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Proyecto Final de Carrera

Métodos generalizados para el cálculo estático de

estructuras de cables y simulación de la interacción

dinámica catenaria pantógrafo según la norma

europea EN50318

D. Miguel Such Taboada

Director

Dr. D. Alberto Carnicero López

Madrid, 25 de mayo de 2008

Índice general

1. Introducción 1

2. Objetivos 3

3. Historia de la ecuación de la catenaria 5

4. Clasicación de las estructuras de cables 9

4.1. Estructuras de cables lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.1.1. Líneas de transmisión de energía eléctrica . . . . . . . . . . 10

4.1.2. Catenarias de trenes de alta velocidad . . . . . . . . . . . . 12

4.1.3. Puentes colgantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1.4. Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.5. Sistemas de transporte por cables . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2. Estructuras de cables planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2.1. Cubiertas de edicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3. Estructuras de cables tridimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I Equilibrio estático de estructuras de cables 24

5. Métodos de cálculo. Estado del arte 26

5.1. Método de desplazamientos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.1. Redes de cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2. El método de la rejilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

I

ÍNDICE GENERAL II

5.3. Método de la densidad de fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.4. Método de determinación de tensiones por mínimos cuadrados . . . 37

6. Desarrollo teórico del método propuesto 40

6.1. Formulación en coordenadas locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2. Formulación en coordenadas globales . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.2.1. Consideraciones sobre el cable elástico . . . . . . . . . . . . 47

6.3. Generalización a 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.4. Ensamblado y resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.4.1. Referencias teóricas del problema . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.4.2. Familia de métodos Gauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . 52

6.4.3. Familia de métodos de región de conanza . . . . . . . . . . 54

7. Vericación de la implementación del modelo 57

7.1. Contrastación con el método de elementos nitos (MEF) . . . . . . 57

7.2. Simulación de sistema de transporte triangular . . . . . . . . . . . . 59

7.3. Comparación de un sistema de cables en 3D . . . . . . . . . . . . . 62

7.4. Comparativa de cálculo de rigidez de una catenaria ferroviaria . . . 64

7.5. Sistemas de transporte por cables conectados por poleas . . . . . . 66

7.6. Cálculo del pendolado de una catenaria de tren de velocidad alta . . 68

8. Ejemplo de aplicación 73

8.1. Creación de una malla de elementos nitos . . . . . . . . . . . . . . 73

9. Conclusiones 77

II Interacción Dinámica Catenaria-Pantógrafo 79

10.Estado del Arte 81

11.Formulación del problema dinámico en cables 84

11.1. Formulación del elemento co-rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . 89

ÍNDICE GENERAL III

12.Formulación del contacto catenaria-pantógrafo 98

13.Integración temporal 107

13.1. La familia β-Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

13.2. El método α-Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

14.Validación con la norma EN50318 114

15.Conclusiones 119

III Reducción Dinámica mediante Física Multicuerpo 120

16.Estado del arte 122

17.Frecuencias naturales y modos de vibración 124

17.1. Frecuencias propias en catenarias ferroviarias . . . . . . . . . . . . . 126

18.El método de la superposición modal 130

18.1. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

19.Mecánica multicuerpo 134

19.1. Acoplamiento de modelos físicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

19.2. Aplicación a catenarias con modelos FEM . . . . . . . . . . . . . . 137

20.Modelo multicuerpo jerárquico para la reducción del sistema 140

20.1. Formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

20.2. Resultados y vericación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

20.3. Análisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

21.Conclusiones 156

ÍNDICE GENERAL IV

IV Conclusiones y Aportaciones Originales 158

V Bibliografía 163

Índice de guras

3.1. Ejemplo de tienda romana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2. Comparación entre una parábola y una catenaria . . . . . . . . . . 7

4.1. Línea de transporte de Energía eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2. Partes de una catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.3. Detalle de la sustentación de una catenaria . . . . . . . . . . . . . 14

4.4. Puente sobre el río Min, China . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.5. Puente sobre el río Ródano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.6. Simulación numérica de una arcada [AGR06] . . . . . . . . . . . . . 18

4.7. Primera página del libro de De Ulloa . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.8. Foto aérea de un teleférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.9. Simple estructura de tensegridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.1. Nodo de una red de cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2. Método de los desplazamientos no lineales . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3. Red de cables con proyección ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.1. Sistema de Coordenadas Locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.2. Relación entre coordenadas locales y globales . . . . . . . . . . . . . 44

6.3. Diagrama de cuerpo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.4. Simple estructura de cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.1. Validación con MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.2. Esquema de la disposición del sistema de transporte triangular . . . 60

V

ÍNDICE DE FIGURAS VI

7.3. Situación inicial y nal de la estructura . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.4. Cálculo del equilibrio de un cable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.5. Catenaria utilizada por Wu y Brennan . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.6. Comparación en la distribución de rigidez . . . . . . . . . . . . . . 66

7.7. Contraste gráco de los resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . 68

8.1. Posición de equilibrio de la catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.2. Vano central de la catenaria con malla MEF . . . . . . . . . . . . . 75

8.3. Desplazamientos desde el equilibrio de los nodos . . . . . . . . . . . 76

11.1. Prisma diferencial sometido a esfuerzo axil . . . . . . . . . . . . . . 85

11.2. Deformación de green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11.3. Deformación plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

11.4. Deformación del elemento corrotacional . . . . . . . . . . . . . . . . 90

12.1. Problema de contacto generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

12.2. Sistemas de referencia locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

12.3. Penetración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

12.4. Penetración en arista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

14.1. Catenaria de referencia EN50318 (10 vanos) . . . . . . . . . . . . . 115

14.2. Geometría y desplazamiento en los vanos centrales a 250 km/h . . . 116

14.3. Geometría y fuerza de contacto en los vanos centrales a 250 km/h . 117

14.4. Geometría y desplazamiento en los vanos centrales a 300 km/h . . . 117

14.5. Geometría y fuerza de contacto en los vanos centrales a 300 km/h . 118

17.1. Catenaria denida por la norma EN50318 . . . . . . . . . . . . . . 127

17.2. Modo de vibración 1 (1.0182 Hz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127




ÍNDICE DE FIGURAS VII

19.1. Sistema multicuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

19.2. Catenaria ferroviaria EN50318 de 3 vanos . . . . . . . . . . . . . . . 138

19.3. Descomposición de la catenaria por vanos . . . . . . . . . . . . . . . 138

19.4. Ampliación de la ligadura en el hilo de contacto entre los vanos A y B139

20.1. Descomposición de la catenaria por vanos . . . . . . . . . . . . . . . 141

20.2. Paso de vano modal a vano FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

20.3. Paso de vano FEM a vano Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

20.4. Fuerza de contacto: FEM vs. multicuerpo FEM-Modal . . . . . . . 145

20.5. Desplazamientos: FEM vs. multicuerpo (FEM+Modal) . . . . . . . 146

20.6. Fuerza de contacto con 15 metros de análisis FEM . . . . . . . . . . 148




20.10.Fuerza de contacto con análisis modal de 30 modos de vibración . . 152

20.11.Desplazamiento con 15 metros de análisis FEM . . . . . . . . . . . 152




20.15.Desplazamiento con análisis modal de 30 modos de vibración . . . . 154

20.16.Análisis de tiempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Índice de tablas

6.1. Ensamblado del sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2. Algoritmo de Gauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.3. Algoritmo de la región de conanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.1. Comparación de resultados (Caso I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2. Comparación de resultados (caso II.a) . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.3. Comparación de resultados (Caso II.b) . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.4. Desviación del punto de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.5. Comparación con los resultados de Peyrot . . . . . . . . . . . . . . 65

7.6. Comparativa de cálculo de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.7. Contraste numérico de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.8. Datos de la catenaria CRU 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.9. Validación de la catenaria CRU 220 con 1 vano . . . . . . . . . . . 71

7.10. Validación O.Lopez-Garcia - Catenaria CRU220 - 4 vanos . . . . . . 72

14.1. Validación con el modelo de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . 116

17.1. Sensibilidad del mallado de las frecuencias naturales . . . . . . . . . 128

20.1. Comparativa de resultados en fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

20.2. Comparativa de resultados en desplazamientos . . . . . . . . . . . . 151

VIII

Capítulo 1

Introducción

Los antecedentes de este trabajo se encuentran en la formulación e implementa-

ción de métodos numéricos ecaces para el análisis de las catenarias ferroviarias más

habituales en Europa que venía realizando un grupo de investigación en la ETSI-

ICAI de la Universidad Ponticia Comillas dirigido por el director de este proyecto.

El autor del mismo contactó con dicho grupo y se planteó la posibilidad de realizar

una formulación e implementación de un método general para el análisis estático,

no sólo de catenarias ferroviarias, sino de cualquier tipo de estructura de cables.

Además, se planteó la posibilidad utilizar dicho método para continuar con el desa-

rrollo de un modelo de la interacción dinámica entre el pantógrafo y la catenaria de

trenes de alta velocidad. Para ello, se estudió el trabajo realizado anteriormente y se

ha tratado de superar para cumplir con la normativa europea EN50318 relativa a la

validación modelos de simulación dinámica de la interacción catenaria-pantógrafo.

Un código certicado permite validar catenarias para que puedan ser instaladas

en las lineas ferroviarias europeas cumpliendo con lo establecido en las normas de

interoperabilidad. La mayoría de los métodos de análisis estáticos de estructuras de

cables están formulados de forma especíca para cada problemática. En el caso de

cambiar alguno de los parámetros que denen el problema o tratar de extenderlos

a otros tipos dejan de ser válidos. Por otro lado, actualmente existen pocos códigos

de simulación de la interacción catenaria-pantógrafo aptos para certicar catenarias

1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 2

ferroviarias. El trabajo realizado en este campo es el que se resume en el documento

presentado. El documento se dividirá en tres partes claramente diferenciadas. En

la primera parte se procederá al desarrollo, formulación y validación del método

para calcular el equilibrio estático de cualquier estructura de cables. En la segun-

da parte, se desarrollará, formulará y validará el modelo de interacción dinámica

pantógrafo-catenaria y se validará según la normativa europea EN50318. Para ello

se implementará una herramienta nueva de elementos nitos en MATLAB para po-

der implementar los nuevos modelos numéricos. La tercera parte, aprovechando la

exibilidad del código de elementos nitos y la potencia del método presentado en

la segunda parte, trata de obtener un modelo simplicado que permita optimizar el

diseño de catenarias ferroviarias en un tiempo razonable. Cada parte consta de una

breve revisión del estado del arte sobre cada uno de los temas a tratar, la formula-

ción teórica de cada uno de los métodos, la validación de los respectivos métodos y

diferentes casos de estudio y una breve conclusión.

Capítulo 2

Objetivos

Los objetivos planteados en la realización de este proyecto son:

1. Realizar una profunda revisión sobre los métodos empleados hasta el momento

para la resolución de problemas de estructuras con cables.

2. Recopilar todos los trabajos posibles, experimentales o teóricos, que presenten

resultados con los que validar los modelos que se desarrollen.

3. Desarrollar un modelo general para el cálculo de la posición de equilibrio

estático de estructuras tridimensionales de cables basado en la ecuación exacta

de la catenaria.

4. Implementar dichos modelos en un código ampliamente utilizado de propósito

general como es Matlab. La implementación debe ser lo sucientemente exible

para permitir la reproducción de cualquier problema de estructuras con cables.

5. Vericar, empleando la información recogida en la literatura cientíca, la va-

lidez del método desarrollado comprobando su exactitud, robustez y exibili-

dad.

6. Desarrollar un modelo de la interacción dinámica pantógrafo-catenaria basado

en el método de los elementos nitos que tenga la precisión requerida por la

norma europea EN50318 [CEN99].

3

CAPÍTULO 2. OBJETIVOS 4

7. Implementar en un código de propósito general una herramienta que permita

resolver problemas mediante el método de los elementos nitos. Debe hacer-

se de una manera lo sucientemente exible como para introducir el nuevo

modelo dinámico de interacción catenaria-pantógrafo.

8. Vericar la validez del método mediante los requisitos especicados en la nor-

ma europea EN50318 y comprobando su exactitud, robustez y exibilidad.

9. Desarrollar un modelo reducido de la interacción catenaria-pantógrafo median-

te la aplicación de técnicas multicuerpo jerárquicas con asignación dinámica

de modelos.

10. Introducir dicho modelo en la herramienta de elementos nitos desarrollada

en este proyecto.

11. Extraer las conclusiones oportunas en cuanto a la validez de los modelos.

Capítulo 3

Historia de la ecuación de la

catenaria

Desde que el hombre aprendió a anudar y tejer bras naturales, formando así

las primeras cuerdas, las ha utilizado para construir diferentes estructuras. En un

principio, éstas tan solo servían como herramientas de caza y pesca. Posteriormente

comenzaron a utilizarse con nes constructivos; los barcos de antiguas civilizacio-

nes como la vikinga o la egipcia ofrecen una de las primeras referencias de estos

usos, pues estaban provistos de redes para soportar y fortalecer sus velas [CCH84].

Sin embargo, el ámbito náutico no fue el único beneciado: a nivel más cotidiano,

las primeras civilizaciones también se ayudaban del uso de cuerdas en tensión para

levantar tiendas, así como para dotar de más estabilidad a las carpas una vez levan-

tadas (sirvan como ejemplo las tiendas que solían transportar las legiones romanas

durante las largas campañas de guerra).

Por otro lado, también se hizo necesario salvar desniveles para poder despla-

zarse con más comodidad y velocidad. Ya en las civilizaciones del mundo antiguo,

chinos e incas necesitaron, al aumentar las relaciones sociales y económicas de la

época, cruzar ríos y montañas con mayor velocidad. Con este n se construyeron

los primeros puentes colgantes. Estos puentes tenían la virtud de ser fáciles de fa-

bricar y requerían un material muy ligero. Los primeros eran muy rudimentarios.

5

CAPÍTULO 3. HISTORIA DE LA ECUACIÓN DE LA CATENARIA 6

Figura 3.1: Ejemplo de tienda romana

No pasaban de cuerdas o cadenas anudadas, pero la técnica de fabricación se fue

perfeccionando con el tiempo, obteniéndose los precursores de los cables de acero

tan usados hoy en día.

Con el avance de la ciencia y la tecnología empezaron a surgir nuevas estruc-

turas de cables. La electricación de las ciudades hizo necesario el transporte de

electricidad a través de grandes líneas aéreas. Asimismo, los ferrocarriles abandona-

ron progresivamente el motor de vapor, y empezaron a estudiarse nuevos métodos

para transmitir energía a los trenes. Los edicios, entregados al arte, empezaron

a diseñarse con cubiertas curvas utilizando entramados de cables en tensión. La

complejidad creciente de este tipo de estructuras hizo necesario entender mejor el

comportamiento mecánico de los materiales.

Ya en el siglo XV, Leonardo da Vinci había empezado a preguntarse cómo se

comportaría un cable en tensión. En alguno de sus bocetos, Da Vinci fue el primero

en dibujar una catenaria. En 1615 Beeckman diseñó un puente colgante suponiendo

que la curva que éste adoptaba era una parábola. No obstante, esta solución no fue

ampliamente conocida hasta que, dos siglos después, volviera a ser redescubierta

por el ingeniero ruso Fuss, ahijado de Euler, a quien se encargó que diseñara un

puente sobre el río Neva en San Petersburgo. Galileo, en Discorsi e dimostrazioni

matematiche, intorno à due nuove scienze, publicado en 1638, armó que la forma


que debe adoptar una cadena al ser colgada entre dos puntos debe ser parabólica,

conclusión a la que llegó tomando como modelo el vuelo de un proyectil [Irv81].

A mediados del siglo XVII el astrónomo, físico y matemático holandés Christiaan

Huygens ya sabía que Galileo estaba equivocado. No obstante, como dijo Huygens,

la diferencia entre las dos curvas no es muy grande tal y como se ve en la gura 3.2.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4 ParabolaCatenaria

Figura 3.2: Comparación entre una parábola y una catenaria

En 1690 Jacob Bernoulli publicó Acta Erudiatorum, documento en el que se ex-

plica por primera vez el concepto de integral. Para mostrar la potencia de la nueva

herramienta de cálculo, Jacob propuso utilizarla para resolver denitivamente el

problema al que Galileo no supo dar la solución correcta. Este reto fue resuelto de

facto por tres personas: John Bernoulli (hermano de Jacob), Leibnitz y Huygens.

Bernouilli y Leibniz aplicaron el cálculo diferencial, por aquel entonces recién des-

cubierto. Huygens, por su parte, utilizó un método gráco. Es difícil saber quién lo

hizo primero, ya que las respuestas se publicaron en un corto espacio de tiempo y

la mala relación entre los autores no facilitó la tarea.

Los hermanos Bernoulli además formularon la ecuación diferencial de equilibrio de

una cadena sometida a diferentes estados de carga. Dentro de sus análisis llegaron

a incluir la deformación elástica de los cables aplicando la ley de Hooke a sus ecua-

ciones.


Huygens fue quien le dio el nombre de catenaria a la curva. Este nombre proviene

de la palabra latina catenarius, que signica cadena. También se le llamó funi-

cular, basado en la denominación latina para cuerda. Hoy en día se reserva esta

denominación para los vehículos o artefactos cuya tracción se realiza por medio de

una cuerda, cable o cadena.

El incremento de la complejidad de los problemas estructurales continuó plan-

teando nuevos retos similares al de la forma de la catenaria. Un profundo estudio en

el estudio de la historia de la resistencia de materiales se encuentra en el excelente

libro de Timoshenko Historia de la resistencia de materiales [Tim83]. Por otro

lado, no se debe olvidar la estrecha relación de este tema con el núcleo central del

presente trabajo: la resistencia de materiales ha desempeñado un papel fundamental

en el diseño y construcción de un sinnúmero de obras de la ingeniería, cuya belleza

aún hoy nos sigue sobrecogiendo.

Capítulo 4

Clasicación de las estructuras de

cables

Hoy en día el uso de los cables para la formación de estructuras se halla am-

pliamente extendido. Este fenómeno se explica al comparar el coste que suponen

las estructuras rígidas con el desembolso, signicativamente menor, que demandan

las estructuras de cables. Atendiendo a su conguración espacial, éstas se pueden

dividir en tres grandes grupos: las estructuras de cables lineales, usadas generalmen-

te en transporte, ya sea de energía o de objetos; las estructuras de cables planas,

que gozan de una creciente popularidad debido a su belleza artística, y que se usan

principalmente en edicaciones a modo de cubiertas (deben incluirse en este grupo

las estructuras en forma de membrana); y, por último, las estructuras tridimensio-

nales, las menos usuales y quizás las de menor interés práctico en la actualidad, a

pesar de que en la naturaleza se encuentran muy a menudo mallas tridimensionales,

compuestas por bras exibles con una innidad de utilidades.

4.1. Estructuras de cables lineales

Las estructuras de cables lineales tienen la característica de avanzar en una

dimensión. En general, cada cable de la estructura sólo conecta con otro cable en

9

CAPÍTULO 4. CLASIFICACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS DE CABLES 10

un punto llamado habitualmente nudo, si bien en algunos casos, como en el de las

catenarias ferroviarias, se forman mallas verticales para aumentar la rigidez, con

lo que conectaría con más de un cable. Para avanzar sin contactar con el suelo, la

estructura está soportada con unos apoyos cuya distancia depende de la tensión

del cable, su peso y la caída permitida. A los tramos de cable conectados entre dos

apoyos se les llama vanos. La tensión de la línea suele transmitirse a través de

poleas situadas en los apoyos. Sin embargo, debido al rozamiento que aparece en

estas poleas no es posible tener un cable continuo con una sola tensión, sino que se

deben formar diferentes tramos independientes mecánicamente. A continuación se

presentan algunas de las tipologías más habituales.

4.1.1. Líneas de transmisión de energía eléctrica

La red de transporte de energía eléctrica es la parte del sistema de suministro

eléctrico constituida por los elementos necesarios para llevar hasta los puntos de

consumo, y a través de grandes distancias, la energía generada en las centrales

hidroeléctricas, eólicas, térmicas, de ciclo combinado o nucleares.

Para ello, la energía eléctrica producida debe ser transformada previamente a

un nivel superior de tensión. Esto es necesario, ya que, para un determinado nivel

de potencia a transmitir, al elevar el voltaje se reduce la corriente y, por lo tanto,

se reducen las pérdidas por efecto Joule.

Parte fundamental de la red de transporte de energía eléctrica son las líneas

de transporte. Se llama línea de transporte de energía eléctrica o línea de alta

tensión al medio físico mediante el cual se realiza la transmisión de la energía

eléctrica a grandes distancias. Está constituida tanto por el elemento conductor,

usualmente cables de aleaciones de cobre o aluminio, como por sus elementos de

soporte, las torres de alta tensión.

Al estar éstas formadas por estructuras hechas de perles de acero, como medio

de sustentación del conductor se emplean aisladores de disco, y herrajes para sopor-

tarlos. El proceso de tendido de una línea para transporte de energía eléctrica es una


técnica bien conocida. Se colocan unas poleas ancladas a las cadenas de aisladores

que cuelgan de las crucetas de las torres y se pasa el cable. Posteriormente se pro-

cede al tensado y al engrapado del cable a las cadenas de aisladores; las compañías

suelen exigir que las cadenas de aisladores queden en posición vertical. El proceso

para obtener esta disposición se denomina engrapado.

Figura 4.1: Línea de transporte de Energía eléctrica

Existen diversos métodos de cálculo para determinar la posición de las grapas;

sin embargo, la mayoría de ellos son muy simplicados, como lo demuestra la gran

variedad de resultados que se obtiene para cálculos realizados sobre un mismo con-

junto de vanos. A un conjunto de vanos unidos por poleas se le llama cantón. Con el

método presentado en este trabajo sería posible calcular de manera exacta, teniendo

en cuenta tanto la deformación elástica debido a la tensión como a la provocada

por una distribución de temperaturas en los cables, la longitud y la tensión de cada

tramo, así como la distancia entre el suelo y el cable conductor. Además es posible


calcular el punto en el que se deben anclar las grapas. Esta información es crítica

para el diseño de la línea ya que la capacidad de la misma dependerá de la altura

a la que estén los conductores en su punto mínimo. Algunas herramientas actuales

ofrecen cálculos aproximados, pero generalmente no incorporan el efecto produci-

do por la temperatura del cable. Gracias al modelo desarrollado no sólo es posible

realizar dicho cálculo de una forma rápida y able, sino que además es posible apli-

car métodos de optimización de estructuras para mejorar el diseño de este tipo de

líneas, minimizando así coste, consumo y riesgo de fallo.

4.1.2. Catenarias de trenes de alta velocidad

En el sector ferroviario, con la palabra catenaria se denomina a todo el conjunto

de elementos que constituye la línea aérea de transporte y suministro de energía

eléctrica a los trenes. Está situada sobre los raíles y avanza mayoritariamente en su

misma dirección, aportando la energía eléctrica necesaria mediante un elemento de

frotación denominado pantógrafo. El elemento fundamental de la catenaria es el

cable de frotación con el pantógrafo de la locomotora; a este cable se le denomina

hilo de contacto(ver gura 4.2). Para que el rozamiento entre el pantógrafo de la

locomotora y el hilo de contacto sea lo más homogéneo posible, es necesario que el

hilo de contacto mantenga constante su altura respecto a los carriles.

Cuando las velocidades a las que se desplazan los trenes son relativamente bajas,

de hasta 50 km/h aproximadamente, es suciente en el montaje de los hilos de

contacto que la diferencia de altura entre los apoyos y el centro del vano sea del 1

por 1000 de la longitud del vano, y con un máximo de 20 cm, valores que se pueden

conseguir mediante el propio tense mecánico del hilo de contacto.

Sin embargo, cuando la velocidad aumenta, esta diferencia de alturas entre el

apoyo y el centro del vano se vuelve más crítica, siendo necesaria una mayor uni-

formidad en las alturas. Como el tense mecánico del hilo de contacto no puede

aumentar indenidamente, es necesario tender otro cable, denominado sustenta-

dor, y sujetar el hilo de contacto al nuevo cable tendido mediante unas retenciones,


0 20 40 60 80 100 120−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Distancia [m]

Altu

ra [m

]Hilo SustentadorHilo de contactoPendolaPendola en Y

Figura 4.2: Partes de una catenaria

denominadas péndolas, situadas longitudinalmente cada cierta distancia. De esta

forma, y mediante la mayor o menor longitud de las péndolas, se consigue mantener

constante la altura del hilo de contacto sobre los raíles.

A la hora de montar estas estructuras es necesario conocer la longitud de las

péndolas antes de ensamblar la catenaria. Aunque se realizan aproximaciones para

minimizar el gasto de material, debido a la inexactitud de los métodos se tiene que

realizar un calibrado manual midiendo cada péndola. Estos tendidos cubren grandes

distancias y el proceso de calibrado supone un gran gasto de tiempo y de dinero.

Como se muestra más adelante, la metodología tratada resuelve el problema con

suciente precisión como para acelerar dicho proceso. Otro problema de especial

interés desde un punto de vista cientíco y tecnológico es la interacción dinámica

entre el pantógrafo y la catenaria. Adquiere gran importancia en las líneas de alta

velocidad ya que, para que el tren funcione con normalidad, es necesario que el


Figura 4.3: Detalle de la sustentación de una catenaria

pantógrafo no se despegue del cable y que no se produzca una vibración excesiva. Los

métodos actuales para resolver problemas de dinámica del sólido deformable, como

por ejemplo el método de los elementos nitos, pueden tardar entre 8 y 10 horas

en calcular una respuesta de los que entre un 10 y 15 % de este tiempo se consume

en el cálculo de la conguración de referencia. O. Lopez-Garcia et al. utilizaron

una metodología que permitía reducir el tiempo de cálculo de la conguración de

equilibrio incial, tal y como explican en [LGCT06]. Pese a que su modelo da tan

buenos resultados como el mostrado en este trabajo, resulta demasiado rígido para

su aplicación en problemas más generales y de mucho interés como, por ejemplo, el

estudio de la zona de contacto entre un cantón y el siguiente, donde se produce una

leve discontinuidad en la interacción entre la catenaria y el pantógrafo. El modelo

que se presenta en este trabajo, aunque utiliza una idea similar, resulta mucho más

exible y permite resolver los diferentes problemas que presentan las estructuras de

cables, siendo por tanto una ecaz herramienta para el diseño de dichas estructuras.


4.1.3. Puentes colgantes

Una de las construcciones que más ha impulsado el avance de este tipo de es-

tructuras han sido los puentes colgantes. El primer puente colgante del que se tiene

constancia es el construido en Yunnan, China, alrededor del 65 a.C. (si bien la

identidad de su constructor constituye una incógnita) [Ron78]. En el Imperio del

centro, tanto este puente como los que lo sucedieron se caracterizaban por colgar

suspendidos de cadenas de hierro, algo que aún tardaría siglos en llegar a Europa.

Por su parte, los Incas ya habían comunicado los Andes, antes de la llegada de

Cristóbal Colón, por medio de puentes colgantes. Éstos estaban pensados para el

tránsito a pie en cualquier época del año, y se construían con cuerdas tejidas a base

de una hierba muy común en Sudamérica, el ichu (algunos siguen en pie hoy día,

gracias a sucesivas restauraciones efectuadas con las mismas técnicas tradicionales

que emplearon los primitivos artíces)[Wri00].

El diseño de estos puentes, junto a los que se construirían siglos más tarde en

Europa, mejoró con el paso de los años. En estos primeros puentes colgantes el

tablero estaba soportado directamente sobre los cables, por lo que tenía la forma

de una catenaria cuya caída aumentaba conforme la cadena o cable se destensaba.

Se añadían, además, otros cables o cadenas a mayor altura para usarlos a modo de

barandilla (un ejemplo de este tipo de puentes lo se puede encontrar en la gura

4.4).

Más adelante el diseño incorporaría cables secundarios, unidos al principal, que

lograrían mantener la plataforma en posición horizontal. Este esquema mejorado,

que cuenta con una ejemplar representación en el famoso puente sobre la Golden

Gate (puerta dorada) de San Francisco, ha perdurado hasta nuestros días.

Se conoce que, ya en el siglo XVII, había puentes hechos con cuerdas Europa.

