metodos numericos biseccion

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD JUAREZ

METODOS NUMERICOS

METODO DE BISECCION

EQUIPO:

CHRISTIAN BERENICE MOLINAR ALANIS

JOSE DIEGO ZÚÑIGA PAYAN

RICARDO OLIVARES GARCIA

CARLOS AGUSTIN GARCIA

REPORTE

28 DE SEPTIEMBRE DE 2012

Objetivo: Que los alumnos puedan resolver una ecuación, encontrando su raíz exacta

utilizando un método numérico de los que fueron vistos en clase.

Nombre de los integrantes: Christian Berenice Molinar Alanís Ricardo Olivares García José Diego Zúñiga Payan Carlos Alfredo Agustín García

Matricula: 09111064 09111085 09111175 09110911

Nombre del Curso: Métodos Numéricos

Nombre del Profesor: María Leonor Castañeda Herrera

Modulo: Unidad 2 Método de Solución de Ecuaciones

Actividad: Solución de un problema por uso de métodos numéricos

Fecha: 28 de septiembre de 2012

Bibliografía: (S.A)(S.F) recuperado de http://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070709063856AAx8AMc (S.A)(S.F) recuperado de http://metodosnumericos.webatu.com/22metododebiseccion.html Richard L Burden, J. Douglas Faires (2000), "Numerical Analysis, (7th Ed)", Brooks/Cole

http://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070709063856AAx8AMc

http://metodosnumericos.webatu.com/22metododebiseccion.html

REPORTE


Introducción. Como podemos ver, los métodos numéricos son técnicas meramente algebraicas y

aritméticas, con la cual se intenta resolver de forma aproximada ecuaciones o sistemas de

ecuaciones complejas, que analíticamente resultarían difíciles e incluso imposibles de resolver.

Existen varios métodos numéricos para la resolución de ecuaciones complejas, uno de

los métodos mas sencillos es el de método de bisección, el cual se explicara a continuación en

este reporte.

REPORTE


¿En Que Consiste El Método De Bisección? El método es bastante sencillo, se considera un intervalo cerrado [Xi, Xs] en el que se

garantice que la función tiene raíz; es decir, se seleccionan dos puntos por donde pasa la

grafica a través del eje X, esos dos valores se suman y se divide entre dos, con el fin de

encontrar con este método el valor aproximado de su raíz. La posición de la raíz se determina

situándola en el punto medio del subintervalo donde exista cambio de signo.

Si bien la puesta en marcha de este método es muy fácil de llevar a cabo, el número de cálculos que se debe realizar para alcanzar la precisión deseada suele ser muy elevado. Por lo que para encontrar la solución de una ecuación compleja puede tomas hasta n iteraciones, por lo que al tratar de hacerlo manualmente seria tedioso, por lo que con ayuda de un programa basado en este método es más sencillo de encontrar el valor aproximado. Para el número de iteraciones se tiene esta ecuación, el proceso se repite hasta mejorar la aproximación:

REPORTE


Pasos Para La Solución De Una Ecuación Por El Método De

Bisección Paso 1:

Para el método de bisección primero se debe de tener la grafica de la ecuación a la

cual se le desea sacar su raíz por el método de bisección. En este ejemplo usaremos la

ecuación , la cual se muestra su grafica a continuación:

Paso 2:

Se eligen los valores iniciales [Xa,Xb] de tal forma de que la función cambie de signo:

f(Xa)f(Xb) < 0.

Como vemos en la grafica, la parábola cruza pro dos puntos en el eje X, es decir que

hay dos raíces las cuales debemos de encontrar con el método de bisección. Los primeros dos

intervalos de la ecuación serian [0,1] y el siguiente intervalo seria [4,5]. Se seleccionaron estos

dos intervalos por que la grafica entre esos dos puntos cambia de positivo a negativo en el

punto [0,1] y de negativo a positivo en el punto [4,5].

Esto no quiere decir que con estos dos intervalos exactos de la raíz, si no que son los posibles

para encontrar el resultado por un método analítico.

