metr l Ški prirucnik...koju je izdao jcgm: međunarodni rečnik osnovnih i opštih termina u...

Go

ran

Ko

sti

ć

01

23

45

67

89

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

Goran Kostić

METR L ŠKIPRIRUCNIK

PRVO e-IZDANJE

DRUGO DOPUNJENO I POPRAVLJENO UKUPNO IZDANJE

Distributer ove knjige Symmetry, Jovana Cvijića 5, RS -16 000 Leskovac, Srbija

Telefon: +381 (0)16 237- 340 [email protected] www.symmetry.rs

Registarska oznaka SY407

STRANE IZ: Kostić (2018) Metrološki priručnik (SY407)

Knjigu možete kupiti na www.symmetry.rs.

http://www.symmetry.rs/html/prodaja.html

www.symmetry.rs/html/prodaja.html

© 2014. 2018. izdavač Goran Kostić, sva prava zadržana. Izdavač: Goran Kostić, Jovana Cvijića 5, RS -16 000 Leskovac, Srbija. Sva prava zadržana. Bez pismene dozvole izdavača zabranjeno je umnožavanje bilo kog dela ove publikacije na bilo koji način. CIP- Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије 006.91(035)(0.034.2) ГОРАН, Костић, 1960- Metrološki priručnik [Elektronski izvor] / Goran Kostić. - 1. e-izd., 2. dopunjeno i popravljeno ukupno izd. - Leskovac : G. Kostić, 2018 (Leskovac : G. Kostić). - 1 elektronski optički disk (CD-ROM) ; 12 cm Sistemski zahtevi: Nisu navedeni. - Nasl. sa naslovnog ekrana. - Tiraž 300. - Napomene i bibliografske reference uz tekst. - Bibliografija. ISBN 978-86-900284-0-5 a) Метрологија - Приручници COBISS.SR-ID 256540940

Kostić • 2018. • Metrološki priručnik 5

SADRŽAJ

SADRŽAJ 5

Skraćenice 12 Slovni simboli 13 Grčki alfabet 14

PREDGOVOR 15

UVOD 17

I DEO OSNOVE MERENJA 19

1 VELIČINE I MERNE JEDINICE 21 1.1 Merljiva veličina 21 1.2 Veličine iste vrste 21 1.3 Sistem veličina 22 1.4 Osnovna veličina 22 1.5 Izvedena veličina 23 1.6 Ordinalna veličina 23 1.7 Dimenzija veličine 24 1.8 Merna jedinica 25 1.9 Osnovna merna jedinica 25 1.10 Izvedena merna jedinica 25 1.11 Koherentna merna jedinica 26 1.12 Vrednost veličine 26 1.13 Brojčana vrednost veličine 27 1.14 Dogovorena vrednost veličine 27 1.15 Referentna vrednost 27 1.16 Jednačina veličina 28 1.17 Brojčana jednačina 28 1.18 Jednačina jedinica 28 1.19 Koeficijent konverzije jedinica 29 1.20 Sistem jedinica 30 1.21 Decimalne merne jedinice 31

G

Highlight


1.22 Merna jedinica van sistema 32 1.23 Binarna merna jedinica 32 1.24 Izražavanje vrednosti veličine u SI 33 1.25 Konstanta 34

2 MERENJA 43 2.1 Merenje 43 2.2 Metrologija 43 2.3 Merena veličina 43 2.4 Princip merenja 44 2.5 Metoda merenja 44 2.6 Postupak merenja 44 2.7 Robustnost postupka 44 2.8 Standardni radni postupak 45 2.9 Standardni postupak merenja 45 2.10 Kvalifikacija i validacija 46 2.11 Validacija postupka merenja 46 2.12 Akreditacija 47 2.13 O planiranju eksperimenta 48 2.14 Matematički model 49

2.14.1 Primeri 49 2.15 Simulacija 50

3 MERNE SPRAVE 51 3.1 Merna sprava 51 3.2 Materijalizovana mera 51 3.3 Granično merilo 52 3.4 Nazivna vrednost 52 3.5 Prikazivanje merne sprave 52 3.6 Interval prikazivanja 53 3.7 Merni interval 53 3.8 Funkcija odziva 53 3.9 Merni pretvarač 54 3.10 Senzor 54 3.11 Detektor 54 3.12 Merni signal 54 3.13 Rezolucija 55 3.14 Osetljivost 55 3.15 Vreme odziva 55 3.16 Prag detekcije 56 3.17 Prag kvantifikacije 56 3.18 Dinamički interval 56 3.19 Mrtav interval 57


3.20 Histerezis 57 3.21 Uticajna veličina 57 3.22 Stabilnost 58 3.23 Selektivnost 58 3.24 Transparentnost 58 3.25 Radni uslovi 59 3.26 Referentni radni uslovi 59 3.27 Granični uslovi 59 3.28 Baždarenje merne sprave 60 3.29 Greška prikazivanja merne sprave 60 3.30 Greška kontrolne tačke merne sprave 60 3.31 Greška nule merne sprave 60 3.32 Pomerenost merne sprave 61 3.33 Sopstvena greška merne sprave 61 3.34 Klasa tačnosti 61

3.34.1 Primeri 61 3.35 Odobrenje tipa merne sprave 62 3.36 Overavanje merne sprave 62

4 REZULTATI MERENJA, TAČNOST I GREŠKE 63 4.1 Rezultat merenja 63 4.2 Tačnost 63 4.3 Apsolutna greška 64 4.4 Relativna greška 65 4.5 Slučajna greška 66 4.6 Sistematska greška 66 4.7 Kombinovana greška 67

4.7.1 Primer 67 4.8 Granice greške 68 4.9 Gruba greška 68 4.10 Korekcija 69 4.11 Preciznost rezultata merenja 70 4.12 Ponovljivost rezultata merenja 70 4.13 Reproduktivnost rezultata merenja 70 4.14 Zaokrugljivanje broja 71 4.15 Odsecanje cifara 72 4.16 Značajne cifre 72

5 ETALONI I ETALONIRANJA 73 5.1 Etalon 73 5.2 Referentni materijal 73 5.3 Primarni etalon 74 5.4 Sekundarni etalon 74


5.5 Transfer etalon 74 5.6 Referentni etalon 75 5.7 Radni etalon 75 5.8 Međunarodni etalon 75 5.9 Nacionalni etalon 75 5.10 Relativistički uticaji na vrednosti etalona 78 5.11 Etaloniranje 79 5.12 Izveštaj o etaloniranju 80

II DEO STATISTIČKA OBRADA REZULTATA MERENJA 81

6 OSNOVE STATISTIKE 83 6.1 O statističkim metodama 83 6.2 Statistička obrada rezultata ponovljenih merenja 85 6.3 Verovatnoća 86 6.4 Slučajno promenljiva 87 6.5 Zavisna promenljiva i nezavisna promenljiva 87 6.6 Korelisane promenljive 87 6.7 Uzorak 88 6.8 Najverovatnija vrednost 89 6.9 Dobra procena 89 6.10 Pomerenost procene 89 6.11 Raspodela promenljive 90 6.12 Normalna raspodela 91 6.13 Srednje vrednosti 93 6.14 Modus 95 6.15 Medijana 96 6.16 Aritmetička sredina 97 6.17 Eksperimentalna aritmetička sredina 99 6.18 Pokazatelji međusobnih odstupanja vrednosti 100 6.19 Prirodna devijacija 101 6.20 Eksperimentalna standardna devijacija 103 6.21 Devijacija aritmetičke sredine 105 6.22 Devijacija standardne devijacije aritmetičke sredine 106 6.23 Standardna devijacija na osnovu medijane, ranga i obima uzorka 108 6.24 Stepen slobode 109

6.24.1 Primeri 110 6.25 Efektivni stepen slobode 111

6.25.1 Primer 111


6.26 Stepen slobode na osnovu devijacije standardne devijacije aritmetičke sredine 112 6.26.1 Primer 112

6.27 Nivo poverenja i interval poverenja 113 6.27.1 Primer 115

6.28 Standardna devijacija i njen stepen slobode na osnovu nivoa i intervala poverenja i obima uzorka 115

6.29 T-raspodela 117 6.30 Ravnomerna raspodela 120 6.31 Trougaona raspodela 122 6.32 U-raspodela 124 6.33 Lognormalna raspodela 126 6.34 Hi-kvadrat raspodela 128 6.35 F-raspodela 129 6.36 Pokazatelj nesimetričnosti raspodele 130 6.37 Pokazatelj šiljatosti raspodele 131 6.38 Histogram 132

6.38.1 Primer 134 6.39 Konvolucija 135 6.40 Filtracija 137 6.41 Operacije sa raspodelama i centralna granična teorema 138 6.42 Simulacija Monte Karlo 140

6.42.1 Primer procenjivanja veličine i njenih statističkih parametara 144

6.42.2 Primer procenjivanja dužine mernog bloka i njenih statističkih parametara 148

7 VARIJANSE 153 7.1 Prirodna varijansa 153 7.2 Eksperimentalna standardna varijansa 155 7.3 Procene rezultata u grupama 157 7.4 Eksperimentalna standardna kovarijansa 158

7.4.1 Primer računanja standardne kovarijanse 161 7.4.2 Primer računanja standardne kovarijanse sredina 162

7.5 Standardni koeficijent korelacije 163 7.6 Kombinovana varijansa 165

7.6.1 Primer kombinovane varijanse procene aktivne komponente električnog elementa i maksimalna moguća varijansa te varijanse 173

7.6.2 Primer kombinovane varijanse procene dužine mernog bloka i maksimalna moguća varijansa te varijanse 175

7.6.3 Primer kombinovane varijanse vrednosti pH 180 7.6.4 Primer kombinovane varijanse otpornosti rednih otpornika 181


8 TESTOVI I USAGLAŠAVANJA FUNKCIJA 185 8.1 Otkrivanje grubih grešaka 185

8.1.1 Primer 187 8.2 Usaglašavanje 188 8.3 Metoda najmanjih kvadrata 188

8.3.1 Primer 191 8.4 P-vrednost 194 8.5 Test saglasnosti 195 8.6 Procenjivanje tipa i parametara raspodele 197 8.7 Pirsonov hi-kvadrat test saglasnosti raspodela 199

8.7.1 Primer 203 8.8 Šapiro - Vilk test normalnosti populacije 205

8.8.1 Primer 207 8.9 Test belog šuma 212 8.10 Analiza varijanse (ANOVA) 213

8.10.1 Primer 215 8.11 Transformacija promenljive 217

8.11.1 Primer 218

9 MERNA NESIGURNOST 219 9.1 Rezultat merenja i njegova merna nesigurnost 219 9.2 Standardna merna nesigurnost tipa A 221 9.3 Standardna merna nesigurnost tipa B 222

9.3.1 Primer 223 9.3.2 Primer 225

9.4 Kombinovana standardna merna nesigurnost 226 9.5 Proširena standardna merna nesigurnost 227 9.6 Relativne standardne merne nesigurnosti 228 9.7 Procene iz rezultata čija raspodela nije normalna 228 9.8 Izražavanje standardne merne nesigurnosti 230 9.9 Izražavanje standardne merne nesigurnosti nekorigovanog

rezultata merenja 231 9.10 Izveštaj o rezultatu merenja 232 9.11 Postupak za procenjivanje rezultata merenja i podataka koji se

daju uz rezultat 233 9.12 Primer etaloniranja termometra (iz [GUM] H.3) 234

9.12.1 Metrološki problem 234 9.12.2 Usaglašavanje metodom najmanjih kvadrata 234 9.12.3 Standardna nesigurnost predviđenog sabirka korekcije 237 9.12.4 Otklanjanje korelisanosti parametara preseka i strmine 238


9.13 Otpornost, reaktansa i impedansa, izračunate na osnovu istih komponentnih rezultata (iz [GUM] H.2) 239 9.13.1 Metrološki problem 239 9.13.2 Matematički model merenja 240 9.13.3 Krajnji rezultati i njihove standardne nesigurnosti,

standardne kovarijanse i standardni koeficijenati korelacije - način a 240

9.13.4 Krajnji rezultati i njihove standardne nesigurnosti, standardne kovarijanse i standardni koeficijenati korelacije - način b 240

9.14 Metrološka sledivost 245 9.14.1 Primer 246

10 INDEKS POJMOVA I MALI METROLOŠKI REČNIK 247 10.1 Indeks pojmova i srpsko-engleski metrološki rečnik 247 10.2 Indeks pojmova i englesko-srpski metrološki rečnik 267

REFERENCE 287

OPIS IZMENA 1. IZDANJA ZA 2. IZDANJE 293


Predgovor

Od pogona do fundamentalnih nauka, traži se statistička obrada rezultata

merenja. Svrha te obrade je da se na osnovu rezultata ponovljenih merenja odredi vrednost merene veličine kao i tačnost te određene vrednosti. Traži se da tačnost bude opisana standardnom mernom nesigurnošću kako bi se omogućila sledivost i obezbedilo izračunavanje nivoa poverenja i intervala poverenja.

Suština merenja je ista u svim oblastima. Svrha ove publikacije je da bude priručnik ljudima koji se bave merenjima za različite potrebe, od proizvodnje do istraživanja, od fizike i hemije do biologije i medicine. Publikacija je namenjena i studentima i đacima.

Pred Vama je priručnik u kome su jezgrovito, ali sveobuhvatno, opisane teme koje su neizostavne kod svih merenja. Priručnik čini približno minimalan i dovoljan skup koncepata i metoda potrebnih da se izračuna rezultat merenja i njegova merna nesigurnost. Tekst je u obliku koji omogućava neposrednu primenu u računarskim programima ili ručnim izračunavanjima.

Način izlaganja je enciklopedijski. Međutim, redosled izlaganja omogućava čitanje teksta kao knjige ili udžbenika. Čini se da je forma enciklopedije pogodna za stručne napise jer olakšava sagledavanje veza između koncepata koje su suština svakog uređenog znanja.

Veći deo ovog teksta je sinteza međunarodnih preporuka, naših propisa, stručnih napisa i enciklopedijskih tekstova. Reference su date u uglastim zagradama.

Posebna pažnja je posvećena definicijama termina i njihovom doslednom korišćenju. Većina termina je u skladu sa drugim i trećim izdanjem publikacije koju je izdao JCGM: Međunarodni rečnik osnovnih i opštih termina u metrologiji (videti [VIM]). Drugo izdanje ovog rečnika je prevedeno na srpski jezik i takođe je korišćeno (videti [Rečnik]). Od odrednica ovih rečnika se odstupalo kada se smatralo da ne odgovaraju onome što treba da izraze ili da postoje znatno bolji domaći termini. Sva odstupanja od rečnika su naznačena uz reference.

Drugi deo Priručnika, posvećen statističkoj obradi rezultata merenja, je osnova za izračunavanje standardne merne nesigurnosti. Namenjen je svima koji se bave obradom rezultata merenja, odnosno rezultata eksperimenata ili posmatranja.

Glava o standardnoj mernoj nesigurnosti je u skladu sa uputstvom koje je izdao JCGM: Uputstvo za izražavanje merne nesigurnosti (videti [GUM]). Međutim, za razliku od tog Uputstva, ovo izlaganje se sa dobrim razlozima zasniva na klasičnim konceptima grešaka.

G

Highlight


Nivo i interval poverenja rezultata merenja se mogu smatrati svrhom svih određivanja grešaka merenja. Tačnu procenu nivoa i intervala poverenja omogućava standardna merna nesigurnost sledive vrednosti. Ovde je sledivost opisana u kratkom, ali potpunom tekstu, na kraju poglavlja o mernoj nesigurnosti.

Pred kraj predgovora naglasimo sledeće stavove iznete u [GUM]. Izračunavanje merne nesigurnosti nije rutinski, niti čisto matematički posao. Ono zavisi od detaljnog poznavanja prirode merene veličine i samog merenja. Tačnost i upotrebljivost navedene merne nesigurnosti pretežno zavise od onog ko mernu nesigurnost određuje, od njegovog razumevanja, kritičke analize, intelektualnog poštenja i veštine u struci.

Sve jednačine u Priručniku su za koherentne jedinice. Engleski metrološki termini, kao i skraćenice i zapisi imena, dati su na

kraju Priručnika u malom srpsko-engleskom i englesko-srpskom rečniku. U Priručniku se koriste sledeća obeležavanja. Podebljanim slovima su napisani termini na mestu gde se definišu. Uz te termine su u zagradama dati skraćeni termini koji se mogu koristiti

kada to ne dovodi do nejasnoća. Podvlačenjem reči je naznačeno da u ovom Priručniku postoje

podrobnija objašnjenja pojma koji podvučena reč označava. Jednačine, tabele i slike su obeležene brojem glave, zatim tačkom, pa

njihovim rednim brojem u glavi. Tekst na koji treba obratiti posebnu pažnju je plav.

Na pomoći u izradi Priručnika zahvaljujem inženjeru Siniši Hristovu, profesoru dr Gligoriju Peroviću, profesoru dr Dragiću Bankoviću, profesorki dr Vesni Jevremović i dr Emini Krčmar. Na primedbama koje su tekst učinile boljim zahvalan sam, dugogodišnjem kolegi, inženjeru Zlatku Sudaru. Na poverenju i materijalnoj pomoći zahvaljujem Ljiljani D. Kostić.

Profesorki Ljiljani Sudar i profesoru dr Živomiru Petronijeviću zahvaljujem na uloženom trudu i korisnim primedbama prvih, probnih, čitalaca.

Ovaj Priručnik je izrađen u okviru razvoja merno-regulacione opreme u laboratoriji za razvoj elektronskih proizvoda, Symmetry iz Leskovaca.

Ovo je drugo dopunjeno i popravljeno izdanje Priručnika, priređeno posle značajnog interesovanja za prvo izdanje.

Molim da primedbe šaljete e-poštom na [email protected].

U Leskovcu, 17. 1. 2018. Goran Kostić


Uvod

Merenja su od suštinskog značaja za delatnosti ljudi - od trgovine do

fundamentalnih nauka. Međunarodna trgovina je bila jedan od važnih razloga za osnivanje

Međunarodnog biroa za tegove i mere. Biro doprinosi smanjenju tehničkih prepreka u trgovini, obezbeđujući da se merenja i testiranja, obavljena u različitim zemljama, smatraju ekvivalentnim.

Nauka uobličava svoje teorije na osnovu rezultata merenja koji su za nju činjenice o materijalnom svetu, istinite u granicama grešaka merenja.

