mi libro capitulos 1 2 3 4 5 6 7 8 sin restriccones

TOPOGRAFA PARA ESTUDIANTES DE INGENIERA

Volumen I

Ing. HUGO YAIR OROZCO DUEAS Especialista en Ingeniera de Vas Terrestres

UNIVERSIDAD DEL CAUCA

Popayn 2014

CONTENIDO

Pg. 1. ARITMTICA, GEOMETRA Y TRIGONOMETRA ........................................................................... 16

1.1. ARITMTICA. ........................................................................................................................... 17 1.1.1. Unidades de Longitud. ...................................................................................................... 17 1.1.2. Unidades de rea. ............................................................................................................ 19 1.1.3. Unidades de Volumen. ..................................................................................................... 20 1.1.4. Unidades de ngulos........................................................................................................ 20 1.1.5. Consideraciones Angulares. ............................................................................................. 21 1.1.6. Conversin, suma y resta de ngulos............................................................................... 22

1.2. GEOMETRA PLANA O EUCLIDIANA. ..................................................................................... 24 1.2.1. Definiciones y Teoremas. ................................................................................................. 24 1.2.2. Clculo de reas de figuras geomtricas.......................................................................... 39 1.2.3. Clculo de volmenes. ..................................................................................................... 40

1.3. TRIGONOMETRA. ................................................................................................................... 41 1.3.1. Funciones trigonomtricas. ............................................................................................... 41 1.3.2. ngulos de Elevacin y Depresin. .................................................................................. 42 1.3.3. Teoremas del Seno y el Coseno. ..................................................................................... 44

1.4. SISTEMAS DE COORDENADAS. ............................................................................................ 47 1.4.1. Coordenadas Ortogonales, Planas o Cartesianas (2 dimensiones: 2D). .......................... 47 1.4.2. Coordenadas Polares (2 dimensiones: 2D). ..................................................................... 49 1.4.3. Relacin entre coordenadas Polares y coordenadas Ortogonales o Cartesianas. ........... 49 1.4.4. Distancia entre dos puntos mediante el uso de coordenadas Ortogonales (2D). ............. 56 1.4.5. Distancia entre dos puntos mediante el uso de coordenadas Polares (2D). .................... 57 1.4.6. Distancia entre dos puntos mediante el uso de coordenadas Ortogonales (3D). ............. 58

1.5. LA RECTA. ................................................................................................................................ 59 1.5.1. ngulo de inclinacin de una recta. .................................................................................. 60 1.5.2. Pendiente de una recta..................................................................................................... 60 1.5.3. Signo de la pendiente. ...................................................................................................... 60 1.5.4. Clculo de la pendiente en Topografa. ............................................................................ 61 1.5.5. Generalidades de la Recta. .............................................................................................. 62

1.6. BIBLIOGRAFA. ........................................................................................................................ 65 2. NOCIONES GENERALES DE TOPOGRAFA. ................................................................................. 67

2.1. OBJETIVOS DE LA TOPOGRAFA. ......................................................................................... 68 2.2. LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO. ....................................................................................... 69 2.3. TIPOS DE LEVANTAMIENTOS. ............................................................................................... 72 2.4. GEOMTICA. ............................................................................................................................ 74 2.5. DIFERENCIAS ENTRE LA TOPOGRAFA Y LA GEODESIA. .................................................. 75

2.5.1. Hiptesis de la Topografa. ............................................................................................... 76 2.6. APLICACIONES DE LA TOPOGRAFA. ................................................................................... 77 2.7. ALGUNAS APLICACIONES DE LA TOPOGRAFA EN INGENIERA. ..................................... 78 2.8. DIVISIN DE LA TOPOGRAFA. .............................................................................................. 79 2.9. BIBLIOGRAFA. ........................................................................................................................ 80

3. EQUIPO UTILIZADO EN PLANIMETRA. ......................................................................................... 82 3.1. EXPRESIONES UTILIZADAS EN TOPOGRAFA (Planimetra). .............................................. 83 3.2. PUNTOS. .................................................................................................................................. 84

3.2.1. Estacas de punto. ............................................................................................................. 85 3.2.2. Estacas de Lnea. ............................................................................................................. 85 3.2.3. Estacas Testigo o Guardiana. .......................................................................................... 88 3.2.4. Estacas de Chafln........................................................................................................... 88 3.2.5. Estacas de Nivel o Cambio. .............................................................................................. 88

3.3. JALONES, BALIZAS O MIRAS DE ALINEACIN. ................................................................... 88 3.4. PIQUETES. ............................................................................................................................... 89 3.5. PLOMADAS. ............................................................................................................................. 89 3.6. DISTANCIAS. ............................................................................................................................ 90

Topografa para Estudiantes de Ingeniera Ing. Hugo Yair Orozco Dueas 4

3.6.1. Tela................................................................................................................................... 90 3.6.2. Fibra de Vidrio. ................................................................................................................. 90 3.6.3. Metlicas. ......................................................................................................................... 90 3.6.4. Cintas de Metal Invar. ....................................................................................................... 90 3.6.5. Diamtricas. ...................................................................................................................... 90

3.7. NGULOS Y ALINEAMIENTOS. .............................................................................................. 93 3.7.1. Escuadra de Agrimensor. ................................................................................................. 93 3.7.2. Brjula. ............................................................................................................................. 94

3.8. ELEMENTOS COMPLEMENTARIOS. ...................................................................................... 95 3.8.1. Trpode. ............................................................................................................................ 95 3.8.2. Maceta. ............................................................................................................................. 95 3.8.3. Machete. ........................................................................................................................... 95 3.8.4. Clavos y Tornillos. ............................................................................................................ 96 3.8.5. Pintura .............................................................................................................................. 96 3.8.6. Cincel................................................................................................................................ 96

3.9. REGISTRO DE DATOS. ........................................................................................................... 96 3.9.1. Requisitos para realizar buenas anotaciones en las carteras de campo. ......................... 99 3.9.2. Clases de anotaciones. .................................................................................................... 99

3.10. COMISIN DE TOPOGRAFA. ............................................................................................... 100 3.10.1. Topgrafo. ...................................................................................................................... 100 3.10.2. Cadenero 1. .................................................................................................................... 100 3.10.3. Cadenero 2. .................................................................................................................... 101 3.10.4. Cadenero 3 Ayudante. ................................................................................................. 101 3.10.5. Cadenero 4 Ranchero. ................................................................................................ 101

3.11. USO DE SEALES CON LOS BRAZOS. ............................................................................... 101 3.11.1. Seales para los nmeros .............................................................................................. 102 3.11.2. Seales para operaciones en el campo.......................................................................... 102

3.12. BIBLIOGRAFA. ...................................................................................................................... 104 4. TEORA DE ERRORES y MEDICIN DE DISTANCIAS. ................................................................ 106

4.1. INTRODUCCIN. ................................................................................................................... 107 4.2. TIPOS DE MEDICIONES. ....................................................................................................... 107

4.2.1. Medicin directa de distancias entre dos puntos. ........................................................... 108 4.3. ERRORES EN LAS MEDIDAS. .............................................................................................. 110

4.3.1. Equivocaciones. ............................................................................................................. 110 4.3.2. Causas de errores al hacer mediciones ......................................................................... 111 4.3.3. Equivocaciones en la medicin con cinta. ...................................................................... 112

4.4. TIPOS DE ERRORES. ............................................................................................................ 113 4.4.1. Ejemplos de errores Sistemticos. ................................................................................. 115

4.5. PRECISIN Y EXACTITUD. ................................................................................................... 119 4.6. VALOR MS PROBABLE DE UNA MEDIDA. ......................................................................... 120

4.6.1. Residuos. ........................................................................................................................ 121 4.6.2. Aparicin de los errores Aleatorios. ................................................................................ 121 4.6.3. Medidas de precisin. ..................................................................................................... 125 4.6.4. Interpretacin de la Desviacin Estndar. ...................................................................... 127 4.6.5. Errores o Intervalos de Confianza de 50, 90 y 95%. ...................................................... 127

4.7. PROPAGACIN DE ERRORES. ............................................................................................ 129 4.7.1. Error de una Suma. ........................................................................................................ 130 4.7.2. Error de una Serie. ......................................................................................................... 130 4.7.3. Error de la Media. ........................................................................................................... 131

4.8. APLICACIONES. ..................................................................................................................... 132 4.8.1. Problemas relativos a las mediciones............................................................................. 132

4.9. BIBLIOGRAFA. ...................................................................................................................... 137 5. MEDICIN DE NGULOS SIN EQUIPO DE PRECISIN Y MEDICIN DE DISTANCIAS CON OBSTCULOS. ........................................................................................................................................ 138

