metodos numericos

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE TULANCINGO

“MÉTODOS NUMÉRICOS”

EVIDENCIA DE APRENDIZAJE

UNIDAD DE APRENDIZAJE: INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA,

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENECIALES

NOMBRE DEL ALUMNO:Ezequiel Pastor Mendoza GRUPO:______H551____

FECHA DE ENTREGA: 19-04-16

Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios y realice la comprobación de los resultados

usando los algoritmos desarrollados en Matlab

1. Calcule las aproximaciones por diferencias hacia delante y hacia atrás y aproximaciones por

diferencia central para la primera derivada de y = cos x, en x = p/4, con el uso de un valor de h

= p/12. Estime el error absoluto.

2. Repita el problema 23.1, pero para y = log x evaluada en x= 25 con h = 2.

3. Use aproximaciones por diferencias centradas para estimar las derivadas primera y segunda

de y = ex en x = 2 para h = 0.1.

4. Calcule las aproximaciones por diferencia central de primer orden para cada una de las

funciones siguientes en la ubicación y con el tamaño de paso que se especifica:

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE TULANCINGO

“MÉTODOS NUMÉRICOS”

EVIDENCIA DE APRENDIZAJE

UNIDAD DE APRENDIZAJE: INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA,

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENECIALES

NOMBRE DEL ALUMNO:Ezequiel Pastor Mendoza GRUPO:______H551____

FECHA DE ENTREGA: 19-04-16

5. Usar las formulas cerradas Newton-Cotes (regla del trapecio, regla del trapecio de aplicación

múltiple, regla de Simpson 1/3, regla de Simpson 3/8 de aplicación múltiple) para evaluar las

siguientes integrales con n = 4 y h=0.1.

Compare sus resultados con las soluciones analíticas.

6. Usando el método de Euler mejorado y RK4 obtener la solución de las siguientes ecuaciones

diferenciales, considere h=0.1, en el intervalo de x=0 a 1. Además realice una gráfica en Matlab

donde se observe la solución exacta y aproximada.

Compare sus resultados con las soluciones analíticas

EJERCICIO 1

(Hacia delante)

𝐹′(𝑥) = −𝐅(𝐗𝐢 + 𝟐) + 𝟒𝐅(𝐗𝐢 + 𝟏) − 𝟑𝐅(𝐗𝐢)

2ℎ

𝑥𝑖 =𝜋

4 = 0.7071

𝑥𝑖 + 1 =𝜋

3 = 0.5

𝑥𝑖 + 2 =5𝜋

12 = 0.2588

𝐹′(𝑥) = −(𝟎. 𝟐𝟓𝟖𝟖) + 𝟒(𝟎. 𝟓) − 𝟑(𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏)

2(𝜋

12)

𝐹′(𝑥) = −0.7260

(Hacia atrás)

𝐹′(𝑥) = 𝟑𝐅(𝐗𝐢) − 𝟒𝐅(𝐗𝐢 − 𝟏) + 𝐅(𝐗𝐢 − 𝟐)

2ℎ

Xi = 𝜋

4 = 0.7071

Xi-1 = 𝜋

6 = 0.8660

Xi-2 = 𝜋

12 = 0.9659

𝐹′(𝑥) = 𝟑(𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏) − 𝟒(𝟎. 𝟖𝟔𝟔𝟎) + (𝟎. 𝟗𝟔𝟓𝟗)

2(𝜋

12)

𝐹′(𝑥) = −0.7201

(En medio)

𝐹′(𝑥) = −𝐅(𝐗𝐢 + 𝟐) + 𝟖𝐅(𝐗𝐢 + 𝟏) − 𝟖𝐅(𝐗𝐢 − 𝟏) + 𝐅(𝐗𝐢 − 𝟐)

12ℎ

𝑥𝑖 + 1 =𝜋

3 = 0.5

𝑥𝑖 + 2 =5𝜋

12 = 0.2588 𝐹′(𝑥) = 𝑥 =

−0.2588+8(0.5)−8(0.8660)+0.9659

π

Xi-1 = 𝜋

6 = 0.8660

Xi-2 = 𝜋

12 = 0.9659 𝐹′(𝑥) = −0.7069

Ejercicio 2

Repita el problema 23.1, pero para y = log x evaluada en x= 25 con h = 2.

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑥 𝑥 = 25 ℎ = 2

Hacia delante:

𝑓′(𝑥𝑖)= −𝑓(𝑥𝑖+2) + 4𝑓(𝑥𝑖+1) − 3𝑓(𝑥𝑖)

2ℎ

ℎ = 2

𝑥𝑖 = 25

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ℎ = 27

𝑥𝑖+2 = 29

𝑓(𝑥𝑖+2) = 29 = log(29) = 1.46

𝑓(𝑥𝑖+1) = 27 = log(27) = 1.43

𝑓(𝑥𝑖) = 25 = log(25) = 1.39

=−1.46 + 4(1.43) − 3(1.39)

2(2)

= 0.0225

Hacia atrás:

𝑓′(𝑥𝑖) =3𝑓(𝑥𝑖) − 4𝑓(𝑥𝑖−1) + 𝑓(𝑥𝑖−2)

2ℎ

𝑥𝑖 = 25

𝑥𝑖−1 = 𝑥𝑖 − ℎ = 23

𝑥𝑖−2 = 𝑥𝑖 − 2ℎ = 21

𝑓(𝑥𝑖) = 1.39

𝑓(𝑥𝑖−1) = log(23) = 1.36

𝑓(𝑥𝑖−2) = log(21) = 1.32

𝑓(𝑥𝑖) = 1.39

=3(1.39) − 4(1.36) + 1.32

2(2)

= 0.0125

Centrada:

𝑓′(𝑥𝑖) =−𝑓(𝑥𝑖+2) + 8𝑓(𝑥𝑖+1) − 8𝑓(𝑥𝑖−1) + 𝑓(𝑥𝑖−2)

12ℎ

𝑥𝑖 = 25

𝑥𝑖−2 = 𝑥𝑖 − 2ℎ = 21

𝑥𝑖−1 = 𝑥𝑖 − ℎ = 23

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ℎ = 27

𝑥𝑖+2 = 29

𝑓(𝑥𝑖+2) = log(29) = 1.46

𝑓(𝑥𝑖+1) = log(27) = 1.43

𝑓(𝑥𝑖−1) = log(23) = 1.36

𝑓(𝑥𝑖−2) = log(21) = 1.32

=−1.46 + 8(1.43) − 8(1.36) + 1.32

12(2)

=0.42

24= 0.0175

n=1:18; h=10.^(-n); a=1; x=a+h; valorfn=exp(x); numerador=valorfn-exp(a); Dn=numerador./h; format long disp([' Incremento Numerador Aproximación']) disp([h' numerador' Dn']) t=[0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1]; q=[100 81.87 67.03 54.88 44.93 36.76]; plot(t,q) %Posición de instante a estudiar en el vector t num=3; num1=num+1; num2=num-1; %Diferencia progresiva disp('Diferencia progresiva') difProgresiva=(q(num1)-q(num))/(t(num1)-t(num)) disp('Diferencia regresiva') difRegresiva=(q(num)-q(num2))/(t(num)-t(num2)) disp('Diferencia central') difCentral=(q(num1)-q(num2))/(t(num1)-t(num2)) %Calculo de Q'(t) syms x derivada=subs(diff(exp(4.6053-10.055*x)),t(num)) %Ajuste a una función exponencial coeficientes=polyfit(t,log(q),1) %coeficientes es un vector con los coeficientes de la recta %Si coeficientes=(m n) entonces la recta es log(q)=m*t+n

ye=exp(coeficientes(1)*t+coeficientes(2)); plot(t,ye,'g') %Comparación diferencias=[difProgresiva difRegresiva difCentral]; porcentaje=abs((diferencias-derivada)/derivada)*100; disp('-------------------------------------') disp('Comparación') titulos=['Progresiva Regresiva Central'] disp([ diferencias ; porcentaje])

