métodos matemáticos em biologia de populações
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Quarta aula do curso de verão em métodos matemáticos em biologia de populações no IFT-UNESP em 2/2008.Fourth lecture on Mathematical Methods in POpulation Biology ( in portuguese). Feb'08, given at the Institute for Theoretical Physics in São Paulo. Undergrads level.TRANSCRIPT
MétodosMatemáticos
em Biologia dePopulações
R.A. Kraenkel
EpidemiasHistórias...
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação emregiõesSemi-áridasRegiões semi-áridas eáridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Métodos Matemáticos em Biologia dePopulações
Roberto André Kraenkel
Instituto de Física Teórica-UNESPSão Paulo
http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel
Aula IV
MétodosMatemáticos
em Biologia dePopulações
R.A. Kraenkel
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Vegetação emregiõesSemi-áridasRegiões semi-áridas eáridas
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A aula de hoje
1 EpidemiasHistórias...ModelosGlórias e Misérias
2 Vegetação em regiões Semi-áridasRegiões semi-áridas e áridasModeloHistereseGlóris e Misérias
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A aula de hoje
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2 Vegetação em regiões Semi-áridasRegiões semi-áridas e áridasModeloHistereseGlóris e Misérias
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Epidemias: históriasParta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
A Peste de Atenas.• A peste de Atenas foi uma
epidemia que grassou em430(AC) em Atenas, durantea Guerra do Peloponeso.
• Foi relatada por Tucídides:calores, sufocamento,convulsões , necroses dosdedos, ..morte.
• 1/3 da população foidizimada. Pericles, inclusive.
• Não se sabe que doença foi acausadora da epidemia.Tifoepidêmico é a mais provável.transmitida entre animais e ohomem por meio de piolhos.
• A epidemia aparentementeveio se alastrando a partir daÁfrica.
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Epidemias: históriasParta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
A Peste de Atenas.• A peste de Atenas foi uma
epidemia que grassou em430(AC) em Atenas, durantea Guerra do Peloponeso.
• Foi relatada por Tucídides:calores, sufocamento,convulsões , necroses dosdedos, ..morte.
• 1/3 da população foidizimada. Pericles, inclusive.
• Não se sabe que doença foi acausadora da epidemia.Tifoepidêmico é a mais provável.transmitida entre animais e ohomem por meio de piolhos.
• A epidemia aparentementeveio se alastrando a partir daÁfrica.
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Epidemias: históriasParta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
A Peste de Atenas.• A peste de Atenas foi uma
epidemia que grassou em430(AC) em Atenas, durantea Guerra do Peloponeso.
• Foi relatada por Tucídides:calores, sufocamento,convulsões , necroses dosdedos, ..morte.
• 1/3 da população foidizimada.
Pericles, inclusive.• Não se sabe que doença foi a
causadora da epidemia.Tifoepidêmico é a mais provável.transmitida entre animais e ohomem por meio de piolhos.
• A epidemia aparentementeveio se alastrando a partir daÁfrica.
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Epidemias: históriasParta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
A Peste de Atenas.• A peste de Atenas foi uma
epidemia que grassou em430(AC) em Atenas, durantea Guerra do Peloponeso.
• Foi relatada por Tucídides:calores, sufocamento,convulsões , necroses dosdedos, ..morte.
• 1/3 da população foidizimada. Pericles, inclusive.
• Não se sabe que doença foi acausadora da epidemia.Tifoepidêmico é a mais provável.transmitida entre animais e ohomem por meio de piolhos.
• A epidemia aparentementeveio se alastrando a partir daÁfrica.
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A Peste de Atenas.• A peste de Atenas foi uma
epidemia que grassou em430(AC) em Atenas, durantea Guerra do Peloponeso.
• Foi relatada por Tucídides:calores, sufocamento,convulsões , necroses dosdedos, ..morte.
• 1/3 da população foidizimada. Pericles, inclusive.
• Não se sabe que doença foi acausadora da epidemia.
Tifoepidêmico é a mais provável.transmitida entre animais e ohomem por meio de piolhos.
• A epidemia aparentementeveio se alastrando a partir daÁfrica.
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A Peste de Atenas.• A peste de Atenas foi uma
epidemia que grassou em430(AC) em Atenas, durantea Guerra do Peloponeso.
• Foi relatada por Tucídides:calores, sufocamento,convulsões , necroses dosdedos, ..morte.
• 1/3 da população foidizimada. Pericles, inclusive.
• Não se sabe que doença foi acausadora da epidemia.Tifoepidêmico é a mais provável.transmitida entre animais e ohomem por meio de piolhos.
• A epidemia aparentementeveio se alastrando a partir daÁfrica.
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A Peste de Atenas.• A peste de Atenas foi uma
epidemia que grassou em430(AC) em Atenas, durantea Guerra do Peloponeso.
• Foi relatada por Tucídides:calores, sufocamento,convulsões , necroses dosdedos, ..morte.
• 1/3 da população foidizimada. Pericles, inclusive.
• Não se sabe que doença foi acausadora da epidemia.Tifoepidêmico é a mais provável.transmitida entre animais e ohomem por meio de piolhos.
• A epidemia aparentementeveio se alastrando a partir daÁfrica.
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Epidemias: históriasParta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
A Peste de Atenas.• A peste de Atenas foi uma
epidemia que grassou em430(AC) em Atenas, durantea Guerra do Peloponeso.
• Foi relatada por Tucídides:calores, sufocamento,convulsões , necroses dosdedos, ..morte.
• 1/3 da população foidizimada. Pericles, inclusive.
• Não se sabe que doença foi acausadora da epidemia.Tifoepidêmico é a mais provável.transmitida entre animais e ohomem por meio de piolhos.
• A epidemia aparentementeveio se alastrando a partir daÁfrica.
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Epidemias: históriasDizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, noDecameron).
A Peste.• A peste é uma doença
infecciosa causada pelabactéria Yersinia pestis.
Hátrês formas;• pneumônica, afetando os
pulmões e sendotransmissível entre humanos.
• bubônica, inflamando osgânglios, transmitida porpulgas infectadas a aprtir deratos.
• septisêmica, espalhando paratodos os órgãos pela correntesangüínea.
• Não tratadas, sãofatais.Antibióticos sãoeficientes contra a peste .• Devem ser ministrados em
poucas horas...
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Epidemias: históriasDizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, noDecameron).
A Peste.• A peste é uma doença
infecciosa causada pelabactéria Yersinia pestis.Hátrês formas;
• pneumônica, afetando ospulmões e sendotransmissível entre humanos.
• bubônica, inflamando osgânglios, transmitida porpulgas infectadas a aprtir deratos.
• septisêmica, espalhando paratodos os órgãos pela correntesangüínea.
• Não tratadas, sãofatais.Antibióticos sãoeficientes contra a peste .• Devem ser ministrados em
poucas horas...
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A Peste.• A peste é uma doença
infecciosa causada pelabactéria Yersinia pestis.Hátrês formas;• pneumônica, afetando os
pulmões e sendotransmissível entre humanos.
• bubônica, inflamando osgânglios, transmitida porpulgas infectadas a aprtir deratos.
• septisêmica, espalhando paratodos os órgãos pela correntesangüínea.
• Não tratadas, sãofatais.Antibióticos sãoeficientes contra a peste .• Devem ser ministrados em
poucas horas...
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A Peste.• A peste é uma doença
infecciosa causada pelabactéria Yersinia pestis.Hátrês formas;• pneumônica, afetando os
pulmões e sendotransmissível entre humanos.
• bubônica, inflamando osgânglios, transmitida porpulgas infectadas a aprtir deratos.
• septisêmica, espalhando paratodos os órgãos pela correntesangüínea.
• Não tratadas, sãofatais.Antibióticos sãoeficientes contra a peste .• Devem ser ministrados em
poucas horas...
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A Peste.• A peste é uma doença
infecciosa causada pelabactéria Yersinia pestis.Hátrês formas;• pneumônica, afetando os
pulmões e sendotransmissível entre humanos.
• bubônica, inflamando osgânglios, transmitida porpulgas infectadas a aprtir deratos.
• septisêmica, espalhando paratodos os órgãos pela correntesangüínea.
• Não tratadas, sãofatais.Antibióticos sãoeficientes contra a peste .• Devem ser ministrados em
poucas horas...
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A Peste.• A peste é uma doença
infecciosa causada pelabactéria Yersinia pestis.Hátrês formas;• pneumônica, afetando os
pulmões e sendotransmissível entre humanos.
• bubônica, inflamando osgânglios, transmitida porpulgas infectadas a aprtir deratos.
• septisêmica, espalhando paratodos os órgãos pela correntesangüínea.
• Não tratadas, sãofatais.
Antibióticos sãoeficientes contra a peste .• Devem ser ministrados em
poucas horas...
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A Peste.• A peste é uma doença
infecciosa causada pelabactéria Yersinia pestis.Hátrês formas;• pneumônica, afetando os
pulmões e sendotransmissível entre humanos.
• bubônica, inflamando osgânglios, transmitida porpulgas infectadas a aprtir deratos.
• septisêmica, espalhando paratodos os órgãos pela correntesangüínea.
• Não tratadas, sãofatais.Antibióticos sãoeficientes contra a peste .
• Devem ser ministrados empoucas horas...
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Epidemias: históriasDizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, noDecameron).
A Peste.• A peste é uma doença
infecciosa causada pelabactéria Yersinia pestis.Hátrês formas;• pneumônica, afetando os
pulmões e sendotransmissível entre humanos.
• bubônica, inflamando osgânglios, transmitida porpulgas infectadas a aprtir deratos.
• septisêmica, espalhando paratodos os órgãos pela correntesangüínea.
• Não tratadas, sãofatais.Antibióticos sãoeficientes contra a peste .• Devem ser ministrados em
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Epidemias: histórias.A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.(E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
A Peste.
• Houve três grandespandemias de peste;• A peste de Justiniano, (541
D.C.), espalhando-se a partirde Constantinopla e matando25% da população da regiãomediterrânea.
• A peste negra, (1347),entrando pela Sicília, matou1/3 da população européia.
• A terceira pandemia,começando na China em 1855e matando 12 milhões depessoas na China e Índia.
• Ainda existe a peste hoje emdia, mas não de formaepidêmica. Entre 1987 e2001 houve 2847 mortes porpeste no mundo.
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Epidemias: histórias.A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.(E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
A Peste.• Houve três grandes
pandemias de peste;
• A peste de Justiniano, (541D.C.), espalhando-se a partirde Constantinopla e matando25% da população da regiãomediterrânea.
• A peste negra, (1347),entrando pela Sicília, matou1/3 da população européia.
• A terceira pandemia,começando na China em 1855e matando 12 milhões depessoas na China e Índia.
• Ainda existe a peste hoje emdia, mas não de formaepidêmica. Entre 1987 e2001 houve 2847 mortes porpeste no mundo.
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Epidemias: histórias.A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.(E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
A Peste.• Houve três grandes
pandemias de peste;• A peste de Justiniano, (541
D.C.), espalhando-se a partirde Constantinopla e matando25% da população da regiãomediterrânea.
• A peste negra, (1347),entrando pela Sicília, matou1/3 da população européia.
• A terceira pandemia,começando na China em 1855e matando 12 milhões depessoas na China e Índia.
• Ainda existe a peste hoje emdia, mas não de formaepidêmica. Entre 1987 e2001 houve 2847 mortes porpeste no mundo.
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Epidemias: histórias.A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.(E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
A Peste.• Houve três grandes
pandemias de peste;• A peste de Justiniano, (541
D.C.), espalhando-se a partirde Constantinopla e matando25% da população da regiãomediterrânea.
• A peste negra, (1347),entrando pela Sicília, matou1/3 da população européia.
• A terceira pandemia,começando na China em 1855e matando 12 milhões depessoas na China e Índia.
• Ainda existe a peste hoje emdia, mas não de formaepidêmica. Entre 1987 e2001 houve 2847 mortes porpeste no mundo.