U davnim raspravama evropskih naučnika o potrebi za novim objedinjenim sistemom merenja, začet je Međunarodni sistem jedinica. Još 1670. godine Gebriel Muton, sveštenik iz Liona, je dao prvi predlog sistema jedinica koji je bio objedinjen, decimalni i zasnovan na metru (metrički). Taj sistem je zamenio nacionalne i regionalne varijante koje su otežavale korišćenje razmenjenih naučnih podataka. Prvi metrički sistem je ustanovljen u Francuskoj 1799. kao značajni plod Francuske revolucije. Sadašnja varijanta Međunarodnog sistema jedinica (SI) je upotpunjena 1971. na četrnaestoj Generalnoj konferenciji za tegove i mere. Svet je postao metrički početkom 1993. kada je i u američkim vladinim institucijama SI postao osnovni.

Međunarodni biro za tegove i mere je stvoren potpisivanjem diplomatskog Ugovora o metru, u Parizu 20. maja 1875. godine. Ugovor je ostao osnova međunarodnog sporazuma o mernim jedinicama posle revizije 1921. godine. Prvi potpisnici Ugovora su bili predstavnici 17 država, a do 1. januara 2018. godine, Ugovoru je pristupilo 58 država članica, a Generalnoj konferenciji za tegove i mere 41 pridružena članica. Sedište Biroa je od njegovog osnivanja u Sevru kod Pariza.

Svrha Biroa je da osigura svetsku osnovu objedinjenog sistema merenja koja omogućavaju sledivost do Međunarodnog sistema jedinica. Zato se Biro bavi čuvanjem međunarodnih etalona, poređenjem nacionalnih i međunarodnih etalona i obavljanjem i organizovanjem merenja osnovnih univerzalnih konstanti potrebnih za delatnosti Biroa.

Međunarodni sistem jedinica usklađenim i potpunim obuhvatanjem svih oblasti, izvanredno je oruđe moderne nauke i prakse koje su ga i stvorile.

[BIPM] [SI] 1.8, PP 95 [Britannica] [NIST]


1 Veličine i merne jedinice

1.1 Merljiva veličina

Merljiva veličina (veličina) je svojstvo tela, supstance ili pojave, koje može da se kvalitativno razlikuje i kvantitativno odredi.

Veličina nije telo, supstanca ili pojava.

Veličina je nezavisna od merenja i sistema veličina.

Termin „veličina“ u praksi označava veličinu u opštem smislu (dužina, vreme, masa, temperatura...) ili vrednost pojedinačne veličine (dužina određene šipke, električna otpornost određene žice, broj jedinki...).

[Rečnik] 1.1 [VIM] 1.1 [Sonin] 2.3

1.2 Veličine iste vrste

Veličine iste vrste (ili veličine iste prirode) su veličine čije vrednosti mogu da se sabiraju ili oduzimaju, a da to ima fizičku predstavu.

Primeri. Fizičku predstavu ima sabiranje vrednosti svih oblika energije, na primer, količine toplote, kinetičke energije i potencijalne energije. Zato su svi oblici energije, veličine iste vrste. Veličina energije i veličina momenta sile imaju istu dimenziju ali sabiranje ili oduzimanje njihovih vrednosti nema fizičku predstavu, pa te veličine nisu iste vrste.

U istom sistemu veličina: - veličine iste vrste imaju istu dimenziju - veličine istih dimenzija nisu neizostavno iste vrste - veličine različitih dimenzija su uvek različite vrste.

Veličine iste vrste se grupišu u kategorije veličina. Primeri kategorija veličina:

- debljina, obim, talasna dužina - količina toplote, rad, energija.

[Quinn] [Rečnik] 1.1 napomene [VIM] 1.2, 1.7

G

Highlight


1.3 Sistem veličina

Sistem veličina čine osnovne veličine, izvedene veličine i jednačine veličina koje daju veze između tih veličina.

U različitim sistemima veličina, jednačine veličina imaju isti matematički oblik, a vrednosti konstanti u njima mogu da budu različite.

Primeri sistema veličina. a) CGS sistem veličina se zasniva na sledećem skupu osnovnih

veličina: dužina, masa i vreme. Osnovne jedinice su: centimetar, gram i sekunda.

b) MKS sistem veličina se zasniva na sledećem skupu osnovnih veličina: dužina, masa i vreme. Osnovne jedinice su: metar, kilogram i sekunda.

c) Gausov sistem veličina se zasniva na šest osnovnih veličina: dužina, masa, vreme, termodinamička temperatura, količina supstance i svetlosna jačina. Osnovne jedinice su: centimetar, gram, sekunda, kelvin, mol i kandela.

Međunarodni sistem veličina, ISQ, se zasniva na sedam osnovnih veličina: dužina, masa, vreme, električna struja, termodinamička temperatura, količina supstance i svetlosna jačina. Međunarodni sistem veličina je propisan međunarodnim standardom IEC 80000-1 Quantities and units - Part 1: General.

Međunarodni sistem veličina je osnova Međunarodnog sistema jedinica.

[SI] 1.1, 1.2 [VIM] 1.6 [Sonin] 2.7 [ISO 80000-1]

1.4 Osnovna veličina

Osnovna veličina, zajedno sa ostalim osnovnim veličinama u sistemu veličina, omogućava dobijanje izvedenih veličina.

Za osnovnu veličinu se bira veličina koja ima fizičku predstavu kako bi se mogla ostvariti prema njenoj definiciji.

Za osnovne veličine sledeće matematičke operacije su definisane fizičkim postupcima: poređenje, sabiranje, oduzimanje, množenje veličinom dimenzije jedan i deljenje veličinom dimenzije jedan. Svaki od ovih postupaka se obavlja sa fizičkim svojstvima iste vrste i kao rezultat daje svojstvo te vrste. Svaki od ovih fizičkih postupaka ima svojstva odgovarajućih matematičkih operacija sa brojevima bez dimenzije tj. veličinama bez dimenzije. Ovim je omogućeno opisivanje fizičkih svojstava jezikom matematike.


Izbor skupa osnovnih veličina je delimično proizvoljan. Međutim, za izabrane osnovne veličine mora da bude moguće definisanje prethodno navedenih operacija. Poželjno je da su veličine u skupu međusobno nezavisne. Skup može da bude minimalan, ili nešto veći, od onog iz koga je moguće dobiti sve potrebne izvedene veličine.

Primer. Osnovne veličine mogu da budu: dužina, masa, površina, brzina i sila. Oblik i boja ne mogu da budu osnovne veličine jer se za njih ne može dati prihvatljiv fizički postupak sabiranja.

Stvari iz prirode je moguće opisati jedino upoređivanjem sa nekoliko dobro poznatih stvari kojima pripadaju i osnovne veličine.

[Sonin] 2.2, 2.1, 2.8 [SI] 1.1, 1.2

1.5 Izvedena veličina

Izvedena veličina je određena jednačinom veličina koja daje njenu vezu sa osnovnim veličinama u datom sistemu veličina.

U sistemu veličina, skup izvedenih veličina je nepoznatog obima.

Izvedena veličina može ali ne mora da ima fizičku predstavu. Na primer, kvadratni koren vremena nema fizičku predstavu.

[Rečnik] 1.4 [VIM] 1.5 [Sonin] 2.4, 2.7

1.6 Ordinalna veličina

Ordinalna veličina je veličina čija se vrednost određuje postupkom koji ne koristi samo elementarnu algebru.

Ordinalna veličina nema dimenziju niti mernu jedinicu.

Vrednost ordinalne veličine ne može da se izrazi kao proizvod broja i merne jedinice, pa se određuje upućivanjem na dogovoreni postupak.

Primeri: pH u hemiji; tvrdoća po Mohu; oktanski broj za benzin; vrednost subjektivnog osećaja bola u trbuhu sa skalom od 1 do 5.

[Rečnik] 1.22 [VIM] 1.26


Tabela 1.2 Koherentne izvedene jedinice SI sa posebnim nazivima i oznakama [SI] 2.2.2 [SI Supplement] [Uredba] Prilog 2.2.1.

Izvedena veličina SI Posebni naziv jedinice SI

Posebna oznaka jedinice SI

Izraženo drugim jedinicama SI

Izraženo osnovnim jedinicama SI

ugao u ravni radijan rad m · m

−1 = 1 prostorni ugao steradijan sr m2 · m

−

2 = 1 frekvencija herc Hz s

−

1 sila njutn N kg · m · s

−

2 pritisak, naprezanje, mehanički napon paskal Pa N / m2 kg · m

−

1 · s

−

2

energija, rad, količina toplote džul J N · m = W · s kg · m2 · s

−

2

snaga, fluks zračenja vat W J / s kg · m2 · s

−

3 naelektrisanje, količina elektriciteta kulon C F · V A · s električni potencijal, razlika električnih potencijala, električni napon, elektromotorna sila

volt V W / A kg · m2 · s

−

3 · A

−

1

električna otpornost om Ω V / A kg · m2 · s

−

3 · A−

2 električna provodnost simens S A / V kg

−1 · m

−

2 · s

3 · A2

električna kapacitivnost farad F C / V kg

−1 · m

−

2 · s

4 · A2

električna induktivnost henri H Wb / A kg · m2 · s

−

2 · A

−

2

magnetski fluks veber Wb V · s = T · m2 kg · m2

· s

−

2 · A−1

gustina magnetskog fluksa (ili magnetska indukcija) tesla T Wb / m2 =

N / (A · m) kg · s

−

2 · A−1

Celzijusova temperatura stepen Celzijusa °C 6) 6) K 6)

svetlosni fluks lumen lm cd · sr m2 · m

−

2 · cd = cd

osvetljenost luks lx lm / m2 m

−

2 · cd aktivnost radioaktivnog izvora bekerel Bq s

−1 apsorbovana doza jonizujućeg zračenja, specifična predata energija, kerma

grej Gy J / kg m2 · s

−

2

ekvivalentna doza jonizujućeg zračenja sivert Sv J / kg m2 · s

−

2 katalitička aktivnost katal kat mol · s

−1

6) Jedinice °C i K su jednake po veličini. Brojčana vrednost Celzijusove temperature i brojčana vrednost termodinamičke tempereture u kelvinima, su u odnosu datom obrascem: t [°C] = T [ K] − 273,15. [SI] 2.1.1.5 [Uredba] Prilog 2.1.1.

G

Highlight


Tabela 1.3 Jedinice van SI, čija je upotreba dozvoljena u Srbiji u određenim oblastima [Uredba] Član 1, Prilog 1.1., 1.2., 1.3.

Veličina

Jedinica van SI

Vrednost u jedinicama SI

Dozvoljena upotreba, samo

Naziv

Oznaka

površina

ar

a

1 a = 100 m2

za izražavanje površine zemljišta

hektar

ha

1 ha = 10 000 m2

barn

b

1 b = 100 fm2 = 10

−

28 m2

za izražavanje efektivnog poprečnog preseka

zapremina

litar

L, l

1 L = 1 dm3 = 10

−

3 m3

ugao u ravni

stepen

°

1° = (π / 180) rad

minuta, minut

’

1’ = (π / 10 800) rad

sekunda

”

1” = (π / 648 000) rad

grad, gon

gon

1 gon = (π / 200) rad

obrt

1 obrt = 2 · π rad

masa

tona

t

1 t = 1 000 kg

unificirana jedinica atomske mase

7)

u

1 u = 1,660 538 · 10

−

27 kg, približno [CODATA]

karat

1 karat = 0,2 g = 2 · 10

−

4 kg

za izražavanje mase dragog kamenja

podužna masa

teks

tex

1 tex = 10

−

6 kg · m

−1

za izražavanje podužne mase vlakna i konca

vreme

minuta, minut

min

1 min = 60 s

sat, čas

h

1 h = 3 600 s

dan

d

1 d = 86 400 s

pritisak

bar

bar

1 bar = 10

5 Pa

milimetar živinog stuba

mmHg

1 mmHg = 101 325 / 760 Pa

za izražavanje pritiska krvi i drugih telesnih tečnosti

energija

elektronvolt 8)

eV

1 eV = 1,602 176 565 · 10

−

19 J,

približno [CODATA]

jačina optičkih sistema

dioptrija

1 dioptrija = 1 m

−1

za izražavanje jačine optičkih sprava

7) Unificirana jedinica atomske mase je jednaka 1 / 12 mase slobodnog atoma ugljenika 12 u osnovnom stanju i u mirovanju. [SI Supplement] Table 7 (c)

8) Kinetička energija koju primi elektron pri prolazu u vakuumu kroz polje potencijalne razlike od jednog volta.


Tabela 1.4 Jedinice van SI iz posebnih oblasti ili od istorijskog značaja [NIST]

Veličina Naziv jedinice Oznaka Vrednost u jedinicama SI

dužina

palac, col, inč, Zoll, inch in, ” 1 in = 25,4 mm = 0,025 4 m stopa, foot ft, ’ 1 ft = 12 in = 0,304 8 m jard, yard yd 1 yd = 3 ft = 0,914 4 m milja, mile mi 1 mi = 1 609,344 m morska milja, nautical mile M, NM 1 M = 1 852 m svetlosna godina, light year 1 s. g. = 9,460 73 · 10

15 m angstrem, ångström Å 1 Å = 100 pm = 0,1 nm = 10

−10 m

mil, mil mil 1 mil = 0,001 in = 0,025 4 mm DTP tačka, DTP point pt 1 pt = (1 / 72) in = 0,352 8 mm

zapremina registarska tona, register ton FT, RT 1 FT = 100 ft

3 = 2,831 7 m

3

brzina čvor, knot kn 1 kn = 1 M / h = 0,514 4 m / s

masa metrička centa, kvintal, quintal q 1 q = 100 kg funta, pound, libra lb 1 lb = 0,453 592 37 kg unca, ounce oz 1 oz = 28, 349 523 125 g

sila din, dyne dyn 1 dyn = 10

−

5 N

energija erg, erg erg 1 erg = 10

−

7 J kalorija, calorie cal 1 cal = 4,186 8 J british thermal unit Btu 1 Btu = 1 055,055 852 62 J

snaga konjska snaga, (metric) horse power KS, hp 1 KS = 735,498 75 W (U. K.) horse power HP 1 HP = 745,70 W

temperatura stepen Farenhajta, degree Fahrenheit °F t [°C] = (θ [°F] − 32 ) / 1,8

pritisak

standardna atmosfera atm 1 atm = 101 325 Pa tehnička atmosfera at 1 at = 98 066,5 Pa pound per square inch psi 1 psi = 6 894,757 Pa tor, torr Torr 1 Torr = 133,322 4 Pa milimetar vodenog stuba mmH2O 1 mmH2O = 9,806 65 Pa

magnetsko polje ersted, œrsted Oe 1 Oe = 79,577 5 A / m magnetski fluks maksvel, maxwell Mx 1 Mx = 10

−8 Wb

gustina magnetskog fluksa (m. indukcija) gaus, gauss G 1 G = 1 Mx / cm

2 = 10 −4

T

sjaj (svetlosti) stilb, stilb sb 1 sb = 1 cd / cm

2 = 10 4

cd / m

2 osvetljenost fot, phot ph 1 ph = 1 cd · sr / cm

2 = 10 4

lx viskoznost, dinamička puas, poise P 1 P = 1 dyn · s / cm

2 = 0,1 Pa · s viskoznost, kinematička stoks, stokes St 1 St = 1 cm

2 / s = 10

−

4 m

2 / s

logaritam količnika vrednosti

neper, neper Np N [Np] = ln (x1 / x0) bel, bel B B [B] = log10 (P1 / P0) decibel, decibel dB D [dB] = 10 · log10 (P1 / P0)


Tabela 1.5 Predmeci SI za obrazovanje decimalnih jedinica [SI] 3.1

Oznaka Naziv Vrednost Naziv broja u Srbiji, Britaniji, Nemačkoj, Francuskoj...

Naziv broja u USA, Kanadi...

y jokto 10

−

24 kvadrilioniti deo, quadrillionth septillionth z zepto 10

−

21 trilijarditi deo, 1000 trillionth sextillionth a ato 10

−

18 trilioniti deo, trillionth quintillionth f femto 10

−

15 bilijarditi deo, 1000 billionth quadrillionth p piko 10

−

12 bilioniti deo, billionth trillionth n nano 10

−

9 milijarditi deo, milliardth, 1000 millionth billionth μ mikro 10

−

6 milioniti deo, millionth millionth m mili 10

−

3 = 0,001 hiljaditi deo, thousandth thousandth c centi 10

−

2 = 0,01 stoti deo, hundredth hundredth d deci 10

−

1 = 0,1 deseti deo, tenth tenth da deka 10

1 = 10 deset, ten ten h hekto 10

2 = 100 sto, hundred hundred k kilo 10

3 = 1000 hiljada, thousand thousand M mega 10

6 milion, million million G giga 10

9 milijarda, milliard, 1000 million billion T tera 10

12 bilion, billion trillion P peta 10

15 bilijarda, 1000 billion quadrillion E eksa 10

18 trilion, trillion quintillion Z zeta 10

21 trilijarda, 1000 trillion sextillion Y jota 10

24 kvadrilion, quadrillion septillion

Tabela 1.6 Binarni predmeci [IEC 80000-13] 4

Oznaka Naziv Vrednost Ki kilobi, kibi (2

10 )

1 = 1 024 Mi megabi, mebi (2

10 )

2 = 1 048 576 Gi gigabi, gibi (2

10 )

3 = 1 073 741 824 Ti terabi, tebi (2

10 )

4 = 1 099 511 627 776 Pi petabi, pebi (2

10 )

5 = 1 125 899 906 842 624 Ei eksabi, exbi (2

10 )

6 = 1 152 921 504 606 846 976 Zi zetabi, zebi (2

10 )

7 = 1 180 591 620 717 411 303 424 Yi jotabi, yobi (2

10 )

8 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176


2 Merenja 2.1 Merenje

Merenje je određivanje vrednosti veličine njenim poređenjem sa poznatom veličinom.

Vrednost veličine može da bude određena sa vrlo velikom tačnošću izuzev savršene.

Za merenje su neophodni: specifikacija merene veličine, opis postupka merenja i merna sprava.

Svojstva koja nemaju vrednost se ne mere. Na primer, ne mere se: pol čoveka, ISO dvoslovni kod države, niz amino kiselina u polipeptidu...