Muchos de ellos se construyeron con nes bélicos y hay constancia de ello en diversas

crónicas de la época [Dre32]. Se cree que el primer puente europeo hecho con cadenas

se construyó en Inglaterra en 1741. Contaba con 60 m de luz y, al estar destinado al

uso diario de los trabajadores de las minas inglesas, su tosquedad lo situaba a años


Figura 4.4: Puente sobre el río Min, China

luz del renamiento alcanzado por las estructuras chinas. Por lo demás, en Inglaterra

no se vuelve a tener constancia de la existencia de ningún otro puente construido a

base de cadenas hasta el año 1814. En lo que respecta al continente, la introducción

en él de puentes colgantes de cables contó entre sus pioneros con los señores Sequin

d'Annonay [Dre32], quienes, en 1823 propusieron al gobierno francés un diseño para

la construcción de un puente de grandes dimensiones en Tournon, atravesando el

río Ródano, cuyo boceto es el de la gura 4.5. Empezaron construyendo un modelo

de 19 m de largo y 60 cm de ancho sobre el río Galore en Saint Vallier para obtener

datos experimentales. El puente se abrió en agosto de 1825.

Figura 4.5: Puente sobre el río Ródano

Tras este breve recorrido histórico por la evolución de los puentes colgantes, cabe

adelantar algunos comentarios relativos a las dicultades y problemas que presentan.

En los puentes colgantes se dan dos tipos de problemas diferentes: el análisis de la


respuesta no lineal de los cables y el análisis de los pilares. La metodología que se

desarrolla en este trabajo hace posible la resolución estática de ambos problemas, si

bien es preferible el trabajo conjunto con elementos nitos para obtener un análisis

más detallado de las tensiones en los pilares. Gran parte de la rigidez de los puentes

colgantes proviene de la tensión de los cables. Debido a la naturaleza geométrica

de esta rigidez, el sistema modica de forma no lineal sus propiedades frente a

cargas externas. Cuanto mayor es la tensión a la que se está sometida la estructura,

más se puede aproximar a un modelo lineal. Sin embargo, en estructuras menos

rígidas estos modelos responden peor. Este problema es importante estudiarlo, ya

que resulta crítico frente a la respuesta dinámica ocasionada por agentes externos.

4.1.4. Arcos

A través de los siglos, los arcos se han revelado no sólo como un indispensable

elemento estructural en todo tipo de construcciones, sino también como reejo de

la evolución de las técnicas arquitectónicas, a menudo revelando con su forma la

pertenencia de un edicio a uno u otro periodo histórico: el progresivo perfeccio-

namiento de su diseño ha permitido evolucionar hacia la construcción de edicios

cada vez más esbeltos. Un recorrido por la evolución de los arcos debe comenzar

con la inevitable mención al estilo románico, caracterizado por la omnipresencia

de los arcos de medio punto. El origen de estas estructuras data de los tiempos de

esplendor de la antigua Mesopotamia, pasando con posterioridad a Roma (de donde

procede la particular denominación del estilo románico). Los creadores de las anti-

guas catedrales románicas infundieron en éstas la capacidad de transmitir quietud y

recogimiento dotándolas de paredes gruesas, compactas y sin apenas ventanas para

poder levantar naves que, a pesar de todo, eran, en comparación, bastante estre-

chas. Esto era debido en gran parte a la inecacia de los arcos de medio punto que

estaban situados sobre puertas y columnas.

El uso de los arcos apuntados u ojivales se introdujo en la arquitectura de la

mano de los árabes y más adelante surgiría otro tipo de arcos apuntados que sería


característico del estilo gótico. El uso de este tipo de arcos, además de modicar

estéticamente los edicios, aumentó la ecacia de la estructura, pues, gracias a su

verticalidad, las presiones laterales se reducían considerablemente respecto a las pro-

ducidas con la utilización del arco de medio punto, permitiendo así salvar mayores

espacios. La evolución, a lo largo de los años, de esa idea que generó la transición

a los arcos apuntados, llevó a considerar la introducción de los arcos con forma de

catenaria en la construcción. Al verse sometida a una fuerza distribuida vertical, la

catenaria, por razones geométricas, tan sólo soporta tensión axial. Aplicando esta

idea a los arcos se obtiene una estructura que sólo se verá sometida a este tipo de

esfuerzos, aumentando considerablemente la altura a la que se pueden elevar las

columnas, así como la resistencia de las mismas.

Utilizando esta idea, y ayudándose por modelos experimentales de cuerdas, An-

toni Gaudí diseñó la Sagrada familia en 1883, iglesia que, como es sabido, sigue en

construcción hoy en día.

Figura 4.6: Simulación numérica de una arcada [AGR06]

Con la metodología presentada en este trabajo se podrían reproducir los análisis

realizados por Gaudí e incluso obtener curvas nuevas conociendo unos pocos datos

como, por ejemplo, los puntos máximos deseados o la longitud de los arcos. Una vez

obtenida la geometría podrían introducirse en programas de cálculo de estructuras

para conrmar que el diseño tiene las propiedades deseadas.


4.1.5. Sistemas de transporte por cables

Al igual que puentes colgantes, ya existían teleféricos hechos con cuerdas en

Sudamérica antes de que fuera descubierta por los europeos. De Ulloa, un escritor

español, describe en su libro Viaje histórico por la américa meridional, tal y como

se cuenta en [Dre32], un tipo de puente llamado tarabita usado para cruzar los

valles de la cordillera de los Andes.

Figura 4.7: Primera página del libro de De Ulloa

Un cable hecho de bambú se enviaba de un lado del valle, donde quedaba ata-

do a un poste, a la otra ladera del valle, donde una polea servía para tensar el

sistema. Elevando un extremo por encima del otro, y utilizando una canasta su-

cientemente grande para que un hombre se pudiera sentar en ella, era posible cruzar

sin dicultad. Para facilitar el regreso se colocaba otro artilugio similar inclinado en

dirección opuesta. De esta forma a los habitantes de la zona les era posible cruzar

en relativamente poco tiempo la Cordillera de los Andes.

Por otro lado, los teleféricos son sistemas muy utilizados en la actualidad pa-


ra el transporte de pasajeros. Generalmente se construyen con nes turísticos, ya

que permiten transitar por terreno muy abrupto y en condiciones desfavorables sin

necesidad de instalar una gran cantidad de postes. Esto los hace especialmente in-

teresantes para remontes de alta montaña; de hecho, es uno de los sistemas más

populares en las estaciones de esquí abiertas al público.

Figura 4.8: Foto aérea de un teleférico

Utilizando una conguración de tres cables es posible transportar objetos entre

dos puntos cualesquiera en un área, en lugar de hacerlo entre dos puntos jos, como

ocurre en los funiculares tradicionales. Una de las dicultades que entraña este

método es el control de dicho sistema, ya que la posición del objeto a transportar

depende de las tensiones aplicadas en los dos extremos libres del sistema. Con la

metodología presentada se pueden conocer tanto la posición del objeto conocidas las

tensiones como las tensiones necesarias para transportar el objeto al punto deseado.

4.2. Estructuras de cables planas

Una estructura de cables es plana cuando tiene forma de malla o membrana. Este

tipo de estructuras, debido a su ligereza, cuenta con una rigidez especíca bastante

elevada; como en los casos unidimensionales, gran parte de la rigidez inherente del

sistema viene dada por la tensión de los materiales.


4.2.1. Cubiertas de edicios

Las primeras estructuras de este tipo, tal y como las se conocen hoy en día,

fueron las cuatro cubiertas de los pabellones construidos por el ingeniero ruso

V.G.Shookhov para una exposición en Nizjny-Novgorod en 1896. Durante los años

treinta algunas cubiertas de tamaño medio se construyeron en Estados Unidos y en

Europa, si bien ninguna gozó de relevancia signicativa. Cuando, en 1950, Matthew

Nowicki diseño la State Fair Arena se dió un gran paso en el desarrollo de este

tipo de cubiertas. Por desgracia, ese mismo año Nowicki murió en un accidente aé-

reo, pero su trabajo fue continuado por el arquitecto William Henry Deitrick y el

ingeniero Fred Severud, quienes en 1953 completaron el edicio.

Durante una visita a Estados Unidos, un estudiante alemán de arquitectura,

llamado Frei Otto, vio los dibujos del Raleigh Arena en la ocina de Nueva York

de Fred Severud. Otto se dio cuenta de que el proyecto aunaba muchas de sus

mismas ideas para conseguir una construcción con la mínima cantidad de material.

Tras su graduación en 1952, Otto comenzó a investigar sobre cubiertas colgantes.

Su investigación, que fue presentada en su tesis doctoral Das Hängende Dach (La

cubierta colgante), se convirtió en el primer documento dedicado exclusivamente a

este tipo de estructuras.

Tras interesarse por el trabajo realizado por Otto, Peter Stromeyer, dueño de

una de las mayores compañías de fabricación de tiendas de campaña del mundo,

contactó con el arquitecto, con lo que comenzó una fructífera relación. En 1957

Otto abrió un centro de investigación sobre construcción de estructuras ligeras en

Berlín para optimizar el proceso. En 1964 añadió dicho centro de investigación al

homónimo de la Universidad de Stuttgart, cuyo trabajo, desarrollado entre los años

1957 y 1965, fue publicado en los dos volúmenes de Tensile Structures [OTS67].

Frei Otto fue el responsable de la construcción y el desarrollo de gran cantidad de

las estructuras tensadas construidas durante los 60 y los 70. Entre ellas, la primera

gran estructura fue la del pabellón de Alemania de la exposición universal de 1967

en Montreal.


La creciente complicación de este tipo de estructuras ha sido la responsable de

gran parte del desarrollo de las técnicas de cálculo para la obtención de la geometría

de equilibrio durante la etapa de diseño. Estos métodos se han desarrollado desde

mediados del siglo XX cuando la potencia de los ordenadores no era aún compa-

rable a la que existe hoy en día. Por ello, estos métodos suelen ser muy rígidos y

están sujetos a diferentes restricciones con el n de simplicar los cálculos. Con el

procedimiento que se describe en este trabajo es posible estudiar el comportamiento

estático de este tipo de estructuras, tanto las formadas por cables como aquéllas for-

madas por membranas con rapidez y precisión lo que permitiría diseñar estructuras

aún más complejas.

4.3. Estructuras de cables tridimensionales

Utilizando esta metodología también es posible resolver situaciones en las que

intervengan cables interconectados formando redes tridimensionales de cables. Las

aplicaciones más relevantes de este tipo de disposiciones son las denominadas Es-

tructuras de Tensegridad. Surge así el concepto de tensegridad como principio es-

tructural basado en el uso aislado de componentes en compresión dentro de una red

de componentes en tensión, de forma que los elementos de compresión no se toquen

y los elementos en tensión denan el sistema espacialmente. Estas estructuras son


Figura 4.9: Simple estructura de tensegridad

muy utilizadas en arte, ya que la forma que describen una vez completadas son muy

estilizadas. En un ámbito más práctico, este tipo de estructuras establece el com-

portamiento mecánico de células y moléculas, así como el del ADN [Ing93]. Además,

a nivel molecular, diversos estudios han analizado su utilidad para desentrañar el

movimiento de los organismos unicelulares [CI99].

Parte I

Equilibrio estático de estructuras de

cables

24

25

En esta primera parte se propone un nuevo método para el cálculo de la posi-

ción de equilibrio estático de estructuras tridimensionales de cables. Este método

se basa en las ecuaciones analíticas de la catenaria y supone una generalización de

la aplicación previa para el cálculo de equilibrio inicial de catenarias realizado por

el equipo de investigación en mecánica computacional del ICAI coordinado por el

director de este proyecto. En los siguientes capítulos se profundizará en el método

y estarán estructurados de la siguiente manera: En primer lugar se expone una re-

visión de los principales métodos de cálculo utilizados para su resolución, capítulo

5. A continuación, el capítulo 6 presenta el método teórico propuesto para la reso-

lución de estructuras de cables a partir del desarrollo de las ecuaciones analíticas

de la catenaria. El capítulo 7 presenta diferentes casos que permiten comprobar la

robustez, precisión y exibilidad del modelo teórico y su implementación práctica,

contrastando los resultados con otros publicados en diversas revisas cientícas. El

capítulo 8 muestra una de las aplicaciones prácticas para las que se está empleando

el modelo en la actualidad. Por último, el Capítulo 15 presenta brevemente las con-

clusiones del trabajo. Las referencias empleadas en el desarrollo del trabajo serán

presentadas en orden alfabético al nal del documento.

Capítulo 5

Métodos de cálculo. Estado del arte

La mecánica de los medios continuos trata de predecir el comportamiento de

los cuerpos cuando sobre ellos actúan fuerzas externas, comportamiento éste que

depende de una serie de parámetros divisos en dos grandes grupos: por un lado, pa-

rámetros intrínsecos, basados en las propiedades del cuerpo o sistema que se estudia

(geometría, masa o elasticidad), y, por otro lado, parámetros circunstanciales, que

dependen del estado en que se encuentre el sistema (fuerzas externas, velocidad o

posición). El comportamiento, pues, viene regido por un conjunto de ecuaciones en

derivadas parciales acopladas, que tiene solución analítica en los casos más sencillos.

Sin embargo, cuando se trata de aproximar una realidad más compleja habitualmen-

te se emplean métodos numéricos de integración, como el método de los elementos

nitos, el de las diferencias nitos, métodos espectrales, elementos de contorno, etc.

Utilizando un método numérico es posible encontrar solución al problema de

equilibrio inicial de sistemas de cables. En la mayoría de las estructuras, la con-

guración de referencia es conocida ya que esta no depende de la distribución de las

tensiones internas. En las estructuras tensadas, como son las formadas por cables,

la conguración inicial depende de las tensiones internas, que son a priori descono-

cidas, y que deben ser determinadas. La resolución de este problema constituye lo

que se denomina problema de equilibrio inicial y es el paso previo a la obtención

de la respuesta (ya sea estática o dinámica) de una estructura tensada frente a una

26

CAPÍTULO 5. MÉTODOS DE CÁLCULO. ESTADO DEL ARTE 27

acción exterior.

Una manera de clasicar los diferentes métodos de resolución consistiría en la

diferenciación entre los parámetros especicados por el diseñador y los que son

tratados como incógnitas [HA82]. Los parámetros involucrados en un problema de

equilibrio inicial son los siguientes:

La topología de la estructura, que dene las conectividades de los miembros

que la forman.

Las cargas externas. Incluir éstas suele complicar el problema de equilibrio

inicial, ya que la magnitud y la dirección de las cargas pueden depender de la

conguración inicial de referencia

La geometría de la estructura, uno de los dos parámetros clave del problema de

equilibrio inicial, y especialmente importante para calcular las tensiones que

actuarán en la estructura en cada momento: para una estructura en tensión,

la curvatura es el parámetro que más afecta al comportamiento estructural;

La distribución de las fuerzas internas, que se revela como el segundo paráme-

tro clave, pues para conseguir un diseño seguro y económico es fundamental

encontrar una distribución de fuerzas apropiada.

El problema de equilibrio inicial es un problema estático puro, por lo que no

es necesario introducir ecuaciones dinámicas. Sin embargo, algunos métodos, como,

por ejemplo, el método de desplazamiento no lineal, utilizan ecuaciones cinemáticas

para resolver el problema tal y como se comentará posteriormente. Este método en

concreto requiere la especicación de ciertas propiedades del material, si bien dicha

especicación no tiene por qué referirse necesariamente a las propiedades reales:

pueden usarse propiedades cticias para controlar la solución de la conguración de

referencia [HA82].

Como se ha mencionado anteriormente, las cargas externas pueden complicar el

problema de equilibrio inicial, por lo que se suele asumir que los miembros de la


estructura no tienen peso y que ninguna carga actúa en los nodos. Sin embargo, para

obtener una solución completa, las fuerzas externas estarán presentes en muchas de

las ecuaciones expuestas en este capítulo, aunque normalmente sean despreciadas.

Inicialmente, el único requisito sobre la conguración de referencia es que debe

estar en equilibrio. Considérese un nodo i en un red de cuatro cables, como se puede

observar en la gura 5.1. Las ecuaciones de equilibrio en las direcciones x,y y z en

el nodo se pueden escribir como:

Tijxj − xi

Lij

+ Tikxk − xi

Lik

+ Tilxl − xi

Lil

+ Timxm − xi

Lim

+ Fxi = 0, (5.1)

Tijyj − yi

Lij

+ Tikyk − yi

Lik

+ Tilyl − yi

Lil

+ Timym − yi

Lim

+ Fyi = 0, (5.2)

Tijzj − zi

Lij

+ Tikzk − zi

Lik

+ Tilzl − zi

Lil

+ Timzm − zi

Lim

+ Fzi = 0, (5.3)

Como el equilibrio inicial es un problema estático, cualquier conguración con

la que se satisfagan las ecuaciones anteriores en cada nodo será una solución del

problema. Dependiendo de cual de los métodos de resolución que se exponen a

continuación se utilice, las incógnitas de estas ecuaciones pueden ser las tensiones, las

longitudes o las posiciones obteniéndose diferentes soluciones. No obstante, algunas

soluciones son mejores ya que no todas responden a la realidad física que se busca.

Figura 5.1: Nodo de una red de cables


A continuación se describirán los diferentes métodos que han sido utilizados

por diferentes autores para obtener estas soluciones anteriormente. Se realizará un

breve resumen de cada uno de ellos, resaltando a la vez tanto sus ventajas como sus

inconvenientes.

5.1. Método de desplazamientos no lineales

Entre los primeros métodos aplicados en la resolución de problemas de equili-

brio inicial cobra especial relevancia el método del desplazamiento no lineal. Éste

se basa en la técnica de los elementos nitos para el análisis del comportamien-

to estructural con grandes desplazamientos. Con frecuencia, el mismo algoritmo se

aplica en la resolución tanto de problemas de equilibrio inicial como de problemas

en los que aparezcan cargas externas. Sin embargo, este método se ve aquejado de

grandes desventajas ya que es preciso tensar previamente la estructura para aproxi-

marse al equilibrio lo que ralentiza mucho el proceso ya que requiere varios cálculos

consecutivos.

El método de los desplazamientos no lineales se puede resumir de la siguiente

forma: primero, se establece una malla de elementos en equilibrio con una distribu-

ción distribución de fuerzas jada por el diseñador. Se crea una forma tridimensional

de la malla desplazando los puntos de soporte de forma casi vertical a partir de sus

posiciones iniciales hasta los puntos en los que estará anclada la estructura, y, por

último, se usa un algoritmo iterativo para obtener la conguración de equilibrio de

la estructura deformada.

5.1.1. Redes de cables

Argyris fue uno de los primeros investigadores en utilizar el método de los des-

plazamientos no lineales para resolver problemas de equilibrio inicial en redes de

cables, tal como describe en [AAB74]. Su método fue desarrollado para encontrar

la forma de las cubiertas usadas en el estado olímpico de Munich, construido pa-


ra las olimpiadas de 1972 usando barras para representar los cables en su modelo

numérico.

Barnes detalla en [Bar88] un método similar en el que a una estructura inicial-

mente desequilibrada se le permite experimentar una vibración amortiguada hasta

estabilizarse en una posición de equilibrio.

Cualquiera de estos métodos permite conocer la geometría en equilibrio del pro-

blema. Sin embargo, los desplazamientos en los nodos jos pueden aumentar hasta

que aparezca una distribución de fuerzas desfavorable. Por eso, una vez que los

nodos jos han llegado a sus posiciones nales se realiza un ajuste de fuerzas modi-

cando las longitudes iniciales de los elementos mediante el siguiente procedimiento.

Un elemento tipo barra con un comportamiento elástico que cumpla la ley de Hooke

conserva la longitud total y, por lo tanto, considerando

L0 + ∆L0 = L0 + ∆L0,

donde L0 es la longitud antes del reajuste y L0 es la obtenida tras el mismo, se

obtiene la relación de la ecuación 5.4.

L0 =L0 + ∆L0

1 + ε=L0 + ∆L0

1 + TAE

. (5.4)

Después de este paso de ajuste la estructura ya no está en equilibrio, por lo que

se necesitan algunas iteraciones para establecer el equilibrio nal tanto de longitu-

des como de fuerzas. El mencionado paso de ajuste modica el valor de las fuerzas

respecto a las establecidas inicialmente. No obstante, dada la levedad de esta varia-

ción, se obtendrá una solución en la que la distribución de fuerzas será cercana a

la jada inicialmente. Otra forma de mantener el control sobre las fuerzas es usar

un módulo de elasticidad muy pequeño para los cables a costa de perder el control

sobre la longitud de los mismos.

El método de los desplazamientos no lineales se puede resumir de la siguiente

manera.

Las variables especicadas por el ingeniero son:


Figura 5.2: Método de los desplazamientos no lineales

• la topología de la estructura

• las condiciones de contorno, y

• las propiedades de los materiales.

Las incógnitas del problema son:

• la geometría de la estructura, y

• la distribución de fuerzas internas.

La solución está restringida por la siguiente condición:

• se debe especicar una distribución de fuerzas inicial.

5.2. El método de la rejilla

Los métodos de resolución de problemas de equilibrio inicial han sido desarrolla-

dos para evitar los problemas asociados al método de los desplazamientos no lineales.

Con el n de obtener un problema lineal equivalente muchos de estos métodos im-

ponen ciertas restricciones sobre la solución. En particular, el desarrollo original de

Siev y Eidelmann de 1962, pionero entre estos métodos, permite resolver la posición

de equilibrio inicial de redes de cables asumiendo una condición de ortogonalidad

sobre las mismas.


Figura 5.3: Red de cables con proyección ortogonal

Su método usa las ecuaciones 5.1-5.3 a las que aplica las restricciones sobre la

geometría, las condiciones de contorno y la distribución de esfuerzos internos de la

red obteniendo como resultado un problema lineal cuya única incógnita es la altura

de cada nodo[SE64]. Siev y Edelmann proponen asumir que la proyección horizontal

del cable es ortogonal; es decir, xi = xk = xm y yi = yj = yl (véase gura 5.1), con

una malla de tamaño ∆l. Aplicando esta modicación sobre las ecuaciones 5.1- 5.3:

Tij∆l

Lij

+ Til∆l

Lil

= 0 (5.5)

Tik∆l

Lik

+ Tim∆l

Lim

= 0 (5.6)

Puesto que Tij∆lLij

y Til∆lLil

son las componentes horizontales de las fuerzas de

los cables en la dirección x, y Tik∆lLik

y Tim∆l

Limlas componentes horizontales en

la dirección y y que no se introducen cargas externas en el plano horizontal, se

demuestra que las fuerzas en dicho plano son constantes. Llamando Hix y Hiy a las

fuerzas horizontales en el nudo i en las direcciones x e y respectivamente, se pueden

reescribir las ecuaciones 5.3 como sigue:


Hix (zj − 2zi + zl) +Hiy (zk − 2zi + zm) + Fiz = 0 (5.7)

Si se especican las componentes horizontales, la ecuación 5.7 es lineal y sus

únicas incógnitas son las coordenadas z de los nodos libres. La ecuación 5.7 es

la forma discreta de la ecuación de equilibrio vertical de una membrana, como se

demuestra en [TWK59]:

Hxδ2z

δx2+ Hy

δ2z

δy2+ Fz = 0, (5.8)

donde Hx y Hy son las componentes horizontales de la distribución de fuerzas de

tensado (N/m) en las direcciones x e y, respectivamente, y Fz es la intensidad de

carga vertical (N/m2).

El método de la rejilla se puede resumir de la siguiente manera:

Las variables especicadas por el diseñador son:

• topología estructural, y

• condiciones de contorno.


• geometría de la estructura, y

• distribución de fuerzas internas.

Las restricciones para la solución del problema son las siguientes:

• limitado a cables rectos,

• fuerzas horizontales constantes a lo largo de los cables, y

• limitado a redes de cables con proyecciones planas rectas.


5.3. Método de la densidad de fuerza

En la sección 5.2 se ha obtenido una solución del problema de equilibrio inicial

mediante la resolución de un sistema de ecuaciones lineales equivalentes. Sin embar-

go, debido a las restricciones impuestas sobre los problemas, con el método anterior

sólo se pueden resolver algunos de ellos. El método de la densidad de la fuerza nos

permite abordar aquellos problemas sobre los que no se pueden aplicar todas las

restricciones.

Para obtener el sistema lineal equivalente, este método utiliza el articio mate-

mático, desarrollado en [GB88], que se detalla a continuación. Inicialmente se parte

de las ecuaciones de equilibrio de fuerzas 5.1 5.3 que son no lineales ya que la

longitud de cada elemento es una función de las coordenadas de los nodos. Especi-

cando las fuerzas y las longitudes, a partir de ahora denominadas q, en lugar de

especicar las fuerzas de cada elemento las ecuaciones anteriores se ven modicadas

de la siguiente manera:

qij (xj − xi) + qik (xk − xi) + qil (xl − xi) + qim (xm − xi) = 0 (5.9)

qij (yj − yi) + qik (yk − yi) + qil (yl − yi) + qim (ym − yi) = 0 (5.10)

qij (zj − zi) + qik (zk − zi) + qil (zl − zi) + qim (zm − zi) = 0 (5.11)

Con este cambio de variables se ha conseguido obtener un sistema de ecuaciones

lineales cuyo estado de equilibrio tiene la densidad de fuerza indicada en cada ele-

mento sin necesidad de imponer ninguna otra restricción. Este método es apropiado

para obtener una primera aproximación; pero, si se desea estudiar más a fondo la

estructura, es necesario aplicar un análisis posterior como los detallados en las sec-

ciones 5.1 y 5.2. La diferencia entre los métodos anteriores es que el método de

los desplazamientos no lineales utiliza un número de ecuaciones igual al número de

grados de libertad, mientras que el número de ecuaciones usado por el método de

la densidad de fuerza es igual al número de restricciones adicionales impuestas, que

en la mayoría de los casos suele ser menor que el número de grados de libertad,


como se demuestra en [Sch74]. Esta nueva metodología introducida por Schek ha

suscitado, sin embargo, el estudio y desarrollo posterior de este método para su uso

en aplicaciones diversas solventado las dicultades propias del método.

Mollaert aplicó el método de la densidad de fuerza a estructuras compuestas tan-

to por cables como por elementos rígidos trabajando a compresión como detalla en

[Mol84]. Para obtener la solución fuera del plano de los nodos jos, separó los miem-

bros en tensión de aquellos en compresión cambiando, a continuación, los elementos

substraídos de cada subestructura por fuerzas externas equivalentes diseñando, de

esta forma cada parte por separado.

Asimismo, el método de la densidad de fuerza se usó de forma conjunta con el de

optimización por mínimos cuadrados para generar el patrón de corte de estructuras

compuestas por membranas, tal y como se sugiere en [MT90]. Gracias a la simpli-

cidad de la formulación de este método como la del de optimización por mínimos

cuadrados, se pueden resolver problemas muy complejos en poco tiempo aunque se

usen mallas muy nas.

Estas propiedades hacen que el método de la densidad de fuerza sea preferible

ante otros métodos, como por ejemplo el de la relajación dinámica, a la hora de

obtener estos patrones.

En la formulación de Schek se asume que la directriz de los cables es recta,

lo cual va dejando de ser cierto a medida que la densidad de fuerza de los cables

disminuye. No obstante, en la referencia [HA82] se extiende el método a uno más

general donde esta directriz es curva, además de añadir elementos que reejan la

física de una membrana. Esta ampliación se basa en asumir la matriz de rigidez

geométrica como

KGxg = 0 (5.12)

donde KG es la matriz de rigidez geométrica de la estructura y xg el vector de coor-

denadas nodales (x, y y z). La ecuación 5.12 se puede aplicar a cualquier modelo de

elementos nitos estructural y, aunque parece una ecuación de rigidez normal, las

incógnitas son las coordenadas nodales en lugar de sus desplazamientos. Para es-


tructuras compuestas únicamente por elementos barra, el conjunto de ecuaciones de

5.12 es idéntico al que se obtiene utilizando el método de la densidad de fuerza. Pa-

ra elementos simples estas matrices se pueden calcular analíticamente; sin embargo,

al implementar muchos otros elementos éstas deben ser calculadas por integración

numérica. Incluso tras conociendo la geometría la determinación de las tensiones en

elementos complejos puede ser problemática.

Christou implementó un elemento catenaria elástica en el método de la densidad

de fuerza, considerando así la carga distribuida por los cables como reeja [Chr96].

Con la matriz de rigidez obtenida se puede resolver la geometría de equilibrio del

problema, tras lo que se requiere un proceso iterativo para hallar la tensión en los

cables la cual esta regida por una ecuación no lineal. No obstante, en estructuras

muy tensas es común despreciar las cargas distribuidas.

