mikroÖkonÓmia - konzultáció - piac és fogyasztás · 2012-10-01 · matematikai alapok...

Matematikai alapok Marshall kereszt Választás Mintavizsga rész

MIKROÖKONÓMIA- konzultáció -

Piac és fogyasztás

Révész Sá[email protected]

2012. október 1.

MIKROÖKONÓMIA - konzultáció - Piac és fogyasztás


Di�erenciálszámítási alapok

A mikroökonómiai problémák megoldása két formában fog történni:

1. egyensúly keresése- matematikai módszer: egyenletek megoldása

2. optimalizálás- matematika módszer: feltételes széls®érték számítás




Di�erenciálszámítás alapok





A változásta δxδy hányados szemlélteti, amely a függvény görbéjéhez a P

pontban húzott érint® meredeksége

De�nicióA P pontban húzott érint® meredekségét megkapjuk, mint a P

pontban húzott szel®k meredekségének határértékét az alábbiképlet szerint: δx

δy = limδx→0f (x+δx)−f (x)

δx





Néhány elemi függvény deriváltja

y = c esetén y ′ = 0

y = xn esetén y ′ = n ∗ xn−1

y = 1xn esetén y ′ = − n

xn−1

y = ln x esetén y ′ = 1x

y = ax esetén y ′ = ax ∗ ln a




Deriválási szabályokI y = c ∗ f (x), ahol c egy konstans, a derivált függvény:

y ′ = c ∗ f ′(x)

I y = f (x) + g(x) két függvény összegének deriváltja a kétderivált függvény összege:y ′ = f ′(x) + g ′(x)

I y = f (x) ∗ g(x) két függvény szorzatának deriváltja:y ′ = f ′(x) ∗ g(x) + f (x) ∗ g ′(x)

I y = f (x)g(x) két függvény hányadosának deriváltja:

y ′ = f ′(x)∗g(x)−f (x)∗g ′(x)g2(x)



Feladat

Feladatok parciális deriválásra

Írd fel a következ® függvények x1és x2 szerinti derivált értékeit!

U(x1, x2) = x1 ∗ x2U(x1, x2) =

√x1 ∗ x2

U(x1, x2) = 2x51 ∗ x22U(x1, x2) = x1 + 4x2U(x1, x2) = lnx1 + 2x2



Elmélet

A piac



Elmélet

Alapfogalmak

1. keresleti görbe, kínálati görbe

2. kereslet törvénye

3. egyensúlyi ár, egyensúlyi mennyiség

4. kereslet változása, keresett mennyiség változása

5. komparatív statika

6. ceteris paribus elv

7. rezervációs ár

8. fogyasztói többlet (!), termel®i többlet

9. túlkereslet, túlkínálat

10. Pareto hatékony állapot

11. holtteher veszteség



Elmélet

Aggregálás

Lépések:

1) Rendezd q-ra! qi = a − bp (ÁRAK ÖSSZEGZÉSÉT NEMÉRTELMEZZÜK!)

2) Add össze a megfelel® paramétereket egymással!q1 = a − bp; q2 = c − dp︸︷︷︸

Q=q1+q2=a+c−(b+d)p

3) Figyeljünk a rezervációs árakra!

példa_D1 : q1 = 150− 3p ; D2 : P = 40− q25 . Mennyi az aggregált

kereslet?



Elmélet

Adók hatása - mennyiségi adó

Minden jószágegység után �zetjük a kormányzatnak!

Mit®l függ a piaci ár?-> Attól, hogy ki �zeti meg az adót a végén!

Lépések:

1) Rendezzünk P-re!2) PD = PS + t-t alkalmazzuk!

példa_D1 : q1 = 150− 3p ; D2 : q2 = 120+ p ; A termel® �zessent = 2 mennyiségi adót!



Elmélet

Adók hatása



Elmélet

Rugalmasság

Y Rugalmassága X szerint, X egy adott pontjában:δYδX ∗

XY

A kereslet árrugalmassága egy adott P árnál: δQδP∗ PQ

A kereslet jövedelem rugalmassága egy adott P árnál: δQδI∗ IQ

A kereslet keresztár-rugalmassága egy adott P árnál: δQx

δPy∗ Py

Qx

Lépések:1) Rendezzük Q-ra, hogy a függvény deriválható legyen P szerint2) Alkalmazzuk a képletet!3) Helyettesítsük be az adott P értéket! Fontos, hogy csak a feladat végén, és nem azelején!!! (különben nem jön ki eredmény)4) Értelmezzük az eredményt

Határozzuk meg Q = 150− 2p árrugalmasságát P = 5-nél!



Feladatok

Bevezet® feladat

Egy piacon a keresleti függvény: Q(p) = 1200− 30p;a kínálati függvény: Q(p) = 30p − 600

1. Ábrázold a két függvényt!