[Sonin] 2.3 [GUM] 3.1.1 [Rečnik] 2.1 [VIM] 2.1, 1.30 Examples

2.2 Metrologija Metrologija je nauka o merenjima.

Metrologija obuhvata sve teorijske i praktične probleme merenja, bez obzira na tačnost merenja i bez obzira na oblast u kojoj se merenja koriste.

Zakonska metrologija je deo metrologije u vezi sa merenjima propisanim zakonima.

Svrha zakonske metrologije je da bude garant javnosti za tačnost merenja namenjenih: prometu roba i usluga, zaštiti zdravlja ljudi i životinja, opštoj bezbednosti, zaštiti životne sredine i prirodnih resursa, i kontroli i bezbednosti saobraćaja.

[Rečnik] 2.2 [VIM] 2.2 [Zakon] Član 5, Član 19

2.3 Merena veličina Merena veličina je pojedinačna veličina koja se meri. Zahtevana tačnost merenja određuje koliko detaljno treba da bude data

specifikacija merene veličine. Na primer, pri merenju metalne šipke, sa zahtevanom relativnom greškom oko 5 · 10

−

6, specifikacija merene veličine sadrži temperaturu i pritisak ambijenta u kome je šipka.

G

Highlight


2.4 Princip merenja

Princip merenja je pojava na kojoj se zasniva merenje. Primer, termoelektrična pojava koja se koristi pri merenju temperature.

[Rečnik] 2.3 [VIM] 2.4

2.5 Metoda merenja

Metoda merenja je zamisao primene principa merenja.

Primarna metoda merenja je metoda koja ima najviše metrološke odlike, čiji je postupak potpuno objašnjen i opisan, i za koju je određena kombinovana standardna nesigurnost slediva do SI jedinica.

Primarna raciometrijska metoda je metoda kojom se određuje količnik vrednosti merene veličine i vrednosti veličine etalona (pri čemu su obe veličine iste vrste).

Primarna neposredna metoda je metoda u kojoj su merena veličina i veličina etalona, različite vrste.

[BIPM] [NIST]

2.6 Postupak merenja Postupak merenja (postupak, ili procedura) je logičan niz radnji koje se

obavljaju radi merenja. Postupak merenja je u skladu sa datom metodom merenja.

Uobičajeno je da postupak merenja bude potpuno određen dokumentom koji se najčešće i sam naziva „postupak merenja“.

Uputstvo je dokument kojim se obezbeđuje ujednačenost ponavljanih radnji.

[Rečnik] 2.5

2.7 Robustnost postupka Robustnost postupka (ili stabilnost postupka) je odlika postupka da

promene u postupku i uticajnim veličinama malo utiču na rezultat merenja.


3 Merne sprave

3.1 Merna sprava

Merna sprava je sprava namenjena za merenje, sama ili u sklopu sa drugim spravama. Merna sprava može da bude uređaj, materijal ili supstanca.

Merne sprave svrstane prema približno rastućoj složenosti su: deo, merni pretvarač, referentni materijal, merač, materijalizovana mera, merni instrument, aparat, oprema, merni lanac, merni sistem i merno postrojenje.

Merna sprava se periodično proverava, ili kvalifikuje, od strane korisnika ili priznate laboratorije. Proverama se utvrđuje da li je u radnim uslovima tačnost merne sprave unutar datog intervala i da li će u buduće biti unutar tog intervala.

Merač (ili merilo) je merna sprava koja obezbeđuje prikazivanje.

[Rečnik] 4 uvod, tamo je drugačije definisan termin „merilo“

3.2 Materijalizovana mera

Materijalizovana mera (mera) je merna sprava namenjena da ostvaruje, ili reprodukuje, jednu ili više poznatih vrednosti veličine.

Primeri: teg, merilo zapremine, etalonski električni otpornik, merni blok, etalonski signal generator, referentni materijal.

Prikazivanje materijalizovane mere je vrednost koja joj je pripisana.

Greška materijalizovane mere je greška njenog prikazivanja.

[Rečnik] 4.2, 3.2 Napomena 3, 5.20 Napomena 3, [VIM] 3.6, 4.1

G

Highlight


4 Rezultati merenja, tačnost i greške

4.1 Rezultat merenja

Rezultat merenja (krajnji rezultat merenja, ili izmerena vrednost, ili procenjena vrednost) je vrednost pripisana merenoj veličini na osnovu jednog ili više rezultata merenja.

Rezultat merenja se dobija na način naveden u opisu postupka merenja: uzimanjem rezultata pojedinačnog merenja, izračunavanjem aritmetičke sredine rezultata ponovljenih merenja, uzimanjem vrednosti koja se najčešće pojavljuje u nizu rezultata ponovljenih merenja (tj. uzimanjem modusa), izračunavanjem na osnovu funkcijske veze između merene veličine i komponentnih vrednosti (ili komponentnih rezultata, ili komponentnih promenljivih, ili komponentnih veličina, ili ulaznih veličina, ili komponenti) od kojih merena veličina zavisi...

Niz rezultata ponovljenih merenja fizičke, ili hemijiske veličine, se predstavljaju slučajno promenljivom koja se opisuje statističkim parametrima.

Uobičajeno se uz potpun rezultat merenja daju podaci o njegovoj tačnosti.

[Rečnik] 3.1 [GUM] [VIM] 2.9

4.2 Tačnost

Tačnost vrednosti je kvalitativni pojam koji znači bliskost vrednosti i referentne vrednosti.

Tačnost rezultata merenja (tačnost) je kvalitativni pojam koji znači bliskost rezultata merenja i vrednosti merene veličine.

Tačnost rezultata merenja se određuje na način naveden u opisu postupka merenja.

Tačnost rezultata merenja zavisi od grešaka koje se svrstavaju u dve grupe. Prvu grupu, slučajne greške, čiji uticaj na krajnji rezultat merenja može da se smanji povećavanjem broja ponovljenih merenja i zatim izračunavanjem aritmetičke sredine niza rezultata. I drugu grupu, sistematske greške, čiji uticaj na krajnji rezultat merenja može da se smanji određenom korekcijom.

G

Highlight


Uobičajeno se uz potpun rezultat merenja daju podaci o njegovoj tačnosti. Međutim kada je netačnost rezultata merenja zanemarljiva za predviđenu svrhu, podaci o tačnosti se mogu izostaviti. U mnogim oblastima normalan način izražavanja rezultata ne obuhvata podatke o tačnosti.

Da bi rezultat merenja i njegova tačnost mogli da se koriste kao komponentne promenljive drugog rezultata merenja i njegove tačnosti, daju se podaci navedeni u poglavlju 9.10.

Niz rezultata ponovljenih merenja fizičke, ili hemijiske veličine, se predstavljaju slučajno promenljivom koja se opisuje statističkim parametrima. Najpotpuniji opis tačnosti rezultata je njegova standardna merna nesigurnost.

Termin preciznost se pogrešno koristi za tačnost.

[Rečnik] 3.5 [VIM] 2.13, 2.15, 2.9 Note 2 [GUM] 3.2

4.3 Apsolutna greška

Apsolutna greška (greška, ili odstupanje) vrednosti je data obrascem:

APSOLUTNA_GREŠKA = VREDNOST – REFERENTNA_VREDNOST. (4.1)

VREDNOST = REFERENTNA_VREDNOST + APSOLUTNA_GREŠKA (4.2)

REFERENTNA_VREDNOST = VREDNOST – APSOLUTNA_GREŠKA (4.3)

APSOLUTNA_GREŠKA = SISTEMATSKA_GREŠKA + SLUČAJNA_GREŠKA (4.4)

U praksi se kao referentna vrednost koristi dogovorena vrednost.

Vrednost i njena apsolutna greška imaju istu dimenziju.

Apsolutna greška merne sprave je prikazivanje merne sprave, minus, vrednost merene veličine.

Apsolutna greška rezultata merenja je rezultat merenja, minus, vrednost merene veličine.

Apsolutna (tj. prosta, čista) greška nije moduo greške.

[VIM] 2.16 [Rečnik] 3.10, 3.11


5 Etaloni i etaloniranja

5.1 Etalon

Etalon je merna sprava kojom se ostvaruje, reprodukuje, ili određuje, vrednost veličine da bi se koristila kao osnova za merenja.

Primeri: etalon mase od 1 kg; etalonski otpornik od 100 Ω; etalonski ampermetar; cezijumski etalon frekvencije; referentna vodonična elektroda; referentni rastvor kortizola u ljudskom serumu specifikovane koncentracije.

Intrinsički etalon je zasnovan na suštinskoj i reproduktivnoj pojavi u prirodi. Primeri: ćelija sa trojnom tačkom vode kao etalon temperature; etalon električnog napona sa Džozefsonovim spojevima; etalon električne otpornosti zasnovan na kvantnoj Holovoj pojavi.

Kolektivni etalon je skup etalona koji, korišćeni u kombinacijama, čine etalon.

Grupni etalon je skup etalona koji, korišćeni pojedinačno ili u kombinacijama, obezbeđuju niz vrednosti veličina iste vrste.

[Rečnik] 6.1 [VIM] 5.1 tu se traži poznata merna nesigurnost, 5.10

5.2 Referentni materijal

Referentni materijal, RM, je materijal koji ima homogena, stabilna i tačno određena svojstava koja se koriste kao osnova za merenja.

Referentni materijali mogu biti čisti, ili pomešani: gasovi, tečnosti ili čvrsta tela. Primeri: rastvor za etaloniranje mernih instrumenata za hemijske analize; kolor karta; riblje tkivo tačno određenog sadržaja dioksina.

Overen referentni materijal, ORM (ili CRM), je referentni materijal praćen uverenjem u kome se specifikuju vrednosti njegovih svojstava i sledive standardne merne nesigurnosti tih vrednosti.

Primer. Ljudski serum sa uverenjem u kome je specifikovana koncentracija holesterola i njena slediva standardna merna nesigurnost.

[NIST] [Rečnik] 6.13, 6.14 [VIM] 5.13, 5.14

G

Highlight


5.3 Primarni etalon

Primarni etalon je etalon koji ima najviše metrološke kvalitete, a njegova vrednost je prihvaćena dogovorom, bez upućivanja na druge etalone veličina iste vrste.

Koncept primarnog etalona je podjednako primenljiv za osnovne i za izvedene veličine.

Primeri: međunarodni etalon kilograma; ćelija sa trojnom tačkom vode kao primarni etalon temperature; etalon električnog napona sa Džozefsonovim spojevima; primarni etalon koncentracije gradiva pripremljen rastvaranjem gradiva poznate mase, a tako da se dobije poznata zapremina rastvora.


5.4 Sekundarni etalon

Sekundarni etalon je etalon kome je vrednost pripisana na osnovu poređenja sa primarnim etalonom veličine iste vrste.


5.5 Transfer etalon

Transfer etalon je merna sprava koja se koristi kao posrednik u poređenju etalona.

Kada transfer etalon nije materijalizovana mera, koristi se i termin posredan uređaj.



6 Osnove statistike

6.1 O statističkim metodama

Statističke metode se koriste da se za grupu elemenata odredi reprezentativna vrednost ispitivanog svojstva. Elementi u grupi mogu da imaju značajno različite vrednosti ispitivanog svojstva.

Populacija je grupa svih elemenata za koje se statističkom metodom određuje reprezentativna vrednost svojstva. Populacija ima konačan ili beskonačan broj elemenata.

Procena (ili ocena, ili „statistika“) je vrednost procenjena statističkom metodom.

Slika 6.1. Primer četiri uzorka vrednosti koji imaju: jednake aritmetičke sredine promenljivih x i y, jednake devijacije x, istu linearnu regresionu funkciju dobijenu metodom najmanjih kvadrata... [Anscombe]

G

Highlight


Ispitivano svojstvo populacije se statističkim metodama određuje najčešće na osnovu uzorka populacije koji je verno predstavlja. Uzorak verno predstavlja populaciju kada je broj njegovih elemenata dovoljno veliki i kada su njegovi elementi slučajno izabrani iz populacije.

Da zaključci izvedeni za uzorak, sa izvesnom verovatnoćom važe i za populaciju, dokazuje se testovima saglasnosti.

Da bi smanjili mogućnost greške pri statističkoj obradi podataka, treba neizostavno razmotriti grafički prikaz podataka. Grafički prikaz daje uvid u kvalitativna svojstva podataka. Dijagrami na slici 6.1 ilustruju opravdanost grafičkog prikazivanja i vizuelnog pregleda.

Svojstvo populacije određeno statističkom metodom je svojstvo velikog broja elemenata te populacije. Na osnovu statističke procene se može odrediti samo verovatnoća da pojedinačni element populacije ima određeno svojstvo.

Statistika je subjektivna; statističari pokušavaju da objasne ili predvide materijalni svet proizvoljnim, ali razumnim načinom, korišćenjem teorije verovatnoće, matematike i zdravog razuma.

Za razliku od statistike, teorija verovatnoće za potpuno definisan problem daje jedinstveno i ponovljivo rešenje. Teorija verovatnoće je algebra induktivnog zaključivanja. (Bulova algebra je algebra deduktivnog zaključivanja.)

Statističke metode su među najrasprostranjenijim kvantitativnim metodama, sa važnim primenama u skoro svim delatnostima čoveka.

[Njegić] 1.1., 1.2. [Ivković] II.1 [Britannica] Probability theory [Drake] 7-1, 7-6 [Lazić] I, 1.2 [Anscombe]


6.2 Statistička obrada rezultata ponovljenih merenja

Svrha statističke obrade rezultata ponovljenih merenja jedne veličine je da se odredi dobra procena vrednosti te veličine. I takođe, da se odredi interval oko te dobre procene u kome je, sa traženom verovatnoćom, stvarna vrednost veličine.

Normalno se za dobru procenu merene veličine uzima najverovatnija vrednost merene veličine.

Rezultati ponovlјenih merenja najčešće imaju normalnu raspodelu jer za rezultate merenja najčešće važi centralna granična teorema. U slučaju normalne raspodele, a posle korekcije za sve značajne sistematske greške, najverovatnija vrednost merene veličine je aritmetička sredina rezultata merenja.

Pri normalnoj raspodeli, interval:

ARITMETIČKA_SREDINA ± DEVIJACIJA_ARITMETIČKE_SREDINE,

je interval u kome je stvarna vrednost merene veličine sa verovatnoćom 0,68.

[GUM] 3, 4


6.29 T- raspodela

T- raspodela (ili Studentova raspodela) promenljive x, T(x), sa ν stepeni slobode, je data funkcijom (6.83) i prikazana slikom 6.5. Sa Γ je označena gama-funkcija čija se vrednost može izračunati korišćenjem (6.84).

12 2

11 12T( )

2 1

x

xν

ν

νν

ν

+

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= ⋅ ⋅⎛ ⎞⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Γ

π Γ (6.83)

1

0

( ) d , 0e

a

yya y a

∞ −= ⋅ >∫Γ (6.84)

0x =& (6.85)

0modusx = (6.86) 0medijanax = (6.87)

, 2( 2)

s ν νν

= >−

& (6.88)

Za promenljivu x, obrasci (6.85) do (6.88) daju: aritmetičku sredinu x ,& modus, medijanu i devijaciju .s&

T-raspodela je simetrično opadajuća u odnosu na nulu. Sa povećavanjem ν, površina obuhvaćena „repovima“ se smanjuje, a raspodela se sve više približava standardnoj normalnoj raspodeli. Videti sliku 6.5.

Slika 6.5. Dijagrami T-raspodela za različite stepene slobode ν.

G

Highlight

G

Highlight


Tabela 6.3 Za T-raspodelu, T(x): veza između nivoa poverenja, P, stepena slobode, ν i koeficijenta obuhvata, k [GUM] Table G.2

Nivo poverenja, P

0,5000

0,6827

0,9000

0,9500

0,9545

0,9800

0,9900

0,9950

0,9973

0,9990

Step

en s

lobo

de, ν

1 1,000 1,84 6,31 12,71 13,97 31,82 63,66 127,4 235,8 636,6 2 0,817 1,32 2,92 4,30 4,53 6,97 9,92 14,09 19,21 31,60 3 0,765 1,20 2,35 3,18 3,31 4,54 5,84 7,45 9,22 12,92 4 0,741 1,14 2,13 2,78 2,87 3,75 4,60 5,60 6,62 8,61 5 0,727 1,11 2,02 2,57 2,65 3,37 4,03 4,77 5,51 6,87 6 0,718 1,09 1,94 2,45 2,52 3,14 3,71 4,32 4,90 5,96 7 0,711 1,08 1,89 2,36 2,43 3,00 3,50 4,03 4,53 5,41 8 0,706 1,07 1,86 2,31 2,37 2,90 3,36 3,83 4,28 5,04 9 0,703 1,06 1,83 2,26 2,32 2,82 3,25 3,69 4,09 4,87

10 0,700 1,05 1,81 2,23 2,28 2,76 3,17 3,58 3,96 4,59 11 0,698 1,05 1,80 2,20 2,25 2,72 3,11 3,50 3,85 4,44 12 0,696 1,04 1,78 2,18 2,23 2,68 3,05 3,43 3,76 4,32 13 0,694 1,04 1,77 2,16 2,21 2,65 3,01 3,37 3,69 4,22 14 0,692 1,04 1,76 2,14 2,20 2,62 2,98 3,33 3,64 4,14 15 0,691 1,03 1,75 2,13 2,18 2,60 2,95 3,29 3,59 4,07 16 0,690 1,03 1,75 2,12 2,17 2,58 2,92 3,25 3,54 4,02 17 0,689 1,03 1,74 2,11 2,16 2,57 2,90 3,22 3,51 3,96 18 0,688 1,03 1,73 2,10 2,15 2,55 2,88 3,20 3,48 3,92 19 0,688 1,03 1,73 2,09 2,14 2,54 2,86 3,17 3,45 3,88 20 0,687 1,03 1,72 2,09 2,13 2,53 2,85 3,15 3,42 3,85 25 0,684 1,02 1,71 2,06 2,11 2,48 2,79 3,08 3,33 3,72 30 0,683 1,02 1,70 2,04 2,09 2,46 2,75 3,03 3,27 3,65 35 0,682 1,01 1,70 2,03 2,07 2,44 2,72 3,00 3,23 3,59 40 0,681 1,01 1,68 2,02 2,06 2,42 2,70 2,97 3,20 3,55 45 0,680 1,01 1,68 2,01 2,06 2,41 2,69 2,95 3,18 3,52 50 0,679 1,01 1,68 2,01 2,05 2,40 2,68 2,94 3,16 3,50 10 0 0,677 1,005 1,660 1,984 2,025 2,36 2,626 2,87 3,077 3,39 ∞ 0,675 1,000 1,645 1,960 2,000 2,326 2,576 2,807 3,000 3,291

Koeficijent obuhvata, k

G

Highlight


6.38 Histogram

Uzorak vrednosti se može razvrstati u nepreklapajuće podintervale jednakih širina (ili klase), a histogram je grafički prikaz broja vrednosti po tim podintervalima.