Más recientemente, Lai et al. han empleado el método de la densidad de fuerza

para diseñar la forma de un reector desplegable con aplicaciones espaciales como

describen en [LYP98]. Para ello, transformaron la membrana original en una red de

cables equivalentes para, de esta forma, utilizar el conjunto de ecuaciones 5.9 - 5.11.

Estos trabajos muestran como el método de la densidad de la fuerza no ha perdido

su vigencia al pasar las décadas, pues, aunque fue introducido hace más de treinta

años, en [LS71], aún hoy surgen nuevas áreas de aplicación.

El método de la densidad de fuerza se puede resumir de la siguiente manera:


• Topología estructural, y

• condiciones de contorno.


• Geometría de la estructura, y

• distribución de fuerzas internas.

Las siguientes son las restricciones adicionales del método:


• se encuentra limitado a elementos cable rectos, y

• la densidad de fuerza ha de estar jada para cada elemento.

5.4. Método de determinación de tensiones por mí-

nimos cuadrados

Todos los métodos descritos anteriormente consideran la geometría de la estruc-

tura como una incógnita del problema; ahora bien, puede darse el caso de que la

geometría de la estructura sea conocida de antemano. En estas situaciones se debe

determinar la distribución de fuerzas que satisface el sistema de ecuaciones, para lo

cual se presentan dos métodos que derivan de la ecuación:

At=f, (5.13)

representando 5.13 la forma matricial de las ecuaciones 5.1 - 5.3 se obtiene

Aγ,αβ =αβ−αγ

Lγβ

tγ,α = Tγ,β

f = Fγ,α

donde

α = x, y, z

β = j, k, l,m

γ = 1, 2, ..., N

siendo α los grados de libertad y β los nodos adyacentes al nodo de estudio deno-

minado por γ.

El problema se resuelve diferente manera según la discusión del sistema de ecua-

ciones 5.13. Si el sistema es incompatible, es decir, que tiene más ecuaciones que

incógnitas, entonces es necesario utilizar un método para buscar la solución que se

aproxime más al equilibrio. Esto se puede hacer empleando el método de los mínimos

cuadrados que se resume en la siguiente expresión.

ATAt = AT f, (5.14)

No obstante es preciso remarcar que con este método tan solo obtiene el equili-

brio de la estructura en el sentido de los mínimos cuadrados. Una de sus mayores


desventajas es que no se tiene ningún control sobre la distribución de fuerzas, no se

pueden restringir las fuerzas de compresión y, además, la distribución de las mismas

puede resultar muy irregular aunque jando algunas de ellas se puede controlar me-

jor. Frente a estas desventajas cabe señalar un rasgo positivo: la solución se obtiene

con mucha rapidez puesto que viene dada por la resolución de un sistema simétrico

de ecuaciones lineales.

Si, por el contrario, el sistema es compatible indeterminado, con un número

innito de soluciones para obtener el equilibrio, entonces se dene y resuelve una

distribución exacta de tensiones t*. En general, este sistema de fuerzas no llevará al

equilibrio por lo que las tensiones se pueden expresar como la suma de un conjunto

de fuerzas ideales y de sus respectivas desviaciones del equilibrio,

t = t*+ ∆f. (5.15)

Como las fuerzas ideales se especican directamente, ∆f se convierte en la incóg-

nita del problema. La ecuación 5.13 se puede reescribir como en la ecuación 5.16, y

su solución óptima se dene como el conjunto de desviaciones que tengan la menor

norma euclídea.

A∆t = f−∆t*. (5.16)

Recurriendo a una formulación clásica de multiplicadores de Lagrange, como re-

eja la expresión 5.17, es posible resolver el problema de optimización cuya solución

óptima es la que se escribe de forma explícita en 5.18

∆tT ∆t− 2kT [A∆t− (f−At*)]→ mın . (5.17)

∆t = AT(AAT

)−1(f−At*) . (5.18)

Si la geometría de la estructura y la distribución de fuerzas jadas son compa-

tibles la distribución de fuerzas de 5.15 varía muy poco de la especicada. Por ello,

dado que cumple el equilibrio de manera exacta debe obtenerse una solución bastan-

te suave. Sin embargo, en caso de que sean incompatibles, pueden aparecer grandes


desviaciones en la fuerzas. Una ventaja del sistema indeterminado con más incóg-

nitas que ecuaciones es que el diseñador tiene algún control sobre la distribución de

fuerzas aunque la geometría se especique de manera exacta. Por el contrario, si el

sistema es indeterminado o hiperestático el procedimiento sólo está compuesto por

matrices simétricas.

El método se puede resumir como sigue:


• topología de la estructura,

• condiciones de contorno, y

• geometría de la estructura.

La incógnita del problema es

• la distribución de fuerzas internas.

Se concluye aquí la presentación de las técnicas de resolución de estructuras de

cables más empleadas. Junto a estas técnicas existen otros métodos particulares

que permiten resolver multitud de problemas especícos. Algunos de estos métodos

se utilizarán para contrastar los resultados. En el capítulo siguiente se presenta el

desarrollo teórico del modelo propuesto que no puede ser encuadrado en ninguno

de los grupos anteriores ya que todos estos tratan de resolver el equilibrio mediante

la proyección geométrica de las tensiones tal y como muestra la ecuación 5.3. Sin

embargo, el método propuesto obtiene las tensión horizontal y vertical de forma

analítica lo que le permite mayor exibilidad al diseñador de la estructura que

puede jar valores geométricos, topológicos y físicos indistintamente.

Capítulo 6

Desarrollo teórico del método

propuesto

El estudio de las aplicaciones de la sección 3 revela que algunas de éstas, como

pueden ser las líneas de transporte de energía eléctrica, las catenarias de los ferroca-

rriles o los funiculares, requieren un tratamiento más exacto de su comportamiento.

Por ejemplo, pequeñas desviaciones entre el modelo y la realidad pueden ser muy

relevantes tanto para cálculos estáticos como dinámicos, críticos en el dimensiona-

miento de las estructuras. Ciertamente todas estas aplicaciones requieren un mo-

delado que responda a su realidad física pero, en algunos casos, las hipótesis que

usualmente realizan los modelos desarrollados en la sección anterior no permiten re-

producir el comportamiento real de cada cable. La verosimilitud de estas hipótesis

se apoya en la analogía entre estructuras de cables y estructuras de barras, es decir,

en el tratamiento de estructuras de cables muy tensos como elementos de directriz

recta. Esto es cierto cuando despreciar las cargas distribuidas es plausible.

Aunque algunos de los métodos analizados en la sección 5 utilizan elementos

curvos para modelar los cables, tarde o temprano han de aplicarse ciertas simpli-

caciones con las que se pierde la precisión necesaria. Otra forma en la que este

tipo de métodos aborda casos en los que la tensión en los cables sea pequeña es

discretizar el cable continuo en elementos rectos más pequeños asimilables a los

40

CAPÍTULO 6. DESARROLLO TEÓRICO DEL MÉTODO PROPUESTO 41

eslabones de una cadena. Sin embargo, esto conlleva un considerable aumento del

número de incógnitas que resulta, especialmente crítico para aquellos casos en los

que concurran en grandes desplazamientos.

Este capitulo presenta la formulación analítica de un método de cálculo de es-

tructuras de cables empleando la ecuación exacta de la catenaria. La implementación

de éste método en el lenguaje de programación MATLAB R© para la resolución de los

distintos casos expuestos más adelante se ha consolidado en una herramienta llama-

da CALESCA. En primer lugar se desarrollará en coordenadas locales la ecuación de

la catenaria para más adelante extenderla a un sistema generalizado de coordenadas

globales que, nalmente, serán transformadas a una base tridimensional. Mediante

la correcta manipulación de las mismas se podrá estudiar con precisión la física del

problema de equilibrio inicial.

El cálculo analítico de las tensiones de los cables permite conocer su valor exacto.

Este hecho hace que el método presentado diera de los métodos usados en la ac-

tualidad, los cuales emplean proyecciones geométricas de las tensiones de los cables,

consideradas constantes en muchos casos erróneamente. La resolución a partir de un

punto de vista teórico ofrece la posibilidad de obtener de forma precisa la posición

y la tensión de cualquier punto de la estructura, así como la longitud exacta entre

dos puntos de la misma.

6.1. Formulación en coordenadas locales

El comportamiento estático de un cable se rige, como se anticipó en la sección

3, por un conjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas. Para su deducción,

considérese un cable simplemente colgado entre los puntos A y B, tal y como se

muestra en la gura 6.1. El origen de coordenadas de Oηξ está situado sobre la

vertical de M , siendo éste el punto mínimo de la curva.

Tratando el cable como inextensible, el peso de la porción de cable desde el

punto M hasta un punto cualquiera P será ws, donde s es la longitud del cable


c 1

2

O

M

A

B

1

2

Figura 6.1: Sistema de Coordenadas Locales

entre dichos puntos. Esta fuerza actuará sobre el centro de gravedad de la porción

de cable MP , la cual será compensada por la tensión del cable en P y en M

denominadas, respectivamente, T y H. Al ser M el punto mínimo de la curva, H

tan solo tiene componente horizontal. Utilizando el equivalente reducido al centro

de gravedad, se aplican las ecuaciones de equilibrio de fuerzas en los ejes horizontal

y vertical según el diagrama de cuerpo libre de la 6.3, con lo que se obtiene

T cosϕ = H (6.1)

T sinϕ = ws (6.2)

con lo que, escribiendo H = wc y dividiendo 6.1 por 6.2, resulta

s = c tanϕ (6.3)

Ésta es la forma intrínseca de la ecuación de la catenaria, en la cual la constante c

es conocida como la constante de la catenaria. La forma cartesiana de la ecuación 6.3

es

c · dξdη

= s


y derivando de nuevo se obtiene

c · d2ξ

dη2=ds

dη=

(1 +

(dξ

dη

)2) 1

2

Integrando esta ecuación resulta

c sinh−1 dξ

dη= η +K1

donde K1 es la constante de integración. Dado que el origen de coordenadas está

situado bajo el punto mínimo de la curva, M, en ξ = 0 dξdη

= 0, y por lo tanto

K1 = 0, resultandodξ

dη= sinh

η

c(6.4)

Integrando de nuevo se obtiene

ξ = c coshη

c+K2

donde K2 es otra constante de integración. Si en el punto η = 0, ξ = c, se deduce

que K2 = 0, y por lo tanto

ξ = c coshη

c(6.5)

que es la ecuación cartesiana de la catenaria respecto del sistema Oηξ. A partir

de las ecuaciones 6.3 y 6.4 se obtiene que la longitud de arco de cable es

s = c sinhη

c(6.6)

La tensión del cable se obtiene por la suma de cuadrados de las ecuaciones 6.1

y 6.2, con lo que se obtiene

T 2 = w2(s2 + c2

)de lo que, utilizando 6.5 y 6.6, se deduce

T = wξ

y, por lo tanto,

T = wc coshη

c(6.7)


Éstas son las ecuaciones básicas de la catenaria, que se pueden encontrar en

diferentes libros de mecánica clásica, así como en parte de la bibliografía referente

al estudio de estructuras de cables [Pug68, Irv81].

6.2. Formulación en coordenadas globales

Las ecuaciones anteriores son útiles en el caso de estudiar un único cable. Pero si

se trata de estudiar varios cables, es necesario obtener las ecuaciones en un sistema

más general que el empleado anteriormente. Para ello se de ha desarrollado una

metodología similar a la empleada en [Cel06], que será generalizada más adelante

para estructuras más complejas.

x1

xm i n

x2

c 1

2

O

O

y2

y1

M

A

B

2

1

Figura 6.2: Relación entre coordenadas locales y globales

Para ello, considerando el sistema Oxy se aplica la ecuación 6.5 a los extremos,

los cuales aparecen en la gura 6.2, de lo que resulta:

ξ2 = c coshx2 − xmin

c(6.8)

y

ξ1 = c coshxmin − x1

c(6.9)


Aplicando la ecuación 6.6 a los mismos puntos se obtiene:

s2 = c sinhx2 − xmin

c(6.10)

y

s1 = c sinhxmin − x1

c(6.11)

Restando 6.8 de 6.9:

ξ2 − ξ1 = y2 − y1 = c coshx2 − xmin

c− c cosh xmin − x1

c(6.12)

Sumando 6.10 de 6.11:

l = c sinhx2 − xmin

c+ c sinh

xmin − x1

c(6.13)

Aplicando la siguiente identidad hiperbólica a 6.12

cosh a− cosh b = 2 sinh1

2(a + b) · sinh 1

2(a − b) (6.14)

se obtiene:

y2 − y1 = 2c · sinh(x2 − x1

2c

)sinh

(x1 + x2

2c− xmin

c

)(6.15)

Despejando xmin de 6.15 se obtiene:

xmin =x1 + x2

2− c · asinh

(y2 − y1

2c sinh(

x2−x1

2c

)) (6.16)

Se puede apreciar que el mínimo de la curva depende exclusivamente de la posi-

ción de los extremos y de la constante. Suponiendo que éstos son conocidos, puede

deducirse fácilmente la tensión vertical y horizontal en los extremos utilizando un

sistema de coordenadas locales como el presentado en la sección 6.1. El diagrama

de cuerpo libre de la gura 6.3 representa un cable desde el punto mínimo hasta

uno de sus extremos en un sistema de coordenadas local Oηξ.

Aplicando un balance de fuerzas en la dirección horizontal se obtiene:


Figura 6.3: Diagrama de cuerpo libre

Th = T cos θ (6.17)

Sustituyendo en 6.17 T por su valor, hallado en 6.7, se obtiene

Th = wc coshη

ccos θ (6.18)

En el punto mínimo η = 0, cosh(

ηc

)= 1 y cos θ = 1; por lo tanto

Th = wc (6.19)

Esta tensión horizontal permanece constante a lo largo de todo el cable, ya que

no hay ninguna otra fuerza externa horizontal. La componente vertical de la tensión

en los extremos puede hallarse compensando las fuerzas verticales:

Tv = T sinθ = ws (6.20)

Sustituyendo en 6.20 s por su valor, hallado en 6.6, resulta

Tv = wc sinh(ηc

)(6.21)

Dada la posición de los extremos del cable, y, por tanto, siendo conocidas la

distancia horizontal, d, y vertical, v, entre sus extremos el estado de dicho cable


queda denido por las variables c, l y T . Asimismo se pueden utilizar las ecuacio-

nes 6.7 y 6.13 para que, dada una de ellas, puedan calcularse las otras dos. La forma

explícita y adimensionalizada de éstas referida al primer extremo es:

El (c, l) =l

c− sinh x2 − xmin

c− c sinh xmin − x1

c= 0 (6.22)

Ec (c, T ) =T

w− c cosh xmin − x1

c= 0 (6.23)

De añadirse otro cable quedaría perdida la información de la posición de uno de

los extremos, con lo que aparecerían tres nuevas incógnitas. Éstas serían resueltas

con las tres ecuaciones de balance de fuerzas en dichos puntos. Por lo tanto, para

todo sistema bien denido, existirá un número nito de soluciones.

6.2.1. Consideraciones sobre el cable elástico

Si se considera la elasticidad de los materiales, la longitud nal del cable, lf ,

dependerá de la tensión del cable y de las propiedades del mismo. La ley de Hook

en su forma integral es

∆l =

∫L

T (x)

EAds

y, sustituyendo en ella la tensión obtenida en la ecuación 6.7, se obtiene

∆L =wc

2EA

c

2

[senh

(2 (xmin − x1)

c

)+ senh

(2 (x2 − xmin)

c

)]+ (x2 − x1)

Por lo tanto, la longitud real del cable para cada estado de carga sería

Lfinal = Lreposo + ∆L

Al ser muy pequeño este incremento de longitud, la variación del peso por unidad

de longitud se puede considerar constante, wLreposo ≈ wLfinal.

Ésta sería la formulación completa para un solo cable perfectamente exible o

para una cadena sin rozamiento colgada entre dos puntos. Un sistema más complejo

estaría compuesto de más elementos interconectados en nodos. Para resolver este


tipo de estructuras es necesario la generalización de este método a un sistema de

referencia tridimensional.

6.3. Generalización a 3D

Tal y como formuló Newton, las fuerzas en cualquier punto de un sistema me-

cánico en reposo deben estar equilibradas. Por ello, en cada nodo de unión de dos

o más cables las fuerzas deben equilibrarse simultáneamente. Para aplicar las ecua-

ciones de equilibrio, estas tensiones deben descomponerse en un sistema de ejes

ortogonales. Ya que la única fuerza distribuida aplicada sobre el cable es la grave-

dad, y solo está contenida en el plano vertical, las tensiones de los mismos también

pertenecen al plano vertical que pasa por los extremos. En el sistema local para

un cable contenido en un plano, la tensión en los extremos se puede dividir en Th

y Tv. Para aplicar una matriz de transformación ortogonal se denominará Tp a la

tensión que aparecería en el plano perpendicular al que une los extremos del cable

que siempre será Tp = 0. Utilizando la matriz de giro alrededor de un eje en la

dirección z,

T =

∆x√

∆y2−∆x2− ∆y√

∆y2−∆x20

∆y√∆y2−∆x2

∆x√∆y2−∆x2

0

0 0 1

es posible obtener las tensiones en el sistema global de coordenadas a partir de las

expresiones deducidas en la sección anterior. Estas tensiones tan sólo dependen de

las posiciones relativas de los extremos del cable, la densidad lineal, w, y la constante

de la catenaria, c. Tv correspondería a la componente en el eje z de la tensión y Th

estará en el plano horizontal en la dirección que une a los extremos, o lo que es lo

mismo:


Tx

Ty

Tz

=

∆x√

∆y2−∆x2− ∆y√

∆y2−∆x20

∆y√∆y2−∆x2

∆x√∆y2−∆x2

0

0 0 1

Th

Tp

Tv

(6.24)

Gracias a ello es sencillo descomponer las fuerzas de cada nudos en sus componen-

tes verticales y horizontales para obteniendo las siguientes ecuaciones de equilibrio

estático: ∑T + Fp = 0 (6.25)

Donde T = (Tx, Ty, Tz)T y Fp = (Fpx, Fpy, Fpz)

T . Estas ecuaciones se pueden aplicar

a cada nodo, siempre que todas las fuerzas que conuyen en el sean incógnitas. Si

algún nodo es de contorno las reacciones (fuerzas exteriores) serán incógnitas.

6.4. Ensamblado y resolución

Una vez conocidas las ecuaciones que denen la física del problema, se dene un

sistema de ecuaciones no lineales de la siguiente forma.

G (x) = 0 donde

G = (G1, G2, ..., Gn)

x = (x1, x2, ..., xn)(6.26)

Dependiendo del tipo de problema las funciones objetivo, Gi, pueden ser de

dos tipos: de equilibrio o de compatibilidad. Las primeras responden al equilibrio

estático en los tres grados de libertad (ecuación 6.25). Las otras, más especícas de

este tipo de estructuras, ajustan la compatibilidad entre la forma, la longitud y la

tensión. La forma de la catenaria se rige por el valor de la constante de la catenaria,

c, fundamental para conocer la longitud y la tensión en el cable, relacionadas por

las ecuaciones 6.22 y 6.23.

Por otro lado, en el vector x (cuadro 6.1) pueden diferenciarse dos tipos de

incógnitas: posiciones nodales, (xi, yi, zi), y propiedades del cable, la constante de la

catenaria, c, la longitud del cable, l y la tensión del cable, T . Para que el problema

esté correctamente denido, deben denirse tantas incógnitas como ecuaciones. En


cada nudo interno existen tres ecuaciones de equilibrio, una en cada dirección; en

cada nodo de contorno en los que se desee conocer o utilizar las reacciones también

aparecerán tres ecuaciones de equilibrio; y por cada cable se deberán cumplir dos

ecuaciones de compatibilidad más. Por otro lado, el número de incógnitas será el

mismo ya que: en cada nudo interno se deseará conocer su localización geométrica; en

cada nudo de contorno se calcularán las reacciones respecto a los ejes coordenados;

y en cada cable se podrán averiguar dos de las tres propiedades características: c,

l y T . Esta sería la disposición más simple ya que, sin modicar la cantidad de

ecuaciones y de incógnitas, es posible aportar información adicional como podría

ser alguna coordenada nodal pudiendo conocer así más información sobre los cables.

A modo de resumen se muestra la siguiente tabla:

Nudos internos Nudos de contorno Cables

Ecuaciones∑Fi = 0

∑Fi = 0 Ec,El

Incógnitas xi, yi, zi F extxi , F

extyi , F

extzi Dos entre c, l, T

Tabla 6.1: Ensamblado del sistema de ecuaciones

Sirva como ejemplo la estructura que se muestra en la gura 6.4. Ésta esta

compuesta por los cables 1, 2 y 3 de longitudes conocidas conectados en el nodo 1

en el que se aplica una fuerza externa, Fp = (Fpx, Fpy, Fpz)T .

Figura 6.4: Simple estructura de cables

Además del nodo 1 hay otros tres nodos que pertenecen al contorno y por lo

tanto no formarán parte de las incógnitas ya que no se desea conocer las reacciones


en los soportes. Las incógnitas que presenta este problema son las constantes de los

cables c1, c2 y c3, las coordenadas de la posición de equilibrio del nodo de conexión,

x1, y1 y z1 y la tensión, T1, T2 y T3, en uno de los extremos de cada cable. Por lo

tanto, resultan un total de 9 incógnitas en el problema.

En cada cable hay denidas dos ecuaciones que equilibran la constante de la

catenaria con la tensión y la longitud. Estas ecuaciones son Ec1, Ec2 y Ec3, denidas

en la expresión 6.23, y El1, El2 y El3, según la ecuación 6.23. En el nodo interno

se aplicarán las tres ecuaciones de equilibrio de fuerzas tal y como se muestra en la

ecuación 6.25 cuyos valores se obtienen a partir de ecuación 6.24.

La necesidad de sistematizar este tipo de cálculos de cara a su implementación

precisa recurrir a la expresión matricial de las ecuaciones que rigen el comportamien-

to de cada cable. Así se obtiene una matriz por cada elemento que posteriormente

se ensamblarán en un único sistema global de la forma 6.26. Para ello se debe re-

lacionar las ecuaciones nodales de cada cable con las ecuaciones correspondientes

en el sistema global y añadir las fuerzas internas calculadas para dicho nudo. Por

último se sumarían las fuerzas externas que actúen sobre el mismo obteniendo el

primer tipo de funciones objetivo. Las de segundo tipo se obtienen directamente de

cada cable ya que sólo dependen de la posición de sus extremos.

El sistema de ecuaciones que resulta está compuesto por un conjunto de ecua-

ciones no lineales, para cuya resolución existe una gran cantidad de métodos. Dada

la gran variedad de problemas que es posible resolver, en algunos de ellos la no

linealidad puede resultar crítica. Para abordar los diferentes casos que se presen-

tan en este trabajo se han empleado las dos familias de métodos que se detallan a

continuación. Ambas familias tratan de resolver un problema no lineal de mínimos

cuadrados, el cual consiste en la búsqueda de un mínimo global a la suma de los

cuadrados de las n funciones objetivo; es decir,

minimizarG (x) =1

2

n∑i=1

G2i (x) dondex ∈ <n

Este problema surge de la dicultad de encontrar una solución al sistema de


ecuaciones no lineales y, en consecuencia, tratar de encontrar una pseudosolución

que mejor la aproxime de acuerdo con la norma euclídea.

6.4.1. Referencias teóricas del problema

La familia de métodos que se van a emplear para resolver los problemas de

mínimos cuadrados requieren la información que proporcionan las derivadas de las

componentes Gi (x) del vector G (x) respecto a cada una de las variables xk. En

el problema que nos ocupa, esas derivadas existen, como mínimo hasta segundo

orden, siendo además continuas y con posibilidad de obtenerse de forma analítica.

La matriz Jacobiana de G (x) se denota por J (x) ∈ <n×n y la Hessiana de cada

componente Gi (x) por Hi (x) ∈ <n×n, donde

Ji (x)k =∂Gi (x)

∂xk

; Hi (x)jk =∂2Gi (x)

∂xjxk

, i = 1, ...,m

Las derivadas primera y segunda de f (x) son:

∇G (x) =n∑

i=1

Gi (x)∇Gi (x) = J (x)T Gi (x)

y

∇2G (x) =n∑

i=1

(∇Gi (x)∇Gi (x) +Gi (x)∇2Gi (x)

)= J (x)T J (x) +Q (x)

donde,

Q (x) =n∑

i=1

Gi (x)Hi (x)

6.4.2. Familia de métodos Gauss-Newton

El primer enfoque utiliza para resolver el problema de mínimos cuadrados no

lineal el modelo lineal del sistema que dene el desarrollo en serie de Taylor alrededor

de un punto xk truncándolo a partir de los términos de segundo orden; es decir,

Mk (x) = G (xk) + J (xk) (x− xk)


Paso 0 Denir un x0: hacer k=1 y xk ← x0

Paso 1 Determinar mınx∈<n ‖G (xk) + J (xk) (x− xk)‖2Paso 2 Si (x− xk) < Tol, parar: el problema está resuelto;

si no, hacer k = k + 1, xk = x e ir al paso 1.

Tabla 6.2: Algoritmo de Gauss-Newton

El método de Gauss-Newton para resolver problemas no lineales de mínimos

cuadrados está basado en la resolución de una sucesión de aproximaciones lineales

de G (x) de acuerdo con el algoritmo del cuadro 6.2.

Cada uno de los subproblemas del paso 1 es un problema lineal de mínimos

cuadrados del tipo

minimizar ‖Ax− bA‖2 dondex ∈ <n

La solución de esos subproblemas,la cual será una dirección de descenso, está dada

por

dk = (x− xk) = −J (x)TG (x)

Al obtener analíticamente el sistema de ecuaciones 6.26, es posible calcular de

manera exacta este jacobiano. Gracias a ello la convergencia es óptima para cada

método y reduce sensiblemente los tiempos de resolución gracias a la minimización

del número de llamadas a las funciones.

6.4.2.1. Line Search

Line Search es un método de búsqueda utilizado dentro de algoritmos mayores.

En cada paso de la iteración, el método de line-search busca a lo largo de la línea

que contiene al punto actual, xk, paralelo a la dirección de búsqueda, que es el

vector determinado en el algoritmo principal. De esta forma, el siguiente paso de la

iteración queda de la forma:

xk+1 = xk + α · dk


en el que α es la longitud del paso. El método intenta minimizar la función objetivo

a lo largo de la línea xk + αdk. Para conseguir esto existen dos criterios:

1. Escoger el mayor α de la sucesión 1, 12, 1

4, ..., para el cual

‖Gi (xk)‖22 − ‖Gi (xk + αdk)‖22 ≥1

2α ‖J (xk) dk‖22

A este criterio se le llama Regla de Armijo

2. Escoger el α solución de

minimizar ‖Gi (xk − αdk)‖22 donde α ∈ <n

Como los dos criterios funcionan adecuadamente, en la literatura se aconseja

indistintamente utilizar uno u otro. Incluso se pueden combinar los dos en algún

caso según progresa el procedimiento correspondiente. Se puede encontrar más in-

formación sobre este tipo de algoritmos en [OC97], [nNW99] o en [Fle87].

6.4.3. Familia de métodos de región de conanza

En caso de que la matriz jacobiana J (xk) sea singular, el método de Newton

no encuentra solución al sistema, ya que el paso dk no está denido. Además, si

el sistema de ecuaciones es muy grande, puede ser difícil de calcular dicho paso.

También es posible que no se encuentre solución si el valor inicial del sistema está

muy alejado de ésta. Usando técnicas de región de conanza se aumenta la robustez

de la optimización si los valores iniciales están lejos de la solución e incluso soporta

que el jacobiano, J (xk), sea singular.

Este tipo de técnicas están basadas en un concepto simple pero muy potente

en el área de la optimización. Considérese el siguiente problema de minimización

incondicional: minimizar G (xk), en el que G : <n → <. Si se desea optimizar en

G en los alrededores de un punto x0, la idea es aproximar la función G por una

función más simple q que reeje el comportamiento de G en el entorno, N, de


xk. Este entorno es la región de conanza. Se calcula un paso, s, minimizando (o

minimizando aproximadamente) q (s) en N. El subproblema de minimización sería:

mınsq (s) s ∈ N (6.27)

El punto se actualizaría para ser x+ s si G (xk + s) < G((xk); en caso contrario

el punto se mantendría sin modicación y la región de conanza, N disminuiría y

se repetiría el cálculo anterior.

