ser examinados. Deben variar de

acuerdo a una distribución Chi cuadrada con p grados de libertad, si exceden el


valor crítico, se debe analizar si la observación realmente viene del grupo

asignado.


Ejemplo:

El porcentaje de personas empleadas en nueve diferentes sectores industriales

en Europa (Agr = agricultura; Min = minería; Man = Manufactura; Ps = Energía;

Con = Construcción; Ser = Servicios; Fin = Finanzas; Sps = Servicios sociales;

Tc = Transporte y comunicaciones).

No Grupo Ciudad Agr Min Man Ps Con Ser Fin Sps Tc

1 1 Bélgica 3.3 0.9 27.6 0.9 8.2 19.1 6.2 26.6 7.2

2 1 Dinamarca 9.2 0.1 21.8 0.6 8.3 14.6 6.5 32.2 7.1

3 1 Francia 10.8 0.8 27.5 0.9 8.9 16.8 6.0 22.6 5.7

4 1 Alemania Occ. 6.7 1.3 35.8 0.9 7.3 14.4 5.0 22.3 6.1

5 1 Irlanda 23.2 1.0 20.7 1.3 7.5 16.8 2.8 20.8 6.1

6 1 Italia 15.9 0.6 27.6 0.5 10.0 18.1 1.6 20.1 5.7

7 1 Luxenburgo 7.7 3.1 30.8 0.8 9.2 18.5 4.6 19.2 6.2

8 1 Holanda 6.3 0.1 22.5 1.0 9.9 18.0 6.8 28.5 6.8

9 1 Inglaterra 2.7 1.4 30.2 1.4 6.9 16.9 5.7 28.3 6.4

10 1 Austria 12.7 1.1 30.2 1.4 9.0 16.8 4.9 16.8 7.0

11 1 Finlandia 13.0 0.4 25.9 1.3 7.4 14.7 5.5 24.3 7.6

12 2 Grecia 41.4 0.6 17.6 0.6 8.1 11.5 2.4 11.0 6.7

13 1 Noruega 9.0 0.5 22.4 0.8 8.6 16.9 4.7 27.6 9.4

14 2 Portugal 27.8 0.3 24.5 0.6 8.4 13.3 2.7 16.7 5.7

15 2 España 22.9 0.8 28.5 0.7 11.5 9.7 8.5 11.8 5.5

16 1 Suecia 6.1 0.4 25.9 0.8 7.2 14.4 6.0 32.4 6.8

17 1 Suiza 7.7 0.2 37.8 0.8 9.5 17.5 5.3 15.4 5.7

18 2 Turquía 66.8 0.7 7.9 0.1 2.8 5.2 1.1 11.9 3.2

19 3 Bulgaria 23.6 1.9 32.3 0.6 7.9 8.0 0.7 18.2 6.7

20 3 Checa 16.5 2.9 35.5 1.2 8.7 9.2 0.9 17.9 7.0

21 3 Alemania Ori. 4.2 2.9 41.2 1.3 7.6 11.2 1.2 22.1 8.4

22 3 Hungría 21.7 3.1 29.6 1.9 8.2 9.4 0.9 17.2 8.0

23 3 Polonia 31.1 2.5 25.7 0.9 8.4 7.5 0.9 16.1 6.9

24 3 Rumania 34.7 2.1 30.1 0.6 8.7 5.9 1.3 11.7 5.0

25 3 Rusia 23.7 1.4 25.8 0.6 9.2 6.1 0.5 23.6 9.3

26 3 Yugoslavia 48.7 1.5 16.8 1.1 4.9 6.4 11.3 5.3 4.0

En este caso el número de variables canónicas es el mínimo entre el número de variables (8) y el número de grupos menos uno (m – 1= 2). Las variables canónicas se obtienen a continuación:


1 Cargar los datos a Minitab

2 Stat > Multivariate > Discriminant Analysis.

3 En Groups, poner SalmonOrigin.

4 En Predictors, poner Freshwater Marine. Click OK.



Discriminant Analysis: Grupo versus Agr, Min, ... After subtracting group means,

Agr is highly correlated with other predictors.

After subtracting group means,

Man is highly correlated with other predictors.

After subtracting group means,

Sps is highly correlated with other predictors.

Linear Method for Response: Grupo

Predictors: Agr, Min, Man, Ps, Con, Ser, Fin, Sps

Group 1 2 3

Count 9 9 8

Summary of classification

True Group

Put into Group 1 2 3

1 8 1 0

2 1 8 0

3 0 0 8

Total N 9 9 8

N correct 8 8 8

Proportion 0.889 0.889 1.000

N = 26 N Correct = 24 Proportion Correct = 0.923

Squared Distance Between Groups

1 2 3

1 0.0000 9.4368 40.1385

2 9.4368 0.0000 20.4832

3 40.1385 20.4832 0.0000

Linear Discriminant Function for Groups

1 2 3

Constant -11171 -10821 -10678

Agr 221 218 217

Min 284 277 279

Man 211 208 207

Ps 371 369 371

Con 287 283 282

Ser 244 239 236

Fin 204 200 199

Sps 255 251 249

Means for Group

Variable Pooled Mean 1 2 3

Agr 19.131 9.533 23.044 25.525

Min 1.2538 1.0333 0.5556 2.2875

Man 27.008 27.167 24.522 29.625


Ps 0.90769 0.92222 0.78889 1.02500

Con 8.1654 8.4667 8.0556 7.9500

Ser 12.958 17.022 13.333 7.963

Fin 4.0000 5.0222 4.5667 2.2125

Sps 20.023 24.511 18.656 16.513

Pooled StDev for Group

Variable StDev 1 2 3

Agr 14.37 6.48 20.01 13.15

Min 0.6643 0.9000 0.2789 0.6600

Man 6.969 4.871 8.343 7.274

Ps 0.3788 0.2906 0.3855 0.4528

Con 1.699 1.117 2.346 1.330

Ser 2.749 1.638 3.997 1.869

Fin 2.630 1.767 2.215 3.681

Sps 6.148 4.524 7.664 5.803

Pooled Covariance Matrix

Agr Min Man Ps Con Ser Fin Sps

Agr 206.455

Min -1.471 0.441

Man -80.889 1.683 48.569

Ps -2.568 0.087 0.881 0.143

Con -13.191 0.029 6.269 0.042 2.887

Ser -31.181 0.336 11.763 0.576 2.076 7.555

Fin -3.479 -0.424 -1.216 0.220 -0.148 0.287 6.916

Sps -59.429 -0.748 9.607 0.424 1.082 6.397 -1.432

Sps 37.798

Covariance matrix for Group 1


Agr 42.053

Min -0.800 0.810

Man -15.359 2.522 23.727

Ps -0.067 0.040 -0.058 0.084

Con 0.856 -0.156 -1.376 -0.208 1.248

Ser -0.776 0.372 -0.809 0.012 0.920 2.684

Fin -8.537 -0.312 -0.272 0.074 -0.254 -0.432 3.122

Sps -14.949 -2.359 -8.052 0.100 -0.922 -2.050 5.906

Sps 20.466



Agr 400.228

Min 1.336 0.078

Man -140.614 -0.459 69.609

Ps -5.808 0.021 2.090 0.149

Con -30.813 0.025 15.256 0.437 5.505

Ser -71.357 -0.288 25.528 1.149 4.945 15.978

Fin -31.392 0.048 12.865 0.438 3.830 3.179 4.908

Sps -98.810 -0.732 11.504 1.131 -0.771 16.029 4.981

Sps 58.735



Agr 172.888

Min -5.445 0.436

Man -87.525 3.172 52.914


Ps -1.722 0.218 0.572 0.205

Con -9.106 0.245 4.734 -0.123 1.769

Ser -20.013 1.009 10.401 0.565 0.119 3.494

Fin 34.201 -1.093 -18.389 0.135 -4.574 -2.195 13.547

Sps -65.256 1.076 27.621 -0.013 5.491 5.042 -17.147

Sps 33.678

Summary of Misclassified Observations

True Pred Squared

Observation Group Group Group Distance Probability

4** 1 2 1 11.326 0.077

2 6.373 0.921

3 19.796 0.001

16** 2 1 1 5.350 0.944

2 10.989 0.056

3 35.747 0.000

Corrida con SPSS Discriminant

Warnings

Option ''SEPARATE'' means

classification using group

covariance matrices of the canonical

discriminant functions, not those of

the original variables. If there are

few er functions than variables, that

makes a difference.

Analysis Case Processing Summary

26 100.0

0 .0

0 .0

0 .0

0 .0

26 100.0

Unw eighted Cases

Valid

Missing or out-of-range

group codes

At least one missing

discriminating variable

Both missing or

out-of-range group codes

and at least one missing


Total

Excluded

Total

N Percent


Group Statistics

9.5929 5.3626 14 14.000

.8500 .7743 14 14.000

27.6214 5.0773 14 14.000

.9571 .2875 14 14.000

8.4214 1.0401 14 14.000

16.6786 1.5783 14 14.000

5.1143 1.4206 14 14.000

24.0786 5.3738 14 14.000

39.7250 19.6736 4 4.000

.6000 .2160 4 4.000

19.6250 9.0205 4 4.000

.5000 .2708 4 4.000

7.7000 3.6102 4 4.000

9.9250 3.4760 4 4.000

3.6750 3.2908 4 4.000

12.8500 2.5981 4 4.000

25.5250 13.1487 8 8.000

2.2875 .6600 8 8.000

29.6250 7.2742 8 8.000

1.0250 .4528 8 8.000

7.9500 1.3299 8 8.000

7.9625 1.8693 8 8.000

2.2125 3.6806 8 8.000

16.5125 5.8033 8 8.000

19.1308 15.5466 26 26.000

1.2538 .9700 26 26.000

27.0077 7.0078 26 26.000

.9077 .3762 26 26.000

8.1654 1.6456 26 26.000

12.9577 4.5753 26 26.000

4.0000 2.8066 26 26.000

20.0231 6.8295 26 26.000

AGR

MIN

MAN

PS

CON

SER

FIN

SPS

AGR

MIN

MAN

PS

CON

SER

FIN

SPS

AGR

MIN

MAN

PS

CON

SER

FIN

SPS

AGR

MIN

MAN

PS

CON

SER

FIN

SPS

GRUPO

1.00

2.00

3.00

Total

Mean Std. Deviation Unw eighted Weighted

Valid N (listw ise)

Analysis 1 Summary of Canonical Discriminant Functions

Eigenvalues

11.347a 92.1 92.1 .959

.977a 7.9 100.0 .703

Function

1

2

Eigenvalue % of Variance Cumulative %

Canonical

Correlation

First 2 canonical discriminant functions w ere used in the

analysis.

a.


Wilks' Lambda

.041 62.301 16 .000

.506 13.290 7 .065

Test of Function(s)

1 through 2

2

Wilks'

Lambda Chi-square df Sig.

Standardized Canonical Discriminant Function Coefficients

3.690 .555

-.197 .551

2.038 .736

-.039 .357

.237 -.010

1.900 .025

1.047 .357

2.205 .970

AGR

MIN

MAN

PS

CON

SER

FIN

SPS

1 2

Function

Structure Matrix

.630* .339

.157* -.032

-.243 -.737*

-.265 .592*

-.001 .551*

-.017 .544*

.229 .505*

.045 .103*

SER

FIN

AGR

MIN

PS

MAN

SPS

CON

1 2

Function

Pooled w ithin-groups correlations betw een discriminating

variables and standardized canonical discriminant functions

Variables ordered by absolute size of correlation w ithin function.

Largest absolute correlation betw een each variable and

any discriminant function

*.

Functions at Group Centroids

2.792 .264

-1.234 -2.150

-4.269 .613

GRUPO

1.00

2.00

3.00

1 2

Function

Unstandardized canonical discriminant

functions evaluated at group means


Group covariances of canonical discriminant functions

.867 -.168

-.168 .737

2.340 .242

.242 .726

.672 .209

.209 1.605

Function

1

2

1

2

1

2

GRUPO

1.00

2.00

3.00

1 2

The pooled w ithin-groups covariance matrix of the canonical

discriminant functions is an identity matrix by definition.

Box's Test of Equality of Covariance Matrices of Canonical Discriminant Functions

Log Determinants

2 -.492

2 .495

2 .035

2 .000

GRUPO

1.00

2.00

3.00

(identity matrix)

Rank

Log

Determinant

The ranks and natural logarithms of determinants

printed are those of the group covariance matrices

of the canonical discriminant functions.

Test Results

4.673

.629

6

707.141

.707

Box's M

Approx.

df1

df2

Sig.

F

Tests null hypothesis of equal population covariance

matrices of canonical discriminant functions.

Classification Statistics

Classification Processing Summary

26

0

0

26

Processed

Missing or out-of-range

group codes

At least one missing


Excluded

Used in Output


Prior Probabilities for Groups

.538 14 14.000

.154 4 4.000

.308 8 8.000

1.000 26 26.000

GRUPO

1.00

2.00

3.00

Total

Prior Unw eighted Weighted

Cases Used in Analysis

Separate-Groups Graphs

Canonical Discriminant Functions

GRUPO = 1

Function 1

4.54.03.53.02.52.01.51.0

Fu

nc

tio

n 2

2.5

2.0

1.5

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

-1.5

Group Centroid

Group Centroid

1


GRUPO = 2

Function 1

1.0.50.0-.5-1.0-1.5-2.0-2.5

Fu

nc

tio

n 2

-1.0

-1.5

-2.0

-2.5

-3.0

-3.5

Group Centroid

Group Centroid

2



GRUPO = 3

Function 1

-3.0-3.5-4.0-4.5-5.0-5.5

Fu

nc

tio

n 2

3

2

1

0

-1

-2

Group Centroid

Group Centroid

3


Function 1

6420-2-4-6

Fu

nc

tio

n 2

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

GRUPO

Group Centroids

3

2

1

3

2

1

Classification Results a

14 0 0 14

0 4 0 4

0 0 8 8

100.0 .0 .0 100.0

.0 100.0 .0 100.0

.0 .0 100.0 100.0

GRUPO

1.00

2.00

3.00

1.00

2.00

3.00

Count

%

Original

1.00 2.00 3.00

Predicted Group Membership

Total

100.0% of original grouped cases correctly classif ied.a.


Territorial Map

Canonical Discriminant

Function 2

-6.0 -4.0 -2.0 .0 2.0 4.0 6.0

6.0 31

31

31

31

31

31

4.0 31

31

31

31

31

31

2.0 31

31

331

32221

* 332 21

322 21 *

.0 332 21

3322 21

322 21

332 21

322 21

332 21

-2.0 322 * 21

332 21

322 21

332 21

322 21

332 21

-4.0 322 21

332 21

22 21

21

21

21

-6.0 21

-6.0 -4.0 -2.0 .0 2.0 4.0 6.0

Canonical Discriminant Function 1

Symbols used in territorial map

Symbol Group Label

------ ----- --------------------

1 1

2 2

3 3

* Indicates a group centroid


Function 1

6420-2-4-6

Func

tion

2

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

GRUPO

Group Centroids

3

2

1

3

2

1


Ejemplo:

Para regular la pesca de salmón, se desea identificar si el pescado es originario

de Alaska o de Canadá. Cincuenta peces de cada lugar de origen fueron

capturados y pesados cuando vivían en agua dulce y cuando vivieron en agua

salada. El objetivo es el de poder identificar si los nuevos pescados vienen de

criaderos en Alaska o Canadá. Los datos se muestran a continuación:

SalmonOrigin Freshwater Marine SalmonOrigin Freshwater Marine

Alaska 108 368 Canadá 129 420




















































1 Abrir la worksheet EXH_MVAR.MTW.

2 Stat > Multivariate > Discriminant Analysis.

3 En Groups, poner SalmonOrigin.

4 En Predictors, poner Freshwater Marine. Click OK.

Los resultados obtenidos se muestran a continuación: Discriminant Analysis: SalmonOrigin versus Freshwater, Marine Linear Method for Response: SalmonOrigin

Predictors: Freshwater, Marine

Group Alaska Canada

Count 50 50


True Group

Put into Group Alaska Canada

Alaska 44 1

Canadá 6 49

Total N 50 50

N correct 44 49




Alaska Canada

Alaska 0.00000 8.29187

Canada 8.29187 0.00000


Alaska Canada

Constant -100.68 -95.14

Freshwater 0.37 0.50

Marine 0.38 0.33



Squared

Observation True Group Pred Group Group Distance Probability

1** Alaska Canadá Alaska 3.544 0.428

Canadá 2.960 0.572


Canadá 0.2729 0.981


Canadá 0.7270 0.882


Canadá 0.7270 0.882


Canadá 1.429 0.711


Canadá 1.985 0.536

71** Canadá Alaska Alaska 2.045 0.948

Canadá 7.849 0.052

Interpretando los resultados

El Análisis Discriminante identificó correctamente 93 de los 100 peces, a pesar

de que la probabilidad de clasificar correctamente un pez de Alaska fue menor

(44/50 o 88%) que la probabilidad de clasificar correctamente un pez de

Canadá (49/50 o 98%). Para identificar el origen de un pez recientemente

capturado depende de cual valor discriminante sea mayor. Se puede correr el

análisis discriminante de nuevo y predecir a que grupo pertenecen las nuevas

observaciones.

El resumen de las observaciones mal clasificadas muestra la distancia al

cuadrado desde el punto mal clasificado a los centroides del grupo (vectores

medios) y las probabilidades posteriores. Las observaciones son asignadas al

grupo con la mayor probabilidad posterior.

Si en Options introducimos en Predict membership for: 100 130, la

clasificación aparece como:

Prediction for Test Observations

Squared

Observation Pred Group From Group Distance Probability

1 Canadá

Alaska 78.448 0.000

Canadá 55.194 1.000


El análisis discriminante involucra establecer una ―Variable (Variate)‖,

combinación lineal de dos o más variables independientes que discriminarán

mejor entre grupos definidos a priori. Se logra al poner los pesos de la

―variable‖ para cada variable de modo de maximizar la varianza entre grupos

respecto a la varianza dentro de los grupos. La ecuación de la función

discriminante toma la forma de:

nknkkjkXWXWXWaZ ....

2211

Donde:

Zjk = Valor Z discriminante de la función discriminante J para el objeto K.

a = Intersección en eje Y

Wi = Peso discriminante para la variable independiente i.

Xik = Variable independiente i para el objeto k.

La media de un grupo se denomina Centroide, que indica la localización típica

de cualquier individuo dentro de un grupo en particular y una comparación de

las centroides de los grupos muestra que tan alejados se encuentran en

relación a la dimensión considerada.

A B A B

Representación univariada de los valores Z de la función discriminante

Las áreas sombreadas son la probabilidad de clasificar erróneamente los objetos entre A y B

Ejemplo con HATCO:

Paso 1: Objetivos del análisis discriminante

Identificar las percepciones de HATCO que difieren significativamente entre

empresas que utilizan los métodos de compra: valor total de compra incluyendo


productos y servicios comprados y compra especificada donde se indican las

características deseadas del producto y del servicio.

Paso 2. Diseño de la investigación para el análisis discriminante

La variable dependiente es categórica con dos grupos, las variables

independientes son X1 a X7 y X11 con los métodos de compra de las

empresas.

La muestra es de 100 observaciones que supera el mínimo de muestras a

variables de 5 a 1, siendo de 10.

Se toma una muestra de 40 observaciones para validar el modelo y se utilizan

60 observaciones para la estimación.

Paso 3. Supuestos de la función discriminante

En la formación de la Variate debe haber normalidad, linealidad, y

multicolinealidad y la estimación de la función discriminante (matrices de

varianza y covarianza similares). Una prueba de igualdad de covarianza o

matrices de dispersión es la prueba M de Box.

Paso 4. Estimación del modelo discriminante y evaluación de ajuste

Ejemplo con datos de Hatco

El ejemplo siguiente utiliza las mismas variables que el análisis discriminante

anterior para estimar el modelo.

Utilizando los datos de HATCO, la muestra de 100 clientes se divide en dos

grupos, uno de 60 para análisis y otro de 40 para validación. La regresión

logística es más robusta ante el supuesto de igualdad de varianza covarianza.

Para el ejemplo se utilizan las 7 variables X1 a X7 teniendo como respuesta a

X11.

Instrucciones en Minitab:


1. Stat > Multivariate > Discriminant Analysis.

2. En Groups, poner X11.

3 En Predictors, poner X1 – X7.

4. Click OK.


Discriminant Analysis: X11 versus X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 Linear Method for Response: X11

Predictors: X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7

Group 0 1

Count 25 35


True Group

Put into Group 0 1

0 24 2

1 1 33

Total N 25 35

N correct 24 33




0 1

0 0.0000 10.9857

1 10.9857 0.0000


0 1

Constant -55.092 -67.574

X1 12.813 16.539

X2 12.313 14.638

X3 7.780 10.158

X4 3.320 3.639

X5 -21.933 -26.874

X6 -2.326 -2.159

X7 4.389 2.657


True Pred Squared

Observation Group Group Group Distance Probability

13** 0 1 0 6.238 0.474

1 6.032 0.526

17** 1 0 0 7.893 0.980

1 15.673 0.020

56** 1 0 0 4.753 0.841

1 8.078 0.159

Por medio de SPSS 1. Analize > Clasify > Discriminant

2. Grouping variable X11 (0:1) Independent variables X1 – X7

3. Statistics Univariate ANOVAs Box’s M


4. OK

Los resultados se muestran a continuación Tests of Equality of Group Means

Wilks' Lambda F df1 df2 Sig.

X1 .614 36.526 1 58 .000

X2 .716 22.953 1 58 .000

X3 .467 66.302 1 58 .000

X4 .997 .145 1 58 .704

X5 .993 .414 1 58 .523

X6 .991 .522 1 58 .473

X7 .528 51.951 1 58 .000

Como se puede observar son significativos X1, X2, X3 y X7.

La función discriminante es la siguiente:

Standardized Canonical Discriminant Function Coefficients

Function

1

X1 1.152

X2 .749

X3 .668

X4 .111

X5 -1.153

X6 .042

X7 -.626

La matriz estructural es la siguiente:

Structure Matrix

Function

1

X3 .643

X7 -.569

X1 .477

X2 -.379

X6 .057

X5 .051

X4 .030

Pooled within-groups correlations between discriminating variables and standardized canonical discriminant functions Variables ordered by absolute size of correlation within function.

Medias de grupos (centroides) de las funciones canónicas discriminantes:

Functions at Group Centroids

X11 Function

1


.00 -1.933

1.00 1.381

Unstandardized canonical discriminant functions evaluated at group means


Z=0

N=24 N=33

Zo=-1.933 Z1=1.063

Gráfica de los centroides de grupos

Paso 5. Validación del modelo

Con los 40 datos restantes se repite la corrida y se observa que los resultados

concuerden:

Tests of Equality of Group Means

Wilks' Lambda F df1 df2 Sig.

X1 .546 31.628 1 38 .000

X2 .934 2.676 1 38 .110

X3 .789 10.185 1 38 .003

X4 .969 1.205 1 38 .279

X5 .798 9.611 1 38 .004

X6 .997 .105 1 38 .748

X7 .535 33.043 1 38 .000

Log Determinants

X11 Rank Log Determinan

.00 7 -9.872

1.00 7 -6.987

Pooled within-groups 7 -6.367

The ranks and natural logarithms of determinants printed are those of the group covariance matrices. Test Results

Box's M 63.963

F Approx. 1.776

df1 28

df2 3061.289

Sig. .007

Tests null hypothesis of equal population covariance matrices. Standardized Canonical Discriminant Function Coefficients

Function


1

X1 1.932

X2 1.525

X3 .294

X4 -.621

X5 -1.698

X6 .934

X7 -.783

Structure Matrix

Function

1

X7 -.644

X1 .630

X3 .358

X5 .347

X2 -.183

X4 -.123

X6 -.036

Pooled within-groups correlations between discriminating variables and standardized canonical discriminant functions Variables ordered by absolute size of correlation within function. Functions at Group Centroids

X11 Function

1

.00 -1.822

1.00 1.093

Unstandardized canonical discriminant functions evaluated at group means

Prior Probabilities for Groups

.500 15 15.000

.500 25 25.000

1.000 40 40.000

X11

.00

1.00

Total

Prior Unw eighted Weighted

Cases Used in Analysis


-2 -1 0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

5

Mean = 1.09Std. Dev. = 1.142N = 25

X11 = 1


-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0

0

1

2

3

4

5

Mean = -1.82Std. Dev. = 0.692N = 15

X11 = 0


Classification Results(a)

X11 Predicted Group Membership Total

.00 1.00

Original Count .00 15 0 15

1.00 3 22 25

% .00 100.0 .0 100.0

1.00 12.0 88.0 100.0

a 92.5% of original grouped cases correctly classified.


