mias 2 – chap. i & ii - page 1 physique mias2 physique ondulatoire ioscillateurs harmoniques...
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MIAS 2 – Chap. I & II - page 1
Physique MIAS2
Physique Ondulatoire
I Oscillateurs Harmoniques simples
II Oscillateurs harmoniques couplés
III Phénomènes de propagation
IV Ondes sonores
V Ondes lumineuses
VI Interférences et Diffraction
MIAS 2 – Chap. I & II - page 2
I Oscillateurs Harmoniques simples
I.1 Généralité : Quelques exemples d’oscillateurs
l
m
x
MK
C L
Pendule simple oscillant dans un plan
Petites oscillations :
d2dt2
gl
0
Masse glissante sans frottements
d2xdt2
KM
x0
Circuit LC
d2qdt2
1LC
q0
MIAS 2 – Chap. I & II - page 3
Caractéristiques communes à tous ces systèmes
Ils obéissent tous à la même équation du type :
C’est une équation d’oscillateur harmonique à un degré de liberté (équation différentielle du 2nd
ordre à coeff. csts)
Oscillations : compétition entre élasticité et inertie (oscillateur mécanique)
d2sdt2
0
2s0 avec 0
2 0
Définitions
Oscillateur libre : Oscillateur est placé hors équilibre et abandonné c-à-d à t > 0, on ne fournit
pas d’énergie à l’oscillateur.
Oscillateur à la fréquence propre
Oscillateur forcé : On impose la fréquence d’oscillations à l’aide d’un système extérieure qui
fournit d’énergie à l’oscillateur.
MIAS 2 – Chap. I & II - page 4
I.2 Oscillateurs libres non amorti (sans pertes)
x
MK
x0x(t)
R
P
F
HypothèsesPas de frottements
Masse du ressort négligeable
Oscillations le long de Ox
I.2.1 Equation du mouvement Solution
Md2xdt2
x
R
F
P
F K (x x0)
x
R
P
0
Md2xdt2
K (x x0)
On pose x- x0 =X allongement d2Xdt2
KM
X 0
initiales conditions lespar sdéterminée
nsintégratiod’ constantes dessont et A M
K avec tcosAtX
jM
Kj=r 0
M
K+r
tiquecaractérisEquation
00
02
Bilan des forces
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Mouvement harmonique (sinusoïdal)0 = pulsation0 = 2..f0 f0 = fréquenceA = Amplitude des oscillations = Phase à l’origine des temps
X tAcos0t avec 0 KM
I.2.2 Energie de l’oscillateur libre non amortiEchange entre deux forme d’énergie :
Energie cinétique de la masse M
Energie potentielle stockée dans le ressortCalcul de Ep
dWFdX dEp F dEpdX
et
F K.X K.Acos0t Ep1
2K.X2 1
2K.A2cos2 0t
Calcul de Ec
tAKEc
tAMEc
dt
dXMMvEc
022
022
02
22
sin..2
1
sin...2
1
.2
1
2
1
E Ec Ep12.A2.K 1
2.A2.M.0
2Si on néglige les pertes Etotale = Ec +Ep = ConstanteSystème conservatif
Ec0
EpK .A2
2
EcK .A2
2Ep0
EcK .A2
2Ep0
Ec0
EpK .A2
2
Ec EpK .A2
MIAS 2 – Chap. I & II - page 6
I.3 Oscillateurs libres amortis
I.2.1 Equation du mouvement Solution
Bilan des forces
Force élastique :F K(x x0)
x
Force de frottement : F f dx
dtx avec 0
R
P
0
Md2Xdt2
KX dXdt
d2Xdt2
M
dXdt
KM
X 0
Equation caractéristique
r2 +M
r KM
0
2.M
2
0
2
On suppose <0 cas oscillatoire uniquement
2.M
0 r=-
2.M j 0
2
2.M
2
Solution
X te-
2.M
tC1.e
j t C2.e j t avec 0
2
2.M
2
ou
X tA.e-
2.M
t.cos t
Coefficient d'amortissement : =
2.M
on a : C1 A2
.ej et C2 A2
.e j
Les constantes d'intégration sont déterminées
à l'aide des conditions initiales
e 2M
MIAS 2 – Chap. I & II - page 7
I.4 Oscillateurs harmoniques à 1 degré liberté forcé
On va donc exciter le système par une force extérieure dans le cas d’un système mécanique. Pour le cas électrique on intercalera un générateur de tension ou de courant.