Los puntos clave del método son cómo elegir y calcular una aproximación q de

G en el entorno de xk, cómo elegir y modicar la región de conanza, N ; y cómo

resolver el subproblema 6.27 con precisión.

El método de región de conanza estándar, aproxima G por su desarrollo de

Taylor de segundo orden en el entorno de xk; es decir, en la región de conanza, N,

que normalmente es de forma esférica o elipsoidal. Matemáticamente el problema

se suele formular de la siguiente forma:

mın

1

2sTHs+ sT∇G tal que ‖Ds‖ ≤ ∆

(6.28)

donde ∇G es el gradiente de G en el punto xk, H es la matriz Hessiana, D es la

matriz diagonal de escala, ‖·‖ es una norma y ∆ el tamaño de la región de conanza,

N. Existen buenos algoritmos para resolver la ecuación 6.28 [MS83]. No obstante,

para cierto tipo de problemas resolver esta ecuación lleva demasiado tiempo y, por

lo tanto, sería preferible usar un método tipo Newton.

El método se podría resumir de la siguiente maneras:

Paso 0 Formular el subproblema de región de conanza.

Paso 1 Resolver la ecuación 6.28 para determinar el paso s.

Paso 2 Si G ((xk + s) ≤ G (xk)), xk = xk + s.

Paso 3 Ajustar ∆.

Tabla 6.3: Algoritmo de la región de conanza

Estos cuatro pasos se repiten hasta que el problema converge. La dimensión de

la región de conanza se ajusta según reglas estándar. En particular, se disminuye si


el paso no es aceptable; es decir, cuando G ((xk + s) > G (xk)). Para más referencias

se pueden consultar los siguiente artículos [CV01] o [Sor97] que desarrollan el tema

con más profundidad.

Capítulo 7

Vericación de la implementación del

modelo

Habiendo concluido la formulación y generalización del método propuesto para

la resolución de la estática de estructuras de cables, este capítulo pretende llevar a

cabo una validación exhaustiva según dos vertientes claramente diferenciadas. La

primera de ellas abordará la validación numérica del método propuesto respecto a

otros recogidos en la literatura cientíca relativa al tema que ocupa este trabajo.

Por otra parte, la exibilidad y robustez del método ha de ser igualmente vericada

mediante la aplicación a distintos problemas de muy diversas áreas empleando una

metodología común a todos, como es la expuesta en este trabajo.

7.1. Contrastación con el método de elementos -

nitos (MEF)

Como primer caso susceptible de validación el método propuesto en este trabajo

se ha contrastado con una formulación clásica de elementos nitos mediante la

resolución de un ejemplo sencillo. Hasta el momento el MEF es reconocido como

uno de los métodos más potentes para resolver este tipo de problemas debido a que,

gracias a su exibilidad, resulta sencillo la sistematización y resolución de muchos

57

CAPÍTULO 7. VERIFICACIÓN DE LA IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO 58

problemas. Sin embargo, debido a que para obtener una precisión aceptable se debe

aumentar la densidad del mallado, los tiempos de cálculo requeridos para resolver

problemas relativamente sencillos crecen considerablemente.

El caso que se va a analizar es un cable soportado en un extremo y al que se

le aplica una fuerza de tensado horizontal en el otro extremo como se ve en la

gura 7.1. Además de la gravedad, en el punto medio del cable se aplica una fuerza

transversal,que sacará el cable de su plano de 100N .

05

1015

2025 -8

-6

-4

-2

0

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Eje y

Eje x

Eje

z

100 N

100 N

Figura 7.1: Validación con MEF

Para un problema tan simple, el tiempo de cálculo para la herramienta que se

ha desarrollado es de alrededor de un segundo. El tiempo requerido para resolver

este problema utilizando el modelo de elementos nitos depende críticamente del

número de elementos que se haya utilizado. Hay que tener en cuenta que, mientras

que la metodología que introduce este trabajo tan solo utiliza un elemento por cable,

el MEF utiliza un conjunto de elementos tipo barra enlazados en los extremos.


Debido a la geometría, este caso es no lineal y puede producir graves problemas

de convergencia si las cargas no se aplican en el orden adecuado. Para obtener la

solución por elementos nitos fue necesario aplicar la tensión horizontal en primer

lugar y, una vez calculada la posición de equilibrio, introducir la gravedad y la fuerza

transversal.

Para realizar las simulaciones se ha utilizado una masa por unidad de longitud

w = 1,34kg/m, un área transversal de A = 2 · 10−4m2 y un módulo de elasticidad

de E = 2,1 · 1011N/m2 Para comprobar la importancia del número de elementos se

ha realizado el mismo estudio con 20, 50 y 150 elementos por cable para, de esta

manera, comprobar si los resultados convergen a la misma solución de equilibrio.

Nodo 1 Nodo 2

x y z x y z

Obtenidos 12.1003 -13.2282 6.05015 24.2006 0 0

MEF (20e) 12.1008 -13.233 6.0505 24.202 0 0

∆ % 0.0042 0.0360 0.0058 0.0058 0 0

MEF (50e) 12.1004 -13.229 6.0502 24.201 0 0

∆ % 0.0009 0.0058 0.0009 0.0017 0 0

MEF (150e) 12.1003 -13.228 6.0501 24.201 0 0

∆ % 4.3538 10−5 0.0018 0.0008 0.0017 0 0

Tabla 7.1: Comparación de resultados (Caso I)

Se puede comprobar que conforme aumenta el número de elementos en la ma-

lla de elementos nitos, la solución tiende a la solución obtenida con el método

propuesto obteniéndose diferencias muy pequeñas ya con 50 elementos.

7.2. Simulación de sistema de transporte triangular

El TRS (Triangular Skyline System) es un sistema mediante el cual se pueden

transportar elementos en una zona de terreno sin dañar otros objetos que se en-


cuentren en el camino. El sistema está compuesto por tres cables suspendidos desde

tres torres y conectados en un punto móvil del que podrá colgar una carga. Su prin-

cipal utilidad es el traslado de objetos en áreas forestales o de alto valor ecológico.

Utilizando este sistema, se podría realizar una tala controlada de un área de bosque

sin dañar, tan solo, aquellos árboles que se deseen. El desplazamiento de la carga se

ceñirá al área triangular formada por las bases de las torres de la que cuelgan los

cables.

Figura 7.2: Esquema de la disposición del sistema de transporte triangular

En 1972, Kanzaki y Sakai presentaron un primer análisis estático en [KS72].

Su desarrollo no tenía en cuenta la deformación elástica de los cables y además

no se pudieron obtener resultados para algunas de las posiciones de los cables. No

obstante, presentaron datos contrastados que se utilizarán para vericar el correcto

funcionamiento del método propuesto en este trabajo.

El problema se modela como 3 cables de longitud desconocida y tensión cono-

cida anclados en los puntos P1 = (260, 210, 786), P2 = (320, 685, 790) y P3 =

(15, 680, 771). Para contrastar correctamente los resultados con el modelo de refe-

rencia, no se tiene en cuenta la deformación elástica de los cables, si bien, ya que

las tensiones son relativamente pequeñas, se pueden despreciar para cables con un


modulo de elasticidad medio. El peso por unidad de longitud de los cables es de

w = 0,1N/m y el peso de la carga es de W = 100N .

Kanzaki Obtenidos ∆ %

T1 3200 3200 -

Tension [N] T2 2994 2994 -

T3 4069 4069 -

x 145,5 145,5 0

Posición[m] y 610,3 610,29 0,013

z 751,6 751,58 0,003

s1 418 418,06 0,06

Longitud[m] s2 193,7 193,7 0,0048

s3 149,3 149,23 0,069

Tabla 7.2: Comparación de resultados (caso II.a)

Como se puede observar las diferencia, ∆, respecto a los resultados publicados

anteriormente son mínimos. Con el método que se ha desarrollado es posible resolver

otro tipo de problemas asociados. Por ejemplo se puede jar una tensión y el punto

del plano al que debe desplazarse el carro. En el cuadro 7.3 se muestran los resultados

al resolver de nuevo el problema utilizando T3, x e y como datos.

Se puede comprobar como los resultados son prácticamente idénticos a los cal-

culados en el caso anterior, así como a los resultados publicados anteriormente en

[KS72]. Además se ha comprobado la exibilidad que ofrece esta metodología ya

que permite jar aquellos parámetros que sean más convenientes para el diseño sin

necesidad de desarrollar una nueva metodología. Por otro lado la robustez del mé-

todo queda patente al resolver de forma adecuada diferentes problema en distintos

tipos de variables.


Kanzaki Obtenidos ∆ %

T1 3200 3199,9 0,003

Tension[N] T2 2994 2994,1 0,002

T3 4069 4069 -

x 145,5 145,5 -

Posición[m] y 610,3 610,29 -

z 751,6 751,58 0,003

s1 418 418,06 0,060

Longitud[m] s2 193,7 193,7 0,005

s3 149,3 149,23 0,069

Tabla 7.3: Comparación de resultados (Caso II.b)

7.3. Comparación de un sistema de cables en 3D

Este ejemplo contrasta los resultados obtenidos al analizar una estructura de

cables tridimensional con los encontrados en [HL06]. Se trata de una estructura

sencilla que consta de tres cables unidos en un punto en el que están soportados

por un muelle vertical. En el punto de unión se aplica adicionalmente una carga de

1000N en el plano horizontal. Los resultados publicados anteriormente presentan el

desplazamiento del punto de unión a partir de un punto arbitrario inicial. Con el

método presentado es posible conocer la posición de equilibrio todos los puntos de

la estructura, además de la del punto de unión.

En la gura 7.3 se puede ver un esquema de la estructura en la que se aprecian

los cables 1, 2 y 3 unidos en el punto A' de equilibrio. También está señalado el

punto inicial A.

En el cuadro 7.4 se presentan los resultados para los desplazamientos u,v y w

desde el punto arbitrario A al de equilibrio A′ con las diferencias, ∆, respecto a los

resultados en [HL06].

Se puede ver como las diferencias son del mismo orden o menores que las ob-


Figura 7.3: Situación inicial y nal de la estructura

tenidas en las comparativas anteriores. El método utilizado por Huang y Lan fue

contrastado con los resultados obtenidos por Peyrot y Goulois y que ha sido referen-

ciado más de 20 veces. Éstos utilizaron un método similar para resolver la posición

de equilibrio de la estructura y, por lo tanto, obtienen resultados del mismo orden.

Peyrot y Goulois publican resultados de las tensiones horizontales y verticales de

un cable colgado dependiendo de su tensión. Para comprobar las diferencias entre

los métodos se ha contrastado con estos resultados que aparecen en [PG79] y que

se muestran en la gura 7.4.

A partir de los resultados presentados en el cuadro se observa como las diferencias

se mantienen pequeñas sea cual sea la tensión de los cables. No obstante, crece

lentamente conforme aumenta la tensión en los mismos. Esto puede ser debido al

método con el que se calcula la deformación elástica. En la mayoría de los casos, se


[HL06] Propuesto ∆ (%)

u 26.47 26.527 0.2146

v 41.14 41.105 0.0860

w -2.87 -2.8833 0.4632

Tabla 7.4: Desviación del punto de equilibrio

m80

m40

m20

m60

m60

N08 :329

N43 :504

N16 :22

N744 :15

N178 :9

N225 :19

N0625 :3

N945 :19

Figura 7.4: Cálculo del equilibrio de un cable

supone una tensión constante a lo largo del cable para calcular la deformación, sin

embargo en el método que se presenta la deformación elástica se calcula utilizando

la tensión en cada punto.

7.4. Comparativa de cálculo de rigidez de una ca-

tenaria ferroviaria

El cálculo de la rigidez estática de una catenaria es una aplicación de gran interés

en ingeniería ferroviaria. A día de hoy la Especicación Técnica de Interoperabilidad

para catenarias hace referencia al cálculo de esta rigidez ya que es bastante fácil

obtener de forma aproximada en comparación con un cálculo dinámico.


Propuesto Peyrot y Goulois

Tx Ty Tx Ty ∆x( %) ∆y( %)

3.0625 19.945 3.061 19.93 -0.0144387 0.00992054

9.178 19.225 9.172 19.24 0.000950228 0.0105126

22.16 15.744 22.15 15.73 -0.0180386 0.0269166

504.43 -329.08 504 -328.8 0.085245 -0.085086

Tabla 7.5: Comparación con los resultados de Peyrot

Este cálculo tiene un fundamento completamente estático. La rigidez se dene

como la relación entre la fuerza aplicada en un punto y el desplazamiento en dicho

punto debido a ésta. Utilizando esta denición es posible obtener un modelo sim-

plicado masa-muelle para realizas cálculos dinámicos aproximados como se explica

en [LGCM07].

0 50 100 150−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Distancia [m]

Altu

ra [m

]

Figura 7.5: Catenaria utilizada por Wu y Brennan

Wu y Brennan publicaron en [WB98a] un análisis de rigidez sobre la catenaria

que se muestra en la gura 7.5. Se han contrastado los resultados publicados con

los obtenidos utilizando el método propuesto en este trabajo y los resultados se

muestran en la gura 7.6. Esta gura muestra la rigidez en el vano central de la


catenaria calculada utilizando ambos métodos y la diferencia entre ellos.

Figura 7.6: Comparación en la distribución de rigidez

Se puede comprobar como las diferencias son pequeñas, especialmente en aque-

llos puntos donde hay péndolas. Esto es debido a que los datos publicados por Wu y

Brennan no ofrecían tantos valores como los que se han usado para calcular la dis-

tribución de rigidez con el método propuesto y han sido interpolados. No obstante

los resultados son satisfactorios.

7.5. Sistemas de transporte por cables conectados

por poleas

Bruno y Leonardi desarrollaron en [BL99] un método para el cálculo no lineal de

sistemas de transporte a través de cables, como por ejemplo funiculares o remontes

de esquí. En él desarrollan varios ejemplos en los que buscan la posición de equili-

brio de dos cables conectados a través de una polea móvil. Contrastan su modelo

utilizando una aproximación numérica de elementos nitos.

Gracias a la versatilidad de la implementación presentada en este trabajo es

posible introducir elementos móviles como las poleas e incluso obtener posiciones


Distancia Rigidez (N/m) Diferencia

(m) CALESCA Wu Brennan ∆ %

0 3960.5 4094.26 3.37748

1.13636 4160.64 4299.18 3.32975

2.43506 5379.85 5672.13 5.43284

3.24675 4028.27 4299.18 6.72522

3.8961 3342.47 3459.02 3.4869

5.19481 2726.63 2905.74 6.56891

6.33117 2608.29 2659.84 1.97621

7.46753 2615.2 2659.84 1.70676

9.09091 2074.07 2106.56 1.56659

10.7143 1831.49 1881.15 2.71125

12.3377 1881.88 1881.15 0.0387361

15.4221 1522.65 1532.79 0.66552

17.5325 1585.57 1614.75 1.8405

20.4545 1374.33 1409.84 2.58364

22.5649 1470.02 1491.8 1.48188

25 1335.49 1368.85 2.49843

Tabla 7.6: Comparativa de cálculo de rigidez

de equilibrio en las que alguna de las reacciones sea una condición impuesta, como

es el caso de una polea móvil ya que se puede modelar como un nodo de contorno

situado de tal forma que no aparezca reacción en el plano horizontal. Asimismo

sería posible añadir el efecto del rozamiento estático de dicha polea o del sistema

que utilizase para desplazarse. En este caso no se ha tenido en cuenta ningún tipo

de rozamiento para poder contrastar los resultados con la referencia.

El caso de vericación está compuesto por un cable de longitud L0 = 500m,

módulo de Young E = 2 · 106kg/cm2, área A = 8,05cm2 y peso por unidad de

longitud w = 6,327kg/m. Dicho cable está jado en los puntos P1 = (0, 0, 0) y

P2 = (300, 0, 50) unidos por una polea situada a z3 = 100m.


CALESCABrunno

TTTT

2P

1P

47.6 m=3x

282.8 m=3x

300 m

100

m

2L

2L

1L

1L

Figura 7.7: Contraste gráco de los resultados obtenidos

En la gura 7.7 se pueden ver las curvas obtenidas utilizando el método pro-

puesto(en colores) superpuestas a las obtenidas por Bruno y Leonardi (lineas negras

continuas y discontinuas). Asimismo, el cuadro 7.7 reeja los resultados numéricos

de ambos cables. En ella, x3 es la posición de equilibrio de la polea, L1 la longitud

del cable desde el soporte izquierdo hasta la polea, L2 la longitud del mismo desde

la polea hasta el soporte derecho, T la tensión del cable en la polea y ∆, en tan-

to por ciento. Todas las longitudes están expresadas en metros y las tensiones en

kilogramos al igual que se encuentra en la referencia.

7.6. Cálculo del pendolado de una catenaria de tren

de velocidad alta

Como siguiente caso de validación se abordará el cálculo de la longitud de las

péndolas de una catenaria de velocidad alta. Este es un claro ejemplo de problema


CALESCA Referencia ∆( %)

x3 283.124 282.81 0.111175

L1 447.225 446.37 0.191514

L2 52.7751 52.86 0.160537

T 1833.53 1830 0.193029

x3 47.3323 47.67 0.708307

L1 110.96 111.07 0.0992642

L2 389.04 388.18 0.221612

T 1481.23 1478 0.218694

Tabla 7.7: Contraste numérico de los resultados

de equilibrio inicial ya que la longitud de dichas péndolas es desconocida y, por lo

tanto, también la posición de los hilos de contacto y sustentado como se ha explicado

en la sección 4.1.2. Anteriormente, O.Lopez-Garcia et al. desarrollaron un método

bidimensional especíco para este cálculo en [LGCT06] partiendo de la ecuación

exacta de la catenaria, aproximando las ecuaciones de compatibilidad descritas en

la sección 6.2 y añadiendo el efecto de las péndolas independientemente utilizando un

doble algoritmo de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales Newton-Raphson

para corregir la longitud de las mismas. Estos autores comparan sus resultados con

los obtenidos por métodos aproximados pero ampliamente utilizados en el sector

ferroviario descritos por Montesinos y Carmona en [MC02].

El cálculo del pendolado se realizará sobre la catenaria de velocidad alta CRU

220 diseñada por RENFE cuyas características se denen en la tabla 7.8.

A partir de estos datos, se han sido resuelto y contrastado dos problemas dife-

rentes. El primero de ellos es el cálculo de la longitud de cada una de las péndolas,

Np, para un cantón de un solo vano de la catenaria CRU 220. En este caso los re-

sultados obtenidos se han contrastado con dos modelos aproximados que se pueden

encontrar en [MC02] (Ref.1 y Ref.2) y el modelo publicado en [LGCT06]. Notar que

∆ representa la diferencia relativa en tanto por ciento entre el modelo propuesto


Longitud del vano 52 m

Sección del sustentador 153 mm2

Masa lineal del sustentador 1,414 kg/m

Sección del hilo de contacto 120 mm2

Masa lineal del hilo de contacto 1,07 kg/m

Número de hilos de contacto 2

Tensión mecánica en el sustentador 15892 N

Tensión mecánica en hilo de contacto 15009 N

Flecha inicial 20 cm

Grifa sustentador 120 g

Grifa hilo de contacto: 350 g

Tipo de péndola Cable de cobre exible

de 16 mm2 -0.1 kg/m

Tabla 7.8: Datos de la catenaria CRU 220

y el obtenido utilizando los resultados encontrados en [LGCT06], ya que es el más

preciso de los anteriores.

Como reeja el cuadro 7.9, la diferencia entre los resultados que aparecen en la

literatura y los obtenidos con esta metodología es pequeña, aumentando la misma

en la comparación con los modelos de Montesinos y Carmona (Ref.1 y Ref.2). No

obstante, se justica ya que el método empleado por los autores aproxima el modelo

y acepta algunos errores.

Con el n de evidenciar la versatilidad de CALESCA sin que la precisión del

método se vea resentida, se ha analizado un segundo caso en el que se calcula la

longitud de las Np péndolas en un cantón de 4 vanos, contrastando los resultados

posteriormente con los que aparecen en [LGCT06] (Ref. 3).

Los resultados del cuadro 7.10 evidencian la precisión del modelo propuesto. La

máxima diferencia encontrada es de 0,217 %, el cual es justicable debido a que en

el método de O. Lopez-Garcia la constante de la catenaria se aproxima a partir de


Np Ref. 1 Ref. 2 Ref. 3 Propuesto ∆( %)

1 1.081 1.084 1.0859 1.08543 0.0437

2 0.935 0.939 0.942048 0.941346 0.0745

3 0.823 0.827 0.831808 0.830931 0.105

4 0.743 0.746 0.752262 0.75126 0.133

5 0.695 0.698 0.703388 0.702309 0.153

6 0.681 0.681 0.688061 0.686957 0.160

7 0.695 0.698 0.703388 0.702309 0.153

8 0.743 0.746 0.752262 0.75126 0.133

9 0.823 0.827 0.831808 0.830931 0.105

10 0.935 0.939 0.942048 0.941346 0.074

11 1.081 1.084 1.0859 1.08543 0.044

Tabla 7.9: Validación de la catenaria CRU 220 con 1 vano

la tensión del cable en lugar de la tensión horizontal como dene la expresión exacta

c = Tx

w.

En virtud de las dos comparativas llevadas a cabo en este apartado, se verica

que los resultados obtenidos son correctos y corresponden a la posición de equilibrio.


Np Ref. 3 Propuesto ∆( %) Np Ref. 3 Propuesto ∆( %)

1 1,08317 1,08269 0,0449 23 1,06223 1,06158 0,061

2 0,937504 0,936783 0,0768 24 0,918425 0,917494 0,101

3 0,825445 0,824544 0,109 25 0,808226 0,807073 0,142

4 0,744079 0,743047 0,139 26 0,728709 0,727397 0,180

5 0,693383 0,69227 0,1609 27 0,679853 0,678444 0,207

6 0,676231 0,675091 0,169 28 0,664532 0,663091 0,217

7 0,689731 0,688613 0,162 29 0,679853 0,678444 0,207

8 0,736774 0,735731 0,142 30 0,728709 0,727397 0,180

9 0,814485 0,813567 0,113 31 0,808226 0,807073 0,143

10 0,922885 0,922143 0,080 32 0,918425 0,917494 0,101

11 1,06489 1,06438 0,0483 33 1,06223 1,06158 0,060

12 1,06223 1,06158 0,0607 34 1,06495 1,06432 0,059

13 0,918425 0,917494 0,101 35 0,922969 0,922059 0,099

14 0,808226 0,807073 0,143 36 0,814588 0,813463 0,138

15 0,728709 0,727397 0,180 37 0,736891 0,735613 0,173

16 0,679853 0,678444 0,207 38 0,689856 0,688486 0,197

17 0,664532 0,663091 0,217 39 0,676359 0,674962 0,207

18 0,679853 0,678444 0,207 40 0,693508 0,692144 0,197

19 0,728709 0,727397 0,180 41 0,744195 0,74293 0,170

20 0,808226 0,807073 0,143 42 0,825546 0,824442 0,134

21 0,918425 0,917494 0,101 43 0,937584 0,936702 0,0941

22 1,06223 1,06158 0,0607 44 1,08323 1,08263 0,0550

Tabla 7.10: Validación O.Lopez-Garcia - Catenaria CRU220 - 4 vanos

Capítulo 8

Ejemplo de aplicación

8.1. Creación de una malla de elementos nitos

Una aplicación muy interesante del método desarrollado, que se está utilizando

en la actualidad, es la generación de mallas de elementos nitos que cuenten con

toda la información necesaria para estar en equilibrio inicial. Para ello se le debe

indicar tanto la posición de los nodos como la deformación elástica de cada elemento

para, de esta manera, compensar las fuerzas externas y las fuerzas internas. Como se

ha comentado anteriormente, el cálculo de la respuesta dinámica de una estructura

de cables, como puede ser una catenaria ferroviaria, puede tardar entre 8 y 10 horas

de los cuales entre un 10% y un 15% se consume en el cálculo del equilibrio inicial

por lo labroioso que resulta utilizando los métodos actuales tal y como se comentó

al hablar del método del desplazamiento no lineal.

Para aplicar esta metodología al equilibrio inicial de una estructura de cables en

general, y de una catenaria ferroviaria en particular, se procedería de la siguiente

manera. En primer lugar se resuelve la posición de equilibrio utilizando el método

presentado, en este caso implementado en CALESCA, con lo que el resultado se

obtiene en apenas unos segundos. La representación de dicha posición de equilibrio

se puede ver en la gura 8.1.

Esta disposición se obtiene a partir de los datos facilitados al diseñador. En este

73

CAPÍTULO 8. EJEMPLO DE APLICACIÓN 74

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Distancia [m]

Altu

ra [m

]

Figura 8.1: Posición de equilibrio de la catenaria

caso, se jarían las propiedades de los cables que forman la estructura, la disposición

de las péndolas, la tensión de los hilos sustentador y de contacto y la posición del

hilo de contacto. Si en lugar de jar esta posición se preere jar la longitud de las

péndolas también es posible. Sin embargo, en la etapa de diseño estas longitudes

aún son desconocidas y es preciso calcularlas.

Fijado el tamaño de la malla de elementos nitos con que se desea discretizar la

estructura, se procede a calcular posiciones intermedias de los cables para unirlos

por elementos nitos tipo viga o barra según corresponda. Esto se hace utilizando

la ecuación de la catenaria. Cuanto mayor sea el número de elementos mayor será

la precisión del modelo MEF que se utilice. No obstante, cuanto mayor sea dicho

número mayor será el tiempo necesario para su cálculo. La malla resultante se

muestra en la gura 8.2. Como se puede ver los nuevos nodos coinciden con la

gura anterior.

Con esta malla, ya en equilibrio, el tiempo de cálculo se reduce a apenas 10

segundos utilizando una malla con 1120 grados de libertad y una precisión de 10−8.


60 70 80 90 100 110 120−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Altu

ra [m

]

Distancia [m]

Figura 8.2: Vano central de la catenaria con malla MEF

En la gura 8.3 se muestra la diferencia entre el equilibrio encontrado utilizando

el método propuesto y el mismo tras el equilibrado por elementos nitos. Como

se puede ver, la máxima diferencia es mínima. Esta se debe fundamentalmente al

método de los elementos nitos aunque es posible reducir el error tanto como se

desee aumentando el número de elementos de la malla. A partir de esta disposición

se pueden realizar diferentes cálculos dinámicos como por ejemplo la interacción

dinámica con el pantógrafo o la respuesta frente al viento.


0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

−7

Distancia [m]

Dife

renc

ia [m

]

Diferencia

Figura 8.3: Desplazamientos desde el equilibrio de los nodos

Capítulo 9

Conclusiones

En esta primera parte se propone un nuevo método para el cálculo estático de

estructuras tridimensionales de cables. Este método se basa en las ecuaciones ana-

líticas de la catenaria y supone una generalización de una aplicación previa para el

cálculo de equilibrio inicial de catenarias presentado en [LGCT06]. La validación del

método se ha llevado a cabo mediante la comparación con problemas de estructuras

de cables publicados en la literatura cientíca. La similitud de estos resultados con

los publicados es muy elevada, no superando las diferencias el 7 % en el peor de los

casos y el 1 % en valor medio.

Las aportaciones más relevantes de este método respecto al anteriormente citado

son las siguientes:

El método anterior consideraba sólo cables estructuras de cables bidimensio-

nales en el plano vertical. En el nuevo método, aprovechando que las catenarias

están contenidas en un plano vertical, se incorpora una formulación semiana-

lítica completamente tridimensional.

Además se tiene en cuenta la elasticidad de los cables. A pesar de que es-

ta suele ser despreciable algunas aplicaciones requieren la consideración de

deformación elástica en estructuras de cables.

Las restricciones propias de las estructuras de cables son incorporadas en la

77

CAPÍTULO 9. CONCLUSIONES 78

formulación de una forma natural. Además pueden emplearse para incluir mo-

delos de dispositivos mecánicos como poleas, pretensores de cables, soportes,

muelles, etc.

Respecto a otros métodos de simulación de estructuras de cables las principales

ventajas que éste presenta son las siguientes:

Debido a que este método está basado en las ecuaciones exactas de la catenaria,

las ventajas propias del método propuesto en [LGCT06] le son inherentes.

Desde un punto de vista numérico, el método presenta una alta eciencia,

no dependiendo de la discretización espacial, determinandose el tamaño del

problema de la topología de la estructura.