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Epidemias: histórias.A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.(E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
A Peste.• Houve três grandes
pandemias de peste;• A peste de Justiniano, (541
D.C.), espalhando-se a partirde Constantinopla e matando25% da população da regiãomediterrânea.
• A peste negra, (1347),entrando pela Sicília, matou1/3 da população européia.
• A terceira pandemia,começando na China em 1855e matando 12 milhões depessoas na China e Índia.
• Ainda existe a peste hoje emdia, mas não de formaepidêmica. Entre 1987 e2001 houve 2847 mortes porpeste no mundo.
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Epidemias: histórias.A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.(E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
A Peste.• Houve três grandes
pandemias de peste;• A peste de Justiniano, (541
D.C.), espalhando-se a partirde Constantinopla e matando25% da população da regiãomediterrânea.
• A peste negra, (1347),entrando pela Sicília, matou1/3 da população européia.
• A terceira pandemia,começando na China em 1855e matando 12 milhões depessoas na China e Índia.
• Ainda existe a peste hoje emdia, mas não de formaepidêmica.
Entre 1987 e2001 houve 2847 mortes porpeste no mundo.
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Epidemias: histórias.A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.(E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
A Peste.• Houve três grandes
pandemias de peste;• A peste de Justiniano, (541
D.C.), espalhando-se a partirde Constantinopla e matando25% da população da regiãomediterrânea.
• A peste negra, (1347),entrando pela Sicília, matou1/3 da população européia.
• A terceira pandemia,começando na China em 1855e matando 12 milhões depessoas na China e Índia.
• Ainda existe a peste hoje emdia, mas não de formaepidêmica. Entre 1987 e2001 houve 2847 mortes porpeste no mundo.
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Epidemias: histórias.A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.(E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
A Peste.• Houve três grandes
pandemias de peste;• A peste de Justiniano, (541
D.C.), espalhando-se a partirde Constantinopla e matando25% da população da regiãomediterrânea.
• A peste negra, (1347),entrando pela Sicília, matou1/3 da população européia.
• A terceira pandemia,começando na China em 1855e matando 12 milhões depessoas na China e Índia.
• Ainda existe a peste hoje emdia, mas não de formaepidêmica. Entre 1987 e2001 houve 2847 mortes porpeste no mundo.
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Epidemias: histórias
Algumas Grandes Epidemias
Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá emáreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houveseis mortes.
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Algumas Grandes Epidemias
Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá emáreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houveseis mortes.
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Algumas Grandes Epidemias
Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005.
A maioria dos casos e dá emáreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houveseis mortes.
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Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá emáreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais.
Entre 1980 e 2005, houveseis mortes.
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Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá emáreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houveseis mortes.
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Epidemias: histórias
Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (PedroDantas).
A Gripe Espanhola.
• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe(influenza A) particularmente severa e mortífera.
• Ocorreu entre 1918 e 1919.• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.• A doença se transmite de pessoa para pessoa.• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia jádefinhava.
• O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!• Fim da gripe espanhola.• Fim da Grande Guerra.• Tudo de bom!.
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Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (PedroDantas).
A Gripe Espanhola.• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
(influenza A) particularmente severa e mortífera.
• Ocorreu entre 1918 e 1919.• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.• A doença se transmite de pessoa para pessoa.• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia jádefinhava.
• O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!• Fim da gripe espanhola.• Fim da Grande Guerra.• Tudo de bom!.
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Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (PedroDantas).
A Gripe Espanhola.• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
(influenza A) particularmente severa e mortífera.• Ocorreu entre 1918 e 1919.
• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.• A doença se transmite de pessoa para pessoa.• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia jádefinhava.
• O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!• Fim da gripe espanhola.• Fim da Grande Guerra.• Tudo de bom!.
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Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (PedroDantas).
A Gripe Espanhola.• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
(influenza A) particularmente severa e mortífera.• Ocorreu entre 1918 e 1919.• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
• A doença se transmite de pessoa para pessoa.• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia jádefinhava.
• O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!• Fim da gripe espanhola.• Fim da Grande Guerra.• Tudo de bom!.
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milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
• A doença se transmite de pessoa para pessoa.• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
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milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.• A doença se transmite de pessoa para pessoa.
• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 deoutubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia jádefinhava.
• O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!• Fim da gripe espanhola.• Fim da Grande Guerra.• Tudo de bom!.
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milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.• A doença se transmite de pessoa para pessoa.• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
outubro de 1918.
Em final de novembro, a epidemia jádefinhava.
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(influenza A) particularmente severa e mortífera.• Ocorreu entre 1918 e 1919.• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.• A doença se transmite de pessoa para pessoa.• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia jádefinhava.
• O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!• Fim da gripe espanhola.• Fim da Grande Guerra.• Tudo de bom!.
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Modelo Simples: hipóteses
• Para constrir um modelo matemático elementar para umaepidemia vamos começar com algumas simplificações .
• A população tem um número constante de indivíduos.• A população é espacialmente homogênea.
• Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e deespaço para o nosso modelo.
• Dividimos os indivíduos de nossa população em trêscategorias:• S susceptíveis;• I infectados;• R recuperados (imunes ou falecidos)
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Modelo Simples: hipóteses
• Para constrir um modelo matemático elementar para umaepidemia vamos começar com algumas simplificações .• A população tem um número constante de indivíduos.
• A população é espacialmente homogênea.
• Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e deespaço para o nosso modelo.
• Dividimos os indivíduos de nossa população em trêscategorias:• S susceptíveis;• I infectados;• R recuperados (imunes ou falecidos)
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• Para constrir um modelo matemático elementar para umaepidemia vamos começar com algumas simplificações .• A população tem um número constante de indivíduos.• A população é espacialmente homogênea.
• Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e deespaço para o nosso modelo.
• Dividimos os indivíduos de nossa população em trêscategorias:• S susceptíveis;• I infectados;• R recuperados (imunes ou falecidos)
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• Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e deespaço para o nosso modelo.
• Dividimos os indivíduos de nossa população em trêscategorias:• S susceptíveis;• I infectados;• R recuperados (imunes ou falecidos)
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• Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e deespaço para o nosso modelo.
• Dividimos os indivíduos de nossa população em trêscategorias:
• S susceptíveis;• I infectados;• R recuperados (imunes ou falecidos)
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• Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e deespaço para o nosso modelo.
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• I infectados;• R recuperados (imunes ou falecidos)
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• Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e deespaço para o nosso modelo.
• Dividimos os indivíduos de nossa população em trêscategorias:• S susceptíveis;• I infectados;
• R recuperados (imunes ou falecidos)
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• Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e deespaço para o nosso modelo.
• Dividimos os indivíduos de nossa população em trêscategorias:• S susceptíveis;• I infectados;• R recuperados (imunes ou falecidos)
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• Para constrir um modelo matemático elementar para umaepidemia vamos começar com algumas simplificações .• A população tem um número constante de indivíduos.• A população é espacialmente homogênea.
• Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e deespaço para o nosso modelo.
• Dividimos os indivíduos de nossa população em trêscategorias:• S susceptíveis;• I infectados;• R recuperados (imunes ou falecidos)
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Modelo de Kermack &McKendrick (1927)
A taxa de variação per capita dos susceptíveis é proporcional aonúmero de infectados:
dSdt
= −rSI
sendo r a taxa de infecção .
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Modelo de Kermack &McKendrick (1927)
A taxa de variação per capita dos infectados é proporcional aonúmero de infectados menos a taxa de remoção (recuperadosimunes ou mortos).
dSdt
= −rSI
dIdt
= −rSI − aI
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Modelo de Kermack &McKendrick (1927)
A taxa de variação per capita dos recuperados é constante.
dSdt
= −rSI
dIdt
= −rSI − aI
dRdt
= aI
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Modelo de Kermack &McKendrick (1927)
Temos portanto três equações para três variáveis:
dSdt
= −rSI
dIdt
= −rSI − aI
dRdt
= aI
ANALISEMOS-LAS!
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Análise do modelo I
dSdt = −rSI dI
dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Primeiramente notemos que, se somarmos as três equaçõesteremos:
d(S + I + R)dt
= 0⇒S + I + R = N
onde N é a população total, constante.• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0, I(0) = I0 e� R(0) = 0 �.
• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e desusceptíiveis (S0).
• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não umaepidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
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Análise do modelo I
dSdt = −rSI dI
dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Primeiramente notemos que, se somarmos as três equaçõesteremos:
d(S + I + R)dt
= 0⇒S + I + R = N
onde N é a população total, constante.• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0, I(0) = I0 e� R(0) = 0 �.
• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e desusceptíiveis (S0).
• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não umaepidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
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dSdt = −rSI dI
dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Primeiramente notemos que, se somarmos as três equaçõesteremos:
d(S + I + R)dt
= 0
⇒S + I + R = N
onde N é a população total, constante.• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0, I(0) = I0 e� R(0) = 0 �.
• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e desusceptíiveis (S0).
• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não umaepidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
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• Primeiramente notemos que, se somarmos as três equaçõesteremos:
d(S + I + R)dt
= 0⇒S + I + R = N
onde N é a população total, constante.
• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0, I(0) = I0 e
� R(0) = 0 �.• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e de
susceptíiveis (S0).• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não uma
epidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
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• Primeiramente notemos que, se somarmos as três equaçõesteremos:
d(S + I + R)dt
= 0⇒S + I + R = N
onde N é a população total, constante.• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0, I(0) = I0 e� R(0) = 0 �.
• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e desusceptíiveis (S0).
• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não umaepidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
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• Primeiramente notemos que, se somarmos as três equaçõesteremos:
d(S + I + R)dt
= 0⇒S + I + R = N
onde N é a população total, constante.• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos:
S(0) = S0, I(0) = I0 e� R(0) = 0 �.
• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e desusceptíiveis (S0).
• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não umaepidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
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• Primeiramente notemos que, se somarmos as três equaçõesteremos:
d(S + I + R)dt
= 0⇒S + I + R = N
onde N é a população total, constante.• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0,
I(0) = I0 e� R(0) = 0 �.
• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e desusceptíiveis (S0).
• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não umaepidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
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d(S + I + R)dt
= 0⇒S + I + R = N
onde N é a população total, constante.• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0, I(0) = I0 e
� R(0) = 0 �.• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e de
susceptíiveis (S0).• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não uma
epidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
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dSdt = −rSI dI
dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Primeiramente notemos que, se somarmos as três equaçõesteremos:
d(S + I + R)dt
= 0⇒S + I + R = N
onde N é a população total, constante.• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0, I(0) = I0 e� R(0) = 0 �.
• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e desusceptíiveis (S0).
• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não umaepidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
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dSdt = −rSI dI
dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Primeiramente notemos que, se somarmos as três equaçõesteremos:
d(S + I + R)dt
= 0⇒S + I + R = N
onde N é a população total, constante.• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0, I(0) = I0 e� R(0) = 0 �.
• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e desusceptíiveis (S0).
• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não umaepidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
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dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Primeiramente notemos que, se somarmos as três equaçõesteremos:
d(S + I + R)dt
= 0⇒S + I + R = N
onde N é a população total, constante.• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0, I(0) = I0 e� R(0) = 0 �.
• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e desusceptíiveis (S0).
• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não umaepidemia.
Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
MétodosMatemáticos
em Biologia dePopulações
R.A. Kraenkel
EpidemiasHistórias...
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação emregiõesSemi-áridasRegiões semi-áridas eáridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Análise do modelo I
dSdt = −rSI dI
dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Primeiramente notemos que, se somarmos as três equaçõesteremos:
d(S + I + R)dt
= 0⇒S + I + R = N
onde N é a população total, constante.• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0, I(0) = I0 e� R(0) = 0 �.
• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e desusceptíiveis (S0).
• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não umaepidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
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Análise do modelo I
dSdt = −rSI dI
dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Primeiramente notemos que, se somarmos as três equaçõesteremos:
d(S + I + R)dt
= 0⇒S + I + R = N
onde N é a população total, constante.• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0, I(0) = I0 e� R(0) = 0 �.
• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e desusceptíiveis (S0).
• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não umaepidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
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Análise do modelo IIdSdt = −rSI dI
dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Notemos inicialmente que em t = 0:»dIdt
–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)
• Se S0 < a/r entãoˆ dI
dt
˜0 < 0.
• Se S0 > a/r entãoˆ dI
dt
˜0 > 0 (Epidemia!)
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
dIdt
= −rSI − aI = I(rS− a) < 0
e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
• Se S0 > a/r haverá epidemia ( poisˆ dI
dt
˜0 > 0). Note porém que I(t) não
cresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.
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Análise do modelo IIdSdt = −rSI dI
dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Notemos inicialmente que em t = 0:
»dIdt
–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)
• Se S0 < a/r entãoˆ dI
dt
˜0 < 0.
• Se S0 > a/r entãoˆ dI
dt
˜0 > 0 (Epidemia!)
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
dIdt
= −rSI − aI = I(rS− a) < 0
e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
• Se S0 > a/r haverá epidemia ( poisˆ dI
dt
˜0 > 0). Note porém que I(t) não
cresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.
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dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Notemos inicialmente que em t = 0:»dIdt
–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)
• Se S0 < a/r entãoˆ dI
dt
˜0 < 0.
• Se S0 > a/r entãoˆ dI
dt
˜0 > 0 (Epidemia!)
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
dIdt
= −rSI − aI = I(rS− a) < 0
e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
• Se S0 > a/r haverá epidemia ( poisˆ dI
dt
˜0 > 0). Note porém que I(t) não
cresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.
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dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Notemos inicialmente que em t = 0:»dIdt
–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)
• Se S0 < a/r então
ˆ dIdt
˜0 < 0.
• Se S0 > a/r entãoˆ dI
dt
˜0 > 0 (Epidemia!)
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
dIdt
= −rSI − aI = I(rS− a) < 0
e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
• Se S0 > a/r haverá epidemia ( poisˆ dI
dt
˜0 > 0). Note porém que I(t) não
cresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.
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dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Notemos inicialmente que em t = 0:»dIdt
–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)
• Se S0 < a/r entãoˆ dI
dt
˜0 < 0.
• Se S0 > a/r entãoˆ dI
dt
˜0 > 0 (Epidemia!)
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
dIdt
= −rSI − aI = I(rS− a) < 0
e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
• Se S0 > a/r haverá epidemia ( poisˆ dI
dt
˜0 > 0). Note porém que I(t) não
cresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.
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• Notemos inicialmente que em t = 0:»dIdt
–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)
• Se S0 < a/r entãoˆ dI
dt
˜0 < 0.
• Se S0 > a/r então
ˆ dIdt
˜0 > 0 (Epidemia!)
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
dIdt
= −rSI − aI = I(rS− a) < 0
e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
• Se S0 > a/r haverá epidemia ( poisˆ dI
dt
˜0 > 0). Note porém que I(t) não
cresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.
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dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Notemos inicialmente que em t = 0:»dIdt
–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)
• Se S0 < a/r entãoˆ dI
dt
˜0 < 0.
• Se S0 > a/r entãoˆ dI
dt
˜0 > 0
(Epidemia!)• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
dIdt
= −rSI − aI = I(rS− a) < 0
e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
• Se S0 > a/r haverá epidemia ( poisˆ dI
dt
˜0 > 0). Note porém que I(t) não
cresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.
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• Notemos inicialmente que em t = 0:»dIdt
–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)
• Se S0 < a/r entãoˆ dI
dt
˜0 < 0.
• Se S0 > a/r entãoˆ dI
dt
˜0 > 0 (Epidemia!)
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
dIdt
= −rSI − aI = I(rS− a) < 0
e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
• Se S0 > a/r haverá epidemia ( poisˆ dI
dt
˜0 > 0). Note porém que I(t) não
cresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.
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dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Notemos inicialmente que em t = 0:»dIdt
–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)
• Se S0 < a/r entãoˆ dI
dt
˜0 < 0.
• Se S0 > a/r entãoˆ dI
dt
˜0 > 0 (Epidemia!)
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.
• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
dIdt
= −rSI − aI = I(rS− a) < 0
e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
• Se S0 > a/r haverá epidemia ( poisˆ dI
dt
˜0 > 0). Note porém que I(t) não
cresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.
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dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Notemos inicialmente que em t = 0:»dIdt
–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)
• Se S0 < a/r entãoˆ dI
dt
˜0 < 0.
• Se S0 > a/r entãoˆ dI
dt
˜0 > 0 (Epidemia!)
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r
então S(t) < a/r para todo t
dIdt
= −rSI − aI = I(rS− a) < 0
e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
• Se S0 > a/r haverá epidemia ( poisˆ dI
dt
˜0 > 0). Note porém que I(t) não
cresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.
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Análise do modelo IIdSdt = −rSI dI
dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Notemos inicialmente que em t = 0:»dIdt
–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)
• Se S0 < a/r entãoˆ dI
dt
˜0 < 0.
• Se S0 > a/r entãoˆ dI
dt
˜0 > 0 (Epidemia!)
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
dIdt
= −rSI − aI = I(rS− a) < 0
e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
• Se S0 > a/r haverá epidemia ( poisˆ dI
dt
˜0 > 0). Note porém que I(t) não
cresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.
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Análise do modelo IIdSdt = −rSI dI
dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Notemos inicialmente que em t = 0:»dIdt
–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)
• Se S0 < a/r entãoˆ dI
dt
˜0 < 0.
• Se S0 > a/r entãoˆ dI
dt
˜0 > 0 (Epidemia!)
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
dIdt
= −rSI − aI = I(rS− a) < 0
e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
• Se S0 > a/r haverá epidemia ( poisˆ dI
dt
˜0 > 0). Note porém que I(t) não
cresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.
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• Notemos inicialmente que em t = 0:»dIdt
–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)
• Se S0 < a/r entãoˆ dI
dt
˜0 < 0.
• Se S0 > a/r entãoˆ dI
dt
˜0 > 0 (Epidemia!)
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
dIdt
= −rSI − aI = I(rS− a) < 0
e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
• Se S0 > a/r haverá epidemia ( poisˆ dI
dt
˜0 > 0). Note porém que I(t) não
cresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.
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Análise do modelo IIdSdt = −rSI dI
dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Notemos inicialmente que em t = 0:»dIdt
–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)
• Se S0 < a/r entãoˆ dI
dt
˜0 < 0.
• Se S0 > a/r entãoˆ dI
dt
˜0 > 0 (Epidemia!)
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
dIdt
= −rSI − aI = I(rS− a) < 0
e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
• Se S0 > a/r haverá epidemia ( poisˆ dI
dt
˜0 > 0).
Note porém que I(t) nãocresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.
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dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Notemos inicialmente que em t = 0:»dIdt
–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)
• Se S0 < a/r entãoˆ dI
dt
˜0 < 0.
• Se S0 > a/r entãoˆ dI
dt
˜0 > 0 (Epidemia!)
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
dIdt
= −rSI − aI = I(rS− a) < 0
e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
• Se S0 > a/r haverá epidemia ( poisˆ dI
dt
˜0 > 0). Note porém que I(t) não
cresce indefinidamente,
e depois de um certo tempo torna-se negativo.
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Análise do modelo IIdSdt = −rSI dI
dt = −rSI − aI dRdt = aI
• Notemos inicialmente que em t = 0:»dIdt
–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)
• Se S0 < a/r entãoˆ dI
dt
˜0 < 0.
• Se S0 > a/r entãoˆ dI
dt
˜0 > 0 (Epidemia!)
• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
dIdt
= −rSI − aI = I(rS− a) < 0
e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
• Se S0 > a/r haverá epidemia ( poisˆ dI
dt
˜0 > 0). Note porém que I(t) não
cresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.
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Histerese
Glóris e Misérias
Análise do modelo III
Em resumo...
• Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há.• Ou:
R0 ≡S0ra
> 1
é a condição de existência de uma epidemia.• R0 é chamada de Razão Reprodutiva Básica.• Mesmo em modelos mais completos, podemos definir um
parâmetro análogo.
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Em resumo...
• Se S0 > a/r há epidemia,
e se S0 < a/r, não há.• Ou:
R0 ≡S0ra
> 1
é a condição de existência de uma epidemia.• R0 é chamada de Razão Reprodutiva Básica.• Mesmo em modelos mais completos, podemos definir um
parâmetro análogo.
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Em resumo...
• Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há.
• Ou:
R0 ≡S0ra
> 1
é a condição de existência de uma epidemia.• R0 é chamada de Razão Reprodutiva Básica.• Mesmo em modelos mais completos, podemos definir um
parâmetro análogo.
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Em resumo...
• Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há.• Ou:
R0 ≡S0ra
> 1
é a condição de existência de uma epidemia.• R0 é chamada de Razão Reprodutiva Básica.• Mesmo em modelos mais completos, podemos definir um
parâmetro análogo.
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• Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há.• Ou:
R0 ≡S0ra
> 1
é a condição de existência de uma epidemia.• R0 é chamada de Razão Reprodutiva Básica.• Mesmo em modelos mais completos, podemos definir um
parâmetro análogo.
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• Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há.• Ou:
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> 1
é a condição de existência de uma epidemia.
• R0 é chamada de Razão Reprodutiva Básica.• Mesmo em modelos mais completos, podemos definir um
parâmetro análogo.
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• Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há.• Ou:
R0 ≡S0ra
> 1
é a condição de existência de uma epidemia.• R0 é chamada de
Razão Reprodutiva Básica.• Mesmo em modelos mais completos, podemos definir um
parâmetro análogo.
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• Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há.• Ou:
R0 ≡S0ra
> 1
é a condição de existência de uma epidemia.• R0 é chamada de Razão Reprodutiva Básica.
• Mesmo em modelos mais completos, podemos definir umparâmetro análogo.
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Em resumo...
• Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há.• Ou:
R0 ≡S0ra
> 1
é a condição de existência de uma epidemia.• R0 é chamada de Razão Reprodutiva Básica.• Mesmo em modelos mais completos, podemos definir um
parâmetro análogo.
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Em resumo...
• Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há.• Ou:
R0 ≡S0ra
> 1
é a condição de existência de uma epidemia.• R0 é chamada de Razão Reprodutiva Básica.• Mesmo em modelos mais completos, podemos definir um
parâmetro análogo.
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Glóris e Misérias
Análise do Modelo IV
dSdt = −rSI dI
dt = −rSI − aI dRdt = aI
Fazendo sentido de R0 > 1.• O que nos diz a condição R0 ≡ S0r
a > 1 ?
• Passo a passo:• a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/a
pode ser visto como o tempo característico da infecção .• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente
tem-se uma epidemia. Faz sentido.• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde
pública.
• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.
• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.
MétodosMatemáticos
em Biologia dePopulações
R.A. Kraenkel
EpidemiasHistórias...
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação emregiõesSemi-áridasRegiões semi-áridas eáridas
Modelo
Histerese
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Fazendo sentido de R0 > 1.• O que nos diz a condição R0 ≡ S0r
a > 1 ?
• Passo a passo:• a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/a
pode ser visto como o tempo característico da infecção .• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente
tem-se uma epidemia. Faz sentido.• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde
pública.
• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.
• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.
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• Passo a passo:
• a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/apode ser visto como o tempo característico da infecção .• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente
tem-se uma epidemia. Faz sentido.• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde
pública.
• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.
• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.
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• Passo a passo:• a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados.
1/apode ser visto como o tempo característico da infecção .• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente
tem-se uma epidemia. Faz sentido.• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde
pública.
• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.
• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.
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• Passo a passo:• a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/a
pode ser visto como o tempo característico da infecção .
• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmentetem-se uma epidemia. Faz sentido.
• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúdepública.
• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.
• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.
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pode ser visto como o tempo característico da infecção .• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente
tem-se uma epidemia.
Faz sentido.• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde
pública.
• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.
• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.
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pode ser visto como o tempo característico da infecção .• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente
tem-se uma epidemia. Faz sentido.
• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúdepública.
• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.
• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.
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pode ser visto como o tempo característico da infecção .• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente
tem-se uma epidemia. Faz sentido.• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde
pública.
• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.
• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.
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pública.
• Quanto maior S0 maior R0.
Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.
• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.
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pode ser visto como o tempo característico da infecção .• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente
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pública.
• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja,
quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.
• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.
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tem-se uma epidemia. Faz sentido.• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde
pública.
• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia.
Faz sentido também.• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.
Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.
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pode ser visto como o tempo característico da infecção .• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente
tem-se uma epidemia. Faz sentido.• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde
pública.
• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.
• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.
Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.
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pode ser visto como o tempo característico da infecção .• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente
tem-se uma epidemia. Faz sentido.• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde
pública.
• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.
• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.Quanto maior, pior a doença.
Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.
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• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.
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• Passo a passo:• a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/a
pode ser visto como o tempo característico da infecção .• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente
tem-se uma epidemia. Faz sentido.• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde
pública.
• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.
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Nada como um gráfico...
• Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase.
• Temos três variáveis, mas como S + I + R = N, podemoseliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I.
Note no diagrama ao ladoque todas as trajetórias vãoà I = 0 quando t →∞.Toda epidemia acaba!Que bom!.
Repare que S(t→∞) 6=0. Nem todos pegam a in-fecção .
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• Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase.• Temos três variáveis,
mas como S + I + R = N, podemoseliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I.
Note no diagrama ao ladoque todas as trajetórias vãoà I = 0 quando t →∞.Toda epidemia acaba!Que bom!.
Repare que S(t→∞) 6=0. Nem todos pegam a in-fecção .
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Nada como um gráfico...
• Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase.• Temos três variáveis, mas como S + I + R = N, podemos
eliminar uma delas.
Por exemplo, R. Ficamos com S e I.
Note no diagrama ao ladoque todas as trajetórias vãoà I = 0 quando t →∞.Toda epidemia acaba!Que bom!.
Repare que S(t→∞) 6=0. Nem todos pegam a in-fecção .
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• Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase.• Temos três variáveis, mas como S + I + R = N, podemos
eliminar uma delas. Por exemplo, R.
Ficamos com S e I.
Note no diagrama ao ladoque todas as trajetórias vãoà I = 0 quando t →∞.Toda epidemia acaba!Que bom!.
Repare que S(t→∞) 6=0. Nem todos pegam a in-fecção .
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eliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I.
Note no diagrama ao ladoque todas as trajetórias vãoà I = 0 quando t →∞.Toda epidemia acaba!Que bom!.
Repare que S(t→∞) 6=0. Nem todos pegam a in-fecção .
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Note no diagrama ao ladoque todas as trajetórias vãoà I = 0 quando t →∞.Toda epidemia acaba!Que bom!.
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Note no diagrama ao ladoque todas as trajetórias vãoà I = 0 quando t →∞.
Toda epidemia acaba!Que bom!.
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eliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I.
Note no diagrama ao ladoque todas as trajetórias vãoà I = 0 quando t →∞.Toda epidemia acaba!
Que bom!.
Repare que S(t→∞) 6=0. Nem todos pegam a in-fecção .
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eliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I.
Note no diagrama ao ladoque todas as trajetórias vãoà I = 0 quando t →∞.Toda epidemia acaba!Que bom!.
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• Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase.• Temos três variáveis, mas como S + I + R = N, podemos
eliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I.
Note no diagrama ao ladoque todas as trajetórias vãoà I = 0 quando t →∞.Toda epidemia acaba!Que bom!.
Repare que S(t→∞) 6=0. Nem todos pegam a in-fecção .
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Glória e Miséria do Modelo
Glórias
• O modelo é simples.• É adequado a alguns casos. Sobretudo
para doenças que podem passar depessoa-a-pessoa.
• Ao lado, uma comparação do modelo comos registros de uma epidemia de gripenum internato inglês.
• As curvas são obtidas por integraçãonumérica.
• Ademais, o modelo pode ser visto com ponto de partida para modelosmais complexos.
• Podemos incluir novos compartimentos, por exemplo.• Podemos incluir também incluir crescimento demográfico.
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Glórias• O modelo é simples.
• É adequado a alguns casos. Sobretudopara doenças que podem passar depessoa-a-pessoa.
• Ao lado, uma comparação do modelo comos registros de uma epidemia de gripenum internato inglês.
• As curvas são obtidas por integraçãonumérica.
• Ademais, o modelo pode ser visto com ponto de partida para modelosmais complexos.
• Podemos incluir novos compartimentos, por exemplo.• Podemos incluir também incluir crescimento demográfico.
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Glórias• O modelo é simples.• É adequado a alguns casos.
Sobretudopara doenças que podem passar depessoa-a-pessoa.
• Ao lado, uma comparação do modelo comos registros de uma epidemia de gripenum internato inglês.
• As curvas são obtidas por integraçãonumérica.
• Ademais, o modelo pode ser visto com ponto de partida para modelosmais complexos.
• Podemos incluir novos compartimentos, por exemplo.• Podemos incluir também incluir crescimento demográfico.
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Glórias• O modelo é simples.• É adequado a alguns casos. Sobretudo
para doenças que podem passar depessoa-a-pessoa.
• Ao lado, uma comparação do modelo comos registros de uma epidemia de gripenum internato inglês.
• As curvas são obtidas por integraçãonumérica.
• Ademais, o modelo pode ser visto com ponto de partida para modelosmais complexos.
• Podemos incluir novos compartimentos, por exemplo.• Podemos incluir também incluir crescimento demográfico.
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para doenças que podem passar depessoa-a-pessoa.
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• As curvas são obtidas por integraçãonumérica.
• Ademais, o modelo pode ser visto com ponto de partida para modelosmais complexos.
• Podemos incluir novos compartimentos, por exemplo.• Podemos incluir também incluir crescimento demográfico.
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• As curvas são obtidas por integraçãonumérica.
• Ademais, o modelo pode ser visto com ponto de partida para modelosmais complexos.
• Podemos incluir novos compartimentos, por exemplo.• Podemos incluir também incluir crescimento demográfico.
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Glórias• O modelo é simples.• É adequado a alguns casos. Sobretudo
para doenças que podem passar depessoa-a-pessoa.
• Ao lado, uma comparação do modelo comos registros de uma epidemia de gripenum internato inglês.
• As curvas são obtidas por integraçãonumérica.
• Ademais, o modelo pode ser visto com ponto de partida para modelosmais complexos.
• Podemos incluir novos compartimentos, por exemplo.• Podemos incluir também incluir crescimento demográfico.
MétodosMatemáticos
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R.A. Kraenkel
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Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação emregiõesSemi-áridasRegiões semi-áridas eáridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Glória e Miséria do Modelo
Glórias• O modelo é simples.• É adequado a alguns casos. Sobretudo
para doenças que podem passar depessoa-a-pessoa.
• Ao lado, uma comparação do modelo comos registros de uma epidemia de gripenum internato inglês.
• As curvas são obtidas por integraçãonumérica.
• Ademais, o modelo pode ser visto com ponto de partida para modelosmais complexos.
• Podemos incluir novos compartimentos, por exemplo.
• Podemos incluir também incluir crescimento demográfico.
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Glória e Miséria do Modelo
Glórias• O modelo é simples.• É adequado a alguns casos. Sobretudo
para doenças que podem passar depessoa-a-pessoa.
• Ao lado, uma comparação do modelo comos registros de uma epidemia de gripenum internato inglês.
• As curvas são obtidas por integraçãonumérica.
• Ademais, o modelo pode ser visto com ponto de partida para modelosmais complexos.
• Podemos incluir novos compartimentos, por exemplo.• Podemos incluir também incluir crescimento demográfico.
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Histerese
Glóris e Misérias
Glória e Miséra do Modelo
Misérias
Figure: Rev. Latino-Am.Enfermagem vol.14 no.6 RibeirãoPreto Nov./Dec. 2006
• O modelo pressupõe homogeneidadeespacial.
• Ao lado, a distribuição da incidência detuberculose em Ribeirão Preto em 2002.Nada homogênea.
• É pouco adequado para modelos detransmissão de moléstias por vetores.
• É totalmente macroscópico: não levamosem conta explicitamente probabilidadesde transmissão , etc..
• Tampouco é verdade que "toda epidemiapassa". Após a sua passagem, poderia segerar uma situação endêmica.Isso não estáno modelo.
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Glória e Miséra do Modelo
Misérias
Figure: Rev. Latino-Am.Enfermagem vol.14 no.6 RibeirãoPreto Nov./Dec. 2006
• O modelo pressupõe homogeneidadeespacial.
• Ao lado, a distribuição da incidência detuberculose em Ribeirão Preto em 2002.Nada homogênea.
• É pouco adequado para modelos detransmissão de moléstias por vetores.
• É totalmente macroscópico: não levamosem conta explicitamente probabilidadesde transmissão , etc..
• Tampouco é verdade que "toda epidemiapassa". Após a sua passagem, poderia segerar uma situação endêmica.Isso não estáno modelo.
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Figure: Rev. Latino-Am.Enfermagem vol.14 no.6 RibeirãoPreto Nov./Dec. 2006
• O modelo pressupõe homogeneidadeespacial.
• Ao lado, a distribuição da incidência detuberculose em Ribeirão Preto em 2002.
Nada homogênea.• É pouco adequado para modelos de
transmissão de moléstias por vetores.• É totalmente macroscópico: não levamos
em conta explicitamente probabilidadesde transmissão , etc..
• Tampouco é verdade que "toda epidemiapassa". Após a sua passagem, poderia segerar uma situação endêmica.Isso não estáno modelo.
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Figure: Rev. Latino-Am.Enfermagem vol.14 no.6 RibeirãoPreto Nov./Dec. 2006
• O modelo pressupõe homogeneidadeespacial.
• Ao lado, a distribuição da incidência detuberculose em Ribeirão Preto em 2002.Nada homogênea.
• É pouco adequado para modelos detransmissão de moléstias por vetores.
• É totalmente macroscópico: não levamosem conta explicitamente probabilidadesde transmissão , etc..
• Tampouco é verdade que "toda epidemiapassa". Após a sua passagem, poderia segerar uma situação endêmica.Isso não estáno modelo.
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• O modelo pressupõe homogeneidadeespacial.
• Ao lado, a distribuição da incidência detuberculose em Ribeirão Preto em 2002.Nada homogênea.
• É pouco adequado para modelos detransmissão de moléstias por vetores.
• É totalmente macroscópico: não levamosem conta explicitamente probabilidadesde transmissão , etc..
• Tampouco é verdade que "toda epidemiapassa". Após a sua passagem, poderia segerar uma situação endêmica.Isso não estáno modelo.
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• O modelo pressupõe homogeneidadeespacial.
• Ao lado, a distribuição da incidência detuberculose em Ribeirão Preto em 2002.Nada homogênea.
• É pouco adequado para modelos detransmissão de moléstias por vetores.
• É totalmente macroscópico:
não levamosem conta explicitamente probabilidadesde transmissão , etc..
• Tampouco é verdade que "toda epidemiapassa". Após a sua passagem, poderia segerar uma situação endêmica.Isso não estáno modelo.
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• O modelo pressupõe homogeneidadeespacial.
• Ao lado, a distribuição da incidência detuberculose em Ribeirão Preto em 2002.Nada homogênea.
• É pouco adequado para modelos detransmissão de moléstias por vetores.
• É totalmente macroscópico: não levamosem conta explicitamente probabilidadesde transmissão , etc..
• Tampouco é verdade que "toda epidemiapassa".
Após a sua passagem, poderia segerar uma situação endêmica.Isso não estáno modelo.
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• O modelo pressupõe homogeneidadeespacial.
• Ao lado, a distribuição da incidência detuberculose em Ribeirão Preto em 2002.Nada homogênea.
• É pouco adequado para modelos detransmissão de moléstias por vetores.
• É totalmente macroscópico: não levamosem conta explicitamente probabilidadesde transmissão , etc..
• Tampouco é verdade que "toda epidemiapassa". Após a sua passagem, poderia segerar uma situação endêmica.
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• O modelo pressupõe homogeneidadeespacial.