5.1. MEDICIN DE NGULOS CON CINTA. ................................................................................ 139 5.2. TRAZADO DE PERPENDICULARES. .................................................................................... 140

5.2.1. Trazado de una perpendicular a una recta por medio de la cinta. .................................. 140


5.2.2. Trazado de una perpendicular a una recta por medio de la escuadra de agrimensor. ... 142 5.2.3. Trazado de una perpendicular a una recta a ojo. ........................................................... 142

5.3. MEDICIN DE DISTANCIAS CUANDO SE PRESENTAN OBSTCULOS. .......................... 143 5.3.1. Mtodo 1: Mediante el uso de un tringulo rectngulo. .................................................. 143

5.3.1.1. Hay Visibilidad. ........................................................................................................... 143 5.3.1.2. No Hay Visibilidad. ..................................................................................................... 144

5.3.2. Mtodo 2: Mediante el uso de lneas paralelas y lneas perpendiculares. ...................... 145 5.3.3. Mtodo 3: Mediante el uso de tringulos semejantes. .................................................... 145 5.3.4. Mtodo 4: Mediante el uso del concepto del POT (Point OverTangent). ........................ 146

5.4. BIBLIOGRAFA. ...................................................................................................................... 148 6. LEVANTAMIENTOS TOPOGRFICOS DE BAJA PRECISIN. ..................................................... 149

6.1. LEVANTAMIENTO DE UN LOTE POR DESCOMPOSICIN GEOMTRICA. ....................... 150 6.1.1. Usos. .............................................................................................................................. 150 6.1.2. Equipo a utilizar. ............................................................................................................. 150 6.1.3. Procedimiento. ................................................................................................................ 150 6.1.4. Cartera de campo y clculos. ......................................................................................... 151

6.2. LEVANTAMIENTO DE UN LOTE POR DESCOMPOSICIN GEOMTRICA Y POLIGONAL DE BASE. ............................................................................................................................................ 152

6.2.1. Usos. .............................................................................................................................. 152 6.2.2. Equipo a utilizar. ............................................................................................................. 153 6.2.3. Procedimiento. ................................................................................................................ 153 6.2.4. Esquema a mano alzada del lote. .................................................................................. 154 6.2.5. Cartera de Campo. Mtodo: Lote por descomposicin geomtrica y poligonal de base. 155 6.2.6. Metodologa para el clculo de las reas. ...................................................................... 156 6.2.7. Cartera de reas. Mtodo: Lote por descomposicin geomtrica y poligonal de base. .. 157

6.3. BIBLIOGRAFA. ...................................................................................................................... 158 7. TIPOS DE NGULOS EN TOPOGRAFA y la brjula. .................................................................... 159

7.1. MERIDIANO VERDADERO, MERIDIANO MAGNTICO Y MERIDIANO ARBITRARIO. ....... 160 7.1.1. Meridiano Verdadero, Geodsico o Geogrfico. ............................................................. 160 7.1.2. Meridiano Magntico. ..................................................................................................... 160 7.1.3. Meridiano Arbitrario, Supuesto o Asumido. .................................................................... 162 7.1.4. Declinacin Magntica . ............................................................................................... 162 7.1.5. Dibujo de la Norte o Meridiana escogida. ....................................................................... 163

7.2. NGULOS EN TOPOGRAFA. ............................................................................................... 163 7.2.1. Rumbo. ........................................................................................................................... 163 7.2.2. Azimut o Acimut. ............................................................................................................. 164 7.2.3. Contra Rumbo (o Rumbo inverso). ................................................................................. 165 7.2.4. Contra Azimut (o Acimut inverso). .................................................................................. 165 7.2.5. ngulos Positivos. .......................................................................................................... 167 7.2.6. ngulos Negativos. ......................................................................................................... 167 7.2.7. ngulos Externos. .......................................................................................................... 168 7.2.8. ngulos Internos. ............................................................................................................ 168 7.2.9. ngulos de Deflexin. ..................................................................................................... 168

7.3. LA BRJULA. ......................................................................................................................... 169 7.3.1. Clases De Brjulas. ........................................................................................................ 170

7.3.1.1. Brjulas Nuticas o de Navegacin. ........................................................................... 170 7.3.1.2. Brjulas Especiales. ................................................................................................... 172 7.3.1.3. Brjulas Cartogrficas ................................................................................................ 172 7.3.1.4. Brjulas Magnticas. .................................................................................................. 173 7.3.1.5. Brjulas De Estado Slido o Digitales o Electrnicas. ................................................ 175

7.3.2. Uso de una brjula anloga (Limbo Mvil). .................................................................... 176 7.3.3. Consejos al momento de trabajar con una brjula. ........................................................ 177 7.3.4. Errores que se pueden cometer al trabajar con una brjula. .......................................... 178

7.4. HIPTESIS PARA DETECTAR Y TRABAJAR EN LA PRESENCIA DE ATRACCIN LOCAL. 179 7.5. EJEMPLOS DE NGULOS TOPOGRFICOS. ...................................................................... 180


7.6. EJERCICIOS. .......................................................................................................................... 189 7.7. BIBLIOGRAFA. ...................................................................................................................... 191

8. EL TEODOLITO (Anlogo y Electrnico) Y SUS APLICACIONES. ................................................. 195 8.1. PARTES DEL TEODOLITO. ................................................................................................... 197 8.2. MOVIMIENTOS O GIROS DEL TEODOLITO (Anlogo o Electrnico). .................................. 202

8.2.1. Movimiento de la alidada. ............................................................................................... 202 8.2.2. Movimiento del anteojo. .................................................................................................. 203

8.3. INSTALACIN O EMPLAZAMIENTO DEL TEODOLITO (Anlogo o Electrnico) CON PLOMADA PTICA. ............................................................................................................................ 203 8.4. CHEQUEOS O VERIFICACIONES AL TEODOLITO (Anlogo o Electrnico) ANTES DE REALIZAR TRABAJOS TOPOGRFICOS. ......................................................................................... 206 8.5. EJEMPLOS DE PRESENTACIN DE NGULOS EN TEODOLITOS ANLOGOS. ............. 208 8.6. MTODOS PARA LA MEDICIN DE NGULOS. .................................................................. 210

8.6.1. Mtodo de Lectura Simple. ............................................................................................. 210 8.6.2. Mtodo de Repeticin. .................................................................................................... 211 8.6.3. Mtodo de Reiteracin.................................................................................................... 214

8.7. TEODOLITO ELECTRNICO ................................................................................................. 215 8.8. FUENTES DE ERROR AL TRABAJAR CON UN TEODOLITO (Anlogo o Electrnico). ....... 222 8.9. RECOMENDACIONES. .......................................................................................................... 224 8.10. BIBLIOGRAFA. ...................................................................................................................... 224

Topografa para Estudiantes de Ingeniera Ing. Hugo Yair Orozco Dueas

Un libro abierto es un cerebro que habla; cerrado, un amigo que espera; olvidado, un corazn que

llora... Proverbio hind.


DEDICATORIA

A los amores de mi vida, mis hijos: Carlos Daniel y Juan Andrs.

Los quiero montones.

A Dios A mi madre Mariella Dueas

+ y a mi abuela Mery Bolaos,

Por su infinito amor.

A mis compaeros Profesores de la Facultad de Ingeniera Civil De la Universidad del Cauca. Por todos sus

Valiosos aportes y colaboracin.

A mis estudiantes, hoy ingenieros Civiles, fuente de inspiracin y apoyo en la realizacin de este libro.

Agradecimientos especiales a: Khristell Martnez, Carlos Baracaldo, Natalia Crdenas y Marcela Pantoja.

Violet, Alejandro y Mara Isabeleducandos de la Portada.


LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1. Esquema de la barra en forma de X. ..................................................................................... 18 Figura 1.2. El nmero resulta de dividir la longitud de cualquier circunferencia por su dimetro. .......... 21 Figura 1.3. Tipos de Lneas. ....................................................................................................................... 25 Figura 1.4. Rayo. ........................................................................................................................................ 25 Figura 1.5. ngulo. ..................................................................................................................................... 25 Figura 1.6. Lneas o Rectas Paralelas. ...................................................................................................... 27 Figura 1.7. Lneas o Rectas Perpendiculares............................................................................................. 27 Figura 1.8. ngulos Adyacentes................................................................................................................. 27 Figura 1.9. ngulos opuestos por el vrtice. .............................................................................................. 27 Figura 1.10. ngulos Suplementarios ........................................................................................................ 28 Figura 1.11. ngulos Complementarios. .................................................................................................... 28 Figura 1.12. Teorema AIP (Alternos Interno Paralelas). ............................................................................. 28 Figura 1.13. ngulos presentes en rectas paralelas cruzadas por una trasversal. .................................... 28 Figura 1.14. Ejemplo teorema AIP. ............................................................................................................ 29 Figura 1.15. Teorema de Thales. ............................................................................................................... 30 Figura 1.16. Ejemplo teorema de Thales. .................................................................................................. 30 Figura 1.17. Tipos de Poligonales. (a): Poligonal abierta. (b): Poligonal cerrada. ...................................... 32 Figura 1.18. Altura de tringulos. ............................................................................................................... 34 Figura 1.19. Ejemplo, verificar el tringulo. ................................................................................................ 35 Figura 1.20. Semejanza de tringulos ........................................................................................................ 35 Figura 1.21. Medicin por Tales de Mileto de la pirmide de Kheops. La pirmide con su sombra, forma

un tringulo semejante al que forma el bastn con la suya. .............................................................. 36 Figura 1.22. Suma de ngulos Internos. .................................................................................................... 36 Figura 1.23. Suma de ngulos Internos Vs Externos. ................................................................................ 36 Figura 1.24. Tringulo Issceles. ............................................................................................................... 36 Figura 1.25. Teorema de Pitgoras. ........................................................................................................... 37 Figura 1.26. Semejanza de tringulos, en tringulo rectngulos. ............................................................... 37 Figura 1.27. El Cuadrado y su rea. ........................................................................................................... 39 Figura 1.28. El Rectngulo y su rea. ........................................................................................................ 39 Figura 1.29. Tipos de Trapecios y su rea. ................................................................................................ 39 Figura 1.30. Elementos de un tringulo para el clculo del rea. ............................................................... 40 Figura 1.31. Ejemplo, calcule el rea del tringulo ABC. ........................................................................... 41 Figura 1.32. Tringulo Rectngulo. ............................................................................................................ 42 Figura 1.33. Ejemplo, Hallar la base y la altura de un tringulo. ................................................................ 42 Figura 1.34. Esquema de un ngulo de elevacin. .................................................................................... 42 Figura 1.35. Esquema Angulo de depresin. ............................................................................................. 43 Figura 1.36. Ejemplo, Hallar la distancia a la que est el avin del aeropuerto. ........................................ 43 Figura 1.37. Ejemplo, Hallar la altura del edificio. ...................................................................................... 43 Figura 1.38. Tringulo NO Rectngulo. ...................................................................................................... 44 Figura 1.39. Ejemplo, resolver el tringulo. ................................................................................................ 44 Figura 1.40. Ejemplo, Hallar la distancia entre A y B. ................................................................................ 45 Figura 1.41. Sistema de Coordenadas. (a): Esquema general del plano cartesiano. (b): Ejemplo de

ubicacin en el sistema de coordenadas cartesianas. ....................................................................... 48 Figura 1.42. (a): Esquema general del sistema de coordenadas polares. (b): Ejemplo de ubicacin en el

sistema de coordenadas polares. ...................................................................................................... 49 Figura 1.43. Construccin de un tringulo rectngulo para relacionar el punto de coordenadas (x , y) con

coordenadas (r , )............................................................................................................................. 49 Figura 1.44. Gua grfica para transformar coordenadas rectangulares a polares. ................................... 50 Figura 1.45. Convertir coordenadas cartesianas a polares. ....................................................................... 51 Figura 1.46. Convertir coordenadas polares a cartesianas. ....................................................................... 52 Figura 1.47. Calculadora Casio fx-3650P. .................................................................................................. 53 Figura 1.48. Calculadora Casio fx-3650P. .................................................................................................. 54 Figura 1.49. Esquema para el clculo de la distancia entre dos puntos. .................................................... 56 Figura 1.50. Hallar la distancia entre A y B. ............................................................................................... 56 Figura 1.51. Hallar el permetro del tringulo. ............................................................................................ 57


Figura 1.52. Esquema para el clculo de la distancia entre dos puntos en coordenadas Polares. ............ 57 Figura 1.53. Esquema para el clculo de la distancia entre dos puntos en coordenadas Ortogonales 3D.

........................................................................................................................................................... 58 Figura 1.54. ngulo de inclinacin de una recta......................................................................................... 60 Figura 1.55. Esquema para el clculo de la pendiente de una recta entre dos puntos en coordenadas

Ortogonales 2D. ................................................................................................................................. 60 Figura 1.56. Signo de la pendiente. ............................................................................................................ 61 Figura 1.57. Clculo de la pendiente en Topografa................................................................................... 61 Figura 1.58. Rectas Paralelas. ................................................................................................................... 62 Figura 1.59. Rectas Perpendiculares ......................................................................................................... 62 Figura 1.60. ngulo entre Rectas. .............................................................................................................. 62 Figura 1.61. Determinar el ngulo formado por dos rectas. ....................................................................... 63 Figura 1.62. Determinar el ngulo formado por dos rectas en un tringulo. ............................................... 63 Figura 1.63. Determinar la ecuacin de la recta, perpendicular a otra. ...................................................... 63 Figura 2.1. La lnea que une dos puntos es una recta. .............................................................................. 76 Figura 2.2. Los hilos de las plomadas son siempre paralelos. ................................................................... 76 Figura 2.3. Cota o altura asignada a un plano de referencia imaginario y horizontal. ................................ 76 Figura 2.4. La interseccin de dos lneas en el plano horizontal, es un ngulo plano. ............................... 77 Figura 2.5. Esquema de planos en planta y en perfil en Topografa. ......................................................... 79 Figura 3.1. Mojn en concreto. (Und. en m). .............................................................................................. 85 Figura 3.2. Estacas de punto. (Und. en m). ................................................................................................ 86 Figura 3.3. Detalle de una Estaca de Lnea hincada sobre la va en afirmado (va Bordo Bolvar,

departamento del Cauca). Al fondo de la va se observan Estacas Testigo que acompaan el alineamiento. ..................................................................................................................................... 86

Figura 3.4. Detalle del trozo de neumtico que sobresale de la va. .......................................................... 86 Figura 3.5. Izquierda: Detalle de una estaca de chafln (puntilla + tapa de refresco) con su respectiva

estaca testigo. Derecha: detalle de una estaca testigo. Estas son estacas ejemplo, utilizadas en la localizacin de la carretera que pasa por la cabecera municipal de la poblacin de Totor Cauca Colombia, durante trabajos de ampliacin de la misma. ................................................................... 87

Figura 3.6. Detalle de otros ejemplos de estacas con distintivos, utilizadas en la localizacin de la carretera que pasa por la cabecera municipal de la poblacin de Totor Cauca Colombia, durante trabajos de ampliacin de la misma...................................................................................... 87

Figura 3.7. Estaca Testigo. (Und. en m). .................................................................................................... 88 Figura 3.8. Estaca Chafln. (Und. en m). ................................................................................................... 88 Figura 3.9. Estaca de Nivel. (Und. en m). .................................................................................................. 88 Figura 3.10. Jaln. (Und. en m). ................................................................................................................. 89 Figura 3.11. Piquetes. ................................................................................................................................ 89 Figura 3.12. Plomada ms estuche. ........................................................................................................... 89 Figura 3.13. Cinta metlica......................................................................................................................... 90 Figura 3.14. Cinta Diamtrica. .................................................................................................................... 91 Figura 3.15. Cadena de Agrimensura o Cadena de Gunter. ...................................................................... 91 Figura 3.16. (a): Contador Manual. (b): Podmetro de cadera. (c): Podmetro en las zapatillas. .............. 91 Figura 3.17. Rueda Perambuladora u Odmetro. ...................................................................................... 92 Figura 3.18. Distancimetro. ...................................................................................................................... 92 Figura 3.19. Distancimetro Manual o Telmetro. ...................................................................................... 93 Figura 3.20. Estacin Total......................................................................................................................... 93 Figura 3.21. Escuadra de agrimensor en madera. (Und. en m). ................................................................ 94 Figura 3.22. Ejemplo de diferentes tipos de escuadras de agrimensor de prismas pentagonales. ............ 94 Figura 3.23. Brjula Magntica................................................................................................................... 94 Figura 3.24. Trpodes Metlicos. ................................................................................................................ 95 Figura 3.25. Maceta de 4 lb. ....................................................................................................................... 95 Figura 3.26. Machete. ................................................................................................................................ 95 Figura 3.27. Ejemplos de Clavos y tornillos. .............................................................................................. 96 Figura 3.28. Ejemplo de embase plstico para Pintura. ............................................................................. 96 Figura 3.29. Cincel. .................................................................................................................................... 96 Figura 3.30. Cartera de Trnsito o para Planimetra. ................................................................................. 97 Figura 3.31. Cartera de Nivel. .................................................................................................................... 97