Regresión Logística

Una de las ventajas de la regresión logística versus el análisis discriminante es

que es menos afectada por las diferencias en varianzas / covarianzas entre los

grupos, que es una premisa del análisis discriminante. Otra ventaja es que la

regresión logística puede manejar variables independientes categóricas

fácilmente, mientras que en el análisis discriminante el uso de variables de

apoyo crea problemas con la igualdad de varianza / covarianza. Finalmente la

regresión logística es similar a la regresión múltiple en términos de su

interpretación e interpretación incluyendo los residuos.

Ejemplo:

Un investigador está interesado en comprender el efecto de fumar y el peso en

el pulso en reposo, como esta última variable dependiente es categórica (bajo,

alto) el análisis de regresión logística es adecuado.

Los datos utilizados son los siguientes:

RestingPulse Smokes Weight RestingPulse Smokes Weight RestingPulse Smokes Weight

Low No 140 Low No 215 Low No 115

Low No 145 Low Yes 150 Low No 102

Low Yes 160 Low Yes 145 Low No 115

Low Yes 190 Low No 155 Low No 150


Low No 165 Low No 150 High No 116

High No 150 Low Yes 155 Low Yes 108


Low No 195 High Yes 180 High Yes 125


High Yes 160 Low No 135 Low No 110


High Yes 153 Low Yes 130 Low No 108




Low Yes 175 High No 155 Low No 120


Low Yes 180 High Yes 140 Low No 125

Low No 135 Low Yes 190 High Yes 135

Low No 170 High No 145 Low No 125

Low No 157 High Yes 150 High No 118

Low No 130 Low Yes 164 High Yes 150

Low Yes 185 Low No 140 Low Yes 112

High No 140 Low No 142 Low No 125


Low No 120 High No 136 Low No 190


High No 138 Low No 155 Low Yes 170

High Yes 121 High No 130 Low No 145

Low No 125 Low No 120 High Yes 131

High No 116 Low No 130

Las instrucciones de Minitab para el ejemplo son:

1. Open worksheet EXH_REGR.MTW.

2. Seleccionar Stat > Regression > Binary Logistic Regression.

3. En Response, poner RestingPulse. En Model, poner Smokes Weight. En

Factors (optional), poner Smokes (para predictors categóricos).

4. Click Graphs. Seleccionar Delta chi-square vs probability and Delta chi-

square vs leverage. Click OK.

5. Click Results. Seleccionar In addition, list of factor level values, tests for

terms with more than 1 degree of freedom, y 2 additional goodness-of-fit tests.

6. Click OK en cada cuadro de diálogo.


Results for: Exh_regr.MTW Binary Logistic Regression: RestingPulse versus Smokes, Weight Link Function: Logit

Observaciones que caen dentro de cada categoría Response Information Variable Value Count

RestingP Low 70 (Event) -> Evento de referencia High 22

Total 92

Factor Information

Factor Levels Values

Smokes 2 No Yes

Logistic Regression Table

Odds 95% CI

Predictor Coef SE Coef Z P Ratio Lower Upper

Constant -1.987 1.679 -1.18 0.237

Smokes

Yes -1.1930 0.5530 -2.16 0.031 0.30 0.10 0.90

Weight 0.02502 0.01226 2.04 0.041 1.03 1.00 1.05

Por ser su P value menor a 0.05 son significativos Smoke y Weight


El coeficiente de -1.93 para Smoke representa el cambio estimado en el log de

P(low pulse)/P(high pulse) cuando el sujeto fuma comparado a cuando no

fuma, con el covariado Weight (peso) mantenido constante.

El coeficiente de 0.0250 para Weight (peso) es el cambio estimado en el log de

P(low pulse)/P(high pulse) con una unidad (lb.) de incremento en peso con el

factor Fumar constante.

A pesar de que hay evidencia de el parámetro de peso Weight no es cero, la

tasa de exceso es muy cercana a uno (1.03), indicando que un incremento de

peso de una libra tiene un efecto menor en la tasa de pulso en reposo de la

persona. Una diferencia más significativa se puede encontrar si se comparan

sujetos con una diferencia de peso mayor, por ejemplo 10 libras, la tasa cambia

a 1.28 (1.03 + 0.025*10), indicando que el puso de un sujeto con pulso bajo se

incrementa 1.28 veces con cada 10 libras de incremento de peso.

Para Smokes, el coeficiente negativo de -1.93 y la tasa de exceso de 0.30

indica que los sujetos que fuman tienden a tener una mayor tasa de pulso en

reposo (resting pulse rate) que los sujetos que no fuman. Dados sujetos con el

mismo peso, la tasa de exceso puede ser interpretada como el exceso de

fumadores en la misma muestra teineido un pulso bajo (low pulse) de 30% de

los no fumadores teniendo un pulso bajo (low pulse).

Log-Likelihood = -46.820

Test that all slopes are zero: G = 7.574, DF = 2, P-Value = 0.023

El estadístico G prueba la hipótesis nula de que los coeficientes asociados con

los predoctores son iguales a cero versus que esos coeficientes no todos son

cero. En es ejemplo con G = 7.574 y P value = 0.023, indican que hay

suficiente evidencia que al menos uno de los coeficientes es diferente de cero.

Goodness-of-Fit Tests

Method Chi-Square DF P

Pearson 40.848 47 0.724

Deviance 51.201 47 0.312


Hosmer-Lemeshow 4.745 8 0.784

Brown:

General Alternative 0.905 2 0.636

Symmetric Alternative 0.463 1 0.496

Estas pruebas de bondad de ajuste con P values de 0.312 a 0.724 indican que

no hay evidencia suficiente que indique que el modelo no ajuste a los datos

adecuadamente, considerando un nivel de significancia de 0.05.

Table of Observed and Expected Frequencies:

(See Hosmer-Lemeshow Test for the Pearson Chi-Square Statistic)

Group

Value 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

Low

Obs 4 6 6 8 8 6 8 12 10 2 70

Exp 4.4 6.4 6.3 6.6 6.9 7.2 8.3 12.9 9.1 1.9

High

Obs 5 4 3 1 1 3 2 3 0 0 22

Exp 4.6 3.6 2.7 2.4 2.1 1.8 1.7 2.1 0.9 0.1

Total 9 10 9 9 9 9 10 15 10 2 92

Esta tabla permite ver que tan bien ajusta el modelo a los datos, comparando

las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas, siendo similares indica

que no hay evidencia suficiente de que los datos no ajusten bien al modelo,

soportado por las pruebas de bondad de ajuste para un nivel de significancia

de 0.05.

Measures of Association:

(Between the Response Variable and Predicted Probabilities)

Pairs Number Percent Summary Measures

Concordant 1045 67.9% Somers' D 0.38

Discordant 461 29.9% Goodman-Kruskal Gamma 0.39

Ties 34 2.2% Kendall's Tau-a 0.14

Total 1540 100.0%

Esta tabla muestra 1540 pares (70 individuos con un low pulse y 22 con high

pulse resultando en 70*22 = 1540) con valores de respuesta diferentes. Con

base en el modelo un par es concordante si el individuo con una tasa de pulso

baja (low pulse rate) tiene una más alta probabilidad de tener pulso bajo,

discrepante de si sucede lo contrario, y empate si las probabilidades son

iguales. En este ejemplo el 67.9% de los pares son concordantes y 29% son

discrepantes. Se pueden usar estos valores como una medición comparativa

de predicción, por ejemplo para comparar ajustes con diferentes conjuntos de

predictores o con funciones diferentes de enlace.


Se muestran resumenes de pares concordantes y discrepantes de Somers,

Goodman-Kriskal Gamma, y Tau de Kendall. Las métricas se encuentran entre

0 y 1 donde los valores mayores indican que el modelo tiene una mejor

habilidad predictiva. En este ejemplo el rango va de 0.14 a 0.39 que implica

una baja capacidad predictiva.

1.00.90.80.70.60.50.4

5

4

3

2

1

0

Probability

Delta

Chi-

Square

Delta Chi-Square versus Probability

0.160.110.060.01

5

4

3

2

1

0

Leverage

Delta

Chi-

Square

Delta Chi-Square versus Leverage

Las gráficas del ejemplo de Chi cuadrada versus probabilidad y versus

apalancamiento muestran que hay dos puntos que se desvían más allá del

límite sugerido de 3.84, indicando situaciones anormales que deben ser

investigadas.


Con la opción Editor > Brush se puede observar que corresponden a los

valores de datos 31 y 66, correspondientes a individuos con un pulso alto, que

no fuman, y que tienen pesos menores al promedio (116 y 136 libras).


8. Análisis de Conglomerados


8. ANÁLISIS DE CONGLOMERADOS

Se cuenta también con el análisis de conglomerados o clusters (técnica para

Agrupar los casos o elementos de una muestra en grupos con base en una o

Más variables).

Usar Análisis de componentes principales para ayudar a comprender la

estructura de datos y/o a formar un pequeño número de variables no

correlacionadas (por ejemplo para evitar multicolinealidad en la regresión).

El análisis de conglomerados agrupa individuos u objetos dentro de

conglomerados (―Clusters‖) de modo que los objetos en el mismo grupo tienen

características más similares que las que tienen versus otros grupos.

El ―Cluster Variate‖ es el conjunto de variables representando las

características utilizadas para comparar objetos en el análisis de

conglomerados. Es decir determina el ―carácter de los objetos‖. Es la única

técnica multivariada que no estima la ―variate‖ empíricamente sino que se

especifica por el investigador.

―Variate‖ es la combinación lineal de variables formadas en la técnica

multivariada al determinar empíricamente ponderaciones aplicadas al conjunto

de variables especificadas por el investigador.

El análisis de conglomerados también se ha denominado Análisis Q,

Construcción de tipología, Análisis de clasificación, y taxonomía numérica. Esto

debido al uso de estas técnicas en diversas áreas como la sicología, biología,

sociología, economía, ingeniería, y los negocios. El análisis de conglomerados

es parecido al análisis factorial en su propósito de evaluar la estructura. Pero el

análisis de conglomerados difiere del análisis factorial en que agrupa objetos,

mientras que el análisis factorial se enfoca principalmente a agrupar variables.


El análisis de conglomerados puede hacer reducciones de datos colectados de

cuestionarios en una población, a información relacionada con pequeños

subgrupos específicos. No tiene bases estadísticas sobre las que se puedan

realizar inferencias estadísticas de una muestra a una población, su uso es

principalmente como técnica exploratoria. Las soluciones no son únicas y se

pueden obtener diversas soluciones variando uno o más elementos del

procedimiento.

A. Conglomerados de observaciones

Usar conglomerados de observaciones para clasificar observaciones en

grupos, cuando inicialmente los grupos son desconocidos.

Este procedimiento utiliza un método jerárquico aglomerativo que inicia con

todas las observaciones separadas, cada una formando su propio

conglomerado. Como primer paso, las dos observaciones más cercanas se

unen. En un siguiente paso, ya sea que se adicione una tercera observación a

las primeras dos, o dos observaciones diferentes se unan en un conglomerado

(cluster) diferente. Este proceso continúa hasta que todos los conglomerados

se han unido en uno, sin embargo este último no es útil para propósitos de

clasificación.

¿Cómo funciona el análisis de conglomerados?

Se ilustra con un ejemplo con datos bivariados.

Suponer que un estudio de mercado trata de determinar segmentos de

mercado en base a los patrones de lealtad de marcas (V1) y tiendas (V2),

medidas del 0 al 10 en 7 personas (A-G).

Variables V1 V2

A 3 2

B 4 5

C 4 7

D 2 7

E 6 6

F 7 7


G 6 4

V1

V2

765432

7

6

5

4

3

2

G

F

E

D C

B

A

Scatterplot of V2 vs V1

Para acomodar en grupos se necesita contestar:

¿Cómo se mide la similaridad?, se puede hacer por correlación o

proximidad en un espacio de dos dimensiones.

¿Cómo se forman los conglomerados?

¿Cuántos grupos se formarán?

Ejemplo 1:

Para medir la similitud se evalúa la distancia euclidiana (línea recta) entre cada

par de observaciones (ver Tabla), entendiendo que las distancias pequeñas

indican similaridad, E y F son las más similares (1.414) y la A y F las más

diferentes (6.403).

Observ. A B C D E F G

A

B 3.162

C 5.099 2.000

D 5.099 2.828 2.000

E 5.000 2.236 2.236 4.123

F 6.403 3.606 3.000 5.000 1.414

Distancia euclidiana de A a B


G 3.606 2.236 3.606 5.000 2.000 3.162

Formamos conglomerados ahora con un Procedimiento jerárquico

moviéndose paso a paso para formar un rango completo de soluciones.

También se denomina Método Aglomerativo dado que los conglomerados se

forman con la combinación de conglomerados existentes.

La distancia entre observaciones es:

Paso Distancia Mínima entre observaciones

Par observado

Miembros en el conglomerado

No. de Conglomerado

Distancia Promedio dentro del Conglomerado

Sol. inicial A, B,C,D,E,F,G 7 0

1 1.414 E-F A, B,C,D,E-F,G 6 1.414

2 2.000 E-G A, B,C,D,E-F-G 5 2.192

3 2.000 C-D A, B,C-D,E-F-G 4 2.144

4 2.000 B-C A, B-C-D,E-F-G 3 2.234

5 2.236 B-E A,B-C-D-E-F-G 2 2.896

6 3.162 A=B A-B-C-D-E-F-G 1 3.420

Utilizando Minitab:

Stat > Multivariate Análisis > Cluster Observations

Distance Measured Euclidean Seleccionar Show Dendogram OK

Observations

Dis

tan

ce

7654321

3.16

2.11

1.05

0.00

Dendrogram with Single Linkage and Euclidean Distance


Observations

Sim

ilari

ty

GFEDCBA

50.61

67.08

83.54

100.00

Proceso de jerarquía de conglomerados

La similaridad s(ij) entre dos conglomerados i, j se determina como:

)/)(1(100)(max

dijdijs

Donde Dmax = 6.403 S(E,F) = 100(1 – 1.4142/ 6.403 ) = 77.913 S(C,D) = 100(1 – 2/6.403) = 68.7646 Cluster Analysis of Observations: V1, V2 Euclidean Distance, Single Linkage

Amalgamation Steps

Number

Number of obs.

of Similarity Distance Clusters New in new

Step clusters level level joined cluster cluster

1 6 77.9137 1.41421 5 6 5 2

2 5 68.7652 2.00000 5 7 5 3

3 4 68.7652 2.00000 3 4 3 2

4 3 68.7652 2.00000 2 3 2 3

5 2 65.0785 2.23607 2 5 2 6

6 1 50.6135 3.16228 1 2 1 7

Final Partition

Number of clusters: 1

Within Average Maximum

cluster distance distance

Number of sum of from from

observations squares centroid centroid

Cluster1 7 41.4286 2.23187 3.77154

Ejemplo 2:

Con los datos de HATCO se utilizan las siete percepciones de clientes para

identificar segmentos de clientes.


Paso 1: Objetivos del análisis de conglomerados

El objetivo es segmentar objetos (clientes) en grupos con percepciones

similares (X1 a X7). Una vez identificados, se pueden aplicar diferentes

estrategias para cada grupo.

X1 = Rapidez de entrega

X2 = Nivel de precio

X3 = Flexibilidad de precio

X4 = Imagen del fabricante

X5 = Servicio en general

X6 = Imagen de la fuerza de ventas

X7 = Calidad del producto

Paso 2. Diseño del análisis de conglomerados

Se identifica si no hay puntos aberrantes en los datos. Se selecciona la medida

de similaridad, en este caso la distancia euclidiana al cuadrado. Si se observa

multicolinealidad que afecte a las ponderaciones de las variables, entonces se

puede utilizar la distancia de Mahalanobis (D2). La estandarización de variables

no es importante dado que tienen valores parecidos.

Paso 3. Supuestos en el análisis de conglomerados

Para el análisis se considera que los datos de la muestra representan a la

población de clientes de HATCO. Queda pendiente el efecto de la

multicolinealidad en la ponderación implícita de los resultados.

Paso 4. Establecer conglomerados y evaluar el ajuste al modelo

Con Minitab:

1. Stat > Multivariate > Cluster observations

2. Variables or distance matrix X1 – X7

3. Linkage method Ward (minimiza la distancia dentro de los

conglomerados)

4. Distance Measure Squared Euclidean

5. Seleccionar Show Dendogram

6. Customize Label Y axis with Distances


7. OK


Cluster Analysis of Observations: X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 Squared Euclidean Distance, Ward Linkage

Amalgamation Steps

Number

Number of obs.



1 99 100.000 0.000 15 20 15 2

2 98 99.987 0.010 5 42 5 2

3 97 99.987 0.010 24 27 24 2

4 96 99.975 0.020 47 61 47 2

5 95 99.949 0.040 19 28 19 2

6 94 99.924 0.060 67 90 67 2

7 93 99.912 0.070 36 41 36 2

8 92 99.912 0.070 51 77 51 2

9 91 99.912 0.070 18 92 18 2

10 90 99.912 0.070 33 62 33 2

11 89 99.874 0.100 25 44 25 2

12 88 99.874 0.100 85 87 85 2

13 87 99.874 0.100 43 46 43 2

14 86 99.836 0.130 38 63 38 2

15 85 99.798 0.160 69 81 69 2

16 84 99.760 0.190 50 72 50 2

17 83 99.760 0.190 56 91 56 2

18 82 99.760 0.190 94 98 94 2

19 81 99.722 0.220 1 95 1 2

20 80 99.722 0.220 16 73 16 2

21 79 99.722 0.220 75 99 75 2

22 78 99.722 0.220 37 48 37 2

23 77 99.684 0.250 11 100 11 2

24 76 99.646 0.280 4 89 4 2

25 75 99.646 0.280 84 88 84 2

26 74 99.646 0.280 23 32 23 2

27 73 99.646 0.280 2 83 2 2

28 72 99.646 0.280 29 78 29 2

29 71 99.646 0.280 3 71 3 2

30 70 99.520 0.380 17 64 17 2

31 69 99.457 0.430 8 68 8 2

32 68 99.457 0.430 12 76 12 2

33 67 99.330 0.530 9 74 9 2

34 66 99.267 0.580 52 60 52 2

35 65 99.153 0.670 10 34 10 2

36 64 99.115 0.700 26 59 26 2

37 63 98.939 0.840 49 97 49 2

38 62 98.812 0.940 7 67 7 3

39 61 98.686 1.040 13 21 13 2

40 60 98.673 1.050 40 54 40 2

41 59 98.673 1.050 82 93 82 2

42 58 98.656 1.063 10 30 10 3

43 57 98.648 1.070 66 80 66 2

44 56 98.591 1.115 36 84 36 4

45 55 98.332 1.320 6 70 6 2

46 54 97.902 1.660 45 86 45 2

47 53 97.877 1.680 39 96 39 2

48 52 97.761 1.772 10 53 10 4

49 51 97.321 2.120 13 35 13 3

50 50 96.355 2.885 50 69 50 4

51 49 96.203 3.005 40 45 40 4

52 48 95.986 3.177 14 38 14 3

53 47 95.818 3.310 9 58 9 3

54 46 95.552 3.520 22 55 22 2

55 45 95.325 3.700 65 79 65 2

56 44 94.826 4.095 10 31 10 5


57 43 94.301 4.510 6 52 6 4

58 42 94.054 4.706 10 37 10 7

59 41 93.996 4.751 14 66 14 5

60 40 93.783 4.920 15 19 15 4

61 39 93.745 4.950 16 29 16 4

62 38 93.594 5.070 4 75 4 4

63 37 92.867 5.645 25 33 25 4

64 36 92.341 6.062 25 26 25 6

65 35 91.633 6.622 18 50 18 6

66 34 90.732 7.335 23 56 23 4

67 33 90.566 7.466 9 12 9 5

68 32 89.797 8.075 11 85 11 4

69 31 89.607 8.225 8 36 8 6

70 30 88.621 9.005 1 51 1 4

71 29 88.537 9.072 13 22 13 5

72 28 87.859 9.608 40 94 40 6

73 27 87.621 9.797 4 24 4 6

74 26 86.484 10.697 3 10 3 9

75 25 86.381 10.778 18 43 18 8

76 24 86.216 10.909 7 15 7 7

77 23 85.195 11.717 16 47 16 6

78 22 85.001 11.870 39 65 39 4

79 21 82.841 13.580 3 57 3 10

80 20 82.550 13.810 9 14 9 10

81 19 81.104 14.954 9 49 9 12

82 18 77.848 17.531 2 4 2 8

83 17 76.996 18.205 8 17 8 8

84 16 67.541 25.688 1 25 1 10

85 15 65.781 27.081 2 40 2 14

86 14 61.257 30.661 7 9 7 19

87 13 60.778 31.040 11 23 11 8

88 12 56.202 34.662 6 8 6 12

89 11 49.784 39.741 2 39 2 18

90 10 42.640 45.395 3 82 3 12

91 9 40.362 47.197 1 18 1 18

92 8 36.171 50.514 1 16 1 24

93 7 29.104 56.107 6 11 6 20

94 6 19.593 63.634 5 7 5 21

95 5 17.930 64.950 1 13 1 29

96 4 -15.826 91.665 2 6 2 38

97 3 -96.701 155.669 2 3 2 50

98 2 -135.645 186.489 1 5 1 50

99 1 -839.878 743.820 1 2 1 100

Final Partition






Cluster1 100 996.352 3.05166 5.27503


Observations

Dis

tan

ce

938 231641757483753303410713796596399894864554402 724894888 441366886 052706915 6322399758 322819149 0677425623359264425816972504643921 8782973168 0666338201 5587612974 974955223 5211361478 785100117751951

406.13

270.75

135.38

0.00


Observations

Dis

tan

ce

938231641757483753303410713796596399894864554402724894888441366886052706915632239975832

406.13

270.75

135.38

0.00



Observations

Dis

tan

ce

281914906774256233592644258169725046439218782973168066633820155876129749749552235211361478785100117751951

406.13

270.75

135.38

0.00


B. Conglomerado de observaciones por K-Medias

Esta opción se utiliza de manera similar al conglomerado de observaciones,

para clasificar observaciones en grupos cuando no se conocen al inicio. Este

procedimiento utiliza la formación de conglomerados no jerárquicos de

observaciones de acuerdo al algoritmo de MacQueen.1 El algoritmo funciona

mejor cuando hay suficiente información disponible para hacer asignaciones

iniciales de conglomerados adecuadas.

El procedimiento de conglomerado por K medias inicia al agrupar

observaciones en un número de conglomerados predefinidos.

1. Se evalúa cada observación, moviéndola al conglomerado más cercano, que

es el que tiene la distancia euclidiana más pequeña entre la observación y el

centroide del conglomerado.

1 R. Johnson and D. Wichern (1992). Applied Multivariate Statistical Methods, Third Edition. Prentice

Hall.


2. Cuando cambia el conglomerado, al ganar o perder alguna observación, se

recalcula el centroide del conglomerado.

3. El proceso se repite hasta que no haya más observaciones a mover dentro

de un conglomerado diferente. De esta manera, todas las observaciones están

en su conglomerado más cercano. De modo diferente a la clasificación

jerárquica, es posible que dos observaciones sean partidas en conglomerados

diferentes después de que hayan reunido.

El procedimiento de K medias trabaja mejor cuando se proporcionan puntos de

arranque para los conglomerados adecuados, hay dos formas de hacerlo:

Especificando un número de conglomerados o

Proporcionando una columna de partición inicial que contenga códigos

de grupos.