Por otra parte la mayoría de algoritmos de resolución de sistemas de ecuaciones

no lineales algebraicos requieren el cálculo de la matriz jacobiana. A pesar de

que su cálculo es laborioso, las expresiones analíticas de la matriz jacobiana

son intrínsecas al método lo cual le reporta una mayor rapidez y precisión.

El problema de equilibrio inicial y el cálculo del equilibrio estático bajo cargas

se resuelven siguiendo el mismo algoritmo. Gracias al tratamiento de los pará-

metros conocidos y desconocidos ambos tipos de problemas se pueden resolver

fácilmente.

El método tratado en esta parte es perfectamente válido para la mayoría de las

aplicaciones ingenieriles tales como catenarias ferroviarias, sistemas de transporte

de energía eléctrica, redes de metro, funiculares, etc.

Parte II

Interacción Dinámica

Catenaria-Pantógrafo

79

80

El método desarrollado en la primera parte permite obtener una malla de elemen-

tos nitos de una catenaria en equilibrio inicial. Aprovechando dichos resultados, en

la segunda se propone un nuevo método para simulación de la interacción dinámica

pantógrafo-catenaria basado en el método de los elementos nitos. La resolución

de este problema utilizando dicha técnica tiene varios problemas desde el punto de

vista numérico y matemático. En la presente parte se detalla el método propuesto

para resolverlo y se estructurará de la siguiente manera: En primer lugar se expone

una revisión de los principales métodos de cálculo utilizados en la actualidad para

resolver problemas dinámicos estructurales, capítulo 10. A continuación, los capítu-

los 11, 12 y 13 presentan la formulación utilizada para la resolución de la interacción

dinámica catenaria-pantógrafo. El capítulo 14 presenta la validación del método con

la norma EN50318. Por último, el Capítulo 15 presenta brevemente las conclusiones

del trabajo. Las referencias empleadas en el desarrollo del trabajo serán presentadas

en orden alfabético al nal del documento.

Capítulo 10

Estado del Arte

El conocimiento de la dinámica del sistema catenaria-pantógrafo es crucial para

el correcto diseño de líneas de alta velocidad. En los últimos años se ha hecho un

gran esfuerzo en comprender el comportamiento del sistema con el tren en marcha:

aproximación analítica de la fuerza de contacto (Ockendon, [OT71]), análisis por

elementos nitos de la variación de la fuerza de contacto (Vinayagaligam, [Vin83]),

determinación de frecuencias y modos propios (Wormley, [EOSW88]), etcétera. Uno

de los trabajos más interesantes que se ha publicado en este contexto es el realizado

por T.X. Wu y M. J. Brennan, Basic Analytical Study of Pantograph-catenary Sys-

tem Dynamics [WB98b], en el que se propone un modelo simplicado del sistema

catenaria-pantógrafo de un grado de libertad. Parte de un modelo de pantógrafo

de dos grados de libertad. Con una masa superior representa las pletinas del pan-

tógrafo y con otra inferior introduce el efecto de la inercia del armazón articulado.

Por su parte, la catenaria se sustituye por una serie de resortes de distinta rigidez

contra los que las pletinas del pantógrafo contactan. Si la rigidez del pantógrafo

es muy superior a la que presenta la catenaria pueden condensarse las masas del

pantógrafo en una única masa. De este modo, la catenaria quedaría representada

mediante un resorte de rigidez variable. Es importante observar que en este modelo

simplicado se desprecia la masa de la catenaria. La distribución de rigidez a lo

largo de la catenaria no varía de forma suave (aparecen picos de rigidez al paso

81

CAPÍTULO 10. ESTADO DEL ARTE 82

por las péndolas), lo que diculta el análisis matemático del comportamiento del

sistema -respuesta temporal, estabilidad del pantógrafo, etc.- al no disponerse de

una expresión analítica que proporcione la rigidez.

Representar la variación de rigidez en la catenaria por medio de la envolvente

puede ser una buena aproximación si los incrementos de rigidez al paso por las

péndolas son reducidos. Sin embargo, cuando dichos incrementos alcanzan un valor

apreciable, el empleo de la envolvente como distribución de rigidez deja de ser apta

debido a los errores introducidos.

Este modelo, aunque simple, es capaz de describir gran parte de las caracte-

rísticas dinámicas del sistema, permitiendo efectuar análisis interesantes, como son

la estabilidad del conjunto catenaria-pantógrafo o la obtención analítica tanto del

desplazamiento vertical de la catenaria como de la fuerza de contacto.

Estos mismos autores publicaron en 1999 una continuación del estudio anterior

(Dynamic stiness of a railway overhead wire system and its eect on pantograph-

catenary system dynamics [WB99]) donde se analiza el efecto que la propagación

de ondas tiene sobre la rigidez de la catenaria. Para ello desarrollaron un nuevo

modelo de catenaria que contemplara aspectos no recogidos en el modelo anterior,

contando con la masa de la catenaria y permitiendo introducir el efecto de las ondas

de perturbación sobre el comportamiento del sistema. O.Lopez-García y J.L.Maroño

profundizaron en este modelo en Inuence of stiness and contact modelling on

catenarypantograph system dynamics [LGCM07] donde realizan un análisis de la

sensibilidad de la fuerza de contacto a la rigidez de la catenaria.

Otro trabajo relevante es el publicado por G. Poetsch et al., Pantograph/Catena-

ry dynamics and control [PEM+97]. Este interesante documento aborda gran parte

de la problemática que plantea el contacto entre catenaria y pantógrafo, especial-

mente de cara al análisis matemático de la dinámica del sistema. Resulta especial-

mente interesante el epígrafe 2, Modelling and simulation of the system dynamics,

en el que se hace un repaso de los principales métodos de modelado tanto de la ca-

tenaria como del pantógrafo. Asimismo, se analizan una serie de métodos numéricos


apropiados para la resolución de las ecuaciones dinámicas resultantes. Para nali-

zar, aparece un completo análisis de las ventajas que podría ofrecer la implantación

de pantógrafos activos con ánimo de conseguir un mejor comportamiento del siste-

ma. Por último, el trabajo publicado por Tong-Jin Park et al., Dynamic sensitivity

analysis for the pantograph of a high speed rail vehicle [PHJ03] analiza las caracte-

rísticas dinámicas del sistema mediante elementos nitos, de forma que sea posible

efectuar un análisis paramétrico de sensibilidad y mejorar las prestaciones del con-

junto. Concretamente se presenta la catenaria como una malla de elementos nitos

tipo viga y el pantógrafo como un sistema discreto masa-muelle-amortiguador de

tres grados de libertad. El modelo resultante del acoplamiento catenaria-pantógrafo

se ensayó de forma que se apreciaran las diferencias en la fuerza de contacto según se

hacían variar los parámetros del pantógrafo. De esta forma pudieron obtenerse con-

clusiones interesantes acerca de los valores que han de tener los distintos elementos

del pantógrafo de cara a optimizar el comportamiento del sistema.

Capítulo 11

Formulación del problema dinámico

en cables

En el cálculo estructural, las ecuaciones de campo que rigen el comportamiento

del medio continuo se obtienen mediante la aplicación de las ecuaciones de equi-

librio, compatibilidad y comportamiento. Éstas generan un sistema de ecuaciones

diferenciales que relaciona las variables de campo con funciones conocidas que reco-

gen el efecto de los distintos parámetros involucrados en el problema. La descripción

general del movimiento en dirección longitudinal de una barra puede describirse, por

tanto, partiendo de estas ecuaciones. Considerando el sólido de la gura 11.1 some-

tido a esfuerzos en dirección axil, es posible obtener la primera ecuación diferencial

del equilibrio.

∂N(x, t)

∂x= ρA

∂2u

∂t2− n(x, t) (11.1)

siendo N(x, t) y n(x, t) cargas en dirección axil, concentrada y distribuida res-

pectivamente. La ecuación de comportamiento (11.2) es la que relaciona, en segundo

lugar, la carga impuesta N(x, t) con la deformación ε(x) del sólido mediante el mó-

dulo elástico E y el área A de la barra.

N(x, t) = AEε(x) (11.2)

84

CAPÍTULO 11. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DINÁMICO EN CABLES 85

)x(@N)+x(N

)x(n

)x(N

)x(d

Figura 11.1: Prisma diferencial sometido a esfuerzo axil

Por último, la ecuación de compatibilidad plasmará la relación de la deforma-

ción ε(x) y los desplazamientos. Para el caso unidimensional y de acuerdo a una

formulación lagrangiana, dado que el objeto de estudio es el propio sólido, se partirá

de la medida de la deformación de Green:

ε(x) =l2 − l2o

2l2o(11.3)

donde lo y l las longitudes inicial y deformada de la barra respectivamente.

Esta medida de la deformación converge a la denición general para pequeñas

deformaciones como se demuestra haciendo el desarrollo en serie de Taylor para

l ≈ lo de (11.4).

ε(l ≈ lo) =(l + ∆l)2 − l2

2l2

=1

2

l2 + ∆l2 + 2l∆l − l2

l2≈ ∆l

l(11.4)

Con la perspectiva de la formulación dinámica de cables, es preciso contemplar

la no linealidad geométrica y su inuencia en la deformación de los mismos. Esto

exige extender la denición de Green (11.3) al estado de deformación bidimensional

que reeja la gura 11.2:


( )

)( dx dx||dw

dx dx||du1+

dx

x

z

Figura 11.2: Deformación de green

Considerando para este propósito el segmento elemental dx inicialmente paralelo

al eje x, si su estado deformado es el de la gura 11.2, su longitud nal ds puede

ser evaluada mediante el teorema de Pitágoras sobre los desplazamientos, ecuación

(11.5):

ds2 =

(dx+

∂u

∂xdx

)2

+

(∂w

∂xdx

)2

(11.5)

sustituyendo (11.5) en (11.3), la componente horizontal (la componente de in-

terés para una barra de directriz recta sometida a esfuerzos de tracción-compresión)

de la deformación bidimensional de Green se dene como:


ε(x) =ds2 − dx2

2dx2

=1

2

((1 +

∂u

∂x

)2

+

(∂w

∂x

)2

− 1

)

=∂u

∂x+

1

2

((∂u

∂x

)2

+

(∂w

∂x

)2)

(11.6)

siendo u el desplazamiento horizontal y w el vertical del sólido dx. Por consi-

guiente, la ecuación de compatibilidad quedará como (11.7).

ε(x) =

(∂u

∂x+

1

2

(∂u

∂x

)2

+1

2

(∂w

∂x

)2)

(11.7)

Combinando las tres ecuaciones diferenciales (11.1), (11.2) y (11.7) se obtiene:

∂

∂xEA

(∂u

∂x+

1

2

(∂u

∂x

)2

+1

2

(∂w

∂x

)2)

= ρA∂2u

∂t2− n(x, t) (11.8)

Aplicando el principio de los trabajos virtuales,

∂W =

∫Ω

σ∂εdΩ (11.9)

siendo Ω el dominio de integración, se obtiene la formulación débil de este problema.

Sustituyendo en ella la expresión (11.8) y aplicando las funciones de forma, ψi,

sobre las deformaciones virtuales se obtiene

∫ l

0

∂ψi

∂xEA

(∂u

∂x+

1

2

(∂u

∂x

)2

+1

2

(∂w

∂x

)2)dx+

∫ l

0

ψiρA∂2u

∂t2dx =∫ l

0

ψin(x, t)dx+ (ψiN)0l (11.10)

donde habiendo integrado por partes y aplicado el teorema de Green al dominio

Ω, los trabajos interno y externo equivalen a los términos izquierdo y derecho de la

ecuación (11.10) respectivamente.

Análogamente, la descripción general del movimiento en dirección transversal a

una barra también puede puede describirse partiendo de las ecuaciones de equilibrio,


'1

'2

'b

'a

2

2uL

dx

ba

x

1

dxdx||du+dx+u+xu+x

1u

2w

dx

dx||dw

+w

w

1w

x

z

Figura 11.3: Deformación plana

comportamiento y compatibilidad. No obstante, se puede obtener considerando los

efectos de exión en la expresión de la deformación de Green, como se observa en la

gura 11.3, desarrollada en la ecuación (11.6) y despreciando los efectos de rotación

y alargamiento del eje debido a la exión. Haciendo esto la deformación total queda

expresada como

ε =∂u

∂x− z∂

2w

∂x2+

1

2

((∂u

∂x

)2

+

(∂w

∂x

)2)

(11.11)

Insertando esta nueva deformación en la ecuación (11.9) y considerando que

σ = −zMy

Iyobtenemos la expresión generalizada ante la combinación de cargas

axiales y ectoras

∫ l

0

∂ψi

∂xEA

(∂u

∂x+

1

2

(∂u

∂x

)2

+1

2

(∂w

∂x

)2)dx+

∫ l

0

∂2ψi

∂x2EIy

(∂2w

∂x2

)dx

+

∫ l

0

ψiρA∂2u

∂t2dx =

∫ l

0

ψin(x, t)dx+ (ψiN)0l (11.12)

Empleando la aproximación de Galerkin para el campo de desplazamientos,


(u,w)

u =∑

ψjUj

w =∑

ψjWj (11.13)

y empleando funciones de soporte local, se llega a la discretización clásica del método

de los elementos nitos.

Añadiendo los efectos dinámicos relativos a la aceleración como esfuerzos pro-

porcionales a la masa y los relativos a la velocidad como proporcionales al amorti-

guamiento, la expresión (11.12) queda representada como

Mu+Cu = f− q (11.14)

dondeM es la matriz de masa, C es la matriz de amortiguamiento, f es el vector

de fuerzas externas, q es el vector de fuerzas internas, y u es el vector (incógnita)

de desplazamientos nodales. Para resolver este sistema se deben utilizar métodos de

integración numérica. Estos métodos utilizan, generalmente, la matriz tangente, o

jacobiano, al vector de fuerzas internas, q, y se denota como Kt.

11.1. Formulación del elemento co-rotacional

El enfoque co-rotacional, entendido como una vía alternativa para formular ele-

mentos nitos no lineales, ha suscitado un creciente interés durante la última década,

ver [RB86, RnO88, Cri90, nNOR91, PE95, PE97, HL00]. La idea subyacente en este

contexto es la descomposición del movimiento del elemento en una parte rígida y

otra deformable mediante la referencia a un sistema de coordenadas locales (xl, zl)

solidarias al elemento y, por tanto, a sus movimientos de rotación y traslación, ver

gura 11.4.

Así, en el movimiento del elemento desde su estado original hasta su congu-

ración deformada se distingue: en primer lugar una traslación y rotación rígida del

elemento y; en segundo lugar, una deformación en el sistema de coordenadas local.


'2

'12

1

2lµ

1lµ

1w

1u

2w

2u

0¯

lz

1µ

® ¯

2µ

u¹ lx

z

x

Figura 11.4: Deformación del elemento corrotacional

Asumiendo que la longitud del elemento se hubiera elegido convenientemente, estas

deformaciones serán siempre pequeñas respecto a los ejes locales y, consecuentemen-

te, podrán expresarse como una no linealidad de bajo orden. No obstante, ha de

hacerse énfasis en que el bajo orden de la no linealidad es sólo aparente, pues la no

linealidad geométrica permanece realmente incluida en el movimiento del sistema

coordenado local.

La principal ventaja del enfoque co-rotacional estriba en la separación articial

de las no linealidades material y geométrica en el elemento. Mientras la parte ma-

terial tiene lugar en el sistema local donde se asume linealidad geométrica, la no

linealidad geométrica se hace presente en las rotaciones rígidas y traslaciones del

elemento sin deformar. Incluso incluyendo en la denición de la deformación tér-

minos que reejen una no linealidad de bajo orden, las expresiones del vector de


esfuerzos internos y de la matriz de rigidez tangente resultantes son muy simples.

El objeto de esta sección es denir el marco co-rotacional, siguiendo el enfoque

de Criseld [Cri91], que dene las relaciones entre las expresiones locales y globales

del vector de fuerzas internas y la matriz de rigidez tangente representadas como q

y Kt en la expresión (11.14).

las coordenadas de los nodos 1 y 2 en el sistema de coordenadas global (x, z)

son (x1, z1) y (x2, z2), siendo el vector de desplazamientos globales:

pg = (u1 w1 θ1 u2 w2 θ2)T (11.15)

El vector de desplazamientos locales se dene según 11.4:

pl = (ul θl1 θl2)T (11.16)

calculando las componentes de pl como sigue:

ul = ln − lo (11.17)

θl1 = θ1 − α (11.18)

θl2 = θ2 − α (11.19)

denotando lo y ln en la (11.17) las longitudes inicial y actual del elemento,

lo = ((x2 − x1)2 + (z2 − z1)

2)1/2 (11.20)

ln = ((x2 + u2 − x1 − u1)2 + (z2 + w2 − z1 − w1)

2)1/2 (11.21)

y α la rotación rígida, calculándose como:

sinα = cos βo sin β − sin βo cos β (11.22)

cosα = cos βo cos β − sin βo cos β (11.23)

con:


co = cos βo =1

lo(x2 − x1) (11.24)

so = sin βo =1

lo(z2 − z1) (11.25)

c = cos β =1

ln(x2 + u2 − x1 − u1) (11.26)

s = sin β =1

ln(z2 + w2 − z1 − w1) (11.27)

siendo α, tal que |α| < π:

α = sin−1 (sinα) si sinα ≥ 0 y cosα ≥ 0 (11.28)

α = cos−1 (cosα) si sinα ≥ 0 y cosα < 0 (11.29)

α = sin−1 (sinα) si sinα < 0 y cosα ≥ 0 (11.30)

α = − cos−1 (cosα) si sinα < 0 y cosα < 0 (11.31)

Para aplicar el principio de los trabajos virtuales es preciso obtener los despla-

zamientos locales virtuales derivando las ecuaciones (11.17), (11.18) y (11.19):

δul = cos β (δu2 − δu1) + sin β (δw2 − δw1) =

= (− cos β − sin β 0 cos β sin β 0) δpg = rtδpg (11.32)

δθl1 = δθ1δα = δθ1δβ con (α = β − β0) (11.33)

δθl2 = δθ2 − δα = δθ2 − δβ (11.34)

Asimismo, derivando la ecuación (11.27) es posible obtener δβ

δβ =1

cl2n((δw2 − δw1)ln − (z2 + w2 − z1 − w1)δln) (11.35)

tomando δln = δul de la ecuación (11.32) y simplicando:

δβ =1

cln((δw2 − δw1)− sc(δu2 − δu1)− s2(δw2 − δw1))

δβ =1

ln(s − c 0 − s c 0)δpg = ztδpg (11.36)


Aplicando (11.36) en (11.33) y (11.34):

δθl =

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1

− 1

ln

zt

zt

pg = AT δpg (11.37)

Quedando nalmente la relación de desplazamientos locales y globales como

sigue:

δpl =

δul

δθl1

δθl2

=

−c −s 0 c s 0

−s/ln c/ln 1 s/ln −c/ln 0

−s/ln c/ln 0 s/ln −c/ln 1

δpg (11.38)

δpl =

rt

At

δpg = Bδpg (11.39)

La relación entre los vectores de esfuerzos internos local y global, ql y qg res-

pectivamente, se obtiene igualando los trabajos virtuales,W , en ambos sistemas de

referencia según reeja la ecuación (11.40). Dependiendo el vector de esfuerzos in-

ternos local de esta relación, qtl = (N,M1,M2), de la denición propia del elemento.

Wint = δptgvqg = Nδuv +M1δθl1v +M2δθl2v = δpt

lvql = δptgvB

tql (11.40)

Así, para cualquier vector de desplazamientos virtuales δpg arbitrario, el vector

de fuerzas internas δqg queda como sigue:

qg = Btql (11.41)

Siendo preciso conocer las tensiones δql resultantes de las ecuaciones (11.42) y

(11.43) para el cálculo de δqg.

N =EAul

lo(11.42)


M1

M2

=2EI

lo

2 1

1 2

θl1

θl2

(11.43)

No obstante, la ecuación (11.42) asume que la deformación axil del elemento

es igual al cociente de la deformación relativa entre sus extremos y la longitud

del elemento recto. Tal aproximación no permite considerar cualquier otro tipo de

deformación sobre un elemento inicialmente recto, por ejemplo la resultante de su

exión (ver gura 11.4).

Este efecto puede ser tenido en cuenta incluyendo los términos de segundo or-

den en la deformación de Green relativa al sistema co-rotacional para un elemento

inicialmente recto, quedando la deformación local como sigue:

εxl =dul

dxl

+1

2

(dul

dxl

)2

+1

2θ2

l (11.44)

Deniendo el cambio de base isoparamétrico (11.45), con ξ ∈ (−1 1), el despla-

zamiento local ul(ξ) puede expresarse como:

xl =1

2(1 + ξ)lo (11.45)

ul(ξ) =1

2(1 + ξ)ul (11.46)

Diferenciando la ecuación (11.46) se obtiene la deformación local

εxl =dul

dxl

=dul

dξ

dξ

dxl

=ul

lo(11.47)

Asimismo, deniendo el desplazamiento transversal local wl, ver gura 11.4,

mediante un polinomio cúbico de ξ según muestra (11.48), es posible determinar el

giro (11.49) nuevamente mediante diferenciación.

wl(ξ) =lo8

(ξ2 − 1)(ξ − 1)

(ξ2 − 1)(ξ + 1)

t θl1

θl2

(11.48)


θl(ξ) =dwl

dxl

=dwl

dξ

dξ

dxl

=lo

4

3ξ2 − 2ξ − 1

3ξ2 + 2ξ − 1

t

θl = stθl (11.49)

Con la ayuda de las ecuaciones (11.47) y (11.49) es posible expresar (11.44) como

(11.50):

εxl(ξ) =ul

xl

+1

2

(ul

xl

)2

+1

2θt

lsstθl (11.50)

Asumiendo deformación constante, el último término de (11.50) puede ser mo-

dicado por su valor medio, quedando:

εxl(ξ) =ul

lo+

1

2

(ul

lo

)2

+1

2loθt

l

∫sstdxlθl (11.51)

Realizando el cambio de variable (11.45) e integrando en (11.51), se obtiene:

εxl(ξ) =ul

lo+

1

2

(ul

lo

)2

+1

2loθt

l

∫ 1

−1

1

42

(3ξ2 − 2ξ − 1)2 (3ξ2 − 1)2 − 4ξ2

(3ξ2 − 1)2 − 4ξ2 (3ξ2 − 2ξ − 1)2

lo2dξθl

=ul

lo+

1

2

(ul

lo

)2

+1

60θt

l

4 −1

−1 4

θl (11.52)

Derivando (11.52) para su inclusión en el trabajo virtual, con la ayuda de (11.32)

y (11.37), la variación de la deformación queda:

δεxl(ξ) =δul

l2o+ulδul

xl

+1

602θt

l

4 −1

−1 4

δθl

=1

lo

(1 +

ul

lo

)rtδpg +

1

30θt

l

4 −1

−1 4

Atδpg (11.53)

Con lo que nalmente, con la inclusión de los términos de segundo orden en la

deformación de Green, la ecuación (11.39) queda modicada como sigue:


δpl =

loδεxl

δθl1

δθl2

=

(1 + ul

lo

)rtδpg + lo

30θt

l

4 −1

−1 4

At

At

δpg = Bδpg

(11.54)

Derivando ahora (11.54) y deniendo la matriz de rigidez tangente Kg como

δqg = Kgδpg, se llega a la ecuación (11.55):

δqg = Btδpl +NδB1 +M1δB2 +M2δB3 = Kgt1δpg +Kgtσδpg (11.55)

dondeB2, por ejemplo, corresponde a la segunda la deB (ver (11.38) y (11.39)).

Asumiendo un comportamiento lineal del material y derivando las ecuaciones (11.42)

y (11.43) se obtiene:

δN

δM1

δM2

=EA

lo

1 0 0

0 4r2 2r2

0 2r2 4r2

δpl = Clδpl (11.56)

donde r es el radio de giro de la sección. Así, empleando la ecuación (11.56) se

obtiene el término de la matriz de rigidez tangente estándar Kgt1 de la ecuación

(11.55):

Kgt1 = BtClB (11.57)

A su vez, la matriz de rigidez geométrica se obtiene de los tres últimos térmi-

nos de (11.55). De forma que derivando la primera columna de B se obtienen los

siguientes términos:

δB1 =

(1 +

ul

lo

)δrt +

δul

lort +

lo30δθt

l

4 −1

−1 4

At +

lo30θt

l

4 −1

−1 4

δB2

δB3

(11.58)


con ayuda de las ecuaciones (11.32) y (11.36) y observando que δβ = δα (ver

gura 11.4) y que δB2 = δB3

r = δβz =1

lnzztδpg (11.59)

δB2 =1

lnδz+

1

l2nzδul =

1

l2n(rzt + zrt)δpg (11.60)

con (11.60),

lo30θt

l

4 −1

−1 4

(δB2 δB3)t =

lo30

(4θl1 − θl2 − θl1 + 4θl2)(δB2 δB3)t =

lo10

(θl1 + θl2)1

l2n(rzt + zrt)δpg(11.61)

y por otra parte, con (11.37):

lo30δθt

l

4 −1

−1 4

At =lo30δptA

4 −1

−1 4

At =

lo30Bt

0 0 0

0 4 −1

0 −1 4

Bδpg (11.62)

Por último, sustituyendo en (11.55) y simplicando, la expresión resultante de

la matriz de rigidez tangente es:

Kgtσ =Nlo30

Bt

0 0 0

0 4 −1

0 −1 4

B+N(1 + ul/lo)

lnzzt +N

rrt

lo+

1

l2n(M1 +M2 +

1

10Nlo(θl1 + θl2))(rz

t + zrt) (11.63)

Capítulo 12

Formulación del contacto

catenaria-pantógrafo

Los algoritmos matemáticos que abordan el problema del contacto son genera-

lizables a un número indeterminado n de cuerpos. Sin embargo, para simplicar el

proceso, este epígrafe se limitará al caso en que dos cuerpos interaccionan. La termi-

nología seguida es la misma que recoge Ted Belytschko en el capítulo Contact-Impact

de [BLM00] en el que se trata en profundidad el método del penalty.

an

bn

b¡a¡

c¡

ba

Figura 12.1: Problema de contacto generalizado

98

CAPÍTULO 12. FORMULACIÓN DEL CONTACTO CATENARIA-PANTÓGRAFO 99

En la gura 12.1 se muestra el esquema que se empleará para analizar el problema

del contacto. Para los cuerpos en contacto a y b, cuyos dominios se denotan por

Ωa y Ωb, na y nb representan los vectores normales a sus respectivas supercies

Γa y Γb. Asimismo, Γc hace referencia a la supercie de contacto común a ambos

cuerpos: Γc = Γa ∩ Γa. Desde el punto de vista matemático, la formulación del

contacto es independiente del cuerpo de referencia tomado, no obstante se designará

un cuerpo maestro o master y otro esclavo o slave, reriendo por comodidad toda

la formulación subsiguiente al cuerpo maestro a, tomando el cuerpo b como esclavo.

En general, la supercie de contacto será una función temporal y su determinación

es una de las dicultades mayores que presenta el análisis matemático del problema

de contacto. Aunque las supercies Γa y Γb que denen el contacto no siempre sean

numéricamente coincidentes, se hará referencia a la supercie de contacto Γc como

una entidad única y solidaria al cuerpo maestro.

Habiendo denido las supercies de contacto, los desplazamientos en los puntos

de las mismas puede descomponerse como

ua = uaN · ea

N + uaT · ea

T , ub = ubN · eb

N + ubT · eb

T (12.1)

siendo uN el módulo de la desplazamiento en la dirección normal a la supercie

de contacto y uT el módulo de el desplazamiento en la dirección tangencial a la

supercie de contacto de los cuerpos referidos por el superíndice a o b, lo cual reeja

con mayor claridad la gura 12.2. Para obtener el desplazamiento u de los cuer-

pos a y b, se deben sumar vectorialmente los desplazamientos normal y tangencial

multiplicados por los vectores unitarios, eT y eN , para cada una de estas direcciones.