I.4.1 Equation du mouvement
x
MK
Amortissement ()Force extérieure
F F0cost
Bilan des forces
Force élastique :F r K(x x0)
x
Force de frottement : F f dx
dtx avec 0
Force excitatrice : F F0cost
x R
P
0
d2Xdt2
M
dXdt
0
2X F0
Mcost avec 0 K
M
Solution mathématique = Solution générale + solution particulière
d2Xdt2
M
dXdt
0
2X 0
X X0cost
Cette solution est la superposition du mouvement libre (déjà étudié) et d’un terme d’oscillation forcé. Pour avoir le régime forcé il faut donc attendre que le régime propre d’oscillations soit amorti.
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Force appliquée : F F0cost F0ejt
Solution particulière : X X0cost X0.ej t
d2Xdt2
M
dXdt
0
2X F0
Mcost
2.X0.ej t j
MX0.e
j t 0
2.X0.e
j t F0
Mejt
X0.ej 2 j
M0
2
F0
M
X0.ej F0 M
2 j M
0
2
X0 F0
2
K M2 2 22
arctan
M2 K
Degré d’amortissement :
D 0
2
1MK
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II Oscillateurs Harmoniques couplés
II.1 Un cas simple à 2 degrés de libertés
y
x
M1 M2K KK
• Oscillations longitudinales : si on l’écarte de sa position d’équilibre suivant x’x
• Oscillations transversales : si on l’écarte de sa position d’équilibre suivant y’y ou z’z
MIAS 2 – Chap. I & II - page 10
II.1.1 Oscillations longitudinales
y
xx1 x2
a0a0 a0
K KKM1 M2
M d2x1
dt2 Kx1K x2 x1 1.a
M d2x2
dt2 Kx2 K x2 x1 1.b
En appliquant la RFD aux deux masses M1 et M2 :
M d2x1
dt2 2Kx1Kx2 (2.a)
M d2x2
dt2Kx1 2Kx2 (2.b)
ou
MIAS 2 – Chap. I & II - page 11
Le système différentiel obtenu (2) est un système couplé car les variables x1 et x2 apparaissent dans les 2 équations. On peut obtenir des équations indépendantes, en posant le changement de variable :
Sx1x2 et Dx1 x2
(2.a)+(2.b) Md2
dt2x1x2 Kx1 Kx2 =-K x1x2
(2.a)-(2.b) Md2
dt2x1 x2 3Kx13Kx2 =-3K x1 x2
M d2S
dt2 KS (3.a)
M d2Ddt2
3KD (3.b)
Donc le système (2) devient:
S tA1cos1t B1sin1t D tA2cos2t B2sin2t avec
1
2K
M
2
23K
M
Les solutions du système (3) sont :
MIAS 2 – Chap. I & II - page 12
Une autre solution aurait pu être :
S tA1cos1t1 D tA2cos2t2
Les constantes A1, B1, A2 et B2 (ou A1, 1, A2 et 2) sont déterminées à l’aide des conditions initiales. On abandonne généralement le système dans une position quelconque et sans vitesse.
à t0 x1 0 =A x2 0 =B
x 1 0 =0 x 2 0 =0
x1 tS tD t
21
2A1cos1t A2cos2t B1sin1t B2sin2t
x2 tS t D t
21
2A1cos1t A2cos2t B1sin1t B2sin2t
x 1 0 0 B11 B22 0
x 2 0 0 B11 B22 0
B1 B2 0
x1 tA1
2cos1t A2
2cos2t
x2 tA1
2cos1t A2
2cos2t
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Si par exemple on écarte de la même grandeur les masses M1 et M2 on obtient :
x1 0 A A1 A2
2A
x2 0 A A1 A2
2A
A1 A
A2 0
x1 tA
2cos1t
x2 tA
2cos1t
Dans le cas opposé, on écarte les masses M1 et M2 de quantité opposées à t=0 .
x1 0 A A1 A2
2A
x2 0 A A1 A2
2 A
A1 0
A2 A
x1 tA
2cos2t
x2 t A2
cos2t
Le mouvement des deux masses est
uniquement décrit par la pulsation 1
On excite dans ce cas
uniquement la pulsation 2
MIAS 2 – Chap. I & II - page 14
Représentation graphique des 2 solutions :
2 1
2K
M
2 2
23K
M
Mode 1:
Mode 2:
Ces deux cas particuliers représentent une base permettant de décrire toutes les oscillations possibles du système. On les appelle les modes normaux. Les pulsations sont appelées pulsations propres.