Histogram se izrađuje na sledeći način. Prvo se deo horizontalne ose na kojoj su vrednosti iz uzorka, podeli na nepreklapajuće podintervale jednakih širina, videti sliku 6.14 b). Zatim se crtaju pravougaonici čije se osnove poklapaju sa podintervalima na horizontalnoj osi i čije su visine proporcionalne broju vrednosti iz podintervala njihove osnove.

Na izgled histograma značajno utiče širina podintervala, kao i položaj podintervala duž ose. Granice podintervala se mogu odrediti prema naredne dve preporuke.

a) Ako se izrađuje histogram za uzorak sa malim brojem mogućih diskretnih vrenosti, podintervale treba izabrati tako da svakoj diskretnoj vrednosti odgovara po jedan podinterval. Ovo je slučaj u primeru 6.38.1, u kome 8033 diskretnih rezultata merenja imaju jednu od 16 mogućih diskretnih vrednosti, od kojih se samo 5 vrednosti relativno često ponavlja. Histogrami kao u ovom primeru su osnova za pouzdane procene.

b) Ako se izrađuje histogram za uzorak sa velikim brojem mogućih vrednosti, širina i položaji podintervala se mogu odrediti prema sledećem.

Ako n vrednosti u uzorku imaju normalnu raspodelu, i n je veći od oko 25, optimalnu širinu podintervala, š, daje obrazac (6.116) sa parametrom K = 3,5. Sa s je označena standardna devijacija vrednosti u uzorku. Ovaj obrazac je izveden iz uslova minimalnog integrala srednjeg kvadrata greške (IMSE).

= ⋅ 3sš Kn

(6.116)

Ako vrednosti u uzorku nisu sa normalnom raspodelom, a n je veći od oko 25, na osnovu iskustva se može takođe preporučiti korišćenje (6.116) sa K = 2.

U slučaju uzorka sa diskretnim vrednostima neizostavno zaokrugliti širine podintervala tako da svaki podinterval obuhvata jednak broj mogućih vrednosti (tj. širine podintervala zaokrugliti na celobrojni umnožak rezolucije).

Položaje podintervala treba birati tako da što više vrednosti bude oko sredine podintervala.

U histograme opisane pod b) spada slučaj u primeru 6.38.2, u kome 78 diskretnih rezultata merenja imaju jednu od 30 mogućih vrednosti. Ovaj primer pokazuje kako širine podintervala menjaju izgled histograma.

G

Highlight


U većini statističkih računarskih programa predzadata širina i položaj podintervala nisu optimalni.

Visina pravougaonika histograma je proporcionalna verovatnoći pojavljivanja vrednosti u podintervalu osnove tog pravougaonika, pa je histogram varijanta funkcije gustine verovatnoće.

Vizuelnim pregledom dobro izrađenog histograma se mogu proceniti sledeća svojstva raspodele: tip; modus; postojanje grubih grešaka; međusobna odstupanja vrednosti; postojanje više maksimuma; simetričnost; i šiljatost. Nedostatak procene na osnovu histograma je subjektivnost.

Približnu aritmetičku sredinu n vrednosti prikazanih histogramom, x,& daje obrazac (6.117) izveden iz (6.19). Sa bi je označen broj vrednosti u podintervalu sa sredinom xi .

1

1 1( ... )n

1 1 2 2 n n i ii

x b x b x b x b xn n =

≈ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ ⋅∑& (6.117)

[Britannica] Statistics [Perović, komunikacija] [Scott] [Hristov, komunikacija]

Slika 6.14. a) Prikaz uzorka sa diskretnim vrednostima i b) histogram za taj uzorak sa dodatim dijagramom sa njim usaglašene normalne raspodele sa parametrima μ i σ.


Slika 6.17. Filtracija niza diskretnih rezultata merenja primenom konvolucije: a) težinska funkcija Čebiševljevog tipa, b) niz diskretnih rezultata merenja i c) konvolucija ove dve funkcije. [Hristov, komunikacija]

6.40 Filtracija

Filtracija je postupak za smanjenje slučajnih odstupanja vrednosti u nizu.

Filtracija se najčešće obavlja usrednjavanjima. Filtracija pokretnim prosekom koristi konvoluciju, jednostavna je i najpovoljnija za smanjivanje odstupanja vrednosti u nizu. Ova filtracija održava nagle promene, ali daje pogrešnu predstavu o vrednostima i širinama šiljaka u nizu. Ove mane se pogoršavaju smanjenjem propusnog opsega filtracije.

Na slici 6.17 je primer filtracije korišćenjem konvolucije. Težinska funkcija (tj. „prozor“) je niz Čebiševljevog tipa sa sedam koeficijenata (tj. tačaka) skaliranih tako da je njihov zbir jednak jedinici. (Filtracija pokretnim prosekom koristi težinsku funkciju sa jednakim koeficijentima.) Filtrira se niz diskretnih rezultata merenja sa velikim međusobnim odstupanjima. Ovi rezultati sa odgovarajućim histogramom su prikazani i na slici 6.15.

Pored usrednjavanja, za filtraciju se koristi i usaglašavanje. Savitzki - Golaj filtracija koristi lokalno usaglašavanje polinoma sa vrednostima iz niza koje su unutar pokretnog „prozora“. Usaglašavanje se obavlja metodom najmanjih kvadrata, a polinom je često četvrtog stepena. Ovakva filtracija teži da održi vrednosti i širine šiljaka u nizu.

[Savitzky] [Hristov, komunikacija] [Guiñón]

G

Highlight


6.41 Operacije sa raspodelama i centralna granična teorema

Pri bacanju kocke, jednake su verovatnoće ostvarivanja bilo kog od brojeva 1 do 6. Funkcija verovatnoće ovih brojeva, P(x1), je ravnomerna i diskretna, a slikovito je prikazana na sledećoj slici.

Razmotrimo verovatnoće ostvarivanja vrednosti koje su zbir dva broja

dobijena iz dva bacanja kocke. Moguće vrednosti zbira su od 2 do 12. Vrednost 2 je moguće dobiti samo na jedan način, vrednost 3 na dva načina, itd. Videti sledeću sliku. Zbir 7 je najverovatniji jer se može postići na najviše načina.

Slučajno promenljiva x1 , koja uzima vrednosti dobijene bacanjem kocke,

ima ravnomernu diskretnu funkciju verovatnoće. Slučajno promenljiva x2 , čije su vrednosti zbir dva broja dobijena iz dva bacanja kocke, ima trougaonu diskretnu funkciju verovatnoće.

Kao primer, primenjujući svojstva verovatnoće, izračunajmo verovatnoću da zbir x2 bude 5:

P(x2 = 5) = P[(4 ∧ 1) ∨ (3 ∧ 2) ∨ (2 ∧ 3) ∨ (1 ∧ 4)] =

= P(4 ∧ 1) + P(3 ∧ 2) + P(2 ∧ 3) + P(1 ∧ 4) = = P(4) · P(1) + P(3) · P(2) + P(2) · P(3) + P(1) · P(4) =

= 4 · (1/6)2 = 4/36 = 1/9.

Vidimo da P(x2 = 5) možemo napisati kao

== = − ⋅∑

4

1P( 5) P(5 ) P( ),2

ix i i a to je

konvolucija diskretne funkcije P sa samom sobom.

Na osnovu prethodnog, odredimo funkciju verovatnoće promenljive x2 , P2 (x2 ):

11/ 6, 1, 2, ..., 6

P ( )0, 0 7

11

1

xx

x=⎧

= ⎨ ≥ ≥⎩

∞

= −∞= − ⋅ = ∗∑2 1 1 1 1P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) P ( ).2 2 2 2

ix x i i x x


Poput prethodnih diskretnih funkcija verovatnoće, može se odrediti funkcija verovatnoće zbira promenljivih sa kontinualnim funkcijama verovatnoće. Videti [Osgood] 3.6.6.

Za diskretne i kontinualne funkcije gustine verovatnoće važi sledeće. Funkcija gustine verovatnoće zbira dve nezavisne promenljive je konvolucija funkcija gustine verovatnoće te dve promenljive. To jest, ako je f funkcija gustine verovatnoće, a x1 i x2 su nezavisne promenljive, onda je:

f (x1 + x2 ) = f (x1 ) ∗ f (x2 ). (6.127)

Iz primera na slici 6.18 vidimo sledeće. Zbir dve nezavisne promenljive, sa ravnomernim raspodelama istih širina ima trougaonu raspodelu. Približno normalnu raspodelu ima zbir promenljive sa trougaonom raspodelom i promenljive sa ravnomernom raspodelom, kao i zbir promenljive sa normalnom raspodelom i promenljive sa ravnomernom raspodelom. Primer na slici 6.18. pokazuje kako se iz haotičnih odstupanja promenljivih neizbežno pojavljuje normalna raspodela i nagoveštava centralnu graničnu teoremu.

Centralna granična teorema tvrdi da zbir nezavisnih promenljivih, sa bilo kojim raspodelama, ima raspodelu koja je sve bliža normalnoj što je broj promenljivih veći, ali ako nema promenljive sa višestruko većim odstupanjima od ostalih odstupanja. Videti [Osgood] 3.7 i 3.10.

[Osgood] 3.6, 3.7, 3.10 [Box 2005] str. 28

Slika 6.18. Promenljiva x1 u vremenu, njena raspodela i raspodele zbirova nezavisnih promenljivih xi sa raspodelama kao x1 .


6.42 Simulacija Monte Karlo

Simulacija Monte Karlo (ili metoda Monte Karlo) se koristi za procenjivanje vrednosti korišćenjem matematičkog modela kojim se izračunava veliki broj izlaznih vrednosti za kombinacije ulaznih vrednosti.

Simulacija se obavlja korišćenjem računara. Kombinacije ulaznih vrednosti se biraju tako da intervali od značaja budu

simulirani što ravnomernije i u dovoljno tačaka. Ulazne vrednosti mogu da budu nizovi brojeva predstavljeni na narednim primerima sa po sto parova: a) ekvidistantnih brojeva, b) brojeva sa ravnomernim raspodelama, c) brojeva sa kvaziravnomernim raspodelama, d) brojeva sa normalnim raspodelama i e) korelisanih brojeva sa normalnim raspodelama.

Ulazne vrednosti sa kvaziravnomernim raspodelama su pogodne kada

model ima više promenljivih i kada je osetljivost na neke promenljive veća od osetljivosti na ostale. Kod takvog modela korišćenje vrednosti sa drugačijim raspodelama, a sa istim ukupnim brojem tačaka, daje znatno lošiju rezoluciju po promenljivoj. Videti [Sobol].

Da bi se u metrologiji simulirale komponentne vrednosti, ulazne vrednosti daju generatori brojeva kojima se zadaju dobre procene komponentnih veličina i raspodele tih procena. Simulirana ulazna vrednost mora da ima sve parametre raspodele jednake parametrima raspodele simulirane procene, uključujući eventualnu korelisanost. Ovakva simulacija verno odražava postupak merenja. Simulacija se može koristiti za:

određivanje raspodele procene merene veličine određivanje intervala poverenja te procene određivanje dobre procene vrednosti merene veličine određivanje standardne merne nesigurnosti te procene određivanje stepena slobode te nesigurnosti određivanje koeficijenata osetljivosti za validaciju postupaka datih u GUM.


Simulacija Monte Karlo se primenjuje ako nisu ispunjeni uslovi za korišćenje osnovnih postupaka datih u GUM, ili ako se ne zna da li su ispunjeni ti uslovi. Ova simulacija se primenjuje i kada nije ispunjen uslov za korišćenje konvolucije (uslov je nekorelisane ulazne vrednosti). Ova simulacija se najčešće koristi u sledećim slučajevima:

ako je nezadovoljavajuća linearna aproksimacija modela merenja ako je nepogodno obezbediti parcijalne izvode modela merenja ako je model merenja previše složen ako su raspodele ulaznih vrednosti znatno nesimetrične ako standardne merne nesigurnosti ulaznih vrednosti nisu približne ako raspodela izlaznih vrednosti znatno odstupa od normalne raspodele ako su približne izlazna vrednost i njena standardna merna nesigurnost.

Uslovi za primenu simulacije Monte Karlo: mogućnost izračunavanja dovoljno velikog broja simuliranih tačaka u okolini dobrih procena ulaznih veličina model merenja je kontinualan

(nije potrebno i njegovi izvodi) za izlazne vrednosti postoje aritmetička sredina i devijacija kada se traži interval poverenja:

- funkcija kumulativne raspodele izlaznih vrednosti je kontinualna i strogo rastuća

- funkcija gustine verovatnoće izlaznih vrednosti je kontinualna u intervalu u kome je veća od nule, unimodalna je i levo od moda je strogo rastuća, ili je nula, a desno od moda je strogo opadajuća, ili je nula.

Glavne prednosti simulacije Monte Karlo: nije potrebno određivanje parcijalnih izvoda modela merenja simulacija daje raspodelu izlaznih vrednosti simulacija ima širu primenljivost od postupaka u skladu sa GUM ista priroda rezultata simulacije i rezultata osnovnih postupaka u skladu

sa GUM.


Simulacijom Monte Karlo se vrednost veličine i njeni statistički parametari procenjuju narednim postupkom.

1) Specifikovati polazne podatke. 2) Odrediti potreban broj simuliranih tačaka, tj. skupova ulaznih vrednosti,

M. Ovaj broj zavisi od tačnosti koja se traži od simulacije i vrsta raspodela ulaznih vrednosti. Često zadovoljava 104 do 106 tačaka.

3) Generatorima brojeva generisati M skupova slučajno uređenih ulaznih vrednosti sa odgovarajućim raspodelama i eventualnim korelisanostima. Videti [GUM-S1] i, ovde, primer 6.42.1.

4) Za svaki skup ulaznih vrednosti iz 3), korišćenjem modela merenja, izračunati izlaznu vrednost modela, ym (m = 1, 2, ..., M ).

5) Iz izračunatih M izlaznih vrednosti se dobija histogram, na uobičajeni način prema 6.38 Histogram.

6) Dobra procena vrednosti veličine se dobija: korišćenjem modela merenja i ostalih polaznih podataka - ako ulazne

vrednosti imaju približno simetrične raspodele sa približno jednakim mernim nesigurnostima koje su male u odnosu na proseke tih ulaznih vrednosti, ili

ako ulazne vrednosti nisu sa raspodelama kao u prethodnoj tački - na osnovu raspodele simulacijom dobijenih izlaznih vrednosti, a u skladu sa 6.9 Dobra procena.

7) Kada se simulira n rezultata iz ponovljenih merenja komponentnih veličina, M izlaznih vrednosti podeliti u J = M / n grupa sa po n vrednosti.

8) Najverovatnija standardna devijacija vrednosti koja se dobija iz n rezultata ponovljenih merenja, računa se na uobičajeni način prema (6.56), tako što se standardna devijacija svih M vrednosti podeli sa .n Ova devijacija je kombinovana standardna merna nesigurnost sredine n rezultata ponovljenih merenja. (Standardna devijacija svih M vrednosti je približno jednaka proseku (tj. aritmetičkoj sredini) devijacija n vrednosti unutar grupa.)

9) Za svaku grupu sa n vrednosti se računa standardna devijacija sredine grupe, na uobičajeni način prema (6.56). Videti tabelu 6.4.

10) Za svih J grupa se računa standardna devijacija standardnih devijacija sredine grupe iz 9), na uobičajeni način prema (6.49). Videti tabelu 6.4.

11) Za svih J grupa se računa standardna devijacija sredina grupe, na uobičajeni način prema (6.49). Videti tabelu 6.4.

12) Stepen slobode standardne devijacije iz 8) se približno računa prema (6.75), korišćenjem standardne devijacije standardnih devijacija sredine grupe

iz 10) i standardna devijacija sredina grupe iz 11). 13) Da bi odredili potreban broj simuliranih tačaka, ponavljati, na primer po

10 puta, simulacije sa različitim brojem tačaka. Izračunati standardne devijaciju rezultata ponavljanih simulacija. Na osnovu tih devijacija proceniti potreban broj simuliranih tačaka.

Simulacija personalnim računarom često traje samo nekoliko sekundi.


7 Varijanse

7.1 Prirodna varijansa

Prirodna varijansa (varijansa, ili prirodna disperzija) ,V& grupe sa m vrednosti xi (i = 1, 2, ..., m), je aritmetička sredina kvadrata odstupanja tih vrednosti od tačne aritmetičke sredine tih vrednosti, :x&

2

1( )

.

m

ii

x xV

m=

−=∑ &

& (7.1)

Varijansa ,V& grupe sa m vrednosti xi , se računa i preko kvadrata odstupanja tih vrednosti iz parova dobijenih kombinacijama (bez ponavljanja) druge klase od m elemenata:

12

1 12

( ).

m m

i ji j i

x xV

m

−

= = +−

=∑ ∑

& (7.2)

Varijansa populacije (očekivana varijansa, ili očekivana disperzija), σ 2,

svih m vrednosti u populaciji, xi (i = 1, 2, ..., m), se računa korišćenjem (7.1) tako što se za tačnu aritmetičku sredinu, ,x& uzima tačna aritmetička sredina populacije, μ:

2

12

( ).

m

ii

x

m

μσ =

−=∑

(7.3)

Varijansa ,mV& vrednosti xi koje pristižu stalno, računa se rekurzivnim postupkom korišćenjem (7.4) i (7.5). Ovo računanje ne zahteva memorisanje svih m pristiglih vrednosti, nego samo poslednje xm , i prethodno izračunate aritmetičke sredine 1mx −& i varijanse 1.mV −

&

1( 1) m mm

m x xx

m−− ⋅ +

= ⋅&

& (7.4)

21 12

1 1 ( )m m m mm mV V x x

m m− −− −= ⋅ + ⋅ −& & & (7.5)

G

Highlight


Računanje korišćenjem (7.5) u praksi daje tačnije rezultate nego (7.1).

