mini manuel d'electrocinetique

Tamer Bcherrawy

lectrocintiqueCours + Exos

Tamer BcherrawyMatre de confrences luniversit de Nancy et formateur lIUFM de Lorraine

Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053939-0

Table des matires

1

Notions de base1.1 Charges lectriques 1.2 Champ lectrique 1.3 nergie et potentiel lectrostatiques 1.4 Conducteurs en quilibre et condensateurs 1.5 Champ dinduction et flux magntique 1.6 Loi dinduction et inductance Points-cls Questions de rflexion Exercices corrigs Solutions des exercices

11 5 6 11 12 13 16 16 17 20

2

Conductance et rsistance2.1 Intensit et densit de courant 2.2 Modle phnomnologique de conduction, loi dOhm 2.3 Conduction et temps de collision 2.4 Effet Joule 2.5 Variation de la rsistivit avec la temprature, la supraconductivit 2.6 Conducteurs non ohmiques 2.7 Utilisations des rsistances Points-cls Questions de rflexion Exercices corrigs Solutions des exercices

2525 28 32 33 34 37 38 41 42 44 45

IV

Table des matires

3

Courant alternatif3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Courant sinusodal Reprsentation trigonomtrique et reprsentation de Fresnel Reprsentation complexe Effet Joule et valeurs efficaces Circuit oscillant LC

4949 51 53 59 60 63 70 72 74 76

3.6 Circuit oscillant LCR Points-cls Questions de rflexion Exercices corrigs Solutions des exercices

4

Diples4.1 Dfinitions et reprsentations 4.2 Rgles de Kirchhoff 4.3 Impdance 4.4 Association des diples 4.5 Puissance lectrique dans les diples 4.6 Gnrateurs comme source de tension 4.7 Gnrateurs comme source de courant 4.8 Association des gnrateurs 4.9 Rcepteurs 4.10 Diples non linaires Points-cls Questions de rflexion Exercices corrigs Solutions des exercices

8787 90 92 95 99 103 107 108 111 114 117 117 118 121

5

Analyse des circuits5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 Dfinitions Circuit RLC forc Rsonance dans le circuit RLC Bilan dnergie en rgime permanent Application des rgles de Kirchhoff Analyse utilisant la superposition

131131 133 135 138 140 143

Table des matires

V

5.7 Thormes de Thvenin et de Norton 5.8 Courants de mailles et rciprocit 5.9 Dualit Points-cls Questions de rflexion Exercices corrigs Solutions des exercices

145 148 150 152 153 154 156

6

Rgimes transitoires6.1 Rgimes permanents et rgimes transitoires 6.2 Circuit RC 6.3 Circuit RL 6.4 Circuits RLC Points-cls Questions de rflexion Exercices corrigs Solutions des exercices

167167 170 173 175 177 178 179 181

7

Filtres7.1 Dfinitions 7.2 Fonction de transfert et bande passante 7.3 Quadriples en T 7.4 Rponse dun filtre un signal 7.5 Systmes non linaires 7.6 Annexe : Intgration complexe Points-cls Questions de rflexion Exercices corrigs Solutions des exercices

187187 189 193 197 199 200 202 203 204 206

Indications pour les questions de rflexion Annexes Index

217 225 229

Comment utiliser le Mini-Manuel ?La page dentre de chapitre Elle donne le plan du cours, ainsi quun rappel des objectifs pdagogiques du chapitre.oscilla-

CHAP

3

ITRE

t Couran if alternatde Fresnel

n sentatio sodal rant sinu ue et repr nomtriq 3.1 Cou ion trigo rsentat 3.2 Rep plexe ion com rsentat efficaces 3.3 Rep valeurs t Joule et 3.4 Effe LC uit oscillant 3.5 Circ LCR uit oscillant 3.6 Circ

PLAN

OBJEC

es tud

al et des sinusod courant circuit en ents dun des lm circuit. res dun tions prop

TIF

3.1

ent les DAL rs reprenn ps T, T SINUSO grandeu es ses le de tem COURAN ue si tout par un interval tions complpriodiq rs cilla bre dos relation me est ants spa Un syst aux inst ce est le nom par la valeurs priode (3.1) frquen mmes lie la ode. La Elle est el pri ps. app ce de tem . frquen = 1/T tes par unit s (s) et la seconde .) Pour les ement en Hertz (Hz a3 Hz), mg e ordinair appele aussi est exprim ce est z = 10 La priode unit de frquen le kilohertz (kH 9 Hz). te 1 Cet loie = 10 on emp en s . z (GHz uences, gigahert tes frq 6 Hz) et le hau z = 10 hertz (MH

3.3 Repr sentatio n complex e

Le cours Le cours, concis et structur, expose les notions importantes du programme. Les rubriques Une erreur viter Un peu de mthode

53 A= 2 A1 + A 2 2 + 2A1 A cos = 2 cos( (A1 cos 1 ) 2 1 + A sin = 2 cos (A1 sin 2 )/A , 1 + A Les con 2 sin 2 )/A conditio ditions initiales (3.11) ns initiales de u(t) sont des C2 . Ce st le prin de u1 (t) et u combina (t) cipe de superpo 2 avec les mm isons linaires de Fres des nel illus sition des es tre bien solution coefficients C cette prop u2 (t), qui s. La repr 1 et rit. Les sentatio reprsen vecteur mme n tent u s de Fres vite 1 et u , 2 tour nel u1 (t) (1 sse angulaire et et form nent autour de 2 ). Leur somme lorigin ent entr u est la e avec vectorielle e eux la projecti u1 (t) + on sur lax un angle constan vitesse u2 (t). t e Ox de angulai Cest un re , de la somme mtriqu vecteur mod e simple tournan donne just ule A et de pha t avec lamplitu la mm se t + ement les de A est e .Un rela (A1 + A minimu tions (3.11). Le calcul go2 ) si m de A u1 et maximu u2 son est |A (1 = m de 1 A | t en phase ( sont en 2 ). Si u1 (t) et 2 si u1 et son 1 = ) quadrat 2 et le u2 (t) son u2 t ure. Les t dphas en opposition de vecteur et lamplitu s de / phase s qui les de de leur 2, on dit reprsen qui superpo tent son Si u1 et sition est t orthogo ls A = A2 tent tour u2 nont pas la naux nent des mme frq + 2 priodiq vitesses uence, les 1 A2 . ue diffrent Elle osci (sauf si 1 / es. La vibr vecteurs qui les lle 2 est reprsen sont coli entre une valeur gal au rapport ation rsultante naires nest pas maxima de deux et de mm le A1 + lorsque nombres les A , entiers). e alors un deux vecteurs sont sens, une vale 2 lorsque les deu x vecteurs phnom ur minima colinai ne de batt res et de le |A ements de frquen sens opposs. 1 A2 | et Nous avon ce = 3.3 REP |1 s RSENT 2 |. ATI

PLEXE Pour prc iser les lanalys notation e complex s, rappelon bole sou e. s dabord lign) sc Une variable quelque com rit sous la forme plexe (dsign s lments de e ici par u=x+ algbriq un symue jy ; x = Re u et y = Im u (3.12)

ON COM

Un exemple pour comprendre Les points cls retenir

natif rant alter e 3 Cou Chapitr

74

capacit sateur de pliconden sode dam es dun aux born e. Cest une sinu = 0 du point tt cop la tension sion oscillos linstan observe lexpres ran dun 3-1 On . en partant crivez F sur lc ode de 0,5 ms sa pulsation. de courant C =2 tensit pri inez lin tensit V et de Dterm sateur et Quelle est lin tude 2,5 elle augmente. conden t =0 ? V et rge du cha stant y=1 ion, la et I lin de la tens la phase de V a) Vrifiez 2 = 0. est ions u Quelle express tion u + rale les imale ? doscilla gn on max re lquati comme solution consid et 3-2 On lle adm ejt ). ent que directem u = Re(C A et s t) et tion de 1 suivante en fonc + A 2 sin( x vibracos(t) rimez C les deu u = A1 C . Exp que sentent tion de dduire en fonc ts qui repr me. En A 1 et A 2 tournan A et z s leur som Calcule vecteur + ) , o ainsi que cez les cos(t . b) Tra A 2 sin(t) s la forme A A2 et te sou cos(t) tions A 1 t tre cri relations (3.11). e une tenme peu lloscop = cette som A 1 et A 2 par les x dun osci tension V y (t) t lies sur la voie y une son che t est proquon bran ) et sur la voie t du spo posons lacemen + 1 3-3 Sup cos(t que le dp rec(t) = a posons sion Vx onale du Nous sup les deux voies. ire diag + 2). r dcrit la la prem b cos(t la tension pou le spot t dcrit 1 = , 2, le spo ionnel port 2 = z que, si 1 2b et que, si se droite a) Montre s 2a et une ellip tre et de ct t dcrit le. tangle , le spo dune mon En e diagona aiguilles = /2 oppos. deuxim si 2 1 s le sens des le sens z que, dan se dans b) Montre s ce rectangle cette ellip le. dan il dcrit inscrite un cerc /2 , inscrite ellipse si devient 1 = rit une t dc montre que, si 2 b, lellipse dune , le spo si a = iculier, aiguilles 1 = part des si 2 z que, < 2. le sens le spot c) Montre le dans oppos si < rentes, rectang sont diff si le rapdans ce et dans le sens Vx et Vy le sauf ations de < alors ferle rectang est 0< les puls dans courbe z que, si e inscrite ers ; la d) Montre non ferm nombres enti courbe x dcrit une est celui de deu ajous). /y port x rbe de Liss ele cou me (app

RRIGS CES CO EXERCI

Les exercices Ils sont proposs en fin de chapitre, avec leur solution, pour se tester tout au long de lanne.

CHAPITRE

1

Notions de base

1.1 Charges lectriques 1.2 Champ lectrique

PLAN OBJECTIF 1.1

1.3 nergie et potentiel lectrostatiques 1.4 Conducteurs en quilibre et condensateurs 1.5 Champ dinduction et flux magntique 1.6 Loi dinduction et self inductance

Revoir les notions de base de llectromagntisme

CHARGES LECTRIQUES

a) Notion de charge lectrique Comme la masse, la charge lectrique est une grandeur caractristique de la matire. lchelle macroscopique, les corps ne portent habituellement aucune charge totale ; nous disons quils sont neutres. En frottant certains corps, ils deviennent chargs. Lexprience montre lexistence de deux types de charge : la charge positive et la charge ngative. Des corps portant des charges de mme signe se repoussent et des corps portant des charges de signes opposs sattirent. lchelle microscopique, les atomes sont forms par des protons positifs, des neutrons neutres et des lectrons ngatifs. Llectrification par frottement sexplique par le transfert dlectrons dun corps un autre. Les interactions des particules charges sont responsables de la

2

Chapitre 1 Notions de base

liaison des lectrons aux atomes et des atomes aux atomes pour former les molcules. Elles sont aussi fondamentalement lorigine des proprits de la matire macroscopique telles que la cohsion des solides et des liquides, les frottements, llasticit, la viscosit etc. b) Force de Coulomb En 1785, Coulomb a russi mesurer la force dinteraction de deux petites boules de charges q1 et q2 en utilisant une balance de torsion (Fig. 1.1a). Il a tabli que cette force est dans la direction de la ligne qui les joint, proportionnelle q1 et q2 et inversement proportionnelle au carr de la distance r12 qui les spare. Si la charge q1 est en r1 et la charge q2 est en r2 (Fig. 1.1b), la force daction de q1 sur q2 scrit sous la forme vectorielle F12 = K o q1 q2 e12 q1 q2 r12 , 3 r12 4o r12 r12 = r2 r1 (1.1)

o e12 est le vecteur unitaire dans la direction r12 . K o est une constante positive. Son remplacement par 1/4o est pour une raison de commodit (systme rationalis ou de Heaviside). Inversement la charge q2 agit sur q1 avec une force F21 = o N P M F F21 (a) q1 r1 (b) O r12 r2

q1 q2 r21 q1 q2 r12 = = F12 3 3 4o r12 4o r12 r21 = r1 r2 = r12 .