Suponiendo que se sabe que la partición final consistirá de tres grupos, y que

las observaciones 2, 5 y 9 pertenecen a esos grupos respectivamente. Para

proceder depende de si se especifica el número de conglomerados o se

proporciona una columna de partición.

Si se especifica el número de conglomerados, los datos deben

acomodarse de manera que las observaciones 2, 5 y 9 se encuentren al

principio de la hoja de trabajo, y especificar 3 como número de

conglomerados (Number of clusters).

Si se especifica una columna inicial de partición, no es necesario

acomodar los datos. En la columna de partición inicial de la hoja de

trabajo, poner los números de grupo 1, 2, y 3, para las observaciones 2,

5, y 9 respectivamente y cero para las otras observaciones.

La partición final depende en gran modo de la partición inicial utilizada, se

pueden intentar diferentes particiones.

Ejemplo:


Se atrapan, anestesian, y miden ciento cuarenta y tres osos negros. Las

mediciones son altura y longitud de la cabeza (Lenght, Head L), peso total y

peso de la cabeza (Weight, Weight H.), dimensión del cuello y del cachete

(Neck G., Chest G.).

Se desea clasificar los 143 osos, como pequeños, de tamaño medio, o

grandes. Se sabe que el segundo, setenta y ochoavo, y quincuagésimo (15)

oso de la muestra es típico de esas categorías respectivas.

Se crea la columna de partición inicial con los tres osos semilla, designados

como: 1 = pequeño, 2= tamaño medio y 3= grande y los remanentes osos

como cero (desconocidos) para indicar membresía inicial del conglomerado.

Después se realiza un análisis de conglomerado por K medias y se guardan las

membresías del conglomerado en cada columna denominada BearSize.

Los datos se muestran a continuación:

No. Head.L Head.W Neck.G Length Chest.G Weight BearSize No. Head.L Head.W Neck.G Length Chest.G Weight BearSize

1 10 5 15 45 23 65 1 73 15.5 7 28 76.5 55 446 3

2 11 6.5 20 47.5 24 70 1 74 9 5 15 46 27 62 1

3 12 6 17 57 27 74 1 75 14.5 7 23 61.5 44 236 2

4 12.5 5 20.5 59.5 38 142 2 76 13.5 8.5 23 63.5 44 212 2

5 12 6 18 62 31 121 2 77 18.5 8.5 23.5 67.5 42 204 3

6 11 5.5 16 53 26 80 1 78 15 7 26 65 40 224 2

7 12 5.5 17 56 30.5 108 1 79 10 4 15.5 48 26 60 1

8 16.5 9 28 67.5 45 344 3 80 10 5 15 41 26 64 1

9 16.5 9 27 78 49 371 3 81 13 7 21 59 34 146 2

10 15.5 8 31 72 54 416 3 82 15.5 6 20.5 60 35 152 2

11 16 8 32 77 52 432 3 83 15.5 9 29 79 50 400 3

12 17 10 31.5 72 49 348 3 84 13.5 7 24.5 62 41 248 2

13 15.5 7.5 32 75 54.5 476 3 85 14.5 6.5 26 70.5 41 278 3

14 17.5 8 32 75 55 478 3 86 15 7 26.5 69 46.5 297 3

15 15 9 33 75 49 386 3 87 16 9 31.5 75 47 350 3

16 15.5 6.5 22 62 35 166 2 88 11.5 5 17 53 30.5 114 1

17 13 7 21 70 41 220 2 89 11.5 5 15 52.5 28 76 1

18 15 6.5 28 78 45 334 3 90 11 4.5 13 46 23 48 1

19 15 7.5 26.5 73.5 41 262 3 91 12 6 19 57 34.5 148 2

20 13.5 8 27 68.5 49 360 3 92 13.5 5 17 58 29 114 1

21 15.5 7 29.3 76 53 416 3 93 13.5 5 17 58 29.5 116 1

22 13.5 7 20 64 38 204 2 94 12.5 7.5 19 60 34 158 2

23 12.5 6 18 58 31 144 2 95 14 6.5 21 63 35 198 2

24 12 8.3 18.5 60.3 32 122 2 96 12 5 19 58.5 33.5 114 1

25 16 9 29 73 44 332 3 97 13 6 17.5 61 33 135 2


26 9 4.5 13 37 19 34 1 98 13.5 5 17 58 29 130 1

27 12.5 4.5 10.5 63 32 140 1 99 12.5 6.5 18 60 30 130 2

28 14 5 21.5 67 37 180 2 100 13.5 6.5 22 64 36 190 2

29 11.5 5 17.5 52 29 105 1 101 14.5 6.5 21.5 64 37 180 2

30 13 8 21.5 59 33 166 2 102 12 6.5 18.5 55.5 27.5 110 1

31 13.5 7 24 64 39 204 2 103 13 6 19.5 61.5 31 140 2

32 14.5 7.5 26.5 66 40 250 3 104 13.5 6 20 63.5 33 144 2

33 9 4.5 12 36 19 26 1 105 13.5 6 20 64 35 160 2

34 13 6 19 59 30 120 2 106 13.5 6.5 22 66.5 35 184 2

35 13 6 19 59 30 114 2 107 11 5 15.5 48.5 25.5 79 1

36 13.5 6.5 23 66.5 38 210 2 108 14.5 6 22.5 67 40 216 2

37 16 9.5 30 72 48 436 3 109 15 8 26.5 71 42.5 302 3

38 12.5 5 19 57.5 32 125 1 110 12 6 19 53.5 32 122 1

39 12.5 6 19 57 34 152 2 111 17 9 29.5 70 45.5 322 3

40 12.5 6.5 19.5 61 36 176 2 112 15.5 8 27 70 47 308 3

41 13 5 20 61 33 132 2 113 15.5 8 20 63 33 154 2

42 13.5 5 18.5 57 35 180 2 114 12 6 18 66.5 34 146 2

43 13 5 17 54 28 90 1 115 13 5.5 19.5 64 35 162 2

44 13 5.5 20.5 57.8 34.5 140 2 116 17.5 8 30 83 49 396 3

45 10 4 13 40 23 40 1 117 13 5 18 55.5 30.5 122 1

46 16 6 24 63 42 220 2 118 13 5.5 19.5 55 32.5 126 2

47 10 4 13.5 43 23 46 1 119 13 6 20.5 57 34 146 2

48 11 5 15 45 25 60 1 120 13 5.5 19.5 61.5 37 156 2

49 13.5 6 22 66.5 34 154 2 121 12.5 6 19.5 58.5 32 142 2

50 13 5.5 17.5 60.5 31 116 2 122 10 4.5 10 43.5 24 29 1

51 13 6.5 21 60 34.5 182 2 123 16.5 8.5 29.5 69 49.5 348 3

52 14.5 5.5 20 61 34 150 2 124 17 8.5 30.5 79.5 48.5 368 3

53 14 6.5 26 65 39 180 2 125 12 5.5 18 54.5 32 116 1

54 13 6 20 63 35 172 2 126 13 6 19 59 34 130 2

55 13.5 6 21 59.5 32.5 150 2 127 14 7 21 66.5 37 160 2

56 11 4 16 50.5 28 90 1 128 13 6.5 20.5 60 36.5 154 2

57 9.5 4.5 16 40 26 65 1 129 16 7.5 28 73 45 316 3

58 13.5 6.5 28 64 48 356 3 130 13.5 5.5 19.5 61 35 158 2

59 14.5 6.5 26 65 48 316 3 131 12.5 5.5 19 56 32 120 1

60 13.5 5.5 19 60.5 34 148 2 132 15.5 8 30.5 75 54 514 3

61 11.5 5.5 17.5 52.5 30 104 1 133 15.5 7.5 25.5 73.5 43 324 3

62 11 5 17 49 29 94 1 134 14.5 7 22 67.5 38 196 2

63 11.5 5 17 47 29.5 86 1 135 12.5 8.5 18 57.3 32.8 140 2

64 13 7 21 59 35 150 2 136 12 5 18 56 32.5 114 1

65 13.5 6 21 64 35 166 2 137 12 5.5 15 51 24 82 1

66 16.5 6.5 27 72 44.5 270 3 138 13 6 22 61 40 230 2

67 14 5.5 24 65 39 202 2 139 15.5 6 23 69 42.5 290 2

68 13.5 6.5 21.5 63 40 202 2 140 15.5 6 23 69 42.5 289 2

69 15.5 7 28 70.5 50 365 3 141 12 4 17.5 59 28.5 128 1

70 11.5 6 16.5 48 31 79 1 142 13.5 6 20 62 32.5 156 2

71 11.5 5 17 50.5 28 90 1 143 16.5 6.5 30 72 49 398 3


1 Open worksheet BEARS.MTW.


2 Para crear la columna de partición inicial, seleccionar Calc > Make

Patterned Data > Simple Set of Numbers.

3 En Store patterned data in, nombrar Inicial a la columna de

almacenamiento.

4 En From first value y From last value, poner 0.

5 En List each value, poner 143. Click OK.

6 Ir a la ventana de datos y poner 1, 2, y 3 en los renglones 2, 78 y 15

respectivamente en la columna Inicial.

7 Seleccionar Stat > Multivariate > Cluster K-Means.

8 En Variables, seleccionar 'Head.L'-Weight.

9 En Specify Partition by, seleccionar Initial partition column e Inicial.

10 Seleccionar Standardize variables.

11 Seleccionar Storage. en Cluster membership column, seleccionar

BearSize.

12 Click OK en cada uno de los cuadros de diálogo


Session window output

K-means Cluster Analysis: Head.L, Head.W, Neck.G, Length,

Chest.G, Weight

Standardized Variables

Final Partition

K medias clasifica a los 143 osos de la forma siguiente:






Cluster1 41 63.075 1.125 2.488

Cluster2 67 78.947 0.997 2.048

Cluster3 35 65.149 1.311 2.449

Cluster Centroids

Grand


Variable Cluster1 Cluster2 Cluster3 centroid

Head.L -1.0673 0.0126 1.2261 -0.0000

Head.W -0.9943 -0.0155 1.1943 0.0000

Neck.G -1.0244 -0.1293 1.4476 -0.0000

Length -1.1399 0.0614 1.2177 0.0000

Chest.G -1.0570 -0.0810 1.3932 -0.0000

Weight -0.9460 -0.2033 1.4974 -0.0000

Distances Between Cluster Centroids

Cluster1 Cluster2 Cluster3

Cluster1 0.0000 2.4233 5.8045

Cluster2 2.4233 0.0000 3.4388

Cluster3 5.8045 3.4388 0.0000

En general, un conglomerado con una suma de cuadrados pequeña es más

compacto que otro con una suma más grande. El centroide es el vector de

medias de variables de las observaciones en ese conglomerado y se usa como

el punto central del conglomerado

La columna BearSize contiene la designación del conglomerado.


Ejemplo de HATCO:

De Minitab con soluciones por grupos de Conglomerados:

1. Stat > Multivariate > Cluster K Means


3. Number of clusters 2 o 4

4. OK

Solución por dos conglomerados

K-means Cluster Analysis: X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 Final Partition






Cluster1 52 315.799 2.383 4.285

Cluster2 48 294.132 2.368 4.279

Cluster Centroids Grand

Variable Cluster1 Cluster2 centroid

X1 4.3827 2.5750 3.5150

X2 1.5808 3.2125 2.3640

X3 8.8615 6.8458 7.8940

X4 4.9250 5.5979 5.2480

X5 2.9577 2.8708 2.9160

X6 2.5250 2.8167 2.6650

X7 5.9038 8.1271 6.9710


Cluster1 Cluster2

Cluster1 0.0000 3.9347

Cluster2 3.9347 0.0000

En esta solución se observa que en el grupo o cluster 1 versus cluster 2, X1 y

X3 son mayores.

En el caso de las variables X2, X4, X6 y X7 tienen valores más altos en el

cluster 2 que en el cluster 1. X5 no muestra diferencia significativa. Por tanto se

sugieren dos segmentos, evaluados desde un punto de vista conceptual y

práctico.

Corriendo con SPSS se tiene:


1. Analyze > Clasify > K Jeans Clusters

2. Variables X1 – X7

3. Number of clusters 2

4. OK

ANOVA

Cluster Error F Sig.

Mean Square df Mean Square df

X1 81.563 1 .930 98 87.717 .000

X2 66.457 1 .766 98 86.753 .000

X3 101.414 1 .923 98 109.816 .000

X4 11.302 1 1.178 98 9.596 .003

X5 .188 1 .568 98 .331 .566

X6 2.123 1 .579 98 3.670 .058

X7 123.372 1 1.280 98 96.404 .000

The F tests should be used only for descriptive purposes because the clusters have been chosen to maximize the differences among cases in different clusters. The observed significance levels are not corrected for this and thus cannot be interpreted as tests of the hypothesis that the cluster means are equal.

Solución por cuatro conglomerados

K-means Cluster Analysis: X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 Final Partition






Cluster1 34 155.126 2.100 2.922

Cluster2 29 123.693 2.012 3.211

Cluster3 14 54.234 1.833 3.051

Cluster4 23 109.941 2.031 3.947

Cluster Centroids

Grand

Variable Cluster1 Cluster2 Cluster3 Cluster4 centroid

X1 4.1441 2.0241 3.6143 4.4043 3.5150

X2 1.5794 2.7655 4.1286 1.9435 2.3640

X3 8.5765 7.0103 5.9500 9.1826 7.8940

X4 4.4176 5.1621 6.0643 6.0870 5.2480

X5 2.8353 2.3655 3.8429 3.1652 2.9160

X6 2.0882 2.5552 3.1643 3.3522 2.6650

X7 5.3147 8.2690 7.9500 7.1870 6.9710


Cluster1 Cluster2 Cluster3 Cluster4

Cluster1 0.0000 4.2514 5.0504 2.9268

Cluster2 4.2514 0.0000 2.9967 3.7896

Cluster3 5.0504 2.9967 0.0000 4.1141

Cluster4 2.9268 3.7896 4.1141 0.0000


El Cluster 3 es mucho más compacto que el cluster 1, como se indica por la

suma de cuadrados.

En este caso se muestra en forma más clara un grupo de patrones con valores

altos y otro con valores bajos.

Corriendo con SPSS se tiene:

5. Analyze > Clasify > K Jeans Clusters

6. Variables X1 – X7

7. Number of clusters 4

OK

ANOVA

Cluster Error F Sig.

Mean Square df Mean Square df

X1 37.108 3 .639 96 58.055 .000

X2 28.530 3 .583 96 48.960 .000

X3 37.115 3 .839 96 44.224 .000

X4 15.527 3 .835 96 18.598 .000

X5 7.487 3 .348 96 21.509 .000

X6 8.242 3 .355 96 23.204 .000

X7 53.222 3 .928 96 57.330 .000

The F tests should be used only for descriptive purposes because the clusters have been chosen to maximize the differences among cases in different clusters. The observed significance levels are not corrected for this and thus cannot be interpreted as tests of the hypothesis that the cluster means are equal.

C. Conglomerados por variables

Usar conglomerados por variables para clasificar variables en grupos, cuando

son inicialmente desconocidos. Una razón puede ser reducir su número. Esta

técnica puede dar nuevas variables que sean más comprensibles que las que

proporciona el análisis de componentes.

El procedimiento es jerárquico e inicia con todas las variables por separado,

cada una formando su propio conglomerado. En el primer paso, se unen las

dos variables más cercanas. Después, ya sea que una tercera variable se

agregue a las dos primeras, o se unan en un conglomerado diferente. El

proceso continua hasta que todos lo conglomerados se unen en uno.


Ejemplo:

Se realiza un estudio para determinar el efecto de largo plazo de un cambio en

el ambiente en la presión arterial. Los sujetos son 39 peruanos de alrededor de

21 años que han migrado de las montañas de los Andes a ciudades más

grandes con menor altura.

Se registra la edad (Age), años desde la migración (Years), peso en Kgs.

(Weight), estatura en mm (Height), mentón, antebrazo, y pierna en mm (Chin,

Forearm, Calf), pulso en latidos por minuto (Pulse), y presión sistólica y

diastólica (Systol, Diastol).

El objetivo es reducir el número de variables al combinar variables con

características similares. Se usa la distancia de correlación, enlace promedio y

dendograma.

Los datos son los siguientes:

Peru.Mtw

Age Years Weight Height Chin Forearm Calf Pulse Systol Diastol

21 1 71 1629 8 7 12.7 88 170 76

22 6 56.5 1569 3.3 5 8 64 120 60

24 5 56 1561 3.3 1.3 4.3 68 125 75

24 1 61 1619 3.7 3 4.3 52 148 120

25 1 65 1566 9 12.7 20.7 72 140 78

27 19 62 1639 3 3.3 5.7 72 106 72

28 5 53 1494 7.3 4.7 8 64 120 76

28 25 53 1568 3.7 4.3 0 80 108 62

31 6 65 1540 10.3 9 10 76 124 70

32 13 57 1530 5.7 4 6 60 134 64

33 13 66.5 1622 6 5.7 8.3 68 116 76

33 10 59.1 1486 6.7 5.3 10.3 72 114 74

34 15 64 1578 3.3 5.3 7 88 130 80

35 18 69.5 1645 9.3 5 7 60 118 68


35 2 64 1648 3 3.7 6.7 60 138 78

36 12 56.5 1521 3.3 5 11.7 72 134 86

36 15 57 1547 3 3 6 84 120 70

37 16 55 1505 4.3 5 7 64 120 76

37 17 57 1473 6 5.3 11.7 72 114 80

38 10 58 1538 8.7 6 13 64 124 64

38 18 59.5 1513 5.3 4 7.7 80 114 66

38 11 61 1653 4 3.3 4 76 136 78

38 11 57 1566 3 3 3 60 126 72

39 21 57.5 1580 4 3 5 64 124 62

39 24 74 1647 7.3 6.3 15.7 64 128 84

39 14 72 1620 6.3 7.7 13.3 68 134 92

41 25 62.5 1637 6 5.3 8 76 112 80

41 32 68 1528 10 5 11.3 60 128 82

41 5 63.4 1647 5.3 4.3 13.7 76 134 92

42 12 68 1605 11 7 10.7 88 128 90

43 25 69 1625 5 3 6 72 140 72

43 26 73 1615 12 4 5.7 68 138 74

43 10 64 1640 5.7 3 7 60 118 66

44 19 65 1610 8 6.7 7.7 74 110 70

44 18 71 1572 3 4.7 4.3 72 142 84

45 10 60.2 1534 3 3 3.3 56 134 70

47 1 55 1536 3 3 4 64 116 54

50 43 70 1630 4 6 11.7 72 132 90

54 40 87 1542 11.3 11.7 11.3 92 152 88


1 Open worksheet PERU.MTW.

2 Choose Stat > Multivariate > Cluster Variables.

3 In Variables or distance matrix, enter Age-Diastol.

4 For Linkage Method, choose Average.

5 Check Show dendrogram. Click OK.

Los resultados son los siguientes: Cluster Analysis of Variables: Age, Years, Weight, Height, Chin, Forearm, ... Correlation Coefficient Distance, Average Linkage

Amalgamation Steps

En cada paso se unen dos conglomerados: Number

Number of obs.



1 9 86.7763 0.264474 6 7 6 2

2 8 79.4106 0.411787 1 2 1 2

3 7 78.8470 0.423059 5 6 5 3

4 6 76.0682 0.478636 3 9 3 2

5 5 71.7422 0.565156 3 10 3 3

6 4 65.5459 0.689082 3 5 3 6

7 3 61.3391 0.773218 3 8 3 7


8 2 56.5958 0.868085 1 3 1 9

9 1 55.4390 0.891221 1 4 1 10

Variables

Sim

ilari

ty

HeightPulseCalfForearmChinDiastolSystolWeightYearsAge

55.44

70.29

85.15

100.00

Dendrogram with Average Linkage and Correlation Coefficient Distance

El dendograma muestra la información de los resultados del proceso de

aglomeración en forma de diagrama de árbol, de aquí se sugiere que las

algunas variables son similares, y se pueden combinar ya sea promediando

sus valores o calculando totales:

Chin, Forearm, Calf son similares y pueden combinarse.

Age y Year son similares pero se investigará la relación. Si los sujetos

tienden a migrar a cierta edad entonces las variables pueden contener

información similar y pueden combinarse.

El peso y las presiones son similares, sin embargo se decide mantener

el peso separado y unir las presiones en una.

Ejemplo con Hatco:

Investigando ahora la agrupación de variables se tiene:

En Minitab:

1. Stat > Multivariate > Cluster variables



3. Linkage method Ward (minimiza la distancia dentro de los

conglomerados)

4. Distance Measure Correlation

5. Seleccionar Show Dendogram

6. Customize Label Y axis with Distances

7. OK


Cluster Analysis of Variables: X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 Correlation Coefficient Distance, Ward Linkage

Amalgamation Steps

Number

Number of obs.



1 6 89.4112 0.21178 4 6 4 2

2 5 80.5950 0.38810 1 5 1 2

3 4 73.4873 0.53025 2 7 2 2

4 3 57.8288 0.84342 1 3 1 3

5 2 39.4434 1.21113 2 4 2 4

6 1 -4.3342 2.08668 1 2 1 7

Variables

Dis

tan

ce

X6X4X7X2X3X5X1

2.09

1.39

0.70

0.00

Dendrogram with Ward Linkage and Correlation Coefficient Distance

Se identifican conglomerados en las variables X1 y X5; X2 y X7; X4 y X6,

después entre X1, X5, X3 y X2, X7, X4 y X6 y al final un solo conglomerado.

Paso 5. Interpretación de los conglomerados


Como resultado de un análisis factorial se tiene:

Instrucciones en Minitab:

1. Stat > Multivariate > Factor analysis

2. Variables X1 – X7 Method of Extraction Maximum likelihood

3. Rotation Varimax

4. Graphs Scree Plot y Loading Plot for first two factors

5. OK

Factor Analysis: X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 Maximum Likelihood Factor Analysis of the Correlation Matrix

* NOTE * Heywood case

Unrotated Factor Loadings and Communalities

Variable Factor1 Factor2 Communality

X1 0.969 0.177 0.971

X2 -0.181 -0.984 1.000

X3 0.436 0.400 0.350

X4 0.133 -0.301 0.108

X5 0.752 -0.660 1.000

X6 0.133 -0.214 0.063

X7 -0.424 -0.400 0.340

Variance 1.9431 1.8896 3.8327

% Var 0.278 0.270 0.548

Rotated Factor Loadings and Communalities

Varimax Rotation


X1 -0.894 0.414 0.971

X2 0.714 0.700 1.000

X3 -0.587 -0.075 0.350

X4 0.065 0.323 0.108

X5 -0.235 0.972 1.000

X6 0.015 0.251 0.063

X7 0.577 0.082 0.340

Variance 2.0468 1.7859 3.8327

% Var 0.292 0.255 0.548

Factor Score Coefficients

Variable Factor1 Factor2

X1 0.000 -0.000

X2 1.132 0.273

X3 0.000 -0.000

X4 -0.000 -0.000

X5 -0.815 0.832

X6 -0.000 -0.000

X7 -0.000 0.000


First Factor

Se

co

nd

Fa

cto

r

0.50.0-0.5-1.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

X7

X6

X5

X4

X3

X2

X1

Loading Plot of X1, ..., X7

Para las correlaciones en Minitab:

1. Stat > Basic statistics > Correlations

2. Variables X1 – X7 Show P values

3. OK

Correlations: X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 X1 X2 X3 X4 X5 X6

X2 -0.349

0.000

X3 0.476 -0.472

0.000 0.000

X4 0.050 0.272 -0.095

0.618 0.006 0.347

X5 0.612 0.513 0.064 0.299

0.000 0.000 0.524 0.003

X6 0.077 0.186 -0.015 0.788 0.241

0.446 0.064 0.880 0.000 0.016

X7 -0.483 0.470 -0.407 0.200 -0.055 0.177

0.000 0.000 0.000 0.046 0.586 0.078

Cell Contents: Pearson correlation

P-Value

Al definir los factores que son las dimensiones de las variables que se

correlacionan significativamente, se observan dos factores. El primer factor

contiene a X1, X2, X3 y X7 y el segundo factor contiene a los aspectos de

imagen X4 y X6. En el primer factor X2 y X7 se relacionan inversamente con


X1 y X3, es decir que mientras se incrementan unas, las otras bajan. Esto

sugiere que altos valores en X1 y X3 implican valores bajos en X2 y X7. O sea

que definir conglomerados sólo con base en valores altos o bajos es

inapropiado.

