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Microondas I
Prof. Fernando Massa Fernandeshttps://www.fermassa.com/microondas-i.php
Sala 5017 [email protected]
Aula 14
Microondas I
Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão Revisão
Microondas I
Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
→ Das equações do telegrafista com fonte senoidal e tomando a derivada em z:
d2V ( z)
d z2 −γ2V (z)=0
d2 I (z)
d z2 −γ2 I (z)=0
=> Solução de ondaV (z)=V 0
+e−γ z+V 0
- e+γ z
I (z)=I 0+e−γ z
+ I0- e+γ z
* Equações de onda!
Exemplo de modelo de circuito de linha de transmissão
Apostila de eletrônica 5 – Centro Paula souza
* Ondas de tensão e corrente
Solução de onda
Revisão
Microondas I
Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
V (z)=V 0+e−γ z
+V 0- e+γ z
Potência entregue na carga (z = 0)
I (z)=1Z 0
(V 0+ e−γ z
−V 0- e+γ z)
Z0=R+iω L
γ =√R+iω LG+iωC→ Impedância característica da linha
V 0+
I 0+=−V 0
-
I 0-=Z 0
* Na posição da carga, z = 0.
=> Pl=12ℜ{V (0) I *(0)}
Revisão
γ=√(R+iω L).(G+iωC)=α+iβ ⇒→ constante de prop. complexa
Microondas I
Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
→ Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária.
→ Tensão entre os condutores (C1 e C2)
→ Corrente sendo transportada
V (z)=V 0 e±iβ z
I (z)=I 0e±iβ z
Como o modelo de elementos de circuito esta relacionado aos campos?
R: Conservação de energia e potência (teorema de Poynting).
Revisão
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
Relação entre o modelo de circuitos e os campos:
Geral
G=ωϵ,,
|V 0|2∫S
E⃗ . E⃗*ds (S /m)
R=RS
|I 0|2 ∫C1+C2
H t .H t*dl (Ω/m)
C= ϵ
|V o|2∫S
E .E*ds (F /m)
L=μ
|I 0|2∫S
H .H *ds (H /m)
Revisão
Microondas I
Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
* A constante de propagação, a impedância característica, e a atenuação da maioria das linhas de transmissão são usualmente obtidas diretamente da solução na teoria dos campos.
** Em linhas de geometria simples é possível determinarmos os parâmetros de circuito equivalentes (L, C, R, G) a partir dos cálculos simples apresentados.
*** Em linhas de geometria mais complexa, em geral, é necessária a utilização de softwares CAD que utilizam elementos finitos (FEM).
Revisão
Microondas I
Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
Revisão
Microondas I
Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
Exercício 2.3 - Livro O cabo coaxial semirrígido RG-402U possui um condutor interno com diâmetro de 0,91 mm e um dielétrico com diâmetro externo de 3,02 mm (mesmo diâmetro do condutor externo). Ambos os condutores são de cobre, e o material dielétrico utilizado é o Teflon. Calcule os parâmetros R, L, G e C dessa linha em 1GHz, e utilize o resultado para encontrar a impedância característica e atenuação da linha em 1GHz.
* Compare seus resultados com a especificação do fabricante.
* comente sobre as discrepâncias.
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Revisão
Z0=49,87Ω
α=0,0436Np /m=0,38 dB /m
→ Z0=50Ω
→ α=39.37dB /100m=0,3937 dB /m
* Os valores obtidos no produto dependem da qualidade do processo de fabricação (Rugosidade da superfície do metal, homogeneidade do dielétrico, etc...)
** Qto mais a atenuação se aproxima do valor teórico mais caro é o cabo!!
→ C=98.1 pF /m C=96.5 pF /m
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
→ Potência média entregue (no ponto z)
⟨P ⟩=12ℜ [V (z). I*
(z) ]=12|V 0
+|2
Z0
(1−|Γ|2 ) → Não depende de z!
→ Potência média entregue máxima →
Casamento de impedância →( ZL = Z0 )
(Γ=0)
(Γ=1)⇒ZL→∞→ Potência média entregue nula →
Revisão
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
→ Potência média entregue (no ponto z)
⟨P ⟩=12ℜ [V (z). I*
(z) ]=12|V 0
+|2
Z0
(1−|Γ|2 ) → Não depende de z!
→ Perda de retorno (RL) ⟨0dB →Γ=∓1∞dB →Γ=0 ⟩
→ Quando → “Linha lisa”(Γ=0) |V (z)| = |V 0+| “A amplitude da tensão (da onda
estacionária) na linha é constante”
* Quantidade de potência refletida na carga.
