Metody matematyczne w inżynierii chemicznej

Wykład 3. Całkowanie numeryczne

Graficzna definicja całki oznaczonej

P

a b

Pxfb

a

Graficzna definicja całki oznaczonej

a bx1 x2

f(x) 21, xxx

x

y

xfxfxfxx

21

21

lim

dxxfdxxfPx

x

i 2

1

0i

iPP

Pi

Metoda prostokątów

a bx2

x

y

iiii xxxfP 1

N

ii

b

a

Pdxxf0

Pi

x1x0 xi xi+1 xN

hN

xxxxx N

ii

0

1

1

0

N

ii

b

a

xfhdxxf RxfhdxxfN

ii

b

a

1

0

Błąd metodyzależność u(x)= przybliżamy (aproksymujemy)

inną funkcją U(x, h) =

Wymagane jest by funkcja "zastępcza" dla h 0była zbieżna do u(x).

Oznacza to, że różnica (Residuum) R

hxUxuhxR ,, musi dążyć do 0 dla h dążącego do 0

0,lim0

hxRh

b

a

dxxf

1

0

N

iixfh

Błąd metody

nhOhxR ,

Dla metody istotne jest jak szybko zmniejsza się R,co można zapisać

n – dodatnia liczba całkowita oznaczająca rząd metody

Dla jednego kroku metoda prostokątów ma rząd n = 2

Wielokrotne użycie każdej z metoda zmniejsza rząd o 1

hOxfhdxxfN

ii

b

a

1

0

Ostatecznie

hOyhdxxfN

ii

b

a

1

0

Metoda trapezów

a bx2

x

y

hyy

xxxfxf

P iiii

iii 22

11

1

N

ii

b

a

Pdxxf0

Pi

x1x0 xi xi+1 xN

21

012

hOyyh

dxxfN

iii

b

a

Metoda trapezów

21

10 2

20

hOyyyh

dxxfN

iiN

x

x

N

Ostateczny wzór na obliczanie całki metodą trapezów:

Metoda trapezów algorytm1. Przeczytaj granice całkowania, x0 i xN

2. Przeczytaj ilość podziałów N3. Oblicz h = (x0 - x1)/N

4. Oblicz y0 i yN

5. Oblicz P = h/2(y0 + yN)

6. Przyjmij i = 1 7. Oblicz xi = x0 +ih

8. Oblicz yi

9. Oblicz P = P + hyi

10. Zwiększ i o 1 (i=i+1)11. Jeżeli iN-1 to idź do p. 612. Drukuj P13. Koniec

xi = x0+ih

i = 1

Metoda trapezów schemat blokowy

start

i N-1

Drukuj P

koniec

h = (x0+xN)/N

Czytaj N, x0,xN

P = h/2(y0 + yN)

P = P + hyi

i = i + 1

1

y0 = y(x0)

yN = y(xN)

yi = y(xi)

1

y(x)

y = funkcja x

powrót

Metoda Simpsona

x0

x0+hx0+2h

P

5210

2

43

0

0

hOyyyh

dxxfPhx

x

y0

y2

y1

Metoda Simpsona

4143210 4...2424

3

0

0

hOyyyyyyyh

dxxfdxxf

nn

nhx

x

b

a

2421310 ..2..43 nnn yyyyyyyyh

P

22

022

12

0120 24

3

n

ii

n

iin yyyy

hP

1

1

10 13

3

n

ii

in yyy

hP

Inna postać:

Metoda Simpsona

1. n 22. n = 2k, gdzie k to dowolna liczba

naturalna

Warunki jakie musi spełniać ilość podziałów n:

Metoda Simpsona program

10 DEF FNy(x) = jakaś funkcja x20 INPUT "Podaj granice całkowania:"; x0, xN30 INPUT "Na ile części podzielić przedział (liczba parzysta)"; N40 IF (INT(N/2)-N/2) <> 0 THEN PRINT "N nie jest liczbą parzystą": GOTO 30GOTO 3050 h = (xN-x0)/N60 P = h/3*(FNy(x0)+FNy(xN))70 FOR i = 1 TO N-1 80 xi = x0 + i*h90 P = P + h/3*(3+(-1)^(i+1))*FNy(xi)100 NEXT i110 PRINT "Całka ma wartość: "; P120 END

Metoda Romberga

Modyfikacja metody trapezówZwiększenie dokładności poprzez zastosowanie ekstrapolacji

http://en.wikipedia.org/wiki/Richardson_extrapolationhttp://en.wikipedia.org/wiki/Richardson_extrapolation

Metoda RombergaGranice całkowania <a, b> dzielimy na N części to Przybliżoną wartość całki określa wzór:

1

10

0 22

N

iiNN yyy

hT

Jeżeli krok zmniejszymy 2-krotnie:2

2 22 N

ab

N

abhh

1

10

02

222

4

N

iiNN yyy

hT

W ten sam sposób obliczmy: 00

84, NN TT

Jest oczywiste, że dla N otrzymamy wynik pozbawionybłędu metody. Pozostaje problem błędu zaokrąglenia!

Metoda Romberga

3

4 001 2

2

NNN

TTT

Utwórzmy nowy ciąg zgodnie z równaniami:

3

4 001 24

4

NNN

TTT

itd.