2. Mennyi az egyensúlyi ár és egyensúlyi mennyiség?



Feladatok

Alap feladat*D(p) : P = 150− Q

2S(p) : Q = 4P − 60

1. Határozzuk meg az egyensúlyi árat, és mennyiséget!

2. Mi a piaci helyzet P = 30-as árnál?

3. Számold ki a fogyasztói és a termel®i többletet!

4. Hogyan alakul az egyensúlyi ár és egyensúlyi mennyiség t=6egységnyi mennyiségi adó bevezetését követ®en? Az adót�zessék be a vállalatok az államnak, mint az ÁFÁt!



Feladatok

D(p) : Q = 300− 2PS(p) : Q = 4P − 60

alap feladat folytatás...

(5)(I) Vegyük a D2(p) = 100− p keresleti függvényt. Mi lesz azaggregált keresleti függvény, ha a piacon az alap feladatkeresleti függvénye és a D2 jelenik meg?

(5)(II) Mi lesz a piacon az aggregált kínálat, ha belép egyS2(p) = p − 20 eladó a piacra? (az alap kínálati függvényváltozatlan)

(5)(III) Számold ki a D1 keresleti függvény árrugalmasságátp = 30-nál!



Feladatok

AdóTegyük fel, hogy egy piacon a kereslet és a kínálat az alábbiösszefüggésekkel adhatók meg: Q = 20− p és Q = p! A kormányelhatározza, hogy 2 egységnyi adót vet ki a fogyasztókra.

1. Add meg a megváltozott helyzetnek megfelel®en a keresleti ésa kínálati görbe egyenletét!

2. Mekkora lesz a fogyasztás az adó kivetése után és mekkoralesz a fogyasztók által �zetett ár?

3. Mekkora az adóbevétel és a holtteher veszteség?

4. Ábrázold a helyzetet!

5. Mi történik, ha a kormányzat 50%-os értékadót vet ki amennyiségi adó helyett?



Elmélet

Fogyasztói választás



Elmélet

Alapfogalmak

I Költségvetési korlát (+tengelymetszetek, meredekség)I Preferencia, közömbösségi görbe, hasznosságI Tökéletes kiegészítés, helyettesítés, Cobb Douglas. konkáv,

konvex preferenciák, kvázilineáris preferenciákI Pozitív monoton transzformációI Engel görbe, árajánlati görbe, jövedelemajánlati görbeI Normál jószág, inferior jószág



Elmélet

Költségvetési korlát - jövedelem változás



Elmélet

Költségvetési korlát - árváltozás



Elmélet

Választás



Elmélet

Engel görbe



Elmélet

Kereslet levezetése



Feladatok

Alap feladatTegyük fel, hogy jövedelmed 40 dollár, amit két termékre költhetsz.Az 1. termék ára 10 dollár, a második terméké 5 dollár.

a) Írd fel költségvetési egyenesed egyenletét!b) Ha az összes jövedelmed az 1. termékre költöd, mennyit vehetszbel®le?c) Ha az összes jövedelmed a 2. termékre költöd, mennyit vehetszbel®le? Rajzold fel a költségvetési egyenesed!d) Tegyük fel, hogy az 1. termék ára 5 dollárra esik, miközbenminden más körülmény változatlan marad. Írd és rajzold fel az újköltségvetési egyenest!e) Tegyük fel, hogy az általad elkölthet® összeg 30 dollárra esik,miközben mindkét termék ára 5 dollár marad. Írd fel költségvetésiegyenesed!



Feladatok

Kiterjesztett feladat

Péter szereti a pizzát. Egy étteremben a pizza ára: 1200 Ft. Haviösztöndíja a srácnak 66.000 Ft. Mivel törzsvendék, kapkedvezményt is. Amennyiben egy hónapban legalább 10 pizzátelfogyaszt, minden további után 10% árkedvezményt kap.

Maximálisan mennyi pizzát fogyaszthat Péter havonta?



Választás

Tökéletes helyettesítésa) Egy fogyasztó hasznossági függvénye a következ®:U = x + y . Azárarányok Px/py = 1/2. A rendelkezésre álló jövedelem 100 egység.Mennyit fogyaszt x-b®l, és mennyit y -ból, ha Px = 10,Py = 20?

b) Egy fogyasztó hasznossági függvénye a következ®:U = 2x + y .Az árarányok Px/py = 1/3. A rendelkezésre álló jövedelem 100egység.Mennyit fogyaszt x-b®l, és mennyit y -ból?

c) Egy fogyasztó hasznossági függvénye a következ®: U = 4x + 5y .Az x termék ára 30 Ft, az y termék ára 40 Ft. A rendelkezésre állójövedelem 1200 egység.Mennyit fogyaszt x-b®l, és mennyit y -bó?



