midiendo la desigualdad

MIDIENDO LA DESIGUALDAD

Taller Sobre La Teoría y la Técnica

Para Medir la Desigualdad

San Jose, Costa RicaAugust 4 -5, 2004

Sesión Sobre:

Las Matemáticas y la Lógica

del

Estadístico T de Theil

James K. Galbraith y Enrique Garcilazo

The University of Texas Inequality ProjectSesión 2

http://utip.gov.utexas.edu

http://utip.gov.utexas.edu/

Estructura de la Presentación

1. Teoría de la Información de Claude Shannon

2. El Índice de Theil como Medida de Desigualdad entre Individuos

3. La Descomposición del Estadístico T de Theil y sus propiedades Fractales

4. La Descomposición del Estadistico T de Theil en el caso de dos Niveles Jerárquicos

Teoría de la Información- Shannon

Claude Shannon (1948) – Utilizó su teoría para medir la

información y su contenido. – Cuanto más inesperado es un suceso,

mas cantidad de información puede generar

– El contenido de la información de un suceso = una función decreciente de la probabilidad de su aparición.

– Para traducir las probabilidades en información Shannon uso el logaritmo de la inversa de la probabilidad


Formalmente si tenemos un conjunto de n sucesos, uno de los cuales sabemos con certeza que va a ocurrir, y cada uno con una probabilidad de que ocurra entonces:

El contenido de información expresado por Shannon es:

1

1

n

iix

i

n

ii xxxH

1log)(

1


El nivel de la entropía se interpreta como la diferencia relativa del contenido de la información

Menos entropía es equivalente a más igualdad

– El caso con más desigualdad es cuando un solo individuo recibe toda la renta

– Si la renta se reparte equitativamente entre mas personas la medida debería incrementarn

– Si quitamos renta a n individual (con la misma renta cada uno) y se la damos a un individuo la medida debería decrecer

n Sequence of xi sum y=sum x*ln(1/x)1 1.00 . . . . . . . . . 1 0.0002 0.50 0.50 . . . . . . . . 1 0.3014 0.25 0.25 0.25 0.25 . . . . . . 1 0.60210 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 1 1.0002 0.50 0.50 . . . . . . . . 1 0.3012 0.60 0.40 . . . . . . . . 1 0.2922 0.90 0.10 . . . . . . . . 1 0.14110 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 1 1.00010 0.91 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 1 0.217

Theil’s Income Equality Measure

Henry Theil (1967) uso la teoría de Shannon para construir una medida de igualdad sobre la renta individual

El problema es análogo si en vez de probabilidades (x) usamos la proporción de la renta individual sobre la renta total (y):

La medida de igualdad en rentas es::

i

n

ii yyyH

1log)(

1

n

iiy

1

1

La Medida de Desigualdad de Theil

Para obtener una medida de desigualdad, Theil substrajo su medida de igualdad de rentas de su valor máximo

El valor máximo de la medida de igualdad es cuando todos los individuos ganan la

misma proporción de rentas (yi=1/N) :

La medida de desigualdad es:

1

1 1( ) log log

n

i

H y N NN N

)(log yHN


.

n

i ii yyNyHN

1

)1

log(log)(log

n

iii yyN

1

)log(log

1 1

( ) log log( )n n

i i ii i

y N y y

n

iiy

1

1

1 1

1log( * ) log

n n

i i i ii i

y N y y yN


Esta ecuación calcula la desigualdad de rentas sobre una secuencia o distribución de individuos

Nyy i

n

ii

1log

1


La medida de desigualdad sobre rentas (expresada en términos relativos) se puede expresar en términos absolutos:

Donde

– y(iT) = Renta total del individuó i– Y=sum Yi = Renta total de todos los

individuos

NY

y

Y

y iTn

i

iT 1log

1

iTi

yy

Y

La Partición del Estadístico de Theil

Si dividimos o partimos nuestra secuencia o distribución en grupos

– cada individuo pertenece a un grupo

La desigualdad global se puede dividir en:– un componente intergrupal y en un

componente intragrupal

Group A Group B

La Partición del Estadístico T de Theil

Otra manera de expresarlo es:

– g grupos van de 1 a k– p individuos van de 1 a n(g)

El primer término mide la desigualdad entre grupos

El segundo termino mide la desigualad dentro de cada grupo

– es una media ponderada

1 1

1log log

gnkg g gpg g gp

gi p g gg

Y Y yY n y

Y N Y nY Y Y


Formalmente el estadístico se expresa :

Donde: .