De la tabla ANOVA para dos conglomerados se observa que solo X5 – Servicio

general no es significativa.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

1

2

De la gráfica de centros de conglomerados se observa que X4 y X6 tienen

valores mayores en el conglomerado 2 que en el 1 y X1, X3 tienen valores

mayores en el conglomerado 1 que en el 2 y X2 y X7 son menores.

Para el caso de 4 conglomerados, el 1 se divide en 1 y 4 y el 2 se divide en 2 y

3 se tiene:

0

2

4

6

8

10

12

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

1

2

3

4

Cluster


En general la aplicación del análisis de conglomerados es un arte más que una

ciencia y se deben aplicar criterios objetivos y subjetivos adecuados.


9. ANÁLISIS DE COMPONENTES

PRINCIPALES


9. ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES

Introducción

El objetivo del análisis es tomar p variables X1, X2, …., Xp algunas de ellas

correlacionadas entre sí y encontrar combinaciones de las mismas para

producir índices Z1, Z2, ….., Zp que sean no correlacionadas. Z1 muestra la

mayor parte de la varianza, seguida de Z2, etc. Se trata de reducir el número

de variables X por un pequeño grupo de variables Z.

Un ejemplo clásico2 es tratar de caracterizar criminales con base en siete

dimensiones corporales. Las dimensiones utilizadas fueron: longitud del dedo

izquierdo, longitud de la pierna izquierda, longitud del pie izquierdo, longitud de

la cabeza, ancho de la cabeza, ancho y alto de la cara.

Como resultados del análisis3 se determinaron tres componentes no

correlacionados de esas mediciones, en conjunto acumulaban el 84% de la

varianza total de las siete variables originales. Cada uno de los componentes

es una combinación lineal de las siete variables originales.

El primero incluye el 54% de la varianza total y se refiere a las

dimensiones generales.

El segundo contiene el 25% de la varianza total representa el contraste

entre el tamaño de la cabeza y el resto del cuerpo.

El tercer tiene el 9% de la varianza y contrasta la longitud de la cabeza

con su ancho.

Los coeficientes se muestran a continuación:

Coeficientes

Variables Primero Segundo Tercero

Long. Cabeza 0.538 -0.447 -0.712

Ancho cabeza 0.413 -0.784 0.206

Ancho cara 0.575 -0.628 0.309

Long. Dedo izq. 0.853 0.288 0.056

Long. Brazo izq. 0.888 0.339 0.030

Pie izquierdo 0.878 0.219 0.048

2 Maxwell, A.E., Multivariate Analysis in Behavioral Research, Chapman and Hall, Londres, 1977.

3 Ibidem


Estatura 0.849 0.220 0.005

La posibilidad de caracterizar a los criminales con sus dimensiones motivo al

desarrollo de los análisis multivariados.

El método de componentes principales

Dada la matriz X que representa n observaciones en cada una de las p

variables, X1, X2, X3, …., Xp, el propósito del análisis de componentes

principales consiste en determinar una nueva variable Z1 que pueda ser

utilizada para acumular la varianza de las p X variables. El componente

principal Z1 está dado por la combinación lineal de las p X variables por:

ppXvXvXvZ

12211111.....

Para determinar los coeficientes de Z1 se usa el método de mínimos

cuadrados, donde se trata de minimizar la suma de las desviaciones al

cuadrado de:

p

j

n

i ijijxx

1 1

2)ˆ(

Donde:

pjnix

zax

xvz

ij

ijij

ijji

,....,2,1;,....,2,1

ˆ 11

11

Denota las observaciones en X.

En notación matricial se trata de determinar los vectores (p x1) v1 y a1, donde

z1 (n x 1) = Xv1 y X = z1a’1 tal que )ˆ()'ˆ( XXXXtr sea minimizada.

Para la solución de este problema se utilizan los valores característicos o

Eigenvalores, dados por:

0)'( vIXX


Como la magnitud de v es arbitraria, v’v=1. Por tanto la solución al problema

son los vectores característicos o eigenvalores j, j = 1,2,3,…., s y los vectores

característicos correspondientes vj, j = 1,2,3,…., s, donde el número de

soluciones de s, corresponde al rango de (X’X).

Ejemplo:

Dada la matriz

22

30

2

34

215

02

156

A

Los valores característicos o Eigenvalores se obtienen al resolver la ecuación

del determinante: | A - I | = 0, lo cual da en este caso:

0

)2(2

30

2

3)4(

215

02

15)6(

El polinomio resultante es:

0)2(2

15)6(

2

3)2)(4)(6(

Con sus raíces características o eigenvalores = 1, 3 y 8.

Los eigenvectores correspondientes se obtienen resolviendo la ecuación

(A -I)v = 0 para cada uno de los eigenvalores . Para el caso de = 3 se

tiene:


1

0

)32(2

30

2

3)34(

215

02

15)36(

2

3

2

2

2

1

3

2

1

vvv

v

v

v

La restricción para que la solución sea única es que:

Proporciona el eigenvector:

209

103

2

1'v

Determinado los otros eigenvectores se tiene la matriz V.

701

209

2815

3512

103

145

149

2

1

283

V

En Matlab se tiene:

To get started, select "MATLAB Help" from the Help menu.

>> A=[6 sqrt(15/2) 0; sqrt(15/2) 4 sqrt(3/2); 0 sqrt(3/2) 2]

A =

6.0000 2.7386 0

2.7386 4.0000 1.2247

0 1.2247 2.0000

>> Lamda=eig(A)

Lamda =

1.0000

3.0000

8.0000

>> [V,D]=eig(A)

V =

0.3273 0.5000 -0.8018

-0.5976 -0.5477 -0.5855

0.7319 -0.6708 -0.1195

D =

1.0000 0 0

0 3.0000 0


0 0 8.0000

>>

Los s eigenvectores y sus correspondientes eigenvalores proporcionan s

soluciones para el componente principal deseado Z1. La solución que

corresponde al mínimo requerido emplea el eigenvalor más grande 1 y su

vector correspondiente v1.

En particular var(Zi) = i y las constantes ai1, ai2, …, aip son los elementos del

eigenvector correspondiente.

Los pasos para hacer un análisis de componentes principales son los

siguientes:4

1. Iniciar codificando las variables X1, X2, ….., Xp a que tnegan media cero y

desviación estándar uno.

2. Calcular la matriz de covarianza C. Es la matriz de correlación después del

paso 1.

1...........

..............................

...........1

..................1

21

221

112

pp

p

p

cc

cc

cc

C

Donde cada Cij = Cji es la correlación entre Xi y Xj. De esta manera la suma de

los términos diagonales, y la suma de los eigenvalores es igual al número de

variables p.

3. Encontrar los eigenvalores 1, 2, ……, p y los correspondientes

eignevectores a1, a2, …… , ap. Los coeficientes del i-ésimo componente

principal están dados por ai mientras que la varianza es i.

4. Descartar cualquier componente que solo contenga una pequeña parte de la

varianza de los datos (menor o igual a uno). Por ejemplo, iniciando en 20

variables, puede ser que los primeros tres componentes tengan el 90% de la

varianza total. Bajo esta base, se pueden ignorar los otros 17 componentes.

4 Bryan, F.J. Manly, Multivariate Statistical Methods, Chapman and Hall, Londres, 1986


Ejemplo:

Los datos de las dimensiones de 49 pájaros se muestran a continuación:

Tabla y corrida Minitab

Los eigenvalores de esta matriz son: 3.616, 0.532, 0.386, 0.302 y 0.164, que

suman 5.000, que es igual a la suma de los términos de la diagonal de la matriz

C.

De la tabla de eigenvectores, se obtienen los coeficientes de los componentes

principales.

El eigenvalor de un componente principal, indica la varianza de un total de

5.000. Así, para el primer componente principal se tiene:

(3.616/5.000)*100%=72.3%; el segundo tiene 10.6%; el tercero 7.7%, etc. De

manera clara, el primer componente es el más importante.

El primer componente principal es:

543211398.0471.0451.0462.0452.0 XXXXXZ

Donde X1 a X5 son las variables estandarizadas. Este es un índice del tamaño

de los pájaros. De modo que el 72.3% de la varianza de los datos está

relacionada con diferencias en los tamaños.

El segundo componente principal es:

543212877.0185.0325.0300.0051.0 XXXXXZ

En este caso contrasta X2, X3 y X4 contra X5, de modo que Z2 será alta si

(X2,X3,X4) son altas y (X5) es baja, por tanto puede considerarse que

representa la diferencia de forma entre los pájaros.

Para calcular Z1, primero se estandarizan las Xi como sigue:

X1 = (x1 – Media x1)/ desv. Estad. x1 = (156 – 157.98) / 3.654

X2 = (245 – 241.327)/5.068 = 0.725

X3 = (31.6 – 31.459)/0.795 = 0.177


X4 = (18.5 – 18.469)/0.564 = 0.055

X5 = (20.5 – 20.827)/0.991 = -0.330

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones para Z1 y Z2 se tiene:

Z1 = 0.064

Z2 = 0.602

De esta misma manera se pueden calcular los otros componentes.

Los valores de las coordenadas Z correspondientes a los diferentes pájaros se

muestra a continuación.

En la figura se puede observar que los pájaros con valores extremos en

dimensiones Z1 tienen menos probabilidades de sobrevivir, lo mismo sucede

para valores altos de Z2.


Ejemplo: alimentos en las principales ciudades europeas:

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9

País RMEAT WMEAT EGGS MILK FISH CERL STARCH NUTS FR-VEG

1 10.1 1.4 0.5 8.9 0.2 42.3 0.6 5.5 1.7

2 8.9 14 4.3 19.9 2.1 28 3.6 1.3 4.3

3 13.5 9.3 4.1 17.5 4.5 26.6 5.7 2.1 4

4 7.8 6 1.6 8.3 1.2 56.7 1.1 3.7 4.2

5 9.7 11.4 2.8 12.5 2 34.3 5 1.1 4

6 10.6 10.8 3.7 25 9.9 21.9 4.8 0.7 2.4

7 8.4 11.6 3.7 11.1 5.4 24.6 6.5 0.8 3.6

8 9.5 4.9 2.7 33.7 5.8 26.3 5.1 1 1.4

9 18 9.9 3.3 19.5 5.7 28.1 4.8 2.4 6.5

10 10.2 3 2.8 17.6 5.9 41.7 2.2 7.8 6.5

11 5.3 12.4 2.9 9.7 0.3 40.1 4 5.4 4.2

12 13.9 10 4.7 25.8 2.2 24 6.2 1.6 2.9

13 9 5.1 2.9 13.7 3.4 36.8 2.1 4.3 6.7

14 9.5 13.6 3.6 23.4 2.5 22.4 4.2 1.8 3.7

15 9.4 4.7 2.7 23.3 9.7 23 4.6 1.6 2.7

16 6.9 10.2 2.7 19.3 3 36.1 5.9 2 6.6

17 6.2 3.7 1.1 4.9 14.2 27 5.9 4.7 7.9

18 6.2 6.3 1.5 11.1 1 49.6 3.1 5.3 2.8

19 7.1 3.4 3.1 8.6 7 29.2 5.7 5.9 7.2

20 9.9 7.8 3.5 24.7 7.5 19.5 3.7 1.4 2

21 13.1 10.1 3.1 23.8 2.3 25.6 2.8 2.4 4.9

22 17.4 5.7 4.7 20.6 4.3 24.3 4.7 3.4 3.3

23 9.3 4.6 2.1 16.6 3 43.6 6.4 3.4 2.9

24 11.4 12.5 4.1 18.8 3.4 18.6 5.2 1.5 3.8

25 4.4 5 1.2 9.5 0.6 55.9 3 5.7 3.2


Para un análisis de correlaciones se tiene: 1. Stat > Basic statistics > Correlation

2. Variables X1, X2, X3, X4, X6, X7

3. Display p values

4. OK


Los resultados son los siguientes:

Correlations: RMEAT, WMEAT, EGGS, MILK, FISH, CERL, STARCH, NUTS, FR-VEG RMEAT WMEAT EGGS MILK FISH CERL STARCH NUTS

WMEAT 0.153

0.465

EGGS 0.586 0.620

0.002 0.001

MILK 0.503 0.281 0.576

0.010 0.173 0.003

FISH 0.061 -0.234 0.066 0.138

0.772 0.260 0.755 0.511

CERL -0.500 -0.414 -0.712 -0.593 -0.524

0.011 0.040 0.000 0.002 0.007

STARCH 0.135 0.314 0.452 0.222 0.404 -0.533

0.519 0.127 0.023 0.285 0.045 0.006

NUTS -0.349 -0.635 -0.560 -0.621 -0.147 0.651 -0.474

0.087 0.001 0.004 0.001 0.483 0.000 0.017

FR-VEG -0.074 -0.061 -0.046 -0.408 0.266 0.047 0.084 0.375

0.724 0.771 0.829 0.043 0.198 0.825 0.688 0.065


P-Value

Se observa que varias variables Xi estan correlacionadas entre sí.

Para el análisis de componentes principales se tiene:

1 Cargar los datos de la Tabla.

2 Stat > Multivariate > Principal components

3 En Variables, X1, X2, X3, X4, X6, X7, X8, X9

4 En Number of factors to extract, 3. Seleccionar Correlation Matrix

5 Click Graphs y seleccionar Scree Plot, Score plot for first 2 components Loading plot for first 2 components

8 Click Storage e indicar las columnas donde se guarden los coeficientes y los valores Z (scores) Coef1 Coef 2 y Z1 Z2

9. Click OK en cada uno de los cuadros de diálogo.


Los eigenvalores para cada componente son los siguientes:

Principal Component Analysis: RMEAT, WMEAT, EGGS, MILK, FISH, CERL, STARCH, NUT Eigenanalysis of the Correlation Matrix

PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 PC6 PC7 PC8

Eigenvalue 4.0064 1.6350 1.1279 0.9547 0.4638 0.3251 0.2716 0.1163

Proportion 0.445 0.182 0.125 0.106 0.052 0.036 0.030 0.013

Cumulative 0.445 0.627 0.752 0.858 0.910 0.946 0.976 0.989

PC9

Eigenvalue 0.0991

Proportion 0.011

Cumulative 1.000

Se observa que los componentes PC1 y PC2 contienen el 62% de la varianza

total.

Component Number

Eig

en

va

lue

987654321

4

3

2

1

0

Scree Plot of RMEAT, ..., FR-VEG

Valor mínimo a considerar

La composición aproximada de las variables en función de los componentes

principales son:

Variable PC1 PC2 PC3

RMEAT -0.303 0.056 0.298

WMEAT -0.311 0.237 -0.624

EGGS -0.427 0.035 -0.182

MILK -0.378 0.185 0.386

FISH -0.136 -0.647 0.321

CERL 0.438 0.233 -0.096

STARCH -0.297 -0.353 -0.243

NUTS 0.420 -0.143 0.054

FR-VEG 0.110 -0.536 -0.408

Que al graficar en función de los dos primeros componentes, se obtiene lo

siguiente:


First Component

Se

co

nd

Co

mp

on

en

t

0.40.30.20.10.0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5

0.2

0.1

0.0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

-0.6

-0.7

FR-VEG

NUTS

STARCH

CERL

FISH

MILK

EGGS

WMEAT

RMEAT

Loading Plot of RMEAT, ..., FR-VEG

Los valores de las variables Z1 y Z2 (scores) calculados son:

Z1 Z2

3.48537 1.63048

-1.42267 1.04123

-1.62203 -0.15950

3.13408 1.30107

-0.37046 0.60267

-2.36527 -0.28545

-1.42221 -0.45030

-1.56386 0.59600

-1.48798 -0.78537

2.23970 -1.00106

1.45744 0.81595

-2.66348 0.76371

1.53457 -0.39899

-1.64145 0.91199

-0.97470 -0.82203

-0.12187 -0.53174

1.70585 -4.28893

2.75681 1.11879

1.31181 -2.55352

-1.63373 0.20738

-0.91232 0.75106

-1.73537 0.09398

0.78260 0.11077

-2.09384 0.29378

3.62301 1.03803

Que al graficarlos dan lo siguiente:

1. Graph > Scatterplot > Simple

2. Y Variables Z2 X Variables Z1

3. Labels > Data labels > Use labels form column País


4. OK

Se tiene la gráfica siguiente de países:

Europa occidental Europa oriental Balcanes

Z1

Z2

43210-1-2-3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

25

242322

21

20

19

18

17

1615

14

13

12 11

109

8

76

5

4

3

2

1

Scatterplot of Z2 vs Z1

Península ibérica


Ejemplo:

Se registran las siguientes características para 14 censos: Población total

(Pop), mediana de años escolares (School), empleo total (Employ),empleo en

servicios de salud (Health), y valor mediano del valor de la casa (Home). Los

datos se muestran a continuación:

Pop School Employ Health Home

5.935 14.2 2.265 2.27 2.91

1.523 13.1 0.597 0.75 2.62

2.599 12.7 1.237 1.11 1.72

4.009 15.2 1.649 0.81 3.02

4.687 14.7 2.312 2.5 2.22

8.044 15.6 3.641 4.51 2.36

2.766 13.3 1.244 1.03 1.97

6.538 17 2.618 2.39 1.85

6.451 12.9 3.147 5.52 2.01

3.314 12.2 1.606 2.18 1.82

3.777 13 2.119 2.83 1.8

1.53 13.8 0.798 0.84 4.25

2.768 13.6 1.336 1.75 2.64

6.585 14.9 2.763 1.91 3.17

Se realiza un análisis de componentes principales para comprender la

estructura de datos subyacente. Se usa la matriz de correlación para

estandarizar las mediciones dado que no se mide con la misma escala.



2 Stat > Multivariate > Principal Components.

3 En Variables, Pop-Home.

4 En Type of Matrix, seleccionar Correlation.

5 Click Graphs y seleccionar Scree plot.

6 Click OK en cada cuadro de diálogo.



Principal Component Analysis: Pop, School, Employ, Health, Home Eigenanalysis of the Correlation Matrix

Eigenvalue 3.0289 1.2911 0.5725 0.0954 0.0121

Proportion 0.606 0.258 0.114 0.019 0.002

Cumulative 0.606 0.864 0.978 0.998 1.000

Variable PC1 PC2 PC3 PC4 PC5

Pop -0.558 -0.131 0.008 0.551 -0.606

School -0.313 -0.629 -0.549 -0.453 0.007

Employ -0.568 -0.004 0.117 0.268 0.769

Health -0.487 0.310 0.455 -0.648 -0.201

Home 0.174 -0.701 0.691 0.015 0.014

Component Number

Eig

en

va

lue

54321

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

Scree Plot of Pop, ..., Home

Interpretando los resultados

El primer componente principal tiene varianza (eigenvalor) 3.029 y acumula el

60.6% de la varianza total. Los coeficientes para el PC1 muestran como

calcular el nivel del componente principal.

PC1 = .558 Pop .313 School .568 Employ .487 Health + .174 Home

Notar que la interpretación de los componentes principales es subjetiva, sin

embargo, frecuentemente surgen patrones obvios. Por ejemplo, se podría

pensar que el primer componente represente el efecto del tamaño de la

población total, el nivel de escolaridad, empleo y servicios de salud, dado que

los coeficientes de estos términos tienen el mismo signo y no son cercanos a

cero.


El segundo componente tiene varianza 1.2911 y acumula el 25.8% de la

variabilidad de los datos. Se calcula de los datos originales usando los

coeficientes listados en PC2. Este componente podría ser pensado como nivel

de contraste de escolaridad y valor de la casa con salud y empleo de alguna

manera.

Juntos el primero y segundo componentes representan el 86.4% y 97%,

respectivamente, de la variabilidad total. Así, la mayoría de la estructura de

datos puede ser capturada en dos o tres dimensiones relevantes. Los

componentes remanentes solo tienen una menor proporción de probabilidad y

no son importantes. La gráfica Scree proporciona una visión gráfica de lo

anterior.


10. ANÁLISIS FACTORIAL


10. ANÁLISIS FACTORIAL

De manera similar al análisis de componentes principales, el propósito principal

del Análisis factorial es describir la variación entre muchas variables, en

términos de una pocas variables subyacentes no observables, denominadas

factores. De manera diferente al análisis de componentes, en el análisis

factorial se especifican un cierto número de factores comunes. Todas las

covarianzas o correlaciones se explican por los factores comunes. La varianza

no explicada por los factores comunes se asigna los términos de error residual

denominados factores únicos, no correlacionados entre sí.

La matriz del modelo de análisis factorial asume que la matriz de correlación o

de covarianzas se puede dividir en dos partes:

La matriz de factores comunes

La matriz de errores o factores únicos

Mientras que el análisis de componentes principales se enfoca a explicar la

varianza de las variables, el análisis factorial se enfoca a la explicación de la

covarianza de las variables. Al final obtiene grupos de variables dentro de los

cuales las variables son altamente correlacionadas, sin embargo entre

diferentes grupos tengan correlación débil.5

El análisis factorial es un método cuyo propósito principal es definir la

estructura subyacente de una matriz de datos. Atiende el problema de analizar

la estructura de las interrelaciones (correlaciones) entre un gran número de

variables (Vg. Respuestas de cuestionarios) al definir un conjunto de

dimensiones subyacentes comunes, conocidas como factores. Con el análisis

factorial se identifican las dimensiones separadas de la estructura y después se

determina que tanto cada variable es explicada por cada dimensión. Una vez

5 Jonson, J.D., Applied Multivariate Data Analysis: Volume II, Categorical and Multivariate Methods,

Spinger Verlag, Nueva York, 1992


que se determinan las dimensiones y se explican las variables por cada

dimensión, se puede hacer un resumen y reducción de datos.6

El análisis factorial es una técnica de interdependencia en la cual todas las

variables son consideradas de manera simultanea, cada una relacionada a las

otras, y empleando el concepto de variate, composición lineal de variables. De

hecho las variates (factores) se forman para maximizar su explicación de todo

el conjunto de variables, no para predecir una variable dependiente(s). Una

variate (factor) es una variable dependiente que es función del conjunto total de

variables.

Se usa el Análisis factorial, de manera similar al análisis de componentes

principales, para resumir la estructura de covarianza de los datos en unas

pocas dimensiones de los mismos. Sin embargo, el énfasis en análisis factorial

es la identificación de los ―factores subyacentes‖ que pueden explicar las

dimensiones asociadas con la gran variabilidad de los datos.

Se pueden tener tres tipos de datos de entrada:

Columnas de datos unitarios

Una Matriz de correlaciones o covarianzas

Columnas conteniendo ponderaciones de factores

Con los datos del ejemplo anterior de Componentes principales, realizar un

análisis factorial como sigue:

Nos gustaría investigar que ―factores‖ pueden explicar la mayor parte de la

variabilidad. Como primer paso del análisis factorial, se utiliza la extracción de

componentes principales y se examinan los eigenvalores en gráfica como

ayuda para decidir el número de factores.

6 Hair, Joseph, F, et. Al., Multivariate Data Analysis, 5

th. Edition, Prentice Hall International, Nueva

Jersey, 1998


Modelo matemático

A partir de los trabajos de Charles Spearman (1904) al hacer estudios de

psicología sobre la teoría de pruebas mentales, formuló un modelo de dos

factores: cada resultado de la prueba se forma de dos partes, uno que es

común a todas las pruebas (―inteligencia general‖) y otro que es específico a la

prueba. Posteriormente, se modificó a para permitir que cada resultado de

prueba consistiera de una parte debida a varios factores comunes, además de

una parte específica de la prueba.

El modelo general de análisis de factores es el siguiente:

imimiiieFaFaFaX ...