(1.2)F12 q2

Figure 1-1 Force de Coulomb : a) Dans lexprience de Coulomb,une charge q1 est porte par une boule P fixe et une charge q2 est porte par une boule M fixe lextrmit dune tige suspendue un fil de torsion.Linteraction de ces charges est dtermine en mesurant langle de torsion du fil. b) Forces dinteraction de deux charges q1 et q2 (de mme signe dans le cas de la figure).

1.1 Charges lectriques

3

La loi de Coulomb ressemble la loi dattraction universelle de 3 Newton F12 = Gm 1 m 2 r12 /r12 . Prcisons que ces lois sont valables pour des corps ponctuels ; cest--dire de dimensions ngligeables compares la distance qui les spare. c) Quantification de la charge lectrique Les expriences (de Millikan, par exemple) montrent qu lchelle microscopique, la charge lectrique des particules ne prend pas des valeurs continues mais seulement des multiples entiers (0,e,2e,3e etc.) dune charge lmentaire e = 1,602 177 33 1019 C Nous disons que la charge lectrique est quantifie.Certaines particules lmentaires (comme le proton) ont une charge +e , dautres (comme llectron) ont une charge e tandis que dautres (comme le neutron) sont neutres. lchelle macroscopique, la charge lmentaire est extrmement petite et, une trs bonne approximation, les charges tendues peuvent tre considres comme une distribution continue de charge.

(1.3)

Dautre part, quand nous parlons de charges ponctuelles, il sagit soit dune particule lmentaire, soit dun objet macroscopique de taille beaucoup plus petite que les distances du systme. Dans les solides, les phnomnes lectriques sont essentiellement produits par le dplacement des lectrons de charge e et de masse m e = 9,109 382 6 1031 kg. (1.4)

Un corps solide devient charg en gagnant ou en perdant des lectrons. Les atomes deviennent alors des ions immobiles. Dans les liquides, les molcules se divisent en deux ions de charges opposes et qui sont plus ou moins mobiles. d) Conservation de la charge lectrique Lexprience montre que llectron et le proton sont stables. Il nest pas possible de les dtruire et leur charge ne varie pas au cours du temps. La charge lectrique des particules ne dpend pas de leur vitesse, mme si elle est proche de la vitesse de la lumire c, ou des conditions physiques telles que la temprature, la pression etc.

4


Lexprience montre aussi que, dans toute transformation physique, chimique ou biologique, la charge totale dun systme est conserve, sil ny a aucun transfert de charge travers sa surface extrieure. Des interactions peuvent avoir lieu dans le systme, entranant lchange interne de particules charges sans que la charge totale du systme change.

e) Isolants et conducteurs Dans les corps solides, seuls les lectrons peuvent se dplacer sous leffet des forces lectriques externes. Les matriaux peuvent tre classs en isolants et conducteurs. Dans les isolants les lectrons sont fortement lis aux atomes et les lectrons ne peuvent se dplacer qu lintrieur de latome et la molcule, produisant le phnomne de polarisation, qui est lorigine des proprits dilectriques des corps. Dans les conducteurs, les lectrons de la couche externe de latome sont faiblement lis latome. Ils peuvent se dplacer travers le milieu. Un corps conducteur ne peut pas tre lectrifi par frottement ; car les lectrons se repoussent et se rpartissent sur la surface extrieure du corps. En ralit, la distinction entre conducteurs et isolants nest pas nette ; certains matriaux sont meilleurs conducteurs que dautres et des milieux (appels semi-conducteurs) ont des proprits intermdiaires entre celles des isolants et des conducteurs. Le nombre dlectrons libres (ou de conduction) est de lordre dun lectron par atome et leur vitesse de dplacement est de lordre dune fraction de mm par seconde.Charge dessai dF

q1 r1

Charge dessai F F1 q2 r2 q3 r3 F2

F3 q M r

V

dV

rr r

Charges sources(a)

Volume charg source O (b)

r O

Figure 1-2 a) Champ lectrique dune distribution discrte de charges et b) champ dune distribution volumique continue de charges.

1.2 Champ lectrique

5

1.2

CHAMP LECTRIQUENous admettons le principe de superposition des forces lectriques, selon lequel laction de plusieurs charges qi , places aux points ri, sur une charge q, place en r, est la somme vectorielle des forces quexercerait sur q chacune de ces charges, si elle agissait seule (Fig.1.2a) : F=qi

a) Principe de superposition

qi r ri 40 |r ri |3

(1.5)

Dans la suite, la charge q qui subit les forces est dsigne comme une charge dessai tandis que les charges qi qui produisent la force sont dsignes comme des charges sources. Si les charges sources sont distribues dans un volume V (Fig.1.2b), chaque lment infinitsimal d V , au voisinage du point r , contient une charge dq = qv (r )d V assimilable une charge ponctuelle. qv (r ) est la densit volumique au voisinage de r . La sommation discrte dans lexpression (1.5) doit alors tre remplace par une intgrale : F= dF = q 40 d V qv (r ) rr |r r |3 (1.6)

V

V

Des considrations analogues peuvent tre faites dans le cas dune distribution de charge sur une surface ou sur une courbe. b) Champ lectrique dune distribution de charges La force lectrique qui agit sur une particule dessai est proportionnelle sa charge q. La force qui agit sur lunit de charge dessai est appele champ lectrique. La force qui agit sur la charge dessai q est donc F = qE Le champ dune distribution de charges sources est E(r) =i

(1.7)

1 qi r ri ou E(r) = 4o 4o |r ri |3

V

d V qv (r )

rr (1.8) |r r |3

En particulier, une charge q place en un point r produit en tout point r un champ lectrique qui est orient dans la direction radiale r r et qui a le mme module sur les sphres centres la position de q . Il est sortant si q est positive et entrant si q est ngative.

6


E(r) E(r) q q +q

(a)

(b)

Figure 1-3 Lignes de champ a) dune charge positive et b) dun diple.

Ce champ vectoriel est reprsent parfois par des lignes de champ tangentes au champ en chaque point de lespace (voir la figure 1.3). On indique sur ces lignes le sens du champ. Elles sont serres aux endroits ou le champ est intense et parallles si le champ est uniforme. Elles divergent partir des charges positives ponctuelles et convergent vers les charges ngatives ponctuelles. En chaque point passe une seule ligne de champ sauf si une charge ponctuelle est en ce point ou si une ligne charge y passe. Les lignes du champ commencent ou aboutissent toujours des charges ou linfini.La notion de champ nest pas un artifice. Le champ est une entit physique indpendamment de la prsence de la charge dessai, exactement comme le champ gravitationnel de la Terre. Le champ lectrique se propage dun endroit un autre, transportant de lnergie, de limpulsion etc. Pour tablir un champ lectrique dans une rgion de lespace, il faut une certaine nergie.

1.3

NERGIE ET POTENTIEL LECTROSTATIQUES

a) Potentiel la notion de force, on associe les concepts de travail et dnergie. Lune des lois absolues de la nature est la conservation de lnergie totale dun systme isol. Lnergie peut prendre plusieurs formes. En mcanique, nous connaissons lnergie cintique E c associe la vitesse de translation et de rotation des corps massifs et lnergie potentielle U p associe la position relative des corps en interaction, lun par rapport aux autres. Dans le cas de forces de frottement, lnergie des corps macroscopiques se transforme en chaleur (associe lagitation thermique des particules qui constituent le corps).

1.3 nergie et potentiel lectrostatiques

7

En lectromagntisme, nous avons aussi une nergie cintique si les corps chargs se dplacent, une nergie potentielle associe la position de chaque charge dans le champ lectrique des autres. Dans le cas du mouvement des lectrons de conduction dans un conducteur, la vitesse est trs faible et lnergie cintique est ngligeable. Le travail des forces lectriques (cest--dire la variation de lnergie potentielle lectrique) est dissip comme chaleur par effet Joule ou dautres formes dnergie. Pour dplacer une charge q dans un champ E sans lacclrer, il faut exercer une force F oppose la force lectrique. Le travail quon doit fournir pour dplacer la particule de dr se transforme en nergie potentielle lectrique proportionnelle q. Lnergie potentielle par unit de charge dessai est appele potentiel et dsigne par V : d V = dW /q = (F /q).dr = E.dr = (E x dx + E y dy + E z dz) (1.9) Considrant des dplacements dans les directions dx, dy et dz, cette relation est quivalente trois quations(1) E x = V / x, E y = V /y, On crit symboliquement E = V (1.11) E z = V / x (1.10)

On peut facilement vrifier que le potentiel dune distribution de charges est V (r) =i

qi 1 4o |r r |

ou V (r) =

1 4o

V

d V qv (r )

1 |r r | (1.12)

Notons que le champ E nest pas modifi si on ajoute V une constante. Seule la diffrence de potentiel (d.d.p.)(2) a un sens. Dhabitude on choisit cette constante telle que V = 0 linfini (Ce nest pas possible si des charges existent linfini).Dans le cas des instruments, on prend le potentiel nul sur lenceinte mtallique souvent relie la Terre (qui est un corps conducteur dont le potentiel est pris comme rfrence, cest--dire nul).(1) V / x , par exemple, dsigne la drive partielle par rapport x, cest--dire la drive par rapport x en maintenant toutes les autres variables constantes. Un symbole point, tel que Q , est une abrviation de la drive partielle par rapport au temps Q/t . (2) Nous utilisons dans ce texte les sigles d.d.p. pour diffrence de potentiel, f..m. pour force lectromotrice et f.c..m. pour force contre lectromotrice.

8


Inversement, intgrant lquation (1.9) entre deux points A et B, nous trouvons V A VB = A B

dr.E

(1.13)

En particulier, si le champ est nul sur le chemin AB (ou sil est perpendiculaire ce chemin) cette relation montre que V A = VB. Par exemple, si E est uniforme dans la direction O x, nous avons dr.E = E dx et la d.d.p. scrit V A VB = A B

dx E = E(x A x B )

(1.14)

b) Travail de la force lectrique Si une particule de charge q est place dans un champ E, ce champ agit sur elle avec une force qE et lui fournit un travail dW = dW = qd V En ce dplaant de A B, le champ lui fournit un travail W AB = q V AB o V AB = V A VB (1.16) (1.15)

Ce travail ne dpend pas du chemin suivi, exactement comme dans le cas du mouvement dune masse dans un champ gravitationnel. En particulier, sur un contour ferm, ce travail est nul (voir la figure 1.4).

F = qE A r E q rri q O B C C

Figure 1-4 Champ dune charge q et la force quelle exerce sur q . Le travail de cette force si la charge q se dplace de A B sur le chemin C ou sur le chemin C est WAB = qVAB . Le travail sur le contour ferm (C + C ) est donc nul.