Además de los principios generales de la mecánica (conservación de masas, mo-

mentos y energías), los cuerpos de la gura 12.2 han de satisfacer una condición

adicional de impenetrabilidad en virtud del contacto entre las supercies de los

mismos. Es decir, dado que teóricamente ningún subdominio puede pertenecer si-

multáneamente a ambos cuerpos, se ha de cumplir que Ωa ∩ Ωb = ∅. En general

esta condición de impenetrabilidad es altamente no lineal y no puede ser expresa-


bu

au

Tbu

Tau

nbun

au

b

a

c¡

Figura 12.2: Sistemas de referencia locales

da como una ecuación algebraica o diferencial en términos del desplazamiento. Por

otra parte, tampoco la predicción de la región de contacto es trivial cuando existe

arbitrariedad en los movimientos, lo cual incrementa notablemente la complejidad

del problema. Sin embargo, es posible expresar la condición de impenetrabilidad de

forma incremental para cada etapa del proceso aplicándola a aquellas partes de los

cuerpos que estén en contacto, Γc, aplicando que

γN = (ua + ub) · na ≡ uaN − ub

N ≤ 0 en Γc (12.2)

Suponiendo que los cuerpos a y b están inicialmente en contacto con tasa de

interpenetración nula, γN = 0, la ecuación (12.2) condiciona a éstos a permanecer

juntos o separarse, en modo alguno solaparse. Esto es, en caso de permanencia del

contacto los cuerpos se desplazarán de forma solidaria satisfaciendo la igualdad ci-

nemática. Pero en caso de pérdida de contacto el desplazamiento del cuerpo b será

mayor que el de a, produciéndose como resultado la pérdida de contacto prescrita.

Cuando la expresión anterior se hace cumplir para todos los puntos de la región

de contacto y de manera continua en el tiempo, entonces la condición de impene-

trabilidad se cumple de manera exacta. Sin embargo, cuando esta expresión sólo


se evalúa en instantes discretos de tiempo, como sucede en la gran mayoría de mé-

todos numéricos, entonces no puede decirse que la condición de impenetrabilidad

se cumpla de manera estricta ya que el paso de tiempo empleado en la resolución

puede enmascarar interpenetraciones de puntos cercanos entre sí en los distintos

instantes considerados. Conviene advertir que la expresión (12.2) puede introducir

discontinuidades en la evolución temporal de los desplazamientos, ya que antes del

contacto los desplazamientos en la región de contacto de ambos sólidos serán dis-

tintas, igualándose a partir de la aparición del contacto. Este fenómeno introduce

complicaciones a la hora de proceder a la integración de las ecuaciones que rijan

el movimiento de los cuerpos involucrados en el contacto. Igualmente es importan-

te resaltar que la condición de impenetrabilidad sólo es recomendable para puntos

que estén en contacto o en disposición de estarlo próximamente, dado el carácter

no integrable de la tasa de interpenetración en caso contrario. Por último, conside-

rando la hipótesis de ausencia de fricción, no hay restricción alguna que regule los

desplazamientos tangenciales en Γc.

Además de las condiciones cinemáticas enunciadas en el anterior epígrafe, otras

cinéticas han de satisfacerse en la región de contacto. Concretamente, la suma de

los esfuerzos existentes en la región de contacto ha de ser nula, ecuación (12.3).

ta + tb = 0 (12.3)

Descomponiendo los esfuerzos en la supercie de contacto Γc de manera análoga

a la efectuada para desplazamientos en la ecuación (12.1), se obtiene (12.4):

ta = taN · eaN + taT · ea

T , tb = tbN · ebN + tbT · eb

T (12.4)

Por tanto, con las ecuaciones (12.3), (12.4) y adoptando la hipótesis de ausencia

de adhesión (por la que las tensiones normales en la región de contacto sólo podrían

ser de compresión), aplicando la condición de equilibrio sobre las componentes nor-

mal y tangencial se obtienen las ecuaciones (12.5) y (12.6) respectivamente.


taN + tbN = 0 en Γc (12.5)

taT + tbT = 0 en Γc (12.6)

Las condiciones cinemáticas y cinéticas anteriormente enunciadas ((12.2), (12.5)

y (12.6)) pueden ser combinadas en una única ecuación, la condición unitaria de

contacto (12.7).

tN · γn = 0 (12.7)

Ésta expresa que las fuerzas de contacto no realizan trabajo ya que: cuando

tN > 0 la tasa de interpenetración es nula; y cuando ésta toma valores distintos de

cero, tN = 0 por no existir contacto.

Tal como se ha anticipado con la condición de impenetrabilidad, en principio no

es posible la interferencia entre las supercies de dos cuerpos en contacto. Sin embar-

go, esta condición puede ser demasiado brusca para ser implementada en métodos

numéricos de cálculo, fundamentalmente debido a las discontinuidades inducidas en

la evolución temporal de los desplazamientos y a las dicultades de integración que

presenta γN . Por este motivo es común relajar la condición permitiendo un cierto

solapamiento entre las supercies en contacto, ver gura 12.3.

Deniendo la interpenetración como la mínima distancia entre el punto P ∈ Γa

y la supercie del cuerpo b, Γb, la distancia que separa el punto P de cualquier otro

punto situado en b viene dada por la siguiente expresión

lPb =∥∥xb(eb, t)− xP (ea, t)

∥∥ =√

(xb − xP )2 + (yb − yP )2 + (zb − zP )2 (12.8)

donde ea y eb hacen referencia al sistema local de coordenadas situado en la

supercie de los cuerpos a y b respectivamente. La interpenetración será por tanto,

según reeja la ecuación (12.9), la mínima distancia entre P y la supercie de b


0>)Px(Ng

bePb

ae

a

Figura 12.3: Penetración

cuando P esté dentro del cuerpo b. Si P estuviera fuera del cuerpo b no existiría

interpenetración ya que no se daría contacto.

gN(e, t) =

∥∥xb(eb, t)− xP (ea, t)

∥∥ si[xb(eb, t)− xP (ea, t)

]· na ≤ 0

0 en otro caso(12.9)

Es importante observar que el punto de mínima distancia es la proyección ortogo-

nal desde el punto P a la supercie del cuerpo b. No obstante, la conjetura es válida

cuando la geometría de los sólidos en contacto es suave, pues en caso de producirse

interferencia con algún cuerpo de contorno anguloso la máxima interpenetración ya

no coincidirá con la proyección ortogonal desde el punto P a la supercie de b, ver


por ejemplo la gura 12.4.

ae

b

P be

a

Figura 12.4: Penetración en arista

Habiendo relajado la condición de impenetrabilidad de forma que se admita un

cierto grado de solapamiento entre los sólidos involucrados en el contacto para evitar

restricciones demasiado bruscas en los métodos numéricos, es preciso asociar una

fuerza normal que dependa de la interpenetración de los cuerpos, gN , de forma que

cuanto mayor sea la interpenetración la fuerza asociada a ésta aumente también.

Según este tipo de penalización y de acuerdo con la deducción hecha por Belytschko

en [BLM00] para el método del penalty, las fuerzas normales en la supercie de

contacto pueden expresarse como (12.10):

taN + p = 0 , tbN − p = 0 (12.10)

Entre las diversas posibilidades de denición de la fuerza de penalización p in-

troducida por la interferencia entre cuerpos, la más general es la siguiente

p = (β1gN + β2γN) ·H(gN + γN) (12.11)

siendo H la función escalón de Heaviside


H(x) =

1 si x ≥ 0

0 en otro caso(12.12)

Las ecuaciones que describen la dinámica de un sistema discreto en el que se haya

implementado el método del penalty pueden expresarse según la forma deducida en

[BLM00]:

Mu+ q+ fc = f (12.13)

En esta expresión (12.13), M hace referencia a la matriz de masas del sistema

discreto; q a las fuerzas internas del sistema; f a las fuerzas externas que actúan

sobre el sistema y; nalmente, fc introduce el efecto de las fuerzas de contacto o

penalty. De manera general, este último término puede ser expresado del siguiente

modo

fc = β1H(gN)GTGx+ β2H(γN)GTGx (12.14)

Sin embargo, por la condición de impenetrabilidad (12.2), la penalización (12.14)

puede reducir su dependencia únicamente a la interpenetración gN según

fc = βH(gN)GTGx (12.15)

Por tanto, en el caso particular del contacto dinámico catenaria-pantógrafo, la

interpenetración entre ambas supercies será equivalente al de un resorte de cons-

tante β intercalado entre la catenaria, xc, y el pantógrafo, xp, según el vector G que

dene el contacto como se expresa en (12.16):

gn = Gx =(

1 −1) xp

xc

= xp − xc (12.16)

Por tanto puede decirse que este método presenta dos importantes ventajas: por

un lado su implementación es muy simple, dado que se reduce a insertar un resorte


de característica β entre los sólidos que puedan estar en contacto y; por otro lado,

el segundo aspecto favorable radica en la no introducción de variables adicionales.

Es importante observar que las fuerzas de contacto no se calculan de manera

exacta al emplear el método del penalty. Desde un punto de vista puramente mate-

mático, el parámetro β ha de tender a innito para que la aproximación sea lo más

precisa posible, ya que el efecto de la penalización consiste en relajar la condición

de impenetrabilidad. Cuanto mayor sea β, más cercano a la realidad será el compor-

tamiento del sistema. Sin embargo, valores excesivamente elevados pueden originar

serios problemas de condicionamiento de la matriz de rigidez, lo cual afecta de forma

signicativa a la convergencia del método numérico empleado en la resolución del

sistema de ecuaciones diferenciales obtenido. Esto constituye el principal inconve-

niente del método, ya que la solución obtenida depende enormemente del valor de

penalización elegido. Para solventar este problema se han desarrollado numerosos

algoritmos de actualización del penalty, de forma que en cada paso de tiempo se em-

plee el valor más apropiado logrando un compromiso entre exactitud de la solución

y facilidad de resolución numérica. En [Cha02] puede consultarse por ejemplo una

propuesta de penalty adaptativo en función del valor que tome la interpenetración

gN .

taN = −p = −φ(gan)βa

n (12.17)

φ(gan) =

ga

n si gan ≤ −β

(gan)2

4β+ ga

n

2+ β

4si ‖ga

n‖ < β

0 en otro caso

(12.18)

Capítulo 13

Integración temporal

Un modelo de elementos nitos de dinámica estructural discretiza las ecuaciones

diferenciales que representan el comportamiento de un sistema físico. Éste tipo de

modelos simula exactamente el comportamiento de los modos de baja frecuencia

del sistema. Sin embargo, su contenido de alta frecuencia suele ser dominado por la

inuencia numérica resultante de la discretización de los elementos nitos. Debido a

esto, el sistema de ecuaciones es sti, concepto denido y ampliamente discutido por

Hairer y Wanner en [HW91]. Por tanto, la discretización en el tiempo y la denición

de un método de integración es un aspecto de enorme relevancia en la simulación

dinámica de estructuras exibles.

El formato tradicional del sistema de ecuaciones de partida que se encuentra en

la bibliografía sobre algoritmos de integración temporal es de primer orden y se rige

por la expresión general 13.1:

y = f (y, t) (13.1)

siendo f , en general, una función no lineal de las variables (y(t),t). No obstante,

el sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna dinámica de un sistema se expresa

en forma matricial compacta:

M · u = q (u, u, t) (13.2)

107

CAPÍTULO 13. INTEGRACIÓN TEMPORAL 108

donde el vector q y la matrizM son en general funciones no lineales de (u, u, t).

Es sencillo comprobar que el sistema 13.2 puede plantearse como un caso particular

del 13.1 sin más que redenir el vector incógnita, mediante el cambio:

y =uu

tal que y =

u

M−1 · q (u, u, t)

= f (y, t)

un método numérico de integración temporal calcula secuencialmente valores de

la incógnita yn/n = 0, 1, . . . , N espaciados mediante intervalos hn+1 = tn+1 − tn.

El cálculo de y en cada instante se realiza a partir de su valor en k instantes previos

de tiempo. El número k es lo que se conoce como el número de pasos del integrador.

En consecuencia, el valor de yn+k se calcula a partir de los k valores anteriores de

y con la expresión general [Lam91]:

k∑j=0

αjyn+j = hφf (yn+k,yn+k−1,...,yn,tn+k;hn+k) (13.3)

donde se ha usado el subíndice f en la función del segundo miembro para enfati-

zar que la dependencia de φ con(yn+k, . . . ,yn, tn+k;hn+k

)es a través de la función

f (y, t).

Pueden clasicarse los métodos dados por la expresión 13.3 en base a diferentes

criterios:

Métodos de un paso / Métodos multipaso. En los de un paso, k = 1. Es decir,

el cálculo de yn+1 se realiza haciendo uso exclusivamente de información del

paso anterior. En los multipaso se requiere, sin embargo, un número k > 1

de valores iniciales para arrancar, utilizando habitualmente información de los

valores anteriores. En cambio, suelen tener una estructura más simple que los

de un paso para una precisión similar. Entre los métodos de un paso desta-

can la familia Newmark, cuya formulación original fue propuesta en [nN59],

y otros algoritmos desarrollados a partir de la formulación de Newmark como

el Hilber-Hughes-Taylor [HHT77] y el α-generalizado de Chung y Hulbert

[CH93]. Otros métodos como los Runge-Kutta son también ampliamente re-


conocidos, aunque esta proyecto no profundizará en ellos. Tampoco en otros

multipaso como por ejemplo los métodos lineales, en los que la expresión 13.3

es lineal enyn+j, f

(yn+j, tn+j

); j = 0, 1, . . . , k

.

Métodos explícitos / Métodos implícitos. En un método explícito, la expresión

13.3 permite despejar yn+1 conocidos los valoresyn+j; j = 0, 1, . . . , k − 1

; si

esto no es posible, el método es implícito. Es preciso destacar que la estabilidad

de un método explicito sólo puede ser garantizada si el paso de tiempo elegido

es sucientemente pequeño respecto a las frecuencias naturales del sistema.

Mientras que los métodos implícitos comúnmente empleados son incondicio-

nalmente estables (o A-estables), lo cual signica que la solución numérica

será estable cualquiera que sea el contenido en frecuencias del sistema me-

cánico. Esta propiedad se antoja muy deseable en la simulación de sistemas

sti, siendo la mayor complejidad computacional que requieren los métodos

implícitos el precio que hay que pagar por ello.

Esta clasicación no es internamente excluyente entre sí, puesto que tanto los

métodos de un paso como los multipaso pueden ser explícitos o implícitos, e incluso

pueden construirse algoritmos que combinen un método explícito con uno implícito

(algoritmos predictor-corrector). De acuerdo con Hughes en [Hug87], puede decirse

que un método de integración temporal para dinámica estructural debería cobinar

las siguientes propiedades: estabilidad incondicional para sistemas lineales, no más

de un sistema de ecuaciones implícitas a resolver en cada paso, precisión de se-

gundo orden, control de la disipación numérica en los modos de alta frecuencia e

inicialización autónoma.

En los siguientes epígrafes se presenta el algoritmo original de Newmark [nN59] y

la extensión α-generalizado propuesta por Chung y Hulbert en [CH93] así como las

adaptaciones particulares desarrolladas en esta proyecto para al cálculo dinámico

de la interacción catenaria-pantógrafo.


13.1. La familia β-Newmark

De amplia utilización en la dinámica estructural, la familia β-Newmark está

especialmente diseñada para la resolución de sistemas de segundo orden, por lo que

se aplica a las ecuaciones con el formato dado en 13.2. El término `familia' viene

del hecho de que su planteamiento más general tiene dos parámetros (γ y β) cuya

variación genera todos los distintos métodos de la familia.

La formulación clásica proporciona la posición y la velocidad en el instante (n+1)

a partir de la posición y velocidad en (n) y de la aceleración en (n + 1). Partiendo

del desarrollo en serie de Taylor de desplazamientos y velocidades respecto al paso

de tiempo h se obtienen las expresiones 13.4:

un+1 = un + hun + h2(

12− β

)un + h2βun+1

un+1 = un + h (1− γ) un + hγun+1

(13.4)

siendo γ y β los parámetros numéricos que dan lugar a los distintos métodos.

Mediante la combinación de estos parámetros puede observarse que en régimen lineal

los métodos de la familia en los que β ≥(

116

+ γ2+γ4

)y γ ≥ 1

2son incondicionalmente

estables.

Los métodos más representativos obtenidos para distintos valores de γ y β son

presentados por Geradin y Rixen en [GR97] con el estudio de un sistema `patrón'.

Como conclusión general del análisis de estos métodos puede decirse que todos salvo

la regla trapezoidal y la regla trapezoidal modicada tienen un interés limitado, ya

que son inestables o condicionalmente estables incluso en el régimen lineal.

La regla trapezoidal se obtiene para γ = 12

y β = 14, y en el contexto de

la familia de Newmark se le llama también método de aceleración media constante,

ya que las expresiones 13.4 se pueden interpretar como actualizaciones en posición y

velocidad suponiendo una aceleración media constante entre tn y tn+1. En el régimen

lineal, éste es además el método absolutamente estable más preciso. No obstante,

puede introducirse amortiguamiento numérico en la formulación según:


γ =1

2+ α y β =

1

4

(γ +

1

2

)2

α ≥ 0 (13.5)

donde α es el parámetro de amortiguamiento numérico. Éste es el llamado mé-

todo de aceleración constante modicado o regla trapezoidal modicada. Permite

aumentar el amortiguamiento numérico en el sistema manteniendo la condición de

estabilidad en el algoritmo de integración, lo cual en ciertos casos puede ser muy

útil aún a costa de una degradación de la precisión. Géradin y Rixen presentan una

sistematización del algoritmo de Newmark para dinámica estructural en [GR97].

La resolución numérica sigue un algoritmo predictor-corrector partiendo de los

valores un, un y un del instante tn, para cuya predicción inicial se asume aceleración

nula:

u0n+1 = 0

u0n+1 = un+1 + h (1− γ) un

u0n+1 = un + hun + h2

(12− β

)un

(13.6)

llegando a satisfacer la formulación de Newmark 13.4 mediante las correcciones

iterativas:

∆un+1 = 1βh2 ∆un+1

∆un+1 = γβh

∆un+1

(13.7)

En el caso de la interacción dinámica catenaria-pantógrafo, la corrección ∆un+1

en cada paso de integración se calcula a través de la ecuación 13.8:

K∗(i)t ∆u

(i+1)n+1 = R

(i)n+1 (13.8)

cuyos cálculos previos del residuo R y la matriz de rigidez tangente consistente

K∗t se expresan en 13.9:

R = Mun+1 +Cun+1 + q − f

K∗t = Kt + γ

βhC+ 1

βh2M(13.9)


donde Kt es la matriz de rigidez tangente calculada para un problema cuasi-

estático, C es la matriz de amortiguamiento y M la matriz de masas.

13.2. El método α-Generalizado

La integración de ecuaciones algebraicas-diferenciales (DAE) puede conducir a

inestabilidad numérica cuando se usa un método de integración de la familia de

Newmark debido a las restricciones algebraicas, que se maniesta a través de os-

cilaciones crecientes en la respuesta en aceleraciones. Introduciendo una pequeña

disipación en el algoritmo para las altas frecuencias se logra controlar esta inesta-

bilidad, manteniendo la estabilidad de la integración de dinámica lineal con res-

tricciones. Destaca en este aspecto el método α-generalizado descrito por Chung

y Hulbert en [CH93]. Éste incluye como casos particulares algunos de los algorit-

mos de integración temporal más importantes en dinámica estructural, como el

algoritmo Hilber-Hughes-Taylor [HHT77], constituyendo así un marco general para

investigaciones teóricas.

El método se fundamenta en las fórmulas de Newmark 13.4, aunque para el

cálculo del residuo este algoritmo promedia la diferente contribución de dos instantes

consecutivos según los parámetros numéricos αm y αf como reeja 13.10:

R = (1− αm)Mun+1 + αmMun + (1− αf )Cun+1+

αf Cun + (1− αf )(qn+1 − fn+1

)+ αf (qn − fn)

(13.10)

En particular, el algoritmo Hilber-Hughes-Taylor se obtiene para αm = 0 y

αf ∈[0, 1

3

]. No obstante, estos parámetros del método α-generalizado pueden ser

calculados en función del radio espectral ρq∞:

αm =2ρu∞ − 1

ρu∞ + 1y αf =

ρu∞ρu∞ + 1

(13.11)

Deniendo αfm = αf−αm, los parámetros de Newmark quedan como se muestra

en 13.12:


γ =1

2+ αfm y β =

1

4

(γ +

1

2

)2

(13.12)

Demostrándose que incluso para valores de αfm > 0 el método presenta una

precisión de segundo orden. La solución numérica se obtiene mediante un algoritmo

predictor-corrector como el empleado en la familia Newmark, quedando la matriz

tangente aumentada en cada paso corrector como reeja la ecuación 13.13, análoga

a la 13.9:

K∗t = (1− αf ) Kt + (1− αf )

γ

βhC+ (1− αm)

1

βh2M (13.13)

Capítulo 14

Validación con la norma EN50318

La norma EN50318 [CEN99] fue aprobada el 1 de Abril de 2002. Esta versión

de la norma europea ha sido realizada por CENELEC a petición de la comisión

europea siguiendo la normativa de interoperatibilidad 96/48/EC. Para obtener el

certicado de comprobación EC para los elementos constituyentes de una línea de

contacto de transmisión de energía se necesita una simulación con un programa que

debe ser validado previamente por la norma EN50318.

Como especica la norma EN50318, capítulo 11,el primer paso de la validación

de un código debe ser la comparación con un modelo de referencia, ver Figura 14.1,

para tener conanza en la precisión de la simulación. Si los resultados están dentro

del rango señalado en la norma EN50318, Tabla 14.1, el método de simulación puede

usarse para validar el código mediante la comparación con resultados medidos en

líneas de alta velocidad. Para ello, las medidas deben haberse realizado de acuerdo

a la norma EN50317.

La tabla 14.1 muestra el rango de resultados admisibles en la simulación de la

catenaria EN50318, así como los resultados obtenidos con el modelo presentado en

este proyecto. Además, de acuerdo con la norma EN50318, sección 3.17 y apéndice

A.3, el máximo desplazamiento se debe calcular en los apoyos de los vanos 5 y 6.

Los resultados obtenidos se muestran a continuación en las guras 14.2 y 14.3 a

250 km/h y en las guras 14.4 y 14.5 a 300 km/h.

114

CAPÍTULO 14. VALIDACIÓN CON LA NORMA EN50318 115

0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Length [m]

Hei

ght [

m]

Figura 14.1: Catenaria de referencia EN50318 (10 vanos)

En cada gura se representan conjuntamente los cuatro vanos centrales con la

fuerza y los desplazamientos superpuestos en cada gráca. Por ello, se ha aplicado la

misma escala en el eje de abscisas mientras la misma varía en el eje de ordendas para

poder observar los resultados sin problemas. Para terminar, remarcar que todas las

unidades usadas siguen el sistema internacional: longitudes y desplazamientos en

[m], fuerzas de contacto en [N] y tiempo en [s].

Los resultados de la simulación se encuentran dentro del rango admisible cum-

pliendo los requisitos de la norma EN50318.


Velocidad 250 km/h 300 km/h

Rango de frecuencias 20Hz Rango Admis. Simulación Rango Admis. Simulación

Fuerza media de contacto 110 N - 120 N 116.07 N 110 N - 120 N 115.35 N

Desviación típica (σ) 26 N - 31 N 27.38 N 32 N - 40 N 33.64 N

Máx. estad. de fuerza 190 N - 210 N 198.20 N 210 N - 230 N 216.27 N

Mín. estad. de fuerza 20 N - 40 N 33.91 N -5 N - 20 N 14.44 N

Máx. fuerza de contacto 175 N - 210 N 177.57 N 190 N - 225 N 210.35 N

Mín. fuerza de contacto 50 N - 75 N 60.05 N 30 N - 55 N 40.87 N

Máx. despl. del apoyo 5 48 mm - 55 mm 53.4 mm 55 mm - 65 mm 62.7 mm



% de pérdida de contacto 0% 0% 0% 0%

Tabla 14.1: Validación con el modelo de referencia

180 210 240 270 300 330 360 390 420−0.2

0.1

0.4

0.7

1

1.3

1.6

1.9

2.2

Distance [m]

Hei

ght [

m]

2.16 2.592 3.024 3.456 3.888 4.32 4.752 5.184 5.616

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Time [s]

Upl

ift [m

]

Mast 5Mast 6Mast 7Pantograph

Figura 14.2: Geometría y desplazamiento en los vanos centrales a 250 km/h


180 210 240 270 300 330 360 390 420−0.2

0.1

0.4

0.7

1

1.3

1.6

1.9

2.2

2.5

Distance [m]

Hei

ght [

m]

180 210 240 270 300 330 360 390 420

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Con

tact

forc

e [N

]

Contact force

Figura 14.3: Geometría y fuerza de contacto en los vanos centrales a 250 km/h

180 210 240 270 300 330 360 390 420−0.2

0.1

0.4

0.7

1

1.3

1.6

1.9

2.2

Distance [m]

Hei

ght [

m]

1.8 2.16 2.52 2.88 3.24 3.6 3.96 4.32 4.68

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Time [m]

Upl

ift [m

]

Mast 5Mast 6Mast 7Pantograph

Figura 14.4: Geometría y desplazamiento en los vanos centrales a 300 km/h


180 210 240 270 300 330 360 390 420−0.1

0.2

0.5

0.8

1.1

1.4

1.7

2

2.3

Distance [m]

Hei

ght [

m]

200 250 300 350 400

−20

10

40

70

100

130

160

190

220

Con

tact

forc

e [N

]

Contact force

Figura 14.5: Geometría y fuerza de contacto en los vanos centrales a 300 km/h

Capítulo 15

Conclusiones

En esta segunda parte se propone un nuevo método para simulación de la inter-

acción dinámica pantógrafo-catenaria. Las aportaciones más relevantes que se han

llevado a cabo se pueden separar en tres aspectos:

Se ha implementado el efecto del pandeo en las péndolas mediante la denición

de una rigidez variable. Esto conere un tratamiento más realista del sistema

de cables abordado.

La simulación de la interacción dinámica catenaria-pantógrafo se ha desa-

rrollado con un modelo de elementos nitos empleando una formulación co-

rotacional para los hilos sustentador y de contacto.

Para la integración numérica de la evolución dinámica del sistema se ha imple-

mentado el método α-generalizado que ha permitido incrementar la estabilidad

de la solución ltrando las vibraciones de alta y muy alta frecuencia.

Frente a todo lo publicado anteriormente al respecto en la literatura cientíca,

este modelo sí ha sido validado mediante lo propuesto en la norma de validación

europea EN50318 [CEN99]. Los resultados obtenidos se encuentran dentro de los

margenes de aceptación establecidos en dicha norma, por lo que es apto para la

certicación ocial de catenarias de alta velocidad.

119

Parte III

Reducción Dinámica mediante Física

Multicuerpo

120

121

Dado al elevado tiempo de computación del método presentado en la parte ante-

rior, se ha desarrollado un método reducido para obtener soluciones aproximadas de

la fuerza de contacto de la interacción catenaria pantógrafo. Este método se apoya

en el uso de la física multicuerpo para aplicar una jerarquía variable de modelos a

cada cuerpo (vano a vano en este caso) y que depende de si la respuesta dinámi-

ca de los cuerpos se comporta de manera lineal o de manera no lineal. Esta parte

está estructurada de la siguiente manera: En primer lugar se expone una revisión

de las técnicas multicuerpo, 16. A continuación, los capítulos 17, 18 y 19 presen-

tan la formulación que permitirá reducir el tamaño del problema de interacción

pantógrafo-catenaria sin perder precisión. El capítulo,20 muestra el resultado de la

implementación del método propuesto y presenta los resultados obtenidos. Por últi-

mo, el capítulo 15 presenta brevemente las conclusiones del trabajo. Las referencias

empleadas en el desarrollo del trabajo serán presentadas en orden alfabético al nal

del documento.

Capítulo 16

Estado del arte

Para poder simular un mecanismo compuesto por cuerpos rígidos conectados

por uniones cinemáticas deben obtenerse las ecuaciones que denan su movimiento.

Existen dos métodos fundamentales para ello: la formulación Newton-Euleriana y

la formulación Lagrangiana. Las ecuaciones de Newton-Euler provienen de la apli-

cación de las leyes del movimiento a cada cuerpo, aplicando el principio de acción y

reacción a fuerzas y pares. De acuerdo con el principio de D'Alembert, las reacciones

pueden aparecer como fuerzas aplicadas en cada cuerpo y que éstos tan sólo estén

relacionados por ligaduras algebraicas.