2211

Donde Xi es el resultado i-ésimo de la prueba con media cero y varianza

unitaria; ai1, ai2,…, aim son las Cargas factoriales para la i-ésima prueba; F1,

F2, …, Fm son los m factores comunes no correlacionados, cada uno con

media cero y varianza uno, ei es el error específico para la i-ésima prueba, no

correlacionado con los factores comunes.

Con este modelo:

)(...)(

)()(...)()()(

22

21

2

2

222

112

iimiii

imimiii

eVaraaaXVar

eVarFVaraFVaraFVaraXVar

Donde:

imii aaa2

22

12

...

Es llamada la comunalidad de Xi (la parte de la varianza que está relacionada

con los factores comunes) mientras que Var(ei) es denominada la

especificidad de Xi (la parte de su varianza que no está relacionada con los

factores comunes). También se puede establecer que la correlación entre Xi y

Xj es:


jmimjijiijaaaaaar ......

2211

De esta manera dos resultados de prueba están muy correlacionados si tienen

valores de carga altos en los mismos factores. Además -1<= aij <= 1, ya que la

comunalidad no puede exceder uno.

El análisis factorial se hace en tres etapas:

Etapa 1 – extracción de factores: se determinan cargas o

ponderaciones provisionales de los factores aij. Una forma de hacerlo es

realizar un análisis de componentes principales y no considerar los

componentes principales después de los primeros m, que serán

tomados como los m factores. Como regla se pueden tomar los m

eigenvalores que excedan a la unidad. Estos factores no están

correlacionados entre sí, sin embargo los factores específicos pueden

estar correlacionados entre sí, lo que no afecta si las comunalidades son

altas. Con cualquier método que se extraigan las ponderaciones

preliminares de los factores, se puede mostrar que no son únicas. Si F1,

F2,…, Fm son los factores preliminares, se pueden construir

combinaciones lineales de estos de la forma:

mmmmmm

mm

mm

FdFdFdF

FdFdFdF

FdFdFdF

.....

.....

.....

2211

'

2222121

'

2

1212111

'

1

Las combinaciones se pueden hacer de forma que no sean

correlacionadas y ―expliquen‖ los datos adecuadamente. Se observa que

hay un número infinito de posibles soluciones.

Etapa 2 – Rotación de factores: los factores preliminares se transforman

de modo que se identifiquen nuevos factores más fáciles de interpretar.

Rotar equivale a seleccionar los coeficientes dij en las ecuaciones

anteriores. La rotación puede ser ortogonal u oblicua. Con la rotación

ortogonal, los nuevos factores no están correlacionados, tal como los

originales. Con rotación oblicua, los nuevos factores están correlacionados.


Se espera que las ponderaciones o cargas aij sean casi cero (indicando

que Xi no se relaciona con el factor Fj), o muy alejadas de cero (positivas o

negativas) indicando que Xi está determinado ampliamente por Xj de

manera amplia.

Un método popular de rotación es el Varimax que está basado en el

supuesto de que la interpretabilidad del factor j puede ser medido por la

varianza del cuadrado de sus ponderaciones (a1j2, a2j

2 ,etc.) donde si la

varianza es grande, los valores de aij2 tienden a ser cero o cercanos a la

unidad, de esta forma Varimax maximiza la suma de estas varianzas para

todos los factores.

Los factores rotados se pueden expresar como sigue:

XGGGF ')'(*1

Etapa 3 – cálculo de los factores individuales: son los valores de los

factores F1, F2, …, Fm, para cada una de las observaciones

individuales.


PROCESO DE DECISIÓN DE ANÁLISIS FACTORIAL

Paso 1. Objetivos del Análisis factorial

El propósito es encontrar una forma de condensar (resumir) la información

contenida en un cierto número de variables originales, en un grupo más

pequeño de dimensiones nuevas, compuestas o variates (factores) con un

mínimo de pérdida de información.

Por ejemplo si hay datos de 100 cuestionarios en 10 características, el análisis

factorial se aplica a la matriz de correlación de variables y se denomina

Análisis Factorial R, para identificar las dimensiones que están latentes o no

son fácilmente observables.

El análisis factorial también se puede aplicar a una matriz de correlación de los

cuestionarios individuales basados en sus características, referido como

Análisis Factorial Q, es un método de condensar o combinar un grupo grande

de gente en diferentes grupos distintos dentro de una población grande, para

esto se utiliza el análisis de conglomerados (clusters).

Paso 2. Diseño del análisis factorial

Incluye tres decisiones básicas: (1) cálculo de los datos de entrada (una matiz

de correlación) para cumplir con los objetivos especificados de agrupar

variables o cuestionarios; (2) el diseño del estudio en términos del número de

variables, propiedades de medición de las variables, y el tipo de variables

permitidas y (3) el tamaño de muestra necesario (al menos 5 veces el número

de variables analizadas), ambos en términos absolutos y como función de del

número de variables en el análisis.


Paso 3. Supuestos del análisis factorial

Es deseable algún grado de multicolinealidad entre variables dado que el

objetivo es identificar conjuntos de variables interrelacionadas, no son tan

importantes la normalidad, homoestacidad y linealidad a menos que

disminuyan significativamente las correlaciones observadas.

La matriz de correlación debe indicar valores mayores a 0.3 para aplicar el

análisis de correlación. También si las correlaciones parciales entre variables

(correlación entre variables cuando el efecto de las otras variables se toma en

cuenta) son pequeñas dado que la variable puede explicada por los factores

(variates con ponderaciones para cada una de las variables). Si las

correlaciones parciales son altas, no hay factores subyacentes ―verdaderos‖ y

el análisis factorial es inapropiado.

La prueba de esfericidad de Bartlett mide la presencia de correlaciones entre

las variables, proporciona la probabilidad de que la matriz de correlación tenga

correlaciones significativas en algunas de las variables. Otro indicador es el

“Measure of Sampling Adequacy (MSA)”, con rango de 0 a 1, donde 0.8 o más

es meritorio; 0.07 o más es regular; 0.60 o más es mediocre; 0.50 o más

miserable y debajo de 0.50 inaceptable.

El supuesto básico en el análisis factorial es que existe una estructura

subyacente en el conjunto de variables seleccionadas.

Paso 4. Identificando factores y evaluando el ajuste del modelo

Una vez que se especifican las variables y se prepara la matriz de correlación,

se toman decisiones en relación a (1) el método de extracción de los factores

(análisis de factores comunes versus análisis de componentes) y (2) el número

de factores seleccionados para representar la estructura subyacente en los

datos.


Análisis de componentes

El análisis de componentes se usa cuando el objetivo es resumir la mayor parte

de la información original (varianza) en un mínimo número de factores para

propósitos de predicción. Considera la varianza total y determina factores que

contienen pequeñas proporciones de varianza única y, en algunos casos,

varianza del error. No se basa en un modelo estadístico específico.7

Análisis factorial

En contraste el análisis de factores comunes se utiliza para identificar los

factores subyacentes o dimensiones que reflejan aquello que las variables

comparten en común. Se basa en un modelo estadístico especial.

En este método se tienen tres tipos de varianzas: (1) común, (2) específica

(única), y (3) error. La varianza común (communalities) se define como la

varianza en una variable que es compartida por todas las demás variables. La

varianza específica es la varianza asociada solo con una variable específica.

La varianza del error es la varianza debida a la incertidumbre en el proceso de

recolección de datos, errores de medición, o componente aleatorio en el

fenómeno medido.

Criterios para el número de factores a extraer

El primer método extrae la combinación de variables explicando la mayor

cantidad de varianza y después continúa con combinaciones que representan

menos y menos cantidades de varianza.

La selección de factores a extraer equivale a enfocar un microscopio,

normalmente se hace por prueba y error contrastando los resultados.

Criterio de Raíz Latente: su racional es que cualquier factor individual debe

contener la varianza de al menos una variable. Como cada variable contribuye

con 1 al eigenvalor total o raíz latente. Se seleccionan solo los factores con

7 Ibidem


eigenvalores mayores a uno, cuando se tienen menos de 20 variables, los

factores extraídos son pocos.

Criterio a Priori: en este método el investigador ya tiene una idea clara de los

factores a extraer y así lo indica en la computadora.

Criterio de porcentaje de varianza: Enfoque basado en lograr un porcentaje

acumulado de varianza total extraído por factores sucesivos. Normalmente el

proceso para al acumular 95%.

Criterio Scree Test: Se usa para identificar el número óptimo de factores que

pueden ser extraídos antes de que la cantidad de varianza única empiece a

dominar la estructura de varianza común.

Paso 5. Interpretando los factores

Se obtiene la matriz no rotada para estimar el número de factores a extraer. La

matriz de factores contiene ponderaciones de factores para cada variable en

cada factor. El primer factor puede verse como la mejor combinación lineal

incluida en los datos, con cada factor con ponderaciones significativos y

acumula la mayor parte de la varianza; el segundo factor es la segunda mejor

combinación lineal de variables, sujeta a que es ortogonal al primer factor, se

Eigenvalor 1

Número de factores

8


basa en la porción residual de la varianza una vez removido el primero, así

sucesivamente.

Los ponderaciones de los factores representan la correlación de cada una de

las variables y el factor, entre mayores sean, mayor será la representatividad

del factor por la variable.

La rotación de los factores más simple es una rotación ortogonal, en la cual

se mantienen los ejes a 90 grados. Se pueden rotar los ejes sin mantener los

90 grados entre los ejes de referencia. Cuando no hay restricción de

ortogonalidad, el procedimiento de rotación se denomina rotación oblicua.

Fig. 1 Rotación ortogonal de factores (observar la ponderación o ponderación de factores I y

II en la variable V2, es más clara cuando se rotan los factores)

En la figura se observan dos conglomerados de variables (V1 y V2) y (V3, V4 y

V5), sin embargo con los factores sin rotar no es muy obvia su ponderación o

ponderación de los factores I y II. Después de la rotación de los ejes de

factores, las variables 3, 4 y 5 tienen una ponderación o ponderación fuerte de

factor I, y las variables 1 y2 tienen una ponderación o ponderación fuerte en el

factor II. Siendo más obvia la distinción entre conglomerados en dos grupos.

+1 Factor II sin rotar

+1 Factor I sin rotar

-1 Factor II sin rotar

-1

V1

V2

V5

V3

V4

+1 Factor I rotado

+1 Factor II rotado


Métodos de rotación ortogonal

En la práctica el objetivo de todos los métodos de rotación es simplificar las

filas y columnas de la matriz de factores para facilitar la interpretación. En una

matriz de factores las columnas representan factores, con cada renglón

correspondiente a la ponderación de las variables a través de los factores. Al

simplificar los renglones, se hacen tantos valores en cada fila tan cercanos a

cero como sea posible (i.e. maximizando la ponderación de una variable con un

factor único). Simplificando las columnas, se hacen tantos valores en las

columnas tan cercanos a cero como sea posible (i.e. hacer el máximo número

de ponderaciones ―altas‖ como sea posible). Se han desarrollado tres métodos

para lo anterior como sigue:

Quartimax: para simplificar las filas de la matriz; o sea, que Quartimax se

enfoca a rotar los factores iniciales de manera que las variables tengan la

mayor ponderación posible de un factor y la mínima de los otros. Aunque este

método no ha sido eficiente.

Varimax: se centra en simplificar las columnas de la matriz factorial. La

máxima simplificación posible se logra cuando solo hay 1’s y 0’s en la columna.

Es decir que VARIMAX maximiza la suma de variancias de ponderaciones

requeridas de la matriz factorial. Este método ha probado ser un método

analítico efectivo para obtener una rotación ortogonal de factores.

Equimax:

Es un compromiso entre las anteriores. Trata de simplificar los renglones y las

columnas, no se utiliza frecuentemente.

Métodos de rotación oblicua:

Estos métodos son similares a las rotaciones ortogonales excepto que permiten

factores correlacionados en vez de mantener la independencia de los factores

rotados.


En general no hay reglas para seleccionar uno de los métodos anteriores.

Criterios para la significancia de ponderación de factores en las variables

De manera práctica si las ponderaciones son de 0.30 se considera que

cumplen el nivel mínimo; ponderaciones de 0.40 son importantes; 0.50 o

mayores son significativas en la práctica. Como la ponderación del factor es la

correlación de la variable y el factor, la ponderación al cuadrado es la cantidad

representada de la varianza total por el factor. De esta forma con 0.3 se tiene

un 10% de explicación y un 0.5 de ponderación denota que un 25% de la

varianza es representada por el factor.

Evaluando la significancia estadística

Con base en un nivel de significancia de 0.05, un nivel de potencia del 80% y

errores estándar asumidos se el doble de los coeficientes de correlación

convencionales, se tiene la tabla siguiente:

Ponderación del factor

Tamaño de muestra requerida para tener significancia

0.30 350

0.35 300

0.40 250

0.45 200

0.50 150

0.55 100

0.60 85

0.65 70

0.70 60

Resumiendo las guías para la significancia de los factores son:

(1) entre mayor sea el tamaño de muestra, el valor de ponderación

significativo se reduce.

(2) Entre más variables sean consideradas en el análisis, más pequeña es

la ponderación que se considera significativa.


(3) Entre más factores haya, mayor es la ponderación en los factores

adicionales para que sea considerada significativa.

Cada columna de números en la matriz representa un factor por separado. Las

columnas de números representan las ponderaciones para cada una de las

variables. Identificar la más alta ponderación para cada variable. Recordar que

para tamaños de muestra similares a 100 se considera significante 0.3. La

comunalidad para cada variable representa la cantidad de varianza

considerada por la solución factorial para cada variable. Evaluar la comunalidad

de las variables, es decir identificar las que tengan más del 50%, ya que las

que tengan menos no tienen suficiente explicación. El nombre de los factores

se desarrolla de manera intuitiva, con base en las variables con una mayor

ponderación se consideran más importantes y tienen una mayor influencia para

el nombre seleccionado para representar al factor.

Validación del análisis factorial

Se trata de evaluar el grado de generalización de los resultados en la población

y la influencia potencial de casos individuales en los resultados totales.

El alfa de Cronbach es una medida del coeficiente de confiabilidad que evalúa

la consistencia de toda la escala. Este índice es la relación positiva del número

de ítems en la escala, donde 0.7 se considera adecuado.


Ejemplo con datos de alimentos:

Continuando con el ejemplo del análisis de componentes que se realizó en el

capítulo anterior para el caso de alimentos en diferentes países, se identificaron

dos componentes principales que excedían un eigenvalor de 1.0, como sigue:

Factor Number

Eig

en

va

lue

987654321

4

3

2

1

0

Scree Plot of RMEAT, ..., FR-VEG

Parte del archivo de datos se muestra a continuación:

País RMEAT WMEAT EGGS MILK FISH CERL STARCH NUTS FR-VEG

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9

1 10.1 1.4 0.5 8.9 0.2 42.3 0.6 5.5 1.7

2 8.9 14 4.3 19.9 2.1 28 3.6 1.3 4.3

Etc.


1 Cargar los datos de tabla de alimentos.

2 Stat > Multivariate > Factor Analysis.

3 En Variables, X1, X2, X3, X4, X6, X7, X8, X9

4 En Number of factors to extract, 4.

5 En Method of Extraction, seleccionar Principal components

6 En Type of Rotation, seleccionar Varimax.

7 Click Graphs y seleccionar Loading plot for first 2 factors y Scree Plot.

8 Click Results y seleccionar Sort loadings.


9 Seleccionar Storage e indicar columnas para ponderaciones,

coeficientes, Z’s, eigenvalores, etc.

10 Click OK en cada uno de los cuadros de diálogo.


Factor Analysis: RMEAT, WMEAT, EGGS, MILK, FISH, CERL, STARCH, NUTS, FR-VEG Principal Component Factor Analysis of the Correlation Matrix

Los eigenvalores para los factores 1 y 2 son los siguientes:

Eigenvalues Factores

4.00644 F1

1.63500 F2

1.12792 F3

0.95466 F4


Con los eigenvalores anteriores, se determina el modelo factorial: Unrotated Factor Loadings and Communalities

Variable Factor1 Factor2 Factor3 Factor4 Communality

X1 RMEAT -0.606 0.072 0.316 0.632 0.871

X2 WMEAT -0.622 0.303 -0.663 -0.036 0.918

X3 EGGS -0.854 0.045 -0.193 0.306 0.862

X4 MILK -0.756 0.236 0.410 -0.003 0.795

X5 FISH -0.272 -0.827 0.341 -0.211 0.919

X6 CERL 0.876 0.299 -0.102 -0.006 0.867

X7 STARCH -0.595 -0.451 -0.258 -0.329 0.732

X8 NUTS 0.841 -0.183 0.058 0.323 0.849

X9 FR-VEG 0.221 -0.686 -0.433 0.451 0.910

Variance 4.0064 1.6350 1.1279 0.9547 7.7240

% Var 0.445 0.182 0.125 0.106 0.858

La comunalidad de X1 RMEAT = 0.871 se calcula de la manera siguiente:

0.871 = 0.606^2+0.072^2+0.316^2+0.632^2

Como las comunalidades son relativamente altas (cercanas a la unidad), indica

que la mayor parte de la varianza para las variables X1 a X9 se acumula en los

factores F1 a F4.

Las ponderaciones de los factores que son mayores a |0.5|, sin importar el

signo, se analizan para mostrar como se relacionan las variables con los

factores. Se puede observar que: la variable X1 se explica fuertemente por los


factores F1 y F4; la variable X2 se explica por los factores F1 y F3; las

variables X2 X3, X4, X6, X7 y X8 se relacionan fuertemente al factor 1 y X5 y

X9 al factor 2. Esto sugiere que una rotación puede ayudar a definir los

factores.


Varimax Rotation


X1 RMEAT 0.051 -0.931 0.014 0.037 0.871

X2 WMEAT 0.943 -0.127 -0.100 0.050 0.918

X3 EGGS 0.628 -0.664 0.163 0.020 0.862

X4 MILK 0.197 -0.610 0.219 0.579 0.795

X5 FISH -0.226 -0.088 0.921 -0.104 0.919

X6 CERL -0.395 0.549 -0.624 -0.145 0.867

X7 STARCH 0.515 -0.004 0.683 -0.026 0.732

X8 NUTS -0.638 0.263 -0.326 -0.515 0.849

X9 FR-VEG -0.010 0.003 0.178 -0.937 0.910

Variance 2.2054 2.0749 1.9273 1.5165 7.7240

% Var 0.245 0.231 0.214 0.168 0.858

Sorted Rotated Factor Loadings and Communalities


WMEAT 0.943 -0.127 -0.100 0.050 0.918

NUTS -0.638 0.263 -0.326 -0.515 0.849

RMEAT 0.051 -0.931 0.014 0.037 0.871

EGGS 0.628 -0.664 0.163 0.020 0.862

MILK 0.197 -0.610 0.219 0.579 0.795

FISH -0.226 -0.088 0.921 -0.104 0.919

STARCH 0.515 -0.004 0.683 -0.026 0.732

CERL -0.395 0.549 -0.624 -0.145 0.867

FR-VEG -0.010 0.003 0.178 -0.937 0.910

Variance 2.2054 2.0749 1.9273 1.5165 7.7240

% Var 0.245 0.231 0.214 0.168 0.858

En este caso las variables X3, X4, X6, X7 y X8 se explican al menos por dos factores, lo cual es mejor.


First Factor

Se

co

nd

Fa

cto

r

1.000.750.500.250.00-0.25-0.50

0.50

0.25

0.00

-0.25

-0.50

-0.75

-1.00

FR-VEG

NUTS

STARCH

CERL

FISH

MILKEGGS

WMEAT

RMEAT

Loading Plot of RMEAT, ..., FR-VEG


El modelo queda como sigue:


Variable Factor1 Factor2 Factor3 Factor4

RMEAT -0.208 -0.666 -0.175 -0.154

WMEAT 0.580 0.134 -0.188 -0.123

EGGS 0.217 -0.297 -0.095 -0.184

MILK -0.130 -0.248 0.043 0.328

FISH -0.256 0.037 0.578 0.005

CERL -0.027 0.158 -0.252 -0.004

STARCH 0.259 0.254 0.369 -0.038

NUTS -0.238 -0.128 -0.124 -0.292

FR-VEG 0.103 -0.144 0.040 -0.719

Obteniendo las graficas de Z1 vs. Z2 y Z3 vs. Z4 con los valores de los

coeficientes de los factores se tiene:

Z1 Z2 Z3 Z4

-2.08984 0.21229 -1.48719 0.91607

1.51952 -0.14373 -0.67295 -0.04645

0.54271 -0.78648 0.18603 -0.22398

-0.67265 0.77630 -1.57884 -0.08663

1.12632 0.60458 -0.33966 0.02184

0.28382 -0.24185 1.21441 1.14642

1.45824 0.86238 0.78301 0.03869

-0.67673 -0.14921 0.93845 2.29981

0.03566 -1.84164 0.00237 -1.24522

-1.73291 -0.89465 -0.40999 -1.39879

1.07856 1.20405 -1.09708 -0.64712

0.84733 -1.15498 -0.08258 0.51667

-0.62204 -0.37440 -0.59829 -1.17455

1.20389 -0.18081 -0.31569 0.37021

-0.87260 0.00189 1.50818 1.24280

1.07154 0.81779 0.25040 -0.66725

-1.02013 1.36441 2.63942 -1.71648

-0.51952 1.25002 -1.03438 0.40083

-0.48351 0.41424 1.05124 -1.81043

-0.27184 -0.39239 0.76534 1.37725

0.10789 -1.21314 -0.71597 -0.11354

-0.53941 -2.17878 -0.17044 -0.12795

-0.34330 0.78311 0.21603 0.63639

1.23608 -0.44858 0.05799 0.00754

-0.66709 1.70958 -1.10980 0.28389


Z1

Z2

210-1-2

2

1

0

-1

-2

Yugoslavia

Alemania Occ

Rusia

Reino Unido

Suiza

Suecia

España

RumaniaPortugal

Polonia

NoruegaHolanda

Italia

Irlanda

Hungría

Grecia

Francia

Finlandia

Alemania orien

Dinamarca

ChecaBulgaria

Bélgica

Autria

Albania


Z3

Z4

3210-1-2

2

1

0

-1

-2

Yugoslavia

Alemania Occ

Rusia

Reino Unido

Suiza

Suecia

España

Rumania

Portugal

Polonia

Noruega

Holanda

Italia

Irlanda

Hungría

GreciaFrancia

Finlandia

Alemania orien

Dinamarca

ChecaBulgaria

BélgicaAutria

Albania


Z3

Z2

3210-1-2

2

1

0

-1

-2

Yugoslavia

Alemania Occ

Rusia

Reino Unido

Suiza

Suecia

España

RumaniaPortugal

Polonia

NoruegaHolanda

Italia

Irlanda

Hungría

Grecia

Francia

Finlandia

Alemania orien

Dinamarca

ChecaBulgaria

Bélgica

Autria

Albania



Z4

Z1

210-1-2

2

1

0

-1

-2

Yugoslavia

Alemania Occ

Rusia

Reino Unido

Suiza

Suecia

España Rumania

Portugal

Polonia

Noruega

Holanda

Italia

IrlandaHungría

Grecia

Francia

Finlandia

Alemania orien

Dinamarca

Checa

Bulgaria

Bélgica

Autria

Albania



Ejemplo con datos de HATCO

Prueba de la adecuación del modelo, utilizando Minitab: 1. Stat > Basic statistics > Correlation

2. Variables X1, X2, X3, X4, X6, X7

3. Display p values

4. OK

Correlations: X1, X2, X3, X4, X6, X7 X1 X2 X3 X4 X6

X2 -0.349

0.000

X3 0.476 -0.472

0.000 0.000

X4 0.050 0.272 -0.095

0.618 0.006 0.347

X6 0.077 0.186 -0.015 0.788

0.446 0.064 0.880 0.000

X7 -0.483 0.470 -0.407 0.200 0.177

0.000 0.000 0.000 0.046 0.078


P-Value

De la matriz, 7 de 15 correlaciones son significativas estadísticamente. El valor

de MSA de 0.665 cumple con con el criterio para aplicar el análisis factorial.