1.3 nergie et potentiel lectrostatiques

9

Une chute de potentiel entre A et B (cest--dire V A > VB) correspond un travail W AB positif. Ce travail est videmment fourni par le systme qui produit le champ E (cest--dire le gnrateur qui produit la d.d.p.). Si la charge est libre, cette nergie est transforme en nergie cintique. Par contre si cette charge se dplace avec une vitesse constante ou ngligeable (dans un conducteur, par exemple), cette nergie est transforme en chaleur (par effet Joule), en nergie mcanique (dans un moteur), en nergie chimique (pour charger une batterie, par exemple) etc. c) Units et ordres de grandeur La charge lectrique est une grandeur qui ne peut pas tre exprime en units mcaniques fondamentales (longueur, masse et temps). Son choix est donc arbitraire et la valeur de K o dpend de ce choix. Pour des raisons de commodit et de prcision des mesures, la grandeur lectrique fondamentale dans le systme International dunits (S I ) est lintensit de courant lectrique I et son unit est lampre (A). Lintensit dun courant stationnaire est la quantit de charge quil transporte par unit de temps : I = Q/t (1.17)

Lampre est dfini dune faon prcise en utilisant linteraction des courants lectriques. Lunit de charge, appele coulomb (C), est alors dfinie comme la quantit de charge transporte par un courant stationnaire dintensit 1 A. Dans ce systme dunits, la valeur numrique de la constante dans la loi de Coulomb (1.1) est K o = 1/4o = 8,987 551 79 109 N.m2/C2 o = 8,854 187 82 1012 C/N.m2 (1.18)

La constante o est appele permittivit du vide. La force est alors exprime en newtons (N). Si les charges taient dans un milieu isolant (un dilectrique) linaire et isotrope, la constante o doit tre remplace par la permittivit du dilectrique toujours suprieure o . Lair, par exemple, a une permittivit air = 1,00058 o tandis que leau a une permittivit eau = 80,4 o 20C. Dans le Systme International dunits (S I ), les units mcaniques fondamentales sont le mtre (m) pour la longueur, le kilogramme (kg)

10


pour la masse et la seconde (s) pour le temps. Lunit dnergie est le joule (J) et celle du potentiel est le volt (V = J/C). Lunit de champ lectrique est le V/m ou N/C.

Pour avoir une ide de lordre des grandeurs, notons dabord que la force lectrique est norme, compare la force gravitationnelle. Deux petites boules de masse 1 kg portant chacune une charge de 1 C et spares par une distance de 1 m se repoussent avec une force lectrique de 9 109 N (poids dun million de tonnes !) et sattirent avec une force gravitationnelle de 6,67 1011 N. En fait, le coulomb est une charge norme lchelle humaine : les tincelles transportent beaucoup moins quun micro coulomb (1C = 106 C) et les frottements produisent une charge de lordre de 10 nano coulombs par cm2 (1 nC = 109 C). Le champ lectrique peut atteindre 107 N/C dans les membranes des cellules de notre corps, 1011 N/C dans les atomes et 1020 N/C sur la surface des noyaux atomiques. Nous vivons dans un environnement de champ lectrique : quelques N/C dans les domiciles, un champ atmosphrique vertical et dirig vers le sol denviron 150 N/C en beau temps et jusqu 104 N/C en temps orageux.

d) nergie lectrostatique dun systme de charges Lnergie lectrostatique dun ensemble de charges est lnergie ncessaire pour les assembler en les amenant de trs loin. Considrons, par exemple, le cas de trois charges. Supposons quon amne dabord q1 de linfini la position r1 . Aucun travail nest ncessaire pour cela. Elle cre en tout point r un potentiel V1 (r). Pour amener la charge q2 de linfini la position r2 , il faut effectuer le travail U12 = q2 V1 (r2 ). Le potentiel de ces deux charges est maintenant V1 (r) + V2 (r) en tout point r. Pour amener ensuite q3 de linfini la position r3 , il faut une nergie q3 [V1 (r3 ) + V2 (r3 )] . Le travail total ncessaire pour assembler les trois charges est UE = q2 V1 (r2 ) + q3 [V1 (r3 ) + V2 (r3 )] q1 q2 q1 q3 q2 q3 1 + + = 4o |r1 r2 | |r1 r3 | |r2 r3 |

1.4 Conducteurs en quilibre et condensateurs

11

Chaque paire de charges contribue donc un terme lnergie totale. Gnralisant au cas dun nombre arbitraire N de charges, nous pouvons crire qi q j 1 UE = paires 4o ri r j (1.19) qi q j 1 1 1 = = i= j / i qi V (ri ) 2 4o 2 ri r j Dans la premire forme, la sommation est sur toutes les 1 N (N 1) 2 paires de particules distinctes, dans la deuxime forme, la sommation est sur toutes les particules i et j diffrentes, le facteur 1/2 compensant le fait que chaque paire est compte deux fois. Dans la troisime forme, nous avons utilis lexpression (1.12) pour le potentiel produit en r j par toutes les charges sauf (j). Dans le cas dune distribution continue de charge, la sommation doit tre remplace par des intgrales en considrant des lments de volume, de surface ou de lignes charges. En particulier, dans le cas de conducteurs, on montre quon peut remplacer V (r j ) par le potentiel total V (r j ), chaque conducteur tant quipotentiel. Faisant la sommation pour chaque conducteur (j) puis pour les conducteurs, on peut crire 1 UE = (1.20) j Q j Vj 2 o Q j est la charge totale du conducteur (j) et Vj est son potentiel.

1.4 CONDUCTEURS EN QUILIBRE ET CONDENSATEURSDans un conducteur en quilibre, des charges en excs ne peuvent se rpartir que sur la surface extrieure. En effet des lectrons, en excs dans le volume du conducteur ou sur la surface dune cavit, se repoussent et finissent par stablir sur la surface extrieure. De mme, un excs de charges positives attire les lectrons de la surface extrieure ; ce qui rend celle-ci charge positivement. Le champ lectrique dans le conducteur doit tre nul ; sinon ce champ dplacerait les lectrons de conduction et le conducteur ne serait pas en quilibre. Le champ tant nul, la relation (1.13) montre que le conducteur est quipotentiel. Juste lextrieur de la surface extrieure, le champ doit tre normal la surface ; car une ventuelle composante tangentielle dplacerait les charges. Un condensateur est form de deux conducteurs voisins. On montre que ces conducteurs portent des charges opposes +Q et Q proportionnelles leur d.d.p. V Q = CV (1.21)

12


Cest lquation caractristique du condensateur. C est une constante positive appele capacit, qui dpend de la gomtrie des conducteurs et de la permittivit lectrique du milieu qui les spare. Dans le systme SI dunits, C est exprime en farad (F).

Le farad tant norme, on utilise souvent le microfarad (1 F = 106 F) et le picofarad (1 pF = 1012 F). Par exemple, dans le cas dun condensateur plan dpaisseur d, dont les armatures ont une surface S (Fig. 1.5), la capacit est C = S/d.V = Vo + V=0 O E Q d A +Q

Figure 1-5 Condensateur plan.

Un condensateur charg emmagasine une nergie lectrique. Si la d.d.p. des armatures est V V1 V2 , daprs lquation (1.20), lnergie emmagasine est donne par lune des expressions UE = 1 1 1 QV = Q 2 /C = C V 2 2 2 2 (1.22)

1.5

CHAMP DINDUCTION ET FLUX MAGNTIQUE

Un aimant permanent, un courant lectrique ou une charge en mouvement produisent un champ dinduction magntique B, dfini par la force quil exerce sur une particule charge en mouvement de vitesse v, F(M) = qv B (1.23) Cette force est donc proportionnelle v et B et elle est perpendiculaire la fois B et v. Si la particule se dplace de dr = v dt, le travail du champ magntique est dW M = F(M) .dr = q(v B).v dt = 0 (1.24)

1.5 Champ dinduction et flux magntique

13

Ce travail tant nul, lnergie cintique de la particule est constante. Sa vitesse reste constante en module mais sa direction change. Dans le cas dun champ B constant, une particule charge dcrit une hlice dont laxe est parallle B (ou un cercle) de rayon mv/q B. Le flux du champ magntique B travers une surface S est dfini parS

=S

d S n.B

(1.25)

o n est le vecteur unitaire normal llment de surface d S. Le champ magntique a la proprit importante davoir un flux conservatif. Cela veut dire que le flux de B sur une surface ferme est nul et le flux est le mme sur deux surfaces limites par un mme contour.Dans le systme international dunits, le flux du champ B est exprim en weber (Wb) et le champ B en tesla (T) quivalent Wb/m2 ou N.C1 .s.m1 .

Un circuit C, transportant un courant dintensit I, produit un champ B(r) = I 4 dr (r r ) |r r |3 (1.26)

C

est la permabilit magntique du milieu. La permabilit du vide est o = 4 107 T.m/A (valeur exacte) (1.27)

Un champ magntique uniforme peut tre produit lintrieur dun long solnode et il est donn par B = N I, (1.28)

o N est le nombre de spires par unit de longueur. B est dans la direction de laxe du solnode.

1.6 LOI DINDUCTION ET INDUCTANCELexprience montre quune f..m. est induite dans un circuit, si le flux du champ magntique lintrieur de ce circuit varie. Cette variation peut tre due un dplacement du circuit ou des systmes qui produisent le champ, une dformation du circuit ou la variation du champ dans le temps. La f..m. induite est donne par la loi de FaradayE =

d S dt

(1.29)

14


Pour appliquer cette loi, on choisit une orientation du circuit ; la direction de la normale n la surface S limite par le circuit est alors donne par la rgle de la main droite (n est dans la direction du pouce si les doigts sont dans le sens choisi du circuit). Si E est positive, le courant induit est effectivement dans le sens choisi. On peut utiliser aussi la loi de Lenz, selon laquelle la f..m. et le courant induits sont dans un sens tel quils sopposent la cause qui les produit.

Dans le cas de phnomnes variables, le champ E ne drive pas dun potentiel ; la circulation de E sur le circuit ferm nest pas nulle, mais justement gale la f..m. induite E .C1 C2

M

B

Bind

N B1 (b)

(a)

Figure 1-6 a) Self-inductance dans une bobine : le sens de B est donn par la rgle de la main droite.Si I augmente,B et augmentent,un courant est induit dans le sens NM pour quil produise un champ Bind et un flux ind qui tendent diminuer . b) Influence mutuelle de deux circuits.Le champ magntique du circuit C1 produit un flux dans le circuit C2 et rciproquement.

Considrons un circuit (une bobine par exemple) transportant un courant I. Le champ magntique B, quil produit, est proportionnel I et il en est de mme pour le flux magntique travers le circuit luimme. Nous crivons = LI (1.30)

L est une constante positive, appele self-inductance, qui dpend de la gomtrie du circuit et de la permabilit du milieu. Lunit de selfinductance est appele henry (1 H = 1 Wb/A). Si lintensit varie, le flux varie et une f..m. est induite, produisant un courant induit et un champ magntique induit Bind qui soppose la variation du flux . Cela produit une d.d.p. VMN = d I /dt (1.31)

1.6 Loi dinduction et inductance

15

Cest lquation caractristique de la self-inductance. Pour vrifier le signe du second membre, considrons la bobine de la Fig. 1.6 et supposons que le courant est dans le sens MN. La rgle de la main droite donne la direction du champ B dans le sens NM. La f..m. induite soppose la cause qui la produit.Par exemple, si I augmente, la f..m. induite tend rduire cette augmentation en produisant un courant induit oppos, donc dans le sens NM. Ce qui est quivalent un gnrateur dont la borne positive est en M, donc une d.d.p. induite VM VN positive ; cela est en accord avec lquation (1.31).