B WT T T

N

n

Y

Y

Y

YT gg

k

gi

gB log

1

1

kg

W Wgi

YT T

Y

1

1log

gngp gp

Wp g gg

y yT

Y nY


El componente intergrupal es ahora el componente intragrupal

Si dividimos la distribución en m grupos con n individuos en cada grupo:

– La renta y la población relativa a un grupo mayor

– Peso (weight) es el salario relativo de cada grupo (al total)

– A nivel individual la población es igual a uno

g

gg

gt

gggii

g g

ggi gii

g

gi

iii

iiii

iii

iiiim

i iii

iiiim

i

m

i

m

i

iiim

i n

n

Y

Y

Y

Y

Y

YT

...

...

...

...

1 ....

....

1 1 1

...

1 21

121

21

121

...1

1 21

121

1

1

2

1.....121

211

3

log.............


El estadístico de Theil se puede decomponer en n niveles jerárquicos por que tiene las propiedades de un fractal Matemático – se replica en si mismo

Los individuos de dividen en grupos mientras se agrupen de forma mutuamente excluyente y totalmente exhaustiva.


Tres niveles jerárquicos

– La renta y la población relativa a un grupo mayor

– Peso (weight) es el salario relativo de cada grupo (al total)

– A nivel individual la población es igual a uno

1 1

1 1

1 1 1

1 1

ln ln ln

gg gg gn n

gg gn

g g gg g gg gi in n n

g gg gg gg gg g gn n

i i ig g

i i

Y Y

Y Y YY Y Y Y YY

n n nY YY Y Y

Nn n

1

n n

g


Afortunadamente trabajaremos con uno o dos niveles jerárquicos:

Los datos típicamente están agregados por unidades geográficas. Cada unidad geográfica esta dividido en sectores industriales o cada sector industrial dividido por unidad geográfica (ya no tenemos datos individuales)

Ventajas del estadístico T de Theil – flexibilidad y capacidad de categorizar grupos

1

1 1 1

1 1

ln ln

n

i Yn n kip ip ii i i

n ni i p i ij i

i i ii i

Y YY Y YY Y

TY Y n n

Y n n

Dos Niveles Jerárquicos – El Theil Intergrupal

El termino izquierdo de la ecuación anterior es el entre-componente sectoral o regional

– Expresado en términos absolutos – También podemos expresar en términos

de medios

n

in

iii

n

iYi

n

ii

iB

nn

YY

Y

YT

1

1

1

1

ln


– De términos absolutos a términos medios:

– El entrecomponente expresado en términos medios es muy intuitivo

i i iy Y n

i

n

ii

n

iii nYY

11

n

in

iii

n

iiiii

n

iii

iiB

nn

nYny

nY

nyT

1

1

1

1

**

ln

*

*

n

i ii

in

iiiB Y

y

Y

ynnT

1 1

ln


– Rango de cero al Logaritmo de N– Contribución negativa del grupo (i) si

el grupo esta por debajo de la media – Contribución positiva del grupo (i) si

el grupo esta por encima de la media– Sumatoria debe de ser positiva

n

i ii

in

ii

iB Y

y

Y

y

n

nT

1

1

ln

Dos Niveles Jerárquicos – El Theil Intragrupal

Calcular el estadístico T de Theil dentro de cada grupo (entre p individuos/grupos) lo ponderamos con la renta relativa de cada grupo i

Sumar los componentes ponderados individuales se obtiene el promedio ponderado = intracomponente de Theil

1

ni

W Wii

YT T

Y

1

lnk

ip ip iWi

p i ij i

Y Y YT

Y n n

Proceso de Coleccionar Datos

Cuando una distribución se decompone en grupos (MECE):– las variables necesarias para calcular el

estadístico T de Theil entran en cualquier de estas categorías:

1. Renta2. Populación

Datos sobre renta se obtienen típicamente en encuestas – Falta de objetividad – Se cambia la metodología de la encuesta a través del

tiempo– No se puede compara a nivel nacional – Coste elevado

– Calidad es cuestionable Deininger and Squire data


Sugerimos escoger datos sobre salarios en diferentes industrias– Calidad de los Datos de salarios

industriales– Son objetivos– Consistentes a través del tiempo– Mas fáciles de obtener– Mas baratos y de mejor calidad


Con la metodología de Theil necesitamos dos variables que incluyan:1. Cantidad de personas trabajando en un

grupo2. Variable de compensación como salarios

Obtendremos desigualdad de salarios (pay-inequality)– Salarios elementos básicos en la

economía

Ventajas Decomponiendo y Obteniendo Desigualdades

Salarial Los datos son consistentes a través del tiempo:– Podemos medir la evolución de la

desigualdad salarial a través del tiempo

– Otras medida dependen de la calidad de los datos sobre encuestas. Difíciles de comparar

Los datos son consistentes y comparables entre sectores

The University of Texas Inequality Project

http://utip.gov.utexas.edu

Documentación y Datos adicionales disponibles online en:

Para encontrarnos el Internet, haga una Búsqueda en Google con la palabra “Inequality”

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