Figura 3.32. Cartera de Toma de topografa. ............................................................................................. 98 Figura 3.33. Cartera de Movimiento de Tierras. ......................................................................................... 98 Figura 3.34. Configuracin de la Estacin Total Leica con la Colectora Nautiz x7/Fieldgenius 2010

Premium. ......................................................................................................................................... 100 Figura 3.35. Seales para enviar informacin numrica. ......................................................................... 103 Figura 3.36. Seales para enviar informacin numrica. ......................................................................... 103 Figura 4.1. Esquema de una medicin en terreno ondulado (Medidas en m).. ........................................ 109 Figura 4.2. Esquema de un alineamiento imperfecto. .............................................................................. 112 Figura 4.3. Esquema de falta de horizontalidad. ...................................................................................... 112 Figura 4.4. Ejemplos de la ubicacin del cero en las cintas mtricas....................................................... 112 Figura 4.5. Esquema de la catenaria formada en la cinta. ....................................................................... 116 Figura 4.6. (a): Termmetro para cinta. (b): Dinammetro. ...................................................................... 116 Figura 4.7. Ejemplos de precisin y exactitud, (a): Los resultados son precisos, pero no exactos. (b): Los

resultados son exactos pero no precisos. (c): Los resultados son tanto precisos como exactos. (d): los resultados no son ni precisos ni exactos. ................................................................................... 119

Figura 4.8. (a): Histograma. (b): polgono de frecuencias de medidas entre los puntos A y B en la Facultad de Ingeniera Civil de la Universidad del Cauca, en febrero de 2014. ............................................. 123

Figura 4.9. Curva de Distribucin Normal Vs Histograma de Frecuencias, de las medidas entre los puntos A y B en la Facultad de Ingeniera Civil de la Universidad del Cauca, en febrero de 2014. ............ 124

Figura 4.10. Curvas caractersticas de distribucin normal. (a): Los datos son muy precisos, la dispersin es baja. (b): Los datos son poco precisos, estn muy dispersos. .................................................... 125

Figura 4.11. Relacin entre el error y el porcentaje del rea bajo la curva de una distribucin normal. ... 126 Figura 4.12. Relacin entre el error y el porcentaje del rea bajo la curva de una distribucin normal. ... 126 Figura 5.1. Construccin a realizar en campo, para medir el ngulo 456. ...................................... 139 Figura 5.2. Construccin a realizar en campo, para el mtodo del 3, 4, 5. .............................................. 140 Figura 5.3. Construccin a realizar en campo, para el mtodo de la cuerda Bisecada. ........................... 141 Figura 5.4. (a): Construccin a realizar en campo, para el mtodo de la Escuadra de Agrimensor. (b):

Perspectiva del procedimiento. ........................................................................................................ 142 Figura 5.5. (a): Abrir los brazos apuntando a sendos jalones. (b): Cerrar los ojos y unir las manos al

mismo tiempo y al frente de la cara. (c): Observar al punto por entre los dedos pulgares o sobre ellos. ................................................................................................................................................ 143

Figura 5.6. Evitar un obstculo mediante el uso de un tringulo rectngulo. ........................................... 144 Figura 5.7. Evitar un obstculo mediante el uso de lneas paralelas y lneas perpendiculares. ............... 145 Figura 5.8. Evitar un obstculo mediante el uso de tringulos semejantes. ............................................. 146 Figura 5.9. Esquema de la distribucin de los jalones en perfil. ............................................................... 147 Figura 5.10. Esquema de la distribucin de los jalones en planta y el movimiento que stos deben hacer.

......................................................................................................................................................... 147 Figura 6.1. Esquema del lote a medir por descomposicin geomtrica SIN poligonal de base (Unidades

en metros)........................................................................................................................................ 151 Figura 6.2. En 1, determinar la norte, es medir un ngulo llamado Azimut; el Azimut en 1 o el Az1

2..................................................................................................................................................... 153 Figura 6.3. Esquema del lote a medir por descomposicin geomtrica CON poligonal de base (Unidades

en metros)........................................................................................................................................ 154 Figura 6.4. Esquema para aplicar la frmula de los trapecios. ................................................................. 156 Figura 6.5. Detalle del rea del tringulo #28 que se debe restar en el ejemplo propuesto (Unidades en

metros)............................................................................................................................................. 156 Figura 7.1. (a) y (b): Monumentos en el observatorio de Greenwich, que delimitan los hemisferios Este y

Oeste. (c): imagen extrada de Google Earth, donde se muestran los ocho pases atravesados por el meridiano de Greenwich. ................................................................................................................. 160

Figura 7.2. Bosquejo aproximado sobre el ngulo que se forma entre la norte verdadera y la norte magntica. ....................................................................................................................................... 161

Figura 7.3. Campo geomagntico terrestre, considerado en primera instancia como el producido por un dipolo magntico. (1): Plano de la rbita de la Tierra. (2): Eje de Rotacin. (3): Eje Magntico. ..... 161

Figura 7.4. Ejemplos para graficar la Norte en planos. ............................................................................ 163 Figura 7.5. Ejemplo de Rumbos. .............................................................................................................. 164 Figura 7.6. Ejemplo de Azimutes. ............................................................................................................. 164 Figura 7.7. Cuadrantes topogrficos para el clculo de ngulos. ............................................................. 165


Figura 7.8. Ejemplo de Contra Rumbos. .................................................................................................. 166 Figura 7.9. Ejemplo de Contra Azimutes. ................................................................................................. 167 Figura 7.10. Ejemplo de ngulos positivos. ............................................................................................. 167 Figura 7.11. Ejemplo de ngulos Negativos. ........................................................................................... 167 Figura 7.12. Ejemplo de ngulos Externos en una poligonal cerrada. ..................................................... 168 Figura 7.13. Ejemplo de ngulos Internos en una poligonal cerrada. ...................................................... 168 Figura 7.14. Ejemplo de ngulos de Deflexin en una poligonal abierta. ................................................ 169 Figura 7.15. Partes constitutivas de una brjula....................................................................................... 169 Figura 7.16. Ejemplo de Girocomps. (a): Girocomps de rueda. (b): Girocomps de bola. ................... 171 Figura 7.17. Astrocomps MK II 6A/1174 2-H. ......................................................................................... 171 Figura 7.18. Brjula Nutica NT550 Waterdog Microcentro 81381. ......................................................... 171 Figura 7.19. (a): Brjula Topogrfica. (b): Brjula Geolgica. .................................................................. 172 Figura 7.20. Ejemplo de una Brjula de Placa Base. ............................................................................... 172 Figura 7.21. Ejemplos de Brjulas Cartogrficas Placa Base con tapa y espejo o de Observacin. ....... 173 Figura 7.22. Ejemplo de una Brjula de Pulgar. ....................................................................................... 173 Figura 7.23. Ejemplos de Brjulas Magnticas sencillas o de Limbo Fijo. ............................................... 174 Figura 7.24. Ejemplos de Brjulas Magnticas De limbo Mvil. (a) y (b): Brjulas Lensticas o Militares.

(c): Brjula de Prisma con clinmetro. ............................................................................................. 175 Figura 7.25. Ejemplos de Brjulas Electrnicas. (a): Reloj Garmin Fnix. (b): Brjula electrnica "DS302"

con altmetro. (c): GPS Garmin montana 600 touch screen. ........................................................... 175 Figura 7.26. Esquema de cmo medir un ngulo en campo por medio de la brjula. .............................. 177 Figura 7.27. Esquema de una aguja doblada. .......................................................................................... 178 Figura 7.28. Esquema de un soporte defectuoso. .................................................................................... 178 Figura 7.29. Tipos de Declinacin Magntica........................................................................................... 178 Figura 7.30. Nortes paralelas cruzadas por una recta. ............................................................................. 179 Figura 7.31. ngulos medidos en un mismo punto, no son afectados por atraccin local. ...................... 179 Figura 7.32. Esquema para el ejemplo 6. ................................................................................................. 182 Figura 7.33. Esquema de como calcular Azimutes a partir de deflexiones. ............................................. 182 Figura 7.34. Esquema para el ejemplo 7. ................................................................................................. 184 Figura 7.35. Esquema para el ejemplo 8. ................................................................................................. 185 Figura 7.36. Esquema para el ejemplo 9. ................................................................................................. 186 Figura 7.37. Esquema para el ejemplo 10. ............................................................................................... 187 Figura 7.38. Esquema para el ejercicio 8. ................................................................................................ 189 Figura 7.39. Esquema para el ejercicio 10. .............................................................................................. 190 Figura 8.1. Ejemplo de la visual a travs del anteojo y retculos del Teodolito Kern DKM2-A. ................ 197 Figura 8.2. Partes de Teodolito Anlogo Wild T1A................................................................................... 200 Figura 8.3. Teodolito Anlogo Wild T16. .................................................................................................. 201 Figura 8.4. Teodolito Anlogo Kern K1A. ................................................................................................. 201 Figura 8.5. (a): Detalle del visor colimador o visor ptico. (b) Detalle de la ubicacin e instalacin del

trpode centrador o de bastn con cabeza tipo rtula. (c): Detalle del ensamble del Teodolito sobre la base tipo rtula. ........................................................................................................................... 201

Figura 8.6. Esquema interno y trayectoria del rayo luminoso dentro de un Teodolito Kern DKM2 A. ... 202 Figura 8.7. Diagramacin de los ejes principales del Teodolito................................................................ 203 Figura 8.8. Colocacin del trpode y movimiento de las dos patas sueltas alrededor de la marca de piso.