II.1.2 Oscillations transversales
On suppose qu’il n’y aura pas de mouvement suivant l’axe x’x, donc des mouvements purement transversaux. Ceci peut être obtenue facilement en faisant un trou dans chaque masse
et en mettant un axe pour empécher le déplacement horizontal.
MIAS 2 – Chap. I & II - page 15
y
x
y1y2
aa a
T0 T0T0M1 M2
Comme précédemment nous allons écrire la RFD pour les deux masses.
y1 y2
a a
l 1l2
T2T1
Md2y1
dt2 T1cos T2cos
Lorsque le système est à l’équilibre les ressorts ont tous la même tension :
T0 K a a0
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T1 K l1 a0 T2 K l2 a0
On peut facilement écrire T1 et T2 :
Md2y1
dt2 K y1
2a2 a0
cos K y1 y2 2 a2 a0
cos
On obtient donc :
Cette équation différentielle n’est pas linéaire. - termes en puissance de y1 et y2 - les coefficients ne sont pas constant (cos et cos).
Pour revenir au cas linéaire nous allons faire l’approximation des petites oscillations, c’est-à-dire que l’angle est petit ou encore que la longueur l du ressort lors du mouvement est très voisine de a.
T1cos K l1 a0 cos K l1 a0 y1
l1
Ky1 1 a0
l1
Ky1
aa a
a0
l 1
Ky1
aa a0
T1cos T0
ay1
On obtiendrait de la même façon :
T2cos T0
ay1 y2
MIAS 2 – Chap. I & II - page 17
Le système final est :
Md2y1
dt2 y1
T0
a T0
ay1 y2 = 2T0
ay1 +
T0
ay2 (4.a)
Md2y2
dt2 y2
T0
aT0
ay1 y2 =
T0
ay1 -
2T0
ay2 (4.b)
y1 tA1
2cos1t A2
2cos2t
y2 tA1
2cos1t A2
2cos2t
avec 1
2 T0
Ma
22
3T0
Ma
Les solutions sont
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Représentation graphique des 2 solutions :
2 1
2 T0
Ma
2 2
23T0
Ma
Mode 1 :
Mode 2 :
En regardant de plus près le système on aurait pu trouver directement les deux modes normaux du système oscillant.
Exercice : déterminer les modes normaux d’un système à 3 masses pour des mouvements purement transversaux ou longitudinaux.
MIAS 2 – Chap. I & II - page 19
II.1.3 Recherche générale des modes propres
Reprenons l’exemple des oscillations longitudinales (II.1.1). Pour chercher les modes propres, on substitue les solutions suivantes dans les équations du mouvement (2.a).
y
xx1 x2
a0a0 a0
K KKM1 M2
Md2x1
dt2 2Kx1 Kx2
Md2x2
dt2Kx1 2Kx2
x1 tA1cost1 et x2 tA2cost2
On utilise généralement la notation complexe pour la simplicité.
xi tAiej ti Aie
jt
M2 2K A1 K A2 0
K A1 M2 2K A2 0
On obtient un système de Kramer qui admet deux solutions : (représente la position d’équilibre et donc sans intérêt)
A1 A2 0
le déterminant du système est nul.
MIAS 2 – Chap. I & II - page 20
D M2 2K 2 K 2 M2 K M2 3K 0
1 K
M
2 3KM
Il faut donc annuler le déterminant :
On a donc retrouvé les deux pulsations propres. Pour = 1, le système se réduit à et les abscisses x1 et x2 sont d’amplitude égales et varient en phase. Pour = 2, le système se réduit à et là elles sont de même amplitudes mais en opposition de phase.
A1 A2
A1 A2
MIAS 2 – Chap. I & II - page 21
II.1.3 Oscillations forcées
Dans les deux cas précédents (II.1.1 et II.1.2), nous avons étudié le régime d’oscillations libres.
Aucune force extérieur n’est appliquée sur le système
Ici nous allons donc nous intéresser aux oscillations forcées. Prenons l’exemple des oscillations longitudinales et supposons que l’on applique une force F(t)=F0cost x sur M1. Le système différentiel s’écrit alors :
d2x1
dt2 2
KM
x1 KM
x2 +F0
Mcost (5.a)
d2x2
dt2K
Mx1 2
KM
x2 (5.b)
La solution de ce système est obtenue en superposant la solution de l’équation homogène et une solution particulière. L’équation homogène est l’équation ne faisant apparaître que des termes où les variables d’espaces sont présentes, donc la solution homogène a déjà été déterminée au paragraphe II.1.1. Il faut juste déterminer une solution particulière.