Une self-inductance L, transportant un courant dintensit I, possde une nergie magntique. Pour calculer cette nergie, supposons que lintensit est augmente graduellement de 0 I. un instant donn lintensit est i(t). Le potentiel aux bornes de la self est VM N = L(di/dt). Pendant dt, la charge transporte est dq = i dt et lnergie fournie est dU(M) = VM N dq = L di i dt = L i di dt

Pour augmenter i de 0 I, lnergie fournie est U(M) =f inal initial

dU(M) = L

I

di i do0

U(M) =

1 2 LI 2 (1.32)

Cest lnergie magntique emmagasine dans la self-inductance. Deux circuits lectriques C1 et C2 sont en influence mutuelle si le champ magntique de lun produit un flux magntique dans lautre (figure 1.6b). Si C1 est le sige dun courant i 1, il produit un champ B1 et celui-ci a travers C2 un flux magntique proportionnel i 1 et rciproquement. Nous crivons12

= M12 i 1

et

21

= M21 i 2

(1.33)

Mi j est le coefficient dinfluence magntique de Ci sur C j. On choisit des sens pour les circuits ; les intensits et les flux sont alors positifs ou ngatif et il en est de mmes pour les Mi j. On montre que Mi j = M ji. Si les courants varient il y aura des f..m. induites dinfluence dans les circuits :E1 =

d

21

dt

= M

di 2 dt

et

E2 =

d

12

dt

= M

di 1 (1.34) dt

16


Ces f..m. se superposent aux f..m. E1 = L 1 (di 1 /dt) et E2 = L 2 (di 2 /dt) auto-induites dans les deux circuits. Lnergie magntique des deux circuits est alors 1 1 2 2 U(M) = L 1 i 1 + L 2 i 2 + Mi 1 i 2 (1.35) 2 2

POINTS-CLS La charge lmentaire tant extrmement petite, la quantification de la

charge na souvent aucun effet sur les phnomnes macroscopiques. La loi de conservation de la charge veut dire quelle ne peut tre ni dtruite ni cre. Dans tout processus physique, la charge totale dun systme isol est conserve. Il faut retenir la dfinition du potentiel comme lnergie potentielle

dune charge q = 1 C dans le champ lectrique, cest--dire le travail ncessaire pour amener la charge de linfini sa position actuelle. La diffrence de potentiel V A VB est le travail du champ pour dplacer une charge q = 1 de A B . Cest aussi le travail quun agent extrieur doit fournir pour dplacer la charge de B A (faire lanalogie avec le travail quon doit effectuer pour dplacer une masse de 1 kg de B A dans le champ de pesanteur). Ce travail ne dpend pas du chemin. Si le corps dcrit un contour ferm pour revenir au point de dpart, le travail est nul. Cest la dfinition mme dun champ conservatif. Cela nest pas vrai dans un champ magntique variable ( cause de la force lectromotrice induite). introduit ici seulement pour crire lexpression de la d.d.p. aux bornes dune self-inductance V = L I et son nergie magntique emmagasine 1 2 U(M) = 2 L I .

Le champ magntique ne sera pas utilis dans ce texte. Nous lavons

QUESTIONS DE RFLEXION1. On dplace une charge q = 1,0 C dun point A, o V A = 0, un point B, o VB = 100 V. On suppose que la vitesse initiale et la vitesse finale sont nulles. Discutez la variation de lnergie de la particule et le travail ncessaire pour effectuer ce dplacement. Ce travail dpend-il de la trajectoire et de la vitesse intermdiaire ?

Exercices corrigs

17

2. Est-il possible quune particule charge soit en mouvement rectiligne a) dans un champ lectrique uniforme ? b) dans un champ magntique uniforme ? c) dans une rgion o il y un champ lectrique et un champ magntique uniformes ? 3. Utilisant lexpression E = (qs /2)n du champ dun plan portant une charge de densit qs et normal au vecteur unitaire n, vrifiez que le champ entre les armatures dun condensateur est (qs /) et nul lextrieur. Quelle est la direction de ce champ ? Quelle est la d.d.p. des armatures ? Quelle est la capacit du condensateur ? 4. Si un aimant permanent est dplac prs dun circuit ne contenant pas de gnrateurs, un courant est induit et cela exige de lnergie. Quelle est lorigine de cette nergie ? Comment lnergie est-elle transfre au circuit isol ? Peut-on dire que le champ magntique transporte de lnergie ? 5. Un courant de 5 A est tabli dans une self de 30 H. Peut-on avoir une f..m. induite de 100 V dans L ? Pourquoi une tincelle clate-t-elle entre les bornes de linterrupteur lorsquon coupe le courant ? 6. Quel est leffet dune bobine de self-inductance L et de rsistance R dans un circuit si lintensit de courant est constante ? Quelle est la puissance quelle consomme dans le cas dun courant variable ? Quel est leffet dun condensateur dans un circuit si lintensit de courant est constante ? Quelle est la puissance quil consomme dans le cas dun courant variable ?

EXERCICES CORRIGS1-1 Une goutte deau de rayon 1 mm a un excs de 106 lectrons. Quelle force lectrique subit-elle prs du sol en beau temps (le champ lectrique est alors E = 150 N/C dirig vers le haut) et en temps dorage (alors E = 104 N/C) ? Comparez cette force au poids de la goutte. 1-2 Dans un tube de rayons cathodiques, les lectrons sont mis par la cathode et attirs par lanode dont le potentiel est suprieur de 104 V sur celui de la cathode. Supposant que les lectrons sont initialement au repos, dterminez leur vitesse en arrivant lanode. 1-3 Deux plaques mtalliques planes et parallles de surface S sont spares par une distance d et mises sous une tension Vo . Nous supposons que le champ est uniforme entre ces plaques.

18


a) Supposons que ces plaques constituent les armatures dun condensateur plan. Quelle est la charge de ce condensateur ? Dterminez le champ lectrique E entre ces armatures. b) Supposons quun lectron est mis sans vitesse par la plaque ngative. Quelle est la force exerce sur cet lectron ? crivez son quation de mouvement et dterminez sa vitesse v f lorsquil atteint la plaque positive. c) Supposant que d = 1 mm, S = 10 cm2 et Vo = 10 V, dterminez E et v f . d) Sans analyser les dtails du mouvement comme dans la question prcdente, dterminez directement lnergie U reue par cet lectron lorsquil atteint la plaque positive. Dduisez-en sa vitesse. e) Supposons que lespace entre ces plaques est rempli dune substance qui exerce sur llectron une force de frottement bv o v est la vitesse de llectron. crivez lquation de mouvement. Sans rsoudre cette quation, montrez que llectron atteint rapidement une vitesse limite constante. Que devient alors le travail de la force lectrique ? 1-4 Supposant que la charge dun condensateur est augmente graduellement de 0 Q, montrez que son nergie est U = 1 Q 2 /C = 1 C V 2 . 2 2 1-5 Calculez la self-inductance L dun solnode de longueur l et form par N tours circulaires de rayon R. Application numrique : Dterminez L si R = 2 cm, N = 5 000 tours et l = 20 cm. 1-6 Si on coupe le courant dans un circuit linstant t = 0, lintensit ne sannule pas instantanment, mais diminue selon la loi I (t) = Io et/ , o Io est lintensit initiale et est un temps caractristique donn par = L/R o L est la self-inductance du circuit et R est sa rsistance. crivez lexpression de la charge Q(t) qui traverse un point du circuit entre t = 0 et t. Reprsentez graphiquement Q et I comme des fonctions du temps. Quelle est la d.d.p aux bornes de la self inductance ? Interprtez son signe.

++++++++++++++++ v E + +

Figure 1-7 Exprience de Millikan.

Exercices corrigs

19

1-7 Lexprience de Millikan (1913) a permis dtablir lexistence de la charge lmentaire et de dterminer sa valeur avec une assez bonne prcision. Le dispositif est reprsent dans la Fig. 1.7. Un champ lectrique E peut tre tabli entre les deux armatures dun condensateur plan. Des gouttes fines dhuile sortent dun pulvriseur, passent travers un trou dans larmature suprieure et tombent dans lespace sparant les deux armatures. Une goutte peut acqurir une charge q soit cause du frottement en sortant du pulvriseur, soit lors des collisions avec des molcules dair ionises. En absence de champ lectrique entre les armatures, elle est soumise son poids mg, une force de viscosit donne par la loi de Stokes fv = 6rv (o est la viscosit de lair, r est le rayon de la goutte et v est sa vitesse) et une pousse dArchimde dans lair m g. Soient la masse spcifique de lhuile et celle de lair. a) tudiez le mouvement de la goutte et montrez que sa vitesse tend vers une vitesse limite donne par vl = (2/9)r 2 g( ). Cette vitesse est trs faible. Lobservation de la goutte laide dune lunette permet de mesurer cette vitesse limite et den dduire le rayon r de la goutte. b) On applique maintenant une tension V et on ajuste son sens et sa valeur pour que la goutte reste suspendue dans lair sous leffet des forces prcdentes et la force lectrique. Vrifiez que ce champ doit tre E = (4/3q)r 3 g ( ) . En dduire que q = 6rvl /E. Lexprience a montr que q est toujours un multiple entier de 1,6 1019 C, qui est la charge lmentaire de llectron, du proton ou de toute particule lmentaire charge. Supposons que, si E = 0, la goutte tombe de 1 mm en 27,4 s et quelle reste en quilibre dans un champ E = 2,25 104 V/m. Combien dlectrons contient-elle ? La viscosit de lair est de 1,8 105 N.s/m, la densit de lhuile est 950 kg/m3 et celle de lair est 1,29 kg/m3. 1-8 Un champ lectrique uniforme E = Ee y est tabli entre les armatures dun condensateur (Fig.1.8). Une particule de charge q est lance de lorigine avec une vitesse vo dans la direction O x. a) crivez les quations de mouvement de cette particule et dterminez sa trajectoire entre les armatures. b) Aprs avoir parcouru une distance L la particule sort du champ ; son mouvement devient rectiligne. Elle est intercepte par un cran plac une distance D de lorigine (D >> L). Dterminez sa dviation Y sur cet cran en fonction de la d.d.p. des armatures.

20


c) Des lectrons sont mis par un filament chauff et acclrs par une tension Va = 10 kV. Calculer leur nergie et leur vitesse. Ils passent entre les armatures dun condensateur de longueur L = 1 cm, dpaisseur 2 mm et soumis une diffrence de potentiel V = 100 V. Calculez leur dflexion observe sur un cran plac 20 cm du condensateur.y L O E +++++ x D Y O

Figure 1-8 Dflexion dune particule charge dans un champ lectrique.

SOLUTIONS DES EXERCICES1-1 La force subie par la goutte en beau temps est :FE = q E bt = 106 (1,60 1019 C)(150 N/C) = 2,40 1011 N et en temps dorage FE = q E or = 106 (1,60 1019 C)(104 N/C) = 1,60 109 N Cette force est dirige vers le haut. Le poids de la goutte est FG = (4/3)r 3 m v g = (4/3)(1,0 103 m)3 (1000 kg/m3 )(9,8m/s2 ) = 4,1 105 N

1-2 Le champ lectrique est dirig de lanode vers la cathode (qui est un potentiel infrieur). Les lectrons sont soumis une force eE dirige vers lanode. Ils sont donc acclrs et ils gagnent une nergie potentielle lectrique eV, qui est transforme en nergie cintique. Nous avons donc E c = 1 mv 2 = eV, do 2v= 2eV /m = [2 (1,6 1019 )(104 V )/(9,1 1031 kg)]1/2 = 5,9 107 m/sCest environ le cinquime de la vitesse de la lumire. Lanalyse correcte doit utiliser la mcanique relativiste.