......................................................................................................................................................... 204 Figura 8.9. Tres patas asentadas en el piso y nivelacin a juicio del operador, con ayuda de las patas del

trpode. ............................................................................................................................................ 204 Figura 8.10. Nivelacin milimtrica del Teodolito. (a): Primera posicin del nivel tubular vs tornillos

milimtricos. (b): Segunda posicin de nivel tubular vs tornillos milimtricos. ................................. 205 Figura 8.11. Centrado y nivelacin del Teodolito utilizando una plomada de hilo. (a): La plomada est

encima del punto y el plato del trpode esta completamente horizontal. (b): La plomada est encima del punto pero el plato del trpode NO esta completamente horizontal, generando errores en la instalacin. ....................................................................................................................................... 206

Figura 8.12. El eje del nivel del plato es perpendicular al eje vertical. ..................................................... 206 Figura 8.13. (a): Posicin correcta del hilo vertical. (b): Posicin incorrecta del hilo vertical. ................... 207 Figura 8.14. Lnea de vista perpendicular al eje horizontal del telescopio. (a): muestra los ejes. (b):

esquema de la ubicacin del Teodolito y los puntos A y B. ........................................................ 207


Figura 8.15. Procedimiento para la verificacin de que el eje horizontal es perpendicular al vertical. (a): Posicin del Teodolito frente a la edificacin. (b): Si al transitar y girar 180 no se observa el punto D si no un punto B o C, el Teodolito est descorregido. (c): Grfica de la descorreccin del eje horizontal. ........................................................................................................................................ 208

Figura 8.16. Ejemplo lectura del Teodolito Kern K1M. (a): ngulo horizontal 381.278 gradianes o gn. (b): ngulo Vertical 865115. ............................................................................................................... 209

Figura 8.17. Ejemplo lectura Teodolito Kern DKM2-A o Kern DKM2-AT. (a): ngulo horizontal 56.5336 gradianes o gn. (b): ngulo Vertical 853514. ............................................................................. 209

Figura 8.18. Ejemplo lectura Teodolito Kern DKM1. (a): ngulo horizontal 2505430. (b): ngulo Vertical 745425. ........................................................................................................................................ 209

Figura 8.19. Ejemplo lectura Teodolito Wild T1A. (a): ngulo horizontal 513.5 o 51330. (b): ngulo Vertical 921600............................................................................................................................. 210

Figura 8.20. Ejemplo lectura. (a): Teodolito Wild T1, ngulo horizontal 3275936 (b): Teodolito Wild T16, ngulo horizontal 23556.5 o 2355630, ngulo vertical 9606.5 o 960630. ............................. 210

Figura 8.21. Ejemplo lectura. (a): Teodolito Lietz T60E, ngulo horizontal 430300 o 3165700, ngulo vertical 863230 (b): Teodolito Zeiss Th4, ngulo horizontal 26323.7 o 2632340, ngulo vertical 873500. ........................................................................................................................................ 210

Figura 8.22. Esquema para medir un ngulo con Teodolito. .................................................................... 211 Figura 8.23. Esquema para medir ngulos colaterales por reiteracin. ................................................... 214 Figura 8.24. Teodolito Digital Topcon DT100. .......................................................................................... 221


LISTA DE TABLAS

Tabla 1.1. Equivalencias del sistema mtrico............................................................................................. 19 Tabla 1.2. Alfabeto Griego. ........................................................................................................................ 26 Tabla 1.3. Clasificacin de ngulos planos. ............................................................................................... 26 Tabla 1.4. Clasificacin de tringulos. ........................................................................................................ 34 Tabla 2.1. Algunos ejemplos de software utilizado en dibujo y manejo de Geodatabases. ....................... 71 Tabla 4.1. Datos correspondientes al ancho de un ro donde se construir un puente (en metros). ....... 121 Tabla 4.2. Calculo de los residuos. .......................................................................................................... 122 Tabla 4.3. Distribucin de medidas entre los puntos A y B en la Facultad de Ingeniera Civil de la

Universidad del Cauca, en febrero de 2014..................................................................................... 123 Tabla 4.4. Precisiones requeridas en Levantamientos Topogrficos. ...................................................... 133 Tabla 6.1. Calculo de reas de las figuras geomtricas. .......................................................................... 151 Tabla 6.2. Calculo de reas de las figuras geomtricas. .......................................................................... 157 Tabla 7.1. Resultados finales de los ngulos del ejemplo 6. .................................................................... 184


PRLOGO La Topografa es una disciplina cuya aplicacin est presente en la mayora de lasactividades humanas que requieren tener conocimiento de la superficie del terreno, dondetendrn lugar la planificacin y ejecucin de dichas labores.Ahora bien, dentro del campo de la ingeniera o carreras afines en los que la Topografahace un aporte importante tenemos: Arquitectura, Geografa, Ingeniera Geogrfica, Ingeniera Catastral y Geodesia, Ingeniera Forestal, Ingeniera Agrcola, Ingeniera Civil, Minera, Sistemas de Informacin Geogrfica, Batimetra, Oceanografa, Cartografa, Acueductos y Alcantarillados, Tneles, Ingeniera Petrolera, Ingeniera Ambiental, etc.

Las mediciones de terrenos siempre implicarn mucho de arte y ciencia, es decir, todo un conjunto de reglas para hacer bien los trabajos de campo en los cuales la prctica y el sentido comn jugaran un

papel importante antes, durante y despus de cualquier trabajo de ingeniera. Es ah, donde la Topografaha sido desde muchos aos una valiosa herramienta en el campo del diseo, la supervisin y la construccin. Por ello, hoy forma parte de los Planes de Estudios Acadmicos de diversos programas ingenieriles asociada a las ciencias bsicas, que como su nombre lo indica, la Topografaes la base, el

cimiento necesario para el desarrollo de un programa de ingeniera que requiera de las mediciones. Dentro de este orden de ideas, se presenta este libro como el resultado del acopio de experiencias personales e investigacin en el mbito de la Topografa, con captulos organizados de tal forma que le permitan a los estudiantes de ingeniera o carreras afines, tener un proceso concatenado entre los diferentes apartados, los cuales son desarrollados de una forma didctica, con muchas explicaciones, ejemplos y ejercicios que abarcan los diferentes temas. Mientras el estudiante avanza en la lectura y desarrollo del texto, encontrar un variado repertorio de trminos utilizados en ingeniera, los cuales van acompaados de notas al pie de pgina, que le servirn de aclaracin o repaso. En ellas, se ilustra y se orienta al educando hacia la terminologa utilizada en diversos campos ingenieriles y se familiarice con esta terminologa.


La matemtica es la reina de las ciencias y la Aritmtica la reina de la matemtica

Karl F. Gauss,cientfico alemn.

CAPTULO I 1. ARITMTICA, GEOMETRA Y TRIGONOMETRA

Objetivo General.

Volver a familiarizar al estudiante con la terminologa de las reas bsicas, definiciones geomtricas, ecuaciones trigonomtricasy frmulas para el clculo de reas y volmenes que se utilizarn en el curso de Topografa. Objetivos especficos.

Al finalizar el captulo, el estudiante estar en capacidad de:

Recordar teoremas y definiciones de geometra, necesarias para el desarrollo del curso de Topografa.

Calcular ngulos y distancias de cualquier tringulo.

Encontrar la distancia entre dos puntos, dadas las coordenadas de los mismos.

Comprender los axiomas, postulados, teoremas y corolarios que rigen a la geometra.

Desarrollar confianza en sus habilidades matemticas puestas al servicio de laTopografa.

Adquirir las herramientas matemticas necesarias, para el desarrollo de problemas topogrficos. Conceptos de: Metro, Longitud, Sistema Mtrico, rea, Volumen, Sistema Centesimal, Sistema Sexagesimal, Radianes, Punto, Lnea, ngulo, Tringulo, Sistemas de Coordenadas, Funciones Trigonomtricas deSeno, Coseno yTangente. Distancia y Pendiente entre Puntos o Pares Coordenados,Pendiente de una Recta.