La formulación lagrangiana [DJB94] describe un sistema dinámico en términos

de trabajo y energía usando coordenadas generalizadas, e.g. coordenadas relativas

o cartesianas. Si las coordenadas generalizadas son independientes, las reacciones y

los momentos se eliminan automáticamente, con lo que se deriva un sistema com-

pacto de ecuaciones del movimiento. Para modelar uniones cinemáticas se deben

utilizar restricciones denominadas multiplicadores de Lagrange como se estudiará

más adelante.

Para modelar mecanismos compuestos por cuerpos exibles, debe aplicarse so-

bre dichos cuerpos alguna técnica de discretización. Como se ha desarrollado en la

parte anterior, uno de los métodos más utilizados es la formulación por elementos

nitos. Aplicando una formulación lagrangiana se pueden encontrar multiplicado-

122


res de Lagrange para enlazar los diferentes cuerpos y modelar mecanismos exibles

[GC01].

La formulación moderna de la mecánica multicuerpo permite obtener una re-

presentación detallada y able de sistemas mecánicos complejos. No obstante, la

consecución de alta precisión tan sólo puede hacerse a costa de algoritmos más

sosticados que requieren un mayor esfuerzo computacional. Por ello, Eberhard y

Schiehlen presentan en [ES98] un modelado jerárquico de diferentes modelos para

conseguir la precisión adecuada en cada cuerpo.

Dependiendo de si el comportamiento de un cuerpo exible es lineal o no lineal,

los modelos disponibles para analizarlos pueden ser diferentes. Existen técnicas muy

maduras de bases reducidas para estructuras con comportamiento lineal. No obs-

tante, para cuerpos no lineales es preferible usar modelos completos de elementos

nitos. Una reducción lineal transforma un modelo original en un modelo de orden

reducido minimizando la pérdida de precisión. En sistemas dinámicos lineales sue-

len utilizarse técnicas de descomposición modal que serán presentadas de forma más

detallada en este capitulo. De Fonseca [DF00] ha realizado interesantes estudios en

este campo y las ha aplicado a la dinámica estructural.

Capítulo 17

Frecuencias naturales y modos de

vibración

Discretizando las ecuaciones del movimiento por elementos nitos en un cuerpo

cuyo comportamiento es no lineal se obtiene que

M u + C u = f − q (17.1)

donde u representa los desplazamientos en cada una de los grados de libertad del

problema. En problemas con una discretización espacial de tamaño medio, el tamaño

de las matrices M ,C y la matriz tangente de q, Kt, puede llegar a ser relativamente

grande y los tiempos de ejecución demasiado elevados al realizar análisis dinámicos.

Por ello, cuando se puede asumir un comportamiento lineal, se utilizan modelos

reducidos que aproximan el fenómeno físico con un menor número de ecuaciones. El

método más conocido de obtención de bases reducidas es la superposición modal,

ya que, además de reducir el sistema, aporta información muy útil para evitar

problemas de resonancia. No obstante, este método tan sólo es válido si el sistema

se comporta de una manera lineal y los coecientes de las matrices de masa M

y rigidez Kt son constantes. Por ello, si un problema de naturaleza no lineal se

abordara con esta técnica, se habría de linealizar la ecuación (17.1) en el entorno

del punto de equilibrio u0. Expandiendo la ecuación mediante una aproximación de

124

CAPÍTULO 17. FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE VIBRACIÓN 125

Taylor de primer orden

M u + C u + Kt (u0) (u− u0) + q (u0) = f (17.2)

o, lo que es lo mismo,

M u + C u + Kt (u0) u = f − q (u0) + Kt (u0) u0 (17.3)

M , C y Kt serán válidas siempre que la posición de equilibrio dinámico, u, no esté

demasiado alejada de la posición de equilibrio estático, u0.

Al analizar las frecuencias naturales y los modos de vibración de un sistema

mecánico, realmente se estudia su respuesta libre sin amortiguamiento; esto es, sin

que existan fuerzas exteriores aplicadas ni fuerzas dependientes de la velocidad, por

lo que las ecuaciones del movimiento quedarán reducidas a

M u + Kt (u0) u = 0 (17.4)

Se asumirá que dichas respuestas son del tipo u = χϕ eiωt donde χ es una constante

compleja, ϕ es un vector de constantes reales y eiωt indica la notación de Euler para

la exponencial compleja. Dicho cambio, desarrollando la parte compleja, quedará

expresado como

u = αϕ ei(ωt−δ) (17.5)

donde α es una constante real y δ un desfase en tiempo. Derivando dos veces la

ecuación (17.5) con respecto al tiempo se obtiene que

u = −ω2αϕ ei(ωt−δ) = −ω2u (17.6)

y sustituyendo (17.5) y (17.6) en la ecuación de movimiento (17.4) resulta

(−ω2M + Kt (u0)

)ϕα ei(ωt−δ) = 0 (17.7)

Eliminando el escalar α ei(ωt−δ) se deduce que

(−ω2M + Kt (u0)

)ϕ = 0 (17.8)


lo cual dene un problema de autovalores generalizado. Dicho problema trata de

encontrar los vectores ϕ que, tomando λ = ω2, veriquen que

Kϕ = λMϕ (17.9)

Para que existan soluciones diferentes a la trivial, el sistema debe ser indeterminado.

Por eso, un método para hallar los autovalores del sistema consiste en buscar aquéllos

que cumplan

det(−ω2M + Kt (u0)

)= 0 (17.10)

La expresión (17.10) se denomina ecuación característica. Si los problemas son pe-

queños, se buscan las raíces de dicha ecuación característica con lo que se obtienen

los autovalores λi y sus autovectores asociados ϕi. En caso de que los sistemas

sean mayores, se utilizan algoritmos que obtienen todos estos autovalores o parte

de ellos. De esta forma se obtiene un sistema reducido con tan solo la información

de las frecuencias útiles.

Los valores ωi =√λi se denominan frecuencias propias del sistema y los au-

tovectores, ϕi, son los modos de vibración asociados a las frecuencias ωi . Éstas

representan las frecuencias de vibración de las posibles soluciones armónicas del

sistema.

17.1. Frecuencias propias en catenarias ferroviarias

Pese a la no linealidad de las estructuras de cables, se realizan a menudo análisis

modales para su estudio. Al conocer las frecuencias naturales de vibración se pue-

den evitar problemas de resonancia muy peligrosos para la estabilidad de cualquier

estructura.

Para mostrar la forma de los diferentes modos de vibración, se ha realizado un

análisis modal sobre la catenaria denida por la norma EN50318 representada en

la gura 17.1. La tabla 17.1 presenta la sensibilidad que presentan las frecuencias

naturales de dicha catenaria al mallado. El número de elementos se dene como el


Figura 17.1: Catenaria denida por la norma EN50318

número de divisiones introducidas entre péndolas en el hilo de contacto. Se observa

que el mallado no afecta en las frecuencias más bajas y tan sólo de forma leve en a

partir de la décima. Por ello, para recoger el comportamiento lineal a baja frecuencia

no será necesario un modelo con una malla muy na.

Los cuatro primeros modos se muestran en las guras 17.2,17.3,17.4 y 17.5. Puede

comprobarse cómo gran parte de la información dinámica se recoge en relativamente

pocos modos de vibración.

Figura 17.2: Modo de vibración 1 (1.0182 Hz)


N. de elem. 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Modo 1 1.07 1.07 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.13 1.15 1.16

Modo 2 2.14 2.13 2.14 2.16 2.17 2.19 2.22 2.25 2.28 2.32

Modo 3 3.21 3.20 3.21 3.23 3.26 3.29 3.32 3.36 3.41 3.46

Modo 4 4.29 4.27 4.28 4.30 4.34 4.37 4.42 4.47 4.52 4.59

Modo 5 5.37 5.34 5.35 5.38 5.42 5.46 5.51 5.57 5.64 5.71

Modo 6 6.45 6.42 6.42 6.45 6.49 6.54 6.60 6.67 6.74 6.82

Modo 7 7.49 7.48 7.48 7.51 7.55 7.60 7.67 7.73 7.81 7.89

Modo 8 8.46 8.51 8.51 8.54 8.57 8.62 8.67 8.72 8.78 8.83

Modo 9 9.32 9.65 9.64 9.66 9.67 9.71 9.77 9.84 9.91 9.99

Modo 10 10.06 9.88 9.70 9.67 9.72 9.77 9.83 9.90 9.98 10.06

Modo 11 10.72 9.90 9.74 9.71 9.73 9.78 9.86 9.94 10.03 10.13

Modo 12 11.32 9.94 9.82 9.79 9.82 9.87 9.93 10.01 10.09 10.19

Tabla 17.1: Sensibilidad del mallado de las frecuencias naturales


Capítulo 18

El método de la superposición modal

La linealidad de la ecuación (17.4) implica también la linealidad de sus solucio-

nes. Por lo tanto si u1 y u2 son soluciones de (17.4), νu1 + µu2 también lo será.

Por ello, la solución más general al sistema lineal anterior vendrá dada como una

combinación lineal de sus soluciones del tipo

u = α1ϕ1ei(ωt−δ) + α2ϕ2e

i(ωt−δ) + · · ·+ αnϕnei(ωt−δ)

=n∑

k=1

αkϕkei(ωkt−δk)

(18.1)

Dicha solución general se puede interpretar como la suma de n modos ϕk vi-

brando a su frecuencia natural ωk con una amplitud αk. El sistema completo tendrá

tantos modos de vibración como grados de libertad tenga el sistema original. No

obstante, cada uno de estos modos contendrá la información relativa a la frecuencia

propia con la que esté relacionado. Por ello, es posible reducir el tamaño original

del sistema tomando tan sólo las frecuencias que interesen en el estudio concreto

que se realice siempre que dicho sistema se comporte de manera lineal.

Denominando ϕki a la componente i del vector propio ϕk y siendo j =√−1, se

puede reescribir la ecuación (18.1) como

ui =n∑

k=1

αkϕkiej(ωkt−δk) (18.2)

130

CAPÍTULO 18. EL MÉTODO DE LA SUPERPOSICIÓN MODAL 131

Un sistema de coordenadas normales asociadas al problema inicial se dene como

ξ (t) = αk ej(ωkt−δk)

y, sustituyendo en (18.2), se obtiene lo que se puede interpretar como un cambio

de coordenadas: de grados de libertad asociados a los desplazamientos y giros, a la

base de coordenadas normales. Esto queda expresado de la siguiente manera

ui (t) =n∑

k=1

ϕki ξk (t) (18.3)

donde las componentes ϕki de la ecuación (18.3) constituyen la matriz de cambio

de base

φ = (ϕ1,ϕ2, · · · ,ϕn) =

ϕ11

ϕ12

...

ϕ1n

ϕ21

ϕ22

...

ϕ2n

· · ·

· · ·. . .

· · ·

ϕn1

ϕn2

...

ϕnn

(18.4)

con la que, expresando matricialmente la ecuación (18.3), se puede escribir

u = φξ (18.5)

o lo que es lo mismo,

u (t) = ξ1 (t) ϕ1 + ξ2 (t) ϕ2 + · · ·+ ξn (t) ϕn

Al aplicar este cambio de coordenadas al sistema de ecuaciones (17.3) se obtiene

Mφξ + Kφξ = 0

y, premultiplicando por la transpuesta de la matriz de cambio de base, φT ,

φT Mφξ + φT Kφξ = 0

se obtiene el sistema de ecuaciones del movimiento denido en coordenadas normales

M ξ + K ξ = 0


en el que las matrices características del sistema M y K son matrices diagonales

por las propiedades de ortogonalidad de los modos respecto a las matrices M y K.

Este cambio de base es aplicable a las fuerzas, f , que actúan sobre el sistema.

Con esto se le asigna a f la aportación de f a cada modo y frecuencia propia.

Un sistema con oscilaciones forzadas no amortiguado en el sistema de coordenadas

normales quedaría denido por:

M ξ + K ξ = φT f = f

Este cambio, sin embargo, no es aplicable a la matriz de amortiguamiento C ya

que no es posible lograr una diagonalización simultanea de M ,C y Kt. Por ello,

para añadir el amortiguamiento, se utiliza la hipótesis de Rayleigh, que considera

la matriz de amortiguamiento proporcional a la matriz de masas y a la matriz de

rigidez.

Entonces, siendo C = αKt + βM , el sistema con oscilaciones forzadas y amor-

tiguado en coordenadas normales quedaría expresado como:

M ξ + C ξ + K ξ = f (18.6)

Utilizando la ecuación (18.6) se puede estudiar el sistema reducido y obtener

información del sistema completo usando el cambio de variables (18.4). De este

modo se pasa del sistema de ecuaciones (17.1) de tamaño n a un sistema (18.6) de

tamaño m, siendo éste el número de modos utilizados y mucho menor que n.

18.1. Condiciones iniciales

Para utilizar la superposición modal en el resolución de problemas estructurales

es preciso evaluar los 2n coecientes α0 y δ0 de la ecuación (17.5) o, lo que es lo

mismo, las condiciones iniciales en coordenadas modales ξ (t = 0) y ξ (t = 0). Para

ello se utilizarán las condiciones iniciales del modelo completo, (u0, u0), para poder

incorporar unas condiciones iniciales al modelo en bases reducidas,(ξ0, ξ0

). La


expresión (17.5) expresada sin notación de Euler es

u =∑

k

αk ϕk cos (ωkt− δk) (18.7)

que, desarrollando el coseno de la suma, queda expresada como

u =∑

k

αk ϕk cosδk cosωkt+∑

k

αk ϕk senδk senωkt (18.8)

Por otro lado, la derivada de la expresión (18.7) es

u =∑

k

−αkϕk ωk sen (ωkt− δk) (18.9)

Estas expresiones, particularizadas para t = 0, se transforman en

u0 =∑

k

αk ϕk cosδk

u0 =∑

k

αkϕk ωk senδk (18.10)

y en coordenadas modales

u0 = φξ0

u0 = φξ0 (18.11)

Premultiplicando ambas ecuaciones (18.11) por φT M resulta

ξ0 = M−1

φT Mu0

ξ0 = M−1

φT Mu0 (18.12)

Las expresiones (18.12) permiten estudiar mediante superposición modal un sis-

tema que ya se encuentre en movimiento; es decir, que en lugar de partir de condi-

ciones de reposo, tenga unas condiciones iniciales (u0, u0).

Capítulo 19

Mecánica multicuerpo

Un sistema multicuerpo es el resultado de describir un sistema mecánico como la

composición de cuerpos sólidos (rígidos o exibles) unidos por enlaces que restringen

su movimiento relativo. El estudio de la dinámica multicuerpo es el análisis de cómo

se mueven dichos sistemas bajo la inuencia de fuerzas.

19.1. Acoplamiento de modelos físicos

Para aplicar este tipo de formulaciones es necesario tener un modelo que describa

el comportamiento de cada uno de los cuerpos que se desea unir. Uno de los modelos

más utilizados es la discretización con elementos nitos. Gracias a la mecánica mul-

ticuerpo es posible analizar sistemáticamente el comportamiento de varios modelos

conectados. Para ello, al sistema inicial de ecuaciones de cada cuerpo, denido en

la expresión (17.1), se le añadirán las ecuaciones de ligadura.

Dichas ecuaciones de ligadura afectarán a los puntos de contacto de cada uno de

los N cuerpos imponiendo una restricción de movimiento y aplicando el principio

de acción y reacción en dichos grados de libertad; es decir,

L(uA,uB, λAB

)=

∆fA

i = λABij

∆fBj = −λAB

ij

uAi − uB

j = 0

(19.1)

134

CAPÍTULO 19. MECÁNICA MULTICUERPO 135

donde L(uA,uB, λAB

ij

)son las ecuaciones de ligadura, uA son las incógnitas del

modelo A y λABij son las incógnitas relativas a las ligaduras de los modelos A y B

en los grados de libertad i y j respectivamente.

En el método de los elementos nitos se representa la rigidez de un cuerpo exible

como

KA =

KA11 · · · KA

11 · · · KAnn

.... . .

......

KAi1 · · · KA

ii · · · KAin

......

. . ....

KAn1 · · · KA

ni · · · KAnn

(19.2)

y que está vinculada a cada uno de los n grados de libertad del cuerpo

uA =

uA1

...

uAi

...

uAn

(19.3)

.

Por lo tanto, el sistema resultante será del tipo

M uA + C uA + L(uA, uB, λAB

ij

)= fA − qB (19.4)

Para enlazar dicha rigidez se añaden las ecuaciones de ligadura (19.1). Éstas

se representan matricialmente como dos vectores relacionados con los modelos a

conectar. La columna de la matriz asociada al modelo A que lo conecta con el

modelo B será:

LAB = δki =

0

...

1

...

0

(19.5)


donde δki es la función delta de Kronecker e i el nodo de conexión. L es una matriz

con tantas columnas como ligaduras a otros modelos y tantas las como grados

de libertad tenga el modelo. Cada columna de L aporta la información sobre una

conexión a un modelo colindante. Para ello, dicha columna valdrá 1 en aquella la,

k, que coincida con el grado de libertad conectado, i.

CAf¢

ACf¢

ABf¢

BAf¢

k

l

j

i

A

B

C

Figura 19.1: Sistema multicuerpo

Utilizando esta nomenclatura, las matrices del sistema (19.4) aplicado a los cuer-

pos A, B y C se ensamblan de la siguiente manera. La matriz tangente de las fuerzas

internas del sistema vendrá dada por

Kt =

KA LAB LAC

KB −LBA

KC −LCA(LAB

)T −(LBA

)T(LAC

)T −(LCA

)T

(19.6)


las incógnitas del problema serán

u =

uA

uB

uC

λABij

λAClk

(19.7)

y el vector de fuerzas externas estará denido como

f =

fA + ∆fAB + ∆fAC

fB + ∆fBA

fC + ∆fCA

0

0

(19.8)

Gracias a esta formulación sistemática, los diferentes cuerpos A,B,..., N se pue-

den estudiar conjuntamente utilizando distintos modelos para cada uno. En este

caso, todos los cuerpos se han modelado utilizando elementos nitos, pero es posi-

ble aplicar esta sistematización a cuerpos modelados por diferentes técnicas, como

se propondrá más adelante.

19.2. Aplicación a catenarias con modelos FEM

La mecánica multicuerpo puede ser de utilidad en estructuras compuestas por

partes que se repiten regularmente, como es el caso de las catenarias ferroviarias.

Dichas catenarias están compuestas por la repetición de vanos idénticos a lo largo de

cada uno de los cantones que suelen medir cientos de metros. Al utilizar esta técnica

se reduce el tamaño inicial del modelo ya que sólo es preciso denir un cuerpo que se

repetirá tantas veces como se desee. Con esto no se reduce, no obstante, el tamaño

del problema, aunque se simplica el cálculo del equilibrio inicial.

Para analizar y vericar los diferentes modelos, se estudiará la catenaria de-


nida por la norma de validación de modelos numéricos de interacción catenaria-

pantógrafo EN50318 y que se muestra en la gura 19.2.

Figura 19.2: Catenaria ferroviaria EN50318 de 3 vanos

Cada vano de la catenaria constituye un cuerpo diferente enlazado por sus extre-

mos mediante multiplicadores de Lagrange a los cuerpos colindantes como se observa

en la gura 19.3. Cada uno de estos cuerpos se puede analizar independientemente

siempre que se obtengan los multiplicadores de los modelos colindantes.

2BA

µ¸

2BA

u¸2

AB

u¸µ

2AB¸

1BA

v¸

1BA

u¸1

AB

u¸

1AB

v¸

1BA

µ¸

µ1

AB¸

µ1

CB¸

v1

CB¸

u1

CB¸

v1

BÇ

u1

BÇµ

1BÇ

2CB

µ¸2

CB

u¸2

BC

u¸µ

2BÇ

Figura 19.3: Descomposición de la catenaria por vanos

Por ejemplo, es posible usar un paso de tiempo para la integración temporal más

grueso en la zona alejada del punto de contacto del pantógrafo y uno más no en

la zona cuyo cálculo sea más crítico. Para ello habrá que extrapolar el valor de los

multiplicadores (fuerzas externas) en el vano de interés en los pasos de tiempo en

los que sólo se resuelva la zona de crítica. En general, el uso de técnicas multicuerpo

ofrecerá versatilidad a la resolución de cualquier problema. En la gura 19.4 están

representados los multiplicadores necesarios en uno de los nodos de unión. Dichos

multiplicadores representan las fuerzas que aparecen en la unión de los cuerpos.

Estos multiplicadores serán las incógnitas de las ecuaciones algebraicas que ligan

los cuerpos. Gracias a ellos se tiene una gran versatilidad en el tratamiento interno


de cada cuerpo.

µCB¸

uCB¸

vCB¸

vBÇ

uBÇ

µBÇ

BA

v¸

BA

u¸AB

u¸

AB

v¸

BA

µ¸

µAB¸

Figura 19.4: Ampliación de la ligadura en el hilo de contacto entre los vanos A y B

Capítulo 20

Modelo multicuerpo jerárquico para

la reducción del sistema

Además de su uso en estructuras compuestas, la mecánica multicuerpo se usa

habitualmente para resolver problemas compuestos por cuerpos de comportamiento

físico muy diferente. También permite abordar el análisis dinámico de mecanismos

exibles utilizando técnicas de elementos nitos. Éste es el caso de la interacción

catenaria-pantógrafo, donde la catenaria se comporta de manera no lineal y el pan-

tógrafo se puede modelar correctamente de manera lineal.

Cuando se aplica una fuerza puntual sobre una catenaria, como la aplicada por

el pantógrafo, esta se desplaza de forma no lineal, no sólo debido al aumento de la no

linealidad geométrica, sino también al posible pandeo de las péndolas y pérdidas de

contacto. Dichos desplazamientos son mucho mayores cerca de la zona de contacto

y, si la longitud de la catenaria es sucientemente grande, en la zona alejada del

punto de contacto los desplazamientos serán pequeños.

Pese al comportamiento dinámico no lineal de la catenaria, en los lugares donde

los desplazamientos sean pequeños este comportamiento se podrá considerar lineal.

Gracias a ello, en estas zonas es posible aplicar técnicas de reducción de variables

mediante superposición modal, como se ha detallado en el capítulo 18.

Hay que tener en cuenta que el pantógrafo, al desplazarse, modica la zona que

140

CAPÍTULO 20. MODELOMULTICUERPO JERÁRQUICO PARA LA REDUCCIÓN DEL SISTEMA141

Zona FEM

+

+

Analisis Modal Analisis Modal

+

+

¸

¸

¸

¸

¸

¸

Figura 20.1: Descomposición de la catenaria por vanos

Zona FEM

+

+

Analisis Modal

¸

¸

¸ ¸

¸¸

Figura 20.2: Paso de vano modal a vano FEM

+

+

Analisis Modal Analisis Modal

+

+

Zona FEM

¸

¸

¸

¸¸

¸

Figura 20.3: Paso de vano FEM a vano Modal

se comporta de manera lineal. Por ello, para analizar la interacción dinámica que

se produce entre el pantógrafo y la catenaria, no siempre se podrá utilizar el mismo

tipo de modelo. Un cuerpo modelado con superposición modal deberá transformarse

en un modelo completo a medida que el pantógrafo se acerque para poder capturar

el comportamiento no lineal de la estructura. Asimismo, cuando el pantógrafo se

aleja del cuerpo, se debe volver al modelo reducido para minimizar el número de

variables del sistema, y de este modo se conseguirá reducir signicativamente el


tiempo de cálculo.

20.1. Formulación

En la resolución combinada se aprovecharán las propiedades de la formulación

multicuerpo. Como se ha explicado anteriormente, este tipo de formulaciones per-

mite que, siempre que los cuerpos estén ligados correctamente, puedan aplicarse

formulaciones diferentes para cada cuerpo con mayor libertad.

Para resolver la interacción dinámica pantógrafo-catenaria se propone: utilizar

superposición modal para analizar aquellos cuerpos que se encuentren más alejados

del punto de contacto (comportamiento lineal); y un análisis completo por elementos

nitos en aquéllos que estén más cerca (comportamiento no lineal).

La dinámica de los cuerpos que se comportan linealmente quedará denida por

el sistema de ecuaciones (18.6), mientras que los que se analizan utilizando un

modelo completo lo estarán por el sistema (17.1). Para ligarlos, se utilizarán los

mismos conceptos que se han aplicado anteriormente: unicidad de desplazamientos

y la aparición de fuerzas de acción y reacción.

No obstante, cuando uno de los cuerpos esté modelado utilizando superposición

modal la ligadura deberá relacionar un desplazamiento con la amplitud de los modos

de vibración del modelo colindante. Para ello se realizará un cambio de base en el

nodo de contacto. Por lo tanto, si a las ligaduras (19.1) se les aplica el cambio de base

(18) se obtiene que la ligadura entre un cuerpo modelado utilizando superposición

modal y uno modelado por elementos nitos es

L(ξA,uB, λAB

)=

∆f

A= ϕiλ

ABij

∆fBj = −λAB

ij

ϕiξA − uB

j = 0

(20.1)

donde L(ξA,uB, λAB

ij

)son las ecuaciones de ligadura, ξA son las amplitudes de

los modos del modelo A, uB son los desplazamientos de los grados de libertad del


modelo B y λABij son las incógnitas relativas a las ligaduras de los modelos A y B

en los grados de libertad i y j, respectivamente.

Se observa cómo en el modelo A, al que se le ha aplicado la superposición modal,

la fuerza de contacto se reparte en todos los modos del modelo. Por ello, ∆fAes

un vector en lugar de ser un escalar.

Esta ligadura, expresada de forma vectorial, es diferente si el modelo al que va

asociado es modal o completo. Mientras que si es completo coincide con la expresión

(19.5), si es modal la ligadura será

LAB = ϕi = ΦAB (20.2)

Para diferenciar las ligaduras de modelos con superposición modal y modelos

completos, las ligaduras asociadas a modelos con superposición modal se designarán

con la letra Φ.

Por lo tanto, un sistema multicuerpo para análisis combinado se empleará como

matriz tangente al vector de esfuerzos internos

KA

ΦAB ΦAC

KB −LBA

KC −LCA(ΦAB

)T −(LBA

)T(ΦAC

)T −(LCA

)T

(20.3)

, como incógnitas,

ξA

uB

uC

λABij

λAClk

(20.4)


y como matriz de fuerzas externas,

fA

+ ∆fAB

+ ∆fAC

fB + ∆fBA

fC + ∆fCA

0

0

(20.5)

20.2. Resultados y vericación

El modelo multicuerpo FEM-Modal se ha implementado en el lenguaje de pro-

pósito general MATLAB R©. Para realizar la vericación se ha utilizado un cantón

de 10 vanos de la catenaria denida por la norma europea EN50318 y representada

en la gura 19.2.

Se han simulado 6 segundos de desplazamiento del pantógrafo bajo la catenaria

a 300 km/h lo que supone una distancia de 500 metros a partir del punto de carga

del pantógrafo. Se han modelado utilizando elementos nitos aquellos vanos que

tuvieran algún punto a menos de 20 metros del pantógrafo en cada instante y por

superposición modal el resto de vanos. Por lo tanto, dependiendo de la posición del

pantógrafo en cada instante, cada vano ha sido modelado por superposición modal

o usando la malla completa de elementos nitos. Para la resolución numérica se ha

utilizado un integrador α-generalizado con radio espectral, ρ = 0,9.

En la gura 20.2 se presentan superpuestas las fuerzas de contacto resultantes

utilizando el modelo completo de elementos nitos y el modelo multicuerpo FEM-

Modal. Dichas fuerzas han sido ltradas a 20Hz tal y como dene la norma EN50318.

Los resultados muestran que el modelo responde a la perfección en el cálculo de

la fuerza de contacto y además reduce el tiempo de ejecución en un 60 % utilizando

estos parámetros. Mientras el modelo completo necesitó 3h 23m 32s para completar

la simulación, el modelo multicuerpo tan solo requirió 1h 6m 55s. La reducción

en el tiempo de ejecución depende criticamente de las variables utilizadas como la

distancia del pantógrafo en la que el cálculo completo, el número de modos utilizados


240 255 270 285 300 315 330 345 3600

50

100

150

200

250

Posición del pantógrafo [m]

Fue

rza

de c

onta

cto

[N]

CompletoModal+FEM

Figura 20.4: Fuerza de contacto: FEM vs. multicuerpo FEM-Modal

y el tiempo total de simulación. Un análisis de sensibilidad a estas variables se llevará

a cabo en la sección siguiente.