Można wykazać, że ciąg taki jest szybciej zbieżny niżciąg pierwotny.

Metoda Romberga

15

16 112 24

4

NNN

TTT

Można utworzyć ciąg:

15

16 112 48

8

NNN

TTT

itd.

który jest jeszcze szybciej zbieżny.

Metoda Romberga

Obliczenie przy znanym 2NT NT

x0 x1 xi xi+1

y0

y1

yi

yi+1

x1/2 x3/2x(2i+1)/2

y1/2y3/2

y(2i+1)/2

2/122/52/32/1 ...22

12 NNN yyyy

hTT

Metoda Romberga przykład

Obliczyć całkę oznaczoną:

2

1 x

dxI

0,693 147 1810,693 147 181

Szacowanie błędu całkowania numerycznego

Ogólny wzór na przybliżoną całkę oznaczoną:

nb

a

hOhPdxxf

nhOhPI 11

nhOhPI 22

Jeżeli obliczymy wartość całki dla dwóch krokówo długości h1 = h oraz h2 = h/2

Szacowanie błędu całkowania numerycznego

błąd metody jest funkcją kroku:

nAhhPI 11 nAhhPI 22

nAhhPI n

hA

hPI

22

Podstawiając h:

-

Poszukujemy tylko wartości A

nn AhhO ...321 nnn DhChBh

Zakładamy, że h jest bardzo małe

Szacowanie błędu całkowania numerycznego

n

n hAAhhPhPII

221

nn h

hAhPhP212

n

n hh

hPh

PA

2

2

Szacowanie błędu całkowania numerycznego

nn

n

n hh

h

hPh

PhO

2

2

nn

hPh

PhO

21

1

2

Metoda Monte Carlo

Zasada metody

a ab

cz

cb

a cz

c

nn

nxfab

nn

nPdxxf

max

fmax(x)

Generowanie punktów

Generuje się współrzędne x i yWykorzystuje się liczby losowe o rozkładzie jednostajnymDomyślny generator ma zakres 0-1Współrzędna x = a + l.l.*(b-a)

Współrzędna y = l.l.*fmax(x)

Obliczanie ilości trafień

Wylosowany punkt o współrzędnych (xi, yi) jest trafiony jeżeli:

ii yxf

Dokładność

Dokładność metody zależy od:Ilości wygenerowanych punktówJakości generatora liczb losowych

Algorytm

1. Podaj granice całkowania i funkcję f2. Podaj ilość losowań N3. Znajdź fmax4. I,j=05. X=a+rnd*(b-a)6. Y=rnd*fmax7. I=I+18. Jeżeli f(X)<=Y to j=j+19. Jeżeli i<N to idź do 410. P=i/j*(b-a)*f(b)11. Drukuj P

Numeryczne obliczanie pochodnych

Pochodne funkcji w punkcie

x1x0 x2

Pochodne centralne

...62

1 1

3

1

2

1112 yh

yh

yhyhxfy

...62

1 1

3

1

2

1110 yh

yh

yhyhxfy --

...6622

3

1

32

1

2

111102 yh

yh

yh

yh

yhyhyyyy

...6

22 1

3

021 yh

yyyh

...62 1

202

1

yh

h

yyy

2021 2

hOh

yyy

Pochodne centralne O(h2)

221021 2

1hOyyy

hy

2431032 22

2

1hOyyyy

hy

Pochodne centralne O(h3)

332102 236

6

1hOyyyy

hy

34321022 163016

12

1hOyyyyy

hy

Pochodne w przód/w tył O(h)

hOyyyh

yy 210220 21

hOyyyyh

yy 3210330 331

hOyyh

yy 0110

1

Pochodne w przód/w tył O(h2)

2321020 452

1hOyyyy

hy

24321030 31424185

2

1hOyyyyy

hy

22100 43

2

1hOyyy

hy

22102 34

2

1hOyyy

hy

2321023 254

1hOyyyy

hy

24321034 51824143

2

1hOyyyyy

hy

Pochodne w przód/w tył O(h3)

34321020 115611410435

12

1hOyyyyy

hy

332100 291811

6

1hOyyyy

hy

332103 111892

6

1hOyyyy

hy

34321024 351041145611

12

1hOyyyyy

hy

Zastosowanie numerycznego obliczania pochodnej w algorytmie

znajdowania pierwiastków metodą Newtona

1. Wprowadzić punkt startowy x1 oraz

dokładność

2. Obliczyć y1

3. Obliczyć y'1

4. Obliczyć

5. Jeżeli |x2- x1 | todrukuj x2, koniec.

6. x1= x2

7. Powrót do punktu 2

8. Koniec.

Algorytm metody Newtona

1

112 y

yxx

3.1 Przyjąć krok h = 0.001

3.2 Obliczyć y0 = f(x-h)

3.3 Obliczyć y2 = f(x+h)

3.4 Obliczyć y' = (y2- y0 )/(2h)

3.5. Sprawdzić, czy y' nie jest równe 0.

Jeżeli tak drukuj informację "zły punkt

startowy" i zakończ program.

Algorytm obliczenia pochodnej