Revisão
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
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→ Perda de retorno (RL)
→ Quando → “Linha lisa”(Γ=0)
Exemplo: Casamento de impedância →
(Γ≈0,02)70MHz
RL→∞
Revisão
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
→ Onda estacionária → → (Γ≠0) Onda incidente + Onda refletida(ZL≠Z 0)
“O módulo da tensão (amplitude) oscila ao longo da linha”
Na distância l da carga (z = - l ) →
O coef de reflexão pode ser escrito =>
Revisão
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
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→ Onda estacionária → → (Γ≠0) Onda incidente + Onda refletida(ZL≠Z 0)
“O módulo da tensão (amplitude) oscila ao longo da linha”
(z = - l ) →
Quando e j (Θ−2β l)
= 1 ⇒V MAX = |V 0+|.(1 + |Γ|)
e j (Θ−2β l)=−1 ⇒V MIN = |V 0
+|.(1 − |Γ|)
Γ ≡ Γ(l)
→ Razão da onda estacionária
Revisão
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
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→ Onda estacionária → → (Γ≠0) (ZL≠Z 0)
→ Generalização do coef de reflexão Γ(z) = V 0
- . e jβ z
V 0+ . e− jβ z
(z=−l) ⇒ Γ(l) = V 0
-
V 0+
e− jβ l
e+ jβ z = Γ(0). e−2 jβl “Casamento de impedância em
função da distância do gerador”
Onda incidente + Onda refletida
Revisão
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
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→ Impedância de entrada ZIN, na distância l = -z da carga
≡ Γ(0)
Revisão
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
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ii) Linha de transmissão terminada em circuito aberto
i) Linha de transmissão terminada em curto circuito
Revisão
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (n) + (nλ/2), n =1,2,3...), n =1,2), n =1,2,3...,3...
β . ŀ = 2πλ
.( λ4
+ n λ2) = π
2 + nπ ⇒ tan (β . ŀ) = ∓∞
⇒
Revisão
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
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iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (n) + (nλ/2), n =1,2,3...), n =1,2), n =1,2,3...,3...
β . ŀ = 2πλ
.( λ4
+ n λ2) = π
2 + nπ ⇒ tan (β . ŀ) = ∓∞
⇒
Transformador quarto de onda →
Útil para o casamento de impedância quando sabemos λ e sabemos que ZL > Z0, mas não sabemos exatamente o valor de ZL.
“Linha com comprimento que transforma inversamente a impedância da carga ZL”
Para l = n.(λ/2), n =1,2,3...) ⇒ tan (β . ŀ) = 0
Revisão
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
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iv) Junção entre linhas de transmissão → Linha Z0 alimenta a Z1 linha
Na região z < 0
Na região z > 0
Em z = 0
⇒
⇒
⇒
(assumindo que não existem ondas refletidas)
Revisão
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
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iv) Junção entre linhas de transmissão → Linha Z0 alimenta a Z1 linha
Perda de inserção
⇒
Revisão
2.4 – Carta de Smith
Microondas I
* Utilizada na solução gráfica de problemas de impedância em linhas de transmissão
* 1939 – Laboratórios Bell (Philip Smith) → Durante o desenvolvimento de tecnologia radar.→ Estabelece graficamente a correlação entre a impedância normalizada da carga (zL)
e o coef de reflexão (Γ).
* Correlação gráfica de três circulos:
1. →
2. → Circulos de resistência constante ‘rL’
3. → Circulos de reatância constante ‘xL’
zIN = Z IN
Z0
= 1+Γe−2 jβ ŀ
1−Γe−2 jβ ŀΓL =
Z L−Z 0
ZL+Z0
= zL−1
zL+1
Em l = 0 ⇒ Z IN = ZL ⇒ zIN = 1+|Γ|e jθ
1−|Γ|e jθ =
(1+Γr )+ jΓi(1−Γr )− jΓi
= rL+ jxL
Γ = Γr+ jΓi = |Γ|.e jθ → raio Raio = (1
1+r L)
Raio = (1x L)
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2.4 – Carta de Smith
* Correlação gráfica de três circulos:
1. →
2. → Circulo de res. const. ‘rL’
3. → Circulo de reat. const. ‘xL’
Γ = Γr+ jΓi = |Γ|.e jθ
Raio = (1
1+r L)
Raio = (1x L)
zIN = 1+|Γ|e jθ
1−|Γ|e jθ = r L+ jx L
Microondas I
2.4 – Carta de Smith
Γ = Γr+ jΓi = |Γ|.e jθRaio = (1
1+r L) Raio = (
1x L)
zIN = 1+|Γ|e jθ
1−|Γ|e jθ =
(1+Γr )+ jΓi(1−Γr )− jΓi
= rL+ jxL
2.4 – Carta de Smith
Microondas I
* Linha de comprimento l
ΓIN = Γ(l) = ΓL .e−2 jβ l
ΓL = V 0
-
V 0+
= Z L−Z 0
ZL+Z 0
= |ΓL|ejθ
∓180o≡(Δ l = λ/4 = 0,25λ)
∓360o≡(Δ l = λ /2 = 0,50 λ)
SWR= V MaxV Min
= 1+|Γ|
1−|Γ|
Γ IN = |ΓL|ej(θ−2βl)
Um incremento Δl no comprimento da linha provoca uma rotação -Δθ (na carta de Smith) na direção do gerador.
