michael wiper departamento de estadística universidad...
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Probabilidad
Michael Wiper
Departamento de Estadística
Universidad Carlos III de Madrid
M. Wiper Estadística 1 / 15
Objetivo
Introducir el concepto y las leyes de la probabilidad y sus interpretaciones.
M. Wiper Estadística 2 / 15
Idea de la probabilidad
La vida cotidiana está llena de sucesos aleatorios: accidentes de tráco, incendiosforestales ...
Utilizamos palabras que reejan incertidumbre como posible, probable, casi cierto.
No obstante, palabras son muy imprecisas y es importante cuanticar el grado deincertidumbre inherente en un suceso.
Luego buscamos una medida numérica de incertidumbre: la probabilidad.
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Idea de la probabilidad
La vida cotidiana está llena de sucesos aleatorios: accidentes de tráco, incendiosforestales ...
Utilizamos palabras que reejan incertidumbre como posible, probable, casi cierto.
No obstante, palabras son muy imprecisas y es importante cuanticar el grado deincertidumbre inherente en un suceso.
Luego buscamos una medida numérica de incertidumbre: la probabilidad.
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Idea de la probabilidad
La vida cotidiana está llena de sucesos aleatorios: accidentes de tráco, incendiosforestales ...
Utilizamos palabras que reejan incertidumbre como posible, probable, casi cierto.
No obstante, palabras son muy imprecisas y es importante cuanticar el grado deincertidumbre inherente en un suceso.
Luego buscamos una medida numérica de incertidumbre: la probabilidad.
M. Wiper Estadística 3 / 15
Idea de la probabilidad
La vida cotidiana está llena de sucesos aleatorios: accidentes de tráco, incendiosforestales ...
Utilizamos palabras que reejan incertidumbre como posible, probable, casi cierto.
No obstante, palabras son muy imprecisas y es importante cuanticar el grado deincertidumbre inherente en un suceso.
Luego buscamos una medida numérica de incertidumbre: la probabilidad.
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Conceptos fundamentales
Supongamos que vamos a realizar un experimento aleatorio y estamos interesadosen la probabilidad de que ocurra un determinado suceso.
Experimento: preguntar a un ciudadano español adulto su opinión sobre la GC.
Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles respuestas a la pregunta
Ω = muy negativa, negativa, indiferente, positiva, muy positiva, NS, NC
Suceso elemental: es un resultado básico del experimento, positiva.Suceso compuesto: expresar una opinión favorable sobre la GC
F = positiva, muy positiva
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Axiomas de la probabilidad
En principios del siglo pasado, Kolmogorov derivó tres axiomas mátematicas en lasque se basan toda la teoría de la probabilidad.
Axioma 1: Para cualquier suceso S , la probabilidad de S es P(S) ≥ 0.
Probabilidades son no-negativas.
Axioma 2: Para el suceso seguro, Ω, se tiene P(Ω) = 1.
La probabilidad de que uno de los posibles resultados ocurra es 1.
Axioma 3: Si S1, S2, ... son sucesos mutuamente incompatibles entonces
P(S1 ∪ S2 ∪ · · · ) =∑
i
P(Si ).
Si cualquier dos de los sucesos S1, S2, ... no pueden ocurrir a la vez entonces laprobabilidad de que ocurra por lo menos uno de ellos es la suma de susprobabilidades individuales.
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Axiomas de la probabilidad
En principios del siglo pasado, Kolmogorov derivó tres axiomas mátematicas en lasque se basan toda la teoría de la probabilidad.
Axioma 1: Para cualquier suceso S , la probabilidad de S es P(S) ≥ 0.
Probabilidades son no-negativas.
Axioma 2: Para el suceso seguro, Ω, se tiene P(Ω) = 1.
La probabilidad de que uno de los posibles resultados ocurra es 1.
Axioma 3: Si S1, S2, ... son sucesos mutuamente incompatibles entonces
P(S1 ∪ S2 ∪ · · · ) =∑
i
P(Si ).
Si cualquier dos de los sucesos S1, S2, ... no pueden ocurrir a la vez entonces laprobabilidad de que ocurra por lo menos uno de ellos es la suma de susprobabilidades individuales.
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Axiomas de la probabilidad
En principios del siglo pasado, Kolmogorov derivó tres axiomas mátematicas en lasque se basan toda la teoría de la probabilidad.