Análisis factorial con Minitab:


1 Cargar los datos de HATCO.


3 En Variables, X1, X2, X3, X4, X6, X7


6 En Method of Extraction, seleccionar Principal components



7 Click Graphs y seleccionar Loading plot for first 2 factors y Scree Plot.

8 Click Results y seleccionar Sort loadings. Click OK en cada uno de los cuadros de diálogo.


Factor Analysis: X1, X2, X3, X4, X6, X7 Principal Component Factor Analysis of the Correlation Matrix



X1 0.618 -0.517 0.649

X2 -0.763 0.079 0.588

X3 0.695 -0.357 0.610

X4 -0.502 -0.793 0.881

X6 -0.434 -0.827 0.873

X7 -0.761 0.170 0.609

Variance 2.4664 1.7425 4.2089

% Var 0.411 0.290 0.701

El primer factor contiene la mayor parte de la varianza y es un factor general

con alta ponderación en cada variable. Las ponderaciones para el segundo

factor muestra tres variables que también tiene alta ponderación (X1, X4 y X6).

La interpretación es sumamente difícil y sin significado, por lo que se debe

considerar la rotación de factores como sigue:


Varimax Rotation


X1 -0.783 0.188 0.649

X2 0.718 0.268 0.588

X3 -0.781 0.010 0.610

X4 0.097 0.934 0.881

X6 0.020 0.934 0.873

X7 0.758 0.186 0.609

Variance 2.3231 1.8858 4.2089

% Var 0.387 0.314 0.701

Las variables X1, X2 y X3 ponderación significativamente al factor 1 y las

variables X4 y X6 ponderación significativamente al factor 2.

Si se considera como punto de corte las ponderaciones con 0.55 o más, el

factor 1 tiene cuatro ponderaciones significativas y el factor 2 tiene 2. Para el


factor 1, se ven dos grupos de variables. Las primeras son el nivel de precios

(X2) y la calidad del producto (X7) ambas con signos positivos y varían como

conjunto. Las otras dos, tiempo de entrega (X1) y flexibilidad de precios (X3)

tienen signos negativos también varían como conjunto.

En el factor 1, ambos grupos varían en sentido contrario, tal vez este factor sea

el valor básico y representa un compromiso entre percepciones de precio o

calidad del producto y percepciones de tiempo de entrega y flexibilidad de

precios.

En el factor 2, la variable X4 (imagen de fabricación) y X6 (imagen de la fuerza

de ventas) tal vez se pueda agrupar en imagen, ambas variables tienen el

mismo signo, actuando en la misma dirección.

La variable X5 (servicio en general) no se incluyó en al análisis.

Se tienen ahora dos factores como combinación lineal de las variables para

efectos de realización de estudios:



X1 -0.356 0.154

X2 0.297 0.097

X3 -0.343 0.058

X4 -0.020 0.498

X6 -0.054 0.503

X7 0.320 0.050

Para verificar la validez del modelo se pueden hacer dos grupos de 50

observaciones y comparar sus matrices rotadas.

Data 1 – 50: Rotated Factor Loadings and Communalities

Varimax Rotation



X1_1 -0.827 0.085 0.691

X2_1 0.603 0.376 0.506

X3_1 -0.686 -0.177 0.502

X4_1 0.156 0.919 0.869

X6_1 0.136 0.924 0.871

X7_1 0.702 0.201 0.533

Variance 2.0548 1.9178 3.9726

% Var 0.342 0.320 0.662

Data 51 – 100: Rotated Factor Loadings and Communalities

Varimax Rotation


X1_2 0.741 -0.313 0.647

X2_2 -0.785 -0.190 0.652

X3_2 0.815 -0.154 0.688

X4_2 -0.041 -0.949 0.903

X6_2 0.052 -0.923 0.854

X7_2 -0.824 -0.154 0.703

Variance 2.5127 1.9338 4.4466

% Var 0.419 0.322 0.741

Como se ve las dos rotaciones VARIMAX son comparables en términos de

ponderaciones y comunalidades para las seis percepciones. Así se puede

asegurar que los resultados son estables dentro de la muestra.

De la gráfica Scree Plot con los Eigenvalores de los factores se tiene:

Factor Number

Eig

en

va

lue

654321

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

Scree Plot of X1, ..., X7

Sólo dos factores serán mantenidos si se toma como referencia el Eigenvalor

de 1 o tres si se toma como referencia el criterio Scree.

La gráfica de ponderaciones por variables se muestra a continuación,

identificando tres grupos de variables:


First Factor

Se

co

nd

Fa

cto

r

0.50.0-0.5-1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X7

X6 X4

X3

X2

X1

Loading Plot of X1, ..., X7

En resumen se identifican dos dimensiones Valor básico e Imagen, ahora se

pueden hacer planes alrededor de estas dos dimensiones en lugar de

considerar todas las variables separadas.

Ejemplo con datos del archivo EXH_MVAR

Se registran las siguientes características de 14 regiones censadas: población

total (Pop), promedio de escolaridad (School), empleo total (Employ), empleo

en servicios de salud (Health), y valor promedio de casa (Home). Se desea

investigar que ―factores‖ podrían explicar la mayor parte de la variabilidad.

Como primer paso del análisis factorial, se usa el método de extracción de

componentes principales y se examina la gráfica de eigenvalores (Scree) para

apoyarnos en decidir sobre el número de factores.

Pop School Employ Health

5.935 14.2 2.265 2.27

1.523 13.1 0.597 0.75

2.599 12.7 1.237 1.11

4.009 15.2 1.649 0.81

4.687 14.7 2.312 2.5

8.044 15.6 3.641 4.51

2.766 13.3 1.244 1.03

6.538 17 2.618 2.39

6.451 12.9 3.147 5.52

3.314 12.2 1.606 2.18


3.777 13 2.119 2.83

1.53 13.8 0.798 0.84

2.768 13.6 1.336 1.75

6.585 14.9 2.763 1.91




3 En Variables, poner Pop-Home.

4 Click Graphs y seleccionar Scree plot. Click OK in each dialog box.


Factor Analysis: Pop, School, Employ, Health, Home Principal Component Factor Analysis of the Correlation Matrix


Variable Factor1 Factor2 Factor3 Factor4 Factor5 Communality

Pop -0.972 -0.149 0.006 0.170 -0.067 1.000

School -0.545 -0.715 -0.415 -0.140 0.001 1.000

Employ -0.989 -0.005 0.089 0.083 0.085 1.000

Health -0.847 0.352 0.344 -0.200 -0.022 1.000

Home 0.303 -0.797 0.523 0.005 0.002 1.000

Variance 3.0289 1.2911 0.5725 0.0954 0.0121 5.0000

% Var 0.606 0.258 0.114 0.019 0.002 1.000


Variable Factor1 Factor2 Factor3 Factor4 Factor5

Pop -0.321 -0.116 0.011 1.782 -5.511

School -0.180 -0.553 -0.726 -1.466 0.060

Employ -0.327 -0.004 0.155 0.868 6.988

Health -0.280 0.272 0.601 -2.098 -1.829

Home 0.100 -0.617 0.914 0.049 0.129


Factor Number

Eig

en

va

lue

54321

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

Scree Plot of Pop, ..., Home

Interpretación de resultados

Cinco factores describen estos datos perfectamente, pero la meta es reducir el

número de factores requeridos para explicar la variabilidad de los datos. La

proporción de la variabilidad explicada por los dos últimos factores es mínima

(0.019 y 0.002 respectivamente) y pueden ser eliminadas sin afectar al

resultado. Los primeros dos factores juntos representan 86% de la variabilidad

mientras que tres factores representan 98% de la variabilidad. La cuestión es si

usar dos o tres factores, se requieren otras corridas para decidir si usar dos o

tres factores.

Se seleccionan dos factores como el número que representa los datos del

censo en base al análisis de componentes principales. Se realiza una

extracción de máxima verisimilitud y rotación varimax para interpretar los

factores.




3 En Variables, Pop-Home.


5 En Method of Extraction, seleccionar Maximum likelihood.



7 Click Graphs y seleccionar Loading plot for first 2 factors.

8 Click Results y seleccionar Sort loadings. Click OK en cada uno de los

cuadros de diálogo.


Factor Analysis: Pop, School, Employ, Health, Home Maximum Likelihood Factor Analysis of the Correlation Matrix

* NOTE * Heywood case



Pop 0.971 0.160 0.968

School 0.494 0.833 0.938

Employ 1.000 0.000 1.000

Health 0.848 -0.395 0.875

Home -0.249 0.375 0.202

Variance 2.9678 1.0159 3.9837

% Var 0.594 0.203 0.797


Varimax Rotation


Pop 0.718 0.673 0.968

School -0.052 0.967 0.938

Employ 0.831 0.556 1.000

Health 0.924 0.143 0.875

Home -0.415 0.173 0.202

Variance 2.2354 1.7483 3.9837

% Var 0.447 0.350 0.797

Sorted Rotated Factor Loadings and Communalities


Health 0.924 0.143 0.875

Employ 0.831 0.556 1.000

Pop 0.718 0.673 0.968

Home -0.415 0.173 0.202

School -0.052 0.967 0.938

Variance 2.2354 1.7483 3.9837

% Var 0.447 0.350 0.797



Pop -0.165 0.246

School -0.528 0.789

Employ 1.150 0.080

Health 0.116 -0.173


Home -0.018 0.027

First Factor

Se

co

nd

Fa

cto

r

1.000.750.500.250.00-0.25-0.50

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

HomeHealth

Employ

School

Pop

Loading Plot of Pop, ..., Home

Estos resultados indican un caso Heywood (las varianzas menores al límite de

convergencia especificado se ponen a cero y sus comunalidades a 1).

Se tienen tres tablas de ponderaciones y comunalidades: no rotadas, rotadas,

ordenadas y rotadas. Los factores no rotados explican el 79.7 de la variabilidad

de los datos y los valores de comunalidad indican que todas las variables sin

Home están bien representadas por esos dos factores (comunalidad son 0.202

para Home, 0.875 – 1.0 para otras variables). El porcentaje de la variabilidad

total representada por los factores no cambia con la rotación, sino después de

rotar, pero después de rotar, estos factores son mas claramente balanceados

en el porcentaje de variabilidad que ellos representan, siendo 44.7% y 35%,

respectivamente.

El ordenamiento es realizado por la ponderación máxima absoluta para

cualquier factor. Las variables que tienen la mayor ponderación absoluta en el

factor 1 se muestran primero en orden. Después las variables con la

ponderación mayor en el factor 2 y así sucesivamente. El factor 1 tiene su

ponderación mayor positiva en Health (0.924), Employ (0.831) y Pop (0.718), y

-0.415 en Home, mientras que la ponderación en School es baja. El factor 2

tiene una ponderación positiva en School de 0.967 y ponderación de 0.556 y


0.673 en Employ y Pop respectivamente, y una ponderación pequeña en

Health y Home.

Se pueden ver las ponderaciones rotadas gráficamente en la gráfica de

ponderaciones (load graph). Ahí se muestra para factor 1 con ponderaciones

altas en Pop, Emply, y Health y ponderación negativa en Home. School tiene

una ponderación alta positiva para el factor 2 y algo menor para Pop y Employ.

De los resultados se puede pensar en que el factor 1 sea un factor relacionado

con ―Cuidado de la salud – tamaño de la población‖. El factor 2 puede ser

considerado como un factor relacionado con ―educación – tamaño de la

población‖.

En forma adicional Minitab muestra una tabla de coeficientes del factor.

Muestran como se calculan los factores. Minitab calcula los valores

multiplicando los coeficientes y los datos después de corregirlos centrándolos

al restarle sus medias.


10. ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE


10. ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE

Es una técnica estadística que se puede usar para analizar la relación entre

una variable dependiente simple (respuesta, criterio) y varias variables

independientes cuyos valores son conocidos para predecir la variable

dependiente. Los pesos denotan la contribución relativa de las variables

independientes a la predicción general y facilitar la interpretación de la

influencia de cada variable en la predicción, lo que se complica si hay

correlación de las variables independientes.

El conjunto de variables independientes con sus pesos forma la Variate de

regresión, ecuación de regresión o modelo de regresión, que es una

combinación lineal de las variables independientes que mejor predicen la

variable dependiente.

Los supuestos de un análisis de regresión múltiple son los siguientes:

Linealidad del fenómeno medido

Varianza constante de los términos de error

Independencia de los términos de error

Normalidad de la distribución de los términos de error.

Términos clave

Coeficiente ajustado de determinación (R2 ajustada): Es una métrica

modificada del coeficiente de determinación que toma en cuenta el

número de variables independientes incluidas en la ecuación de

regresión y el tamaño de muestra. A pesar de que la adición de variables

independientes hace que se incremente el coeficiente de determinación,

el coeficiente de determinación ajustado se reduce si las variables

independientes tienen poco poder explicativo y/o si los grados de

libertad son muy pequeños. Este estadístico es útil para comparar

ecuaciones con diferentes números de variables independientes, con

diferentes tamaños de muestra, o ambos.

Regresión con todos los posibles subconjuntos: Método de

selección de variables en el modelo que considera todas las


combinaciones posibles de las variables independientes. Por ejemplo

para cuatro variables, se estiman modelos para una, dos, tres y cuatro

variables, identificando el modelo con la mayor capacidad predictiva.

Eliminación hacia atrás: Método de selección de variables en el

modelo que inicia con todas las combinaciones posibles de las variables

independientes para ir eliminando las que no tienen una contribución

significativa a la predicción.

Coeficiente beta: Coeficientes estandarizados de la regresión que

permite una comparación directa de su potencia relativa explicatoria de

la variable dependiente.

Coeficiente de determinación (R2): Mide la proporción de la varianza

de la variable dependiente alrededor de su media que es explicada por

las variables predictoras independientes. El coeficiente puede variar

entre 0 y 1. Entre mayor sea su valor es mejor la predicción de la

variable dependiente.

Colinealidad: Expresión de la relación entre dos (colinealidad) o entre

varias (multicolinealidad) variables independientes. Dos variables

independientes tienen colinealidad total si coeficiente de correlación es 1

y no tienen colinealidad si coeficiente de correlación es cero. La

multicolinealidad se presenta cuando una variable independiente está

muy correlacionada con otras variables independientes.

Coeficiente de correlación (r.): Coeficiente que indica la fuerza de la

asociación entre dos variables medibles. El signo (+) o (-) indica la

dirección de la relación. +1 o -1 indica una correlación perfecta positiva

(cuando aumenta una variable, aumenta la otra) o negativa (inversa –

cuando aumenta una variable, la otra disminuye) y 0 sin correlación.

Grados de libertad: En una regresión simple se estiman dos

parámetros, la intersección (b0) y el coeficiente de la regresión para la

variable independiente (b1). Por tanto los grados de libertad

proporcionan una medida de cómo se restringen los datos para alcanzar

un cierto nivel de predicción (n-2). Si el número de grados de libertad es

pequeño, la predicción resultante no puede generalizarse, esta será más

robusta con un valor alto de grados de libertad.


Variable ficticia: Es una variable independiente usada para contabilizar

el efecto que tienen diferentes niveles de una variable no medible al

predecir la variable dependiente. Para contabilizar los L niveles de una

variable independiente no medible, se requieren L-1 variables artificiales.

En el caso de Hombre – Mujer se requiere una variable X con valores 0

y 1; para tres niveles se requerirán dos variables X1 y X2.

Adición hacia delante: Método de selección de variables en el modelo

que inicia sin las variables independientes para ir agregándolas con

base en su contribución a la predicción.

Homoestacidad: Descripción de los datos para los cuales la varianza

de los términos de error (e ) aparece constante sobre el rango de valores

de la variable independiente. Cuando los términos de error tienen

varianza incremental o modulada, se dice que los datos tienen

Heteroestacidad.

Observación influyente: Es una observación que tiene una influencia

desproporcionada en uno o más aspectos de los estimados de la

regresión, puede ser basada en valores extremos de las variables

independientes y dependiente o ambas.

Outlier: Es una observación que tiene una diferencia significativa entre

el valor real de la variable dependiente y el valor de predicción. Los

casos que son muy diferentes ya sea en sus variables independientes o

dependiente. Deben analizarse para poder eliminarlas.

Coeficiente de correlación parcial: Valor que mide la fuerza de la

relación entre la variable dependiente o criterio y una única variable

independiente manteniendo constante los efectos de las otras variables

independientes. Es útil para identificar la variable independiente con la

mayor capacidad predictiva incremental. Se le asocian los estadísticos

parciales de F y t así como su gráfica de regresión parcial.

Potencia: Probabilidad de que se tenga una relación significativa si

realmente existe. Complementa el nivel de significancia Alfa.

Error de predicción: Diferencia entre los valores reales y estimados de

la variable dependiente para cada observación en la muestra (residuos).


Estadístico PRESS: Medida de validación obtenida al eliminar cada

observación una a la vez y estimando su valor dependiente con el

modelo de regresión estimado con las observaciones remanentes.

Variable de Regresión (variate): Combinación lineal de variables

independientes ponderadas usadas para predecir la variable

dependiente.

Error estándar: El valor t de un coeficiente de regresión se obtiene

cuando se divide el valor del coeficiente entre el error estándar.

Estimación por pasos: Método de seleccionar variables para inclusión

en el modelo de regresión que inicia seleccionando el mejor predictor de

la variable dependiente. Las variables independientes adicionales se

seleccionan con base de su potencia explicatorio incremental que

pueden agregar al modelo de regresión (o en base a sus coeficientes de

correlación significativos estadísticamente). También se pueden eliminar

variables independientes si su potencia predictiva se reduce a niveles no

significativos cuando se agrega otra variable independiente al modelo.

Residuo estudentizado: Para minimizar el efecto de un outlier simple,

se calcula la desviación estándar del residuo para la observación i de los

estimados de la regresión omitiendo la observación i-ésima.

Tolerancia: Es una medida de colinealidad y multicolinealidad, es:

*2

1i

RTOLi

*2

iR es el coeficiente de determinación para la variable de predicción i por

las otras variables independientes. Conforme disminuye el valor de la

tolerancia la variable es mejor estimada por las otras variables

independientes (colinealidad).

Factor de inflación de varianza (VIF): es un indicador del efecto que

las otras variables independientes tienen en el error estándar de un

coeficiente de regresión. El factor de inflación de varianza está

directamente relacionado al valor de la tolerancia (VIFi = 1 / TOLi).

Valores grandes de VIF también indican un alto grado de colinealidad o

multicolinealidad entre las variables independientes.


Fórmulas:

La ecuación de regresión simple es:

110ˆ VbbY

Donde: bo = Término de intercepción b1 = coeficiente de la regresión. Error de predicción o residuo = diferencia entre valor real y estimado de la variable dependiente.

El error estándar del estimado se determina como:

2

n

SSESEE

Con SSE = Suma de cuadrados del error.

n = tamaño de la muestra

El intervalo de confianza de predicción se determina como:

SEEtYIC *ˆ

La suma de cuadrados total es:

SSESSRSST

n

i

n

i

iii

n

i

iyyyyyy

1 1

22

1

2)ˆ()ˆ()(

y = promedio de todas las observaciones

iy = valor de la observación individual i

y = valor estimado de la observación i

El coeficiente de determinación se calcula como sigue:

SST

SSRR

2

Para el caso de la regresión múltiple se tiene:

eVbVbbY 22110

ˆ

Para probar la significancia de la regresión se utiliza el estadístico F:

dfeSSE

dfrSSR

F


Cada suma de cuadrados dividida entre sus grados de libertad representa la

varianza.

DIAGNÓSTICO AVANZADO

Índice de condición: Medición de la cantidad de varianza asociada con un

Eigenvalor (valor característico) de manera que un índice grande indica un

alto grado de colinealidad.

Distancia de Cook (Di): Medida resumida de la influencia de una

observación simple con base en los cambios totales en todos los demás

residuos cuando la observación se excluye del proceso de estimación. Los

valores mayores a 1 indican influencia significativa de la observación en la

estimación de los coeficientes de la regresión.

COVRATIO (razón de covarianza): Mide la influencia de una observación

simple en conjunto completo de coeficientes de la regresión. Un valor

cercano a 1 indica poca influencia, si (COVRATIO – 1) > 3 p/n (p es el

número de variables independientes +1 y n es el tamaño de muestra), la

observación se considera que tiene influencia.

Residuo excluido (deleted residual): Es el proceso de calcular residuos

en los cuales la influencia de cada una de las observaciones se excluye

cuando se calcula su residuo. Esto se logra al omitir la i-ésima observación

de la ecuación de regresión usada para calcular el valor estimado Y.

DFBETA: Mide el cambio en un coeficiente de la regresión cuando una

observación se omite del análisis de la regresión, se establece en términos

del coeficiente mismo, también se puede tener una versión estandarizada

SDBETA, donde sus valores son ajustados por sus errores estándar, se

definen cortes en 1 o 2 correspondientes a niveles de confianza de 0.10 y

0.05 respectivamente.

DFFIT: Mide el impacto de una observación en el ajuste general del modelo,

con una versión estandarizada DFFIT. La mejor regla práctica es clasificar

como influenciables cualquier valor SDFFIT > 2 / raìz(p/n). p es el número

de variables independientes +1 y n es el tamaño de muestra.

Eigenvalor (valor característico): Mide la cantidad de varianza contenida

en la matriz de correlación de manera que la suma de los eigenvalores es


igual al número de variables. También se conoce como raíz latente o raíz

característica.

Matriz sombrero: Matriz que contiene valores para cada observación en la

diagonal conocida como matriz sombrero, que representan el impacto de la

variable dependiente observada en su valor estimado por la regresión. Si

todas las observaciones tuvieran la misma influencia, tendrían un valor de

p/n. Si una observación no tiene influencia, su valor será -1/n, y cuando un

valor domina valdrá (n-1)/n. Los valores que exceden a 2p/n para muestra

grandes o 3p/n para muestras pequeñas (n<= 30) son candidatos como

observaciones influyentes.

Punto palanca (leverage point): Una observación que tiene un impacto

sustancial en los resultados de la regresión dadas sus diferencias con otras

observaciones en una o más de las variables independientes. La medida

más común de estos puntos es el valor sombrero contenido en la matriz

sombrero.

Distancia de Malahanobis (D2): Medida de la singularidad de una

observación simple con base en las diferencias entre los valores de la

observación y los valores promedio para todos los otros casos de las

variables independientes. La influencia en la regresión por la observación es

diferente para una o más variables predictoras, causando un corrimiento en

la ecuación de regresión.

Outlier (punto aberrante o lejano): Es una observación que tiene una

diferencia sustancial entre sus valores observados y estimados en la

variable dependiente (un residuo grande) o entre sus variables

independientes y los de otras observaciones. El objetivo de identificarlos es

que pueden representar de manera inapropiada el comportamiento de la

población.

Matriz de descomposición – varianza de los coeficientes de regresión:

Método para determinar la contribución relativa de cada uno de los

eigenvalores a cada uno de los coeficientes estimados. Si dos o más

coeficientes están muy asociados con un eigenvalor simple (índice de

condición) indica que está presente un nivel inaceptable de

multicolinealidad.


Residuo: Medida de la estimación predictiva de una observación simple,

calculado como la diferencia del valor observado y el valor estimado de la

variable dependiente. Se asume que los residuos tienen media cero y

varianza constante. También sirven para identificar outliers y observaciones

influenciables.

Residuos estandarizados: Reescalado de los residuos a una base común

dividiendo cada uno de los residuos entre la desviación estándar de los

residuos. De esta manera los residuos estandarizados tienen una media de

cero y una desviación estándar de uno. Los outliers son identificados como

las observaciones que tienen residuos mayores a 1 o 2 para niveles de

confianza de 0.10 y 0.05 respectivamente.

Residuos estudentizados: Difieren del residuo estandarizado en la forma

de calcular la desviación estándar. Para minimizar la influencia de un outlier

simple, la desviación estándar utilizada para estandarizar el residuo i-ésimo

se calcula de los estimados de la regresión excluyendo la observación i-

ésima. Esto se hace de manera repetitiva para cada una de las

observaciones, cada vez se excluye la observación de los cálculos.