Solutions des exercices

21

1-3 a) La capacit de ce condensateur est C = o S/d. Sa charge est doncQ = C Vo = o SVo /d. Nous prenons lorigine des axes sur la plaque ngative et laxe Oz normal aux plaques et dirig vers la plaque positive (voir la Fig. 1.5). cause de la symtrie de translation paralllement aux plaques (supposes tre trs grandes), le potentiel V entre les plaques ne dpend que de z. Nous pouvons prendre V = 0 sur la plaque ngative et V = Vo sur la plaque positive. Le champ lectrique E entre ces armatures est alors E = ( V / x)ex ( V / y)e y ( V /z)ez = ( V /z)ez Le champ est donc dans la direction Oz. En supposant quil est constant, nous trouvons lquation V /z = E, dont la solution est V = E z + a. Comme V = 0 sur la plaque ngative (z = 0) et V = Vo sur la plaque positive (z = d), nous dduisons que V = (Vo /d)z et E = (Vo /d), donc E = (Vo /d)ez

b) La force exerce sur llectron est F = eE = (eVo /d)ez La force tant dans la direction Oz, et la vitesse initiale tant nulle, llectron se dplace sur laxe Oz. Son quation de mouvement m z = Fz scrit donc z = (eVo /md) Tenant compte des conditions initiales (v = 0 et z = 0 pour t = 0), la vitesse et la position scrivent z = (eVo /md)t et z = (eVo /2md)t 2 . Il atteint la plaque positive (z = d) linstant t f = d 2m/eVo ; sa vitesse est alors v f = (eVo /md)t f = 2eVo /m

c) Si d = 1 mm, S = 10 cm2 et Vo = 10 V, nous trouvons E = Vo /d = 1 104 V.m 1 et v f = {2 1,60 1019 10/9,109 1031 }1/2 = 1,9 106 m/s d) Lnergie reue par llectron lorsquil atteint la plaque positive estU = eV = 1,602 1019 10 = 1,602 1018 J Cette nergie est cintique. Nous avons donc v f = 2eVo /m .1 2

m e v 2 = U , do f

22


e) Tenant compte de la force de frottement, lquation de mouvement scrit m z = eE b z Au dbut du mouvement, la vitesse est faible, la force de frottement est donc faible mais elle augmente avec la vitesse. Llectron continue tre acclr jusqu ce que la force de frottement quilibre la force lectrique. Il atteint donc une vitesse limite vl = eE/b. Le travail de la force lectrique est alors dissip par la force de frottement comme chaleur. 1-4 Supposons qu un instant donn t les charges portes par les armatures sont +q et q. Le potentiel est alors V V A VB = q/C. Pour faire varier les charges, il faut amener de linfini une charge +dq larmature positive et dq larmature ngative. Cela ncessite un travail q dU(E) = dq V A dq VB = V dq = dq C Cest aussi le travail ncessaire pour amener une charge +dq de larmature ngative larmature positive. Le travail total ncessaire pour charger le condensateur est doncU(E) =f inal initial

dU(E) =

Q

dq0

q C

do U(E) =

Q2 1 = C V 2. 2C 2

1-5 Le nombre de tours par unit de longueur du solnode est n = N/l. Sil est le sige dun courant dintensit I, le champ magntique son intrieur est B = o n I et le flux de ce champ travers une spire est S B = R 2 B. Le flux travers les N spires est = N S B = o R 2 N 2 I /l . La self-inductance du solnode est donc L = /I = o R 2 N 2 /l. Sa valeur numrique estL = (4 107 )( 4 104 )(5000)2 /0,20 = 0,20 H

1-6 La charge qui passe par un point du circuit pendant dt est dq = I (t)dt. La charge totale entre les instants t = 0 et t est obtenue par intgration :Q(t) =0 i

dt I (t) =0

i

dt Io et/ = Io et/

t 0

= Io (1 et/ )

La figure 1.9 montre la variation de Q(t). Elle augmente exponentiellement de 0 une valeur asymptotique Io.

Solutions des exercicesQ

23

1

2

3

4

t/

Figure 1-9 Variation de Q en fonction de t.

Supposons que la self-inductance L est localise entre A et B dans une bobine de rsistance ngligeable. La d.d.p aux bornes de la bobine est V = L I = (L/)Io et/ Dans cette relation I I AB est lintensit dans le sens de A vers B et V V AB V A VB est la diffrence de potentiel entre les bornes de la bobine. Dans le cas considr, lintensit I = Io et/ diminue, la relation V = (L/)Io et/ montre que V A < VB. La bobine est donc quivalente un gnrateur de borne positive en B et de borne ngative en A. Il tend donc produire dans le circuit extrieur la bobine un courant (induit) sortant de B, donc renforant le courant I. Cest une forme de la loi de Lenz, selon laquelle le courant induit et la f..m. induite sont dans un sens qui soppose la cause qui les a produits.

1-7 Orientons laxe vertical vers le bas. En absence de champ lectrique, la rsultante des forces, qui agissent sur la goutte, estf z = mg m g 6 rv = (4/3)r 3 g( ) 6rv La vitesse limite est atteinte lorsque f z = 0, sa valeur est donc vl = (2/9)r 2 g( ) . La mesure de vl permet donc de dterminer le rayon r de la goutte. Si on applique la tension V, le champ lectrique est E = V /d. Ce champ agit sur la goutte avec une force f E = q E . On choisit V pour que cette force soit vers le haut et quelle maintienne la goutte immobile, alors f E = f z , cest--dire (4/3)r 3 g( ) = q E , do q = 6rvl /E. Application numrique : vl = 1103 m/27,4s = 3,65105 m/s, do r 2 = 9vl /2g( ) = 9(1,8 105 )(3,65 105 )/2 9,81(950 1,29)

24


soit r = 5,64 107 m. La charge de la goutte est donc q = 6rvl /E = 6(1,8 105 )(5,64 107 )(3,65 105 )/(2,25 104 ) soit 3,10 1019 C ; ce qui correspond 2e.

1-8 a) La particule est soumise une force F = q Ee y. Elle a donc une acclration a = (q E/m)e y . Projetant cette quation sur les axes et intgrant deux fois, compte tenu des conditions initiales, nous trouvons la vitesse et la position vx = vo , v y = (q E/m)t, vz = 0 x = vo t, y = (q E/2m)t 2 et z = 0 Ainsi la particule reste dans le plan O x y. Son mouvement est uniforme dans la direction O x et acclr dans la direction Oy du champ. Lquation de la trajectoire est obtenue en liminant t entre x et y, nous trouvons une parabole de sommet O2 y = (q E/2mvo )x 2 .

b) La particule sort de la rgion du champ linstant t = L/vo. Les composantes de sa vitesse sont alors vx = vo et v y = q E L/mvo . En dehors du condensateur, la particule est libre ; elle conserve cette vitesse, dcrivant une trajectoire rectiligne de pente2 tan = v y /vx = q E L/mvo

Si les armatures du condensateur sont soumises une diffrence de potentiel V, le champ est E = V /d o d est la distance sparant les armatures. Le dplacement du point dimpact sur lcran, situ une distance D, est2 2 Y = D tan = q E L D/mvo = (q L D/mdvo )V

La dflexion est donc proportionnelle la tension applique aux armatures du condensateur.

c) Lnergie cintique des lectrons est E c = q Va = 1,6022 1015 J. Leur vitesse est v = (2E c /m)1/2 = 0,593 108 m/s. La dviation sur lcran est doncY = (q L D/2d E c )V = (L D/2d)(V /Va ) = 0,5 cm.

CHAPITRE

2

Conductance et rsistance

2.1 Intensit et densit de courant 2.2 Modle phnomnologique de conduction, loi dOhm

PLAN OBJECTIF 2.1

2.3 Conduction et temps de collision 2.4 Effet Joule 2.5 Variation de la rsistivit avec la temprature, la supraconductivit 2.6 Conducteurs non ohmiques 2.7 Utilisations des rsistances

Discuter les lois dOhm et de Joule et les modles de conduction

INTENSIT ET DENSIT DE COURANT

Llectrocintique est ltude des courants lectriques. Nous sommes concerns ici surtout par les courants dus au dplacement des lectrons de conduction dans un conducteur soumis la tension dun gnrateur. Dans un mtal en quilibre lectrostatique, le champ lectrique est nul et le corps est quipotentiel. cause de lagitation thermique, les lectrons sont en mouvement permanent et dsordonn, au hasard dans toutes les directions. En moyenne, la charge qui traverse une surface quelconque dans un sens est la mme que celle qui la traverse dans le sens oppos.

26

Chapitre 2 Conduction et rsistance

Si une d.d.p. V est tablie entre deux points dun conducteur, il devient le sige dun champ lectrique E dans le sens du potentiel dcroissant. Ce champ agit sur les lectrons de conduction ; ils sont alors pousss dans la direction oppose au champ. Les lectrons dplacs et les ions fixes produisent leur propre champ lectrique, oppos au champ extrieur. Le mouvement des lectrons dure jusqu ce que les deux champs se neutralisent. Si on supprime la d.d.p, le conducteur retourne lquilibre lectrostatique. On peut montrer que le temps de retour lquilibre, appel temps de relaxation, est de lordre de 1018 s dans les mtaux. Pour que le mouvement des lectrons continue, il faut que ce dplacement soit dans un circuit ferm et que la d.d.p. soit maintenue par un gnrateur (batteries, dynamos etc.). Ce mouvement des lectrons produit un courant qui se manifeste par des effets calorifiques, magntiques, chimiques etc. Supposons que la densit de charges mobiles dans le conducteur est qv (r,t) avec une vitesse moyenne (de drive) v(r,t) . Les particules qui traversent un lment de surface S pendant dt sont celles qui se trouvent lintrieur dun cylindre de base S et qui a des gnratrices de longueur v dt (Fig.2.1a). La hauteur de ce cylindre est dh = (n.v dt) et son volume est S dh = (n.v) dt S . La quantit de charge qui traverse S est donc dQ S = qv (n.v) dt S . Lintensit de courant qui traverse S est la quantit de charge qui la traverse en une seconde, soit I = qv (n.v) S . (2.1) Lintensit de courant qui traverse une surface finie S est obtenue par intgration de I sur S : IS = Q S /t =S

dI =

S

d S qv (n.v)

(2.2)

Cest le flux de la densit de courant j(r,t) = qv (r,t)v(r,t) (2.3)

travers S (Fig. 2.1b). Dans le cas o j est uniforme et S est une surface plane, lintensit (2.2) scrit I = Q S /t = S (j.n) = S jcos (2.4)

2.1 Intensit et densit de courant

27

o est langle de j avec n. En particulier, si j est uniforme et perpendiculaire S , cette relation scrit I = jS (2.5)

Les lignes tangentes la densit de courant en chaque point ne se rencontrent pas ; elles sont appeles lignes de courant (Fig. 2.1b).

dS qv h v t (a) n

j

SB A

n j

S(b)

Figure 2-1 a) Densit de courant et b) intensit travers une surface finie S .

Si le conducteur contient plusieurs types de charges mobiles, chacune avec une densit et une vitesse moyenne caractristique, la densit de courant totale est la somme gomtrique de leurs densits de courant. Cest notamment le cas des ions positifs et des ions ngatifs dans une solution. Dans les mtaux, les charges mobiles sont les lectrons de conduction en nombre de lordre dun lectron par atome. La densit de courant est alors j(r) = en e (r) ve (r) (2.6)

Le sens conventionnel du courant dans une solution est celui des ions positifs.Dans les mtaux il est dans la direction oppose celle du mouvement des lectrons.