Ejercicio 3

Use aproximaciones por diferencias centradas para estimar las derivadas primera y segunda de

𝑦 = 𝑒𝑥 𝑒𝑛 𝑥 = 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ = 0.1

ℎ = 0.1 𝑓(𝑋𝑖 + 1) = 𝑒(2.1) = 8.1661

Xi=2 𝑓(𝑋𝑖 + 2) = 𝑒(2.2) = 9.0250

Xi+1=2.1 𝑓(𝑋𝑖) = 𝑒(2) = 7.3890

Xi-1=1.9 𝑓(𝑋𝑖 − 1) = 𝑒(1.9) = 6.6858

Xi+2=2.2 𝑓(𝑋𝑖 − 2) = 𝑒(1.8) = 6.0496

Xi-2=1.8

Primera derivada

𝑓′(𝑋𝑖) =−9.1250 + 8(8.1661) − 8(6.6858) + 6.0496

12(0.1)

𝑓´(𝑋𝑖) =−9.0250 + 65.3288 − 53.4864 + 6.0496

1.2

𝑓´(𝑋𝑖) =8.867

1.2= 𝟕. 𝟑𝟖𝟗𝟏 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 𝑒(0.1) = 1.1051

Segunda derivada

𝑓´´(𝑋𝑖) =−9.0250 + 16(8.1661) − 30(7.3890) + 16(6.6858) − 6.0496

12(0.1)2

𝑓′′(𝑋𝑖) =−9.0250 + 130.6576 − 221.67 + 106.9728 − 6.0496

12(0.01)

𝑓′′(𝑋𝑖) =0.8858

0.12= 𝟕. 𝟑𝟖𝟏𝟔𝟔𝟔

Ejercicio 4

Calcular las aproximaciones por diferencia central de primer orden.

A) 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 − 𝟏𝟓 𝒙 = 𝟎 𝒚 𝒉 = 𝟎. 𝟐𝟓

Xi+1 = 0+0.25 = 0.25, Xi+2 = 0.25 + 0.25 = 0.5, Xi-1 = -0.25, Xi-2 = -0.5.

𝒇(𝒙𝒊 + 𝟏) = (𝟎. 𝟓)𝟑 + 𝟒(𝟎. 𝟓) − 𝟏𝟓 = . 𝟏𝟑. 𝟗𝟒

𝒇(𝒙𝒊 + 𝟐) = (−𝟎. 𝟓)𝟑 + 𝟒(−𝟎. 𝟓) − 𝟏𝟓 = −𝟏𝟐. 𝟖𝟕

𝒇(𝒙𝒊 − 𝟏) = (−𝟎. 𝟐𝟓)𝟑 + 𝟒(−𝟎. 𝟐𝟓) − 𝟏𝟓 = −𝟏𝟒 − 𝟎. 𝟏

𝒇(𝒙𝒊 − 𝟐) = (−𝟎. 𝟓)𝟑 + 𝟒(−𝟎. 𝟓) − 𝟏𝟓 = −𝟏𝟕. 𝟏𝟐

𝒇′(𝒙𝒊) =−𝒇(−𝟏𝟐. 𝟖𝟕) + 𝟖𝒇(−𝟏𝟑. 𝟗𝟒) − 𝟖𝒇(−𝟏𝟒. 𝟎𝟏) − 𝟏𝟕. 𝟏𝟐

𝟏𝟐(𝟎. 𝟐𝟓)= −𝟏𝟖. 𝟎𝟏

B) 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒙 = 𝟎 𝒚 𝒉 = 𝟎. 𝟏

(𝒙𝒊 + 𝟏) = 𝟎. 𝟒 + 𝟎. 𝟏 = 𝟎. 𝟓, (𝒙𝒊 + 𝟐) = 𝟎. 𝟓 + 𝟎. 𝟏 = 𝟎. 𝟔,

(𝒙𝒊 − 𝟏) = 𝟎. 𝟒 − 𝟎. = 𝟎. 𝟑, 𝒙𝒊 − 𝟐 = 𝟎. 𝟑 − 𝟎. 𝟏 = 𝟎. 𝟐

𝒇(𝒙𝒊 + 𝟏) = (𝟎. 𝟓)𝟐 + 𝒄𝒐𝒔(𝟎. 𝟓) = 𝟏. 𝟐𝟒

𝒇(𝒙𝒊 + 𝟐) = (𝟎. 𝟔)𝟐 + 𝒄𝒐𝒔(𝟎. 𝟔) = 1.35

𝒇(𝒙𝒊 − 𝟏) = (𝟎. 𝟑)𝟐 + 𝒄𝒐𝒔(𝟎. 𝟑) = 𝟏. 𝟎𝟖𝟗

𝒇(𝒙𝒊 − 𝟐) = (𝟎. 𝟐)𝟐 + 𝒄𝒐𝒔(𝟎. 𝟐) = 𝟏. 𝟎𝟑

𝒇′(𝒙) =−𝒇(𝟏. 𝟑𝟓) + 𝟖𝒇(𝟏. 𝟐𝟒) − 𝟖(𝟏. 𝟎𝟖) + 𝒇(𝟏. 𝟎𝟑)

𝟏𝟐(𝟎. 𝟏)= 𝟎. 𝟕𝟖

C) 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 (𝐱

𝟑) 𝒙 = 𝟑 𝒚 𝒉 = 𝟎. 𝟓

𝒙𝒊 = 𝟑, (𝒙𝒊 + 𝟏) = 𝟑 + 𝟎. 𝟓 = 𝟑. 𝟓, (𝒙𝒊 + 𝟐) = 𝟑. 𝟓 + 𝟎. 𝟓 = 𝟒, ( 𝒙𝒊 − 𝟏) = 𝟑 −

𝟎. 𝟓 = 𝟐. 𝟓, (𝒙𝒊 − 𝟐) = 𝟐. 𝟓 − 𝟎. 𝟓 = 𝟐

𝒇(𝒙𝒊) = 𝒕𝒂𝒏 (𝟑

𝟑) = 𝟎. 𝟎𝟏𝟕

𝒇(𝒙𝒊 + 𝟏) = 𝒕𝒂𝒏 (𝟑.𝟓

𝟑) = 𝟎. 𝟎𝟐𝟎

𝒇(𝒙𝒊 + 𝟐) = 𝒕𝒂𝒏 (𝟒

𝟒) = 𝟎. 𝟐𝟑

𝒇(𝒙𝒊 − 𝟏) = 𝒕𝒂𝒏 (𝟐.𝟓

𝟑) = 𝟎. 𝟎𝟏𝟒

𝒇(𝒙𝒊 − 𝟐) = 𝒕𝒂𝒏 (𝟐

𝟑) = 𝟎. 𝟎𝟏𝟏

𝒇′(𝒙) = −𝒇(𝟎. 𝟎𝟐𝟑) + 𝟖𝒇(𝟎. 𝟎𝟐𝟎) − 𝟖𝒇(𝟎. 𝟎𝟏𝟒) + 𝒇(𝟎. 𝟎𝟏𝟏)

𝟏𝟐(𝟎. 𝟓)= 𝟎. 𝟎𝟐𝟔

D) 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏(𝟎.𝟓√𝐱)