• Ao lado, a distribuição da incidência detuberculose em Ribeirão Preto em 2002.Nada homogênea.
• É pouco adequado para modelos detransmissão de moléstias por vetores.
• É totalmente macroscópico: não levamosem conta explicitamente probabilidadesde transmissão , etc..
• Tampouco é verdade que "toda epidemiapassa". Após a sua passagem, poderia segerar uma situação endêmica.Isso não estáno modelo.
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• O modelo pressupõe homogeneidadeespacial.
• Ao lado, a distribuição da incidência detuberculose em Ribeirão Preto em 2002.Nada homogênea.
• É pouco adequado para modelos detransmissão de moléstias por vetores.
• É totalmente macroscópico: não levamosem conta explicitamente probabilidadesde transmissão , etc..
• Tampouco é verdade que "toda epidemiapassa". Após a sua passagem, poderia segerar uma situação endêmica.Isso não estáno modelo.
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Glóris e Misérias
Vegetação em Regiões Semi-áridas
Eremologia: ciência das regiões áridas.
Figure: Regiões áridas e semi-áridas no mundo
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Eremologia: ciência das regiões áridas.
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Vegetação em Regiões Semi-áridas
Figure: Sertão da Bahia
• Consideremos a cobertura vegetal deregiões em que a água é escassa.
• Neste caso, a água é um fator limitante.• Ao contrário de regiões tropicais, aonde
água e luz são abundantes, e os fatoreslimitantes vem do próprio terreno, ou dacompetição inter-específica.
• Desejamos escrever um modelomatemático (simples!!) para descrever ainter-relação entre a biomassa vegetal e aquantidade de água na terra numa regiãosemi-árida.
• MÃOS À OBRA!
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Figure: Sertão da Bahia
• Consideremos a cobertura vegetal deregiões em que a água é escassa.
• Neste caso, a água é um fator limitante.• Ao contrário de regiões tropicais, aonde
água e luz são abundantes, e os fatoreslimitantes vem do próprio terreno, ou dacompetição inter-específica.
• Desejamos escrever um modelomatemático (simples!!) para descrever ainter-relação entre a biomassa vegetal e aquantidade de água na terra numa regiãosemi-árida.
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• Consideremos a cobertura vegetal deregiões em que a água é escassa.
• Neste caso, a água é um fator limitante.
• Ao contrário de regiões tropicais, aondeágua e luz são abundantes, e os fatoreslimitantes vem do próprio terreno, ou dacompetição inter-específica.
• Desejamos escrever um modelomatemático (simples!!) para descrever ainter-relação entre a biomassa vegetal e aquantidade de água na terra numa regiãosemi-árida.
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• Consideremos a cobertura vegetal deregiões em que a água é escassa.
• Neste caso, a água é um fator limitante.• Ao contrário de regiões tropicais, aonde
água e luz são abundantes, e os fatoreslimitantes vem do próprio terreno, ou dacompetição inter-específica.
• Desejamos escrever um modelomatemático (simples!!) para descrever ainter-relação entre a biomassa vegetal e aquantidade de água na terra numa regiãosemi-árida.
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• Consideremos a cobertura vegetal deregiões em que a água é escassa.
• Neste caso, a água é um fator limitante.• Ao contrário de regiões tropicais, aonde
água e luz são abundantes, e os fatoreslimitantes vem do próprio terreno, ou dacompetição inter-específica.
• Desejamos escrever um modelomatemático
(simples!!) para descrever ainter-relação entre a biomassa vegetal e aquantidade de água na terra numa regiãosemi-árida.
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• Consideremos a cobertura vegetal deregiões em que a água é escassa.
• Neste caso, a água é um fator limitante.• Ao contrário de regiões tropicais, aonde
água e luz são abundantes, e os fatoreslimitantes vem do próprio terreno, ou dacompetição inter-específica.
• Desejamos escrever um modelomatemático (simples!!)
para descrever ainter-relação entre a biomassa vegetal e aquantidade de água na terra numa regiãosemi-árida.
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• Consideremos a cobertura vegetal deregiões em que a água é escassa.
• Neste caso, a água é um fator limitante.• Ao contrário de regiões tropicais, aonde
água e luz são abundantes, e os fatoreslimitantes vem do próprio terreno, ou dacompetição inter-específica.
• Desejamos escrever um modelomatemático (simples!!) para descrever ainter-relação entre a biomassa vegetal e aquantidade de água na terra numa regiãosemi-árida.
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Figure: Sertão da Bahia
• Consideremos a cobertura vegetal deregiões em que a água é escassa.
• Neste caso, a água é um fator limitante.• Ao contrário de regiões tropicais, aonde
água e luz são abundantes, e os fatoreslimitantes vem do próprio terreno, ou dacompetição inter-específica.
• Desejamos escrever um modelomatemático (simples!!) para descrever ainter-relação entre a biomassa vegetal e aquantidade de água na terra numa regiãosemi-árida.
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Histerese
Glóris e Misérias
Modelo de Klausmeier
Figure: Colorado, USA
Figure: Kalahari, Namíbia
• Água e vegetação , numa primeiraabordagem, têm uma relação quelembra a de predador-presa.
• A presença da água é favorável aocrescimento da vegetação .
• A vegetação consome água.• No entanto, um modelo
predador-presa convencional não éadequado.
• Consideremos duas variáveis:• w, a quantidade de água no
solo.• u, a biomassa vegetal ( aprox.
proporcional à área dacobertura vegetal).
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Modelo de Klausmeier
Figure: Colorado, USA
Figure: Kalahari, Namíbia
• Água e vegetação , numa primeiraabordagem, têm uma relação quelembra a de predador-presa.
• A presença da água é favorável aocrescimento da vegetação .
• A vegetação consome água.• No entanto, um modelo
predador-presa convencional não éadequado.
• Consideremos duas variáveis:• w, a quantidade de água no
solo.• u, a biomassa vegetal ( aprox.
proporcional à área dacobertura vegetal).
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Modelo de Klausmeier
Figure: Colorado, USA
Figure: Kalahari, Namíbia
• Água e vegetação , numa primeiraabordagem, têm uma relação quelembra a de predador-presa.
• A presença da água é favorável aocrescimento da vegetação .
• A vegetação consome água.• No entanto, um modelo
predador-presa convencional não éadequado.
• Consideremos duas variáveis:• w, a quantidade de água no
solo.• u, a biomassa vegetal ( aprox.
proporcional à área dacobertura vegetal).
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Modelo de Klausmeier
Figure: Colorado, USA
Figure: Kalahari, Namíbia
• Água e vegetação , numa primeiraabordagem, têm uma relação quelembra a de predador-presa.
• A presença da água é favorável aocrescimento da vegetação .
• A vegetação consome água.• No entanto, um modelo
predador-presa convencional não éadequado.
• Consideremos duas variáveis:• w, a quantidade de água no
solo.• u, a biomassa vegetal ( aprox.
proporcional à área dacobertura vegetal).
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Modelo de Klausmeier
Figure: Colorado, USA
Figure: Kalahari, Namíbia
• Água e vegetação , numa primeiraabordagem, têm uma relação quelembra a de predador-presa.
• A presença da água é favorável aocrescimento da vegetação .
• A vegetação consome água.• No entanto, um modelo
predador-presa convencional não éadequado.
• Consideremos duas variáveis:• w, a quantidade de água no
solo.• u, a biomassa vegetal ( aprox.
proporcional à área dacobertura vegetal).
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Figure: Colorado, USA
Figure: Kalahari, Namíbia
• Água e vegetação , numa primeiraabordagem, têm uma relação quelembra a de predador-presa.
• A presença da água é favorável aocrescimento da vegetação .
• A vegetação consome água.
• No entanto, um modelopredador-presa convencional não éadequado.
• Consideremos duas variáveis:• w, a quantidade de água no
solo.• u, a biomassa vegetal ( aprox.
proporcional à área dacobertura vegetal).
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Figure: Colorado, USA
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• Água e vegetação , numa primeiraabordagem, têm uma relação quelembra a de predador-presa.
• A presença da água é favorável aocrescimento da vegetação .
• A vegetação consome água.• No entanto, um modelo
predador-presa convencional não éadequado.
• Consideremos duas variáveis:• w, a quantidade de água no
solo.• u, a biomassa vegetal ( aprox.
proporcional à área dacobertura vegetal).
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Figure: Colorado, USA
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• Água e vegetação , numa primeiraabordagem, têm uma relação quelembra a de predador-presa.
• A presença da água é favorável aocrescimento da vegetação .
• A vegetação consome água.• No entanto, um modelo
predador-presa convencional não éadequado.
• Consideremos duas variáveis:
• w, a quantidade de água nosolo.
• u, a biomassa vegetal ( aprox.proporcional à área dacobertura vegetal).
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• Água e vegetação , numa primeiraabordagem, têm uma relação quelembra a de predador-presa.
• A presença da água é favorável aocrescimento da vegetação .
• A vegetação consome água.• No entanto, um modelo
predador-presa convencional não éadequado.
• Consideremos duas variáveis:• w, a quantidade de água no
solo.
• u, a biomassa vegetal ( aprox.proporcional à área dacobertura vegetal).
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• Água e vegetação , numa primeiraabordagem, têm uma relação quelembra a de predador-presa.
• A presença da água é favorável aocrescimento da vegetação .
• A vegetação consome água.• No entanto, um modelo
predador-presa convencional não éadequado.
• Consideremos duas variáveis:• w, a quantidade de água no
solo.• u, a biomassa vegetal ( aprox.
proporcional à área dacobertura vegetal).
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Equação para o volume d’água no solo
dwdt
= a|{z}precipitação
− bw|{z}evaporação
− cu2w|{z}absorção pela vegetação
A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora emuma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).
Equação para a biomassa
dudt
= −du|{z}morte natural da vegetação
+ eu2w|{z}absorção de água
A vegetação tem uma taxa de morte natural por volume constante (d) e absorve aágua com uma taxa por volume (e) proporcional a uw.
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Equação para o volume d’água no solo
dwdt
= a|{z}precipitação
− bw|{z}evaporação
− cu2w|{z}absorção pela vegetação
A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora emuma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).
Equação para a biomassa
dudt
= −du|{z}morte natural da vegetação
+ eu2w|{z}absorção de água
A vegetação tem uma taxa de morte natural por volume constante (d) e absorve aágua com uma taxa por volume (e) proporcional a uw.
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Equação para o volume d’água no solo
dwdt
=
a|{z}precipitação
− bw|{z}evaporação
− cu2w|{z}absorção pela vegetação
A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora emuma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).
Equação para a biomassa
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= −du|{z}morte natural da vegetação
+ eu2w|{z}absorção de água
A vegetação tem uma taxa de morte natural por volume constante (d) e absorve aágua com uma taxa por volume (e) proporcional a uw.
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dwdt
= a|{z}precipitação
− bw|{z}evaporação
− cu2w|{z}absorção pela vegetação
A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora emuma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).
Equação para a biomassa
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= −du|{z}morte natural da vegetação
+ eu2w|{z}absorção de água
A vegetação tem uma taxa de morte natural por volume constante (d) e absorve aágua com uma taxa por volume (e) proporcional a uw.
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R.A. Kraenkel
EpidemiasHistórias...
Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação emregiõesSemi-áridasRegiões semi-áridas eáridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Modelo de Klausmeier
Equação para o volume d’água no solo
dwdt
= a|{z}precipitação
− bw|{z}evaporação
− cu2w|{z}absorção pela vegetação
A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora emuma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).
Equação para a biomassa
dudt
= −du|{z}morte natural da vegetação
+ eu2w|{z}absorção de água
A vegetação tem uma taxa de morte natural por volume constante (d) e absorve aágua com uma taxa por volume (e) proporcional a uw.
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Equação para o volume d’água no solo
dwdt
= a|{z}precipitação
− bw|{z}evaporação
− cu2w|{z}absorção pela vegetação
A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora emuma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).
Equação para a biomassa
dudt
= −du|{z}morte natural da vegetação
+ eu2w|{z}absorção de água
A vegetação tem uma taxa de morte natural por volume constante (d) e absorve aágua com uma taxa por volume (e) proporcional a uw.
