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Microondas I

Prof. Fernando Massa Fernandeshttps://www.fermassa.com/microondas-i.php

Sala 5017 [email protected]

Aula 23

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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda

Microondas I

→ Desenvolvimento do conceito de transmissão de potência em alta frequência e baixa perda.

→1936 – Southworth & Barrow → Independentemente→ Artigo com a comprovação experimental!

Guias de Onda

Vantagens → Alta Potência→ Baixa Perda

Desvantagens → Volumoso→ Rígido→ Caro

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Microondas I

Principais tipos de Guias:

→Retangular

→ Coaxial

→ Circular

→ Linha de micro-fita

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Microondas I

Solução geral dos modos TEM, TE e TM

→Assumindo para os campos a propagação de onda em z e solução harmônica no tempo (ejωt):

Na presença de perdas jβ → γ = α + jβ

→ Equação de Maxwell → Região livre de cargas

∇ x E⃗ = −∂ B⃗∂ t

⇒ ∇ x E⃗ = − jωμ H⃗ ∇ x H⃗ = ∂ D⃗∂ t

⇒ ∇ x H⃗ = j ωϵ E⃗

Revisão

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Microondas I


→Assumindo para os campos a propagação de onda em z e solução harmônica no tempo (ejωt):

∇ x E⃗ ⇒

( x⃗)→ ( y⃗ )→ ( z⃗)→

∇ x H⃗ ⇒

( x⃗)→ ( y⃗ )→

( z⃗)→

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

→Resolvendo nas 4 componentes transversais (x,y) em termos de Ez e Hz:

Revisão

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Microondas I

Solução geral dos modos TEM, TE e TM – Equações Gerais

→Resolvendo nas 4 componentes transversais (x,y) em termos de Ez e Hz:

Numero de onda de corte →

Constante de propagaçãoConstante de ondaNumero de onda de corte

→ Qdo um dielétrico preenche o guia (Єr; tanδ)

Revisão

7


Microondas I


→Qdo um dielétrico preenche o guia (Єr; tanδ)

Revisão

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Microondas I

Modo TEM - (Ez = Hz = 0) geral→Solução indeterminada pelas equações gerais!

Das eqs (1) e (5)

→ jβEy = -jωμHx → - jβHx= -jωЄEy

=>

(TEM)=> kc = 0

* Os campos são semelhantes ao caso estático

→ O potencial escalar satisfaz a equação de Laplace (campos transversais):

→ Aplico condições de contorno em V(x0,y0) nos condutores

→Da amplitude do campo elétrico transversal

∇ t2Φ(x , y ) = 0

=>

(Eq de Helmholtz na solução harmônica TE e TM)

Revisão

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Microondas I

Modo TEM - (Ez = Hz = 0) geral

Impedância característica no modo TEM:

η →Impedância característica do meio

Tensão entre os condutores:

→ Condutor fechado não suporta TEM (O potencial estático zera no interior do condutor oco)

Corrente em um dado condutor:

→ Aplico condição de contorno aos campos tangenciais na interface com o condutor

Revisão

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Microondas I

Modo TE - (Ez = 0; Hz ≠ 0) geral – Ondas M

→Suportado em condutores fechados ou entre dois ou mais condutores

Das equações gerais:

→ Dependente da frequência e da geometria

Revisão

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Microondas I

Modo TE - (Ez = 0; Hz ≠ 0) geral

Da solução para Hz ≠ 0 podemos obter Ex, Ey, Hx, e Hy usando as eq gerais:

→ Eq de Helmholtz

→ Pode ser reduzido a uma eq de onda em duas dimensões

→ Aplicamos condições de contorno na geometria específica para encontrar hz e Hz e com

as eq gerais obtemos (Ex,Ey) e (Hx,Hy).

→ A impedância de onda no modo TE pode ser dada por

K c2 = K2 − β2

→ Solução harmônica em z

Revisão

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Modo TM - (Ez ≠ 0; Hz = 0) geral – Ondas E

→Suportado em condutores fechados ou entre dois ou mais condutores (como o TE)

Das equações gerais:

→ Dependente da frequência e da geometria (como o TE)

Revisão

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Microondas I

Modo TM - (Ez ≠ 0; Hz = 0) geral

Da solução para Ez ≠ 0 podemos obter Ex, Ey, Hx, e Hy usando as eq gerais:

→ Eq de Helmholtz

→ Pode ser reduzido a uma eq de onda em duas dimensões

→ Aplicamos condições de contorno na geometria específica para encontrar ez e Ez e com

as eq gerais obtemos (Ex,Ey) e (Hx,Hy).

→ A impedância de onda no modo TM pode ser dada por

K c2 = K2 − β2

Revisão

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Atenuação: α = αc + αd

αc → Perda no condutor

αc = Pl

2 P0

(método da perturbação)

P0 → Potência na linha sem perdas

Pl → Perdade potência /metro

αd → Perdano dielétrico → Dielétrico preenchendo completamente o espaço interno do guia.

Const de propagação ⇒ γ = αd + jβ

→ Só existe propagação quando K > K c β = √K2 − K c2

(frequência de corte)

Revisão

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Atenuação:

Calculo do coef de atenuação no dielétrico (αd)

→ Em geral para materiais dielétricos

→ Número de onda real.

γ = √K c2 − K 2 = √K c

2 − ω2μϵ = √K c

2 − ω2μ0ϵ0 ϵr(1 − j tg δ)

K = ω√μ ϵ → Sempre!

γ = √K c2 − K 2 + j K 2 tg δ

⇒ tgδ ≪ 1

⇒ γ → Expanção em série de Taylor

Revisão

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Atenuação:


→

→ Número de onda real.