𝐱 𝒙 = 𝟏 𝒚 𝒉 = 𝟎. 𝟐

𝒙𝒊 = 𝟏, ( 𝒙𝒊 + 𝟏) = 𝟏 + 𝟎. 𝟐 = 𝟏. 𝟎𝟐, (𝒙𝒊 + 𝟐) = 𝟏. 𝟐 + 𝟎. 𝟐 = 𝟏. 𝟒,

(𝒙𝒊 − 𝟏) = 𝟏 − 𝟏. 𝟎𝟐 = 𝟎. 𝟖, (𝒙𝒊 − 𝟐) = 𝟎. 𝟖 − 𝟎. 𝟐 = 𝟎. 𝟔

𝒇(𝒙𝒊 + 𝟏) = 𝒔𝒆𝒏 𝟎. 𝟓 ∗ √𝟏. 𝟐

𝟏. 𝟐= 𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟗

𝒇(𝒙𝒊 + 𝟐) = 𝒔𝒆𝒏𝟎. 𝟓 ∗ √𝟏. 𝟒

𝟏. 𝟒= 𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟑

𝒇(𝒙𝒊 − 𝟏) = 𝒔𝒆𝒏𝟎. 𝟓 ∗ √𝟎. 𝟖

𝟎. 𝟖= 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟕

𝒇(𝒙𝒊 − 𝟐) = 𝒔𝒆𝒏𝟎. 𝟓 ∗ √𝟎. 𝟔

𝟎. 𝟔 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟏

𝒇′(𝒙𝒊) =−𝒇(𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟑) + 𝟖𝒇(𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟗) − 𝟖𝒇(𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟕) + 𝒇(𝟎. 𝟎𝟏𝟏)

𝟏𝟐(𝟎. 𝟐)= −𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟓

E) 𝒚 = 𝒆𝒙 + 𝒙 𝒙 = 𝟐 𝒚 𝒉 = 𝟎. 𝟐

𝒙𝒊 = 𝟐, (𝒙𝒊 + 𝟏) = 𝟐 + 𝟎. 𝟐 = 𝟐. 𝟐, (𝒙𝒊 + 𝟐) = 𝟐. 𝟐 + 𝟎. 𝟐 = 𝟐. 𝟒

(𝒙𝒊 − 𝟏) = 𝟐 − 𝟎. 𝟐 = 𝟏. 𝟖, (𝒙𝒊 − 𝟐) = 𝟏. 𝟖 − 𝟎. 𝟐 = 𝟏. 𝟔

𝒇(𝒙𝒊 + 𝟏) = 𝒆𝟐. 𝟐 + 𝟐. 𝟐 = 𝟏𝟏. 𝟐𝟐

𝒇(𝒙𝒊 + 𝟐) = 𝒆𝟐.𝟐 + 𝟐. 𝟒 = 𝟏𝟑. 𝟒𝟐

𝒇(𝒙𝒊 − 𝟐) = 𝒆𝟏.𝟖 + 𝟏. 𝟖 = 𝟕. 𝟖𝟒

𝒇(𝒙𝒊 − 𝟏) = 𝒆𝟏.𝟔 + 𝟏. 𝟔 = 𝟔. 𝟓𝟓

𝒇(𝒙𝒊 + 𝟐) =−𝒇(𝟏𝟑. 𝟒𝟐) + 𝟖𝒇(𝟏𝟏. 𝟐𝟐) − 𝟖𝒇(𝟕. 𝟖𝟒) + 𝟔. 𝟓𝟓

𝟏𝟐(𝟎. 𝟐)= 𝟏𝟔. 𝟑𝟒

Código en Matlab.

clc; clear all; fprintf('Programa para efectuar la derivacion de un set de datos\n\n'); fprintf('El programa le brindará la 1ª,2ª,3ª y 4ª derivada\n\n');

fprintf('Ingrese datos de variable independiente:\n');

fprintf('(RECUERDE QUE ESTOS DATOS DEBEN SER REGULARMENTE ESPACIADOS\n');

x=input('Ej.[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10])');

n=length(x);

e=0;

for i=1:n-3%este bucle verificará que el tamaño de paso sea el mismo

if (x(1,i+1)-x(1,i))~=(x(1,i+2)-x(1,i+1))

e=e+1;

break;

end

end if e>0,error ('Los datos deben ser igualmente espaciados');end

fprintf('Ingrese datos de la variable dependiente: \n');

y=input('(Ej.[1.4 2.1 3.3 4.8 6.8 6.6 8.6 7.5 8.9 10.9 10])');

h=x(1,2)-x(1,1);

n=length(x);

pridrv=zeros(1,n); %Desde el segundo dato hasta el penúltimo, Direncias finitas centradas

for i=2:n-1

pridrv(1,i)=(y(1,i+1)-y(1,i-1))/(2.*h);

end %Ahora Desarrollaremos la segunda derivada

segdrv=zeros(1,n);

if n<3

fprintf('No se puede calcular la segunda derivada con solo 2 datos\n');

else

segdrv(1,1)=(y(1,3)-2.*y(1,2)+y(1,1))/h.^2;

for i=2:n-1

segdrv(1,i)=(y(1,i+1)-2.*y(1,i)+y(1,i-1))/h.^2;

end

segdrv(1,n)=(y(1,n)-2.*y(1,n-1)+y(1,n-2))/h.^2;

fprintf('Las segundas derivadas para los datos ingresados son,

respectivamente: \n');

disp(segdrv);

end

%Tercera derivada:

if n<5

if n<4

fprintf('No se puede hallar la tercera derivada con menos de 4 datos\n');

else

fprintf('Con cuatro datos solo podemos hallar terceras derivadas en los

extremos');

fprintf('\n');

exterdrv=zeros(1,2);

exterdrv(1,1)=(y(1,4)-3.*y(1,3)+3.*y(1,2)-y(1,1))/h.^3;

exterdrv(1,2)=(y(1,n)-3.*y(1,n-1)+3.*y(1,n-2)-y(1,n-3))/h.^3;

fprintf('Estas son: ');

disp(exterdrv);

end

else

terdrv=zeros(1,n);

terdrv(1,1)=(y(1,4)-3.*y(1,3)+3.*y(1,2)-y(1,1))/h.^3;

terdrv(1,2)=(y(1,5)-3.*y(1,4)+3.*y(1,3)-y(1,2))/h.^3;

for i=3:n-2

terdrv(1,i)=(y(1,i+2)-2.*y(1,i+1)+2.*y(1,i-1)-y(1,i-2))/(2*h.^3);

end

terdrv(1,n-1)=(y(1,n-1)-3.*y(1,n-2)+3.*y(1,n-3)-y(1,n-4))/h.^3;

terdrv(1,n)=(y(1,n)-3.*y(1,n-1)+3.*y(1,n-2)-y(1,n-3))/h.^3;

fprintf('Las terceras derivadas para los datos ingresados son,


disp(terdrv);

end

%Cuarta derivada

if n<6

if n<5

fprintf('No se puede hallar la cuarta derivada con menos de 5 datos\n');

else

fprintf('Con cinco datos solo podemos hallar cuartas derivadas en los

extremos\n');

excuadrv(1,1)=(y(1,5)-4.*y(1,4)+6.*y(1,3)-4.*y(1,2)+y(1))/h.^4;

excuadrv(1,2)=(y(1,n)-4.*y(1,n-1)+6.*y(1,n-2)-4.*y(1,n-3)+y(n-4))/h.^4;

fprintf('Estas son:');

disp(excuadrv);

end

else

cuadrv=zeros(1,n);

cuadrv(1,1)=(y(1,5)-4.*y(1,4)+6.*y(1,3)-4.*y(1,2)+y(1))/h.^4;

cuadrv(1,2)=(y(1,6)-4.*y(1,5)+6.*y(1,4)-4.*y(1,3)+y(2))/h.^4;

for i=3:n-2

cuadrv(1,i)=(y(1,i+2)-4.*y(1,i+1)+6.*y(1,i)-4.*y(1,i-1)+y(1,i-2))/h.^4;

end

cuadrv(1,n)=(y(1,n)-4.*y(1,n-1)+6.*y(1,n-2)-4.*y(1,n-3)+y(n-4))/h.^4;

cuadrv(1,n-1)=(y(1,n-1)-4.*y(1,n-2)+6.*y(1,n-3)-4.*y(1,n-4)+y(n-5))/h.^4;

fprintf('Las cuartas derivadas para los datos ingresados son,


disp(cuadrv);

end

Ejercicio 5

1) f(x)=1-e^-2x = (x+(1/2)e^-2x) evaluado 4,0 =3.000167731

METODO DEL TRAPECIO

a=0 b=4

f(x)=1-e^-2x

f(x)=(b-a)(f(a)+f(b))

