mhd-gleichgewicht druckgradient kann bilanziert werden durch lorentz-kraft (ströme senkrecht zum...
TRANSCRIPT
![Page 1: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/1.jpg)
MHD-Gleichgewicht
Bjp
Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft(Ströme senkrecht zum Magnetfeld)
0 pB
Druck entlang von MF-Linien ist konstant
Kraftgleichung (stationär)
Grundlage des magnetischen Einschlusses von Plasmen
![Page 2: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/2.jpg)
r
zB
Iz
BjBjBjp zz
Beispiel: Z-Pinch
![Page 3: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/3.jpg)
a) stabil
b) marginal
c) instabil
d) linear instabil
e) linear stabil
Stabilität von Gleichgewichten
![Page 4: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/4.jpg)
Beispiel aus der Hydrodynamik: Rayleigh-Taylor Instabilität
gpdt
vd Kraftgleichung:
![Page 5: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/5.jpg)
Ausgangspunkt: MHD-Gleichungen
0)v( t
Kontinuitätsgleichung
Bjpt
v)v(vKraftgleichung
):(0v jresistivBE Ohmsches Gesetz
Maxwell-Gleichungen
0,,0
BBjEt
B
Adiabatische Zustandsänderung: 0)(
dt
pd
Und dazu noch:
![Page 6: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/6.jpg)
Nichtlineare Stabilität: numerische Lösung der MHD Gleichungen
Einfacher: Lineare Stabilität:
Betrachte kleine Störungen des GG 000 Bjp
Störungsansatz für , v, p, B:
z.B. ),()(),( 10 trrtr
Stabilitätsuntersuchungen
![Page 7: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/7.jpg)
00 vFür statische Gleichgewichte findet man Gleichungenfür die zeitliche Entwicklung der gestörten Größen 1, v1, p1, B1
Lineare Stabilitätsuntersuchungen
10011 vvt
Kontinuitätsgleichung:
010
100
11
0
11vBBBBp
t
Kraftgleichung ( mit ) Bj
0
1
Faradaysches + Ohmsches Gesetz:
0v BE,Et
B
011 Bvt
B
![Page 8: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/8.jpg)
Lineare Stabilitätsuntersuchungen
Adiabatengesetz: 00)(
p
vtdt
pd
011
11
vp
pvt
p
t
p
Mit Kontinuitätsgleichung: vvt
011
11
vp
pvvvp
t
p
0
vppvt
p 10011 vppvt
p
![Page 9: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/9.jpg)
Kraftgleichung
10011 vppvt
p
010
100
11
0
11vBBBBp
t
011 Bvt
B
Statt v1 anschaulichere Größe (Zeitintegral von v1) verwenden
: Verschiebungsvektor (kleine Verschiebung des GG-Zustandes)
011 BB
0011 ppp
010
100
121
2
0
11BBBBp
t
011000 )( BjBjpp
![Page 10: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/10.jpg)
Keine Quellen und Senkenin idealer MHD
EW-Problem mit reellem 2
2 > 0: Schwingungen um GG-Lage => Alfvèn-Wellen
2 < 0, Im >0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einerAnfangsstörung
Eigenwertproblem in linearer MHD
),((2
2
0 trFt
tiertr )(),(
))(()(20 rFr
![Page 11: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/11.jpg)
011000 )()( BjBjppF
)( 01 BB 011 /)( Bj
Die treibenden Kräfte
Einfachster Fall: homogenes Plasma 0,0 00 jp
Keine Instabilitäten, aber Wellenausbreitung
Zusätzlich zu Schallwellen: Alfvèn-Wellen
![Page 12: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/12.jpg)
Wellen im Gas bzw. im Plasma ohne Magnetfeld:
Schallwellen
Ausbreitungsgeschwindigkeit: p
cs
![Page 13: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/13.jpg)
Scher- Alfvèn-Wellen
Magnetfeld-Energie
Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und
00
0
B
vv Aph Charakteristische (Alfvèn-) Geschwindigkeit
![Page 14: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/14.jpg)
Kompressionale Alfvèn-Wellen
Kompressions-Energie
Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und
0
0
00
20
pB
vph Charakteristische Geschwindigkeit:
![Page 15: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/15.jpg)
MHD-Instabilitäten
tiertr )(),(
2 < 0, Im >0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einerAnfangsstörung
))(()(20 rFr
011000 )()( BjBjppF