Dans un circuit lectrique, cest lintensit de courant (et non la densit de courant) dans les lments du circuit qui nous intresse. Dans le cas dun conducteur cylindrique, on peut souvent supposer que la densit de courant est uniforme. Cependant dans le cas dun courant alternatif de haute frquence, le courant circule surtout prs de la surface (effet de peau). Dautre part, selon la thorie lectromagntique, lorsquon branche un gnrateur sur un circuit, le courant et la tension stablissent dans le circuit de proche en proche grce la propagation de londe lectromagntique dans le milieu isolant ambiant.

28


La vitesse de propagation est gale la vitesse de la lumire c dans ce milieu. En principe lintensit dans un conducteur et la tension le long dun fil de connexion ne sont pas donc les mmes en tous les points. Le retard d ce phnomne de propagation est de lordre de L/c, o L est la distance parcourue. Ce retard peut tre nglig sil est trs court, compar au temps caractristique T du circuit, tel que la constante de temps des rgimes transitoires (voir le chapitre 5) ou la priode du courant alternatif. Les dimensions du circuit doivent donc tre faibles compares cT. Dans le cas dun courant alternatif de frquence , la priode est T = 1/ ; cette condition scrit donc L de lagitation thermique est lie la temprature par la relation 1 m < th >2 = (3/2)kT , o k = 1,38 05 1023 J/K est la constante de Boltzmann. 2 Ainsi, la temprature normale, < th > 1,2 105 m/s.

30


tion progressent en moyenne dans la direction du champ, avec une vitesse de drive vd dune fraction de mm/s, dans le cas des courants habituels. La vitesse de drive ne doit pas tre confondue avec la vitesse dtablissement du courant dans le circuit ou de transmission dun signal lectrique le long dune ligne. Cette vitesse est celle des ondes lectromagntiques dans lisolant qui entoure les conducteurs (cest-dire la vitesse de la lumire). Ceux-ci jouent seulement le rle dun guide donde. Quand vous branchez une lampe sur le secteur, les lectrons ne sortent pas dune borne, circulent avec la vitesse vd le long du conducteur et retournent lautre borne ; car cela mettrait des heures pour allumer la lampe(2). Ce qui se passe est que londe lectromagntique stablit dans lair situ entre les fils de connexion avec la vitesse de la lumire. Cette onde met les lectrons en mouvement en tout point du circuit, aprs un retard de temps ngligeable. Le mme phnomne de propagation a lieu quand vous faites un appel tlphonique un correspondant des milliers de kilomtres. Les relations liant V, E et j tant linaires(3), nous en dduisons que la d.d.p. V est proportionnelle I : V = R I, (2.9) R est la rsistance du conducteur vu des points A et B. La rsistivit est une caractristique du matriau tandis que la rsistance R est proportionnelle (si celle-ci est uniforme) et elle dpend de la forme gomtrique du conducteur et des points A et B o la d.d.p. est applique. Dans le cas dun conducteur cylindrique de longueur l et de section S (Fig. 2.2b), le champ lintrieur du cylindre est uniforme et de module E = V /l. La relation (2.8) donne alors la densit de courant j = E/ = V /l et lintensit de courant scrit I = S j = V S/L. La relation (2.9) est donc vrifie avec R = L/S.

(2) Dans le cas dun courant alternatif, les lectrons de conduction se dplacent dans un sens puis dans lautre. En moyenne sur le temps, il ny a aucun dplacement de charges. (3) La relation dune grandeur y une grandeur x est linaire si, quels que soient les coefficients et , la combinaison linaire y1 + y2 correspond x 1 + x 2 , si y1 correspond x 1 et y2 correspond x 2. La relation de proportionnalit y = ax est une relation linaire mais la relation affine y = ax + b ne lest pas.

2.2 Modle phnomnologique de conduction, loi dOhm

31

Lexpression E = j (ou j = E) est la forme locale de la loi dOhm et lexpression V = R I est sa forme intgre. Un conducteur qui vrifie ces relations est dit ohmique. Le rapport R = V /I est alors constant (cest--dire il ne dpend pas de la tension applique).Tableau 2-1 Valeurs de et pour certains matriaux usuels au voisinage de 20C. Le constantan est form de ~ 60 % de cuivre et ~ 40 % de nickel. Le manganin est form de ~ 84% de cuivre, ~12 % de manganse et ~ 4 % de nickel. Le nichrome est form de ~ 59 % de nickel, ~ 23 % de cuivre et ~16 % de chrome.Mtal

(108 .m) (K1)3,9 103 3,93103 5,0103 3,0103 3,8103 3,4103 3,927103 1,67 10,4 18 1,59 2,35 10,6

Mtal Constantan Manganin Nichrome Tungstne Carbone Plomb Mercure Matriau Caoutchouc

(108 .m) (K1)44-50 43-48 150 5,6 3500 20,7 94

Aluminium 2,65 Cuivre Fer pur Acier Argent Or Platine Matriau

2106 1060,4 103 4,5 103 5 104 4 104 9104

( .m)

(K1)48103 75103

( .m)1013

(K1)

Germanium 0,46 Silicone Verre 100-1000 1010-1014

Quartz fondu 7,5 1017 Porcelaine Teflon 1010-1012 1014

Polythylne 108-109

Lunit de rsistance, dfinie par R = V/I , est le volt par ampre, couramment appele ohm ( ). Pour les petites rsistances, on utilise aussi le microhm ( = 106 ) et pour les grandes rsistances on utilise le mga-ohm ( = 106 ). Lunit de rsistivit = E/ j est lohm-mtre ( .m).

Notons que les isolants parfaits nexistent pas. Ce quon dsigne comme isolant est, en fait, un trs mauvais conducteur, cest--dire un matriau de trs grande rsistivit ( > 105 .m). Ces corps nobissent pas la loi dOhm. La paraffine, par exemple, a une rsistivit de lordre de 108 .m et les meilleurs isolants sont les cristaux covalents comme le diamant dont la rsistivit dpasse 1012 .m. Pour ces corps, il nest pas possible de dfinir la rsistivit dune faon non quivoque. Les matriaux dont la rsistivit est infrieure environ

32


105 .m sont considrs comme conducteurs : tandis que les matriaux de rsistivit allant de 105 105 sont considrs comme des semi-conducteurs. La rsistivit dpend fortement des impurets, cest--dire les atomes diffrents introduis dans le matriau, surtout dans le cas des semi-conducteurs.

2.3 CONDUCTION ET TEMPS DE COLLISIONLa force de frottement, que subit un lectron de conduction, est due aux collisions de llectron avec les atomes fixes et les autres lectrons. Pour lier directement la conductivit lectrique aux collisions, considrons le mouvement de llectron entre deux collisions. Il est soumis une acclration a = eE/m. Sa vitesse varie donc selon lexpression v = vo (e/m)Et (2.10)

o vo est sa vitesse aprs la dernire collision. Si llectron subit la collision suivante linstant , prenons la valeur de la vitesse linstant /2 comme vitesse moyenne de llectron entre les deux collisions ; nous trouvons alors < v >= vo (e/2m)E. Faisons maintenant la moyenne pour lensemble des lectrons de conduction. Comme vo est oriente au hasard dans toutes les directions, sa moyenne est nulle et nous pouvons identifier la valeur moyenne de v la vitesse de drive des lectrons vd = (e/2m)E La densit de courant est donc j = envd = (ne2 /2m)E (2.12) (2.11)

Ce modle, bas sur la mcanique classique, prdit donc la loi dOhm j = E, o est donne par la formule de Drude = ne2 /2m (2.13) Soit < vth > la vitesse moyenne de llectron dans le conducteur. < vth > est due lagitation thermique ; elle est trs grande mais oriente au hasard dans toutes les directions. Elle ne doit pas donc tre confondue avec la vitesse de drive vd. Le temps de collision est = l/ < v >, o l est le libre parcours moyen, cest--dire la distance parcourue par llectron entre deux collisions successives. La conductivit scrit alors = ne2l/2m < vth > (2.14)

2.4 Effet Joule

33

Laccord de cette formule avec lexprience nest pas bon. De plus, comme < vth > est proportionnelle T , o T est la temprature absolue, cette formule prdit que la rsistivit augmente avec la tem prature comme T au lieu de laugmentation exprimentale proportionnellement T. Ce dsaccord est vit en utilisant un modle quantique.

2.4 EFFET JOULEUne tension V applique aux bornes dun conducteur de rsistance R produit un courant dintensit I = V /R. Pendant un temps dt la charge transporte est dq = I dt. Le travail du champ lectrique sur cette charge est dW = V dq = V I dt P = dW/dt = V I = R I 2 = V 2 /R (2.15) Ce qui veut dire que le gnrateur de la tension V fournit une puissance (2.16)

Comme les charges ne sont pas acclres dans le conducteur et quil ny a aucun effet mcanique, chimique ou autre, qui puisse utiliser cette nergie, elle est dissipe sous forme de chaleur. Cela se manifeste par un chauffement du conducteur, appel effet Joule. Pour comprendre cet effet, reprenons le modle phnomnologique de la section 2.2. En se dplaant dans le conducteur, pouss par le champ lectrique, llectron de conduction subit une force de frottement f = bv. Le travail de la force lectrique f = qE ne peut pas tre transform en nergie cintique ; car llectron se dplace avec la vitesse limite moyenne ve constante (et trs faible). Il est dissip sous forme de chaleur par la force de frottement. La puissance dissipe par un lectron est pe = f .ve = f.ve = q(ve .E) Pv = n e pe = n e q(ve .E) = (j.E) Utilisant la loi dOhm (2.8), nous pouvons crire aussi Pv = j 2 = E 2 (2.19) (2.17) (2.18) La puissance dissipe par unit de volume contenant n e lectrons est donc

34


Cest la forme locale de la loi de Joule, donnant la puissance dissipe par unit de volume en fonction de la densit de courant ou en fonction du champ lectrique. Si lon considre un conducteur cylindrique (de la Fig. 2.2b), par exemple, la puissance dissipe par unit de volume est uniforme et la puissance totale dissipe est P = V Pv = j 2 L S = (I /S )2 L S = (L/S )I 2 R I 2 Nous retrouvons donc la forme intgre de la loi de Joule. (2.20)

2.5

VARIATION DE LA RSISTIVIT AVEC LA TEMPRATURE, LA SUPRACONDUCTIVITLa rsistivit dun matriau dpend de sa temprature. En effet, si la temprature augmente, lagitation thermique augmente. Il en est de mme pour le nombre de collisions des lectrons avec les atomes ; ce qui augmente le frottement et, par consquent, la rsistivit. Lagitation thermique peut aussi modifier le nombre des porteurs de charge. La variation de la rsistivit avec la temprature est donc assez difficile analyser, dautant plus que les effets quantiques jouent un rle important pour linterprtation des proprits de conduction. La rsistivit de la plupart des matriaux augmente lgrement avec la temprature. Nous dfinissons le coefficient de temprature comme tant le taux de variation relative de la rsistivit avec la temprature = 1 T (2.21)

Si la variation de T est faible, peut tre considr comme une constante caractristique du matriau. La rsistivit varie donc avec la temprature T selon la loi = o [1 + (T To )] (2.22)

O To est une temprature de rfrence et o est la rsistivit cette temprature. Le coefficient est de lordre de 103 pour la plupart des mtaux. Certains matriaux, comme le carbone, font exception avec un coefficient = 0,5 103 . Le tableau 2.1 donne les valeurs de et pour certains matriaux usuels au voisinage de 20C. En faisant un alliage dlments de coefficients de temprature positifs et ngatifs, on peut avoir des matriaux dont la rsistivit varie trs peu avec la temprature ; cest le cas du constantan, du manganin et du nichrome.