2

f(x)=(4-0)(0+0.99966) = 4(0.49983) =1.999

2

METODO DEL TRAPECIO APLICACIÓN MULTIPLE

f(x)=1-e^-2x

a=0 b=4 n=4 h=0.1

I=(b-a)(f(xo)+2 ∑(f(x1)+f(x2)+f(x3))+f(xn)

2n

x0=0 f(xo)=0

x1=0.1 f(x1)=1.1812

x2=0.2 f(x2)=0.3296

x3=0.3 f(x3)=0.4511

x4=0.4 f(x4)=0.5506

I=(4-0)(0+2 ∑(1.1812+0.3296+0.4511)+0.5506

2n

I=4(4.4744) =2.2372

8

METODO DE SIMPSON 1/3

f(x)=1-e^-2x

xo=0 x1=2 x2=4

I=(b-a)(f(xo)+4 f(x1)+f(x2)

6

I=(4-0)(0+4(0.9816)+0.9996 = 3.284

6

METODO DE SIMPSON 3/8 APLICACIÓN MULTIPLE

f(x)=1-e^-2x n=4

xo=0 x1=1 x2=2 x3=3 x4=4

I=(b-a)(f(xo)+4∑ (f(x1)+f(x2)+f(x3))+f(x4)

3n

I=(4-0)(0+4∑ (0.8646+0.9816+0.9975)+0.9996 =4.1248

12

2) f(x)=6+3cos x =6x+sen x evaluado de pi medios a 0= 12.4987

METODO DEL TRAPECIO

a=0 b=1.5708

f(x)=6+3cos x

f(x)=(b-a)(f(a)+f(b))

2

f(x)=(1.5708-0)(9+8.9990) = 1.5798(8.9995) =14.21

2


f(x)=6+3cos x

a=0 b=1.5708 n=4 h=0.1


2n

x0=0 f(xo)=9

x1=0.1 f(x1)=8.9999

x2=0.2 f(x2)=8.9999

x3=0.3 f(x3)=8.9999

x4=0.4 f(x4)=8.9999

I=(1.5708-0)(9+2 ∑(8.999+8.9999+8.9999)+8.9999

2n

I=1.5708(71.9993) =14.1370

8


f(x)=6+3cos x

xo=0 x1=0.7854 x2=1.5708

I=(b-a)(f(xo)+4 f(x1)+f(x2)

6

I=(1.5708-0)(9+4(8.9997)+8.9990 = 14.1366

6


f(x)=6+3cos x n=4

xo=0 x1=0.3927 x2=0.7854 x3=1.1781 x4=1.5708

I=(b-a)(f(xo)+4∑ (f(x1)+f(x2)+f(x3))+f(x4)

3n

I=(1.5708-0)(9+4∑ (8.9999+8.9997+8.9994)+8.9990 =16.4927

12

3) f(x)=(x+2/x)^2 =((x^2)+(4/x^2)+4)dx=8.33

METODO DEL TRAPECIO

a=1 b=2

f(x)=(x+2/x)^2

f(x)=(b-a)(f(a)+f(b))

2

f(x)=(2-1)(9+9) = 1(9) =9

2


f(x)= (x+2/x)^2

a=1 b=2 n=4 h=0.1


2n

x0=1 f(xo)=9

x1=1.1 f(x1)=7.9421

x2=1.2 f(x2)=8.2177

x3=1.3 f(x3)=8.0568

x4=1.4 f(x4)=8.0008

I=(2-1)(9+2 ∑(7.9421+8.2177+8.0568)+8.0008

2n

I=1(65.434) =8.1792

8


f(x)= (x+2/x)^2

xo=1 x1=1.5 x2=2

I=(b-a)(f(xo)+4 f(x1)+f(x2)

6

I=(2-1)(9+4(8.0277)+9 = 8.3518

6


f(x)= (x+2/x)^2 n=4

xo=1 x1=1.25 x2=1.5 x3=1.75 x4=2

I=(b-a)(f(xo)+4∑ (f(x1)+f(x2)+f(x3))+f(x4)

3n

I=(2-1)(9+4∑ (8.1225+8.0277+8.3686)+9 =9.6729

12

4) f(x)=(x^2)(e^x) =((x^2)(e^x))-((e^x)2x)=60.24

METODO DEL TRAPECIO

a=0 b=3

f(x)=(x^2)(e^x)

f(x)=(b-a)(f(a)+f(b))

2

f(x)=(3-0)(0+60.25) = 1(30.1283) =90.3849

2


f(x)= (x^2 )(e^x)

a=0 b=3 n=4 h=0.1


2n

x0=0 f(xo)=0

x1=0.1 f(x1)=0.0110

x2=0.2 f(x2)=0.0488

x3=0.3 f(x3)=0.1214

x4=0.4 f(x4)=0.2386

I=(3-0)(0+2 ∑(0.0110+0.0488+0.1214)+0.2386

2n

I=1(65.434) =0.9753

8


f(x)= (x^2 )(e^x)

xo=0 x1=1.5 x2=3

I=(b-a)(f(xo)+4 f(x1)+f(x2)

6

I=(3-0)(0+4(10.0838)+60.25 = 50.2926

6


f(x)= (x^2 )(e^x) n=4

xo=0 x1=0.75 x2=1.5 x3=2.25 x4=3

I=(b-a)(f(xo)+4∑ (f(x1)+f(x2)+f(x3))+f(x4)

3n

I=(3-0)(0+4∑ (1.1908+10.0838+48.0316)+60.25 =74.3687

12

Ejercicio 6

Usando el método de Euler mejorado y RK4 obtener la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales, considere h=0.1, en el intervalo de x=0 a 1. Además realice una gráfica en Matlab donde se observe la solución exacta y aproximada.

a) y’= x, y(0)=1

b) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦𝑥2 − 1.1𝑦 , y(0)=1

c) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= (1 + 2𝑥)√𝑦 , y(0)=1

Método de Euler mejorado

a) y’= x, y(0)=1 𝑋0= 0 𝑌0= 1 h= 0.1

Formula

𝑌𝑛+1 = 𝑌𝑛 +ℎ(𝑓(𝑋𝑛, 𝑌𝑛) + 𝑓(𝑋𝑛+1, 𝑌𝑛+1

∗ ))

2

𝑌𝑛+1∗ = 𝑌𝑛 + ℎ 𝑓(𝑋𝑛, 𝑌𝑛)

𝑋1= 0.1 , 𝑋2= 0.2, 𝑋3= 0.3, 𝑋4= 0.4, 𝑋5= 0.5, 𝑋6= 0.6, 𝑋7= 0.7, 𝑋8= 0.8, 𝑋9= 0.9,

𝑋10=1

y’= x

n=0

𝑌1∗ = 𝑌0 + ℎ 𝑓(𝑋0, 𝑌0) = 𝑌1

∗ = 1 + 0.1 (0) = 𝑌1∗= 1

𝑌1 = 𝑌0 +ℎ(𝑓(𝑋0,𝑌0)+𝑓(𝑋1,𝑌1

∗))

2 = 1 +

0.1(0.1(0)+(0.1))

2 = 1+0.005= 1.005

n=1

𝑌2 = 𝑌1 +ℎ(𝑓(𝑋1,𝑌1)+𝑓(𝑋2,𝑌2

∗))

2 = 1.005 +

0.1(0.1+(0.2))

2 = 1.005+0.015= 1.02

n=2

𝑌3 = 𝑌2 +ℎ(𝑓(𝑋2,𝑌2)+𝑓(𝑋3,𝑌3

∗))

2 = 1.02 +

0.1(0.2+(0.3))

2 = 1.02+0.025= 1.045

n=3

𝑌4 = 𝑌3 +ℎ(𝑓(𝑋3,𝑌3)+𝑓(𝑋4,𝑌4

∗))

2 = 1.045 +

0.1(0.3+(0.4))

2 = 1.08

n=4

𝑌5 = 𝑌4 +ℎ(𝑓(𝑋4,𝑌4)+𝑓(𝑋5,𝑌5

∗))