La Aritmtica, laGeometra yla Trigonometrason pilares fundamentales de diferentes cursos de la Ingeniera.De estas grandes ramas de la matemtica, se extraen los temas elementalespara el curso de Topografa, ya que en su momento, fueron tratadosen cursos previos de primaria, bachillerato y media vocacional.Por tal motivo, solo se extraern algunos conceptos bsicos de estas asignaturas, que en forma general, sern los ms utilizados durante el desarrollo de la materia de Topografa,ya sea para los anlisis de los problemas opara los clculos a realizar en el desarrollo de los mismos.

1.1. ARITMTICA1. Un levantamiento topogrfico requiere tanto de la planimetra como de la altimetra; en ambos casos es necesario realizar mediciones de ngulos ylongitudes. Estos datos son transformados por medio de clculos matemticos, para finalmente producir planos yobtener datos de superficies y volmenes.Las unidades a utilizar durante los clculos aritmticos sern de longitud, rea, volumen y angulares. 1.1.1. Unidades de Longitud.

Hasta finales del siglo XVIII, los hombres utilizaban unidades muy diversas para medir longitudes que haban sido elegidas de manera arbitraria, casi siempre relacionadas con algunas partes del cuerpo humano, como por ejemplo el pie, la braza, la pulgada, etc. La relacin existente entre estas unidades era completamente arbitraria lo que dificultaba la transformacin de unas a otras. Por otro lado, no existan iguales unidades en los distintos pases e incluso, dentro de una misma nacin, designando con un mismo nombre unidades de distinto valor. Este modo arbitrario de proceder cre dificultades en el comercio y en las ciencias que incitaron a los hombres a unificar las unidades creando un sistema universal de unidades que cumpliese los requisitos de uniformidad, sencillez y fijeza Hoy da, la longitud es considerada como una de las siete magnitudes fsicas fundamentales (fija, universal e invariable) del Sistema Internacional de Unidades (SI). Bsicamente, la longitud es la magnitud con que se mide un espacio (en lnea recta) delimitado entre dos puntos. Su unidad bsica es el metro, simbolizado por la letra mminscula. En Colombia, las mediciones son realizadas con paseen elSistema Mtrico Decimal, cuyas unidades son mltiplos o divisores de diez. Dependiendo de las necesidades topogrficas de precisin o del tamao de las longitudes a medir, estas se expresarn en kilmetros (Km), metros (m), centmetros (cm) oen milmetros (mm). La palabra metroproviene del griego metrn que significa medida. Dentro de las definiciones ms comunes para metro se tiene: a. En 1889 se consider como definicin de unidad de longitud: la diezmillonsima (1/10.000.000) parte

del cuadrante del meridiano terrestre que pasa por Pars (Francia), resultado de mediciones iniciales realizadas por los franceses Mechain y Delambre quienes calcularon la distancia entre Dunkerque (norte de Francia) y Barcelona (nordeste de Espaa). Comprobaciones posteriores del mismo, demostraron su inexactitud.

b. En 1903, se define como unidad de longitud la distancia entre 2 trazos paralelos hechos sobre una

barra en forma de X, fabricada en una aleacin de platino e iridio, que se conserva en la oficina de pesas y medidas en SVRES, Pars, medida a la temperatura de 0 C. (vase la figura 1.1). De esta barra se hizo una copia para cada uno de los veinte pases firmantes del acuerdo.

c. En 1959: La onceava (XI) conferencia de pesas y medidas adopta la definicin de metro como un

nmero de longitudes de onda del istopo 114 de cadmio. d. En 1960. En enero de este ao se adopta la raya espectral del criptn, considerada una de las ms

estables incluso a temperaturas de 220 C.

1 Aritmtica: es una ciencia que se ocupa del estudio de los nmeros y de las operaciones entre ellos.


Figura 1.1. Esquema de la barra en forma de X.

e. En 1960. Se adopta la siguiente definicin: Un metro es igual a 1650.763,76 longitudes de onda de

la lnea anaranjada de ISTOPO2 86 de criptn excitado elctricamente en el vaco.

f. En 1983, El metro es la unidad de longitud equivalente a la distancia que recorre la luz, en el vaco,

en un tiempo de 1/299792458 segundos, aproximadamente 3.34 nanosegundos (ns). En general, las longitudes para trabajos topogrficos se medirn con precisin al centmetro o al milmetro. Dicha precisin estarmuy relacionada con el equipo de Topografa utilizado y/o el grado de precisin requerido, en donde la menor lectura para todos los casos, ser al milmetro. A pesar de que en Colombia el sistema de unidades es el Sistema Mtrico, durante los trabajos ingenieriles se encuentran elementos que vienen dimensionados en el Sistema Ingls. Tal es el caso de los dimetros para tubera para agua potable, agua residual, ductos elctricos, el acero de refuerzo,etc. Una forma abreviada y fcil de recordar, las transformaciones entre estos sistemas se relaciona a continuacin:

Pulgadas (Inch) 1 in = 2.54 cm Pies (Feet) 1 ft = 12 In

Yardas (Yard) 1 yd = 3 ft Millas (Mile) 1 mi = 1760 yd Ejemplo 1.1: Para los siguientes valores encuentre su respectivo equivalente. a. 12345.16 m a cm(Antes de resolver este ejercicio es conveniente recordar las equivalencias

existentes entre las diferentes unidades;estas estn consignadas en la tabla1.1).

Por lo tanto tenemos: .

= .

b. 12345.16 cm a ft: .

.

= .

c. 12345.16 km a yd: .

.

= .

Ejercicios 1.1: Para los siguientes valores encuentre su respectivo equivalente. a. 54312.16 m a km b. 54312.16 m a cm c. 54312.16 m a mm d. 54312.16 m a dm

e. 54312.16 m a in f. 54312.16 km a yd g. 54312.16 cm a ft h. 54312.16 m a yd

2 Istopo: es cada uno de los tomos cuyo ncleo posee el mismo nmero de protones, pero diferente nmero de neutrones. Los

istopos se difieren en la masa. Tienen propiedades fsicas diferentes sin embargo las propiedades qumicas son las mismas.


Tabla 1.1. Equivalencias del sistema mtrico.

Mltiplos del metro

Metro (m):

Unidad bsica del

Sistema Internacional

(SI).

Submltiplos del metro

Prefijo Smbolo Equivalencia Prefijo Smbolo Equivalencia

Yotta Ym 1024

metros. Deci dm 10-1

metros.

Zetta Zm 1021

metros. Centi cm 10-2

metros.

Exa Em 1018

metros. Mili mm 10-3

metros.

Peta Pm 1015

metros. Micro m 10-6

metros.

Tera Tm 1012

metros. Nano nm 10-9

metros.

Giga Gm 109 metros. Angstrom 10

-10 metros.

Mega Mg 106 metros. Pico pm 10

-12 metros.

Miria Mm 104 metros. Femto o Fermi fm 10

-15 metros.

Kilo km 103 metros. Atto am 10

-18 metros.

Hecto Hm 102 metros. Zepto zm 10

-21 metros.

Deca Dm 101 metros. Yocto ym 10

-24 metros.

NOTA: En todos los clculos a realizar en unidades de longitud, rea y volumen, se recomienda

trabajar con mximo tres cifras decimales. De esta forma se pueden evitar ambigedades en los resultados obtenidos y por otro lado, la mnima longitud medida en campo sern los milmetros, que equivalen al tercer decimal, si las mediciones se referencian al metro.

1.1.2. Unidades de rea. El rea es la magnitud geomtrica que determina una superficie bidimensional cerrada. Aproximadamente podemos hablar de realizar una operacin aritmtica igual a multiplicar largo por ancho. Para el Sistema Mtrico Decimal,se fija como unidad, la superficie de un cuadrado cuyo lado mida un (1) metro. Esta unidad se denomina metro cuadrado y se simboliza: m

2.

La superficie medida puede tener forma regular o irregular;esta ltima, es el caso que generalmente se presenta durante los trabajos topogrficos.Dependiendo del tamao del terreno o lote, la magnitud del rea se expresar en metros cuadrados (m

2), Hectreas (Ha) o en kilmetros cuadrados (km

2)si la

superficie medida es muy grande.Dentro de las unidades de conversin para reas tenemos: Hectreas = 1 Ha = 10000 m

2

Plaza3 = 1 Pl = 6400 m

2

Fanegadas4 = 1 Fg = 6459.6 m

2

Acres5 = 1 Ac = 43560 ft

2

Ejemplo 1.2: Para los siguientes valores encuentre su respectivo equivalente.

a. 12345.16 m2 a cm

2 .

= .

b. 12345.16 cm2 a ft

2 .