REPORTE


Paso 3:

Para el siguiente paso es el uso de las iteraciones, por lo que en estas graficas el

numero de iteraciones de cada raíz es de 14 y 15, por lo que hacerlas manualmente seria

tardado, debido a esto se realizo el siguiente código en C++ para resolver este problema.

Código del Programa.

#include<iostream>//lib inicio

#include<math.h>//lib matematicas

using namespace std;

//inicio del codigo

double f(double x)//declaramos una funcion con una variable f(x)

{return (pow(x,2)-5*x +2);} //la funcion a graficar es: x^2-5x + 2, cabe resaltar que los

intervalos por donde pasa

//se pueden cambiar ya sea de [0,1] o tambien [4,5] ya que cruza por 2 puntos

main()

{

double a=0.0,b=1.0,c,tol=0.0001; //en esta seccion van los intervalos, una variable q es

c=punto medio

//y el nivel de tolerancia de los decimales del resultado

int i=1 ;

if (f(a)*f(b)<0)

{

c=(a+b)/2.0;//valor medio

cout<<" METODO DE BISECCION "<<endl;

cout<<"\t"<<"-------------------------------------------------------------------------------"<<endl;

cout<<"\t"<<"-------------------------------------------------------------------------------"<<endl;

cout<<"\t"<<"#it"<<"\t"<<"\t"<<"\t"<<"V.a"<<"\t"<<"\t"<<"\t"<<"V.b"<<"\t"<<"\t"<<"\t"<<"p.

m"<<"\t"<<endl;

cout<<"\t"<<"-------------------------------------------------------------------------------"<<endl;

cout<<"\t"<<"-------------------------------------------------------------------------------"<<endl<<endl;

while ((b-a)>tol)//si la resta de las variables es mayor ala tolerancia

{

if (f(a)*f(c)<0)//condicion de la biseccion, si la multiplicacion de a con el p.m. es menor, b pasa

a ser el p.m

{

b=c;

c=(a+b)/2.0;

}

REPORTE


else if (f(b)*f(c)<0) //condicion de la bisecion.si la multiplicacion de b con el p.m. es menor, a

pasa a ser el p.m

{

a=c;

c=(a+b)/2.0;

}

cout<<"\t"<<i<<"\t"<<"\t"<<"\t"<<a<<"\t"<<"\t"<<"\t"<<b<<"\t"<<"\t"<<"\t"<<c<<"\t"<<"\t"<

<endl;

i=i+1;//numero de las iteraciones

}

}

else if (f(a)*f(b)==0)//condicion de la biseccion

{

if(f(a)==0)//si a es igual a cero

cout<<" a es una raiz de la funcion "<<endl;

else //si b es igual a cero

cout<<" b es una raiz de la funcion "<<endl;

}

else

cout<<"no hay raiz en el intervalo "<<endl;

system("PAUSE");//pausa el programa para analizar los datos

return EXIT_SUCCESS;//finalizar

}

Mostrando la Imagen de compilador podemos ver la respuesta del intervalo [0,1].

Las respuestas para cada raíz serian las siguientes:

Intervalo [0,1]

El valor aproximado de la raíz es de 0.4344… con un total de 14 iteraciones para

encontrar la respuesta

Intervalo [0,1]

El valor aproximado de la raíz es de 4.56155… con un total de 14 iteraciones para

encontrar la respuesta.

REPORTE


Conclusión. Al tratar de resolver ecuaciones, en las cuales su resultado es complicado de obtener

por un método analítico, el método de bisección es uno de los mas sencillos de comprender,

puesto que solo se necesita tener la grafica de la ecuación, que puede ser obtenida por algún

programa que se encuentre en internet, y tener un compilador que haga este tipo de

iteraciones y listo, se obtiene de manera rápida el valor aproximado de la ecuación.

En este caso se uso una ecuación cuadrática, con lo que se pude encontrar la solución de sus

raíces tanto de manera analítica, como por el método de bisección.

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