2 = 1.08 +

0.1(0.4+(0.5))

2 =1.125

n=5

𝑌6 = 𝑌0 +ℎ(𝑓(𝑋5,𝑌5)+𝑓(𝑋6,𝑌6

∗))

2 = 1.125 +

0.1(0.5+(0.6))

2 = 1.18

n=6

𝑌7 = 𝑌6 +ℎ(𝑓(𝑋6,𝑌6)+𝑓(𝑋7,𝑌7

∗))

2 = 1.18 +

0.1(0.6+(0.7))

2 = 1.245

n=7

𝑌8 = 𝑌7 +ℎ(𝑓(𝑋7,𝑌7)+𝑓(𝑋8,𝑌8

∗))

2 = 1.245 +

0.1(0.7+(0.8))

2 = 1.32

n=8

𝑌9 = 𝑌8 +ℎ(𝑓(𝑋8,𝑌8)+𝑓(𝑋9,𝑌9

∗))

2 = 1.32 +

0.1(0.8+(0.9))

2 = 1.405

n=9

𝑌10 = 𝑌9 +ℎ(𝑓(𝑋9,𝑌9)+𝑓(𝑋10,𝑌10

∗ ))

2 = 1.405 +

0.1(0.8+(0.9))

2 = 1.5

Respuesta Exacta y’= x, X=0

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥 Y=1

dy= x dx 1=02

2+ 𝑐

∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 1= 0+ c

Y = 𝑥2

2+ 𝑐 1=c

Y = 𝒙𝟐

𝟐+ 𝟏

X=0.1 𝑌1 = 0.12

2+ 1 = 1.005

X=0.2 𝑌2 = 0.22

2+ 1 = 1.02

X=0.3 𝑌3 = 0.32

2+ 1 = 1.045

X=0.4 𝑌4 = 0.42

2+ 1 = 1.08

X=0.5 𝑌5 = 0.52

2+ 1 = 1.125

X=0.6 𝑌6 = 0.62

2+ 1 = 1.18

X=0.7 𝑌7 = 0.72

2+ 1 = 1.245

X=0.8 𝑌1 = 0.82

2+ 1 = 1.32

X=0.9 𝑌1 = 0.92

2+ 1 = 1.405

X=1 𝑌1 = 12

2+ 1 = 1.5

Método de Runge – Kutta 4

a) y’= x, y(0)=1 𝑋0= 0 𝑌0= 1 h= 0.1

Formula

𝑌𝑛+1 = 𝑌𝑛 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)

𝑘1 = 𝑓(𝑋𝑛, 𝑌𝑛)

𝑘2 = 𝑓 (𝑋𝑛 +1

2ℎ, 𝑌𝑛 +

1

2ℎ𝑘1)

𝑘3 = 𝑓 (𝑋𝑛 +1

2ℎ, 𝑌𝑛 +

1

2ℎ𝑘2)

𝑘4 = 𝑓(𝑋𝑛 + ℎ, 𝑌𝑛 + ℎ𝑘3)

n=0

𝑘1 = 𝑓(𝑋0, 𝑌0) = (0)=0

𝑘2 = 𝑓 (𝑋0 +1

2ℎ, 𝑌0 +

1

2ℎ𝑘1)= (0+1/2(0.1)1)=0.05

𝑘3 = 𝑓 (𝑋0 +1

2ℎ, 𝑌0 +

1

2ℎ𝑘2) =(0+1/2(0.1)1)=0.05

𝑘4 = 𝑓(𝑋0 + ℎ, 𝑌0 + ℎ𝑘3) =(0+0.1)=0.1

𝑌1 = 𝑌0 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1+0.1/6(0+2(0.05)+2(0.05)+0.1)

𝑌1 =1+0.0166(0+0.1+0.1+0.1)= 1.0049

n=1

𝑘1 = 𝑓(𝑋1, 𝑌1) = (0.1)=0.1

𝑘2 = 𝑓 (𝑋1 +1

2ℎ, 𝑌1 +

1

2ℎ𝑘1)= (0.1+1/2(0.1))=0.15

𝑘3 = 𝑓 (𝑋1 +1

2ℎ, 𝑌1 +

1

2ℎ𝑘2) =(0.1+1/2(0.1))=0.15

𝑘4 = 𝑓(𝑋1 + ℎ, 𝑌1 + ℎ𝑘3) =(0.1+0.1)=0.2

𝑌2 = 𝑌1 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1.0049+0.1/6(0.1+2(0.15)+2(0.15)+0.2)

𝑌2 =1.0049+0.0166(0+0.3+0.3+0.2)= 1.018 n=2

𝑘1 = 𝑓(𝑋2, 𝑌2) = (0.2)=0.2

𝑘2 = 𝑓 (𝑋2 +1

2ℎ, 𝑌2 +

1

2ℎ𝑘1)= (0.2+1/2(0.1))=0.25

𝑘3 = 𝑓 (𝑋2 +1

2ℎ, 𝑌2 +

1

2ℎ𝑘2) =(0.2+1/2(0.1))=0.25

𝑘4 = 𝑓(𝑋2 + ℎ, 𝑌2 + ℎ𝑘3) =(0.2+0.1)=0.3

𝑌3 = 𝑌3 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1.018+0.1/6(0.2+2(0.25)+2(0.25)+0.3)

𝑌3 =1.018+0.0166(0+0.5+0.5+0.3)= 1.04 n=3

𝑘1 = 𝑓(𝑋3, 𝑌3) = (0.3)=0.3

𝑘2 = 𝑓 (𝑋3 +1

2ℎ, 𝑌3 +

1

2ℎ𝑘1)= (0.3+1/2(0.1))=0.35

𝑘3 = 𝑓 (𝑋3 +1

2ℎ, 𝑌3 +

1

2ℎ𝑘2) =(0.3+1/2(0.1))=0.35

𝑘4 = 𝑓(𝑋3 + ℎ, 𝑌3 + ℎ𝑘3) =(0.3+0.1)=0.4

𝑌4 = 𝑌3 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1.04+0.1/6(0.3+2(0.35)+2(0.35)+0.4)

𝑌4 =1.04+0.0166(0+0.7+0.7+0.4)= 1.06 n=4

𝑘1 = 𝑓(𝑋4, 𝑌4) = (0.4)=0.4

𝑘2 = 𝑓 (𝑋4 +1

2ℎ, 𝑌4 +

1

2ℎ𝑘1)= (0.4+1/2(0.1))=0.45

𝑘3 = 𝑓 (𝑋4 +1

2ℎ, 𝑌4 +

1

2ℎ𝑘2) =(0.1+1/2(0.1))=0.45

𝑘4 = 𝑓(𝑋4 + ℎ, 𝑌4 + ℎ𝑘3) =(0.4+0.1)=0.5

𝑌5 = 𝑌4 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1.06+0.1/6(0.4+2(0.45)+2(0.45)+0.5)

𝑌5 =1.06+0.0166(0+0.9+0.9+0.5)= 1.09 n=5

𝑘1 = 𝑓(𝑋5, 𝑌5) = (0.5)=0.5

𝑘2 = 𝑓 (𝑋5 +1

2ℎ, 𝑌5 +

1

2ℎ𝑘1)= (0.5+1/2(0.1))=0.55

𝑘3 = 𝑓 (𝑋5 +1

2ℎ, 𝑌5 +

1

2ℎ𝑘2) =(0.5+1/2(0.1))=0.55

𝑘4 = 𝑓(𝑋5 + ℎ, 𝑌5 + ℎ𝑘3) =(0.5+0.1)=0.7

𝑌6 = 𝑌5 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1.09+0.1/6(0.5+2(0.55)+2(0.55)+0.7)

