Michel MIZONYUniversité Lyon1

Institut Camille Jordan et IREM de Lyon

En résumé, de quelque façon qu'on se retourne, il est impossible de découvrir à l'empirisme géométrique un sens raisonnable. H. Poincaré

Sur le pluralisme théorique : de Kant à Poincaré

Ou comment gérer des paradoxes en sciences

Dire 1 : « …espace et temps sont les cadres a priori de toute description de notre expérience. » E. KANT

Dire 1 : « …espace et temps sont les cadres a priori de toute description de notre expérience. » E. KANT

Dire 2 : «  L'expérience ne peut décider entre Euclide et Lobatchevsky. Les expériences ne nous font connaître que les rapports des corps entre eux ; aucune d'elles ne porte, ni ne peut porter, sur les rapports des corps avec l'espace, ou sur les rapports mutuels des diverses parties de l'espace. » H. POINCARE

Dire 1 : « …espace et temps sont les cadres a priori de toute description de notre expérience. » E. KANT

Dire 2 : «  L'expérience ne peut décider entre Euclide et Lobatchevsky. Les expériences ne nous font connaître que les rapports des corps entre eux ; aucune d'elles ne porte, ni ne peut porter, sur les rapports des corps avec l'espace, ou sur les rapports mutuels des diverses parties de l'espace. » H. POINCARE

Synthèse : "Consécutivement, et même synchroniquement, on constate de nombreux cas où l'explication scientifique admet plusieurs modèles pour un même domaine phénoménal. Cette pluralité est-elle le signe que nous n'atteignons jamais que des apparences ? ""La vérification scientifique, outre son sens trivial d'élimination des illusionset des erreurs immédiatement décelables, consiste donc en une mise à l'épreuve, le plus souvent très médiate, d'un parti pris de représentation de l'expérience." G.-G. GRANGER

La question épistémologique

• qui est mise en évidence provient des flèches horizontales b), c) et e).

• Les flèches a) et d) sont claires, l’une relevant de la physique et l’autre des mathématiques.

• Pour b), c) et e) qui relèvent à la fois d’un travail de physicien et de celui d’un mathématicien,

• il y a choix et traduction donc toutes les possibilités de non-sens, contresens, fautes de syntaxe, faux amis etc.

Dans toute modélisation il y a un choix a priori de l’espacemathématique servant à repérer l’ensemble des phénomènes. En aucun cas il ne peut être identifié au réel-phénoménal de la physique.

espace de repérage mathématique -------- domaine phénoménal, traduit (actualise ?) le dire de Kant

« espace et temps sont les cadres a priori de toute description de notre expérience. »

Plusieurs modélisations équivalentes de la relativité restreinte d’Einstein

1- Einstein a fait le choix en 1905 deprendre pour espace mathématique l’espace R4, muni de la métrique dite de Minkowski. L’espace associé est un ”éther géométrique”.

2- Soit R4 sur lequel vit le lagrangien Ce lagrangien est invariant par les transformations de Lorentz et plus généralement par le groupe de ... Poincaré.

3- et 4- R4 non standard avec métrique ou lagrangien. Cf. Leibniz (intuitif), Tarski (logique, métamathématique)), Robinson (pragmatique); ceci ruine définitivement la croyance en l’existence, en soi, du temps ! (rien que sur ce sujet, trop méconnu, il y a de quoi faire des heures de conférences; cela va bien plus loin que Gödel, au niveau des conséquences).

5- Varicak prend la géométrie de Lobatchevski, en 1910.

Etc.

6- On prend les décimaux à 10 chiffres, Dx à la place de dx, etc.

L’espace-temps est-il courbe, plat, discret, continu, fractal, à 6, 10 ou 28 dimensions, etc. ?

Pour Poincaré cette question n’a pas de sens ! car le choix d’un espace-temps est une convention, plus ou moins commode (pour employer ses mots).Mais on peut dire que :

Dans la modélisation d’Einstein, tout se passe comme si la matière courbe l’espace-temps.Dans la modélisation de Newton-Lagrange-Lorentz, tout se passe comme si la matière déforme les trajectoires.Dans la modélisation de J.M. Souriau, équivalente aux deux précédentes et définie sur un espace de dimension 6, tout se passe comme si nous «ressentions les choses » comme des chauves-souris.

Mais chut, il est vraiment inconvenant de dire cela aujourd’hui, tellement la croyance implicite qu’il existe LE bon modèle sévit dans le milieu scientifique.

Alors, modélisations contradictoires ou complémentaires ?

Du contradictoire à la complémentarité

• Si il y a unicité d’un domaine phénoménal, il y a multiplicité des espaces mathématiques (et des modélisations) pouvant exprimer un domaine de la physique (c’est ce que Poincaré nomme le pluralisme théorique),

• de plus ces modélisations, conceptuellement différentes

mais prédictivement équivalentes s’éclairent l’une l’autre; elles sont complémentaires.

Le segment de droite

• Est le chemin le plus court entre deux points de l’espace (usuel).

Le segment de droite

• est le chemin le plus court entre deux points de l’espace (usuel),

• et c’est le chemin le plus économe entre ces deux points (G. Longo).

Le segment de droite

• est le chemin le plus court entre deux points de l’espace (usuel);

• et c’est le chemin le plus économe entre ces deux points (G. Longo);

• court : minimalisation de la distance, et économe : minimalisation de l’énergie,

sont complémentaires.

Le segment de droite

• est le chemin le plus court entre deux points de l’espace (usuel);

• et c’est le chemin le plus économe entre ces deux points (G. Longo);

• court : minimalisation de la distance, et économe : minimalisation de l’énergie,sont complémentaires.