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Equação para o volume d’água no solo
dwdt
= a|{z}precipitação
− bw|{z}evaporação
− cu2w|{z}absorção pela vegetação
A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante,
evapora emuma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).
Equação para a biomassa
dudt
= −du|{z}morte natural da vegetação
+ eu2w|{z}absorção de água
A vegetação tem uma taxa de morte natural por volume constante (d) e absorve aágua com uma taxa por volume (e) proporcional a uw.
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Equação para o volume d’água no solo
dwdt
= a|{z}precipitação
− bw|{z}evaporação
− cu2w|{z}absorção pela vegetação
A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora emuma taxa por volume constante (b),
e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).
Equação para a biomassa
dudt
= −du|{z}morte natural da vegetação
+ eu2w|{z}absorção de água
A vegetação tem uma taxa de morte natural por volume constante (d) e absorve aágua com uma taxa por volume (e) proporcional a uw.
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Equação para o volume d’água no solo
dwdt
= a|{z}precipitação
− bw|{z}evaporação
− cu2w|{z}absorção pela vegetação
A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora emuma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).
Equação para a biomassa
dudt
= −du|{z}morte natural da vegetação
+ eu2w|{z}absorção de água
A vegetação tem uma taxa de morte natural por volume constante (d) e absorve aágua com uma taxa por volume (e) proporcional a uw.
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Equação para o volume d’água no solo
dwdt
= a|{z}precipitação
− bw|{z}evaporação
− cu2w|{z}absorção pela vegetação
A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora emuma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).
Equação para a biomassa
dudt
=
−du|{z}morte natural da vegetação
+ eu2w|{z}absorção de água
A vegetação tem uma taxa de morte natural por volume constante (d) e absorve aágua com uma taxa por volume (e) proporcional a uw.
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Equação para o volume d’água no solo
dwdt
= a|{z}precipitação
− bw|{z}evaporação
− cu2w|{z}absorção pela vegetação
A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora emuma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).
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= −du|{z}morte natural da vegetação
+ eu2w|{z}absorção de água
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= a|{z}precipitação
− bw|{z}evaporação
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= −du|{z}morte natural da vegetação
+ eu2w|{z}absorção de água
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= a|{z}precipitação
− bw|{z}evaporação
− cu2w|{z}absorção pela vegetação
A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora emuma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).
Equação para a biomassa
dudt
= −du|{z}morte natural da vegetação
+ eu2w|{z}absorção de água
A vegetação tem uma taxa de morte natural por volume constante (d)
e absorve aágua com uma taxa por volume (e) proporcional a uw.
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Equação para o volume d’água no solo
dwdt
= a|{z}precipitação
− bw|{z}evaporação
− cu2w|{z}absorção pela vegetação
A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora emuma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).
Equação para a biomassa
dudt
= −du|{z}morte natural da vegetação
+ eu2w|{z}absorção de água
A vegetação tem uma taxa de morte natural por volume constante (d) e absorve aágua com uma taxa por volume (e) proporcional a uw.
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Análise do modelo
dwdt = a− bw− cu2w du
dt = −du + eu2w
• Primeiramente vamos definir novas variáveis, re-escalonadas:
W = w[
e√b3c
]
U = u√
bc
T = tb
• Esta variáveis são em dimensão .• Substituindo-as nas equações acima, teremos:
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dwdt = a− bw− cu2w du
dt = −du + eu2w
• Primeiramente vamos definir novas variáveis, re-escalonadas:
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e√b3c
]
U = u√
bc
T = tb
• Esta variáveis são em dimensão .• Substituindo-as nas equações acima, teremos:
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dwdt = a− bw− cu2w du
dt = −du + eu2w
• Primeiramente vamos definir novas variáveis, re-escalonadas:
W = w[
e√b3c
]
U = u√
bc
T = tb
• Esta variáveis são em dimensão .• Substituindo-as nas equações acima, teremos:
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dwdt = a− bw− cu2w du
dt = −du + eu2w
• Primeiramente vamos definir novas variáveis, re-escalonadas:
W = w[
e√b3c
]
U = u√
bc
T = tb
• Esta variáveis são em dimensão .• Substituindo-as nas equações acima, teremos:
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dt = −du + eu2w
• Primeiramente vamos definir novas variáveis, re-escalonadas:
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e√b3c
]
U = u√
bc
T = tb
• Esta variáveis são em dimensão .• Substituindo-as nas equações acima, teremos:
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dwdt = a− bw− cu2w du
dt = −du + eu2w
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W = w[
e√b3c
]
U = u√
bc
T = tb
• Esta variáveis são em dimensão .• Substituindo-as nas equações acima, teremos:
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dwdt = a− bw− cu2w du
dt = −du + eu2w
• Primeiramente vamos definir novas variáveis, re-escalonadas:
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e√b3c
]
U = u√
bc
T = tb
• Esta variáveis são em dimensão .• Substituindo-as nas equações acima, teremos:
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dwdt = a− bw− cu2w du
dt = −du + eu2w
• Primeiramente vamos definir novas variáveis, re-escalonadas:
W = w[
e√b3c
]
U = u√
bc
T = tb
• Esta variáveis são em dimensão .
• Substituindo-as nas equações acima, teremos:
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Análise do modelo
dwdt = a− bw− cu2w du
dt = −du + eu2w
• Primeiramente vamos definir novas variáveis, re-escalonadas:
W = w[
e√b3c
]
U = u√
bc
T = tb
• Esta variáveis são em dimensão .• Substituindo-as nas equações acima, teremos:
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Histerese
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Análise do Modelo II
dWdT
= A−W −WU2
dUdT
= WU2 − BU
ondeA =
ae√
b3ce
B = d/b
⇒ note que as equações dependem apenas de dois parâmetros, aoinvés dos cinco iniciais.
O QUE OS DIZEM ESTAS EQUAÇÕES ?
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dWdT
= A−W −WU2
dUdT
= WU2 − BU
ondeA =
ae√
b3ce
B = d/b
⇒ note que as equações dependem apenas de dois parâmetros, aoinvés dos cinco iniciais.
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Análise do Modelo II
dWdT
= A−W −WU2
dUdT
= WU2 − BU
ondeA =
ae√
b3c
eB = d/b
⇒ note que as equações dependem apenas de dois parâmetros, aoinvés dos cinco iniciais.
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dWdT
= A−W −WU2
dUdT
= WU2 − BU
ondeA =
ae√
b3ce
B = d/b
⇒ note que as equações dependem apenas de dois parâmetros, aoinvés dos cinco iniciais.
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dWdT
= A−W −WU2
dUdT
= WU2 − BU
ondeA =
ae√
b3ce
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⇒ note que as equações dependem apenas de dois parâmetros, aoinvés dos cinco iniciais.
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dWdT
= A−W −WU2
dUdT
= WU2 − BU
ondeA =
ae√
b3ce
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⇒ note que as equações dependem apenas de dois parâmetros, aoinvés dos cinco iniciais.
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Análise do Modelo IIIdWdT = A−W −WU2 dU
dT = WU2 − BU
• Para analisar o modelo procuramos os pontos fixos:
• Ou seja, os pontos U∗ e W∗ tais que•
dW∗
dT= 0
•dU∗
dT= 0
• ou seja•
A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0
•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0
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Análise do Modelo IIIdWdT = A−W −WU2 dU
dT = WU2 − BU
• Para analisar o modelo procuramos os pontos fixos:
• Ou seja, os pontos U∗ e W∗ tais que
•dW∗
dT= 0
•dU∗
dT= 0
• ou seja•
A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0
•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0
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Análise do Modelo IIIdWdT = A−W −WU2 dU
dT = WU2 − BU
• Para analisar o modelo procuramos os pontos fixos:
• Ou seja, os pontos U∗ e W∗ tais que•
dW∗
dT= 0
•dU∗
dT= 0
• ou seja•
A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0
•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0
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Análise do Modelo IIIdWdT = A−W −WU2 dU
dT = WU2 − BU
• Para analisar o modelo procuramos os pontos fixos:
• Ou seja, os pontos U∗ e W∗ tais que•
dW∗
dT= 0
•dU∗
dT= 0
• ou seja
•A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0
•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0
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• Para analisar o modelo procuramos os pontos fixos:
• Ou seja, os pontos U∗ e W∗ tais que•
dW∗
dT= 0
•dU∗
dT= 0
• ou seja•
A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0
•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0
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Análise do Modelo IIIdWdT = A−W −WU2 dU
dT = WU2 − BU
• Para analisar o modelo procuramos os pontos fixos:
• Ou seja, os pontos U∗ e W∗ tais que•
dW∗
dT= 0
•dU∗
dT= 0
• ou seja•
A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0
•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0
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Análise do Modelo IIIdWdT = A−W −WU2 dU
dT = WU2 − BU
• Para analisar o modelo procuramos os pontos fixos:
• Ou seja, os pontos U∗ e W∗ tais que•
dW∗
dT= 0
•dU∗
dT= 0
• ou seja•
A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0
•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0
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Modelo
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Análise do Modelo IV
dWdT = A−W −WU2 dU
dT = WU2 − BU
• O sistema algébrico anterior tem três soluções :
U∗ = 0
W∗ = A
Se A > 2B
U∗ =2B
A−√
A2 − 4B2
W∗ =A−√
A2 − 4B2
2
Se A > 2B
U∗ =2B
A +√
A2 − 4B2
W∗ =A +√
A2 − 4B2
2
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Análise do Modelo IV
dWdT = A−W −WU2 dU
dT = WU2 − BU
• O sistema algébrico anterior tem três soluções :
U∗ = 0
W∗ = A
Se A > 2B
U∗ =2B
A−√
A2 − 4B2
W∗ =A−√
A2 − 4B2
2
Se A > 2B
U∗ =2B
A +√
A2 − 4B2
W∗ =A +√
A2 − 4B2
2
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Análise do Modelo IV
dWdT = A−W −WU2 dU
dT = WU2 − BU
• O sistema algébrico anterior tem três soluções :
U∗ = 0
W∗ = A
Se A > 2B
U∗ =2B
A−√
A2 − 4B2
W∗ =A−√
A2 − 4B2
2
Se A > 2B
U∗ =2B
A +√
A2 − 4B2
W∗ =A +√
A2 − 4B2
2
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dWdT = A−W −WU2 dU
dT = WU2 − BU
• O sistema algébrico anterior tem três soluções :
U∗ = 0
W∗ = A
Se A > 2B
U∗ =2B
A−√
A2 − 4B2
W∗ =A−√
A2 − 4B2
2
Se A > 2B
U∗ =2B
A +√
A2 − 4B2
W∗ =A +√
A2 − 4B2
2
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Análise do Modelo V
Interpretação
Nossa primeira conclusão :
• Se A < 2B a única solução é U∗ = 0 e W∗ = A.• Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um
deserto.• A condição A > 2B⇒ a > 2d
√bc
e mostra a necessidade dehaver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação.
• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pelavegetação . Quanto maior, melhor.
• Por outro lado, quanto maior a evaporação (b) e a taxa demorte da vegetação (d), pior.
• RAZOÁVEL!
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Análise do Modelo V
Interpretação
Nossa primeira conclusão :
• Se A < 2B a única solução é U∗ = 0 e W∗ = A.• Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um
deserto.• A condição A > 2B⇒ a > 2d
√bc
e mostra a necessidade dehaver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação.
• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pelavegetação . Quanto maior, melhor.
• Por outro lado, quanto maior a evaporação (b) e a taxa demorte da vegetação (d), pior.
• RAZOÁVEL!
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Interpretação
Nossa primeira conclusão :
• Se A < 2B a única solução é U∗ = 0 e W∗ = A.• Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um
deserto.• A condição A > 2B⇒ a > 2d
√bc
e mostra a necessidade dehaver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação.
• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pelavegetação . Quanto maior, melhor.
• Por outro lado, quanto maior a evaporação (b) e a taxa demorte da vegetação (d), pior.