𝑌6 =1.09+0.0166(0.5+1.1+1.1+0.7)= 1.13 n=6

𝑘1 = 𝑓(𝑋6, 𝑌6) = (0.6)=0.6

𝑘2 = 𝑓 (𝑋6 +1

2ℎ, 𝑌6 +

1

2ℎ𝑘1)= (0.6+1/2(0.1))=0.65

𝑘3 = 𝑓 (𝑋6 +1

2ℎ, 𝑌6 +

1

2ℎ𝑘2) =(0.6+1/2(0.1))=0.65

𝑘4 = 𝑓(𝑋6 + ℎ, 𝑌6 + ℎ𝑘3) =(0.6+0.1)=0.7

𝑌7 = 𝑌1 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1.13+0.1/6(0.6+2(0.65)+2(0.65)+0.7)

𝑌7 =1.13+0.0166(0.6+1.3+1.3+0.8)= 1.18 n=7

𝑘1 = 𝑓(𝑋7, 𝑌7) = (0.7)=0.7

𝑘2 = 𝑓 (𝑋7 +1

2ℎ, 𝑌7 +

1

2ℎ𝑘1)= (0.7+1/2(0.1))=0.75

𝑘3 = 𝑓 (𝑋7 +1

2ℎ, 𝑌7 +

1

2ℎ𝑘2) =(0.7+1/2(0.1))=0.75

𝑘4 = 𝑓(𝑋7 + ℎ, 𝑌7 + ℎ𝑘3) =(0.7+0.1)=0.8

𝑌8 = 𝑌1 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1.18+0.1/6(0.7+2(0.75)+2(0.75)+0.8)

𝑌8 =1.18+0.0166(0.7+1.5+1.5+0.8)= 1.25 n=8

𝑘1 = 𝑓(𝑋8, 𝑌8) = (0.8)=0.8

𝑘2 = 𝑓 (𝑋8 +1

2ℎ, 𝑌8 +

1

2ℎ𝑘1)= (0.8+1/2(0.1))=0.85

𝑘3 = 𝑓 (𝑋8 +1

2ℎ, 𝑌8 +

1

2ℎ𝑘2) =(0.8+1/2(0.1))=0.85

𝑘4 = 𝑓(𝑋8 + ℎ, 𝑌8 + ℎ𝑘3) =(0.8+0.1)=0.9

𝑌9 = 𝑌9 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1.25+0.1/6(0.8+2(0.85)+2(0.85)+0.9)

𝑌2 =1.25+0.0166(0.8+1.7+1.7+0.9)= 1.33 n=9

𝑘1 = 𝑓(𝑋9, 𝑌9) = (0.9)=0.9

𝑘2 = 𝑓 (𝑋9 +1

2ℎ, 𝑌9 +

1

2ℎ𝑘1)= (0.9+1/2(0.1))=0.95

𝑘3 = 𝑓 (𝑋9 +1

2ℎ, 𝑌9 +

1

2ℎ𝑘2) =(0.9+1/2(0.1))=0.95

𝑘4 = 𝑓(𝑋9 + ℎ, 𝑌9 + ℎ𝑘3) =(0.9+0.1)=1

𝑌10 = 𝑌9 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1.33+0.1/6(0.9+2(0.95)+2(0.95)+1)

𝑌10 =1.33+0.0166(0.9+1.9+1.9+1)= 1.42

Metodo de Euler Mejorado

b) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦𝑥2 − 1.1𝑦 , y(0)=1 1 𝑋0= 0 𝑌0= 1 h= 0.1

N=0

𝑌1∗ = 𝑌0 + ℎ 𝑓(𝑋0, 𝑌0) = 𝑌1

∗ = 1 + 0.1((0) − 1.1( 1)) = 0.89

𝑌1 = 𝑌0 +ℎ(𝑓(𝑋0,𝑌0)+𝑓(𝑋1,𝑌1

∗))

2 = 1 +

0.1(0(0)−1.1(0.1))

2 = 1+0.005= 1.005

n=1

𝑌2∗ = 𝑌1 + ℎ 𝑓(𝑋1, 𝑌1)= = 1.005 + 0.1((0.01) − 1.1( 1.005)) = 0.9

𝑌2 = 𝑌1 +ℎ(𝑓(𝑋1,𝑌1)+𝑓(𝑋2,𝑌2

∗))

2 = 1.005 +

0.1(0.1+(0.2))

2 = 1.005+0.015= 1.02

n=2

𝑌3∗ = 𝑌2 + ℎ 𝑓(𝑋2, 𝑌2)= 𝑌3

∗ = 1.02 + 0.1((0.2) − 1.1( 1.02)) = 1.005

𝑌3 = 𝑌3 +ℎ(𝑓(𝑋2,𝑌2)+𝑓(𝑋3,𝑌3

∗))

2 = 1.02 +

0.1(0.2+(0.3))

2 = 1.02+0.025= 1.045

n=3

𝑌4∗ = 𝑌3 + ℎ 𝑓(𝑋3, 𝑌3) = 𝑌4

∗ = 1.045 + 0.1((0.3) − 1.1( 1.045)) = 1.156

𝑌4 = 𝑌4 +ℎ(𝑓(𝑋3,𝑌3)+𝑓(𝑋4,𝑌4

∗))

2 = 1.045 +

0.1(0.3+(1.156))

2 = 1.11+0.125= 1.355

n=4

𝑌5∗ = 𝑌4 + ℎ 𝑓(𝑋4, 𝑌4) = 𝑌5

∗ = 1.355 + 0.1((0.4) − 1.1( 1.355)) = 1.255

𝑌5 = 𝑌5 +ℎ(𝑓(𝑋4,𝑌4)+𝑓(𝑋5,𝑌5

∗))

2 = 1.355 +

0.1(0.4+(1.255))

2 = 1.25+0.125= 1.455

n=5

𝑌6∗ = 𝑌5 + ℎ 𝑓(𝑋5, 𝑌5) = 𝑌6

∗ = 1.455 + 0.1((0) − 1.1( 1.455)) = 1.354

𝑌6 = 𝑌6 +ℎ(𝑓(𝑋5,𝑌5)+𝑓(𝑋6,𝑌6

∗))

2 = 1.455 +

0.1(0.5+(1.354))

2 = 1.30+0.15= 1.555

n=6

𝑌7∗ = 𝑌6 + ℎ 𝑓(𝑋6, 𝑌6) = 𝑌7

∗ = 1.55 + 0.1((0.6) − 1.1( 1.55)) = 1.456

𝑌7 = 𝑌6 +ℎ(𝑓(𝑋6,𝑌6)+𝑓(𝑋7,𝑌7

∗))

2 = 1.55 +

0.1(0.6+(1.456))

2 = 1.55+0.125= 1.645

n=7

𝑌8∗ = 𝑌7 + ℎ 𝑓(𝑋7, 𝑌7) = 𝑌8

∗ = 1.645 + 0.1((0.7) − 1.1( 1.645)) = 1.575

𝑌8 = 𝑌7 +ℎ(𝑓(𝑋7,𝑌7)+𝑓(𝑋8,𝑌8

∗))

2= 1.645 +

0.1(0.7+(1.575))

2 = 1.645+0.155= 1755

Método de Euler mejorado

c) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= (1 + 2𝑥)√𝑦 , y(0)=1 𝑋0= 0 𝑌0= 1 h= 0.1

Formula

𝑌𝑛+1 = 𝑌𝑛 +ℎ(𝑓(𝑋𝑛, 𝑌𝑛) + 𝑓(𝑋𝑛+1, 𝑌𝑛+1

∗ ))

2

𝑌𝑛+1∗ = 𝑌𝑛 + ℎ 𝑓(𝑋𝑛, 𝑌𝑛)

𝑋1= 0.1 , 𝑋2= 0.2, 𝑋3= 0.3, 𝑋4= 0.4, 𝑋5= 0.5, 𝑋6= 0.6, 𝑋7= 0.7, 𝑋8= 0.8, 𝑋9= 0.9,

𝑋10=1 𝑑𝑦

𝑑𝑥= (1 + 2𝑥)√𝑦

n=0

𝑌1∗ = 𝑌0 + ℎ 𝑓(𝑋0, 𝑌0) = 𝑌1

∗ = 1 + 0.1 (1 + 2(0)) = 𝑌1∗= 1.1

𝑌1 = 𝑌0 +ℎ(𝑓(𝑋0,𝑌0)+𝑓(𝑋1,𝑌1

∗))