• court : approche du physicien Einstein (géométrique), et économe : approche du mathématicien Poincaré (énergétique), pour établir la relativité !

• Vive la complémentarité.

complémentarité

Domaine phénoménal

(particulaire)

Modèle 1(onde)

Modèle 2(corpuscule)

Modèle n(onde et corpuscule)

Notes: 1- dans chacun des modèles, logique d’Aristote

2- la logique du contradictoire ne peut fonctionner dans l’ensemble des modèles

3- tout modèle est construction de l’esprit humain

Moralité ou conclusion

• Il existe toujours une multiplicité de modélisations équivalentes d’un même domaine phénoménal. Ces modélisations sont mathématiquement équivalentes et expérimentalement indiscernables, mais conceptuellement très différentes autrement dit elles s’éclairent l’une l’autre.

• Choisir une modélisation, c’est choisir un éther (au sens de Poincaré), support de l’intuition scientifique.

• C’est le sens profond du 5ème axiome d’Euclide (axiome des parallèles) comme l’a si bien exprimé G. G. Granger.

• C’est un apport épistémologique fondamental fait par Poincaré et malheureusement … oublié.

Poincaré « La valeur de la science »• {Or les nombres que le physicien mesure par

l'expérience ne lui sont jamais connus qu'approximativement; et, d'autre part, une fonction quelconque diffère toujours aussi peu que l'on veut d'une fonction discontinue, et en même temps elle diffère aussi peu que l'on veut d'une fonction continue. Le physicien peut donc supposer à son gré, que la fonction étudiée est continue, ou qu'elle est discontinue; qu'elle a une dérivée ou qu'elle n'en a pas; et cela sans crainte d'être jamais contredit, ni par l'expérience actuelle, ni par aucune expérience future.}

• {En résumé, tout ce que crée le savant dans un fait, c'est le langage dans lequel il l'énonce. S'il prédit un fait, il emploiera ce langage, et pour tous ceux qui sauront le parler et l'entendre, sa prédiction est exempte d'ambiguïté.}

Espace et temps n’ont pas de réalité physique

- Zénon et Aristote, St Augustin- Avicenne, Thomas d’Aquin

- Leibniz, ….- Kant- Calinon, Poincaré, Rougier- Puis presque plus rien depuis 1913 …- Gonseth (1926), Souriau (1970)

- G. G. Granger (1992), J. Petitot

ARISTOTE : « Le temps est le nombre du mouvement »

AVICENNE (930-1037)

« L'espace est une forme déduite de la matière et existant uniquement dans la conscience »

Thomas d'Aquin a repris les positions d'Aristote et d'Avicenne

Pour Leibniz et Kant ces concepts de temps et d’espace sont liés entre eux et sont des méta concepts, ils ne peuvent s'exprimer qu'en référence à eux-mêmes. "L'ordre des successions reçoit sa raison d'être de ce qui se succède, l'ordre des coexistences reçoit sa raison d'être de ce qui coexiste". (Gilles Deleuze)

Donc une vieille tradition qui affirme, de différentes manières, que les concepts de temps et d'espace sont des concepts issus de l'esprit humain, des mots d'un langage, pour se situer, décrire, prédire, échanger et transmettre des savoirs.

Tirages au sort et ”la loi des grands nombres”.

Et l’éther de Poincaré?

• Un éther est la réification (la chosification) d’un espace mathématique utilisé pour étudier un domaine phénoménal.

• Et si il y a unicité d’un domaine phénoménal, il y a multiplicité des espaces mathématiques pouvant exprimer un domaine de la physique, donc multiplicité des éthers possibles (c’est ce que Poincaré nomme le pluralisme théorique).

• Mais Poincaré ajoute que, même si un éther est un produit de l’esprit humain, il est utile et inévitable comme support de l’intuition scientifique.

Oubli !Pourquoi les percées épistémologiques fondamentales de Kant et de Poincaré sont-elles non comprises et oubliées aujourd’hui ?

Ebla, 2300 ans avant J.C.

Références ?• La science et l’hypothèse, la valeur de la

science, son article de 1905, etc. de Poincaré.

• La thèse (1755), l’HDR (1770), la Critique de la raison pure etc. de Kant.

• Des tas d’auteurs, en vrac : J.M. Souriau, J.M. Levy-Leblond, G.G. Granger, Gonseth, A. Calinon, G. Longo, L. Smolin, Y. Ly, A. Einstein, Zénon (via M. Fréchet et Caveing) etc.

• St-Augustin avec ses trois derniers chapitres des confessions.

Eléments bibliographiques :F. Gonseth : "Les fondements des mathématiques : de la géométrie d'Euclide à la Relativité Générale et à l'Intuitionnisme", Albert Blanchard, 1926 (1974).G. G. Granger : La vérification; O. Jacob, (1992).G. G. Granger : Philosophie, langage, science; EDP Sciences (2003).E. Kant : Oeuvres Philosophiques, bibliothèque de La Pléiade, éditions Gallimard, (1980).E. Kant : Premiers principes métaphysiques de la science de la nature; librairie philosophique J. Vrin Paris, (1990).E. Klein : Le facteur temps, Flammarion, 2007.M. Mizony "L'héritage de Poincaré : de l'éther à la modélisation", Repères IREM n° 64, (juillet 2006) pp. 91-111.H. Poincaré : "La science et l'hypothèse", Flammarion (1902), édition 1968.L. Smolin : " Rien ne va plus en physique! L'échec de la théorie des cordes", Dunod, Paris, (2007).