γ = √K c2 − K 2 = √K c

2 − ω2μϵ = √K c

2 − ω2μ0ϵ0 ϵr(1 − j tg δ)


γ = √K c2 − K 2 + j K 2 tg δ

γ ≈ √K c2 − K 2 +

12

jK2 tg δ

√K c2 − K 2

= αd + jβ

γ ≈ K 2tg δ

2β + jβ ⇒ αd =

K2 tg δ

2β(Np/m)→ TE ou TM

Revisão

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Atenuação:


No modo TE e TM:

Neper (Np) →

Decibel (dB) →

αd = K 2 tgδ

2β (Np/m)

β = √K2 − K c2 β = K

No modo TEM:

αd = K tgδ

2 (Np/m)

ln (e−α z) = −α . ln (e1

) [ z = 1metro] ⇒ = α [Np]

10. logP0 e−2α z

P0

= 10. log(e−2α)[ z = 1metro]

= −20.α . log (e1) [dB ]

1 Np = 20. log(e1) dB = 8,686 dB

Revisão

Geral – Independente da geometria

Capt. 3 – Guia de onda retangular

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Filtros passa baixaAcoplador 3dB


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Modo TE – Ondas H (TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0)

→ Somente o campo H possui componente na direção de propagação z:

→ Substituindo Hz na eq. de Helmholtz

→ Numero de onda de corte

→ ∇ x E⃗ = − jωμ H⃗

∇ x H⃗ = jωϵ E⃗

K c2 = K2 − β2

=>

=>

=> Hz = ??


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→ Substituindo Hz na eq. de Helmholtz

→ Separação de variáveis

→ Solução geral

=>


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→ Solução geral

→ Aplico condições de contorno para encontrar A, B, C e D: “Quais?”

Já vimos (nas primeiras aulas) que as condições de contorno em interfaces nos fornecem a relação entre os campos elétricos e magnéticos, perpendiculares e tangenciais a interface que separa dois meios.

Resposta => “Campos elétricos tangenciais à interface com o metal”

( E⃗(2)t − E⃗(1)t ) x n = M⃗ s = 0


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→ Solução geral

→ Aplico condições de contorno para encontrar A, B, C e D:

( E⃗(2)t − E⃗(1)t ) x n = M⃗ s = 0 =>

E⃗(2)t = 0* Dentro do metal (distante da interface) →

→

→


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→ Aplico condições de contorno para encontrar A, B, C e D:

=>

e x ( y=0) ⇒ D=0

e y (x=0) ⇒ B=0

e x ( y=b) ⇒ k y = nπ/b (n=1,2,3, ...)

e y (x=a) ⇒ k x = mπ/a (m=1, 2,3, ...)


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→ Solução geral

→ Solução particular

e x ( y=0) ⇒ D=0

e y (x=0) ⇒ B=0

e x ( y=b) ⇒ k y = nπ/b (n=1,2,3, ...)

e y (x=a) ⇒ k x = mπ/a (m=1, 2,3, ...)


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=>


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→ A impedância de onda no modo TE (geral) é dada por


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→ Condição para haver propagação =>


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→ Condição para haver propagação =>

→ Frequência de corte =>

→ Modo dominante TE10 (menor frequência possível) =>


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→ O comprimento de onda do guia é definido como sendo a distância entre os planos de mesma fase:

→ A velocidade de fase é dada por:

“Maior que a velocidade da onda plana!”


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→ Atenuação: jβ → γ = α + jβ

Const de propagação ⇒ γ = α + jβ = √K c2 − K2


Qdo → K <K c


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→ Atenuação: jβ → γ = α + jβ

γ = α + jβ = √K c2 − K2

α = αc + αd

Perda no condutor

αc = Pl

2 P0


Perda no dielétrico

→ Dielétrico preenchendo completamente o espaço interno do guia.

αd = K 2 tg δ

2β(Np/m)→ TE ou TM


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→ Modo dominante => TE10 (m = 1, n = 0)


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* Utilizado na vasta maioria das aplicações* Estável* Menor atenuação

Guia de Latão (a = 2.0 cm)


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→ Modo dominante => TE10 (m = 1, n = 0) Atenuação no modo dominante devido a perda no condutor:

αc = Pl

2 P0



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→ Corrente de superfície na parede x = 0:

→ Corrente de superfície na parede y = 0:


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(x2)* As correntes são simétricas entre paredes paralelas.


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Atenuação no modo dominante devido a perda no condutor:


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Modo TM – Ondas E (TMn → Ez ≠ 0; Hz = 0)

→ Somente o campo E possui componente na direção de propagação z:

→ Substituindo Ez na eq. de Helmholtz

→ Numero de onda de corte


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→ Solução geral do modo TM:

→ Condições de contorno aplicadas para ez:

→ Solução particular para Ez:


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→ A impedância de onda no modo TM (geral) é dada por


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→ Modo de propagação de menor ordem TM11 => E e H são nulos quando

mn = 00, 10, 01, 20, 02, etc...


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Banda de operação (b=a):

Entre TE10 e TM11


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Exemplo: Características de um guia de onda retangular

Considere um guia de onda retangular de cobre, operando na banda-K, possuindo dimensões a = 1,07 cm e b = 0,43 cm. O guia é completamente preenchido por Tefon.i) Encontre as frequências de corte dos primeiros cinco modos de propagação.ii) Se a frequência de operação é de 15 GHz, encontre a atenuação devida às perdas no dielétrico e no condutor.


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*Sonda indutora de modo TE10

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