2.5 Variation de la rsistivit avec la temprature, la supraconductivit

35

La rsistance dun conducteur varie avec la temprature cause de la variation de la rsistivit et aussi cause de la dilatation linique . Si la rsistance est Ro une certaine temprature de rfrence To , cette dilatation multiplie chaque dimension du corps par un facteur [1 + (T To )]. Les deux effets font que la rsistance varie avec la temprature comme R = Ro 1 + T 1 + (T To ) (2.23)

Comme est de lordre de 105 /K, leffet de la dilatation est trs faible. La rsistivit de certains matriaux a un comportement trs particulier en fonction de la temprature ; elle diminue rapidement si T augmente. La rsistivit du graphite, par exemple, est rduite de moiti lorsque la temprature slve de 0 C 2 000 C. Dautres semiconducteurs ont des variations encore plus rapides. Ainsi la rsistivit de certains composs base de Fe2O3 est rduite de moiti si la temprature varie de quelques dizaines de degrs. Ces composs sont utiliss dans les thermistances, qui servent rgulariser lintensit de courant dans les circuits. Cette augmentation brusque de la conductivit sexplique par une augmentation du nombre dlectrons de conduction. En 1911 H. K. Onnes a utilis lhlium liquide pour refroidir le mercure jusqu 1 K. Il a observ que la rsistance du mercure diminue lentement, mais une temprature critique Tc = 4,154 K, elle diminue brusquement une valeur ngligeable (Fig. 2.3). Onnes a conclu que le mercure subit une transition de phase un tat de supraconductivit. Quelques 27 lments et des milliers de corps composs deviennent supraconducteurs au-dessous dune certaine temprature critique caractristique. Ils comprennent le zinc (Tc = 0,88 K), laluminium (Tc = 1,175 K), le plomb (Tc = 7,18 K), le niobium (Tc = 9,46 K), ltain (Tc = 3,721 K) et le tungstne (Tc = 0,0154 K). On na pas observ un tat supraconducteur dans le cas des bons conducteurs comme le platine, lor, largent et le cuivre.

36


Contrairement aux substances ltat normal, un supraconducteur noppose aucune rsistivit au passage du courant ( < 4 1025 .m). Le courant stablit donc sans perte dnergie. Une fois tabli dans un circuit supraconducteur, un courant lectrique peut durer, peut-tre indfiniment, sans d.d.p. et sans champ lectrique dans le supraconducteur. la temprature critique, la substance subit une transition de phase ; toutes ses proprits physiques changent brusquement (exactement comme dans la transition de la phase gazeuse la phase liquide, par exemple). En 1957, la thorie BCS, propose par Bardeen, Cooper et Schrieffer, a expliqu la supraconductivit comme un effet quantique dassociation des lectrons en paires (provoque par une attraction quantique de longue porte). Contrairement aux lectrons dun tat normal (qui se dplacent indpendamment), les lectrons dun supraconducteur sont lis ensemble et agissent en coordination, de faon quaucun lectron ne subisse de collisions. En 1986 Berdnoz et Mller (Prix Nobel en 1987) ont observ la supraconductivit des oxydes de cuivre, de baryum et de lanthane, une temprature proche de 30 K. Cette dcouverte importante a suscit une grande activit de recherche chez les physiciens et les chimistes. Dautres composs cramiques ont t dcouverts avec une temprature critique plus leve (92 K pour le Yba2Cu3O7, 105 K pour le Bi-Sr-Ca-Cu-O, 134 K pour le HgBa2Ca2Cu3O8 et mme 150 K pour un oxyde contenant du mercure). Il nest pas donc exclu que certains composs soient supraconducteurs aux tempratures normales ; ce qui aura certainement beaucoup dapplications technologiques.

/(4) 1 0,5

1

2

3

4

()

Figure 2-3 Supraconductivit : rsistivit de ltain,compare sa rsistivit 4 K.

2.6 Conducteurs non ohmiques

37

2.6 CONDUCTEURS NON OHMIQUESLe courant est une rponse du milieu conducteur lexcitation lectrique. En gnral, j est une fonction complique de E. Si le milieu est isotrope, j est dans la mme direction que E. Si le champ nest pas intense, nous pouvons toujours faire un dveloppement de j en termes de E, de la forme j = E + E 2 + ... (2.24)

o nous avons utilis le fait que j = 0 si E = 0. Le premier terme de ce dveloppement correspond la loi dOhm. Cest effectivement le cas des conducteurs ohmiques, tels que les mtaux et les solutions conductrices, aux conditions physiques normales et dans le cas dun champ qui nest pas trs intense. Sous la forme intgre, nous trouvons la loi linaire I = V /R. La courbe reprsentant I en fonction de V, appele caractristique, est une droite de pente 1/R sur laxe des V. Un conducteur nest pas ohmique entre deux bornes A et B, si le rapport V /I nest pas constant. Les diodes, par exemple, ne sont pas ohmiques (voir la section 4.10). La figure 2.4b reprsente la caractristique dune cuve lectrolytique : le courant napparat que si la tension est suprieure un certain seuil Vo . La rsistance est donc infinie au-dessous de Vo , elle dcrot si V est suprieur Vo , passe par un minimum puis augmente de nouveau. Enfin la figure 2.4c reprsente la caractristique dune thermistance ; la rsistance est dabord constante puis elle dcrot avec V.I I R O (a) V O Vo (b) V O (c) V I

R

R

Figure 2-4 a) Caractristique dun conducteur ohmique,b) dune solution lectrolytique et c) dune thermistance.

Pour connatre la cause du comportement non ohmique de certains conducteurs, rappelons que la loi dOhm V = R I est tablie sous les hypothses que le champ nest pas trs intense, que le nombre de por-

38


teurs de charges par unit de volume est uniforme et indpendant de V, que ces charges se dplacent sous le seul effet des forces lectriques et de frottement, que la temprature du conducteur est uniforme et invariable. La loi dOhm nest pas donc valable si toutes ces hypothses ne sont pas respectes. Par exemple, elle nest pas valable si le champ lectrique est trs intense car le nombre de porteurs de charge peut augmenter (effet davalanche dans un tube gaz ou une diode rgulatrice de tension, par exemple). Elle ne lest pas si le champ lectrique varie rapidement dans le temps, car alors un champ magntique important est induit et ce champ agit sur les charges en mouvement (cest le cas dun champ de trs haute frquence 1013 Hz). La loi cesse aussi dtre valable dans le cas de deux conducteurs en contact ; car alors une d.d.p. de contact existe de part et dautre de la surface de contact. De mme, si on a deux semi-conducteurs ou un conducteur et un semi-conducteur en contact, la loi dOhm nest pas valable dans la rgion de transition ; car le courant peut passer plus facilement dans un sens que dans lautre. Ce dernier effet permet de construire des diodes jonction pour redresser le courant alternatif. Les anciens tubes vide sont un autre exemple dlments non ohmiques : une partie du circuit est en fait un faisceau dlectrons mis par une cathode chauffe et qui se propagent dans le vide. Le dbit dlectrons et, par consquent, lintensit du courant I sont essentiellement dtermins par la vitesse dmission de la cathode et varient avec la tension applique entre la cathode et lanode suivant une loi non linaire. En particulier, si le potentiel est renvers, les lectrons sont repousss au lieu dtre attirs et lintensit de courant sannule.

2.7 UTILISATIONS DES RSISTANCESTous les conducteurs, y compris les fils de connexion, ont une certaine rsistance. Ils dissipent donc de lnergie et limitent les applications techniques. Mais les rsistances peuvent aussi tre utiles.

2.7 Utilisations des rsistances

39

a) Une rsistance permet de transformer lnergie lectrique en chaleur. Si elle est branche sur une tension V, la puissance dissipe par effet Joule est P = V 2 /R. Cette puissance est donc inversement proportionnelle R. Pour cela, il faut que la chaleur dgage puisse tre vacue du conducteur et que celui-ci rsiste bien la chaleur, pour quil ne fonde pas ou ne soxyde pas, sil est expos lair. Pour viter loxydation, on peut remplacer lair par un gaz inerte. La chaleur dgage peut tre utilise pour le chauffage, pour lclairage par des lampes incandescence (mission de la lumire par un filament de tungstne chauff environ 3000 C). Mentionnons aussi leffet thermoionique, qui est troitement li leffet Joule. Cest lmission dlectrons par une cathode chauffe laide dune rsistance. Cet effet est utilis dans plusieurs appareils dobservation et de mesure. Leffet Joule est utilis aussi dans lampremtre thermique (qui mesure lintensit dun courant partir de lallongement dun fil conducteur, d la chaleur dgage).Les rsistances utilises pour le chauffage sont habituellement faites de nichrome, un alliage de haute rsistivit et de faible coefficient de temprature. Elles peuvent tre maintenues haute temprature pour une longue dure sans se dtriorer mcaniquement ou chimiquement. Elles ont habituellement la forme de bandes ou en hlice plutt quun conducteur cylindrique pour vacuer plus facilement la chaleur.

b) La variation de la rsistance avec la temprature peut tre utilise en thermomtrie. Les divers types du thermomtre rsistance de platine permettent de mesurer des tempratures allant de 260C 960C avec une prcision proche du centime ou le millime de degr. c) Les rsistances sont des lments essentiels des circuits lectroniques pour contrler les tensions et les courants. Pour cela, il faut que la consommation de puissance soit trs faible (de lordre du watt), vitant ainsi un surchauffement nuisible des instruments et une grande consommation dnergie. Pour avoir une rsistance de valeur assez prcise et variant peu avec la temprature, on enroule, sur un noyau isolant, un long fil fin fait dun alliage de haute rsistivit et de faible coefficient de temprature, tel que le nichrome, le manganin ou le constantan. Des rsistances peu coteuses, mais moins prcises, peuvent tre ralises avec une poudre de graphite mlang largile. Elles se pr-

40


sentent alors comme des composants en cramique avec un code de couleur pour indiquer leur valeur et la tolrance derreur (Fig. 2.5). Les couleurs des bandes A et B reprsentent le premier et le second chiffre significatif respectivement. La bande C reprsente la puissance de 10 multiplicative, selon le tableau 2.2, et la bande D reprsente la tolrance. Pour cette dernire, la couleur dore veut dire une tolrance de 5 %, la couleur argente veut dire 10 % tandis que labsence de bande veut dire une tolrance de 20 %.Tableau 2-2 Code des couleurs pour les rsistances Couleur Noir Brun Rouge Orange Jaune Vert Bleu Violet Gris Blanc Bandes A et B des chiffres significatifs 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bande C du facteur multiplicateur 1 10 102 103 104 105 106 107 108 109

A B C D

Figure 2-5 Rsistances et leurs bandes de couleur.

d) Les rsistances rglables (ou rhostats) peuvent tre ralises en dplaant un curseur B sur un bobinage AC (Fig. 2.6a). On peut aussi utiliser ce dispositif comme diviseur de tension. Si un gnrateur de tension Vo est branch entre A et C, la tension obtenue entre A et B est V AB = Vo R AB /R AC = Vo AB/AC (2.25) En dplaant le curseur B, il est ainsi possible de faire varier V AB de 0 Vo . Au lieu du bobinage, le potentiomtre de la Fig. 2.6b) utilise une bande circulaire AC sur laquelle glisse le point B. Ces diviseurs de tension, sont utiliss pour contrler les instruments (le volume sonore et la luminosit dun tlviseur, par exemple).

