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Microondas I
Prof. Fernando Massa Fernandeshttps://www.fermassa.com/microondas-i.php
Sala 5017 [email protected]
Aula 19
Exercícios selecionados do capítulo 2
Prova P.2 – Capt. 2 (exercícios propostos e exemplos)
Dia 11/07 (Quarta)
i) Cálculo dos parâmetros de circuito da linha (R,G,C,L)
ii) Linha fendida – Carta de Smith
iii) Cálculo da atenuação (alfa-dB) – Difer. Métodos
iv) Casamento de impedância
v) Transferência de potência
Microondas I
2.1 / 2.3 / 2.8 / 2.9 / 2.11/ 2.16 / 2.20 / 2.23 / 2.29
Microondas I
2.4 – Carta de Smith
* Correlação gráfica de três circulos:
1. →
2. → Circulo de res. const. ‘rL’
3. → Circulo de reat. const. ‘xL’
Γ = Γr+ jΓi = |Γ|.e jθ
Raio = (1
1+r L
)
Raio = (1x L
)
zIN = 1+|Γ|e jθ
1−|Γ|e jθ = r L+ jx L
Revisão
2.4 – Carta de Smith
Microondas I
* Giro na direção do gerador.
⇒ Z in=Z01zL
⇒ z in=1zL
= yL → Igual aadmitância normalizada
∓180o≡(Δ ŀ = λ /4 = 0,25λ)
* Carta de Smith de admitância → Giro a carta de 180°
Revisão
2.5 – Transformador Quarto-de-onda
Microondas I
* Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda.
→ Com o acoplador ideal devemos obter Γin = 0!
→ Assumindo impedância real na carga (RL)
Z in = RL+ j Z1 tan (β ŀ )Z1+ j RL tan (β ŀ )
.Z1
Quando l = λ/4 ⤇ βl = π/2 ⤇ tan(βl ) → ∞
Z in = Z1
2
RL
Γ in = Z in−Z0
Z in+Z 0
= 0 ⇒Z in = Z0 ⇒ Z1 = √Z0 . RL
“Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha”
Γ in = Z in−Z0
Z in+Z 0
Para que
Revisão
2.5 – Transformador Quarto-de-onda
Microondas I
* Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda.
→ Sempre que introduzir a fase βl = π/2 + nπ (n = 1,2,3,…) (Z0)
→ O acoplador funcionara para múltiplos imparesda frequência fundamental (f0 = vp / λ0):
Z1 = √Z0 . RL
“Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha”
Γ in = 0
f = f0f = 3.f0f = 5.f0f = 7.f0...
Revisão
2.5 – Transformador Quarto-de-onda
Microondas I
* O transformador quarto-de-onda assume que ZL é real (ZL = RL).
→ Mas posso tornar qualquer valor ZL em real (RL)por meio da inclusão de um certo incrementono comprimento da linha de transmissão.
→ Na carta de Smith, ZL = rL + ixL
“Giro Δθ = Δl na direção do gerador (sent. hor.)até que a componente complexa seja nula (Im(z) =0)
ZL→ RL
ZL
Δl
Revisão
2.6 – Descasamento entre gerador e carga (sem perdas)
Microondas I
* Modelo geral: Casos em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador.
Zg→ Impedância série (Impedânciade saída)do gerador
Tensão na entrada da linha:
V (−l)=V in=V g
Z in
Z in+Zg
I (−l)=I in=V 0
+
Z0
(eiβl−Γl e−iβ l)
V (−l)=V in=V 0+(eiβl+Γ l e
−iβ l)
Solução geral na entrada da linha:
Tensão da onda incidente na carga:
V 0+=V g
Z0
Z0+Zg
e−iβ l
(1−ΓlΓg e−2 iβ l)
Revisão
V (z)=V 0+(e−i β z+Γl e
iβ z)
I (z )=V 0
+
Z0
(e−iβ z−Γl eiβ z)
2.6 – Descasamento entre gerador e carga (sem perdas)
Microondas I
* Modelo geral:
Casos em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:
→ Duas reflexões
Tensão na entrada da linha:
V (−l)=V in=V g
Z in
Z in+Zg
Tensão da onda incidente na carga:
V 0+=V g
Z0
Z0+Zg
e−iβ l
(1−ΓlΓg e−2 iβ l)
O coeficiente de reflexão olhando na direção do gerador →
Zg→ Impedância série (Impedânciade saída)do gerador
Revisão
2.6 – Descasamento entre gerador e carga
Microondas I
* Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:
→ Potência transferida para a linha
P = 12ℜ(V in I in
*) I in =
V in
Z in
P =12|V in|
2ℜ(
1Z in
)