(.)

()= .

c. 12345.16 km2 a Ha .

= .

3 Plaza: medida utilizada antiguamente en Colombia. Hoy da, es muy comn su uso entre personas del campo o de la tercera

edad. Una plaza se puede considerar aproximadamente como un lote de 80 m x 80 m.

4 Fanegada: unidad de medida agraria, generalmente utilizada por ridos en Castilla (Espaa). Para expresar una medida de

terreno, se pronuncia: Fanegada de tierra, para diferenciarla de la fanega de puo, tambin conocida como fanega de sembradura, o las medidas de capacidad. Las equivalencias de la fanegada son muy variables, las cuales dependern del lugar o provincia espaola (Andaluca, Castellana de Burgos, Villar de Caas, etc.).

5 Acre: medida de superficie usada especialmente en la Gran Bretaa y los Estados Unidos de Norte Amrica.


Ejercicios 1.2: Para los siguientes valores encuentre su respectivo equivalente. a. 12345.16 m

2 a km

2 b. 12345.16 m

2 a cm

2 c. 12345.16 m

2 a mm

2 d. 12345.16 m

2 a dm

2

e. 12345.16 m2 a in

2 f. 12345.16 km

2 a yd

2 g. 12345.16 cm

2 a ft

2 h. 12345.16m

2 a Ha

1.1.3. Unidades de Volumen. De forma similar que para el rea, el volumen es la magnitud geomtrica que determina un espacio tridimensional cerrado. Aproximadamente podemos hablar de realizar una operacin aritmtica igual a largo por ancho por alto. Para el Sistema Mtrico Decimal,se fija como unidad, el volumen de un cubo cuyas aristas midan un (1) metro. Esta unidad se denomina metro cbico y se simboliza: m

3. El volumen

cuantificado puede tener forma regular o irregular. Para los trabajos ingenieriles, se acostumbra en Colombia, a cuantificar los volmenes en metros cbicos (m

3). A pesar de esto, tambin se utilizan unidades como el pie cbico (ft

3) y la yarda cbica (yd

3).

La yarda cbica (yd

3) o el pie cbico (ft

3), son unidades en las que generalmente se expresa la capacidad

de los baldes para maquinaria pesada,como por ejemplo: Retroexcavadoras, Cargadores, etc. Dicho valor de capacidad, es necesario para la cuantificacin de los rendimientos laborales y capacidad de estos equipos. Ejemplo1.3: Para los siguientes valores encuentre su respectivo equivalente.

a. 12345.16 m3 a cm

3 .

= .

b. 12345.16 cm3 a ft

3 .

(.)

()= .

Ejercicios 1.3: Para los siguientes valores encuentre su respectivo equivalente. a. 12345.16 m

3 a km

3 b. 12345.16 m

3 a cm

3 c. 12345.16 m

3 a mm

3 d. 12345.16 m

3 a dm

3

e. 12345.16 m3 a in

3 f. 12345.16 km

3 a yd

3 g. 12345.16 cm

3 a ft

3 h. 0.123451 dm

3 a mm

3

A travs de internet se encuentran diversas pginas web que ayudan a los cibernautas o navegadores en sus diferentes labores cotidianas. Dentro de estas pginas, y arriesgndome a proporcionar una URL (Universal ResourceLocators) que tal vez hoy da hubiere cambiado, se recomienda la siguiente direccin, en la que pueden encontrar un conversor de unidades para longitud, rea, peso, velocidad, temperatura yvolumen bastante sencilla y prctica: http://www.de-francisco.com/data/convert/fr_length_s.html

6

1.1.4. Unidades de ngulos.

Para la medicin de ngulos se distinguen tres sistemas a saber: a. Radianes:Un radin es la medida de un ngulo central que intercepta un arco de circunferencia

cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. En toda circunferencia hay aproximadamente

6.28 radianes, es decir, 2 radianes. El sistema de Radianes aparece cuando se dese medir la longitud de cualquier circunferencia; este problema puede resolverse por matemticas superiores, pero su solucin prctica es muy antigua y a ella se lleg por simple experiencia, en la cual se comprob que la relacin entre la longitud de la circunferencia y su dimetro era siempre constante, lo mismo en una circunferencia grande que en una pequea, en las que al dividir la longitud o permetro por su dimetro, da siempre un valor igual. Valor que en un principio fue

6 DE FRANCISCO Rufo y DE FRANCISCO Nuria. La pgina web de Rufo y Nuria De Francisco. [en lnea]. San Jos, California,

Valle del Silicio, Espaa. Rufo y Nuria de Francisco, 2001. [Citada,noviembre de 2013]. Disponible en Internet: URL http://www.de-francisco.com/data/convert/fr_length_s.html


determinado por tres y pico y que poco a poco fue precisndose hasta llegar al valor que

usualmente es empleado: 3.1415926535... ( es un nmero irracional).A este nmero, los griegos

lo bautizaron con una letra de su alfabeto: (pi), letra inicial de la palabra Periferia o Permetro.

En donde:

= = 3.1415926535 )

= = 2

Figura 1.2. El nmero resulta de dividirla longitud de cualquier circunferencia por su dimetro.

Esta unidad de medida angular es muy empleada en trabajos cientficos y en matemticas avanzadas; pero en Topografa, noes utilizada como tal, en las diversas faenas de campo, debido a que los equipos de Topografa no realizan las mediciones bajo este sistema.

b. Sistema Centesimal:El grado centesimal o gradin (plural: gradianes), originalmente denominado

gn, grade o centgrado; es un sistema que considera dividir una circunferencia en cuatrocientas (400) partes iguales, o sea, los ngulos estarn entre cero grados y cuatrocientos grados. As mismo, se considera el grado dividido en cien (100) minutos y el minuto en cien (100) segundos. En las calculadoras suele usarse la abreviatura Gra o G.

Los grados centesimales se indican con la letra minscula gal lado de la cifra; por ejemplo:45

g.

Los minutos se indican con un apstrofo: 23; y los segundos con dos: 20. De tal forma, si un ngulo mide 125 grados con 10 minutos y 30 segundos se escribir: 125

g 10 30. Esta es la forma

actual de indicar los grados centesimales, ya que antes se escriban los grados, minutos y segundos aadiendo las letras c, m y s respectivamente en la parte alta de la cifra, como por ejemplo:380

c85

m70

s. Adems, para evitar confusiones, en 1948 la unidad homnima de

temperatura conocida como GradoCentgrado pas a denominarse oficialmente GradoCelsius. En Colombia, cabe la posibilidad de encontrar equipos de Topografa que manejan este sistema de medida angular, por ello recuerde que: un grado centesimal equivale a nueve dcimos (9/10) de grado sexagesimal.

c. Sistema Sexagesimal:Es un sistema que considera dividir una circunferencia en trescientas

sesenta (360) partes iguales, o sea, los ngulos estarn entre cero grados ytrescientos sesenta grados. As mismo, se considera el grado dividido en sesenta (60) minutos y el minuto en sesenta (60) segundos. En las calculadoras suele usarse la abreviatura Deg o D, de la palabra en ingls degree que significa grado. Los grados sexagesimales se indican con un pequeo cero en la parte superior de la cifra; por ejemplo 75. Los minutos se indican con un apstrofo: 16; y los segundos con dos: 35. De tal forma, si un ngulo mide 270 grados con 16 minutos y 50 segundos se escribir: 2701650; sin dejar espacio entre las cifras. Hoy da con el avance de la electrnica y por consiguiente de los equipos de Topografa, la medicin de ngulos se logra con precisin al segundo. Este sistema es el oficial para Colombia.

1.1.5. Consideraciones Angulares. a. No deben confundirse los grados centesimales con el uso de fracciones decimales para expresar

ngulos en el sistema sexagesimal. Los siguientes valores angulares, son equivalentes:

1451030 en grados, minutos y segundos, sexagesimales, (nmero Complejo). 145.1750 en grados sexagesimales con fraccin decimal, (nmero Incomplejo). 234

g 65 60 en gradianes con minutos y segundos centesimales, (nmero Complejo).

234,6560g en gradianes o grados centesimales con fraccin decimal, (nmero Incomplejo).

D

L


Ntese que los minutos y segundos de los grados centesimales se corresponden directamente a la fraccin decimal de los gradianes, cosa que NOocurre con los grados sexagesimales.

b. Al momento de expresar una cantidad en grados, minutos y segundos en el sistema sexagesimal, las partes de grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de los segundos, por ejemplo: 452330.32

c. En los tres sistemas angulares (radian, centesimal y sexagesimal) se manejan tanto ngulos

positivos como negativos. NOTA: Desdeelpuntodevista meramente matemtico, se considera el origen de los ngulos el eje

xpositivo (vase el tema de coordenadas polares, seccin 1.4.2.),los ngulos sern positivos si el giro se realiza en sentido contrario al de las manecillas del reloj (sentido contra horario o levgiro), y sern negativos, si el giro es en sentido de las manecillas del reloj (sentido horarioo dextrgiro).

