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Mini projet de Dynamique
des Structures
Réalisé par : Encadré par :
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Génie Civil 2
SOMMAIRE
Sommaire
Introduction - Matrices de masse, matrice de rigidité et équation du mouvement - Pulsations et vecteurs propres
- Traçage des vecteurs des quatre modes de vibrations
- Les masses généralisées, les rigidités généralisées et les forces
généralisées
- Expression de la réponse ui(t) en régime permanent
- Expression de la réponse ui(t) pour : Ω=0, Ω=0.5ω
1 et
Ω=1.3ω
- Déduire l’expression de U(t)
- Calcul de Fi et de D
i pour les deux distributions de charges P
a
et Pb
Conclusion
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Génie Civil 3
Remercierment
Introduction
L'ingénierie des structures1 est un domaine de l'ingénierie
et plus particulièrement du génie civil, traitant de la
conception et de l'analyse des structures.
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Génie Civil 4
Une structure est soumise à différentes actions,
permanentes ou variables dans le temps, statiques ou
dynamiques, de nature mécanique ou thermique, et sa
conception vise à satisfaire certains critères vis-à-vis de ces
actions :
Sécurité : sa résistance, son équilibre et sa stabilité
doivent être assurés avec une probabilité choisie ;
Performance : son fonctionnement et le confort
associés doivent être garantis pour une durée
suffisante ;
Durabilité : la dégradation de la structure dans le
temps doit être limitée et maîtrisée pour satisfaire les
deux premiers critères.
Les structures rencontrées le plus fréquemment sont les
bâtiments, c’est dans ce cadre s’intègre l’étude d’un
bâtiment 4étage soumis a une excitation harmonique.
1- Matrices de masse, matrice de rigidité et
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Génie Civil 5
équation du mouvement
Matrice De rigidité :
Matrice De masse :
Equation de mouvement :
M.Ü + K.U=P(t)
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Génie Civil 6
+
4
3
2
1
.
U
U
U
U
=
2- Pulsations et vecteurs propres :
Pulsations propres :
Det([K]-ω².[M])=0
rad/s
Vecteurs propres associées à chaque vecteur propre:
Ø1 associée à ω1²=176.7 :
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Génie Civil 7
Donc :
Ø2 associée à ω2²=879.7 :
Donc :
Ø3 associée à ω3²=1687.5 :
Comme :
On aura :
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Génie Civil 8
Donc :
Ø4 associée à ω3²=3122.8 :
Donc :
Finalement:
3- Traçage des vecteurs des quatre modes de
vibrations :
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Génie Civil 9
4- Les masses généralisées, les rigidités
généralisées et les forces généralisées :
Les masses généralisées :
(en K.sec²/in )
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Génie Civil 10
( en K.sec²/in )
Les rigidités généralisées :
(en K/in )
de même
Les forces généralisées :
On a :
Donc :
5- Expression de la réponse ui(t) en régime
permanent :
mj.ϋ + kj.u=Pj(t)
Avec :
- mj : masse généralisée.
- kj : rigidité généralisée.
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Génie Civil 11
- Pj(t) : force généralisée.
En régime permanent la solution de cette équation s’écrit :
Donc : les quatre solutions sont :
Avec :
6- Expression de la réponse ui(t) pour : Ω=0,
Ω=0.5ω1 et Ω=1.3ω
3
Pour Ω=0 :
Pour Ω=0.5ω1 :
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Génie Civil 12
Pour Ω=1.3ω3 :
8- l’expression de U(t)
L’expression de U(t) est donnée par :
Donc :
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Génie Civil 13
Et en suite :
Pour Ω=0 :
Pour Ω=0.5ω1 :
Pour Ω=1.3ω3 :
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Génie Civil 14
9- Calcul de Fi et de Di pour les deux distributions
de charges Pa et P
b :
Pour la distribution Pa:
On a :
Donc :
En suite on en déduit Dj :
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Génie Civil 15
Pour la distribution Pb:
On a :
Donc :
En suite on en déduit Dj :
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Génie Civil 16
conclusion
Ce Mini Projet est une occasion qui nous a permis de mettre en
application des concepts et des principes de base acquis aux études,
l’amélioration de mes connaissances professionnelles et de