MIAS 2 – Chap. I & II - page 22
Généralement on prend comme fonction d’essai une fonction semblable à F(t) ou encore :
F t Fonction d’essai
x2 4 Ax2 + Bx + C
cost Acos t + sint Asin t + 4cos1t + 5sin1t Acos 1t +1 + Bsin 2t +2
x1 tx10cost1 et x2 tx20cost2 Donc on va choisir pour fonction d’essai :
x1 t x10ej t1 X10e
jt
x2 t x20ej t 2 X20e
jt
Pour simplifier les calculs, on va utiliser la notation complexe :
F t F0
Me jt
La force excitatrice s’écrit :
MIAS 2 – Chap. I & II - page 23
2X10ejt 20
2X10e
jt 0
2X 20e
jt =F0
Mejt
2X 20ejt 20
2X 20e
jt 02X10e
jt =0
Le système (5) devient :
0
2=
KM
avec
20
2 2
X10 0
2X 20F0
M 0
2X10 20
2 2
X 20 0
Finalement : Pour
2 202
X10 =F0
M
20
2 2
30
2 2
0
2 2
x1 tF0
M
20
2 2
30
2 2
0
2 2
cost
X 20 =F0
M0
2
30
2 2
0
2 2
x2 tF0
M0
2
30
2 2
0
2 2
cost
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Pour
2 202
X10 =0
X 20 =-F0
M0
2
Les amplitudes deviennent infinies pour les pulsations propres
Fréquences ou pulsations de résonance
02 et 30
2.
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II.2 Passage à la limite : Système continu
II.2.1 Mouvements longitudinaux : Cas de N oscillateurs non-amortis
xxn-1
K KMn-1 Mn Mn+1
xn+1xn
Intéressons nous au mouvement de la masse Mn
Md2xn
dt2 K xn xn1 K xn1 xn
d2xn
dt20
2xn1 20
2xn 0
2xn1 avec 0
2K
M
RFD
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Supposons maintenant que les différentes masses sont soumises à de faibles oscillations, c’est-à-dire que le mouvement de chaque masse est petit.
La distance entre les différentes masses est pratiquement constante et égale à celle au repos a0.
On peut donc poser :
xn tu x,t xn1 tu x a0,t xn1 tu xa0,t
a0 étant petit on peut utiliser un développement limité pour exprimer
u x a0,t et u xa0,t
u x a0,t u x,t a0ux
a0
2
22u
x2
u xa0,t u x,t a0ux
a02
22u
x2
2u x,t t2
0
2u x a0,t 20
2u x,t 0
2u xa0,t
L’équation différentielle devient
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2u x,t
t20
2a0
2 2u x,t x2
Finalement :
Cette équation est dite d’Alembert ou équation de propagation. On peut voir que le terme est homogène à une vitesse.
En posant , on peut écrire l’équation de propagation unidimensionnelle de la grandeur u(x,t) à la vitesse c .
02a0
2
c2 02a0
2
2u x,t
t2c2 2u x,t
x2
Exercice : montrer que est homogène a une vitesse.
0a0
MIAS 2 – Chap. I & II - page 28
II.2.1 Mouvements transversaux : Cas d’une corde vibrante
Prenons comme exemple une corde faiblement extensible de longueur l et de masse linéique . Elle est tendue par une force appliquée à son extrémité droite.
y
y(x,t)
équilibre
F
F
Pour déterminer l’équation du mouvement des différents points de la corde au voisinage de l’équilibre. On négligera le poids de la corde devant . On se limite à des petits mouvements transversaux.
F
MIAS 2 – Chap. I & II - page 29
Considérons un élément infinitésimal de la corde :
y
x
A
B
-T(x,t)
T(x+dx,t)
x x+dx
y(x+dx,t)
y(x,t) (x,t)
Le point d’abscisse x (A) subit l’action de la partie gauche de la corde :
T x,t
T xdx,t Le point d’abscisse x+dx (B) subit l’action de la partie droite de la corde :
RFD
dx2y x,t
t2 y
T xdx,t
T x,t
T
xdx
MIAS 2 – Chap. I & II - page 30
Tx
x0
Tcos x
Tx
0 (6.a)
Ty
x
2y x,t t2
Tsin
x
T x
2y x,t
t2 (6.b)
En projetant sur les axes on a :
(6.a) montre que T est indépendant de x : Donc la valeur de la tension est calculée en se plaçant à l’extrémité droite de la corde :
T x,t T t
T tF
2y x,t
t2T
x
F x
On sait que
tg yx
2y x,t t2
F
2y x,t x2
Equation d’Alembert ou de propagation
Excercice : Montrer que est homogène à une vitesse.
F