• RAZOÁVEL!
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R.A. Kraenkel
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Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação emregiõesSemi-áridasRegiões semi-áridas eáridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Análise do Modelo V
Interpretação
Nossa primeira conclusão :
• Se A < 2B a única solução é U∗ = 0 e W∗ = A.
• Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Umdeserto.
• A condição A > 2B⇒ a > 2d√
bce mostra a necessidade de
haver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação.• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.
Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pelavegetação . Quanto maior, melhor.
• Por outro lado, quanto maior a evaporação (b) e a taxa demorte da vegetação (d), pior.
• RAZOÁVEL!
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Interpretação
Nossa primeira conclusão :
• Se A < 2B a única solução é U∗ = 0 e W∗ = A.• Esta solução representa um terreno sem vegetação .
Um Umdeserto.
• A condição A > 2B⇒ a > 2d√
bce mostra a necessidade de
haver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação.• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.
Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pelavegetação . Quanto maior, melhor.
• Por outro lado, quanto maior a evaporação (b) e a taxa demorte da vegetação (d), pior.
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Interpretação
Nossa primeira conclusão :
• Se A < 2B a única solução é U∗ = 0 e W∗ = A.• Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um
deserto.
• A condição A > 2B⇒ a > 2d√
bce mostra a necessidade de
haver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação.• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.
Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pelavegetação . Quanto maior, melhor.
• Por outro lado, quanto maior a evaporação (b) e a taxa demorte da vegetação (d), pior.
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Interpretação
Nossa primeira conclusão :
• Se A < 2B a única solução é U∗ = 0 e W∗ = A.• Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um
deserto.• A condição A > 2B⇒ a > 2d
√bc
e mostra a necessidade dehaver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação.
• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pelavegetação . Quanto maior, melhor.
• Por outro lado, quanto maior a evaporação (b) e a taxa demorte da vegetação (d), pior.
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• Se A < 2B a única solução é U∗ = 0 e W∗ = A.• Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um
deserto.• A condição A > 2B⇒ a > 2d
√bc
e mostra a necessidade dehaver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação.
• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.
Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pelavegetação . Quanto maior, melhor.
• Por outro lado, quanto maior a evaporação (b) e a taxa demorte da vegetação (d), pior.
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• Se A < 2B a única solução é U∗ = 0 e W∗ = A.• Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um
deserto.• A condição A > 2B⇒ a > 2d
√bc
e mostra a necessidade dehaver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação.
• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pelavegetação .
Quanto maior, melhor.• Por outro lado, quanto maior a evaporação (b) e a taxa de
morte da vegetação (d), pior.• RAZOÁVEL!
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• Se A < 2B a única solução é U∗ = 0 e W∗ = A.• Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um
deserto.• A condição A > 2B⇒ a > 2d
√bc
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• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pelavegetação . Quanto maior, melhor.
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deserto.• A condição A > 2B⇒ a > 2d
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e mostra a necessidade dehaver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação.
• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pelavegetação . Quanto maior, melhor.
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• Se A < 2B a única solução é U∗ = 0 e W∗ = A.• Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um
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Nossa primeira conclusão :
• Se A < 2B a única solução é U∗ = 0 e W∗ = A.• Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um
deserto.• A condição A > 2B⇒ a > 2d
√bc
e mostra a necessidade dehaver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação.
• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pelavegetação . Quanto maior, melhor.
• Por outro lado, quanto maior a evaporação (b) e a taxa demorte da vegetação (d), pior.
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Análise do Modelo VI
Seja então A > 2B
• Se A > 2B, podemos ter mais dois pontos fixos.• Precisamos saber da estabilidade deles.
• Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremoso seguinte resultado:• O ponto fixo U∗ = 0 e W∗ = A é sempre estável.• O ponto fixo
U∗ =2B
A +√
A2 − 4B2, W∗ =
A +√
A2 − 4B2
2
é sempre instável.• O ponto fixo
U∗ =2B
A−√
A2 − 4B2, W∗ =
A−√
A2 − 4B2
2
é sempre estável.
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Seja então A > 2B
• Se A > 2B, podemos ter mais dois pontos fixos.• Precisamos saber da estabilidade deles.
• Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremoso seguinte resultado:• O ponto fixo U∗ = 0 e W∗ = A é sempre estável.• O ponto fixo
U∗ =2B
A +√
A2 − 4B2, W∗ =
A +√
A2 − 4B2
2
é sempre instável.• O ponto fixo
U∗ =2B
A−√
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Seja então A > 2B
• Se A > 2B,
podemos ter mais dois pontos fixos.• Precisamos saber da estabilidade deles.
• Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremoso seguinte resultado:• O ponto fixo U∗ = 0 e W∗ = A é sempre estável.• O ponto fixo
U∗ =2B
A +√
A2 − 4B2, W∗ =
A +√
A2 − 4B2
2
é sempre instável.• O ponto fixo
U∗ =2B
A−√
A2 − 4B2, W∗ =
A−√
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Seja então A > 2B
• Se A > 2B, podemos ter mais dois pontos fixos.
• Precisamos saber da estabilidade deles.
• Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremoso seguinte resultado:• O ponto fixo U∗ = 0 e W∗ = A é sempre estável.• O ponto fixo
U∗ =2B
A +√
A2 − 4B2, W∗ =
A +√
A2 − 4B2
2
é sempre instável.• O ponto fixo
U∗ =2B
A−√
A2 − 4B2, W∗ =
A−√
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Seja então A > 2B
• Se A > 2B, podemos ter mais dois pontos fixos.• Precisamos saber da estabilidade deles.
• Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremoso seguinte resultado:• O ponto fixo U∗ = 0 e W∗ = A é sempre estável.• O ponto fixo
U∗ =2B
A +√
A2 − 4B2, W∗ =
A +√
A2 − 4B2
2
é sempre instável.• O ponto fixo
U∗ =2B
A−√
A2 − 4B2, W∗ =
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Seja então A > 2B
• Se A > 2B, podemos ter mais dois pontos fixos.• Precisamos saber da estabilidade deles.
• Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremoso seguinte resultado:
• O ponto fixo U∗ = 0 e W∗ = A é sempre estável.• O ponto fixo
U∗ =2B
A +√
A2 − 4B2, W∗ =
A +√
A2 − 4B2
2
é sempre instável.• O ponto fixo
U∗ =2B
A−√
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A−√
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• O ponto fixo
U∗ =2B
A +√
A2 − 4B2, W∗ =
A +√
A2 − 4B2
2
é sempre instável.• O ponto fixo
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A−√
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A +√
A2 − 4B2, W∗ =
A +√
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é sempre instável.
• O ponto fixo
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• Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremoso seguinte resultado:• O ponto fixo U∗ = 0 e W∗ = A é sempre estável.• O ponto fixo
U∗ =2B
A +√
A2 − 4B2, W∗ =
A +√
A2 − 4B2
2
é sempre instável.• O ponto fixo
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Seja então A > 2B
• Se A > 2B, podemos ter mais dois pontos fixos.• Precisamos saber da estabilidade deles.
• Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremoso seguinte resultado:• O ponto fixo U∗ = 0 e W∗ = A é sempre estável.• O ponto fixo
U∗ =2B
A +√
A2 − 4B2, W∗ =
A +√
A2 − 4B2
2
é sempre instável.• O ponto fixo
U∗ =2B
A−√
A2 − 4B2, W∗ =
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Análise do Modelo VII
• Assim, se A > 2B, e B > 2, temos dois pontos fixos estáveis, cada qualcom a sua bacia de atração .
• Podemos representar a situação no gráfico abaixo:
Figure: Mantivemos B fixo, e fizemos o gráfico de U∗ ( ou seja, abiomassa) em termos de A. Representamos a solução “desértica” (U∗ = 0)e a solução estável com cobertura vegetal.
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Análise do Modelo VII
• Assim, se A > 2B, e B > 2, temos dois pontos fixos estáveis, cada qualcom a sua bacia de atração .
• Podemos representar a situação no gráfico abaixo:
Figure: Mantivemos B fixo, e fizemos o gráfico de U∗ ( ou seja, abiomassa) em termos de A. Representamos a solução “desértica” (U∗ = 0)e a solução estável com cobertura vegetal.
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Análise do Modelo VII
• Assim, se A > 2B, e B > 2, temos dois pontos fixos estáveis, cada qualcom a sua bacia de atração .
• Podemos representar a situação no gráfico abaixo:
Figure: Mantivemos B fixo, e fizemos o gráfico de U∗ ( ou seja, abiomassa) em termos de A. Representamos a solução “desértica” (U∗ = 0)e a solução estável com cobertura vegetal.
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Análise do Modelo VII
• Assim, se A > 2B, e B > 2, temos dois pontos fixos estáveis, cada qualcom a sua bacia de atração .
• Podemos representar a situação no gráfico abaixo:
Figure: Mantivemos B fixo, e fizemos o gráfico de U∗ ( ou seja, abiomassa) em termos de A. Representamos a solução “desértica” (U∗ = 0)e a solução estável com cobertura vegetal.
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Histerese
• A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva àseguinte situação .
• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num
dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.• Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.
DESERTIFICAÇÃO !!!.• Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmo
com A > 2B continuaremos na região desértica.• EM SUMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos até
A < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.
• A este fenômeno, chamamos de Histerese.
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• A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva àseguinte situação .
• Tomemos B fixo.
E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num
dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.• Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.
DESERTIFICAÇÃO !!!.• Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmo
com A > 2B continuaremos na região desértica.• EM SUMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos até
A < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.
• A este fenômeno, chamamos de Histerese.
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• A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva àseguinte situação .
• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.
• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Numdado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.
• Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.DESERTIFICAÇÃO !!!.
• Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmocom A > 2B continuaremos na região desértica.
• EM SUMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos atéA < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.
• A este fenômeno, chamamos de Histerese.
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• A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva àseguinte situação .
• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade.
E deixemos A diminuir.Numdado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.
• Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.DESERTIFICAÇÃO !!!.
• Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmocom A > 2B continuaremos na região desértica.
• EM SUMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos atéA < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.
• A este fenômeno, chamamos de Histerese.
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• A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva àseguinte situação .
• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.
Numdado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.
• Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.DESERTIFICAÇÃO !!!.
• Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmocom A > 2B continuaremos na região desértica.
• EM SUMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos atéA < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.
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• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num
dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.
• Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.DESERTIFICAÇÃO !!!.
• Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmocom A > 2B continuaremos na região desértica.
• EM SUMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos atéA < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.
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• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num
dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.• Neste momento teremos uma mudança brusca,
um salto, em que U∗ → 0.DESERTIFICAÇÃO !!!.
• Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmocom A > 2B continuaremos na região desértica.
• EM SUMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos atéA < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.
• A este fenômeno, chamamos de Histerese.
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Modelos
Glórias e Misérias
Vegetação emregiõesSemi-áridasRegiões semi-áridas eáridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Histerese
• A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva àseguinte situação .
• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num
dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.• Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.
DESERTIFICAÇÃO !!!.• Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmo
com A > 2B continuaremos na região desértica.• EM SUMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos até
A < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.
• A este fenômeno, chamamos de Histerese.
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• A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva àseguinte situação .
• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num
dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.• Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.
DESERTIFICAÇÃO !!!.
• Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmocom A > 2B continuaremos na região desértica.
• EM SUMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos atéA < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.
• A este fenômeno, chamamos de Histerese.
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• A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva àseguinte situação .
• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num
dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.• Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.
DESERTIFICAÇÃO !!!.• Suponha agora que A comece a crescer.
Como U∗ = 0 é estável, mesmocom A > 2B continuaremos na região desértica.
• EM SUMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos atéA < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.
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• A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva àseguinte situação .
• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num
dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.• Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.
DESERTIFICAÇÃO !!!.• Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmo
com A > 2B continuaremos na região desértica.
• EM SUMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos atéA < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.
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• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num
dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.• Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.
DESERTIFICAÇÃO !!!.• Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmo
com A > 2B continuaremos na região desértica.• EM SUMA:
se começamos num certo valor de A, diminuirmos atéA < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.
• A este fenômeno, chamamos de Histerese.
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• A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva àseguinte situação .
• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num
dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.• Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.
DESERTIFICAÇÃO !!!.• Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmo
com A > 2B continuaremos na região desértica.• EM SUMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos até
A < 2B e voltarmos ao valor inicial,
saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.
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• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num
dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.• Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.
DESERTIFICAÇÃO !!!.• Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmo
com A > 2B continuaremos na região desértica.• EM SUMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos até
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• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num
dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.• Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.
DESERTIFICAÇÃO !!!.• Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmo
com A > 2B continuaremos na região desértica.• EM SUMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos até
A < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.
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Histerese II
Figure: B está fixo. A sai de um valor A′
com U∗ = U′, diminui, passa por
A = 2B. Neste momento, U∗ → 0. Quando voltamos a aumentar A, mesmo comA > 2B, temos U∗ = 0.
Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas (no nosso modelo, a quantidade de chuva) para que voltemos ao estadonão-desértico.TERRÍVEL
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Figure: B está fixo. A sai de um valor A′
com U∗ = U′, diminui, passa por
A = 2B. Neste momento, U∗ → 0. Quando voltamos a aumentar A, mesmo comA > 2B, temos U∗ = 0.
Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas
(no nosso modelo, a quantidade de chuva) para que voltemos ao estadonão-desértico.TERRÍVEL
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Figure: B está fixo. A sai de um valor A′
com U∗ = U′, diminui, passa por
A = 2B. Neste momento, U∗ → 0. Quando voltamos a aumentar A, mesmo comA > 2B, temos U∗ = 0.
Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas (no nosso modelo, a quantidade de chuva)
para que voltemos ao estadonão-desértico.TERRÍVEL
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com U∗ = U′, diminui, passa por
A = 2B. Neste momento, U∗ → 0. Quando voltamos a aumentar A, mesmo comA > 2B, temos U∗ = 0.
Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas (no nosso modelo, a quantidade de chuva) para que voltemos ao estadonão-desértico.
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Figure: B está fixo. A sai de um valor A′
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A = 2B. Neste momento, U∗ → 0. Quando voltamos a aumentar A, mesmo comA > 2B, temos U∗ = 0.
Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas (no nosso modelo, a quantidade de chuva) para que voltemos ao estadonão-desértico.TERRÍVEL
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Figure: Estimativa da cobertura da vegetal na região do atual deserto do Sahara.Observa-se uma mudança brusca ao redor de 5500 anos atrás, gerando umestado desértico estável.
• A existência de um transições bruscas e estados desérticosestáveis pode ser observada em séries temporais. O modelode Klausmeier é compatível com estes fatos.
• O modelo é SIMPLES.
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• A existência de um transições bruscas e estados desérticosestáveis pode ser observada em séries temporais. O modelode Klausmeier é compatível com estes fatos.
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• A existência de um transições bruscas e estados desérticosestáveis pode ser observada em séries temporais.
O modelode Klausmeier é compatível com estes fatos.
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• A existência de um transições bruscas e estados desérticosestáveis pode ser observada em séries temporais. O modelode Klausmeier é compatível com estes fatos.
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Figure: Estimativa da cobertura da vegetal na região do atual deserto do Sahara.Observa-se uma mudança brusca ao redor de 5500 anos atrás, gerando umestado desértico estável.
• A existência de um transições bruscas e estados desérticosestáveis pode ser observada em séries temporais. O modelode Klausmeier é compatível com estes fatos.
• O modelo é SIMPLES.
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Figure: Região em processo dedesertificação na China
Figure: Senegal, na região doSahel, fronteira do Sahara ( ao sul).
• O modelo é MUITO SIMPLES
• Em particular, prevê uma queda àzero (exatamente). Não é muitorealista em se tratando dedesertificação recente.Pode haveruma vegetação remanescente.
• O modelo prevê que– por maisque chova – não há recuperação .Se houver uma vegetaçãoremanescente, chuva continuadasdeveriam ser capazes aumentar avegetação .
• Podemos escrever modelos maiscompletos.
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• O modelo é MUITO SIMPLES
• Em particular, prevê uma queda àzero (exatamente). Não é muitorealista em se tratando dedesertificação recente.Pode haveruma vegetação remanescente.
• O modelo prevê que– por maisque chova – não há recuperação .Se houver uma vegetaçãoremanescente, chuva continuadasdeveriam ser capazes aumentar avegetação .
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• O modelo é MUITO SIMPLES
• Em particular, prevê uma queda àzero (exatamente). Não é muitorealista em se tratando dedesertificação recente.Pode haveruma vegetação remanescente.
• O modelo prevê que– por maisque chova – não há recuperação .Se houver uma vegetaçãoremanescente, chuva continuadasdeveriam ser capazes aumentar avegetação .
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Figure: Região em processo dedesertificação na China
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• O modelo é MUITO SIMPLES
• Em particular, prevê uma queda àzero (exatamente).
Não é muitorealista em se tratando dedesertificação recente.Pode haveruma vegetação remanescente.
• O modelo prevê que– por maisque chova – não há recuperação .Se houver uma vegetaçãoremanescente, chuva continuadasdeveriam ser capazes aumentar avegetação .
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Figure: Região em processo dedesertificação na China
Figure: Senegal, na região doSahel, fronteira do Sahara ( ao sul).
• O modelo é MUITO SIMPLES
• Em particular, prevê uma queda àzero (exatamente). Não é muitorealista em se tratando dedesertificação recente.
Pode haveruma vegetação remanescente.
• O modelo prevê que– por maisque chova – não há recuperação .Se houver uma vegetaçãoremanescente, chuva continuadasdeveriam ser capazes aumentar avegetação .
• Podemos escrever modelos maiscompletos.
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Figure: Região em processo dedesertificação na China
Figure: Senegal, na região doSahel, fronteira do Sahara ( ao sul).
• O modelo é MUITO SIMPLES
• Em particular, prevê uma queda àzero (exatamente). Não é muitorealista em se tratando dedesertificação recente.Pode haveruma vegetação remanescente.
• O modelo prevê que– por maisque chova – não há recuperação .Se houver uma vegetaçãoremanescente, chuva continuadasdeveriam ser capazes aumentar avegetação .
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Figure: Senegal, na região doSahel, fronteira do Sahara ( ao sul).
• O modelo é MUITO SIMPLES
• Em particular, prevê uma queda àzero (exatamente). Não é muitorealista em se tratando dedesertificação recente.Pode haveruma vegetação remanescente.
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• O modelo é MUITO SIMPLES
• Em particular, prevê uma queda àzero (exatamente). Não é muitorealista em se tratando dedesertificação recente.Pode haveruma vegetação remanescente.
• O modelo prevê que– por maisque chova – não há recuperação .Se houver uma vegetaçãoremanescente, chuva continuadasdeveriam ser capazes aumentar avegetação .
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Figure: Região em processo dedesertificação na China
Figure: Senegal, na região doSahel, fronteira do Sahara ( ao sul).
• O modelo é MUITO SIMPLES
• Em particular, prevê uma queda àzero (exatamente). Não é muitorealista em se tratando dedesertificação recente.Pode haveruma vegetação remanescente.
• O modelo prevê que– por maisque chova – não há recuperação .Se houver uma vegetaçãoremanescente, chuva continuadasdeveriam ser capazes aumentar avegetação .
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Glórias e Misérias do ModeloMisérias
Figure: Região em processo dedesertificação na China
Figure: Senegal, na região doSahel, fronteira do Sahara ( ao sul).
• O modelo é MUITO SIMPLES
• Em particular, prevê uma queda àzero (exatamente). Não é muitorealista em se tratando dedesertificação recente.Pode haveruma vegetação remanescente.
• O modelo prevê que– por maisque chova – não há recuperação .Se houver uma vegetaçãoremanescente, chuva continuadasdeveriam ser capazes aumentar avegetação .
• Podemos escrever modelos maiscompletos.
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Modelos mais realistas
• Modelos mais realistas nos dariam ainda um fenômeno dehisterese, ilustrado abaixo:
Na figura ao lado, temos a curvada biomassa em termos do forneci-mento de recursos ( água, por exem-plo). A curva apresenta duas regiõesde transição Mais à esquerda, umatransição vegetação → deserto. Àdireita, uma transição no sentido re-verso.
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Modelos mais realistas
• Modelos mais realistas nos dariam ainda um fenômeno dehisterese, ilustrado abaixo:
Na figura ao lado, temos a curvada biomassa em termos do forneci-mento de recursos ( água, por exem-plo). A curva apresenta duas regiõesde transição Mais à esquerda, umatransição vegetação → deserto. Àdireita, uma transição no sentido re-verso.
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Modelos mais realistas
• Modelos mais realistas nos dariam ainda um fenômeno dehisterese, ilustrado abaixo:
Na figura ao lado, temos a curvada biomassa em termos do forneci-mento de recursos ( água, por exem-plo). A curva apresenta duas regiõesde transição Mais à esquerda, umatransição vegetação → deserto. Àdireita, uma transição no sentido re-verso.
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Modelos mais realistas
• Modelos mais realistas nos dariam ainda um fenômeno dehisterese, ilustrado abaixo:
Na figura ao lado, temos a curvada biomassa em termos do forneci-mento de recursos ( água, por exem-plo).
A curva apresenta duas regiõesde transição Mais à esquerda, umatransição vegetação → deserto. Àdireita, uma transição no sentido re-verso.
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Modelos mais realistas
• Modelos mais realistas nos dariam ainda um fenômeno dehisterese, ilustrado abaixo:
Na figura ao lado, temos a curvada biomassa em termos do forneci-mento de recursos ( água, por exem-plo). A curva apresenta duas regiõesde transição
Mais à esquerda, umatransição vegetação → deserto. Àdireita, uma transição no sentido re-verso.
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• Modelos mais realistas nos dariam ainda um fenômeno dehisterese, ilustrado abaixo:
Na figura ao lado, temos a curvada biomassa em termos do forneci-mento de recursos ( água, por exem-plo). A curva apresenta duas regiõesde transição Mais à esquerda, umatransição vegetação → deserto.
Àdireita, uma transição no sentido re-verso.
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Modelos mais realistas
• Modelos mais realistas nos dariam ainda um fenômeno dehisterese, ilustrado abaixo:
Na figura ao lado, temos a curvada biomassa em termos do forneci-mento de recursos ( água, por exem-plo). A curva apresenta duas regiõesde transição Mais à esquerda, umatransição vegetação → deserto. Àdireita, uma transição no sentido re-verso.
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Modelos mais realistas
• Modelos mais realistas nos dariam ainda um fenômeno dehisterese, ilustrado abaixo:
Na figura ao lado, temos a curvada biomassa em termos do forneci-mento de recursos ( água, por exem-plo). A curva apresenta duas regiõesde transição Mais à esquerda, umatransição vegetação → deserto. Àdireita, uma transição no sentido re-verso.
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Modelos mais realistas
• Outra curva demonstrando histerese.
Na figura ao lado, temos a curva dabiomassa em termos do fornecimentode recursos ( água, por exemplo). Acurva é semelhante à anterior, masneste caso U∗ não vai a zero.
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Vegetação emregiõesSemi-áridasRegiões semi-áridas eáridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Modelos mais realistas
• Outra curva demonstrando histerese.
Na figura ao lado, temos a curva dabiomassa em termos do fornecimentode recursos ( água, por exemplo). Acurva é semelhante à anterior, masneste caso U∗ não vai a zero.
MétodosMatemáticos
em Biologia dePopulações
R.A. Kraenkel
EpidemiasHistórias...
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Referências
Epidemias• J.D. Murray: Mathematical Biology I (Springer, 2002)• F. Brauer e C. Castillo-Chavez: Mathematical Models in
Population Biology and Epidemiology (Springer, 2001).• N.F. Britton: Essential Mathematical Biology ( Springer,
2003).
Dinâmica de vegetações em regiões áridas• M. Scheffer e S.R. Carpenter, Trends in Ecology and
Evolution 18, 648 (2003).• M. Rietkerk et alli., Science 305, 1926 (2004)• C.A. Klausmaier, Science 284, 1826 (1999).