Inversamente, um decréscimo de Δl no comprimento da linha provoca uma rotação +Δθ (na carta de Smith) na direção da carga.
2.4 – Carta de Smith
Microondas I
Exemplo 2.2 – Operações básicas na carta de Smith
Uma linha de transmissão de comprimento l = 0.3λ e impedância 100Ω é terminada em um circuito com impedância ZL = 40 + j70 Ω.i) ΓL = ?ii) ΓIN = ?iii) ZIN = ?iv) SWR = ?v) RL = ?
2.4 – Carta de Smith
Microondas I
Exemplo 2.2 – Operações básicas na carta de Smith
Uma linha de transmissão de comprimento l = 0.3λ e impedância 100Ω é terminada em um circuito com impedância ZL = 40 + j70 Ω.i) ΓL = ?ii) ΓIN = ?iii) ZIN = ?iv) SWR = ?v) RL = ?
* Giro na direção do gerador.
2.4 – Carta de Smith
Microondas I
* Giro na direção do gerador.
2.4 – Carta de Smith
Microondas I
* Linha fendida – Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento.
https://en.wikipedia.org/wiki/Slotted_line#/media/File:Waveguide_slotted_line.jpg
λ (β) ΓL = |ΓL|ej θ ZL =
1+ΓL1−ΓL
.Z0Determinação experimental →
2.4 – Carta de Smith
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* Linha fendida – Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento.
V max ≡ exp [ i(θ−2β lmax)] = 1
V min ≡ exp [ i(θ−2β lmin)] = −1
Posição dos Vmax e Vmin
i)A escala é posicionada arbitrariamente ao longo da linha e um curto circuito é conectado na extremidade;
Da distância entre dois mínimos lmin1 e lmin2 determino λ (β) → (Δlmin = λ/2, período de oscilação)
→ “Essas distâncias servirão como ponto de referência”
2.4 – Carta de Smith
Microondas I
* Linha fendida – Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento.
Posição dos Vmax e Vmin
ii) Com a carga (L) conectada na extremidade;
Da posição dos mínimos lminL1 e lminL2 (com a linha carregada) determino a fase θ de ΓL → θ = π + 2β(lminL1 - lmin1)
Da razão Vmax / Vmin determino o módulo de ΓL
→
V max ≡ exp [ i(θ−2β lmax )] = 1
V min ≡ exp [ i(θ−2β lmin)] = −1
→ Deslocamento de fase
2.4 – Carta de Smith
Microondas I
* Linha fendida – Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento.
Posição dos Vmax e Vmin
iii) Dos valores determinados para a fase θ e para o módulo de ΓL, finalmente obtemos ΓL e ZL.
→ θ = π + 2β(lminL1 - lmin1)
→
ZL = 1+ΓL1−ΓL
.Z0ΓL = |ΓL|ej θ
V max ≡ exp [ i(θ−2β lmax )] = 1
V min ≡ exp [ i(θ−2β lmin)] = −1
2.5 – Transformador Quarto-de-onda
Microondas I
* Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda.
→ Com o acoplador ideal devemos obter Γin = 0!
→ Assumindo impedância real na carga (RL)
Z in = RL+ j Z1 tan (β l)
Z1+ j RL tan (β l).Z 1
Quando l = λ/4 ⤇ βl = π/2 ⤇ tan(βl ) → ∞
Z in = Z1
2
RL
Γ in = Z in−Z0
Z in+Z 0
= 0 ⇒Z in = Z0 ⇒ Z1 = √Z0 .RL
“Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha”
Γ in = Z in−Z0
Z in+Z 0
Para que
2.5 – Transformador Quarto-de-onda
Microondas I
* Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda.
→ Sempre que introduzir a fase βl = π/2 + nπ (n = 1,2,3,...)
→ O acoplador funcionara para múltiplos imparesda frequência fundamental (f0 = vp / λ0):
Z1 = √Z0 .RL
“Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha”
Γ in = 0
f = f0f = 3.f0f = 5.f0f = 7.f0...
2.5 – Transformador Quarto-de-onda
Microondas I
* O transformador quarto-de-onda assume que ZL é real (ZL = RL).
→ Mas posso tornar qualquer valor ZL em real por meio da inclusão de um certo incrementono comprimento da linha de transmissão.
→ Na carta de Smith, ZL = rL + ixL
“Giro Δθ = Δl na direção do geradoraté que a componente complexa seja nula (Im(z) =0)
ZL→ RL
ZL
Δl
2.5 – Transformador Quarto-de-onda
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* Exemplo em uma rede de microfita:
ZL
Ramzan, Mehrab & Topalli, Kagan. (2015). International Journal of Antennas and Propagation. 1-9. 10.1155/2015/495629.
Z1 > Z0
Z1 = √Z0 .RLZ1 = √Z0 .RL
“Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha”
Microondas IExercício Proposto
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