1.1.6. Conversin, suma y resta de ngulos.

a. Un ngulo en el sistema sexagesimal, se puede representar en forma decimal o incompleja teniendo en cuenta que: 1 = (1/60) = 0.01666667 (redondeo a ocho dgitos) 1 = (1/60) = (1/3600) = 0.00027778 O, visto de otra forma: 1 grado sexagesimal = 60 Minutos = 3600 Segundos 1 minuto sexagesimal = 60 Segundos Por ejemplo:1404010 =140 + 40*(1/60) + 10*(1/3600)140.66944

b. Un ngulo en el sistema centesimal, se puede representar en forma decimal o incompleja teniendo

en cuenta que: 1 grado centesimal = 100 minutos 1 minuto centesimal = 100 segundos Por ejemplo:140

g4010 = 140

g + 40*(1/100)

g + 10*(1/10000)

g= 140.4010

g

c. Un ngulo en el sistema centesimal, se puede representar en el sistema sexagesimal teniendo en

cuenta que:1 grado centesimal = 9/10 de grado sexagesimal. Por ejemplo:140

g4010 = 140.4010

g * (9/10) = 126.3609

d. Para representar grados sexagesimales de formato decimal (o representacin numrica

incompleja), a grados, minutos y segundos (o representacin numrica compleja), tenemos: Sea la cifra 140.66944, el nmero a transformar. Los grados estarn conformados por la parte entera, es decir, 140. Los minutos sern la parte entera de coger 0.66944 y multiplicarlo por 60 (0.66944 * 60 = 40.1664), es decir: 40. Finalmente, los segundos sern la parte entera de coger 0.1664 y multiplicarlo por 60 (0.1664 * 60 = 9.984 10), es decir: 10.

140.66944 140

0.66944 * 60 = 40.1664 40

0.1664 * 60 = 9.984 10 10


e. Es muy importante tener en cuenta que cuando se estn realizando conversiones entre los sistemas angulares o se estn haciendo diferentes representaciones numricas de los ngulos, se DEBE trabajar con TODOS los decimales que ofrece la calculadora. Esto se hace con el fin de

evitar discrepancias cuando se hace el redondeo de los valores. Por ejemplo: 140.66944 equivale a 140409.98 y, 140.669 equivale a140408.4

Esta discrepancia de los valores, aunque mnima, puede afectar el clculo de por ejemplo: la determinacin de los ngulos internos de un tringulo o un polgono de n lados, o la localizacin de puntos del eje o una curva, en el caso de laTopografa para carreteras, etc.

f. Otra transformacin, aunque no comn en Topografa, es el pasar de ngulos sexagesimales a

radianes o viceversa. Para ello es conveniente recordar que radianes equivale a ciento ochenta

grados sexagesimales (1 rad = 180 / ). Por lo tanto: 1404010 = 140.66944 * (/180) = 2.455 rad

5/6 = 5/6 * (180/) = 1500000

g. Para la adicin o la sustraccin de nmeros complejos, el fundamento es el mismo que el de la

suma y la resta en el sistema decimal; es decir, se organizan los valores a sumar en columnas de derecha a izquierda y se empiezan sumando las unidadesde orden inferior; si de esta suma resultaren unidades superiores, se pasan a la columna de la izquierda.Para restar, si no es posible la resta de alguna unidad del minuendo con la correspondiente del sustraendo, se le pasa al minuendo una unidad superior del orden necesario de la columna de la izquierda, la cual se le suma al minuendo y de esta forma realizar la operacin.El ejemplo 1.4, muestra el procedimiento para el caso del sistema sexagesimal, que es el ms comn en Colombia, pero siguiendo la misma hiptesis, se puede extrapolar para el sistema centesimal.

Ejemplo1.4: Sumar 1255530 con 2184736

Pasan: 1 Pasan: 1'

125 grados 55 minutos 30 segundos


344 103' 66"

344 43' 06" Resultado: 3444306

En este caso: se dejan 6 en la columna de segundos y pasan 60 a la columna de minutos, los cuales equivalen a 1. De igual forma, en esta columna, se dejan 43 y pasan 60 a la columna de grados, los cuales equivalen a 1.

Restar 2184736 con 1255530

Prest: 1 (217) Prestan: 1 = 60'

60+47 = 107'



92 52' 06" Resultado: 925206


En este ejemplo: no podemos restar 55 a 47, de tal forma que los grados prestan 1; lo que equivale a 60. De esta forma se obtienen 107 a los cuales, s, se les pueden restar 55. Ahora, en la casilla de los grados, estos prestaron 1, con lo que los 218 quedan convertidos en 217 y se procede a realizar la resta normalmente.

h. Hoy da, muchas de las operaciones entre nmeros complejos, son muy sencillas de realizar

debido al uso de la calculadora. Las explicaciones aqu mostradas son en calidad de demostracin en casos en los cuales no se cuenta con una. De igual forma, se recomienda que para el caso de las operaciones de multiplicacin y divisin entre complejos o entre complejos y nmeros Naturales o Reales, estas se pueden resolver ms fcilmente reduciendo los complejos a incomplejos de unamisma unidad, y operando como si fuesen nmeros abstractos; el resultado numrico tendr la misma unidad que la de los datos; y si se quiere, se puede pasar nuevamente a notacin compleja.

Ejercicios 1.4: Para los siguientes valores encuentre su respectivo equivalente angular.

Transformar a grados Sexagesimales (notacin compleja).

Transformar a radianes.

a. /4 b. /3 c. 451035 d. 1203020

e. 4/3 f. 2/3 g. 2334550 h. 3180742

Transformar a grados Sexagesimales (notacin

incompleja). Transformar a grados Centesimales (notacin

compleja).

a. 45g 10 35 b. 170

g 30 20 c. 451035 d. 1203020

e. 283g 45 50 f. 368

g 07 42 g. 2334550 h. 3180742

Transformar de nmero incomplejo a complejo.

(grados, minutos y segundos) Transformar de nmero complejo a incomplejo.

a. 45391.0535 b. 1740.35529 c. 451035 a min sexagesimales

d. 1203020 a seg. sexagesimales

e. 283.4555668 f. 358.12345678 g. 2334550 a grados Centesimales.

h. 3180742 a grados Centesimales.

1.2. GEOMETRA7 PLANA O EUCLIDIANA. 1.2.1. Definiciones y Teoremas

8.

Definicin 1:Punto. El punto es el lmite mnimo, el extremo ms pequeo posible de la extensin

9.Adems, se le considera

como uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. El punto esinfinitamente pequeo, no se le asigna ni longitud, ni anchura, ni espesor. El punto slo indicar una posicin en el espacio bidimensional o tridimensional, en funcin de un sistema de coordenadas preestablecido. Generalmente se representa por una pequea mancha redonda, sin embargo, esta forma de representacin no corresponde a la realidad puesto que la manchita o circulito siempre tiene una pequea superficie (rea). La forma geomtrica de representar un punto es mediante dos lneas que se intersecan o cortan, formando una pequea equis. Los puntos se denotarn por letras maysculas.

7 Geometra: Es la ciencia que tiene por objeto el estudio de las propiedades de las formas geomtricas y la medida de su

extensin, comprende la geometra plana y la geometra del espacio. Uno de los beneficios de la geometra es que el estudiante adquiere un criterio al escuchar, leer y pensar. Cuando se estudia geometra, se deja de aceptar a ciegas proposiciones e ideas y se acostumbra a pensar en forma clara y crtica, antes de hacer conclusiones.

8 Un Teoremaes la proposicin cuya verdad necesita ser demostrada: una vez que el teorema se ha probado se lo puede utilizar

para la demostracin de otros teoremas, junto con axiomas y postulados.

9 Se considera Extensin como la parte del espacio tridimensional ocupada por un cuerpo.


Algunospostulados o axiomas10

relacionados con el punto son:

El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos.

Dos puntos determinan una recta y slo una.

Una recta y un punto exterior a ella, determinan un plano al que pertenecen.

La recta determinada por dos puntos de un plano, pertenece al mismo plano.

Por un punto pasan infinitas rectas y planos.

A un plano o recta le pertenecen infinitos puntos y tambin, existen infinitos puntos exteriores a estos.

Tres puntos no alineados determinan un plano y slo uno. (Teorema)

La interseccin de los ejes de coordenados cartesianos es un punto denominado origen.

Definicin 2:Lnea.

La lnea es otro de los trminos in

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