La gura 20.5 representa el desplazamiento vertical de un poste mientras el pan-

tógrafo avanza. Como ya se ha comentado anteriormente, el máximo de este valor

es crítico para cumplir los requisitos denidos por la norma europea EN50318. Se

observa cómo en la zona de interés, dónde los desplazamientos son máximos, los

resultados usando el modelo multicuerpo FEM-Modal son muy precisos. Conforme

el pantógrafo se aleja del poste, situado a 300 metros, dicha precisión disminuye. No

obstante, pese a que los resultados son puntualmente diferentes, el rango de despla-

zamientos es similar, y por ello, al alejarse del cuerpo reducido por superposición

modal el efecto sobre la fuerza de contacto y el desplazamiento del pantógrafo es

mínimo.

A la vista de los resultados se puede concluir que el método garantiza la resolu-


180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 360 375−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06


Des

plaz

amie

nto

[m]

CompletoModal+FEM

Figura 20.5: Desplazamientos: FEM vs. multicuerpo (FEM+Modal)

ción de este problema ya que ofrece una solución precisa y rápida. Dependiendo de

la precisión necesaria en los cálculos se podrán, además, ajustar los parámetros con-

siguiendo simulaciones más o menos rápidas. Para determinar el efecto que tienen

los distintos parámetros sobre la solución, se ha realizado un análisis de sensibilidad

tal y como se expone en la sección 20.3.

20.3. Análisis de sensibilidad

El tiempo y la precisión del cálculo multicuerpo FEM-modal depende de dos

variables fundamentalmente: qué zona se considera lineal y cuántos modos de vi-

bración se utilizan para modelar dicha zona lineal.

Cuanto más alejada del punto de contacto esté la zona considerada lineal, mayor

será el número de cuerpos modelados utilizando la malla completa de elementos


nitos y, por tanto, el número de incógnitas a resolver en cada iteración será mucho

mayor. Esto afectará negativamente al tiempo de cálculo, ya que el proceso será

computacionalmente más costoso; pero, por otro lado, la zona no lineal será más

amplia y, consecuentemente, la precisión de los cálculos será mejor.

Por otro lado, aumentar el número de modos mejora la respuesta en la zona

lineal, ya que ésta se aproxima más a la real y, por lo tanto, será mayor la precisión

en el cálculo de la fuerza de contacto y de los desplazamientos. Es de esperar que el

número de modos de vibración también afecte al tiempo de ejecución, ya que a cada

modo está asociada una incógnita en cada vano modelado por superposición modal.

No obstante, teniendo en cuenta el tamaño del problema, el efecto del número de

modos en el tiempo de computación debe ser menor que el del tamaño de la zona

considerada no lineal y modelada por elementos nitos.

En las guras 20.6, 20.7, 20.8 y 20.9 se presentan fuerzas de contacto calculadas

utilizando diferentes número de modos de vibración y en las guras 20.11, 20.12,

20.13 y 20.14 se presentan desplazamientos.

En dichas grácas se representa la fuerza de contacto entre el pantógrafo y la

catenaria y el desplazamiento del quinto poste durante el paso del pantógrafo por el

quinto y el sexto vano a 300km/h. Estos vanos están comprendidos entre el cuarto

poste, situado a 240 metros del inicio del cantón, y el sexto poste, situado a 360

metros. Además, los resultados se presentan ltrados a 20Hz como dene la norma

europea EN50318.

Cada una de las grácas conserva la zona modelada por elementos nitos y utiliza

10, 20 y 30 modos para cada cuerpo modelado utilizando superposición modal.

Estos resultados son contrastados con los obtenidos utilizando el modelo completo

de elementos nitos.

En las guras 20.10 y 20.15 se observa el efecto de variar el tamaño de la zona

modelada usando elementos nitos. Ambas grácas se han realizado utilizando 30

modos en los cuerpos reducidos.

Los resultados obtenidos utilizando 10 modos de vibración y 15 metros de zona


de análisis por elementos nitos son aceptablemente buenos, aunque la forma de

la fuerza de contacto varía signicativamente respecto al modelo completo en los

primeros y últimos metros de cada vano. Sin embargo, al aumentar el número de

modos o el tamaño de la zona no lineal se observa una clara convergencia hacia los

resultados obtenidos utilizando el modelo completo.

240 260 280 300 320 340 3600

50

100

150

200

250


Fue

rza

de c

onta

cto

[N]

Completo10 modos20 modos30 modos

Figura 20.6: Fuerza de contacto con 15 metros de análisis FEM

En la gura 20.10 se pone de maniesto el efecto que tiene sobre la fuerza de

contacto la distancia modelada utilizando elementos nitos. Se puede observar cómo

la diferencia es más acusada en los máximos y mínimos, mientras que en las zonas

ascendentes y descendentes los resultados son exactamente los mismos en el modelo

completo y los reducidos.

Respecto a los desplazamientos se observa cómo el análisis modal afecta más a

la zona que queda detrás del pantógrafo. La zona que se encuentra inmediatamente

delante del pantógrafo responde de manera idéntica utilizando ambos métodos de

cálculo.


240 255 270 285 300 315 330 345 3600

50

100

150

200

250


Fue

rza

de c

onta

cto

[N]



240 255 270 285 300 315 330 345 3600

50

100

150

200

250


Fue

rza

de c

onta

cto

[N]




De la gura 20.15 se deduce que el tamaño de la zona considerada no lineal y, por

lo tanto, modelada por elementos nitos es especialmente importante para recoger

con detalle el desplazamiento de los puntos que van quedando detrás del pantógrafo

a medida que el tren se desplaza.

En las tablas 20.1 y 20.2 se han recogido las principales variables de la validación

de la norma EN50318. Se puede comprobar que todos los valores menos uno están

dentro del rango delimitado por la norma y solo hay pequeñas variaciones dentro

de dichos márgenes. Además se presenta de forma numérica el tiempo necesario

para completar cada uno de los cálculos. Esta comparativa de tiempos se presenta

también de forma gráca en la gura 20.16.

A la vista de los resultados se puede concluir que el método presenta una preci-

sión más que aceptable con unos tiempos de ejecución mucho más reducidos. Gracias

a ello, este modelo permite un mejor proceso de diseño y optimización de estructuras

ferroviarias.

Modos Dist. FEM max F min F media F std F

Completo 205.72 39.91 115.82 34.41

15 m. 192.96 48.21 115.13 33.77

10 20 m. 188.54 31.08 115.69 33.52

30 m. 206.17 41.01 115.74 34.79

50 m. 214.26 39.10 116.20 36.79

15 m. 197.72 40.65 115.26 34.10

20 20 m. 197.86 30.25 115.63 35.26

30 m. 205.30 42.59 115.92 33.83

50 m. 212.30 40.59 116.12 35.52

15 m. 201.67 41.41 115.43 34.46

30 20 m. 206.88 28.07 115.76 35.95

30 m. 207.17 41.61 115.98 34.21

50 m. 213.37 40.30 116.15 35.55

Tabla 20.1: Comparativa de resultados en fuerzas


Modos Dist. FEM desp 4 desp 5 desp 6 Tiempo

Completo 58.38 59.05 57.47 2h 22m 28.4s

10 15 m. 56.63 59.15 57.78 0h 41m 20.7s

20 m. 57.32 58.48 55.28 0h 46m 18.5s

30 m. 57.36 58.67 56.74 0h 51m 36.4s

50 m. 57.84 58.52 56.42 1h 6m 22.5s

20 15 m. 57.03 58.23 56.73 0h 53m 28.5s

20 m. 57.18 58.31 55.40 0h 56m 16.0s

30 m. 57.37 58.05 56.31 1h 0m 51.0s

50 m. 57.69 58.34 56.21 1h 9m 48.9s

30 15 m. 57.11 57.90 54.37 0h 58m 29.4s

20 m. 57.19 58.66 55.12 1h 1m 39.7s

30 m. 57.42 58.12 56.10 1h 18m 20.7s

50 m. 57.65 58.05 56.24 1h 33m 25.8s

Tabla 20.2: Comparativa de resultados en desplazamientos

240 255 270 285 300 315 330 345 3600

50

100

150

200

250


Fue

rza

de c

onta

cto

[N]




240 255 270 285 300 315 330 345 3600

50

100

150

200

250


Fue

rza

de c

onta

cto

[N]

Completo15 metros20 metros30 metros50 metros

Figura 20.10: Fuerza de contacto con análisis modal de 30 modos de vibración

240 255 270 285 300 315 330 345 360−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06


Des

plaz

amie

nto

[m]


Figura 20.11: Desplazamiento con 15 metros de análisis FEM


240 255 270 285 300 315 330 345 360−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06


Des

plaz

amie

nto

[m]



240 255 270 285 300 315 330 345 360−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06


Des

plaz

amie

nto

[m]




240 255 270 285 300 315 330 345 360−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06


Des

plaz

amie

nto

[m]



240 255 270 285 300 315 330 345 360−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06Completo15 metros20 metros30 metros50 metros

Figura 20.15: Desplazamiento con análisis modal de 30 modos de vibración


15 20 25 30 35 40 45 50

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

Distancia de modelado FEM [m]

Tie

mpo

[h]

10 modos20 modos30 modos

Figura 20.16: Análisis de tiempos

Capítulo 21

Conclusiones

En esta cuarta parte se propone una estrategia apoyada en una formulación mul-

ticuerpo jerárquica para simulación de la interacción dinámica pantógrafo-catenaria.

La jerarquización se modica de forma variable, para ello se establece un modelo de

asignación dinámica de modelización de cuerpos independientes (en este caso vano

a vano) contemplando dos posibilidades: elementos nitos en bases completas o en

bases reducidas por descomposición modal.

Las particularidades más relevantes que se han desarrollado en este modelo son

las siguientes:

Se ha implementado un algoritmo general para el acoplamiento de cuerpos

rígidos o exibles asociado a un código de elementos nitos.

Se ha desarrollado un modelo jerárquico con asignación dinámica que no ha

sido publicado anteriormente en el campo de la dinámica estructural.

Respecto al modelo presentado en la parte anterior cabe destacar las siguientes

aportaciones:

Reducción considerablemente el tiempo de computación.

Los resultados obtenidos son similares a los obtenidos con el modelo comple-

to. Si bien la precisión se reduce, la diferencia en los tiempos de cálculo lo

compensa.

156

CAPÍTULO 21. CONCLUSIONES 157

La reducción de tiempo es sucientemente alta como para utilizar el método

propuesto en aplicaciones de diseño u optimización con algorítmos metaheu-

rísticos.

El modelo propuesto ha sido comparado con los resultados publicados en la

norma europea EN50318 [CEN99]. Los resultados obtenidos demuestran que la vali-

dación es altamente satisfactoria a pesar de no cumplir con todos los requisitos para

la validación. Por lo tanto, la utilización complementaria de las herramientas pre-

sentadas en las partes I, II y III permite el diseño, optimización, cálculo y validación

de cualquier catenaria ferroviaria existente en el mundo.

Parte IV

Conclusiones y Aportaciones

Originales

158

159

De la misma forma en que se ha estructurado el presente proyecto nal de carrera,

también las conclusiones se expondrán en tres bloques relativos a cada parte. En

la primera parte se propone un nuevo método para el cálculo de la posición de

equilibrio estático de estructuras tridimensionales de cables. Este método se basa en

las ecuaciones analíticas de la catenaria y supone una generalización de la aplicación

previa para el cálculo de equilibrio inicial de catenarias realizado por el equipo de

investigación en mecánica computacional del ICAI coordinado por el director de este

proyecto. La validación del método se ha llevado a cabo mediante la comparación

con problemas de estructuras de cables publicados en la literatura cientíca. La

precisión del método ha quedado altamente contrastada ya que las diferencias entre

los resultados obtenidos y los publicados por otros autores son del 7 % en el peor

de los casos y de menos del 1 % en valor medio.

Las aportaciones más relevantes de este método respecto al anteriormente citado

son las siguientes:

El método anterior consideraba sólo cables estructuras de cables bidimensio-

nales en el plano vertical. En el nuevo método, aprovechando que las catenarias

están contenidas en un plano vertical, se incorpora una formulación semiana-

lítica completamente tridimensional.

Además se tiene en cuenta la elasticidad y la deformación térmica de los cables

. A pesar de que esta suele ser despreciable algunas aplicaciones requieren la

consideración de deformación elástica en estructuras de cables.

Las restricciones propias de las estructuras de cables son incorporadas en la

formulación de una forma natural. Además pueden emplearse para incluir mo-

delos de dispositivos mecánicos como poleas, pretensores de cables, soportes,

muelles, etc.

Respecto a otros métodos de simulación de estructuras de cables las principales

ventajas que éste presenta son las siguientes:

160

Debido a que este método está basado en las ecuaciones exactas de la catenaria,

las ventajas propias del método propuesto en [LGCT06] le son inherentes.

Desde un punto de vista numérico, el método presenta una alta eciencia ya

que el tamaño del sistema de ecuaciones a resolver, en lugar de depender de

la discretización espacial, depende de la topología de la estructura.

Por otra parte la mayoría de algoritmos de resolución de sistemas de ecuaciones

no lineales algebraicos requieren el cálculo de la matriz jacobiana. A pesar de

que su cálculo es laborioso, las expresiones analíticas de la matriz jacobiana

son intrínsecas al método lo cual le reporta una mayor rapidez y precisión.

El problema de equilibrio inicial y el cálculo del equilibrio estático bajo cargas

se resuelven siguiendo el mismo algoritmo. Gracias al tratamiento de los pará-

metros conocidos y desconocidos ambos tipos de problemas se pueden resolver

fácilmente.

El método tratado en esta parte es perfectamente válido para la mayoría de las

aplicaciones ingenieriles tales como catenarias ferroviarias, sistemas de transporte

de energía eléctrica, redes de metro, funiculares, etc. Además, a través de la im-

plementación de dicho modelo en MATLAB es posible obtener los datos necesarios

para resolver cálculos dinámicos por elementos nitos. Aprovechando los resultados

obtenidos en la primera parte, en la segunda parte se propone un nuevo método

para simulación de la interacción dinámica pantógrafo-catenaria. Las aportaciones

más relevantes que se han llevado a cabo se pueden separar en tres aspectos:

Se ha creado una nueva herramienta general de elementos nitos en la que ha

sido posible implementar todos los avances presentados en este proyecto nal

de carrera. Además, dicha herramienta es sucientemente versátil como para

resolver otros problemas físicos de transmisión de calor o de electromagnetis-

mo.

Se ha implementado el efecto del pandeo en las péndolas mediante la denición

161

de una rigidez variable. Esto conere un tratamiento más realista del sistema

de cables abordado.

La simulación de la interacción dinámica catenaria-pantógrafo se ha desa-

rrollado con un modelo de elementos nitos empleando una formulación co-

rotacional para los hilos sustentador y de contacto.

Para la integración numérica de la evolución dinámica del sistema se ha imple-

mentado el método α-generalizado que ha permitido incrementar la estabilidad

de la solución ltrando las vibraciones de alta y muy alta frecuencia.

Frente a todo lo publicado anteriormente al respecto en la literatura cientíca,

este modelo sí ha sido validado mediante lo propuesto en la norma de validación

europea EN50318 [CEN99]. Los resultados obtenidos se encuentran dentro de los

margenes de aceptación establecidos en dicha norma, por lo que es apto para la

certicación ocial de catenarias de alta velocidad.

Por último, en la tercera parte de este proyecto se propone una estrategia apo-

yada en una formulación multicuerpo jerárquica para simulación de la interacción

dinámica pantógrafo-catenaria. La jerarquía de modelos se modica según la res-

puesta de cada cuerpo (en este caso vano a vano) sea lineal o no lineal contemplando

dos posibilidades: bases reducidas por descomposición modal o elementos nitos en

bases completas. Las particularidades más relevantes que se han desarrollado en

este modelo son las siguientes:

Se ha implementado un algoritmo general para el acoplamiento de cuerpos

rígidos o exibles asociado a un código de elementos nitos.

Se ha desarrollado un modelo jerárquico con asignación dinámica que no ha

sido publicado anteriormente en el campo de la dinámica estructural.

Respecto al modelo presentado en la parte anterior cabe destacar las siguientes

aportaciones:

162

Se consigue reducir considerablemente el tiempo de computación.

Los resultados obtenidos son similares a los obtenidos con el modelo comple-

to. Si bien la precisión se reduce, la diferencia en los tiempos de cálculo lo

compensa.

La reducción de tiempo es sucientemente alta como para utilizar el método

propuesto en aplicaciones de diseño u optimización con algorítmos metaheu-

rísticos.

El modelo propuesto ha sido comparado con los resultados publicados en la

norma europea EN50318 [CEN99]. Los resultados obtenidos demuestran que la vali-

dación es altamente satisfactoria a pesar de no cumplir con todos los requisitos para

la validación. Por lo tanto, la utilización complementaria de las herramientas pre-

sentadas en las partes I, II y III permite el diseño, optimización, cálculo y validación

de cualquier catenaria ferroviaria existente en el mundo.

Parte V

Bibliografía

163

Bibliografía

[AAB74] J. H. Argyris, T. Angelopoulus, and B. Bichat. A general method for

the shape nding of lightweight tension structures. Computer Methods

in Applied Mechanics and Engineering, 3(1):135149, 1974.

[AGR06] A. Andreu, L. Gil, and P. Roca. A new deformable catenary element

for the analysis of cable net structures. Computers and Structures,

84(29):18821890, 2006.

[Bar88] MR Barnes. Form-nding and analysis of prestressed nets and membra-

nes. Computers and Structures, 30(3):685695, 1988.

[BL99] D. Bruno and A. Leonardi. Nonlinear structural models in cableway

transport systems. Simulation Practice and Theory, 7(3):207218, 1999.

[BLM00] T. Belytschko, W.K. Liu, and B. Moran. Nonlinear nite elements for

continua and structures. J Wiley & Sons, 2000.

[CCH84] F. Chaplin, G. Calderbank, and J. Howes. The technology of suspended

cable net structures. Longman Group Limited, New York, 1984.

[Cel06] P. Cella. Methodology for Exact Solution of Catenary. Journal of Struc-

tural Engineering, 125(12):14511453, 2006.

[CEN99] CENELEC. Validation of simulation of the dynamic interaction between

pantographs and overhead contact line. Railway Applications. Current

Collection Systems prEN 50318, CENELEC, 1999.

164

BIBLIOGRAFÍA 165

[CH93] J. Chung and G.M. Hulbert. A time integration algorithm for struc-

tural dynamics with improved numerical dissipation: The generalized-α

method. Journal of Applied Mechanics - ASME, 60:371375, 1993.

[Cha02] D. Chamoret. Modélisation du contact: nouvelles approches numériques.

PhD thesis, École Central de Lyon, 2002.

[Chr96] P.M. Christou. An Integrated Technique for the Analysis of Frame and

Cable Structures. PhD thesis, University of Florida, 1996.

[CI99] C.S. Chen and D.E. Ingber. Tensegrity and mechanoregulation: from

skeleton to cytoskeleton. Osteoarthritis Cartilage, 7(1):8194, 1999.

[Cri90] M.A. Criseld. A consistent co-rotational formulation for non-linear,

three-dimensional, beam-elements. Computer Methods in Applied Me-

chanics and Engineering, 81:131150, 1990.

[Cri91] M.A. Criseld. Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Struc-

tures, Vol.1: Essentials. J Wiley & Sons, 1991.

[CV01] T.F. Coleman and A. Verma. A Preconditioned Conjugate Gradient

Approach to Linear Equality Constrained Minimization. Computational

Optimization and Applications, 20(1):6172, 2001.

[DF00] P. De Fonseca. Simulation and Optimisation of the Dynamic Behaviour

of Mechatronic Systems. PhD thesis, Katholieke Universiteit Leuven,

2000.

[DJB94] J.G. De Jalón and E. Bayo. Kinematic and Dynamic Simulation of

Multibody Systems - The Real-Time Challenge. Springer Verlag, 1994.

[Dre32] C.S. Drewry. A memoir on suspension bridges. A. and R. Spottiswoode,

London, 1832.

BIBLIOGRAFÍA 166

[EOSW88] S.D. Eppinger, D.N. O'Connor, W.P. Seering, and D.N. Wormley. Mo-

deling and experimental evaluation of asymmetric pantograph dynamics.

Transactions of the ASME. Journal of Dynamic Systems, Measurement

and Control, 110(2):p168 174, 1988.

[ES98] P. Eberhard and W. Schiehlen. Hierarchical modeling in multibody dy-

namics. Archive of Applied Mechanics (Ingenieur Archiv), 68(3):237

246, 1998.

[Fle87] R. Fletcher. Practical Methods of Optimization [M]. John Wiley & Sons,

1987.

[GB88] L. Grundig and J. Bahndorf. The design of wide-span roof structures

using microcomputers [J]. Computers and Structures, 30(3):495501,

1988.

[GC01] M. Géradin and A. Cardona. Flexible Multibody Dynamics: A Finite

Element Approach. Wiley, 2001.

[GR97] M. Géradin and D. Rixen. Mechanical Vibrations: Theory and Applica-

tion to Structural Dynamics. John Wiley & Sons, 1997.

[HA82] RB Haber and JF Abel. Initial Equilibrium Solution Methods for Cable

Reinforced Membranes. Computer Methods in Applied Mechanics and

Engineering, 30(3):263306, 1982.

[HHT77] H. Hilber, T. Hughes, and R. Taylor. Improved numerical dissipation

for time integration algorithms in structural dynamics. Earthquake En-

gineering and Structural Dynamics, 5:283292, 1977.

[HL00] K.M. Hsiao and W.Y. Lin. A co-rotational nite element formulation for

buckling and postbuckling analyses of spatial beams. Computer Methods

in Applied Mechanics and Engineering, 188:567594, 2000.

BIBLIOGRAFÍA 167

[HL06] Y. Huang and W. Lan. Static analysis of cable structure. Applied Mat-

hematics and Mechanics, 27(10):14251430, 2006.

[Hug87] T.J.R. Hughes. The Finite Element Method, Linear Static and Dynamics

Finite Element Analysis. Prentice Hall, 1987.

[HW91] E. Hairer and G. Wanner. Solving Ordinary Dierential Equations II -

Sti and Dierential-Algebraic Problems. Springer-Verlag, 1991.

[Ing93] D.E. Ingber. Cellular tensegrity: dening new rules of biological design

that govern the cytoskeleton. Journal of Cell Science, 104:613627, 1993.

[Irv81] H.M. Irvine. Cable Structures. MIT Press, Cambridge, MA, 1981.

[KS72] K. Kanzaki and T. Sakai. Studies on the cable crane hung at three

supports (I)(1) A way of calculation supposing static balanced state.

Journal of the Japanese Forestry Society, 54:103112, 1972.

[Lam91] J.D. Lambert. Numerical Methods for Ordinary Dierential Systems.

The initial value problem. John Wiley & Sons, 1991.

[LGCM07] O. Lopez-Garcia, A. Carnicero, and JL Maroño. Inuence of stiness

and contact modelling on catenarypantograph system dynamics. Jour-

nal of Sound and Vibration, 299(4-5):806821, 2007.

[LGCT06] O. Lopez-Garcia, A. Carnicero, and V. Torres. Computation of the

initial equilibrium of railway overheads based on the catenary equation.

Engineering structures, 28(10):13871394, 2006.

[LS71] K. Linkwitz and H.J. Schek. Einige Bemerkungen zur Berechnung von

vorgespannten Seilnetzkonstruktionen. Archive of Applied Mechanics

(Ingenieur Archiv), 40(3):145158, 1971.

[LYP98] CY Lai, Z. You, and S. Pellegrino. Shape of Deployable Membrane

Reectors. Journal of Aerospace Engineering, 11(3):7380, 1998.

BIBLIOGRAFÍA 168

[MC02] Jesús Montesinos and Antonio Carmona. Tecnología de la catenaria.

Mantenimientos de Infraestructura RENFE, Madrid, 2002.

[Mol84] M. Mollaert. Formnding of mixed structures. In Third Conference on

Space Structures, 1984.

[MS83] J.J. Moré and DC Sorensen. Computing a Trust Region Step. SIAM

Journal on Scientic and Statistical Computing, 4:553, 1983.

[MT90] E. Moncrie and BHV Topping. Computer methods for the generation of

membrane cutting patterns. Computers and Structures, 37(4):441450,

1990.

[nN59] N. Newmark. A method of computation for structural dynamics. Journal

of Engineering Mechanics Division - ASCE, 85:6794, 1959.

[nNOR91] B. Nour-Omid and C.C. Rankin. Finite rotation analysis and consistent

linearization using projectors. Computer Methods in Applied Mechanics

and Engineering, 93:353384, 1991.

[nNW99] J. Nocedal and S.J. Wright. Numerical Optimization Springer series in

operations research. Springer, 1999.

[OC97] José Luis de la Fuente O' Connor. Técnicas de Cálculo para Sistemas

de Ecuaciones, Programación Lineal y Programación Entera. Reverté,

Barcelona, 1997.

[OT71] J.R. Ockendon and A.B. Tayler. The Dynamics of a Current Collection

System for an Electric Locomotive. Proceedings of the Royal Society of

London, Series A (Mathematical and Physical Sciences), 322(1551):p447

468, 1971.

[OTS67] F. Otto, R. Trostel, and F.K. Schleyer. Tensile Structures; Design, Struc-

ture, and Calculation of Buildings of Cables, Nets, and Membranes. MIT

Press, 1967.

BIBLIOGRAFÍA 169

[PE95] C. Pacoste and A. Eriksson. Element behaviour in post-critical plane fra-

me analysis. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,

125:319343, 1995.

[PE97] C. Pacoste and A. Eriksson. Beam elements in instability problems.

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 144:163197,

1997.

[PEM+97] G. Poetsch, J. Evans, R. Meisinger, W. Kortüm, W. Baldauf, A. Veitl,

and J. Wallaschek. Pantograph-catenary dynamics and control. Vehicle

System Dynamics, 28:159195, 1997.

[PG79] A.H. Peyrot and AM Goulois. Analysis of cable structures. Computers

and Structures, 10(5):805813, 1979.

[PHJ03] T.J. Park, C.S. Han, and J.H. Jang. Dynamic sensitivity analysis for the

pantograph of a high-speed rail vehicle. Journal of Sound and Vibration,

266(2):235260, September 2003.

[Pug68] Alfred Grenville Pugsley. The theory of Suspension Bridges. Edward

Arnold Ltd, London, 1968.

[RB86] C.C. Rankin and F.A. Brogan. An element-independent co-rotational

procedure for the treatment of large rotations. Journal of Pressure Vessel

Technology - ASME, 108:165174, 1986.

[RnO88] C.C. Rankin and B. Nour Omid. The use of projectors to improve nite

element performance. Computers and Structures, 30:257267, 1988.

[Ron78] Colin A. Ronan. The shorter Science and civilisation in China : an

abridgement of Joseph Needham's original text. Cambridge University

Press, Cambridge, 1978.

BIBLIOGRAFÍA 170

[Sch74] HJ Schek. The force density method for form nding and computation

of general networks. Computer Methods in Applied Mechanics and En-

gineering, 3(1):115134, 1974.

[SE64] A. Siev and J Eidelman. Stress analysis of prestressed suspended roofs.

Journal of Structural Division, ASCE, 90:103121, 1964.

[Sor97] DC Sorensen. Minimization of a large scale quadratic function subject

to an ellipsoidal constraint. SIAM Journal on Optimization, 7:141161,

1997.

[Tim83] S. Timoshenko. History of Strength of Materials: with a brief account of

the history of theory of elasticity and theory of structures. Courier Dover

Publications, 1983.

[TWK59] S.P. Timoshenko and S. Woinowsky-Krieger. Theory of plates and shells.

McGraw-Hill, second edition, 1959.

[Vin83] T. Vinayagalingam. Computer evaluation of controlled pantographs

for current collection from simple catenary overhead equipment at high

speed. ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control,

105:287294, 1983.

[WB98a] TX Wu and MJ Brennan. Basic analytical study of pantograph-catenary

system dynamics. Vehicle System Dynamics, 30(6):443456, 1998.

[WB98b] T.X. Wu and M.J. Brennan. Basic analytical study of pantograph-

catenary system dynamics. Vehicle System Dynamics, 30:443456, 1998.

[WB99] T.X. Wu and M.J. Brennan. Dynamic stiness of a railway overhead wire

system and its eect on pantograph-catenary system dynamics. Journal

of Sound and Vibration, 219(3):483502, 1999.

[Wri00] Kenneth R. Wright. Machu Picchu: A Civil Engineering Marvel. ASCE

Publications, Reston, VA, 2000.

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