2 = 1 +

0.1(1+2(0)+(1+2(0.1)(√1.1))

2 =1.111

n=1

𝑌2∗ = 𝑌1 + ℎ 𝑓(𝑋1, 𝑌1) =𝑌1

∗ = 1.111 + 0.1 (1 + 2(0.1)(√1.11) = 1.12

𝑌2 = 𝑌1 +ℎ(𝑓(𝑋1,𝑌1)+𝑓(𝑋2,𝑌2

∗))

2 = 1.11 +

0.1(1+2(0.1)(√1.11+(1+2(0.1)(√1.12))

2 =1.23

n=2

𝑌3∗ = 𝑌2 + ℎ 𝑓(𝑋2, 𝑌2) =𝑌3

∗ = 1.23 + 0.1 (1 + 2(0.2)(√1.23) = 1.37

𝑌3 = 𝑌2 +ℎ(𝑓(𝑋2,𝑌2)+𝑓(𝑋3,𝑌3

∗))

2 = 1.23 +

0.1(1+2(0.2)(√1.23+(1+2(0.3)(√1.37))

2 =1.38

n=3

𝑌4∗ = 𝑌3 + ℎ 𝑓(𝑋3, 𝑌3) =𝑌3

∗ = 1.38 + 0.1 (1 + 2(0.3)(√1.38) = 1.55

𝑌4 = 𝑌3 +ℎ(𝑓(𝑋3,𝑌3)+𝑓(𝑋4,𝑌4

∗))

2 = 1.38 +

0.1(1+2(0.3)(√1.38+(1+2(0.4)(√1.55))

2 =1.56

n=4

𝑌5∗ = 𝑌4 + ℎ 𝑓(𝑋4, 𝑌4) =𝑌5

∗ = 1.56 + 0.1 (1 + 2(0.4)(√1.56) = 1.75

𝑌5 = 𝑌4 +ℎ(𝑓(𝑋4,𝑌4)+𝑓(𝑋5,𝑌5

∗))

2 = 1.56 +

0.1(1+2(0.4)(√1.56+(1+2(0.5)(√1.75))

2 =1.79

n=5

𝑌6∗ = 𝑌5 + ℎ 𝑓(𝑋5, 𝑌5) =𝑌6

∗ = 1.79 + 0.1 (1 + 2(0.5)(√1.79) = 2.02

𝑌6 = 𝑌5 +ℎ(𝑓(𝑋5,𝑌5)+𝑓(𝑋6,𝑌6

∗))

2 = 1.79 +

0.1(1+2(0.5)(√1.79+(1+2(0.6)(√2.02))

2 =2.04

Respuesta Exacta

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (1 + 2𝑥)√𝑦 X= 0 y=1

dy= (1 + 2𝑥)√𝑦𝑑𝑥 Y = (𝑒𝑥+𝑥2+𝑐)2

𝑑𝑦

√𝑦= (1 + 2𝑥)𝑑𝑥 1 = (𝑒0+12+𝑐)

2

∫𝑑𝑦

√𝑦= ∫(1 + 2𝑥) 𝑑𝑥

Y = (𝑒𝑥+𝑥2+𝑐)2 0=c

Y = (𝑒𝑥+𝑦2)

2

X=0.1 𝑌1 = (𝑒0.1+0.12)

2 = 1.245

X=0.2 𝑌2 = (𝑒0.2+0.22)

2 = 1.27

X=0.3 𝑌3 (𝑒0.3+0.32)

2= 1.47

X=0.4 𝑌4 = (𝑒0.4+0.42)

2= 1.75

X=0.5 𝑌5 = (𝑒0.5+0.52)

2= 2.11

X=0.6 𝑌6 = (𝑒0.6+0.62)

2= 2.61

X=0.7 𝑌7 = (𝑒0.7+0.72)

2= 3.28

X=0.8 𝑌1 = (𝑒0.8+0.82)

2 = 4.22

X=0.9 𝑌1 (𝑒0.9+0.92)

2= 5.52

X=1 𝑌1 (𝑒1+12)

2= 7.38

Método de Runge – Kutta 4

c) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= (1 + 2𝑥)√𝑦, y(0)=1 𝑋0= 0 𝑌0= 1 h= 0.1

Formula

𝑌𝑛+1 = 𝑌𝑛 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)

𝑘1 = 𝑓(𝑋𝑛, 𝑌𝑛)

𝑘2 = 𝑓 (𝑋𝑛 +1

2ℎ, 𝑌𝑛 +

1

2ℎ𝑘1)

𝑘3 = 𝑓 (𝑋𝑛 +1

2ℎ, 𝑌𝑛 +

1

2ℎ𝑘2)

𝑘4 = 𝑓(𝑋𝑛 + ℎ, 𝑌𝑛 + ℎ𝑘3)

n=0

𝑘1 = 𝑓(𝑋0, 𝑌0) = (1+2(0))(√1)=1

𝑘2 = 𝑓 (𝑋0 +1

2ℎ, 𝑌0 +

1

2ℎ𝑘1)= (1+2(0))( +1/2(0.1)) (√1)1/2(1)=1.0025

𝑘3 = 𝑓 (𝑋0 +1

2ℎ, 𝑌0 +

1

2ℎ𝑘2) = (1+2(0))( +1/2(0.1)) (√1)1/2(1.002)=1.02

𝑘4 = 𝑓(𝑋0 + ℎ, 𝑌0 + ℎ𝑘3) =(1+2(0)+0.1(1)+0.1(1.02)=1.21

𝑌1 = 𝑌0 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1+0.1/6(1+2(1.0025)+2(1.02)+1.21)

𝑌1 =1+0.0166(1+2.005+2.04+1.21)= 1.104

n=1

𝑘1 = 𝑓(𝑋1, 𝑌1) = (1+2(0.1)(sqrt1.10)=1.248

𝑘2 = 𝑓 (𝑋1 +1

2ℎ, 𝑌1 +

1

2ℎ𝑘1)=(1+2(0.1)+1/2(0.1) (√1. 14)1/2(1.24)=0.82

𝑘3 = 𝑓 (𝑋1 +1

2ℎ, 𝑌1 +

1

2ℎ𝑘2)=(1+2(0.1)+1/2(0.1) (√1. 14)1/2(0.82)=0.54

𝑘4 = 𝑓(𝑋1 + ℎ, 𝑌1 + ℎ𝑘3) =(1+2(0.1)+0.1(sqrt1.14)0.1(1.02)=1.21

𝑌2 = 𝑌1 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1.0049+0.1/6(0.1+2(0.15)+2(0.15)+0.2)

𝑌2 =1.0049+0.0166(0+0.3+0.3+0.2)= 1.018 n=2

𝑘1 = 𝑓(𝑋2, 𝑌2) = (0.2)=0.2

𝑘2 = 𝑓 (𝑋2 +1

2ℎ, 𝑌2 +

1

2ℎ𝑘1)= (0.2+1/2(0.1))=0.25

𝑘3 = 𝑓 (𝑋2 +1

2ℎ, 𝑌2 +

1

2ℎ𝑘2) =(0.2+1/2(0.1))=0.25

𝑘4 = 𝑓(𝑋2 + ℎ, 𝑌2 + ℎ𝑘3) =(0.2+0.1)=0.3

𝑌3 = 𝑌3 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1.018+0.1/6(0.2+2(0.25)+2(0.25)+0.3)

𝑌3 =1.018+0.0166(0+0.5+0.5+0.3)= 1.04 n=3

𝑘1 = 𝑓(𝑋3, 𝑌3) = (0.3)=0.3

𝑘2 = 𝑓 (𝑋3 +1

2ℎ, 𝑌3 +

1

2ℎ𝑘1)= (0.3+1/2(0.1))=0.35

𝑘3 = 𝑓 (𝑋3 +1

2ℎ, 𝑌3 +

1

2ℎ𝑘2) =(0.3+1/2(0.1))=0.35

𝑘4 = 𝑓(𝑋3 + ℎ, 𝑌3 + ℎ𝑘3) =(0.3+0.1)=0.4

𝑌4 = 𝑌3 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1.04+0.1/6(0.3+2(0.35)+2(0.35)+0.4)