Axioma 1: Para cualquier suceso S , la probabilidad de S es P(S) ≥ 0.
Probabilidades son no-negativas.
Axioma 2: Para el suceso seguro, Ω, se tiene P(Ω) = 1.
La probabilidad de que uno de los posibles resultados ocurra es 1.
Axioma 3: Si S1, S2, ... son sucesos mutuamente incompatibles entonces
P(S1 ∪ S2 ∪ · · · ) =∑
i
P(Si ).
Si cualquier dos de los sucesos S1, S2, ... no pueden ocurrir a la vez entonces laprobabilidad de que ocurra por lo menos uno de ellos es la suma de susprobabilidades individuales.
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Axiomas de la probabilidad
En principios del siglo pasado, Kolmogorov derivó tres axiomas mátematicas en lasque se basan toda la teoría de la probabilidad.
Axioma 1: Para cualquier suceso S , la probabilidad de S es P(S) ≥ 0.
Probabilidades son no-negativas.
Axioma 2: Para el suceso seguro, Ω, se tiene P(Ω) = 1.
La probabilidad de que uno de los posibles resultados ocurra es 1.
Axioma 3: Si S1, S2, ... son sucesos mutuamente incompatibles entonces
P(S1 ∪ S2 ∪ · · · ) =∑
i
P(Si ).
Si cualquier dos de los sucesos S1, S2, ... no pueden ocurrir a la vez entonces laprobabilidad de que ocurra por lo menos uno de ellos es la suma de susprobabilidades individuales.
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Probabilidad y diagramas de Venn
Se puede ilustrar las reglas básicas de la probabilidad con un diagrama de Venn.Areas en el diagrama equivalen a probabilidades.
Supongamos que el área del rectangulo es 1.
Para cualquier suceso S tenemos 0 ≤ P(S) ≤ 1.
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Probabilidad y diagramas de Venn
Se puede ilustrar las reglas básicas de la probabilidad con un diagrama de Venn.Areas en el diagrama equivalen a probabilidades.
Supongamos que el área del rectangulo es 1.
Para cualquier suceso S tenemos 0 ≤ P(S) ≤ 1.
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Probabilidad y diagramas de Venn
Se puede ilustrar las reglas básicas de la probabilidad con un diagrama de Venn.Areas en el diagrama equivalen a probabilidades.
Supongamos que el área del rectangulo es 1.
Para cualquier suceso S tenemos 0 ≤ P(S) ≤ 1.
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Probabilidad y diagramas de Venn
La probabilidad de que no ocurra S es
P(S) = 1− P(S).
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Probabilidad y diagramas de Venn
Si S1, S2, S3 son incompatibles
P(S1 ∪ S2 ∪ S3) = P(S1) + P(S2) + P(S3)
En lengua cotidiana ∪ es o: S1 ∪ S2 implica por lo menos uno de los dos sucesosocurren.
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Probabilidad y diagramas de Venn
Si S1, S2 no son incompatibles
P(S1 ∪ S2) = P(S1) + P(S2)− P(S1 ∩ S2)
En lengua cotidiana ∩ es y: S1 ∩ S2 implica que los dos sucesos ocurren.
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Ejemplo
La siguiente tabla representa las respuestas y porcentaje de encuestados para unapregunta sobre fraude scal en el último barómetro del CIS.
Si se elige uno de los encuestados al azar, ¾cuál es la probabilidad de que dije quehabía mucho fraude scal?
¾Y la probabilidad de que dije bastante?
¾Y la probabilidad de que no dije bastante?
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Ejemplo
La siguiente tabla representa las respuestas y porcentaje de encuestados para unapregunta sobre fraude scal en el último barómetro del CIS.
Si se elige uno de los encuestados al azar, ¾cuál es la probabilidad de que dije quehabía mucho fraude scal?
¾Y la probabilidad de que dije bastante?
¾Y la probabilidad de que no dije bastante?
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Ejemplo
La siguiente tabla representa las respuestas y porcentaje de encuestados para unapregunta sobre fraude scal en el último barómetro del CIS.
Si se elige uno de los encuestados al azar, ¾cuál es la probabilidad de que dije quehabía mucho fraude scal?
¾Y la probabilidad de que dije bastante?