V in = V g
Z in
Z in+Z g
** Como Zg é fixa (gerador), devemos encontrar o valor de Zin que maximiza a potencia entregue pelo gerador.
P =12|V g|
2| Z in
Z in+Z g|2
ℜ(1Z in
)
Revisão
2.6 – Descasamento entre gerador e carga
Microondas I
* Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador:
Casos especiais:
→ Acoplamento conjugado ( Zin = Zg* )
P = 12|V g|
2 R in
(R in+Rg)2+(X in+Xg)
2
Potência entregue máxima (ideal) →
R in = Rg X in = −Xg
P = 18|V g|
2
Rg
“Quanto menor o valor de Rg do gerador melhor será a eficiência”
Revisão
2.7 – Linha de transmissão com perdas
Microondas I
* Quando o comprimento não é muito longo, frequentemente podemos desprezar as perdas em alta frequência:
Com perdas:
→ γ = α+iβ = √(R+ jω L)(G+ jωC)
Z0 = R+ jω L
γ = √ R+ jω LG+ jωC
γ = √( jω L)( jωC )(1+R
jω L)(1+
GjωC
) = jω√LC √1− j (Rω L
+GωC
)−RG
ω ² LC
Revisão
2.7 – Linha de transmissão com perdas
Microondas I
Baixa perda (alta frequência):
→
→
= α + jβ
⇒ RG
ω ² LC~ 0
Revisão
2.7 – Linha de transmissão com perdas
Microondas I
Exemplo:
Utilizando os resultados do exercício 2.3, determine a constante de atenuação da linha coaxial na aproximação de baixa perda e sem aproximação. Compare os resultados.
γ=α+iβ=√(R+ jω L)(G+ jωC )
Revisão
2.7 – Linha sem distorções
Microondas I
Distorção → β (geral) não é linear com a frequência (ω) como em
Geral
= α + iβ
β = ω√LC v f = ω/β
β = aω (linear em' ω ' ) ⇒ v p (constante )
Velocidade de fase →
β , Nãolinear ⇒ v p , varia com ω
Componentes do sinal com freq diferentes chegam em momentos diferentes no receptor→ (Distorção do sinal)
Linha sem distorção → RL
= GC
⇒β = ω√LC
2.7 – Linha com perdas carregada
Microondas I
Baixa perda → Z0≃√ LC
Na distância ‘l’ da carga ‘ZL’,
V (−l)=V in=V 0+(eγ l+Γe−γ l)
I (−l )=I in=V 0
+
Z0
(eγ l−Γe−γ l)
V (−l)=V in=V g
Z in
Z in+Zg
=Z01+Γe−2 γ l
1−Γe−2γ l
2.7 – Potência entregue na linha (Pin)
Microondas I
PIN = 12ℜ[V (−l) I (−l)*
]
γ = α+iβ
V (−l)=V in=V 0+(eγ l+Γe−γ l)
I (−l)=I in=V 0
+
Z0
(eγ l−Γe−γ l)
V 0+=V g
Z0
Z0+Z g
e−γ l
(1−ΓlΓg e−2γ l)
2.7 – Potência entregue na linha (Pin)
Microondas I
PIN = 12ℜ[V (−l) I (−l)*
]
γ = α+iβ
V (−l)=V in=V 0+(eγ l+Γe−γ l)
I (−l)=I in=V 0
+
Z0
(eγ l−Γe−γ l)
V 0+=V g
Z0
Z0+Z g
e−γ l
(1−ΓlΓg e−2γ l)
=|V in
+|2
2 Z0
(1−|Γ(l)|2)
2.7 – Potência entregue na linha (Pin)
Microondas I
PIN = 12ℜ[V (−l) I (−l)*
]
γ = α+iβ
Potência entregue na carga (ZL)
Perda de potência na linha
V (−l)=V in=V 0+(eγ l+Γe−γ l)
I (−l)=I in=V 0
+
Z0
(eγ l−Γe−γ l)
2.7 – Método da perturbação para calcular ‘α’
Microondas I
→ Técnica Padrão!
→ Potência sendo transmitida no ponto z
→ Perda de potência por comprimento.
⇒ P (z) = P0 e−2α z
(W/m)
⇒ P0 (fluxo de potência na linha sem perdas)→Teor de Poynting
→ “Para o campo que não se modifica ao longo da linha”
2.7 – Método da perturbação para calcular ‘α’
Microondas I
→ Exemplo 2.7:
Constante de atenuação de uma linha coaxial pelo método da perturbação.
P0 = 12ℜ[( E⃗ x H⃗ *
).d S⃗ ] Fluxo de potência = Vetor de Poynting
Campos TEM
2.7 – Método da perturbação para calcular ‘α’
Microondas I
→ Exemplo 2.7:
Constante de atenuação de uma linha coaxial pelo método da perturbação.
Perda no condutor (Pc) → Lei de Joule no metal (bom condutor)
Pc = Rs
2 ∫|⃗J|2 dS = R s
2 ∫|H⃗ t|2 dS J⃗ S = n⃗ x H⃗
dS = dlρdθ
RS = √ωμ
2σ
(W/m)
2.7 – Método da perturbação para calcular ‘α’
Microondas I
→ Exemplo 2.7:
Constante de atenuação de uma linha coaxial pelo método da perturbação.