Korišćenje (7.5) je posebno pogodno u sledećim slučajevima: kada stalno pristižu vrednosti za koje se računa varijansa; kada je mala relativna devijacija vrednosti; ako treba određivati varijansu u toku nekog procesa (na primer u toku simulacije Monte Karlo da bi se zaustavilo izračunavanje kada varijansa rezultata simulacije postane dovoljno mala).

Stepen slobode varijanse je jednak broju vrednosti za koje se daje varijansa: ν = m.

Varijansa je pokazatelj međusobnih odstupanja vrednosti u grupi. Izražava se u jedinicama koje su kvadrat jedinica tih vrednosti.

Varijansa važi za vrednosti sa bilo kojom raspodelom. Videti primer 6.42.2.

Varijansa grupe vrednosti je jednaka kvadratu devijacije te grupe vrednosti.

Svojstva varijanse ,V& su navedena u sledećem tekstu. Promenljive su

označene sa x i y, konstante sa C i D, funkcija data sa (7.1) sa V( ),a& a sa V(x, y) standardna kovarijansa x i y data sa (7.21).

0.V ≥& (7.6)

V(C) 0.=& (7.7)

V(C ) V( ).x x+ =& & (7.8)

2V(C ) C V( ).x x⋅ = ⋅& & (7.9)

Ako su x i y nekorelisane: 2 2V(C D ) C V( ) D V( ).x y x y⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅& & & (7.10)

Ako su x i y korelisane: 2 2V (C D ) C V( ) D V( ) 2 C D V( , ).x y x y x y⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅& & & (7.11)

Ako su x i y nekorelisane: 2 2V( ) V( ) V( ).x y y x x y⋅ ≈ ⋅ + ⋅& & & (7.12)

[GUM] C.2.20, C.3.2, C.2.12 [Box 2005] str. 27 [Hristov, komunikacija] [Welford] [Ivković] str. 45


7.6 Kombinovana varijansa

Kombinovana varijansa je varijansa procenjene vrednosti koju proizvode varijanse komponentnih promenljivih.

Izračunata kombinovana varijansa procene važi pri bilo kojim raspodelama komponentnih promenljivih i procene. Pored toga, procena ima raspodelu koja je sve bliža normalnoj što je broj komponentnih promenljivih veći, ali ako su promenljive nezavisne i ako nema promenljive sa varijansom koja je višestruko veća od ostalih varijansi (centralna granična teorema). Videti primer 6.42.2.

Neka je veza između procene y i J komponentnih promenljivih xj data funkcijom

y = y (x1 , x2 , ..., xJ ),

neka su komponentne promenljive nekorelisane i neka funkcija y nije značajno nelinearna. Tada se kombinovana varijansa procene y, VC ( y), računa funkcijom (7.40). Parcijalni izvod / jy x∂ ∂ se naziva koeficijent osetljivosti na x j i uobičajeno se označava sa c (x j ) ili cj . Sa V(x j) je označena varijansa komponentne promenljive x j .

( )

22 2

C

2

1

2

1

V ( ) V( ) V( ) ... V( )

V( )

c ( ) V( )

1 2 J1 2 J

J

jjj

J

j jj

y y yy x x xx x x

y xx

x x

=

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + + ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞∂⎢ ⎥= ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥∂⎝ ⎠⎣ ⎦

= ⋅

∑

∑ (7.40)

Funkcija (7.41) daje varijansu Vmax (VCy), koja je maksimalna moguća varijansa varijanse VC ( y) iz (7.40). Ako je varijansa varijanse, Vmax (VCy), višestruko manja od varijanse VC ( y), funkcija y nije značajno nelinearna sa obzirom na varijanse njenih komponentnih promenljivih, i (7.40) daje valjanu vrednost.

Parcijalni izvodi u (7.41) su za promenljivu tačku

2 2( V( ) , V( ) , ..., V( ) )1 1 J Jx r x x r x x r x+ ⋅ + ⋅ + ⋅

koja se menja variranjem vrednosti r od 0 do 1. Videti primere 7.6.1 i 7.6.2.

max0 1 1

1V ( ) max ( ( ) V( ) )2

J

Cy jr j jj

yV xx x< < =

∂ ∂⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∑ (7.41)

G

Highlight


Funkcija y je linearna funkcija ako se može izraziti korišćenjem konstanti Cj :

y (x1 , x2 , ..., xJ ) = C1 · x1 + C2 · x2 + ... + CJ · xJ . (7.42)

Ako je funkcija y linearna i ako su komponente xj nekorelisane, funkcija (7.40) daje tačnu, a ne približnu vrednost kombinovane varijanse. U tom slučaju nije potrebna provera korišćenjem (7.41).

Iz (7.40) proizlazi sledeće. Kombinovana varijansa V, zbira ili razlike nekorelisanih promenljivih, jednaka je zbiru varijansi tih promenljivih, Vj :

V = V1 + V2 + ... + VJ . (7.43)

Primer. Napon U1 se meri tako što se od rezultata merenja napona U2 , oduzme, rezultat merenja napona U3 : U1 = U2 − U3 . Korelisanost U2 i U3 je zanemarljiva. Izračunati kombinovanu varijansu procene U1, VC (U1).

22

C

C

V ( ) V( ) V( )

1, 1

V ( ) V( ) V( )

1 2 3

1 11 2 3

2 3

1 1

2 3

1 2 3

U U U

U UU U U

U UU UU U

U U U

= −

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂= ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂= = −

∂ ∂= +

Kombinovana varijansa procene iz nekorelisanih komponentnih promenljivih može se izračunati u sledećim koracima. Primeri su dati u poglavljima 7.6.1, 7.6.2, 7.6.3 i 7.6.4.

1) Napisati funkciju kojom se izračunava procenjena vrednost iz komponentnih promenljivih.

2) Za svaku od komponentnih promenljivih funkcije iz 1) naći prvi i drugi parcijalni izvod.

3) Izračunati kombinovanu varijansu procenjene vrednosti koristeći (7.40). 4) Proceniti maksimalnu moguću varijansu varijanse iz 3) koristeći (7.41). 5) Kombinovanu varijansu iz 3) uzeti kao valjanu, sa obzirom na

nelinearnost funkcije iz 1), ako je njena maksimalna moguća varijansa iz 4) osam ili više puta manja od nje.


Varijansa varijanse koja se računa u 4) potiče od greške linearne aproksimacije funkcije koja je nelinearna. Osam puta veća varijansa od varijanse te varijanse, odgovara varijansi varijanse aritmetičke sredine pet vrednosti sa T-raspodelom. Odnos iz 5) se može promeniti prema konkretnoj primeni. Videti 6.22 Devijacija standardne devijacije aritmetičkih sredina.

Ako je varijansa varijanse prevelika za konkretnu primenu i ako su komponentne promenljive nekorelisane, kombinovanu varijansu proceniti simulacijom Monte Karlo, ili koristeći (7.44) uz proveru valjanosti. U praksi su retki slučajevi sa prevelikom varijansom varijanse, tj. sa značajnom nelinearnošću funkcije.

Ako su komponentne promenljive korelisane i ako funkcija iz 1) nije značajno nelinearna, koristiti simulaciju Monte Karlo, ili (7.49), (7.50) i postupak poput prethodnog.

U slučaju sa nekorelisanim komponentnim promenljivim i sa značajno nelinearnom funkcijom y, kombinovana varijansa procene, VC ( y), se računa funkcijom (7.44).

2 22 3

C 21 1 1

1V ( ) V( ) V( ) V( )2

J J J

j j kj j k jj j k j k

y y y yy x x xx x x x x x= = =

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎩ ⎭∑ ∑ ∑

(7.44)

Parcijalni izvodi višeg reda se računaju prema sledećem.

2

2

2

3

2

( )

( )

( ) ( )

( ( ))

j j

j jj

j k j k k j

j k kj k

yyx x

y yx xx

y y yx x x x x x

y yx x xx x

∂ ∂=∂ ∂

∂ ∂ ∂=∂ ∂∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂∂ ∂

Tačnost varijanse koju daje (7.44) se može potvrditi simulacijom Monte Karlo.

(7.45)

(7.46)

(7.47)

(7.48)


U slučaju sa korelisanim komponentnim promenljivim i ako funkcija y nije značajno nelinearna, kombinovana varijansa procene, VC ( y), se računa funkcijom (7.49). Sa V (x j , x k ) su označene standardne kovarijanse promenljivih x j i x k . Videti 7.4 Eksperimentalna standardna kovarijansa, kao i primere 8.3.1, 9.12.3 i 9.12.4.

( ) ( )

2 1

C1 1 1

12

1 1 1

V ( ) V( ) 2 V( , )

c ( ) V( ) 2 c( ) c( ) V( , )

J J J

j j kj j kj j k j

J J J

j j j k j kj j k j

y y yy x x xx x x

x x x x x x

−

= = = +

−

= = = +

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ (7.49)

Kovarijanse V (x j , x k ) u (7.49) su za sve parove J komponentnih promenljivih, ne uzimajući u obzir redosled promenljivih i bez parova sa dve jednake promenljive. Parovi se dobijaju kombinacijama (bez ponavljanja) druge klase od J elemenata, videti 7.4 Eksperimentalna standardna kovarijansa.

Funkcija (7.50) daje varijansu Vmax (VCy), koja je maksimalna moguća varijansa varijanse VC ( y) iz (7.49). Ako je varijansa varijanse, Vmax (VCy), višestruko manja od varijanse VC ( y), funkcije y nije značajno nelinearna i (7.49) daje valjanu vrednost. Parcijalni izvodi u (7.50) su za promenljivu tačku

2 2( V( ) , V( ) , ..., V( ) )1 1 J Jx r x x r x x r x+ ⋅ + ⋅ + ⋅

koja se menja variranjem vrednosti r od 0 do 1. 1

max0 1 1 1 1

1V ( ) max ( ( ) V( ) ( ) V( , ) )2

J J J

Cy j j kr j j j kj j k j

y yV x x xx x x x

−

< < = = = +

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

(7.50)

Primer. Neka se procena y određuje iz tri korelisane komponentne promenljive a, b i c, tada se kombinovana varijansa vrednosti y, VC (y), računa korišćenjem (7.49) na sledeći način.

y = y (a, b, c) 2 2 2

CV ( ) V( ) V( ) V( )

2 V( , ) V( , ) V( , )

y y yy a b ca b c

y y y y y ya b a c b ca b a c b c

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Pravilo prostiranja (ili prenosa) devijacije i pravilo prostiranja (ili prenosa) merne nesigurnosti je izraženo funkcijom (7.49).


U tekstu koji sledi su data izvođenja prethodno datih izraza.

Označimo stvarne vrednosti komponentnih veličina sa Xj , j = 1, 2, ..., J, označimo njihove procenjene vrednosti sa xj , a negativne vrednosti apsolutnih grešaka tih procena sa Δj . Tada procena y, dobijena na osnovu procena xj , ima negativnu vrednost apsolutne greške, Δy , datu sa (7.51).

2 2

2 2

,y( , , ..., ) y( , , ..., )

y( , , ..., ) y( , , ..., )y 1 J 1 J

1 1 2 J J 1 J

X x X xX X X x x x

x x x x x x

Δ ΔΔ

Δ Δ Δ

= − = += − =

= + + + − (7.51)

Na osnovu definicije totalnog diferencijala, ili aproksimacije Tejlorovim polinomom prvog stepena, funkciju Δy aproksimiramo linearizacijom u tački (x1 , x2 , ..., xJ ) koristeći parcijalne izvode u toj tački i dobijamo sledeće.

2 21

1

y( , , ..., ) y( , , ..., )J

y 1 J j 1 Jjj

J

jjj

yx x x x x xx

yx

Δ Δ

Δ

=

=

⎡ ⎤∂⎛ ⎞≈ + ⋅ − =⎢ ⎥⎜ ⎟∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∂⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∑

∑ (7.52)

Označimo sa A funkciju koja daje aritmetičku sredinu, tada je varijansa vrednosti procene y, V( y), sledeća.

2

2

1

2 12

1 1 1

22

1

V( ) A( ), V( , ) A( )

V( ) A ( )

A( )

A( ) 2 A( )

j k j k

J

jjj

J J J

j j kj j kj j k j

J

j j kj j kj

x x x

yyx

y y yx x x

y y yx x x

Δ Δ Δ

Δ

Δ Δ Δ

Δ Δ Δ

=

−

= = = +

=

= = ⋅

⎡ ⎤∂⎛ ⎞≈ ⋅ =⎢ ⎥⎜ ⎟∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛⎢ ⎥= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦

∑

∑ ∑ ∑

∑1

1 1

2 1

1 1 1V( ) 2 V( , )

J J

j k j

J J J

j j kj j kj j k j

y y yx x xx x x

−

= = +

−

= = = +

⎞ =⎟⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑

∑ ∑ ∑ (7.53)

Ovako je izvedena funkcija (7.49) za korelisane komponentne promenljive. Poseban slučaj prethodno izvedene funkcije je funkcija (7.40) za

nekorelisane komponentne promenljive, tj. promenljive sa kovarijansama jednakim nuli, zbog čega je jednak nuli drugi sabirak izvedene funkcije (7.53).


Funkcije (7.40) i (7.49) se izvode posle linearizacije funkcije Δy . Zato se ove funkcije mogu koristiti kada nelinearnost funkcije y nije značajna sa obzirom na varijanse njenih komponentnih promenljivih.

Ako je značajna nelinearnost funkcije y sa obzirom na varijanse, funkcija Δy se mora aproksimirati Tejlorovim polinomom drugog ili višeg stepena. Potreban stepen polinoma se može odrediti na osnovu: poređenja sa rezultatom simulacije Monte Karlo; poređenja sa rezultatom Tejlorovog polinoma višeg stepena; ili na osnovu greške aproksimacije koju daje ostatak Tejlorovog polinoma. U praksi su retki slučajevi sa značajnom nelinearnošću funkcije y, a kada se pojave, Tejlorov polinom drugog stepena najčešće ima dovoljnu tačnost. Tejlorovim polinomom drugog stepena je izvedena aproksimacija funkcije Δy iz koje je zatim izvedena prethodno data funkcija (7.44).

Tejlorova formula (ili Tejlorova teorema) za funkciju y, u tački (x1 , x2 , ..., xJ ) (i za parcijalne izvode u toj tački) je data simboličkim izrazom (7.54). Sa m je označen red parcijalnog izvoda.

2 21

y( , , ..., )

1y( , , ..., ) ( ... ) y( , , ..., )!

1 1 2 2 J JM

m1 J 1 2 J 1 J M

1 2 jm

x x x

x x x x x x Rm x x x

Δ Δ Δ

Δ Δ Δ=

+ + + =

∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∑

(7.54) Tejlorov polinom M-tog stepena, naziva se desni deo jednačine (7.54)

bez sabirka RM .

Tejlorov polinom omogućava da se svaka funkcija aproksimira u određenoj tački polinomom M-tog stepena, ako je ona diferencijabilna u okolini te tačke do M-tog reda, uključujući M. Funkcija je diferencijabilna do M-tog reda, uključujući M, ako ima kontinualne parcijalne izvode do M-tog reda, uključujući M. Greška aproksimacije Tejlorovim polinomom se smanjuje povećanjem stepena tog polinoma.

Ostatak Tejlorovog polinoma se naziva sabirak RM u jednačini (7.54), a dat je sa (7.55) (za parcijalne izvode u tački

(x1 + r · Δ1 , x2 + r · Δ2 , ..., xJ + r · ΔJ )).

+12

1 ( ... ) y( , , ..., )( 1)!

i 0 < <1 (7.55)

MM 1 2 J 1 1 2 J J

1 2 jR x r x r x r

M x x x

r

Δ Δ Δ Δ Δ Δ∂ ∂ ∂= ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ ∂ ∂ ∂

Ostatak RM je negativna vrednost apsolutne greške aproksimacije Tejlorovim polinomom. Maksimalna vrednost RM , to jest maksimalna moguća greška aproksimacije, se određuje nalaženjem maksimuma RM variranjem vrednosti r od 0 do 1.


Kombinovana varijansa data sa (7.40) je izvedena iz aproksimacije Tejlorovim polinomom prvog stepena ili iz definicije totalnog diferencijala. Ostatak Tejlorovog polinoma prvog stepena, R1, je dat simboličkim izrazom (7.46).

22

1 ( ... ) y( , , ..., )2

i 0 < < 1. (7.56)

1 1 2 J 1 1 2 J J1 2 j

R x r x r x rx x x

r

Δ Δ Δ Δ Δ Δ∂ ∂ ∂= ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂

Ostatak R1 je dat sa (7.57), na dva načina, videti (7.45) do (7.48). Maksimalna vrednost R1 , to jest maksimalna moguća greška aproksimacije, određuje se nalaženjem maksimuma R1 variranjem vrednosti r od 0 do 1. Variranjem r se menja tačka

(x1 + r · Δ1 , x2 + r · Δ2 , ..., xJ + r · ΔJ )

za koju su parcijalni izvodi u (7.57). 2 21

22

1 1 1

12

1 1 1

12

1 ( ) ( )2

J J J

1 j j kj kj j k jj

J J J

j j kj j j kj j k j

y yRx xx

y yx x x x

Δ Δ Δ

Δ Δ Δ

−

= = = +

−

= = = +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ (7.57)

Iz (7.57) je izvedena i data u (7.58) varijansa V(Vx) koja je varijansa kombinovane varijanse VC ( y) date sa (7.40) i (7.49). Maksimalna moguća vrednost varijanse V(Vx) se određuje variranjem vrednosti r od 0 do 1, čime se menja pomenuta tačka (x1 + r · Δ1 , x2 + r · Δ2 , ..., xJ + r · ΔJ ) za koju su parcijalni izvodi u (7.58). Sa A je označena funkciju koja daje aritmetičku sredinu.

2

12

1 1 1

12

1 1 1

V( ) A( ), V( , ) A( )

1V( ) A( ( ) ( ) )2

1 ( ) A( ) ( ) A( )2

1 ( ) V(2

j k j k

J J J

x j j kj j j kj j k j

J J J

j j kj j j kj j k j

jj j

x x x

y yVx x x x

y yx x x x

y xx x

Δ Δ Δ

Δ Δ Δ

Δ Δ Δ

−

= = = +

−

= = = +

= = ⋅

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂= ⋅ ⋅∂ ∂

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑1

1 1 1) ( ) V( , )

J J J

j kj kj j k j

y x xx x

−

= = = +

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ (7.58)


Parcijalni izvod / jy x∂ ∂ se može odrediti i eksperimentalno, ili numerički, određivanjem promene procene, Δy, prouzrokovane promenom komponentne promenljive, Δxj , dok ostale komponentne promenljive imaju konstantne vrednosti jednake njihovim dobrim procenama. Zatim se može odrediti približan parcijalni izvod dat sa:

.j j

y yx x

ΔΔ

∂ ≈∂

(7.59)

Kombinovana devijacija, odnosno kombinovana standardna merna nesigurnost, je jednaka pozitivnom kvadratnom korenu kombinovane varijanse.

