métodos iterativos estacionários 12 2
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MÉTODOS ITERATIVOS
ESTACIONÁRIOS
INTRODUÇÃO
Os métodos iterativos são utilizados também
para resolver sistemas lineares no entanto ao
contrário dos métodos exatos a precisão da
resposta é variável.
A grande vantagem dos métodos iterativos é o
custo computacional variável que é ajustado de
acordo com a precisão necessária a resposta.
Um método é iterativo quanto fornece uma
sequência de aproximantes da solução, cada uma
das quais obtida das anteriores pela repetição do
mesmo tipo de processo.
PROCESSOS ESTACIONÁRIOS
Um processo é dito estacionário se a matriz de
iteração não varia durante a execução do método.
Convergência
𝑥𝑘 − 𝑥∗ → 0, 𝑘 → 0
Condição necessária e suficiente
max|λi| < 1
Condição suficiente
𝑀 < 1
MÉTODO DE JACOBI
Uma matriz A pode ser decomposta na soma de três matrizes D, E e F da seguinte forma
A = D + E + F
Sendo:
D Matriz diagonal com os elementos iguais aos da diagonal principal da matriz A.
E Matriz triangular inferior com os termos da diagonal principal iguais a zero e os outros iguais aos da matriz A.
F Matriz triangular superior com os termos da diagonal principal iguais a zero e os outros iguais aos da matriz A.
MÉTODO DE JACOBI
𝐴 =2 3 5−4 1 7−1 3 4
MÉTODO DE JACOBI
Resolvendo o sistema
𝐴𝑥 = 𝑏
𝐷 + 𝐸 + 𝐹 𝑥 = 𝑏
𝐷 + 𝐸 + 𝐹 𝑥 = 𝑏
𝐷𝑥 = − 𝐸 + 𝐹 𝑥 + 𝑏
𝑥 = −𝐷−1 𝐸 + 𝐹 𝑥 + 𝐷−1𝑏
𝑥𝑘+1 = −𝐷−1 𝐸 + 𝐹 𝑥𝑘 + 𝐷−1𝑏
MÉTODO DE JACOBI
D é uma matriz diagonal sua inversa é
igual a inversa de cada termo da
diagonal. Então:
MÉTODO DE JACOBI
Fazendo
MÉTODO DE JACOBI (PRIMEIRA ITERAÇÃO)
𝑥11 =
1
𝑎11−𝑎12𝑥2
0 − 𝑎13𝑥30 + 𝑏1
𝑥11 =
12
2= 6
𝑥21 =
−4
1= −4
𝑥31 =
28
4= 7
MÉTODO DE JACOBI (SEGUNDA ITERAÇÃO)
𝑥12 =
1
𝑎11−𝑎12𝑥2
1 − 𝑎13𝑥31 + 𝑏1
𝑥12 =
1
2−3 −4 − 5 7 + 12
𝑥12 = −5,5
𝑥1 =6−47
MÉTODO DE JACOBI (SEGUNDA ITERAÇÃO)
𝑥1 =6−47
𝑥22 =
1
𝑎22−𝑎21𝑥1
1 − 𝑎23𝑥31 + 𝑏2
𝑥22 =
1
1− −4 6 − 7 7 − 4
𝑥22 = 24 − 49 − 4 = −29
MÉTODO DE JACOBI (SEGUNDA ITERAÇÃO)
𝑥1 =6−47
𝑥32 =
1
4− −1 6 − 3 −4 + 28
𝑥32 =
6 + 12 + 28
4=46
4= 11,5
MÉTODO DE JACOBI (SEGUNDA ITERAÇÃO)
CRITÉRIO DE PARADA
𝑥1 =6−47
𝑥2 =−5,5−2911,5
𝜀 =max −5,5 − 6 , −29 − −4 , 11,5 − 7
max 5,5 , −29 , 11,5
𝜀 =max −11,5 , −25 , 4,5
29
𝜀 =25
29= 0,8621
MÉTODO DE JACOBI (SEGUNDA ITERAÇÃO)
CRITÉRIO DE PARADA
𝑥2 =−5,5−2911,5
𝐸𝑟𝑟𝑜 =12−428
−2 3 5−4 1 7−1 3 4
−5,5−2911,5
𝐸𝑟𝑟𝑜 =10,9219,25−7,58
MÉTODO DE JACOBI (PRÓXIMAS ITERAÇÕES)
Está divergindo.