Perda no dielétrico (Pd) → Do teorema de Poynting
Pd = σ2∫V
|E⃗|2 dv + ω2 ∫V
(∈,,|E⃗|2 + μ, ,|H⃗|
2)dv (W/m)
2.7 – Método da perturbação para calcular ‘α’
Microondas I
→ Exemplo 2.7:
Constante de atenuação de uma linha coaxial pelo método da perturbação.
P0 = |V 0|
2
2 Z0
Plc = RS|V 0|
2
4π Z02 ( 1
a +
1b ) Pld = πωε,,
ln b/a|V 0|
2
* Essa mesma fórmula é obtida a partir da aproximação de baixa perda (alta frequência)
2.8 – Transientes em linhas de transmissão (casada com Gerador)
Microondas I
v p=ωβ=
1
√LC
β=ω√LC (sem perdas)
“Qto menor o produto LC mais rápido a pulso se desloca na linha”
Tensão DC →
v p=ωβ=
1
√LC=
1Z0 CEm baixa perda → Z0=√ L
C
2.8 – Transientes em linhas de transmissão (casada com Gerador)
Microondas I
v p=ωβ=
1
√LC
β=ω√LC (sem perdas)
“Qto menor o produto LC mais rápido a pulso se desloca na linha”
Tensão DC →
v p=ωβ=
1
√LC=
1Z0 CEm baixa perda → Z0=√ L
C
Exemplo: Velocidade de fase na linha coax semi-rígida modelo RG-402/U*Da folha de dados → Z
0 = 50Ω e C = 98,1pF
⇒ v p=2,038 .108 m / s
Microondas I
→ Resposta transiente de uma linha com carga casada
β=ω√LC (sem perdas)
2.8 – Transientes em linhas de transmissão (casada com Gerador)
Vin = ?
v p=ωβ=
1
√LC=
1Z0 C
Microondas I
→ Resposta transiente de uma linha com curto-circuito
β=ω√LC (sem perdas)
2.8 – Transientes em linhas de transmissão (casada com Gerador)
v p=ωβ=
1
√LC=
1Z0 C
Microondas I
→ Resposta transiente de uma linha com circuito-aberto
β=ω√LC (sem perdas)
2.8 – Transientes em linhas de transmissão (casada com Gerador)
v p=ωβ=
1
√LC=
1Z0 C
Microondas I
Exemplo 2.9: Diagrama de múltiplas reflexões para o transiente de um circuito. β=ω√LC (sem perdas)
2.8 – Transientes em linhas de transmissão (casada com Gerador)
v p=ωβ=
1
√LC=
1Z0 C
Microondas I
Exemplo 2.9: Diagrama de múltiplas reflexões para o transiente de um circuito. β=ω√LC (sem perdas)
2.8 – Transientes em linhas de transmissão (casada com Gerador)
8 V →
← 10,7 V
9,8 V →
← 9,5 V
V (dc) = ?
v p=ωβ=
1
√LC=
1Z0 C
Microondas I
Exemplo 2.9: Diagrama de múltiplas reflexões para o transiente de um circuito. β=ω√LC (sem perdas)
2.8 – Transientes em linhas de transmissão (casada com Gerador)
8 V →
← 10,7 V
9,8 V →
← 9,5 V
9,6 V (dc)
v p=ωβ=
1
√LC=
1Z0 C
Microondas I
Transformador quarto-de-onda:
Faça o projeto de acoplamento de impedância de uma antena transmissora com uma linha de 50Ω para operação em 100MHz. A impedância de entrada da antena (Za) é dada por
Capt. 2 – Exercício proposto – Casamento de impedância
Za=Ra+ j X a=73+ j 42,5Ω
ZL
Δl
Z1 = √Z0 . RL
Microondas I
Exercício 2.29 (Livro): Uma linha de transmissão de 50Ω é acoplada a uma fonte de 10V e alimenta uma carga de 100Ω. Se a linha possui comprimento de 2,3λ e atenuação 0,5 dB/λ, encontre as potências entregue pela fonte, perdida na linha, e entregue na carga.
Capt. 2 – Exercício proposto – Transferência de potência
Microondas I
Exercício 2.29 (Livro): Uma linha de transmissão de 50Ω é acoplada a uma fonte de 10V e alimenta uma carga de 100Ω. Se a linha possui comprimento de 2,3λ e atenuação 0,5 dB/λ, encontre as potências entregue pela fonte, perdida na linha, e entregue na carga.
Capt. 2 – Exercício proposto – Transferência de potência
V 0+=V g
Z0
Z0+Z g
e−γ l
(1−ΓlΓg e−2γ l)
=|V in
+|2
2 Z0
(1−|Γ(l )|2)