[GUM] 5.1, 5.2, E.3.2, G.2, H 1.7 [GUM-S1] Introduction, 1, 5.8, 5.11, 8.1.1 [Perović] 3.12.2 [Bronshtein] 6.2.2.2, 6.2.2.3


8 Testovi i usaglašavanja funkcija

8.1 Otkrivanje grubih grešaka

Rezultati statističke obrade su valjani samo ako među obrađivanim vrednostima nema grubih grešaka. Zato, kada postoji značajna mogućnost pojavljivanja grubih grešaka, njihovo otkrivanje i odbacivanje treba da bude obavezan deo statističke obrade.

Dobra praksa je da se smatraju grubim greškama, i odbacuju, vrednosti koje odstupaju od aritmetičke sredine uzorka, ,x više od trostruke standardne devijacije uzorka, s.

Po toj praksi otkrivanje grubih grešaka treba sprovesti tako što se prvo odbace vrednosti za koje se pretpostavlja da su grube greške. Zatim se računaju sredina x i standardna devijacija s. Na kraju se utvrđuje da li su pretpostavljene grube greške van intervala x ± 3 · s, ako jesu, pretpostavka je potvrđena, pa se x i s mogu smatrati valjanim. Ako među pretpostavljenim grubim greškama ima nekih koje nisu van intervala, treba ponoviti postupak bez njihovog odbacivanja. U slučaju vrednosti sa normalnom raspodelom, ovakvu praksu opravdava činjenica da je verovatnoća da valjana vrednost bude van x ± 3 · s, jednaka 0,27 %. U slučaju 30 vrednosti sa T-raspodelom, takva verovatnoća je 0,55 %; 10 vrednosti, 1,5 %; 5 vrednosti, 4,0 %.

Ako prethodni način utvrđivanja grubih grešaka nije dovoljno pouzdan, za uzorak iz populacije sa normalnom raspodelom se preporučuje naredni test. Ovim testom se utvrđije, sa traženom verovatnoćom, da li je gruba greška vrednost sa najvećim odstupanjem od aritmetičke sredine. Test se obavlja u sledećim koracima.

G

Highlight


1) Proveriti da li je uzorak iz populacije sa normalnom raspodelom. Provera se može obaviti korišćenjem uputstva u 8.6 Procenjivanje tipa i parametara raspodele. Ako je uzorak iz normalne populacije, ovaj test se može primeniti.

2) Neka je n broj vrednosti u uzorku, uključujući i testiranu ekstremnu vrednost (tj. vrednost sa najvećim odstupanjem). Neka je P tražena verovatnoća rezultata testa. Odrediti koeficijent obuhvata k (ν, P) za T‑raspodelu sa parametrima: stepenom slobode, ν, i verovatnoćom P. Ovaj koeficijent se može odrediti iz tabele 6.3. Parametar ν je dat sa (8.1), a za ν > 100, se može uzeti da je ν = ∞.

3) Odrediti tačnost nejednačine (8.2). Sa xekstrem je označena ekstremna vrednost. Aritmetička sredina uzorka iz koga je odbačena ekstremna vrednost je ',x a standardna devijacija te sredine je '.xs Ako je nejednačina tačna, sa

verovatnoćom P, ili većom, xekstrem je gruba greška.

ν = n − 2 (8.1)

' k ( , ) 'ekstrem xx x P sν− > ⋅ (8.2)

4) Ekstremna vrednost se odbacuje ako se utvrdi da je gruba greška. Zatim se test ponavlja za sledeću ekstremnu vrednost, i tako sve dok se ne dođe do vrednosti koja nije gruba greška.


8.1.1 Primer Sledeće vrednosti su dobijene kao rezultati merenja pH i zatim su uređene

u neopadajući niz: 3,75; 3,86; 4,19; 4,19; 4,24; 4,37; 4,37; 4,50; 4,53; 4,53; 4,55; 4,58; 4,76; 4,77 i 5,23. Da li je gruba greška rezultat vrednosti 5,23, što bi moglo da se pretpostavi na osnovu histograma na slici 8.1?

Rešenje 1) Populacija rezultata je sa normalnom raspodelom jer su greške rezultata

posledica velikog broja nezavisnih odstupanja sa malim pojedinačnim udelom. (Videti poglavlje 6.12.)

2) Broj rezultata je n = 15. Iz (8.1) dobijamo ν = n − 2 = 15 − 2 = 13. Tražena verovatnoća rezultata testa je P = 0,95. Iz tabele 6.3 određujemo koeficijent obuhvata k (ν, P) = k (13, 0,95) = 2,16. 3) Testira se xekstrem = 5,23. Aritmetička sredina niza bez xekstrem je =' 4,371.x

Devijacija aritmetičke sredine niza bez xekstrem je =' 0,302.xs

Odredimo tačnost nejednačine (8.2): − = − =' 5,23 4,371 0,859,ekstremx x

⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ =k( , ) ' ( 1) 2,16 0,302 1,035 0,675,xP s n nν

pošto je 0,859 > 0,675, nejednačina (8.2) je tačna. Zaključujemo da je sa verovatnoćom većom od 0,95, rezultat 5,23 gruba greška.

Slika 8.1. Histogram rezultata merenja pH, uz primer 8.1.1.


8.2 Usaglašavanje

Usaglašavanje (ili izravnanje; eng. fitting) je određivanje funkcije, ili pojedinačne vrednosti, na osnovu uzorka, i to tako da budu zadovoljeni određeni zahtevi saglasnosti između uzorka i određivanih vrednosti.

Usaglašavanje se najčešće obavlja varijantom metode najmanjih kvadrata. Videti naredno poglavlje 8.3 i primer iz [GUM] u 9.12.2.

Regresiona analiza (tj. analiza odstupanja) služi pronalaženju funkcije koja opisuje vezu između korelisanih vrednosti. Parametri te regresione funkcije (ili regresionog modela) se određuju usaglašavanjem. Regresiona funkcija služi za procenjivanje ili predviđanje vrednosti.

Linearna regresiona funkcija je linearna funkcija koja opisuje vezu između korelisanih vrednosti.

[Ivković] str. 49, str. 50 [Njegić] str. 182

8.3 Metoda najmanjih kvadrata

Metoda najmanjih kvadrata, MNK, je način usaglašavanja funkcije, ili pojedinačne vrednosti, tako da je najmanji zbir kvadrata odstupanja određivanih vrednosti od polaznih vrednosti.

Metoda najmanjih kvadrata daje najverovatnije vrednosti ako su polazne vrednosti sa simetrično opadajućom raspodelom.

Primer usaglašavanja pojedinačne vrednosti metodom najmanjih kvadrata je izračunavanje aritmetičke sredine.

Dole je dat primer određivanja funkcije metodom najmanjih kvadrata.

Ako ima n parova korelisanih vrednosti (xi , yi ), i = 1, 2, ..., n, njihova međusobna veza se može opisati funkcijom, manje ili više tačno. Često se uzima linearna funkcija:

y'(x) = a + b · x . (8.3)

Parametri linearne funkcije, a i b, se mogu odrediti metodom najmanjih kvadrata, tj. tako da je najmanji zbir Z koji je dat obrascem (8.4). Z je zbir kvadrata odstupanja između vrednosti koje daje funkcija y'(xi ) i polaznih vrednosti yi .


2 2

1 1[ y'( ) ] [( ) ]

n n

i i i ii i

Z x y a b x y= =

= − = + ⋅ −∑ ∑ (8.4)

Zbir Z dat sa (8.4) ima minimum kada je zadovoljen sistem jednačina (8.5), pa se rešavanjem tog sistema određuju parametri a i b. Sistem (8.5) uvek ima jedinstveno rešenje po a i b.

[ ]

[ ] 1

1

2 ( ) 0

2 ( ) 0

n

i ii

n

i i ii

Z a b x ya

Z a b x y xb

=

=

⎧ ∂ = ⋅ + ⋅ − =⎪ ∂⎪⎨

∂⎪ = ⋅ + ⋅ − ⋅ =⎪ ∂⎩

∑

∑ (8.5)

Za rešavanje sistema (8.5) se mogu koristiti sledeće veličine.

1

n

ii

xx

n==∑

aritmetička sredina xi (8.6)

1

n

ii

yy

n==∑

aritmetička sredina yi (8.7)

2

12

n

ii

xx

n==∑

(8.8)

( )1

n

i ii

x yx y

n=

⋅⋅ =

∑ (8.9)

Korišćenjem ovih veličina, sistem (8.5) se može napisati u obliku: = + ⋅⎧⎪

⎨⋅ = ⋅ + ⋅⎪⎩

2.

y a b x

x y a x b x (8.10)

Rešavanjem sistema (8.10) se dobijaju parametri a i b:

⎧ ⋅ − ⋅=⎪⎨ −⎪ = − ⋅⎩

2 2

.

x y x ybx x

a y b x (8.11)

Videti primer 8.3.1 i primer iz [GUM] u 9.12.2. Polazni podaci ova dva

primera su ekvivalentni, a rezultati jednaki.


Sledeći model opisuje predviđanje vrednosti y korišćenjem linearne funkcije y'(x):

y(x) = y'(x) + G(x) = a + b · x + G(x). (8.12)

Sabirak G(x) predstavlja razlike polaznih vrednosti i vrednosti koje daje funkcija y'(x), tj. negativnu grešku predviđanja funkcijom y'(x).

Ako ima n polaznih vrednosti i uz pretpostavku da grešake G(x) imaju normalnu raspodelu, standardna varijansa tih odstupanja, VG , je data sa (8.13). Stepen slobode te varijanse, νG , je dat sa (8.14).

=+ ⋅ −

=−

∑ 2

1( )

2

n

i ii

G

a b x yV

n (8.13)

νG = n − 2 (8.14)

Parametri a i b imaju standardne varijanse Va i Vb date sa (8.15) i (8.16). Njihova standardna kovarijansa, V (a, b), je data sa (8.17).

=⋅ −

2

2(1 )

Ga

VV

xnx

(8.15)

=⋅ −2 2( )

Gb

VV

n x x (8.16)

⋅

= −⋅ −2 2

V( , )( )

Gx Va b

n x x (8.17)

Vrednost koju predviđa linearna funkcija y'(x) ima standardnu varijansu Vy' koju daje funkcija (8.18) (izvedena na normalan način dat u 7.6 Kombinovana varijansa). Stepen slobode te varijanse, νVy' je dat sa (8.19).

2y'V ( ) 2 V( , )a bx V x V x a b= + ⋅ + ⋅ ⋅ (8.18)

νVy' = n − 2 (8.19)

Za zadato x se može odrediti interval za koji postoji tražena verovatnoća P da u njemu bude vrednost iz populacije iz koje su polazne vrednosti. Ova verovatnoća i interval su nivo i interval poverenja u funkciji od x.

Za traženi nivo poverenja P, i za n polaznih vrednosti, uzimajući da je stepen slobode ν = n − 2 , iz tabele 6.3 za T‑raspodelu, se uzima odgovarajući


koeficijent obuhvata, k. Poluširina intervala poverenja, Δ(x), je data sa (8.20), a interval poverenja sa (8.21).

y'Δ ( ) V ( )x k x= ⋅ (8.20)

[ y'(x) − Δ(x), y'(x) + Δ(x) ] (8.21)

[GUM] H.3.4 [Panchenko] 29.1, 29.2, 30.1 [Ivković] str. 49, str. 50, II.6 [Njegić] str. 64 [Pantić] str. 134 [Anscombe] [Britannica] Statistics [Perović, komunikacija]

8.3.1 Primer

Linearnom funkcijom aproksimirati funkciju etaloniranja merača. Zatim za sabirak korekcije koji predviđa ta funkcija etaloniranja odrediti standardnu devijaciju i intervale poverenja. Iz tabele 8.1 koristiti referentne vrednost etalona i vrednosti prikazivanja merača. Referentne vrednosti etalona imaju zanemarljive greške. Zanemariti pomerenost standardnih devijacija jer je je broj polaznih parova veliki. Eksperimentalni sabirci korekcije imaju normalnu raspodelu, pa se može koristiti metoda najmanjih kvadrata.

Rešenje Koristeći veličine xi i yi iz tabele 8.1, kao polazne parove, izračunavamo

traženo, koristeći metodu najmanjih kvadrata:

n = 11, iz tabele 8.1, broj polaznih parova, (xi , yi )

== =∑

1( ) / 4,008

n

ii

x x n iz (8.6), aritmetička sredina xi

== = −∑

1( ) / 0,1625

n

ii

y y n iz (8.7), aritmetička sredina yi

== =∑2 2

1( ) / 18,56

n

ii

x x n iz (8.8)

( )=

⋅ = ⋅ = −∑1

[ ] / 0,6458n

i ii

x y x y n iz (8.9)

⋅ − ⋅= =−2 2

0,002183x y x ybx x

iz (8.11), parametar funkcije

= − ⋅ = −0,1712a y b x iz (8.11), parametar funkcije

= + ⋅ = − + ⋅y'( ) 0,1712 0,002183x a b x x funkcija etaloniranja


= −

+ ⋅ −= = ⋅

−

∑ 2

1 5

( )1,223 10

2

n

i ii

G

a b x yV

n iz (8.13), standardna varijansa G(x)

−= = ⋅⋅ −

62

2

8,281 10(1 )

Ga

VV

xnx

iz (8.15), standardna varijansa a

−= = ⋅⋅ −

72 2

4,461 10( )

Gb

VV

n x x iz (8.16), standardna varijansa b

−⋅= − = − ⋅

⋅ −6

2 2V( , ) 1,788 10

( )Gx V

a bn x x

iz (8.17), standardna kovarijansa a i b

− − −= + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅2 6 2 7 6y'V ( ) 2 V( , ) 8,281 10 4,461 10 2 ( 1,7883 10 )a bx V x V x a b x x

iz (8.18), standardna varijansa predviđenog sabirka korekcije y'(x)

=y' y's ( ) V ( )x x standardna devijacija predviđenog sabirka korekcije

= = − =' ' 2 9sy Vy nν ν stepen slobode devijacije sy' (x)

= ⋅ y'Δ ( ) s ( )x k x iz (8.20), poluširina intervala poverenja za nivo poverenja P.

[GUM] H.3


Tabela 8.1 Uz primer 8.3.1: vrednosti za dobijanje funkcije etaloniranja

Polazne vrednosti

Predviđeno dobijenom funkcijom

Red

ni b

roj

očita

vanj

a i

Referentna vrednost etalona

Ri

Vrednosti prikazivanja merača

xi

Eksperimentalni sabirak korekcije

yi = Ri − xi

Predviđeni sabirak korekcije

y'(xi )

Greška predviđenog sabirka korekcije

−Gi = y'(xi ) − yi

1 1,350 1,521 −0,171 −0,16788 0,00312 2 1,843 2,012 −0,169 −0,16681 0,00219 3 2,346 2,512 −0,166 −0,16572 0,00028 4 2,844 3,003 −0,159 −0,16465 −0,00565 5 3,343 3,507 −0,164 −0,16355 0,00045 6 3,834 3,999 −0,165 −0,16248 0,00252 7 4,357 4,513 −0,156 −0,16135 −0,00535 8 4,845 5,002 −0,157 −0,16029 −0,00329 9 5,344 5,503 −0,159 −0,15919 −0,00019 10 5,849 6,010 −0,161 −0,15809 0,00291 11 6,351 6,511 −0,160 −0,15699 0,00301

Slika 8.2. Uz primer 8.3.1: polazni parovi (xi , yi ) i funkcija etaloniranja,

y'(x), sa intervalima poverenja za različite nivoe poverenja P.


9 Merna nesigurnost

9.1 Rezultat merenja i njegova merna nesigurnost

Merna nesigurnost (nesigurnost) je parametar rezultata merenja koji opisuje njegovu tačnost pokazateljem međusobnih odstupanja vrednosti koje se opravdano mogu uzeti za rezultat tog merenja.

Iz rezultata merenja se mogu izračunati nivo i interval poverenja, ako je taj rezultat dobra procena vrednosti merene veličine i ako je tom rezultatu pridružena merna nesigurnost koja je standardna devijacija te dobre procene i takođe, stepen slobode te devijacije.

Dobra procena vrednosti merene veličine, merna nesigurnost te procene, i stepen slobode te nesigurnosti, mogu se koristiti kao komponentne vrednosti za procenjivanje druge vrednosti, za koju takođe može da se proceni merna nesigurnost i stepen slobode te nesigurnosti, a to omogućava sledivost.

Zbog ujednačavanja obrade rezultata merenja i izražavanja merne nesigurnosti, ISO je 1993. objavio prvo izdanje Uputstva za izražavanje nesigurnosti merenja, GUM. Uputstvo je primenljivo pri različitim nivoima tačnosti, od pogona do fundamentalnih nauka. Osnova Uputstva je međunarodno prihvaćena Preporuka CIPM (iz 1981.) kojom se usvaja Preporuka Radne grupe BIPM za izražavanje merne nesigurnosti (iz 1980.). Sada je izdavanje i revidiranje tog Uputstva u nadležnosti JCGM. Članice JCGM su: BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP i OIML.

Primena merne nesigurnosti i sledivost su obavezne za akreditovane laboratorije, kao i za organizacije koje imaju sistem upravljanja kvalitetom prema ISO 9001:2008.

G

Highlight


Sažet pregled postupaka, datih u GUM, za procenjivanja rezultata merenja i njegove merne nesigurnosti je sledeći.

Rezultat merenja se dobija na osnovu rezultata ponovljenih merenja, određivanjem dobre procene vrednosti merene veličine.

Za tu procenu se određuje standardna devijacija, koja se naziva standardna merna nesigurnost.

Za tu mernu nesigurnost se određuje stepen slobode.

Ove procene se mogu dobiti korišćenjem klasičnih statističkih metoda (uključujući konvoluciju) koje se smatraju osnovnim, ili kada je pogodnije, korišćenjem simulacije Monte Karlo.