getrieben durch Druckgradienten und Plasmaströme
(detaillierter behandelt im 2. Semester)
![Page 16: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/16.jpg)
Auch Rotation kann Quelle freier Energie sein
Beispiel: Magnetorotations-Instabilität in Akkretionsscheiben
Bilanzierung von Gravitation und Zentrifugalkraft:22 / rmgrm
![Page 17: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/17.jpg)
Magnetorotations-Instabilität in Akkretionsscheiben
• zwei Massenpunkte (gekoppelt durch vertikales B-Feld) starten am gleichen Radius und laufen durch kleine Anfangsstörung radial auseinander
• Wegen ~r-3/2, gewinnt der nach innen laufende MP in , der nach außen laufende verliert, aber Feldlinienspannung verhindert Auseinanderlaufen
-> auswärts laufendes Element wird durch Kopplung beschleunigt, das nach innen laufende abgebremst-> wegen Drehimpuls P~r1/2, bedeutet Abbremsung weitere Bewegung radial nach innen und Beschleunigung Bewegung radial nach außen-> kleine Anfangsstörung wird verstärkt, System ist instabil!
![Page 18: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/18.jpg)
Woher kommen Magnetfelder in der Astrophysik?
“The core”
![Page 19: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/19.jpg)
BuBt
B
2
0
Zeitliche Entwicklung des Magnetfeldes:
BuBBBt
B
0
22
0
02
2
1
2
)2/(
dVB
...2 0
Betrachte zeitliche Änderung der MF-Energie:
Alle Terme ~B, seed MF kann verstärkt, aber nicht “erschaffen” werden
BBBBBB
dAnBBdVBB
BB
2schon verwendet bei Ableitung obiger Formel
jB
0Am Rand sei j=0
2220
jBB
Reduzierung der MF-Energie durch Dissipation
![Page 20: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/20.jpg)
BuBt
B
2
0
Zeitliche Entwicklung des Magnetfeldes:
dVB
...2 0
Betrachte zeitliche Änderung der MF-Energie:
Alle Terme ~B, seed MF kann verstärkt, aber nicht “erschaffen” werden
BBuBBuBuB
BjujBuBBu
0
1
dAnBBudVBBu
Am Rand sei u=0
BuBBBt
B
0
22
0
02
2
1
2
)2/(
BjuBuB
0
1
Bedeutung???
![Page 21: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/21.jpg)
BjuBuB
0
1
Bedeutung???
puBjudt
du
pBjdt
du
2
1
2
1 2
Analogon: Änderung der kinetischen Energie
Kraftgleichung: | u/2
Umwandlung von MF-Energie in kinetische
BjuBuB
0
1
Beschreibt Umwandlung von kinetischer in MF-Energie
Anfangs-MF kann verstärkt werden = Dynamo!
![Page 22: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/22.jpg)
BjudVjdVB
dVt
2
0
2
2
Änderung der MF-Energie
Ohmsche Dissipation
Umwandlung zwischen kinetischer und MF-Energie
Bt
B 2
0
MF-Energie kann nur auf Kosten der kinetischen Plasmaenergie erhöht werden, in statischen Plasmen zerfällt MF:
mit charakteristischer Zeitskala:20 LM
MF kann anwachsen, wenn ausreichend kinetische Energie zur Verfügung steht
BuB
2
0
![Page 23: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/23.jpg)
MF kann anwachsen, wenn ausreichend kinetische Energie zur Verfügung steht
BuB
2
0
oder magnetische Reynolds-Zahl 10
uLRM
Analogie zur Hydrodynamik:
LuRH
L
u
L
20
entspricht kinematischer Viskosität /
![Page 24: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/24.jpg)
Das Magnetfeld der Erde
fester äußerer Mantel3500 km < r < 6000 km
flüssige Schicht1200 km < r < 3500 km
fester ErdkernR < 1200 km
Aufbau der Erde
Erdmagnetfeld:
Fast Dipolfeld
rmV
VB
1
Äquator: 30 T, magn. Pole: 60 T
![Page 25: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/25.jpg)
• Magnetfeld muss im Erdinneren erzeugt werden, weil es nach außen abfällt
• Magnetfeld kann nicht durch Permanentmagnet erzeugt sein, da im Zentrum Temperatur zu hoch (> Curie-Temperatur)
• Zerfallszeit Jahre (Parameter des flüssigen Erdkerns)
• Änderung der Polarität alle 200000 – 300000 Jahre, aber MF-Stärke etwa konstant (innerhalb Faktor 3) seit 109 Jahren
• magnetische Reynolds-Zahl: 125
53 101...104 M
Das Magnetfeld der Erde
Erdmagnetfeld existiert viel länger als Zerfallszeit!
