metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij
TRANSCRIPT
![Page 1: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/1.jpg)
Методическая разработка учащихся 10 класса МОУ «Бельская СОШ»г. Белого Тверской области
![Page 2: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/2.jpg)
Основные методы решений логарифмических уравнений
![Page 3: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/3.jpg)
Определение
Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, , называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
a1
![Page 4: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/4.jpg)
1. Использование определения логарифма.
![Page 5: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/5.jpg)
2. Метод потенцирования.
Пример 2.
lg ( x 2– 9 ) = lg (4x + 3) ОДЗ:
09
0342x
x
3
34
3
x
x
x
x > 3
x 2– 9 = 4x + 3 x 2– 4x – 12 = 0
2
6
x
x
x= –2 - не входит в ОДЗ Ответ: 6.
![Page 6: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/6.jpg)
3. Введение новой переменной.
Пример 3.
log 24x – 2log 4x – 3 = 0 ОДЗ: x > 0
Пусть log 4x = t t 2– 2t – 3 = 0
1
3
t
t
1log
3log
4
4
x
x
4
1
64
x
x
Ответ: 4
1; 64.
![Page 7: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/7.jpg)
4. Приведение логарифмов к одному основанию.
Формулы перехода: Пример 4. log 3 x – 6log x 3 = 1 ОДЗ: x > 0, x 1 log 3 x –
x3log
6 = 1
Пусть log 3 x = t t –
t
6 = 1
t 2 – t – 6 = 0
3
2
t
t
3log
2log
3
3
x
x
279
1
x
x
Ответ: 9
1; 27.
1) log a b = a
b
c
c
log
log 2) log a b = ablog
1
![Page 8: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/8.jpg)
5. Метод логарифмирования.Пример 5.
x x2log = 64x ОДЗ: x > 0 логарифмируем обе части уравнения по основанию 2 log 2x x2log = log 264x log 2x log 2x = log 264x log 2
2x = log 264 + log 2x log 2
2x – log 2x – 6 = 0 Пусть log 2x = t t 2– t – 6 = 0
3
2
t
t
3log
2log
2
2
x
x
84
1
x
x
Ответ: 4
1; 8.
![Page 9: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/9.jpg)
6. Применение формулы a bclog = b aclog
Пример 6.
9xlglog3 = 2lg x + 3
ОДЗ:
0lg
0
x
x
1
0
x
x x > 1
(lg x) 9log3 = 2lg x + 3 lg 2x – 2lg x – 3 = 0 Пусть lg x = t t 2– 2t – 3 = 0
3
1
t
t
3lg
1lg
x
x
1000
1,0
x
x x = 0,1- не входит в ОДЗ
Ответ: 1000.
![Page 10: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/10.jpg)
Каждому уравнению поставьте в соответствие
метод его решения
15.04.23 10
по определению логарифма
метод потенцирования
метод подстановки
метод логарифмирования
решение по формуле
![Page 11: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/11.jpg)
Функциональные методы решения логарифмических
уравнений
15.04.23 11
![Page 12: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/12.jpg)
Использование области допустимых значений
уравнения
![Page 13: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/13.jpg)
ОпределениеОбластью допустимых значений уравнения называется общая область определения всех функций, входящих в уравнение
Утверждение1 Если область допустимых значений уравнения пустое множество, то уравнение не имеет корней.Например:
ОДЗ
Ответ : корней нет.
![Page 14: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/14.jpg)
Утверждение 2.
Если область допустимых значений уравнения состоит из конечного числа значений, то корни уравнения содержатся среди этих значений.Это условие является необходимым, но не является достаточным.Поэтому необходима проверка. Пример. + ОДЗ
![Page 15: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/15.jpg)
Проверка:
При х = -1 получаем 0=2. Равенство неверно. Значит х = -1 не является корнем уравнения.
При х=1 получаем 0=0. Значит х=1 - корень уравнения. Ответ:1
![Page 16: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/16.jpg)
Алгоритм решения
1) Находим ОДЗ уравнения.
2) Если ОДЗ - пустое множество, то уравнение не имеет корней. Если ОДЗ - конечное множество значений, то эти значения
надо подставить в уравнение.
![Page 17: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/17.jpg)
Использование монотонности функций.
![Page 18: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/18.jpg)
15.04.23 18
Теорема.
Если функция ƒ(х) монотонна на некотором промежутке , то уравнение ƒ(х) = c имеет на этом промежутке не более одного корня.
Пример:
log3 x + log8 (5 + x) = 2
ОДЗ: х > 0
5 + x > 0 0 < x < 5
Подбором находим корень уравнения x = 3.
Т.к. функция ƒ(х) = log3 x + log8 (5 + x) – есть сумма двух возрастающих функций, то она возрастающая.
Значит тогда данное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 3.
![Page 19: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/19.jpg)
Теорема.
Если на некотором промежутке функция ƒ(х) возрастает, а функция g(х) убывает, то уравнение ƒ(х) = g(х) имеет на этом промежутке не более одного корня.
Пример:
log0,5 8/х = 2 – 2х
ОДЗ: x > 0
Подбором находим корень уравнения x = 2.
Функции: y1 (x)= 8/х и y2 (x) = log0,5 x – убывающие
Функция ƒ (x) = y1(y2(x)) = log0,5 8/х - возрастающая
(как убывающая функция от убывающей)
Функция g(x) = 2 – 2x – убывающая
Тогда данное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 2
15.04.23 19
![Page 20: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/20.jpg)
Алгоритм решения
• Найти ОДЗ.
• Подбором найти корень уравнения.
• С помощью монотонности функции доказать, что корень единственный.
15.04.23 20
![Page 21: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/21.jpg)
Использование множества значений
(ограниченности) функций
![Page 22: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/22.jpg)
15.04.23 22
f(x) и g(x)- элементарные функции, Е(f) и Е(g) – множества значений этих функций.
Утверждение 1. Если пересечение множеств значений функций f(x) и g(x)
пусто ( E(ƒ)∩ E(g)=Ø ),то уравнение f(x)= g(x) не имеет корней.
Пример:Рассмотрим функции f(x)= и g(x)= Найдём их области значений.Е(f): Е(g):
E(ƒ)∩ E(g)=Ø
Ответ: нет корней
![Page 23: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/23.jpg)
Утверждение 2.Если E(ƒ)∩E(g)= и f(x)≤ M, а g(x)≥M, то уравнение f(x)= g(x) равносильно системе уравнений Пример
15.04.23 23
Ответ: 0
X=0
![Page 24: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/24.jpg)
Алгоритм решения
1.Оценить обе части уравнения
2.Если f(x)≤ M, а g(x)≥M, то равенство f(x)= g(x) возможно тогда и только тогда, когда f(x) и g (x) одновременно будут равны M, т.е.
f(x)= g(x)• Можно решить одно уравнение системы и полученный
корень подставить в другое уравнение.
15.04.23 24
![Page 25: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/25.jpg)
Проверьте свои знания тестированием
Пройдите по ссылке: Логарифмические уравнения.exe
15.04.23 25
Критерии оценки
3 б. – «3», 4-5 б. – «4», 6 б. – «5»
![Page 26: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/26.jpg)
Ну кто придумал эту математику !
У меня всё получилось!!!
Надо
решить ещё
пару
примеров.
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
![Page 27: Metody resheniya logarifmicheskih_uravnenij](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042615/55c689a7bb61eb6e5f8b45b2/html5/thumbnails/27.jpg)