Standardna merna nesigurnost (standardna nesigurnost) je standardna devijacija rezultata merenja koji je dobra procena merene veličine. U zavisnosti od načina procenjivanja, nesigurnosti se svrstavaju u dva tipa: standardne nesigurnosti izračunate statističkom obradom rezultata ponovljenih merenja, tip A; i standardne nesigurnosti procenjene statističkom obradom pouzdanih podataka, tip B.

Kvadrat standardne nesigurnosti, tj. standardna varijansa, je procena bez pomerenosti kvadrata devijacije populacije rezultata merenja, tj. varijanse populacije tih rezultata. Videti 7.2 Eksperimentalna standardna varijansa.

Standardna nesigurnost nije procena bez pomerenosti devijacije populacije rezultata merenja. Ta pomerenost nesigurnosti se povećava sa smanjenjem njenog stepena slobode. U slučaju normalne raspodele, relativna greška procene je u intervalu od 0 % do +8,5 % za stepen slobode od ∞ do 3. Videti 6.20 Eksperimentalna standardna devijacija. Kada se standardna nesigurnost sa malim stepen slobode uzima kao procena devijacije populacije rezultata merenja, trebalo bi korigovati pomerenost te nesigurnosti.

Standardnu nesigurnost dobre procene merene veličine proizvode jedino slučajne pojave i nesigurnosti korekcija.

Komponentna standardna nesigurnost je standardna nesigurnost komponentne vrednosti.

[GUM] 2.2.3, 0, str. v, Foreword, Annex A, 3.2, 4.1.4, 0.7 2) 3) 4), 2.3.1, 4.2.3, 4.2.6, 7.2.1 d), 4.1.5, 4.1.6, 2.3.2, 2.3.3, 8 [Rečnik] 3.9 [VIM] 2.26 [IEC 17025] 5.4.6.1, 5.4.6.2, 5.10.4.1 [ILAC] 4.8 [ILAC, OIML] 1., 2. [NVLAP] 5.4.6, Annex B.1 [ISO 10012] 7.3 [ISO 9001] 7.6 [GUM-S1] Introduction, 1


9.2 Standardna merna nesigurnost tipa A

Standardna merna nesigurnost tipa A (standardna nesigurnost tipa A) je standardna devijacija dobre procene merene veličine izračunata statističkom obradom rezultata ponovljenih merenja. Za ovu nesigurnost se uvek daje njen stepen slobode. Ako nije drugačije navedeno, podrazumeva se da je dobra procena najverovatnija vrednost merene veličine i da ta procena ima normalnu raspodelu.

Standardna nesigurnost tipa A se označava sa uA , a njen stepen slobode

sa νA .

Najverovatnija vrednost merene veličine se najčešće izračunava kao eksperimentalna aritmetička sredina rezultata ponovljenih merenja. Ta sredina mora da bude korigovana za sve značajne sistematske greške. Za tu korigovanu sredinu se izračunava devijacija aritmetičke sredine, ,xs prema poglavlju 6.21 Devijacija aritmetičke sredine, i zatim se uzima kao standardna nesigurnost tipa A , uA

:

= .A xu s (9.1) Stepen slobode standardne nesigurnost tipa A se izračunava u skladu sa

poglavljem 6.24 Stepen slobode. Kada se iz n rezultata ponovljenih merenja izračunava eksperimentalna aritmetička sredina koja se zatim koristi za izračunavanje devijacije aritmetičke sredine, stepen slobode ove devijacije, kao i ove nesigurnosti, je:

νA = n – 1. (9.2)

Videti 6.24.1, primer d).

[GUM] A.2, 0.7, 8, 3.1.2, 3.2.4, 4.2.1, 4.2.3, 4.2.6, 3.2.3, 3.4.4, 3.3.5


9.3 Standardna merna nesigurnost tipa B

Standardna merna nesigurnost tipa B (standardna nesigurnost tipa B) je standardna devijacija dobre procene merene veličine procenjena statističkom obradom pouzdanih podataka. Za ovu nesigurnost treba dati stepen slobode ako može biti koristan. Ako nije drugačije navedeno, podrazumeva se da je dobra procena najverovatnija vrednost merene veličine i da ta procena ima normalnu raspodelu.

Standardna nesigurnost tipa B se označava sa uB , a njen stepen slobode sa νB .

Standardna nesigurnost tipa B se procenjuje ako nema dovoljno mernih podataka za izračunavanje standardne nesigurnosti tipa A.

Dobra procena merene veličine za koju se daje standardna nesigurnost tipa B je često dobijena uzimanjem rezultata pojedinačnog merenja ili procenjivanjem na osnovu malo podataka.

Standardna nesigurnost tipa B se procenjuje na osnovu funkcije gustine verovatnoće aproksimirane analizom verovatnoće ostvarivanja događaja. Procene, raspodele, devijacije i stepena slobode, moraju da se izvedu iz raspoloživih podataka korišćenjem naučnih metoda. Pored ostalog, podaci mogu biti iz sledećih izvora:

ranijih rezultata merenja iskustva, ili opšteg znanja, o svojstvima materijala i mernih sprava podataka proizvođača materijala i mernih sprava izveštaja o etaloniranju ili drugih uverenja priručnika sa mernim nesigurnostima pripisanim datim vrednostima. Zahteva se sveobuhvatno procenjivanje standardne nesigurnosti tipa B, sa

ciljem da dobijena procena bude tačna približno kao standardna nesigurnost tipa A. Taj cilj se lako postiže kada se standardna nesigurnost tipa A odnosi na procenu dobijenu iz malog broja usrednjavanih rezultata. Poglavlje 6.22 Devijacija standardne devijacije aritmetičke sredine, tabela 6.1, pokazuje da devijacija standardne devijacije aritmetičke sredine nije zanemarljiva u praktičnim slučajevima.

Stepen slobode standardne nesigurnost tipa B se može izračunati prema: 6.24 Stepen slobode; 6.25 Efektivni stepen slobode; 6.28 Standardna devijacija i njen stepen slobode na osnovu nivoa i intervala poverenja; ili 6.26 Stepen slobode na osnovu devijacije standardne devijacije aritmetičke sredine. Ako se smatra da standardna nesigurnost tipa B ima zanemarljivu nesigurnost pripisuje joj se beskonačan stepen slobode. Videti naredne primere 9.3.1 i 9.3.2.

[GUM] 0.7, 8, 3.1.2, 3.2.4, 4.3, 7.2.1 d), 7.2.7 c), G.4.2, 3.3.5, 4.3.2, E.4.3, G.4.2, G.6.4


9.3.1 Primer

Temperatura ambijenta se meri digitalnim termometrom postavljenim na odgovarajuće mesto. Termometar je od pouzdanog proizvođača i ima rezoluciju 0,1 ºC, međutim podaci o tačnosti nepoznati. Temperatura ambijenta se dostiže prirodno (bez korišćenja uređaja za klimatizaciju).

Za donja dva slučaja, proceniti temperaturu ambijenta, njenu standardnu nesigurnost i stepen slobode te nesigurnosti.

a) Termometar stalno daje 25,0 ºC. b) Termometar naizmenično daje 25,0 ºC i 25,1 ºC, u približno jednakim

trajanjima.

Rešenja a) Procenjena temperatura ambijenta, ta , je data sa:

ta = prikazivanje_termometra − sistematska_greška − greška_usled_rezolucije.

Procenjeno je sledeće. Sistematska greška ima normalnu raspodelu, a njena najverovatnija aritmetička sredina je jednaka nuli. Greška usled rezolucije ima ravnomernu raspodelu i ima najverovatniju vrednost jednaku nuli. Prema poglavlju 6.12, rezultujuća raspodela procenjene temperature je približno normalna. Iz prethodnog zaključujemo da je najverovatnija temperatura ambijenta:

ta = 25,0 − 0 − 0 = 25,0 ºC.

Termometri malih tačnosti normalno imaju moduo maksimalne sistematske greške jednak njihovoj rezoluciji. Ta maksimalna greška verovatno odgovara dvostrukoj standardnoj devijaciji, pa je procenjena standardna devijacija sistematske greške:

s1 = 0,1 ºC / 2 = 0,050 ºC. Standardna devijacija greške usled rezolucije je data sa (6.95):

= =0,1°C / 2 0,029 °C.32s

Standardna nesigurnost procenjene temperature ambijenta je data sa (6.41):

= = = =2 2 2 22+ 0,050 + 0,029 0,058 °C.B a a 1u s s s

Termometar stalno prikazuje 25,0 ºC, to je ekvivalentno beskonačnom broju rezultata, n, na osnovu kojih se procenjuje. Stepen slobode nesigurnosti uB a je dat sa (6.64):

νB a = n − 1 = ∞ − 1 = ∞.


b) Procenjena vrednost temperature ambijenta, tb , je data sa:

tb = prikazivanje_termometra − sistematska_greška − greška_procene_prikazivanja.

Procenjeno je sledeće. Sistematska greška i greška procene prikazivanja, imaju normalne raspodele i imaju aritmetičke sredine jednake nuli. Prema poglavlju 6.12, rezultujuća raspodela procenjene temperature je približno normalna.

Sa obzirom na način rada analogno-digitalnog konvertora, prikazivanje termometra je aritmetička sredina dve vrednosti koje termometar naizmenično daje:

= =25,0 °C + 25,1 °C 25,05 °C,2

prikazivanje_termometra

pa je najverovatnija temperatura ambijenta:

tb = 25,05 − 0 − 0 = 25,05 ºC.

(Poput slučaja a.) Termometri malih tačnosti normalno imaju moduo maksimalne sistematske greške jednak njihovoj rezoluciji. Ta maksimalna greška verovatno odgovara dvostrukoj standardnoj devijaciji, pa je procenjena standardna devijacija sistematske greške:

s3 = 0,1 ºC / 2 = 0,050 ºC.

Termometar naizmenično daje dve vrednosti koje su prividno jednakih trajanja, verovatno sve dok se trajanja vrednosti ne razlikuju više od 20 % (0,2). Zato greška procene prikazivanja ima približno ravnomernu raspodelu poluširine (0,2 / 2) · rezolucija = 0,01 ºC, pa standardnu devijaciju ove greške daje (6.95):

= =0,01°C 0,0058 °C.34s

Standardna nesigurnost procenjene temperature ambijenta je data sa (6.41):

= = = =2 2 2 23 4+ 0,050 + 0,0058 0,050 °C.B b bu s s s

(Poput slučaja a.) Termometar stalno prikazuje 25,05 ºC, to je ekvivalentno beskonačnom broju rezultata na osnovu kojih se procenjuje, n. Stepen slobode nesigurnost uB b je dat sa (6.64):

νB b = n − 1 = ∞ − 1 = ∞.


9.3.2 Primer

Procenjeno je da od 12 rezultata merenja dužine elemenata jednog tipa, polovina rezultata (koji pojedinačno nisu poznati) ima vrednosti iz intervala od 10,07 mm do 10,15 mm. Rezultati su iz populacije sa normalnom raspodelom (jer su greške rezultata posledica velikog broja nezavisnih malih odstupanja). Navedena procena intervala je sa zanemarljivom sistematskom greškom.

Proceniti: a) najčešću dužinu elemenata, b) standardnu nesigurnost procene te dužine i c) stepen slobode te nesigurnosti.

Rešenje a) Najčešća dužina je modus. Procenjene granice intervala poverenja su

a = 10,07 mm i b = 10,15 mm. Rezultati merenja dužine imaju T-raspodelu, pa je vrednost modusa, l, na sredini intervala od a do b:

+= = =10,07 mm + 10,15 mm 10,11mm.2 2

a bl

c) Procena standardne nesigurnosti će se izvesti na osnovu ukupno n = 12 rezultata, odatle izračunavamo stepen slobode te nesigurnosti dat sa (6.80): νB = n − 1 = 12 − 1 = 11.

b) Na osnovu procenjenih granica intervala poverenja izračunavamo poluširinu intervala poverenja datu sa (6.81):

− −= = =

10,07 mm 10,15 mm0,04 mm.

2 2a b

Δ

Na osnovu ukupnog broja rezultata, i procenjenog broja rezultata u intervalu poverenja, m = 12 / 2 = 6, izračunavamo nivo poverenja dat sa (6.82):

= = =6 0,50.12

mPn

Za procenjeni nivo poverenja, P, i za stepen slobode, νB , možemo iz tabele 6.3 za T-raspodelu, da očitamo koeficijent obuhvata, k = 0,698. Zatim, za procenu dužine l, izračunavamo standardnu devijaciju datu sa (6.79):

= = =0,04 mm 0,057 mm.0,698

skΔ

Standardna nesigurnost uB , procenjene dužine l, je:

uB = s = 0,057 mm.

[GUM] 4.3.5


9.4 Kombinovana standardna merna nesigurnost

Kombinovana standardna merna nesigurnost (kombinovana standardna nesigurnost) je kombinovana devijacija dobre procene merene veličine. Ovu kombinovanu standardnu nesigurnost proizvode nesigurnosti komponentnih vrednosti. Za ovu nesigurnost se uvek daje njen stepen slobode. Ako nije drugačije navedeno, podrazumeva se da je dobra procena najverovatnija vrednost merene veličine i da ta procena ima normalnu raspodelu.

Kombinovana standardna nesigurnost se označava sa uC , a njen stepen slobode sa νC .

Kombinovana standardna nesigurnost se računa kao kvadratni koren kombinovane varijanse dobre procene merene veličine. Izračunavanje te varijanse je dato u 7.6 Kombinovana varijansa.

Izračunavanje kombinovane standardne nesigurnosti mora da obuhvati sve komponentne nesigurnosti koje tu kombinovanu nesigurnost značajno povećavaju.

Značajne komponentne nesigurnosti mogu da potiču od: principa merenja, metode merenja, etalona, merne sprave, posmatrača, mesta, uslova i vremena.

Stepen slobode kombinovane standardne nesigurnosti se računa kao efektivni stepen slobode prema poglavlju 6.25.

[GUM] 0.7, 8, 5.1.2, 5.2.2, 3.4.4, G.4.1, 3.3.2 [Handbook] 2.5.7.1., 2.5.3.1.


9.5 Proširena standardna merna nesigurnost

Proširena standardna merna nesigurnost (proširena standardna nesigurnost) U je kombinovana standardna nesigurnost uC pomnožena koeficijentom obuhvata, k :

U = k · uC . (9.3) Kombinovana standardna nesigurnost se množi koeficijentom obuhvata

kako bi merena veličina bila sa potrebnom verovatnoćom u intervalu:

REZULTAT_MERENJA ± U. (9.4)

Ovaj interval je interval poverenja, a pomenuta verovatnoća je nivo poverenja. Videti 6.27 Nivo poverenja i interval poverenja.

Koeficijent obuhvata je najčešće u intervalu od 2 do 3, što u slučaju normalne raspodele daje nivo poverenja od 95,5 % do 99,7 %. Videti tabelu 6.2.

U slučaju T-raspodele, koeficijent obuhvata za potreban nivo poverenja se može odrediti iz tabele 6.3 koja daje vezu između nivoa poverenja, stepena slobode i koeficijenta obuhvata. Ako stepen slobode nije ceo broj, preporuka [GUM] je da se odseku njegove decimale.

U slučaju nesimetrične raspodele, za određivanje koeficijenta obuhvata se može koristiti ta stvarna raspodela kako bi se dobio tačan interval poverenja sa traženim nivoom poverenja. Pri tome se interval poverenja može definisati korišćenjem dva koeficijenta obuhvata, k1 i k2 :

[REZULTAT_MERENJA – k1 · uC , REZULTAT_MERENJA + k2 · uC ]. (9.5)

Međutim, na osnovu centralne granične teoreme, često se nesimetrična raspodela može aproksimirati normalnom raspodelom sa aritmetičkom sredinom i devijacijom jednakim najverovatnijoj vrednosti i devijaciji stvarne raspodele.

Proširena nesigurnost se daje u nekim komercijalnim, industrijskim i zakonskim dokumentima. Tu se uz rezultat merenja daju proširena nesigurnost, nivo poverenja i koeficijent obuhvata, a eventualno i tip raspodele rezultata.

[GUM] 6, 0.7 5), G.1.4, G.6


9.6 Relativne standardne merne nesigurnosti

Relativna standardna merna nesigurnost (relativna standardna nesigurnost) uR( y) je jednaka količniku standardne nesigurnosti rezultata merenja, u( y), i modula tog rezultata merenja, y :

Ru( )u ( ) .yy

y= (9.6)

Oznake relativnih standardnih nesigurnosti su:

uR , relativna standardna nesigurnost

uA R , relativna standardna nesigurnost tipa A

uB R , relativna standardna nesigurnost tipa B

uC R , relativna kombinovana standardna nesigurnost

UR , relativna proširena nesigurnost.

[GUM] J

9.7 Procene iz rezultata čija raspodela nije normalna

U tabeli 9.1 je pregled čestih raspodela rezultata merenja i odgovarajućih procena najverovatnijih vrednosti merene veličine, kao i standardnih nesigurnosti tih najverovatnijih vrednosti. Obrasci u tabeli su važeći samo kada su rezultati merenja korigovani za sve značajne sistematske greške.

Često se raspodela rezultata koja nije normalna može aproksimirati normalnom raspodelom sa aritmetičkom sredinom i devijacijom jednakim najverovatnijoj vrednosti i devijaciji stvarne raspodele (na osnovu centralne granične teoreme). Videti primer 6.42.2.


Tabela 9.1 Česte raspodele n rezultata i procene iz tih rezultata [GUM] 4.2.3, 4.4.5, 4.4.6, F.2.4.4 [NASA] 3.2.5 [Yuan] [Panchenko] 4.1 [Njegić] 3.1.

Raspodela rezultata merenja

Najverovatnija vrednost merene veličine 10)

Standardna nesigurnost najverovatnije vrednosti

Lognormalna raspodela

iz (6.16) i (6.17):

xmodus = = najčešća_vrednost = = maxL( )xx

iz (6.56) i (6.49):

( )=

= =

−=

⋅ −

∑ 2

1

( 1)

x

n

ii

su

n

x x

n n

Normalna raspodela

iz (6.30):

+ + +=

...1 2 nx x xx

n 10) Napomena

Za ravnomernu raspodelu i U-raspodelu, x je dobra procena po kritrijumu da je najmanji moduo najveće moguće greške.