𝑌4 =1.04+0.0166(0+0.7+0.7+0.4)= 1.06 n=4

𝑘1 = 𝑓(𝑋4, 𝑌4) = (0.4)=0.4

𝑘2 = 𝑓 (𝑋4 +1

2ℎ, 𝑌4 +

1

2ℎ𝑘1)= (0.4+1/2(0.1))=0.45

𝑘3 = 𝑓 (𝑋4 +1

2ℎ, 𝑌4 +

1

2ℎ𝑘2) =(0.1+1/2(0.1))=0.45

𝑘4 = 𝑓(𝑋4 + ℎ, 𝑌4 + ℎ𝑘3) =(0.4+0.1)=0.5

𝑌5 = 𝑌4 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1.06+0.1/6(0.4+2(0.45)+2(0.45)+0.5)

𝑌5 =1.06+0.0166(0+0.9+0.9+0.5)= 1.09 n=5

𝑘1 = 𝑓(𝑋5, 𝑌5) = (0.5)=0.5

𝑘2 = 𝑓 (𝑋5 +1

2ℎ, 𝑌5 +

1

2ℎ𝑘1)= (0.5+1/2(0.1))=0.55

𝑘3 = 𝑓 (𝑋5 +1

2ℎ, 𝑌5 +

1

2ℎ𝑘2) =(0.5+1/2(0.1))=0.55

𝑘4 = 𝑓(𝑋5 + ℎ, 𝑌5 + ℎ𝑘3) =(0.5+0.1)=0.7

𝑌6 = 𝑌5 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1.09+0.1/6(0.5+2(0.55)+2(0.55)+0.7)

𝑌6 =1.09+0.0166(0.5+1.1+1.1+0.7)= 1.13 n=6

𝑘1 = 𝑓(𝑋6, 𝑌6) = (0.6)=0.6

𝑘2 = 𝑓 (𝑋6 +1

2ℎ, 𝑌6 +

1

2ℎ𝑘1)= (0.6+1/2(0.1))=0.65

𝑘3 = 𝑓 (𝑋6 +1

2ℎ, 𝑌6 +

1

2ℎ𝑘2) =(0.6+1/2(0.1))=0.65

𝑘4 = 𝑓(𝑋6 + ℎ, 𝑌6 + ℎ𝑘3) =(0.6+0.1)=0.7

𝑌7 = 𝑌1 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1.13+0.1/6(0.6+2(0.65)+2(0.65)+0.7)

𝑌7 =1.13+0.0166(0.6+1.3+1.3+0.8)= 1.18 n=7

𝑘1 = 𝑓(𝑋7, 𝑌7) = (0.7)=0.7

𝑘2 = 𝑓 (𝑋7 +1

2ℎ, 𝑌7 +

1

2ℎ𝑘1)= (0.7+1/2(0.1))=0.75

𝑘3 = 𝑓 (𝑋7 +1

2ℎ, 𝑌7 +

1

2ℎ𝑘2) =(0.7+1/2(0.1))=0.75

𝑘4 = 𝑓(𝑋7 + ℎ, 𝑌7 + ℎ𝑘3) =(0.7+0.1)=0.8

𝑌8 = 𝑌1 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1.18+0.1/6(0.7+2(0.75)+2(0.75)+0.8)

𝑌8 =1.18+0.0166(0.7+1.5+1.5+0.8)= 1.25 n=8

𝑘1 = 𝑓(𝑋8, 𝑌8) = (0.8)=0.8

𝑘2 = 𝑓 (𝑋8 +1

2ℎ, 𝑌8 +

1

2ℎ𝑘1)= (0.8+1/2(0.1))=0.85

𝑘3 = 𝑓 (𝑋8 +1

2ℎ, 𝑌8 +

1

2ℎ𝑘2) =(0.8+1/2(0.1))=0.85

𝑘4 = 𝑓(𝑋8 + ℎ, 𝑌8 + ℎ𝑘3) =(0.8+0.1)=0.9

𝑌9 = 𝑌9 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1.25+0.1/6(0.8+2(0.85)+2(0.85)+0.9)

𝑌2 =1.25+0.0166(0.8+1.7+1.7+0.9)= 1.33

n=9

𝑘1 = 𝑓(𝑋9, 𝑌9) = (0.9)=0.9

𝑘2 = 𝑓 (𝑋9 +1

2ℎ, 𝑌9 +

1

2ℎ𝑘1)= (0.9+1/2(0.1))=0.95

𝑘3 = 𝑓 (𝑋9 +1

2ℎ, 𝑌9 +

1

2ℎ𝑘2) =(0.9+1/2(0.1))=0.95

𝑘4 = 𝑓(𝑋9 + ℎ, 𝑌9 + ℎ𝑘3) =(0.9+0.1)=1

𝑌10 = 𝑌9 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)=1.33+0.1/6(0.9+2(0.95)+2(0.95)+1)

𝑌10 =1.33+0.0166(0.9+1.9+1.9+1)= 1.42 Codigo matlab

Euler

function [t,x] =euler(f,t0,tf,x0,n)

h=(tf-t0)/n;

t=t0:h:tf;

x=zeros(n+1,1); %reserva memoria para n+1 elementos del vector x

x(1)=x0;

for i=1:n

x(i+1)=x(i)+f(t(i),x(i))*h;

end

end

tf=input('tiempo final, tf: ');

n=input('número de pasos, n: ');

f=@(t,x) cos(t);

%condiciones iniciales

t0=0;

x0=0;

[t,x]=euler(f,t0,tf,x0,n);

hold on

plot(t,x,'b')

y=sin(t);

plot(t,y,'r')

xlabel('t')

ylabel('x');

legend('aproximada','exacta')

title('dx/dt=cost')

hold off

runge kutaa

function [t,x] =rk_1(f,t0,tf,x0,n)

h=(tf-t0)/n;

t=t0:h:tf;

x=zeros(n+1,1); %reserva memoria para n elementos del vector x

x(1)=x0;

for i=1:n

k1=h*f(t(i),x(i));

k2=h*f(t(i)+h/2,x(i)+k1/2);

k3=h*f(t(i)+h/2,x(i)+k2/2);

k4=h*f(t(i)+h,x(i)+k3);

x(i+1)=x(i)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

end

end

Método del Trapecio en matlab clear all;

clc;

fprintf('Calculo de la integral por el metodo trapecial\n\n');

f=input('introduce la funcion:','s');

a=input('lime inferior:');

b=input('limite superior:');

c=input('numero de segmentos a dividir:');

h=(b-a)/c;

z=0;

for x=a:h:b

k=eval(f);

if x==a,d=k;

end

if x==b,e=k;

end

z=z+k;

end

z=z-d-e;

z=z*2;

z=z+d+e;

z=z/(2*c);

z=z*(b-a)

fprintf('Resultado ');

Simpson 1/3 en Matlab

%regla de simpson 1/3

clear all; close all; clc

fun=input('Ingresa la función f(x) entre comillas: ');

f=inline(fun);

n=1;

while mod(n,2)~=0

n=input('Ingrese el número de subintervalos: ');

if mod(n,2)~=0

disp('El número de subintervalos debe ser par, pulse

una tecla para continuar')

pause

end

end

a=input('Ingrese el límite inferior de la integral: ');

b=input('Ingrese el límite superior de la integral: ');

h=(b-a)/n;

sumai=0;

sumap=0;

for i=1:2:n-1

sumai=sumai+feval(f,h*i+a);

end

for i=2:2:n-2

sumap=sumap+feval(f,h*i+a);

end

int=(h/3)*(feval(f,a)+4*sumai+2*sumap+feval(f,b));

disp(['El resultado de la integral es ' num2str(int)])

metodos numericos

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