Választás

Tökéletes kiegészítés

A Kovács család a paprikát és a paradicsomot csak lecsóformájában szereti. A lecsór vonatkozó hasznossági függvényük:U = min{2paprika; 1paradicsom}

a) Milyen preferenciákat jelez a fenti hasznossági függvény?b) Havonta hányszor eszik lecsót a Kovács család, ha a paprika ára40 Ft/kg, a paradicsom egységára pedig 20 Ft/kg? Lecsórafordított jövedelmük havi 400 Ft.



Választás

Cobb Douglas

Józsi bácsi 100 Ft-tal a zsebében lépett be kedven borozójába. Aszóda ára 10 Ft/dl, a boré 20 Ft/dl. Józsi bácsi fröccsre vonatkozóhasznossági függvénye U = s0,2 ∗ b0,8

a) Mennyi bort és mennyi szódát fogyaszt?b) Add meg a borra és a szódára vonatkozó keresleti függvényt!c) Add meg a szódára és a borra vonatkozó Engel görbékegyenletét!d) Mekkora lesz Józsi bácsi szóda és borfogyasztása, ha a szóda ára5, 10, illetve 20 Ft? Ábrázoljuk az árajánlati görbét!e) Mekkora Józsi bácsi fogyasztása, ha zsebében 50, 100, ill. 200Ft van?



Választás

Cobb Douglas

Egy fogyasztó hasznossági függvénye a következ®: U(x , y) = xy2 Afogyasztó jövedelme m = 330. Az árak: px = 10; py = 22. Akormányzat az x jószágra egy egységnyi mennyiségi adót vet ki.

a) Mekkora az adóbevétel?b) Mennyi lenne az adóbevétel, ha a fogyasztó az adózás utánugyanakkora hasznosságot érne el, mint a mennyiségi adó esetében,de egyösszeg¶ jövedelemadót vetnének ki rá?



Mintafeladatok

A piac

1) A búgócsigák piacán a keresleti függvény: q = 500− ap; akínálati függvény pedig q = 20+ 2p alakú. A kormányzat azonbanúgy gondolja, hogy ezt a piacot is megadóztatja, ezért 10 egységnagyságú mennyiségi adót vet ki a búgócsigákra. Mekkora az a

paraméter értéke, ha tudjuk, hogy a beszedett adóösszeg 50-szereseaz adózás okozta holtteher-veszteségnek?

2) Mennyi a D(p) = 1/p3 alakú keresleti függvény árrugalmasságaa p = 2 és p = 4 pontokban?



Mintafeladatok

3) Aladár és Balázs almafogyasztását a következ® keresletifüggvények adják meg: yA = 200− p és yB = 100− 2p. Mekkoraaz alma iránti együttes keresletük, ha a piaci ár 80?

4) Egy fogyasztó x termék iránti keresleti függvénye a következ®:x = 3I

px, ahol px az x jószág ára, I pedig a jövedelem. Állapítsa meg

a kereslet jövedelemrugalmasságát, ha px =2 és py = 3, I = 4096!



Mintafeladatok

Választás

5) Festéktüsszent® Hapci Ben® hasznosságfüggvénye a piros és azöld festék vonatkozásában: U(xA, xB) = 2xA(xB)2, ahol xA apiros,xB a zöld festékb®l fogyasztott mennyiség. A piros festékliterje 100Ft-ba, a zöld festék literje 150Ft-ba kerül. Mennyitfogyaszt Ben® a két termékb®l?

6) A fogyasztónk hasznossági függvénye a következ®:U(x , y) = ln[(2x + y)5 + 30]. Mennyibe kerül az x termék,amennyiben tudjuk, hogy a fogyasztó optimumban mindkéttermékb®l pozitív mennyiséget fogyaszt, és az y termék ára 4?



Mintafeladatok

7) A fogyasztó hasznosságfüggvénye: U = 2x3y2. A fogyasztójövedelme I , a termékek árai Px és Py . Mi a fogyasztó x termékiránti keresleti függvénye ekkor?

8) Ha a fogyasztó hasznossági függvénye U(x1, x2) = x1 ∗ x2, ésp1 = 200, p2 = 400 , a fogyasztó jövedelme m = 10000 , akkoradott árak mellett az 1− es termékhez tartozó Engel-görbeegyenlete?

9) Piroska zsebpénzét kizárólag a báli ruhájához szükséges piros�itterekre x1 és fekete �itterekre x2 költi. Preferenciáit leírhatjuk azu(x1, x2) = 3x1 + x2 hasznossági függvénnyel, zsebpénze 500 penny.A piros �itter ára p1 = 2 penny, a fekete �itter ára p2 = 1 penny.Mi Piroska optimális választása ekkor?


mikroÖkonÓmia - konzultáció - piac és fogyasztás · 2012-10-01 · matematikai alapok...

Documents