T-raspodela

Ravnomerna raspodela

iz (6.56) i (6.95):

3au

n=

⋅

Trougaona raspodela

iz (6.56) i (6.100):

6au

n=

⋅

U-raspodela

iz (6.56) i (6.105):

2au

n=

⋅


9.10 Izveštaj o rezultatu merenja

Obim podataka koje je potrebno dati u izveštaju o rezultatu merenja zavisi od namene izveštaja. Na hijerarhijski višim nivoima merenja i etaloniranja, potrebno je više detalja o načinu dobijanja rezultata merenja i njegove nesigurnosti. Međutim, uvek je potrebno, od pogona do metroloških labotratorija, obezbediti podatke potrebne za:

tačno određivanje nivoa i intervala poverenja

mogućnost da se rezultat merenja koristi kao komponentna vrednost druge vrednosti i njene standardne nesigurnosti

ponavljanje određivanja rezultata merenja i podataka od interesa, radi provere, ili korekcije, u skladu sa novim saznanjima.

Osnovna razlika izveštaja za različite hijerarhijske nivoe je što se na nižim nivoima mogu koristiti neki podaci iz: izveštaja o etaloniranju, izveštaja o overavanju, uputstava za upotrebu, standarda i propisa.

U [GUM] se preporučuje davanje sledećih podataka u izveštaju o rezultatu merenja.

1) Funkcijska veza rezultata merenja i njegovih komponentnih vrednosti.

2) Rezultat merenja i njegova raspodela.

3) Standardna ili proširena standardna nesigurnost rezultata. Poželjno i relativna nesigurnost rezultata.

4) Standardne kovarijanse. Poželjno i standardni koeficijenti korelacije. Daju se za sve korelisane komponentne vrednosti i kada se daje više rezultata izračunatih iz istih komponentnih vrednosti.

5) Stepen slobode standardne nesigurnosti rezultata. Treba ga uvek dati uz standardnu nesigurnost tipa A, a uz standardnu nesigurnost tipa B ako može biti koristan.

Podaci u izveštaju se mogu testirati pitanjem: „Da li je obezbeđeno dovoljno podataka, i da li su oni dati jasno, da bi se moglo ponoviti izračunavanje rezultata ako se dođe do novih saznanja?“

U detaljnim izveštajima o rezultatima merenja daju se gore navedeni podaci, kao i postupci dobijanja tih podataka, kako za rezultat merenja, tako i za njegove komponentne vrednosti.

[GUM] 7.1, 7.2.1, 8, 4.2.6, 7.2.7

G

Highlight


9.11 Postupak za procenjivanje rezultata merenja i podataka koji se daju uz rezultat

U tekstu koji sledi su dati koraci u skladu sa [GUM] koje treba slediti da bi se procenio rezultat merenja i podaci koji se daju uz njega.

1) Napisati funkcijsku vezu, simbolički označenu sa f, kojom se izračunava vrednost merene veličine, Y, iz njenih komponentnih vrednosti Xi :

Y = f ( X1 , X2 , …, XN

). (9.8) Funkcija f treba da sadrži sve veličine koje značajno povećaju mernu nesigurnost rezultata merenja. Videti primere 2.14.1, 4.7.1 i 9.13.2.

Funkcijska veza može biti krajnje složena ili da ne bude eksplicitna. Tada je treba dati u obliku računarskog programa, ili algoritma, da bi se numerički rešila.

2) Odrediti dobre procene, xi , komponentnih vrednosti Xi ; najbolje na

osnovu statističkih analiza rezultata merenja, ili na drugi način. Videti 6.9 Dobra procena.

3) Odrediti standardnu nesigurnost u( xi ) svake procenjene vrednosti xi . U zavisnosti od vrste raspoloživih podataka, standardne nesigurnosti u( xi ) se izračunavaju na osnovu: 9.2 Standardna merna nesigurnost tipa A; 9.3 Standardna merna nesigurnost tipa B; ili na osnovu ovog istog postupka.

4) Odrediti standardne kovarijanse korelisnih komponentnih vrednosti. Videti 7.4 Experimentalna standardna kovarijansa.

5) Odrediti stepen slobode, ν( xi ), svake procenjene vrednosti xi . Videti:

6.24 Stepen slobode; 6.25 Efektivni stepen slobode; 6.26; ili 6.28. 6) Izračunati rezultat merenja, y, vrednosti merene veličine, Y, koristeći

funkcijsku vezu simbolički označenu sa f u (9.8), ili koristeći drugačije veze. Pri tome koristiti procenjene vrednosti xi , umesto komponentnih vrednosti Xi . Proceniti raspodelu rezultata na osnovu 8.6 Procenjivanje tipa i parametara raspodele.

7) Izračunati kombinovanu standardnu nesigurnost u C ( y), rezultata merenja, y, a iz standardnih nesigurnosti i standardnih kovarijansi procenjenih vrednosti xi

. Videti 9.4 Kombinovana standardna merna nesigurnost. Ako se merenjima određuje više od jednog rezultata merenja iz istih procenjenih vrednosti xi

, izračunati i kovarijanse tih rezultata. Videti 7.4 Eksperimentalna standardna kovarijansa, kao i primer 9.13.

Kada je potrebno dati proširenu standardnu nesigurnost U na osnovu potrebnog nivoa poverenja, P, izabrati koeficijent obuhvata, k, zatim izračunati nesigurnost U. Videti 9.5 Proširena merna nesigurnost.

8) Odrediti stepen slobode kombinovane standardne nesigurnosti u C ( y). Videti: 6.25 Efektivni stepen slobode; 6.24 Stepen slobode; 6.26; ili 6.28.

[GUM] 8, 7.2.7 Note, 4.1.2, 4.1.3, 5.2.3, 5.2.5


9.14 Metrološka sledivost

Metrološka sledivost (sledivost) je odlika rezultata merenja koja znači da njegova kombinovana standardna nesigurnost obuhvata nesigurnosti svih njegovih komponentnih vrednosti počevši od izvora sledivosti.

Kombinovana standardna nesigurnost sledive vrednosti se računa na osnovu veze komponentnih vrednosti i sledive vrednosti, i to na normalni način dat u 9.4 Kombinovana standardna merna nesigurnost.

Vrednost je slediva ako je njena kombinovana standardna nesigurnost izračunata na osnovu standardnih nesigurnosti svih njenih komponentnih vrednosti koje su sledive. Za takvu vrednost se kaže da je slediva do veličina specifikovanog izvora sledivosti, do koga su sledive njene komponentne vrednosti.

Primer. Merač je etaloniran etalonom čija je vrednost slediva do nacionalnog etalona. Rezultat merenja tim meračem, sa njegovom kombinovanom standardnom nesigurnošću, je zato slediv do nacionalnog etalona.

Kombinovana standardna nesigurnost sledive vrednosti je posledica nesigurnosti svih njenih komponentnih vrednosti počevši od izvora sledivosti.

Kombinovana standardna nesigurnost sledive vrednosti omogućava tačno izračunavanje nivoa i intervala poverenja. Videti 9.1 Rezultat merenja i njegova merna nesigurnost.

Lanac sledivosti je neprekidan niz etaloniranja i sledivih rezultata tih etaloniranja.

Lanac sledivosti je određen hijerarhijom etaloniranja.

Izvor sledivosti je veličina koja je na početku lanca sledivosti. Izvor sledivosti ima najmanju mernu nesigurnost u lancu sledivosti. Merne nesigurnosti sledivih vrednosti se povećavaju sa „udaljavanjem“ od izvora sledivosti, videti i 5.11 Etaloniranje.

Za sledivu vrednost se obavezno navodi izvor sledivosti.

„Slediv do SI“ znači „metrološki slediv do jedinica SI“.

Laboratorija može da izabere izvor sledivosti koji odgovara njenim potrebama.

[NIST] [VIM] 2.41, 2.42, 2.43. [Rečnik] 6.10.

G

Highlight


9.14.1 Primer

Etaloniran je merač korišćenjem etalona čije su vrednosti sledive. U izveštaju o etaloniranju merača su data prikazivanja merača i odgovarajuće referentne vrednosti i njihove kombinovane standardne nesigurnosti. Greške usled rezolucije merača su zanemarljive.

Da bi rezultati merenja merača bili sledivi, odrediti aditivne korekcije rezultata i kombinovane standardne nesigurnosti rezultata. Nesigurnosti moraju da obuhvate sve komponentne nesigurnosti počevši od izvora sledivosti korišćenog etalona.

Rešenje Funkcija sabirka korekcije rezultata merenja i standardna nesigurnost te

korekcije se mogu odrediti prema 8.3 Metoda najmanjih kvadrata. Zatim se za rezultat merenja, ycor., može uzeti vrednost prikazivanja

merača, ypok., korigovana sabirkom korekcije, K, koji daje funkcija korekcije. Postupkom datim dole prema 7.6 Kombinovana varijansa, za korigovan rezultat se može izračunati njegova kombinovana standardna nesigurnost, uC( ycor.). Ova nesigurnost obuhvata sve komponentne nesigurnosti počevši od izvora sledivosti, tj. nesigurnost etalona, u( yet.) i nesigurnost korekcije sistematske greške, u(K). Sistematska greška je označena sa S.

= + = + +

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∂=

∂∂

=∂

∂=

∂

==

=

= + + =

. . .

2 2 2. . .

C . ..

.

.

.

.

2. .

2

2C . . .

V ( ) V( ) V( ) V( )

1

1

1

V( ) u ( )V( ) 0

V( ) u ( )

V ( ) V( ) V( ) V( ) u (

cor pok et

cor cor corcor et

et

cor

et

cor

cor

et et

cor et et

y y K y S K

y y yy y S K

y S KyyyS

yK

y yS

K K

y y S K y + +

=

2

C . C .

) 0 u ( )

u ( ) V ( )cor cor

K

y y


10 Indeks pojmova i mali metrološki rečnik Navedeni su brojevi stranica u priručniku na kojima se pominje pojam.

Nisu svi termini iz [VIM] ili [Rečnik].

10.1 Indeks pojmova i srpsko-engleski metrološki rečnik

aditivna korekcija (correction) addend; correction 69, 191, 231, 234 akreditacija accreditation 47 akreditaciono telo accreditation body 47 Alan Allan 212 Alanova varijansa Allan variance; two-sample variance; pair variance 212 amper ampere; A 30, 35 analiza varijanse analysis of variance; ANOVA [GUM] 213, 217 ANOVA ANOVA [GUM]; analysis of variance 129, 213 apsolutna greška (absolute) error; difference 64, 65, 66, 67 aritmetička sredina arithmetic mean [GUM]; average [GUM]; mean [GUM] 61, 66, 85, 89,

92, 93, 97, 99, 101, 105, 106, 110, 113, 118, 121, 123, 125, 153, 155, 157, 197, 205, 212, 221, 231

aritmetička sredina populacije population arithmetic mean; arithmetic mean of a population; expected arithmetic mean; expected value [GUM]; expectation [GUM]; population mean; mean [GUM] 89, 97, 101, 106, 153

aritmetička sredina vrednosti iz grupa pooled arithmetic mean 157, 213 arkussinus raspodela arc sine distribution; U-distribution; U-shaped distribution

124, 198, 229 asimetričnost asymmetry; skewness; indicator of asymmetry; indicator of skewness

93, 100, 130, 141, 227 Bajes Bayes 195, 197 Bajesov faktor Bayes factor; likelihood ratio 195 Bajesov postupak Bayesian procedure; Bayesian method 197 baždarenje (merne sprave) gauging (of a measuring artifact) 60, 80 baznost pH; basicity; alkalinity 23, 54, 55, 180 beli šum white noise 212 bezdimenziona veličina dimensionless quantity; quantity of dimension one 22, 24 bez pomerenosti unbiased 89, 99, 104, 155, 220 bimodalni bimodal 95 binarna (merna) jedinica binary unit (of measurement) 32, 39 binarni predmetak binary prefix; prefix for binary powers [SI] 32, 39 binarni prefiks binary prefix; prefix for binary powers [SI] 32, 39 BIPM BIPM; International Bureau of Weights and Measures 12, 17, 75, 76, 77, 219


Opis izmena 1. izdanja za 2. izdanje

Urađene su sledeće važne dopune ili izmene.

1) Ceo tekst Priručnika je pažljivo revidiran i usaglašen sa važećim propisima. 2) Poglavlje 2.13 O planiranju eksperimenta, prošireno je stavom o

standardima za uzorkovanje. 3) Dodato je poglavlje 4.15 Odsecanje cifara. 4) U poglavlje Uzorak je dodata definicija za slučajan izbor i izmenjen deo

o uzorkovanju. 5) Dodato je poglavlje 6.13 Srednje vrednosti. 6) Dodato je poglavlje 6.14 Modus. 7) Dodato je poglavlje 6.15 Medijana. 8) Dodato je poglavlje 6.16 Aritmetička sredina. 9) Dodati su obrasci za rekurzivno izračunavanja aritmetičke sredine,

devijacije i varijanse. 10) U poglavlje Eksperimentalna aritmetička sredina, dodat je dokaz o

nepomerenosti eksperimentalne aritmetičke sredine kada se uzme kao procena aritmetičke sredine populacije.

11) Dodato je poglavlje 6.18 Pokazatelji međusobnih odstupanja vrednosti. 12) Dodato je poglavlje 6.19 Prirodna devijacija. 13) U poglavlje Eksperimentalna standardna devijacija, dodat je tekst o

pomerenosti standardne devijacije kada se uzme kao procena devijacije populacije. Dati su i koeficijenti za korigovanje ove pomerenosti u slučaju normalne raspodele.

14) Dodato je poglavlje 6.23 Standardna devijacija na osnovu medijane, ranga i obima uzorka.

15) Poglavlje Stepen slobode, je popravljeno, prošireno i dodati su primeri. 16) U poglavlje Efektivni stepen slobode je dodat primer. 17) Dodato je poglavlje 6.28 Standardna devijacija i njen stepen slobode

na osnovu nivoa i intervala poverenja i obima uzorka. 18) Dodato je poglavlje 6.32 U-raspodela. 19) Dodato je poglavlje 6.33 Lognormalna raspodela. 20) Dodato je poglavlje 6.36 Pokazatelj nesimetričnosti raspodele. 21) Dodato je poglavlje 6.37 Pokazatelj šiljatosti raspodele.

G

Highlight


22) U poglavlje Histogram su dodate preporuke za određivanje optimalne širine podintervala histograma. Dodata su dva primera izrade histograma.

23) Dodato je poglavlje 6.39 Konvolucija. 24) Dodato je poglavlje 6.40 Filtracija 25) Dodato je poglavlje 6.41 Operacije sa raspodelama i centralna

granična teorema. 26) Dodato je poglavlje 6.42 Simulacija Monte Karlo. Data su i tri primera

od kojih jedan detaljan. 27) Dodato je poglavlje 7.1 Prirodna varijansa. 28) U poglavlje Eksperimentalna standardna varijansa je dodat dokaz o

nepomerenosti standardne varijanse kada se uzme kao procena varijanse populacije.

29) U poglavlje 7.6 Kombinovana varijansa su dodate funkcije kojima se izračunavaju maksimalne moguće varijanse kombinovane varijanse. Takođe su data uputstva za korišćenje ovih maksimalnih mogućih varijansi za dokazivanje valjanosti izračunate kombinovane varijanse sa obzirom na nelinearnost modela merenja i vrednost varijanse komponentnih veličina. Data su dva detaljna primera. Dodata su i izvođenja važnih funkcija u ovom poglavlju.

30) U poglavlje 9.3 Standardna merna nesigurnost tipa B je dodat još jedan primer prema poglavlju 6.28 Standardna devijacija i njen stepen slobode na osnovu nivoa i intervala poverenja i obima uzorka.

31) Poglavlje 9.7 Postupanje sa rezultatima čija raspodela nije normalna je zamenjeno obuhvatnijim 9.7 Procene iz rezultata čija raspodela nije normalna.

Napravljene su sledeće važne ispravke.

1) U poglavlju Stepen slobode je ispravljena definicija stepena slobode. 2) U poglavlju 8.8 Šapiro - Vilk test normalnosti populacije, pogrešno tvrđenje:

„Šapiro - Vilk test ima sledeće nedostatke... Test je manjkav na grube greške.“ zamenjeno je sa: „Glavne prednosti Šapiro - Vilk testa su sledeće... Test ima dobru osetljivost i na grube greške, kako jednostrane tako i dvostrane. “

3) U poglavlju Analiza varijanse (ANOVA), „jednofaktorska uravnotežena ANOVA sa fiksnim efektima“ je ispravljeno sa „uravnotežena jednofaktorska ANOVA za slučajne efekte“.

4) U poglavlju 9.14 Metrološka sledivost, pogrešni primer 9.14.1 je zamenjen ispravnim.

Glave

1

10

2

3

4

5

6

7

8

9

Veličine i merne jedinice

tačnost

i

rečni

Merenja

Merne sprave

Rezultati merenja, i greške

Etaloni etaloniranja

Osnove statistike

Varijanse

Testovi i usaglašavanja funkcija

Merna nesigurnost

Indeks pojmova i mali metrološki k

Iz predgovora

[...]

ISBN 978-86-900284-0-5

Od pogona do fundamentalnih nauka,

traži se statistička obrada rezultata

merenja. Svrha te obrade je

odredi vrednost merene veličine kao i

tačnost te određene vrednosti. Traži se

da tačnost bude opisana

mernom nesigurnošću kako bi se

omogućila sledivost i obezbedilo

izračunavanje nivoa poverenja i

Pred Vama je priručnik u kome su

jezgrovito opisane

teme koje su neizostavne kod svih

merenja. Priručnik čini približno

minimalan i dovoljan skup i

metoda potrebnih da se izračuna

rezultat merenja i njegova merna

nesigurnost. Tekst je u obliku koji

omogućava neposrednu primenu u

računarskim programima ili ručn m

izračunavanj

da se na

osnovu rezultata ponovljenih merenja

standardnom

intervala poverenja.

Suština merenja je ista u svim

oblastima. Svrha ove publikacije je da

bude priručnik ljudima koji se bave

merenjima za različite potrebe, od

proizvodnje do istraživanja, od fizike i

hemije do biologije i medicine.

Publikacija je namenjena i studentima i

đacima.

, ali sveobuhvatno,

koncepata

i

ima.

metr l Ški prirucnik...koju je izdao jcgm: međunarodni rečnik osnovnih i opštih termina u...

Documents