Evaluado la multicolinealidad

Corrida con SPSS

Regression

Variables Entered/Removed(b)

Model Variables Entered Variables Removed Method

1 X7, X5, X6, X3, X2, X4, X1(a) . Enter

a All requested variables entered.

b Dependent Variable: X9

Model Summary

Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate

1 .879(a) .772 .755 4.4508


a Predictors: (Constant), X7, X5, X6, X3, X2, X4, X1

ANOVA(b)

Model Sum of Squares df Mean Square F Sig.

1

Regression 6177.812 7 882.545 44.552 .000(a)

Residual 1822.444 92 19.809

Total 8000.256 99

a Predictors: (Constant), X7, X5, X6, X3, X2, X4, X1

b Dependent Variable: X9

Coefficients(a)

Unstandardized Coefficients

Standardized Coefficients

t Sig.

Collinearity Statistics

Model B Std. Error

Beta

Tolerance VIF

1

(Constant) -9.255 4.949 -1.870 .065

X1 1.956 2.045 .287 .957 .341 .027 36.445

X2 1.280 2.155 .170 .594 .554 .030 33.176

X3 3.270 .406 .507 8.057 .000 .627 1.596

X4 -3.937E-03 .671 .000 -.006 .995 .347 2.884

X5 4.600 4.012 .384 1.147 .255 .022 45.401

X6 1.230 .954 .106 1.290 .200 .370 2.701

X7 .426 .356 .075 1.198 .234 .629 1.589

a Dependent Variable: X9

Collinearity Diagnostics(a)

Eigenvalue Condition Index

Variance Proportions

Model Dimension

(Constant) X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

1

1 7.533 1.000 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00

2 .251 5.474 .00 .00 .01 .01 .00 .00 .00 .01

3 .106 8.426 .00 .01 .01 .00 .01 .00 .04 .04

4 6.548E-02 10.726 .01 .00 .00 .04 .03 .00 .18 .09

5 2.463E-02 17.489 .01 .01 .01 .31 .00 .00 .00 .53


6 1.219E-02 24.861 .03 .00 .00 .07 .75 .00 .67 .05

7 6.259E-03 34.692 .86 .00 .00 .52 .17 .00 .10 .28

8 8.354E-04 94.959 .09 .97 .97 .05 .04 .99 .01 .00

a Dependent Variable: X9

Ejemplo:

Familia Tarjetas Tamaño Ingreso

1 4 2 14

2 6 2 16

3 6 4 14

4 7 4 17

5 8 5 18

6 7 5 21

7 8 6 17

8 10 6 25

Total

Las instrucciones de Minitab para correr el ejemplo son:

1 Cargar datos 2 en Minitab.

2 Stat > Regression > Regression.

3 En Response, seleccionar Tarjetas.

4 En Predictors, seleccionar Tamaño e Ingreso.

5 Click Graphs.

6 En Residuals for Plots, seleccionar Standardized.

7 En Residual Plots, seleccionar Individual Plots. Seleccionar Histogram of residuals, Normal plot of residuals, y Residuals versus fits. Click OK.

8 Click Options. en Display, seleccionar PRESS y predicted R-square. Click OK en cada uno de los cuadros de diálogo.



Standardized Residual

Pe

rce

nt

3210-1-2-3

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

Normal Probability Plot of the Residuals(response is Tarjetas)

Regression Analysis: Tarjetas versus Tamaño, Ingreso The regression equation is

Tarjetas = 0.48 + 0.632 Tamaño + 0.216 Ingreso

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 0.482 1.461 0.33 0.755

Tamaño 0.6322 0.2523 2.51 0.054

Ingreso 0.2158 0.1080 2.00 0.102

S = 0.780990 R-Sq = 86.1% R-Sq(adj) = 80.6%

PRESS = 8.02177 R-Sq(pred) = 63.54%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression 2 18.9503 9.4751 15.53 0.007

Residual Error 5 3.0497 0.6099

Total 7 22.0000

Source DF Seq SS

Tamaño 1 16.5143

Ingreso 1 2.4360

Interpretación de resultados

Salida de sesión

El valor P en la tabla de ANOVA (0.000) muestra que el modelo

estimado por el procedimiento de regresión es significativo a un alfa de

0.05, indicando que al menos un coeficiente es diferente de cero.


Los valores P de los coeficientes estimados para tamaño es de 0.054

indicando que es significativo a un nivel alfa de 0.054. Sugiriendo que el

modelo de regresión simple es adecuado.

El valor de R cuadrado indica que los predoctores explican el 87.4% de

la varianza en Tarjetas. La R cuadrada ajustada es 85.9%, que

representa la contribución del número de predictores en el modelo.

Ambos valores indican que el ajuste es adecuado.

El valor pronosticado R cuadrado es 78.96%, dado que es parecido a R

cuadrado y r cuadrado ajustado, el modelo no parece estar

sobreajustado y tiene una buena habilidad de predicción

Las observaciones 4 y 22 se identifican como no usuales dado que el

valor estandarizado de los residuos es mayor a 2. Indicando puntos

aberrantes o outliers.

Salida gráfica

El histograma de los residuos muestra un patrón consistente con la

distribución normal. El histograma es más efectivo para grupos de más

de 50 observaciones. La gráfica de probabilidad normal es más fácil de

interpretar con pequeñas muestras.

En la gráfica normal también sobresalen los outliers 4 y 22.

La gráfica de residuos contra valores de predicción muestra que los

residuos son más pequeños conforme los valores ajustados se

incrementan, indicando que no tienen varianza constante.


Ejemplo con datos de Hatco

Hacer un estudio de correlación entre las variables independientes:

1 Cargar datos en Minitab.

2 Stat > Basic statistics > Correlation

3 Variables X1 – X7 X9 indicar Show P value

4 OK

Los resultados son los siguientes:

Correlations: X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X9 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

X2 -0.349

0.000

X3 0.476 -0.472

0.000 0.000

X4 0.050 0.272 -0.095

0.618 0.006 0.347

X5 0.612 0.513 0.064 0.299

0.000 0.000 0.524 0.003

X6 0.077 0.186 -0.015 0.788 0.241

0.446 0.064 0.880 0.000 0.016

X7 -0.483 0.470 -0.407 0.200 -0.055 0.177

0.000 0.000 0.000 0.046 0.586 0.078

X9 0.676 0.083 0.556 0.225 0.701 0.257 -0.192

0.000 0.412 0.000 0.024 0.000 0.010 0.055


P-Value

La variable X5 (servicio en general) está más correlacionado con la respuesta

X9 con r = 0.701. X1 también está correlacionada con la respuesta sin embargo

tiene correlación con X5 por lo que el uso de ambas es cuestionable.

Las instrucciones de Minitab para correr el ejemplo son:

1 Cargar datos en Minitab.

2 Stat > Regression > Regression.


3 En Response, seleccionar X9 (utilización del producto).

4 En Predictors, seleccionar X1 – X7.

5 Click Graphs.

6 En Residuals for Plots, seleccionar Standardized.

7 En Residual Plots, seleccionar Individual Plots. Seleccionar Histogram of residuals, Normal plot of residuals, y Residuals versus fits. Click OK.

Regression Analysis: X9 versus X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 The regression equation is

X9 = - 9.25 + 1.96 X1 + 1.28 X2 + 3.27 X3 - 0.004 X4 + 4.60 X5 + 1.23 X6

+ 0.426 X7

Predictor Coef SE Coef T P

Constant -9.255 4.949 -1.87 0.065

X1 1.956 2.045 0.96 0.341

X2 1.280 2.155 0.59 0.554

X3 3.2702 0.4059 8.06 0.000

X4 -0.0039 0.6714 -0.01 0.995

X5 4.600 4.012 1.15 0.255

X6 1.2305 0.9537 1.29 0.200

X7 0.4261 0.3557 1.20 0.234

S = 4.45075 R-Sq = 77.2% R-Sq(adj) = 75.5%

PRESS = 2144.13 R-Sq(pred) = 73.20%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression 7 6177.81 882.54 44.55 0.000

Residual Error 92 1822.44 19.81

Total 99 8000.26

Source DF Seq SS

X1 1 3659.76

X2 1 927.88

X3 1 1424.10

X4 1 80.48

X5 1 18.20

X6 1 38.97

X7 1 28.43

Unusual Observations

Obs X1 X9 Fit SE Fit Residual St Resid

7 4.60 46.000 58.734 1.379 -12.734 -3.01R

11 2.40 32.000 41.365 1.014 -9.365 -2.16R

14 3.70 38.000 47.833 1.098 -9.833 -2.28R

22 3.40 35.000 34.870 2.711 0.130 0.04 X

55 3.80 39.000 33.433 2.712 5.567 1.58 X

100 2.50 33.000 43.721 1.049 -10.721 -2.48R

R denotes an observation with a large standardized residual.


X denotes an observation whose X value gives it large influence.

Normplot of Residuals for X9

Standardized Residual

Pe

rce

nt

3210-1-2-3

99.9

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

0.1

Normal Probability Plot of the Residuals(response is X9)

Fitted Value

Sta

nd

ard

ize

d R

esid

ua

l

6050403020

2

1

0

-1

-2

-3

Residuals Versus the Fitted Values(response is X9)


11. ANÁLISIS DE CORRESPONDENCIA


11. Análisis de correspondencia

A. Análisis de correspondencia simple

El análisis de correspondencia simple ayuda a explorar las relaciones en una

clasificación de dos vías. Puede operar también en tres vías y cuatro vías dado

que pueden reducirse a tablas de dos vías. Este procedimiento descompone

una tabla de contingencia de manera similar a como el análisis de

componentes principales descompone datos continuos multivariados. Se

realiza un análisis eigen de los datos, y la variabilidad es dividida en

dimensiones relevantes y asociada con renglones y/o columnas.

El análisis de correspondencia realiza un análisis de componentes principales

ponderados en una tabla de contingencia. Si la tabla tiene r renglones y c

columnas, el número de dimensiones relevantes es el más pequeño de (r-1) y

(c-1). Como con componentes principales, la variabilidad se divide, pero en

lugar de particionar la varianza total, el análisis de correspondencia simple

particiona el estadístico c2 de Pearson (similar al de la prueba de asociación).

Tradicionalmente, el análisis de correspondencia usa c2/n, denominado inercia

total o inercia, en lugar de c2. Las inercias asociadas con todos los

componentes principales se suman hasta la inercia total. Idealmente, los

primeros uno, dos o tres componentes deben contener la inercia total.

Los subespacios dimensionales más bajos se expanden por los componentes

principales. El primer eje principal se selecciona de manera que contenga la

mayor cantidad de inercia; el segundo eje principal se selecciona de manera

que contenga la mayor cantidad de la inercia remanente, etc. Los subespacios

son anidados, de modo que el mejor subes pació de una dimensión es un

subes pació del mejor subespacio de dos dimensiones, etc.

La coordenada principal para el perfil del renglón i y compnente (eje) k es la

coordenada de la proyección del perfil del renglón i en el componente k. Las

coordenadas del renglón estandarizado para el componente k son las


coordenadas principales para el componente k dividido por la raíz cuadrada de

la inercia k-ésima.

De igual manera, la coordenada principal para el perfil de la columna j y el

componente k es la coordenada de la proyección del perfil de columna j en el

componente k. Las coordenadas estandarizadas de columna para el

componente k son las coordenadas de la columna principal para el componente

k dividido por la k-ésima inercia.

La tabla de contingencia puede ser analizada en términos de perfiles de

renglones y columnas. Un perfil de renglón es una lista proporciones de renglón

que se calculan de los números de la tabla de contingencia. Específicamente,

el perfil del renglón i es (ni1/ni., ni2/ni.,….,nic/ni.). Un perfil de columna es una

lista de proporciones de columna, donde nij, es la frecuencia en el renglón i y la

columna j de la tabla y ni., es la suma de las frecuencias en el renglón i.

Específicamente, el perfil para la columna j es (n1j/n.j, n2j/n.,, …, nrj/n.j), donde

n.j, es la suma de las frecuencias en la columna j.

Los dos análisis son matemáticamente equivalentes, el que se seleccione es

que sea más natural para un análisis dado. En general, es interesante estudiar

como difieren los perfiles de renglón o de columna uno de otro.

Los perfiles de renglón son vectores de longitud c y por tanto se encuentran en

un espacio dimensional de c-dimensiones (de manera similar, los perfiles de

columna se encuentran en un espacio r-dimensional).

Como esta dimensión es normalmente alta para permitir una interpretación

fácil, se desea encontrar un espacio de menor dimensión (de preferencia no

más de dos o tres) que se encuentre cercano a todos los perfiles de renglones

(o puntos de perfiles de columnas). Después se pueden proyectar estos puntos

de los perfiles en el subespacio y estudiar las proyecciones. Si las

proyecciones son cercanas a los perfiles, no se pierde mucha información,

trabajando en dos o tres dimensiones permite estudiar los datos más fácilmente

y, en particular, permite examinar las gráficas. El proceso es similar a


seleccionar un número pequeño de componentes principales para resumir la

variabilidad de los datos continuos.

Si d = el más pequeño de (r-1) y (c-1), entonces los perfiles de renglón (o

perfiles equivalentes de columna) se encuentran en un subespacio d-

dimensional del espacio –c-dimensional completo (o su equivalente r-

dimensional completo). De ésta forma, hay a lo más d componentes.

Ejemplo:

Del texto de M. J. Greenacre, Correspondence Analysis in Practice, by p.75. 796

investigadores fueron clasificados en diez disciplinas académicas y cinco

categorías de fondos, A es la categoría más alta, D es la categoría más baja y

E es categoría sin fondeo. Las disciplinas son renglones y las categorías son

columnas. Se desea saber como las disciplinas se comparan unas con otras

respecto a las categorías de fondeo, se forma que se realiza un análisis de

correspondencia con una orientación a renglones.

Como información complementaria se incluye: un renglón para investigadores

de museos no incluida en el estudio y un renglón para matemáticas y

estadística.

Los datos colectados son los siguientes:

Archivo Tabl.Mtw

CT1 CT2 CT3 CT4 CT5 RowNames ColNames RowSupp1 RowSupp2 RSNames

3 19 39 14 10 Geology A 4 4 Museums

1 2 13 1 12 Biochemistry B 12 16 MathSci

6 25 49 21 29 Chemistry C 11 48

3 15 41 35 26 Zoology D 19 12

10 22 47 9 26 Physics E 7 27

3 11 25 15 34 Engineering

1 6 14 5 11 Microbiology

0 12 34 17 23 Botany

2 5 11 4 7 Statistics

2 11 37 8 20 Mathematics



1 Open worksheet EXH_TABL.MTW.

2 Stat > Multivariate > Simple Correspondence Analysis.

3 Seleccionar en Columns of a contingency table, CT1-CT5. En Row names, seleccionar RowNames. En Column names, seleccionar ColNames.

4 Click Results y seleccionar Row profiles. Click OK.

5 Click Supp Data. En Supplementary Rows, indicar RowSupp1 RowSupp2. En Row names, indicar RSNames. Click OK.

6 Click Graphs. Seleccionar Show supplementary points in all plots. Seleccionar Symmetric plot showing rows only y Asymmetric row plot showing rows and columns.

7 Click OK in each dialog box.


Simple Correspondence Analysis: CT1, CT2, CT3, CT4, CT5

Perfiles por renglón: Se muestra la proporción de cada una de las categorías

de renglón por columna. Así, de la clase de Geología, 3.5% está en columna A,

22.4% en columna B, etc. La masa de la fila de Geología, 0.107, es la

proporción de todas las materias de Geología en el conjunto de datos.

Row Profiles

A B C D E Mass

Geology 0.035 0.224 0.459 0.165 0.118 0.107

Biochemistry 0.034 0.069 0.448 0.034 0.414 0.036

Chemistry 0.046 0.192 0.377 0.162 0.223 0.163

Zoology 0.025 0.125 0.342 0.292 0.217 0.151

Physics 0.088 0.193 0.412 0.079 0.228 0.143

Engineering 0.034 0.125 0.284 0.170 0.386 0.111

Microbiology 0.027 0.162 0.378 0.135 0.297 0.046

Botany 0.000 0.140 0.395 0.198 0.267 0.108

Statistics 0.069 0.172 0.379 0.138 0.241 0.036

Mathematics 0.026 0.141 0.474 0.103 0.256 0.098

Mass 0.039 0.161 0.389 0.162 0.249

Análisis de la tabla de contingencia: se muestra la descomposición de la

inercia total. Se muestra el resumen de la descomposición de una tabla de

contingencia de 10 x 5 en 4 componentes. La columna denominada inercia

contiene el valor Chi cuadrada / n para cada componente. De la inercia total,

65.972 / 796 = 0.0829, 47.2% está contenida en el primer componente, 36.66%

por el segundo componente, etc. Aquí, 65.972 es el estadístico Chi cuadrada


que se debería obtener si se realizara la prueba Chi cuadrada de asociación

con esta tabla de contingencia.

Analysis of Contingency Table

Axis Inertia Proportion Cumulative Histogram

1 0.0391 0.4720 0.4720 ******************************

2 0.0304 0.3666 0.8385 ***********************

3 0.0109 0.1311 0.9697 ********

4 0.0025 0.0303 1.0000 *

Total 0.0829

Contribuciones de renglón: como no se especificó el número de

componentes, se calculan dos.

La columna Quality, es la proporción de la inercia de renglón

representada por los dos componentes. Los renglones Zoology y

Geology, con Quality de 0.928 y 0.916, respectivamente, están mejor

representados entre los renglones por los dos componentes, mientras

que Math tiene la representación más débil con 0.319.

La columna Mass tiene el mimo significado que en la tabla de perfiles de

Renglón – la proporción de la clase en el conjunto completo de datos.

La columna denominada Inert, es la proporción en la que contribuye

cada renglón en la inercia total. Así, Geology contribuye con 13.7% del

estadístico Chi cuadrado total.

Row Contributions

Component 1

ID Name Qual Mass Inert Coord Corr Contr

1 Geology 0.916 0.107 0.137 -0.076 0.055 0.016

2 Biochemistry 0.881 0.036 0.119 -0.180 0.119 0.030

3 Chemistry 0.644 0.163 0.021 -0.038 0.134 0.006

4 Zoology 0.929 0.151 0.230 0.327 0.846 0.413

5 Physics 0.886 0.143 0.196 -0.316 0.880 0.365

6 Engineering 0.870 0.111 0.152 0.117 0.121 0.039

7 Microbiology 0.680 0.046 0.010 -0.013 0.009 0.000

8 Botany 0.654 0.108 0.067 0.179 0.625 0.088

9 Statistics 0.561 0.036 0.012 -0.125 0.554 0.014

10 Mathematics 0.319 0.098 0.056 -0.107 0.240 0.029

Component 2

ID Name Coord Corr Contr

1 Geology -0.303 0.861 0.322

2 Biochemistry 0.455 0.762 0.248

3 Chemistry -0.073 0.510 0.029


4 Zoology -0.102 0.083 0.052

5 Physics -0.027 0.006 0.003

6 Engineering 0.292 0.749 0.310

7 Microbiology 0.110 0.671 0.018

8 Botany 0.039 0.029 0.005

9 Statistics -0.014 0.007 0.000

10 Mathematics 0.061 0.079 0.012

Renglones suplementarios: esta tabla se puede interpretar de manera similar

a la tabla de contribuciones por renglón.

Supplementary Rows

Component 1 Component 2

ID Name Qual Mass Inert Coord Corr Contr Coord Corr Contr

1 Museums 0.556 0.067 0.353 0.314 0.225 0.168 -0.381 0.331 0.318

2 MathSci 0.559 0.134 0.041 -0.112 0.493 0.043 0.041 0.066 0.007

Contribuciones de columna: aquí se muestra que dos componentes explican

la mayoría de la variabilidad en las categorías de fondeo B, D, y E. Las

categorías de fondeo A, B, C y D contribuyen más al componente 1, mientras

que la categoría sin fondos E, contribuye más al componente 2.

Column Contributions



1 A 0.587 0.039 0.187 -0.478 0.574 0.228 -0.072 0.013 0.007

2 B 0.816 0.161 0.110 -0.127 0.286 0.067 -0.173 0.531 0.159

3 C 0.465 0.389 0.094 -0.083 0.341 0.068 -0.050 0.124 0.032

4 D 0.968 0.162 0.347 0.390 0.859 0.632 -0.139 0.109 0.103

5 E 0.990 0.249 0.262 0.032 0.012 0.006 0.292 0.978 0.699

Gráfica de Renglones: muestra las coordenadas principales de renglón. El

componente 1, que mejor explica Zoología y Física, muestra dos clases

removidas desde el origen, pero con signo contrario. El componente 1 podrá

ser pensado como contraste de las ciencias biológicas y Botánica con la Física.

El componente 2 podría pensarse como contraste de Bioquímica e Ingeniería

con Geología.


Component 1

Co

mp

on

en

t 2

0.50.40.30.20.10.0-0.1-0.2-0.3-0.4

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

MathSci

Museums

Mathematics

Statistics

Botany

Microbiology

Engineering

Physics

ZoologyChemistry

Biochemistry

Geology

Row Plot

Gráfica asimétrica de renglones: los renglones son escalados en

coordenadas principales y las columnas son escaladas en coordenadas

estándar. Entre las clases de fondeo, el Componente 1 contrasta los niveles de

fondeo, mientras que el componente 2 contrasta de los que se fondean (A a D)

contra los que no se fondean €. Entre las disciplina, la física tiende a tener el

mayor nivel de fondeo y la Zoología tiene el fondeo más bajo. La Bioquímica

tiende a tener el punto medio del nivel de fondeo, pero es el más alto entre los

investigadores sin fondeo. Los museos tienden a estar fondeados, pero en un

menor nivel que los investigadores académicos.

Component 1

Co

mp

on

en

t 2

210-1-2-3

2

1

0

-1

-2

-3

E

D

C

B

A

MathSci

Museums

MathematicsStatistics

BotanyMicrobiologyEngineering

Physics

ZoologyChemistry

Biochemistry

Geology

Asymmetric Row Plot


B. Análisis de correspondencia múltiple

El análisis de correspondencia múltiple extiende al análisis de correspondencia

simple al caso de tres o más variables categóricas. El análisis de

correspondencia múltiple realiza un análisis de correspondencia simple en una

matriz de variables indicadoras donde cada columna de la matriz corresponde

a un nivel de variable categórica. En vez de tener una tabla de dos vías, la

tabla multi vía se resume a una dimensión. Al moverse del procedimiento

simple al múltiple. Se gana información en un número potencial mayor de

variables, pero se puede perder información en como los renglones y las

columnas se relacionan unas con otras.

El análisis de correspondencia múltiple descompone una matriz de variables

indicadoras formadas de todas las variables consideradas. No se parece al de

correspondencia simple, donde las columnas y renglones son de una variable,

aquí todas las clases de variables son contribuyentes de columnas.

El análisis de correspondencia múltiple realiza un análisis de componentes

principales ponderado de la matriz de variables indicadoras. Si el número de

categorías en las j columnas categóricas son c1, c2, …, cj, el número de

dimensiones relevantes es la suma de (ci-1), con i = 1, 2, …., j. Como en el

análisis de correspondencia simple, el análisis de correspondencia múltiple

particiona el estadístico Chi cuadrada de Pearson. A diferencia del análisis de

correspondencia simple, no se pueden analizar ya sean los perfiles de renglón

o de columna – hay solo perfiles de columnas --. Dado que no hay renglones,

este análisis ofrece solo una gráfica – una gráfica de coordenadas de

columnas.

Ejemplo:

Los accidentes de automóvil se clasifican de acuerdo al tipo de accidente en:

colisión o volcadura; severidad del accidente (no severo y severo); si o no el

chofer fue expulsado; y el tamaño del coche (pequeño o estándar). Se utiliza el


análisis de correspondencia múltiple para examinar como las categorías en

esta tabla de cuatro vías se relacionan unas con otras.