2.7 Utilisations des rsistances

41

Vo VAC A VAB (a) B C

A

VAB B

C (b)

Figure 2-6 Potentiomtres ou diviseur de tension.

e) Pour transporter une puissance lectrique P sur une grande distance, il est ncessaire de rduire les pertes. Si R est la rsistance totale de la ligne et V est le potentiel lentre, lintensit du courant est I = P/V et la puissance perdue par effet Joule est PJ = R I 2 = R P 2 /V 2 . Le rendement est R = 1/(1 + R P/V 2 ). Par exemple, si une puissance P = 10 MW est transporte sous une tension de 220 V sur une ligne de 100 km et de rsistance 1 par km, lintensit de courant est 4,5 104 A et le rendement est seulement = 5 105 ! Cela veut dire que presque toute lnergie est perdue. Pour rduire la perte, on doit rduire R en choisissant un mtal de faible rsistivit et en augmentant le diamtre des conducteurs ; mais cela pose de srieux problmes techniques et conomiques. Une meilleure solution consiste augmenter la tension V en utilisant des lignes haute tension (des centaines de milliers de volts). Laugmentation de V pour le transport de la puissance et la rduction de V pour la distribution aux usagers sont ralises laide de transformateurs et cela nest possible quavec des courants alternatifs.

POINTS-CLS Un fil de connexion idal a une rsistance ngligeable. Le champ lec-

trique y est nul et tous ses points sont quipotentiels. En rgime quasi stationnaire lintensit est la mme en tous les points dune branche. Le courant lectrique a t initialement introduit en relation avec llec-

trolyse et sa direction conventionnelle a t choisie par convention comme celle du mouvement des ions positifs. Dans un mtal, le courant est d au mouvement des lectrons libres ngatifs, le courant est donc

42


dans le sens oppos leur mouvement. Normalement le courant sort de la borne positive du gnrateur et entre par la borne ngative (les lectrons sortent de la borne ngative et entrent par la borne positive). Dans un circuit avec plusieurs gnrateurs, un gnrateur peut tre branch en opposition, le courant entre alors dans ce gnrateur sa borne positive et sort de sa borne ngative ; cest le cas dun accumulateur en charge. Seule la d.d.p. entre les points dun circuit a un sens ; elle est lie la

puissance qui apparat entre ces points par la relation P = I V . Noter que la notation utilise couramment est V AB pour V A VB, contrairement la distance algbrique sur un axe AB = x B x A . Cest donc la chute de potentiel.

QUESTIONS DE RFLEXION1. Une d.d.p. V est branche aux extrmits dune tige de longueur L. Analysez le champ et le potentiel lectriques lintrieur de la tige. Pourquoi ce conducteur ne peut pas tre en quilibre ? Est-ce quune densit de charge existe lintrieur du conducteur ? Si la rponse est non, comment expliquer lexistence du courant ? 2. Si vous branchez une pile aux extrmits dun fil trs fin, il fond. Les enceintes de certains instruments sont munies de trous daration. Expliquez pourquoi. 3. Un courant continu ne change pas de sens au cours du temps ; les porteurs de charge se dplacent donc toujours dans le mme sens. Que se passe-t-il dans le cas dun courant alternatif ? Comment les porteurs de charges se dplacent-ils ? Comment lnergie est-elle transmise ? 4. Dans une solution lectrolytique, les ions positifs et les ions ngatifs se dplacent. Soient q +, v+ et n + la charge des ions positifs, leur vitesse et leur nombre par unit de volume et de mme, q , v et n pour les ions ngatifs. Montrez que q + n + = q n . crivez lexpression de la densit de courant. 5. La vitesse de drive dans les mtaux est une fraction de mm/s. Si la charge se dplace si lentement, pourquoi une lampe sallume-t-elle presque immdiatement lorsque vous la branchez ? Quel est le temps que met votre appel tlphonique pour arriver votre correspondant une distance de 1000 km ?

Questions de rflexion

43

6. Peut-on dire que les charges sont produites par les batteries et quun lectron sort de la borne ngative et entre par la borne positive ? 7. Si vous rduisez la longueur du fil chauffant dans un rchaud lectrique, est-ce que la chaleur dgage par effet Joule augmente ou diminue ? 8. La loi de conduction de llectricit dans une tige I = dq/dt = V /R = (S /L) V ressemble la loi de Fourier pour la conduction de la chaleur, d Q/dt = k T (S /L) T , o k T est la conductivit thermique. En fait le rapport k T / est environ 6 106 W /K pour les mtaux. Est-ce que cela veut dire une relation entre les deux phnomnes ? 9. Considrons un conducteur cylindrique de longueur L et de section S. Vrifiez que la dissipation de puissance par effet Joule P(J) v = j2 par unit de volume correspond bien R I 2 dans le conducteur (o R = L/S). 10. Deux ampoules de 100 W et 50 W fonctionnent sous 220 V. Laquelle a la plus grande rsistance ? Laquelle transporte la plus grande intensit ? Que se passe-t-il si vous les branchez sous 110 V et sous 440 V ? Si vous les branchez en srie sous 220, obtenez-vous plus de lumire ? 11. Pouvez-vous expliquer pourquoi les ampoules ordinaires filament de tungstne grillent habituellement ds quon les branche en mettant brivement une lumire intense bleutre ? 12. Pourquoi le champ lectrique doit tre nul dans un supraconducteur ? Quest ce qui fait alors dplacer les porteurs de charge ? Que pouvez-vous dire de la d.d.p. ? Pourquoi un courant lectrique persistet-il dans un supraconducteur sans gnrateur ? 13. Pouvez-vous deviner la forme de la courbe caractristique dune ampoule filament de tungstne ? 14. Une lampe gaz, destine mettre des clairs, a la caractristique illustre dans la Fig. 2.7a. Discutez la variation de la rsistance de cetteI R

E(a) V

C

L

(b)

Figure 2-7

44


lampe comme fonction de la tension applique. La Fig. 2.7b reprsente un circuit utilisant cette lampe L. Lorsquon ferme linterrupteur, la lampe met un clair brillant. Expliquez pourquoi.

15. Cest un courant intense, circulant dans le corps humain, qui est dangereux plutt que la haute tension. Pourquoi alors avertir de la haute tension plutt que dun courant intense prs des quipements lectriques ? Comment pouvez-vous aider une personne lectrocute sans risquer votre propre vie ? Est-il dangereux de toucher un cble haute tension ? Est-il dangereux de toucher larmature dun condensateur charg ? Pourquoi un oiseau peut se poser sur une ligne haute tension sans tre lectrocut ?

EXERCICES CORRIGSDonnes : Nombre dAvogadro : N A = 6,0221 1023 mol1 , masse atomique du cuivre : 63,55 et celle de largent : 107,868 ; masse volumique du cuivre : 8920 kg/m3 et celle de largent : 10500 kg/m3.

2-1 Un faisceau dlectrons de section 0,20 cm2 contient N = 1,0 106 lectrons par cm3, qui se dplacent avec une vitesse v = 1,0 105 m/s dans la direction O x. Calculez la densit de courant et lintensit correspondantes ? 2-2 On voudrait dposer une couche daluminium dpaisseur e = 5 nm en vaporant le mtal sur un morceau de verre carr. On cesse lvaporation quand la rsistance entre deux cts opposs de la couche atteint une valeur convenable R. Quelle doit tre la valeur de R, si la rsistivit de laluminium est de 2,83 106 .cm ? Est-ce que R dpend du ct de la couche ? 2-3 Supposons que la densit de courant dans un conducteur cylindrique varie avec la distance r laxe comme j = jor. Calculez lintensit si le conducteur a un rayon a. 2-4 Un nuage porte une charge positive de 10 coulombs et se dcharge en 1 ms. Quelle est lintensit moyenne dans cette dcharge ? Quel est le nombre dlectrons correspondant ? Dans quel sens se dplacentils ? Supposant que la d.d.p. entre le nuage et le sol est de 3 106 V, quelle est lnergie libre dans cette dcharge ? Quel est le temps ncessaire pour quune ampoule de 100 W consomme cette nergie ?


45

2-5 Un fil de cuivre de diamtre 1 mm et de longueur 2 m transporte un courant de 1 A. Calculez la densit de courant. Supposant que le nombre dlectrons de conduction est un lectron par atome, calculez la vitesse de drive. Quel est le champ lectrique dans ce fil ? Quelle est sa rsistance ? Quelle est la d.d.p. ses extrmits ? 2-6 Un fer repasser a une puissance de 1500 W et fonctionne sous 220 V et 200C. a) Dterminez lintensit de courant et la rsistance chaud. b) Le fil chauffant est en nichrome ( = 150 108 .m et = 0,4 103 K1 ) et il a une longueur de 8 m. Quel doit tre le diamtre de ce fil ? c) Calculez la rsistance froid de ce fil. 2-7 Dans un thermomtre rsistance de platine, on utilise la variation de la rsistance pour mesurer les variations de temprature. Quelle est la rsistance dun fil de platine de longueur 1 m et de diamtre 0,1 mm 0C ? Quelle est la variation de sa rsistance qui correspond une variation de 1,00 C ? quelle temprature la rsistance est-elle double ? 2-8 On voudrait raliser un conducteur dont la rsistance ne varie pas beaucoup avec la temprature, en plaant en srie deux cylindres de carbone et de cuivre de mme section. Quel doit tre le rapport de leurs longueurs ?

SOLUTIONS DES EXERCICES2-1 La densit de courant estj = eN v = (1,6 1019 C) (1,0 1012 lectrons/m1 ) (1,0 105 m/s) = 1,6 102 A.m2 La charge de llectron tant ngative, la densit de courant est dans le sens oppos au mouvement. La densit de courant est donc I = | j|S = (1,6 102 A.m2 ) (0,2 104 m2 ) = 3,2 107 A

46


2-2 Soit a le ct du carr. La rsistance de la couche entre deux cts opposs estR = a/(ea) = /e = 2,83 106 .cm/5 107 cm = 5,66 Elle est indpendante du ct de la plaque.

2-3 Considrons une couche cylindrique situe entre les deux cylindres de rayon r et r + dr (Fig. 2.8). La section normale du cylindre de rayon r est r 2 . Sa variation lorsque r varie de dr est d S = 2 r dr ; cest la section normale de la couche cylindrique. On lobtient aussi

j (r)

r dr

Figure 2-8

en valuant laire dune bande de longueur 2r (primtre du cercle intrieur) et de largeur dr. Lintensit dans cette couche est d I = j (r)d S = 2 jor 2 dr . Lintensit totale est obtenue par intgration sur la section du conducteur : I =0 a

d I = 2 jo0

a

r 2 dr = (2/3) jo a 3

2-4 Lintensit moyenne dans la dcharge estI = Q/t =10 C/1 103 s = 104 A. Le nombre dlectrons qui portent cette charge est Q/e = 10/1,6 1019 C = 6,2 1019 lectrons. Le sol est ngatif ; les lectrons se dplacent du sol vers le nuage. Lnergie libre dans cette dcharge est U = QV = 10 C (3 106 ) = 3 107 J ; ce qui correspond la consommation dune lampe de 100 W pendant un temps t = U/P = 3 107 J/100 W = 3 105 s soit 83 h.

2-5 Supposant que la densit de courant est uniforme sur la section, sa valeur est j = I /S = 1A/(0,5 103 m)2 = 1,27 106 A/m2 .


47

1 m3 de cuivre pse 8 900 kg et sa masse atomique est 63,5 g/mole. Le nombre dAvogadro (NA = 6,0 1023 atomes/mol) est le nombre datomes dans 63,5 g de cuivre. Le nombre dlectrons par unit de volume, approximativement gal au nombre datomes dans 1 m3, est n e = (8,90 103 kg/m3 ) 6,02 1023 atomes/mole) /(63,5 103 kg/mol) = 8,44 1028 lectrons/m

mini manuel d'electrocinetique

Documents