¾Y la probabilidad de que no dije bastante?
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Interpretaciones de la probabilidad
La formulación de Kolmogorov es puramente matemática pero necesitamosrelacionar la probabilidad a la vida real.
Hay tres interpretaciones típicas:
Probabilidad clásica.
Probabilidad frecuentista.
Probabilidad subjetiva.
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Probabilidad clásica
Considera un experimento para el que todos los sucesos elementales sonequiprobables. Si tenemos K sucesos elementales, entonces la probabilidad de unsuceso S es
P(S) =1
K× el número de sucesos elementales en S
¾Cuál es la probabilidad de que en dos tiradas de una moneda equilibrada sesaquen una cara y una cruz?
Ω = (cruz, cruz), (cruz, cara), (cara, cruz), (cruz, cruz)S = (cruz, cara), (cara, cruz
P(S) =2
4=
1
2
En el ejemplo sobre la opinión sobre la GC, ¾es razonable suponer que todas lasposibles respuestas son equiprobables?
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Probabilidad clásica
Considera un experimento para el que todos los sucesos elementales sonequiprobables. Si tenemos K sucesos elementales, entonces la probabilidad de unsuceso S es
P(S) =1
K× el número de sucesos elementales en S
¾Cuál es la probabilidad de que en dos tiradas de una moneda equilibrada sesaquen una cara y una cruz?
Ω = (cruz, cruz), (cruz, cara), (cara, cruz), (cruz, cruz)S = (cruz, cara), (cara, cruz
P(S) =2
4=
1
2
En el ejemplo sobre la opinión sobre la GC, ¾es razonable suponer que todas lasposibles respuestas son equiprobables?
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Probabilidad clásica
Considera un experimento para el que todos los sucesos elementales sonequiprobables. Si tenemos K sucesos elementales, entonces la probabilidad de unsuceso S es
P(S) =1
K× el número de sucesos elementales en S
¾Cuál es la probabilidad de que en dos tiradas de una moneda equilibrada sesaquen una cara y una cruz?
Ω = (cruz, cruz), (cruz, cara), (cara, cruz), (cruz, cruz)S = (cruz, cara), (cara, cruz
P(S) =2
4=
1
2
En el ejemplo sobre la opinión sobre la GC, ¾es razonable suponer que todas lasposibles respuestas son equiprobables?
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Probabilidad frecuentista
Si repetimos el experimento muchas veces, la frecuencia (relativa) con que ocurreel suceso sería una aproximación a la probabilidad
Probabilidad = el valor límite de la frecuencia
¾Es fácil pensar en innitas repeticiones de situaciones como escenarios decrimenes?
M. Wiper Estadística 13 / 15
Probabilidad frecuentista
Si repetimos el experimento muchas veces, la frecuencia (relativa) con que ocurreel suceso sería una aproximación a la probabilidad
Probabilidad = el valor límite de la frecuencia
¾Es fácil pensar en innitas repeticiones de situaciones como escenarios decrimenes?
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Probabilidad subjetiva
¾Cuál es la probabilidad de que el sospechoso de cometer un crimen lo hizo?
Cada persona puede tener su propia probabilidad que reeja sus conocimientos,experiencia, ...
Lo único que importa es que las probabilidades subjetivas son coherentes.
¾Este tipo de probabilidad es fácil de aplicar en los tribunales?
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Probabilidad subjetiva
¾Cuál es la probabilidad de que el sospechoso de cometer un crimen lo hizo?
Cada persona puede tener su propia probabilidad que reeja sus conocimientos,experiencia, ...
Lo único que importa es que las probabilidades subjetivas son coherentes.
¾Este tipo de probabilidad es fácil de aplicar en los tribunales?
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Probabilidad subjetiva
¾Cuál es la probabilidad de que el sospechoso de cometer un crimen lo hizo?
Cada persona puede tener su propia probabilidad que reeja sus conocimientos,experiencia, ...
Lo único que importa es que las probabilidades subjetivas son coherentes.
¾Este tipo de probabilidad es fácil de aplicar en los tribunales?
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Resumen y siguiente sesión
En esta sesión hemos introducido las leyes básicas de la probabilidad y susinterpretaciones más usuales.
En la siguiente sesión ilustramos como cambiar la probabilidad en luz de nuevainformación.
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