1 Open worksheet EXH_TABL.MTW.

2 Stat > Multivariate > Multiple Correspondence Analysis.

3 Seleccionar Categorical variables, e indicar CarWt DrEject AccType AccSever.

4 En Category names, seleccionar AccNames.

5 Click Graphs. seleccionar Display column plot.

7 Click OK en cada uno de los cuadros de diálogo.


Multiple Correspondence Analysis: CarWt, DrEject, AccType, AccSever

Análisis de la matriz indicadora: esta tabla da un resumen de la

descomposición de las variables. La columna denominada Inercia es el valor de

la Chi cuadrada / n contenida por cada componente. De la inercia total de 1,

40.3%, 25.2%, 19.0% y, 15.5% son contenidas en los componentes primero al

cuarto respectivamente.

Analysis of Indicator Matrix

Axis Inertia Proportion Cumulative Histogram

1 0.4032 0.4032 0.4032 ******************************

2 0.2520 0.2520 0.6552 ******************

3 0.1899 0.1899 0.8451 **************

4 0.1549 0.1549 1.0000 ***********

Total 1.0000

Contribuciones de columna: como no se especificó el número de

componentes, se calculan dos.

La columna Quality, es la proporción de la inercia de columna

representada por los dos componentes. Las categorías tamaño de coche

(pequeño, estándar) con Qual = 0.965, mientras que las categorías de

expulsión son al menos representadas por Qual = 0.474. Cuando hay

solo dos categorías para cada clase, cada una es representada de


manera similar por cualquier componente, pero esto puede no ser cierto

para más de dos categorías.

La columna Mass tiene el mismo significado que en la tabla de perfiles

de Renglón – la proporción de la clase en el conjunto completo de datos.

En este ejemplo CarWt, DrEject, AccType, y AccServer se combinan

para una proporción de 0.25.

La columna denominada Inert, es la proporción en la que contribuye

cada columna en la inercia total. Las categorías coches pequeños,

expulsados, y volcaduras tienen la mayor inercia, sumando 61.4%, que

indica que estas categorías están más disociadas de las demás.

Column Contributions



1 Small 0.965 0.042 0.208 0.381 0.030 0.015 -2.139 0.936 0.771

2 Standard 0.965 0.208 0.042 -0.078 0.030 0.003 0.437 0.936 0.158

3 NoEject 0.474 0.213 0.037 -0.284 0.472 0.043 -0.020 0.002 0.000

4 Eject 0.474 0.037 0.213 1.659 0.472 0.250 0.115 0.002 0.002

5 Collis 0.613 0.193 0.057 -0.426 0.610 0.087 0.034 0.004 0.001

6 Rollover 0.613 0.057 0.193 1.429 0.610 0.291 -0.113 0.004 0.003

7 NoSevere 0.568 0.135 0.115 -0.652 0.502 0.143 -0.237 0.066 0.030

8 Severe 0.568 0.115 0.135 0.769 0.502 0.168 0.280 0.066 0.036

La información para los compoinentes es como sigue:

La columna denominada Coord da las coordenadas de la columna. Ejec.

Y Rollover tienen las coordenadas mayores para el componente 1 y

Small tiene la coordenada más grande en valor absoluto para el

componente 2. El signo y su tamaño relativo son útiles para interpretar

los componentes.

La columna Corr representa la contribución del componente respectivo a

la inercia del renglón. Aquí, el Componente 1 contiene de 47 a 61% de la

inercia de las categorías de expulsión, tipo de colisión, y severidad del

accidente, pero explica solo el 30% de la inercia del tamaño de coche.

Contr, la contribución del renglón a la inercia del eje, muestra Ejec. Y

Rollover contribuyendo a la mayoría del, con componente 1 (Contr =

0.250 y 0.291, respectivamente). El componente 2, por otra parte


contiene el 93.6% de la inercia de la categoría del tamaño del coche con

Small contribuyendo con el 77.1% de la inercia del eje.

Gráfica de columna: Como la contribución para el Componente 1 indica, Ejec.

Y Rollover están más distantes del origen. Este componente constrasta Ejec. Y

Rollover y de alguna manera Severe y NoSevere. El Componente 2 separa

Small de las otras categorías. Sin embargo dos componentes pueden no ser

adecuados para explicar la variabilidad de esos datos.

Component 1

Co

mp

on

en

t 2

210-1-2

2

1

0

-1

-2

Severe

NoSevereRollover

Collis

EjectNoEject

Standard

Small

Column Plot


12. ESCALADO MULTIDIMENSIONAL


12. Escalado Multidimensional El escalado multidimensional intenta encontrar la estructura de un conjunto de

medidas de distancias entre objetos o casos. Esto se logra al asignar

observaciones a localidades específicas en un espacio conceptual (de dos o

tres dimensiones) de tal manera que las distancias entre puntos en el espacio

se ajusten a las diferencias tan cerca como sea posible. En muchos casos, las

dimensiones de este espacio conceptual puede ser interpretado y usado

posteriormente para interpretar los datos. Si se han medido las variables

objetivamente, se puede utilizar el escalado multidimensional como una técnica

de reducción de datos. Se puede aplicar también a calificaciones subjetivas de

diferencias entre objetos o conceptos. Adicionalmente, el procedimiento puede

manejar datos no similares de fuentes múltiples, como diferentes

encuestadores o encuestados.

Por ejemplo, ¿Cómo percibe la gente las relaciones entre diferentes coches? Si

se tienen datos de encuestas indicando calificaciones de similaridad entre

diferentes fabricantes y modelos de coches, el escalado multidimensional

puede ser utilizado para identificar dimensiones que describan las

percepciones de los clientes.

Se podría encontrar por ejemplo, que el precio y tamaño de un vehículo define

un espacio de dos dimensiones, que contiene las similaridades reportadas por

los encuestados.

Construyendo un mapa de la matriz de distancias El escalado multidimensional es una técnica que está diseñada para construir un ―mapa‖ mostrando las relaciones entre un número de objetos, dada sólo una tabla de distancias entre ellos. El ―mapa‖ puede estar en una dimensión (si caen en una línea), en dos dimensiones (si los objetos se encuentran en un plano), en tres dimensiones ( si los objetos pueden ser representados por puntos en el espacio), o en un número mayor de dimensiones. Por ejemplo, las distancias entre cuatro objetos A, B, C y D se tiene:


A B C D

A 0 6 6 2.5

B 6 0 9.5 7.8

C 6 9.5 0 3.5

D 2.5 7.8 3.5 0

B A D C

La distancia al mismo objeto es cero. El objeto puede ser reconstruido con

base en las distancias de la matriz.

Procedimiento para escalado multidimensional

El escalado multidimensional clásico inicia con una matriz de distancias entre n

objetos que tienen ij , la distancia del objeto i al objeto j, en el renglón i-ésimo

y la columna j-ésima. El número de dimensiones t, para el mapeo de objetos es

fijo para una solución en particular. Los pasos que se siguen en los programas

computacionales son los siguientes:

1. Una configuración inicial es preparada para los n objetos en t dimensiones,

i.e., se asumen las coordenadas (x1, x2, …, xt) para cada objeto en un espacio

dimensional t.

2. Se calculan las distancias euclidianas entre los individuos para la

configuración. Sea dij la distancia entre individuos i y j.

3. Se hace una regresión de dij sobre ij, la última es la distancia entre

individuos i y j con base en los datos de entrada.

La regresión puede ser lineal, polinómica o monotónica. Por ejemplo una

regresión lineal asume que:


ijij

bad

La regresión monotónica asume que si varia delta puede incrementar de la dij o

mantenerse constante, sin establecerse una relación entre las variables.

Las distancias obtenidas ijij

bad ˆ de la regresión se denominan

―disparidades‖, que son las distancias ij escaladas para ajustar a la

configuración de dij tan cerca como sea posible:

4. La bondad de ajuste entre las distancias de la configuración y las

disparidades se mide con un estadístico adecuado, que puede ser el STRESS,

que es:

2/122 ˆ/)ˆ(1

ijijijdddSTRESS

El término STRESS indica la amplitud a la cual la configuración espacial de

puntos tiene que ser estresada para obtener los datos de distancias ij .

5. Las coordenadas (x1, x2, …, xt) de cada objeto se cambia ligeramente para

reducir el estrés.

Los pasos 2 a 5 se repiten hasta que parece que el estrés no se puede reducir

más. Como resultados del análisis se tienen las coordenadas de los n

individuos en las t dimensiones. Estas coordenadas pueden utilizarse para

dibujar un mapa que muestre como se relacionan los individuos. Es deseable

encontrar una buena solución en tres o menos dimensiones, para poder hacer

una representación gráfica adecuada.

Ejemplo:

Con base en un ―mapa‖ de carreteras de una isla de Nueva Zelanda de 13

ciudades. Como las distancias no son proporcionales a las distancias

geográficas no es posible recuperar exactamente el mapa de las carreteras.



Escalado multidimensional

Alejandra Balclutha Blenheim Christchurch Dunedin Franza Josef Greymouth Invercargill Milford Nelson Queenstown

Te anau Timaru

Alejandra 0 100 485 284 126 233 347 138 248 563 56 173 197

Balclutha 100 0 478 276 50 493 402 89 213 537 156 138 177

Blenheim 485 478 0 201 427 327 214 567 691 73 494 615 300

Christchurch 284 276 201 0 226 247 158 365 489 267 305 414 99

Dunedin 126 50 427 226 0 354 352 139 263 493 192 188 127

Franza_Josef 233 493 327 247 354 0 114 380 416 300 228 366 313

Greymouth 347 402 214 158 352 114 0 493 555 187 341 480 225

Invercargill 138 89 567 365 139 380 493 0 174 632 118 99 266

Milford 248 213 691 489 263 416 555 174 0 756 178 75 377

Nelson 563 537 73 267 493 300 187 632 756 0 572 681 366

Queenstown 56 156 494 305 192 228 341 118 178 572 0 117 230

Te_anau 173 138 615 414 188 366 480 99 75 681 117 0 315

Timaru 197 177 300 99 127 313 225 266 377 366 230 315 0

Corrida con SPSS 1. Analyze > Scale > Multidimensional scaling 2. Pasar todas las variables (dimensions min 2 max 2) 3. Options: Group plots; Individual subject plots; Data Matriz; Model summary 4. OK Los resultados son los siguientes:

Alscal Alscal Procedure Options

Data Options-

Number of Rows (Observations/Matrix). 13

Number of Columns (Variables) . . . 13

Number of Matrices . . . . . . 1

Measurement Level . . . . . . . Ordinal

Data Matrix Shape . . . . . . . Symmetric

Type . . . . . . . . . . . Dissimilarity

Approach to Ties . . . . . . . Leave Tied

Conditionality . . . . . . . . Matrix

Data Cutoff at . . . . . . . . .000000

Model Options-

Model . . . . . . . . . . . Euclid

Maximum Dimensionality . . . . . 2

Minimum Dimensionality . . . . . 2

Negative Weights . . . . . . . Not Permitted

Output Options-

Job Option Header . . . . . . . Printed

Data Matrices . . . . . . . . Printed


Configurations and Transformations . Plotted

Output Dataset . . . . . . . . Not Created

Initial Stimulus Coordinates . . . Computed

Algorithmic Options-

Maximum Iterations . . . . . . 30

Convergence Criterion . . . . . .00100

Minimum S-stress . . . . . . . .00500

Missing Data Estimated by . . . . Ulbounds

Tiestore . . . . . . . . . . 78

Raw (unscaled) Data for Subject 1

1 2 3 4 5

1 .000

2 100.000 .000

3 485.000 478.000 .000

4 284.000 276.000 201.000 .000

5 126.000 50.000 427.000 226.000 .000

6 233.000 493.000 327.000 247.000 354.000

7 347.000 402.000 214.000 158.000 352.000

8 138.000 89.000 567.000 365.000 139.000

9 248.000 213.000 691.000 489.000 263.000

10 563.000 537.000 73.000 267.000 493.000

11 56.000 156.000 494.000 305.000 192.000

12 173.000 138.000 615.000 414.000 188.000

13 197.000 177.000 300.000 99.000 127.000

6 7 8 9 10

6 .000

7 114.000 .000

8 380.000 493.000 .000

9 416.000 555.000 174.000 .000

10 300.000 187.000 632.000 756.000 .000

11 228.000 341.000 118.000 178.000 572.000

12 366.000 480.000 99.000 75.000 681.000

13 313.000 225.000 266.000 377.000 366.000

11 12 13

11 .000

12 117.000 .000

13 230.000 315.000 .000

Iteration history for the 2 dimensional solution (in squared

distances)

Young's S-stress formula 1 is used.

Iteration S-stress Improvement

1 .08605

2 .06010 .02596

3 .05795 .00214

4 .05730 .00066

Iterations stopped because

S-stress improvement is less than .001000

Stress and squared correlation (RSQ) in distances

RSQ values are the proportion of variance of the scaled data

(disparities)

in the partition (row, matrix, or entire data) which


is accounted for by their corresponding distances.

Stress values are Kruskal's stress formula 1.

For matrix

Stress = .05316 RSQ = .98624

Configuration derived in 2 dimensions

Stimulus Coordinates

Dimension

Stimulus Stimulus 1 2

Number Name

1 ALEJANDR .7202 -.3136

2 BALCLUTH .8481 .7719

3 BLENHEIM -1.9897 .4399

4 CHRISTCH -.9345 .3452

5 DUNEDIN .5307 .5790

6 FRANZA -.6973 -1.2456

7 GREYMO -1.3326 -.5697

8 INVERCAR 1.2799 .3898

9 MILFORD 1.8132 -.3440

10 NELSON -2.3233 .0714

11 QUEENST .8088 -.4895

12 TE_ANAU 1.4641 -.2811

13 TIMARU -.1875 .6461

Optimally scaled data (disparities) for subject 1

1 2 3 4 5

1 .000

2 .901 .000

3 2.793 2.793 .000

4 1.807 1.807 1.197 .000

5 .901 .297 2.597 1.533 .000

6 1.533 2.793 2.112 1.533 2.199

7 2.112 2.535 1.347 .996 2.189

8 .982 .577 3.226 2.215 .982

9 1.533 1.347 3.883 2.793 1.533

10 3.157 3.157 .432 1.533 2.793

11 .297 .996 2.949 1.941 1.190

12 .996 .982 3.528 2.535 1.190

13 1.197 1.029 1.941 .753 .901

6 7 8 9 10

6 .000

7 .901 .000

8 2.535 2.793 .000

9 2.597 3.157 .996 .000

10 1.941 1.180 3.617 4.157 .000

11 1.533 2.112 .901 1.029 3.226

12 2.271 2.793 .753 .432 3.804

13 1.941 1.533 1.533 2.271 2.271

11 12 13

11 .000

12 .901 .000

13 1.533 1.941 .000


Derived Stimulus Configuration

Euclidean distance model

Dimension 1

210-1-2-3

Dim

en

sio

n 2

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

-1.5

timaru

te_anau

queenst

nelson

milf ord

inv ercar

grey mo

f ranza

dunedin

christchblenheim

balcluth

alejandr

Scatterplot of Linear Fit


Disparities

543210

Dis

tan

ce

s

5

4

3

2

1

0

Scatterplot of Nonlinear Fit


Observations

8007006005004003002001000

Dis

tan

ce

s

5

4

3

2

1

0


Transformation Scatterplot


Observations

8007006005004003002001000

Dis

pa

riti

es

5

4

3

2

1

0

Ahora con Minitab: 1. Graph > Scatterplot > Simple

2. Y Variables Z2; X Variables Z1

3. Labels > Data labels > Use labels from column Ciudad

4. OK

Z1

Z2

210-1-2

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

Timaru

Te anau

Queenstown

Nelson

Milford

Invercargill

Greymouth

Franza Josef

Dunedin

ChristchurchBlenheim

Balclutha

Alejandra



Ejemplo HATCO:

Paso 1: Objetivos del mapeo perceptual

El propósito del estudio es explorar la imagen y competitividad de Hatco,

atendiendo las percepciones del mercado sobre Hatco y nueve competidores,

así como investigar preferencias, entre clientes potenciales.

Paso 2. Diseño del estudio de mapeo perceptual

Se hacen entrevistas con 18 gerentes medios de diferentes empresas

representantes de la base de clientes potenciales existente en el mercado. Se

colectaron tres tipos de datos: juicios de similaridad; calficación de atributos de

las organizaciones; y preferencias de cada organización en diferentes

situaciones de compra.

Datos de similaridad

Los juicios de similaridad se realizaron con enfoque de comparación de objetos

pareados. Los 45 pares de organizaciones [(10 x 9)/2] se presentaron a los

encuestados, quienes indicaron que tan similares eran en una escala de nueve

puntos, con 1 ―no similar‖ y 9 ―muy similar‖, los valores deben ser

transformados ya que valores altos de similaridad indican mayor similitud, lo

opuesto a una distancia de similaridad.

Calificación de atributos

Se obtuvieron calificaciones para los ocho atributos de cada organización,

incluyendo: calidad, orientación de la dirección, calidad del servicio, rapidez de

entrega, nivel de precios, imagen de la fuerza de ventas, flexibilidad de precios,

e imagen de manufactura. En este caso, se pidió a cada encuestado

seleccionar la organización que mejor caracterizaba el atributo, podrían ser

varias organizaciones.

Evaluación de preferencias


Se evaluaron las preferencias de los encuestados ante tres diferentes

situaciones de compra: recompra repetitiva, recompra modificada, y nueva

situación de compra. La calificación fue de 1 para la organización más

preferida, 2 para la siguiente en importancia, etc.

Paso 3. Supuestos en el mapeo perceptual

Los supuestos del MSD (escalamiento múltiple) y CA (análisis de

correspondencia) tratan principalmente con la comparabilidad y

representatividad de los objetos evaluados y de los encuestados. Por lo que

deben ser seleccionados cuidadosamente.

Pasos 4 y 5. Escalado multidimensional

Se especifica un análisis composicional (MDS) y uno composicionla (CA) para

la construcción de los mapas preceptúales, se inicia con el MDS.

Paso 4: Obtener resultados del MDS y evaluar el ajuste del modelo

Los 45 juicios de similaridad de los 18 encuestados se procesaron como

matrices separadas, y una matriz de promedios de valores se calculó para

ilustrar el patrón de similaridades. Los datos se muestran a continuación:


EJEMPLO DE MDS Y CA

EMPRESA HATCO A B C D E F G H I

HATCO 0 6.61 6.61 2.33 2.56 4.06 2.5 2.33 2.44 6.17

A 6.61 0 6.61 2.61 2.56 2.39 3.5 2.39 4.94 6.94

B 6.61 6.61 0 3.44 4.11 2.17 4 3.72 6.61 2.83

C 2.33 2.61 3.44 0 6.94 4.06 2.22 2.67 2.5 2.5

D 2.56 2.56 4.11 6.94 0 2.39 2.17 2.61 7.06 2.5

E 4.06 2.39 2.17 4.06 2.39 0 4.06 3.67 5.61 3.5

F 2.5 3.5 4 2.22 2.17 4.06 0 2.28 2.83 6.94

G 2.33 2.39 3.72 2.67 2.61 3.67 2.28 0 2.56 2.44

H 2.44 4.94 6.61 2.5 7.06 5.61 2.83 2.56 0 2.39

I 6.17 6.94 2.83 2.5 2.5 3.5 6.94 2.44 2.39 0

Corrida con SPSS 1. Analyze > Scale > Multidimensional scaling 2. Pasar todas las variables


3 Seleccionar Data are distances; Shape Square Symmetric Continue 4. Model: Seleccionar Level of measurements Ordinal Dimensions Min 2 Max 2 4. Options: Group plots; Individual subject plots; Data Matrix; Model summary 4. OK Los resultados son los siguientes:

Alscal

Alscal Procedure Options

Data Options-

Number of Rows (Observations/Matrix). 10

Number of Columns (Variables) . . . 10

Number of Matrices . . . . . . 1

Measurement Level . . . . . . . Ordinal

Data Matrix Shape . . . . . . . Symmetric

Type . . . . . . . . . . . Dissimilarity

Approach to Ties . . . . . . . Leave Tied

Conditionality . . . . . . . . Matrix

Data Cutoff at . . . . . . . . .000000

Model Options-

Model . . . . . . . . . . . Euclid

Maximum Dimensionality . . . . . 2

Minimum Dimensionality . . . . . 2

Negative Weights . . . . . . . Not Permitted

Output Options-

Job Option Header . . . . . . . Printed

Data Matrices . . . . . . . . Printed

Configurations and Transformations . Plotted

Output Dataset . . . . . . . . Not Created

Initial Stimulus Coordinates . . . Computed

Algorithmic Options-

Maximum Iterations . . . . . . 30

Convergence Criterion . . . . . .00100


Minimum S-stress . . . . . . . .00500

Missing Data Estimated by . . . . Ulbounds

Tiestore . . . . . . . . . . 45

Raw (unscaled) Data for Subject 1

1 2 3 4 5

1 .000

2 6.610 .000

3 6.610 6.610 .000

4 2.330 2.610 3.440 .000

5 2.560 2.560 4.110 6.940 .000

6 4.060 2.390 2.170 4.060 2.390

7 2.500 3.500 4.000 2.220 2.170

8 2.330 2.390 3.720 2.670 2.610

9 2.440 4.940 6.610 2.500 7.060

10 6.170 6.940 2.830 2.500 2.500

6 7 8 9 10

6 .000

7 4.060 .000

8 3.670 2.280 .000

9 5.610 2.830 2.560 .000

10 3.500 6.940 2.440 2.390 .000

>Warning # 14654

>The total number of parameters being estimated (the number of

stimulus

>coordinates plus the number of weights, if any) is large relative to

the

>number of data values in your data matrix. The results may not be

reliable

>since there may not be enough data to precisely estimate the values

of the

>parameters. You should reduce the number of parameters (e.g.

request

>fewer dimensions) or increase the number of observations.

>Number of parameters is 20. Number of data values is 45

Iteration history for the 2 dimensional solution (in squared

distances)

Young's S-stress formula 1 is used.

Iteration S-stress Improvement

1 .34762

2 .31655 .03107

3 .30447 .01208


4 .29330 .01116

5 .28544 .00787

6 .27995 .00549

7 .27809 .00186

8 .27736 .00072

Iterations stopped because

S-stress improvement is less than .001000

Stress and squared correlation (RSQ) in distances

RSQ values are the proportion of variance of the scaled data

(disparities)

in the partition (row, matrix, or entire data) which

is accounted for by their corresponding distances.

Stress values are Kruskal's stress formula 1.

For matrix

Stress = .21711 RSQ = .65041

Configuration derived in 2 dimensions

Stimulus Coordinates

Dimension

Stimulus Stimulus 1 2

Number Name

1 HATCO 1.4421 .4676

2 A -.7839 1.3555

3 B -.9662 -1.5220

4 C .9408 -.5781

5 D -.7348 1.1899

6 E -1.6467 -.0867

7 F .8884 .9950

8 G .0380 .1487

9 H 1.3800 -.7134

10 I -.5578 -1.2565

Optimally scaled data (disparities) for subject 1

1 2 3 4 5

1 .000

2 2.793 .000

3 2.793 2.793 .000

4 1.445 1.621 1.796 .000


5 1.616 1.616 2.793 2.793 .000

6 2.793 1.572 1.445 2.793 1.572

7 1.572 1.796 2.793 1.445 1.445

8 1.445 1.572 1.949 1.621 1.621

9 1.572 2.793 2.793 1.572 2.845

10 2.793 2.793 1.621 1.572 1.572

6 7 8 9 10

6 .000

7 2.793 .000

8 1.796 1.445 .000

9 2.793 1.621 1.616 .000

10 1.796 2.793 1.572 1.572 .000

Derived Stimulus Configuration


Dimension 1

1.51.0.50.0-.5-1.0-1.5-2.0

Dim

en

sio

n 2

1.5

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

-1.5

-2.0

i

h

g

f

e

d

c

b

a

hatco

Scatterplot of Linear Fit


Disparities

3.02.82.62.42.22.01.81.61.4

Dis

tan

ce

s

3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

.5

0.0


Scatterplot of Nonlinear Fit


Observations

8765432

Dis

tan

ce

s

3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

.5

0.0

Transformation Scatterplot


Observations

8765432

Dis

pa

riti

es

3.0

2.8

2.6

2.4

2.2

2.0

1.8

1.6

1.4

mÉtodos estadÍsticos multivariados - … · reducción dimensional (similar al análisis de...

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