A matriz “A” não
é diagonal
estritamente
dominante
RAIO ESPECTRAL DA MATRIZ J
RAIO ESPECTRAL DE J
RAIO ESPECTRAL DE J
RAIO ESPECTRAL DE J
RAIO ESPECTRAL DE J
J tem raio espectral maior do que 1, não converge
OUTRO EXEMPLO
OUTRO EXEMPLO
OUTRO EXEMPLO
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
MÉTODO SOBRE-RELAXÇÃO SUCESSIVA
𝜔 𝐷 + 𝐸 + 𝑓 𝑥 = 𝜔𝑏
Somando vetor nulo (D-D)x ao primeiro termo
𝐷 − 𝐷 𝑥 + 𝜔 𝐷 + 𝐸 + 𝐹 𝑥 = 𝜔𝑏
Chega-se a forma de iteração
𝐷 + 𝜔𝐸 𝑥𝑘+1 = 1 − 𝜔 𝐷 − 𝜔𝐹 𝑥 + 𝜔𝑏
MÉTODO SOBRE-RELAXAÇÃO SUCESSIVA
𝑥1𝑘+1 =
𝜔
𝑎11−𝑎12𝑥2
𝑘 − 𝑎13𝑥3𝑘 −⋯− 𝑎1𝑛𝑥𝑛
𝑘 + 𝑏1 + 1 − 𝜔 𝑥1𝑘 ,
𝑥2𝑘+1 =
𝜔
𝑎22−𝑎21𝑥1
𝑘 − 𝑎23𝑥3𝑘 −⋯− 𝑎2𝑛𝑥𝑛
𝑘 + 𝑏2 + 1 − 𝜔 𝑥2𝑘 ,
⋯
𝑥𝑛𝑘+1 =
𝜔
𝑎𝑛𝑛−𝑎𝑛1𝑥2
𝑘 − 𝑎𝑛2𝑥3𝑘 −⋯− 𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1
𝑘 + 𝑏𝑛 + 1 − 𝜔 𝑥𝑛𝑘 ,
EXEMPLO
Uma maneira de se obter a solução da equação de laplace:
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+𝜕2𝑢
𝜕𝑦2= 0
Em uma região retangular consiste em se fazer uma discretização que
transforma a equação em um problema aproximado, consistindo em uma
equação de diferenças cuja solução, em um caso particular, exige a solução do
seguinte sistema linear: 4 −1 0 −1 0 0−1 4 −1 0 −1 00 −1 4 0 0 −1−1 0 0 4 −1 00 −1 0 −1 4 −10 0 −1 0 −1 4
𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4𝑥5𝑥6
=
1000010000
Qual dos métodos iterativos que você conhece poderia ser aplicado a solução do
problema? Resolva o sistema linear pelo método escolhido.
RESOLVENDO PELO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
𝐽 = − 𝐷 + 𝐸 −1𝐹
𝐽 =
0 0,25 0 0,25 0 00 0,0625 0,25 0,0625 0,25 00 0,0156 0,0625 0,0156 0,0625 0,250 0,0625 0 0,0625 0,25 00 0,0313 0,0625 0,0313 0,125 0,250 0,0117 0,0313 0,0117 0,0469 0,125
Raio espectral = 0,3643
RESOLVENDO PELO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
Iter x Norma
Rel.
1 31,25 7,81 1,95 32,81 10,15 3,07
2
0,3095
2 35,15 11,81 3,71 36,32 12,79 4,12 0,11
3 37,03 13,38 4,37 37,45 13,74 4,53 0,05
4 37,71 13,95 4,62 37,86 14,08 4,67 0,02
5 37,95 14,17 4,71 38,01 14,21 4,73 0,01