![Page 26: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/26.jpg)
Dynamo in 2D?
BuBt
B
2
0
Kann man MF aus Bewegung des flüssigen Erdkerns erzeugen?
Wie könnte ein Dynamo funktionieren?
In 2D kein Dynamo, denn Fluss durch blaue Linie ändert sich nicht!
![Page 27: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/27.jpg)
Dynamo in 3D?
BuBt
B
2
0
Kann man MF aus Bewegung des flüssigen Erdkerns erzeugen?
Wie könnte ein Dynamo funktionieren?
Aber in 3D möglich!
![Page 28: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/28.jpg)
Dynamo für ein Dipolfeld?
Ein axisymmetrisches stationäres MF kann man aber nicht mit Dynamo erzeugen
x x
C
NN
Betrachte Kreis C durch neutrale Punkte:
ldBuEdljCC
muss endlich sein
B || dl entlang C (nur toroidales MF)
t
BSdEldE
SC
Widerspruch für stationäres MF!
![Page 29: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/29.jpg)
Erdmagnetfeld
Aber das Erdmagnetfeld ist auch nicht streng ein Dipol-Feld
![Page 30: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/30.jpg)
Betrachte fluktuierendes Feld:
BuBt
B
2
0
Der kinematische Dynamo
Änderung des mittleren Feldes:
Zusätzlicher Term durch Fluktuationen
![Page 31: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/31.jpg)
Änderung des mittleren Feldes:
Zusätzlicher Term durch Fluktuationen
BBv ~~
Betrachte spezielle Form einer Fluktuation
Bewegung der Flüssigkeit auf einer Spirale
B
v
(turbulente Bewegung von sich bewegenden Wirbeln)
![Page 32: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/32.jpg)
BBv ~~
Betrachte spezielle Form einer Fluktuation
Bewegung der Flüssigkeit auf einer Spirale
Störung kann symmetrisches MF erzeugen
Rekonnektion erforderlich
![Page 33: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/33.jpg)
Das Magnetfeld der Erde
Konvektion
Flüssigkeitsbewegung wegen Kühlung der Erde an Oberfläche
• T-Gradient in radialer Richtung
• Konvektion wegen temperaturabhängiger Dichte der Flüssigkeit:
-wärmere (weniger dichte) Flüssigkeit steigt im Gravitationsfeld auf- kühlt dann oben ab- fällt wieder ab
• System rotiert -> Corioliskraft wirkt
Umwandlung von toroidalem in poloidales MF und umgekehrt
![Page 34: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/34.jpg)
Das Magnetfeld der Erde
Flüssigkeitsbewegung wegen Kühlung der Erde an Oberfläche
Simulationsrechnungen
Los Alamos
95% durch Ströme im Erdinneren5% durch Ströme in Hochatmosphäre (v.a. Ionsosphäre)
![Page 35: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/35.jpg)
![Page 36: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/36.jpg)
Dynamo funktioniert bei laminarer Strömung (kleine Reynolds-Zahlen), aber nicht für realistische (turbulente Strömung)
![Page 37: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/37.jpg)
10
uLRM
LuRH
Für (realistische) turbulente Strömung (hohe Re-Zahl) ist RM für Na zu klein -> Plasma?
![Page 38: MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062623/55204d7d49795902118cd44c/html5/thumbnails/38.jpg)