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MINIATURES GÉOMÉTRIQUES SUR UN CARRÉ ADDENDUM V Jean - Louis AYME 1 A B D C E F G H Résumé. L'auteur propose un addendum à l'article ''Miniatures sur un carré'' en présentant 39 nouvelles miniatures. Progressivement un thème de dégage et des sous-thèmes apparaissent… Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement. Abstract. The author offers an addendum to article "Miniatures on a square" presenting 39 new miniatures. Gradually a theme appears and sub-themes come up… The figures are all in general position and all cited theorems can all be demonstrated synthetically. 1 St-Denis, Île de La Réunion (Océan Indien, France), le 30/11/2015 ; [email protected]

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MINIATURES GÉOMÉTRIQUES

SUR

UN CARRÉ

ADDENDUM V

Jean - Louis AYME 1

A B

D C

E

F

G

H

Résumé. L'auteur propose un addendum à l'article ''Miniatures sur un carré'' en présentant 39 nouvelles miniatures. Progressivement un thème de dégage et des sous-thèmes apparaissent… Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Abstract. The author offers an addendum to article "Miniatures on a square" presenting 39 new miniatures. Gradually a theme appears and sub-themes come up…

The figures are all in general position and all cited theorems can all be demonstrated synthetically.

1 St-Denis, Île de La Réunion (Océan Indien, France), le 30/11/2015 ; [email protected]

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2

Sommaire

A. Un point de vue 3

B. Des miniatures 4 1. Deux parallèles (45°) 2. Deux perpendiculaires (45°) 3. Deux perpendiculaires (45°) 4. Un point sur une droite (45°) 5. Trois droites concourantes (45°) 6. Trois points alignés (45°) 7. Deux triangles homothétiques (45°) 8. Trois points alignés de Stan Fulger (45°) 9. Parallèle à une diagonale 10. Deux parallèles 17 11. Deux parallèles 12. Deux parallèles 13. Deux parallèles 14. Trois points alignés 15. Trois points alignés 16. Trois points alignés de Tran Quang Hung 17. Deux segments égaux 18. Deux parallèles 19. Deux parallèles 20. Deux triangles homothétiques 32 21. La médiatrice de [SQ] 22. Deux cercles égaux 23. Deux segments égaux 24. Deux parallèles 25. Une relation 26. Deux aires égales 27. Evaluation d'une aire 28. Evaluation d'un angle 29. Longueur d'une tangente 30. Une relation 48 31. Une relation 32. Tangente passant par le milieu d'un côté 33. Un Sangaku de 1838 34. Evaluation d'un angle 35. Une relation entre distance 36. Un point sur une diagonale 37. Un parallélogramme 38. Un cercle passant par le milieu d'un côté 39. Perpendiculaire passant par un sommet 40. Une relation 62

Lexique Français-Anglais

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3

3

A. UN POINT DE VUE

Les figures présentées par l'auteur lui ont fait penser à des miniatures i.e. à des images participant à l'enluminure d'un manuscrit. Pour un géomètre sensible aux formes, la figure qui lui apparaît dans une vision est celle d'un Sujet qu'on appelait autrefois "être" géométrique. En dévoilant ses traits essentiels à son regard amical, le Sujet lui laisse gracieusement entrevoir une illumination, voire un théorème. Comme cela est souvent le cas, le géomètre réagit d'une façon belliqueuse en aiguisant son regard qui devient binoculaire. Agressé visuellement, le généreux Sujet se voile dans une configuration en abandonnant un donné inerte à la raison du géomètre. Ayant perdu la vision, celui-ci choisit alors un mode de raisonnement et une méthode géométrique qui lui permettent de visualiser comme un aveugle sa propre démarche. Avec l'aide de techniques particulières qui aplanissent son chemin, il progresse vers le donné qu'il désire s'approprier. Cette démarche raisonnée prend alors l'allure d'un schéma de démonstration i.e. d'une visualisation lorsque seuls les points principaux et les relations présentes dans la configuration, sont retenus. Ce schéma logico-déductif permet alors de comprendre le cheminement et le projet du géomètre dont le désir est de faire partager avec d'autres, le résultat auquel il est parvenu.

2

2 Ayme J.-L., Mosaïque dans un carré, G.G.G. vol. 20 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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4

4

B. DES MINIATURES

1. Deux parallèles

Angle de <45°

VISION Figure :

A B

D C

M N

P

45

0

Traits : ABCD un carré, M, P deux points resp. de [BC], [CD] tels que <MAP = 45°, 0 le cercle circonscrit à ABCD et N le second point d'intersection de (AM) avec 0. Donné : (AP) est parallèle à (BN). 3

VISUALISATION

A B

D C

M 0

N

P

45

45

45

• Une chasse angulaire :

* par ''Angles inscrits'', <ANB = 45° * par hypothèse, 45° = <NAP

3 Ayme J.-L., Square and circumcircle I , Inspired by sunken rock, AoPS du 27/07/2017

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1484974_square_and_circumcircle_i

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5

5

* par transitivité de =, <ANB = <NAP * par ''Angles alterne-interne'', (NB) // (AP). • Conclusion : (BN) est parallèle à (AP). Scolie : deux autres parallèles

A B

D C

M 0

N

P

45

Q

• Notons Q le second point d'intersection de (AP) avec 0. • Conclusion : mutatis mutandis,

nous montrerions que (DQ) est parallèle à (AM). 2. Deux perpendiculaires

Angle de <45°

VISION Figure :

A B

D C

M 0

N

P

45

Traits : ABCD un carré, M, P deux points resp. de [BC], [CD] tels que <MAP = 45°, 0 le cercle circonscrit à ABCD

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6

6

et N le second point d'intersection de (AM) avec 0. Donné : (AP) est perpendiculaire à (DN). 4

VISUALISATION

A B

D C

M 0

N

P

45

• Notons T le point d'intersection de (AP) et (DN). • Une chasse angulaire :

* par ''Angles inscrits'', <DNA = 45° * par hypothèse, 45° = <NAP

* par transitivité de =, <DNA = <NAP ou encore <TNA = <NAT * en conséquence, le triangle TAN est isocèle * par ''Le théorème 180'', TAN est T-rectangle. • Conclusion : (AP) est perpendiculaire à (DN).

Scolie : deux autres perpendiculaires

A B

D C

M 0

N

P

45

Q

• Notons Q le second point d'intersection de (AP) avec 0.

4 Ayme J.-L., Square and circumcircle II , Inspired by sunken rock, AoPS du 27/07/2017

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1484983_square_and_circumcircle_ii

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7

7

• Conclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que (AM) est perpendiculaire à (BQ).

3. Deux perpendiculaires

Angle de <45°

VISION Figure :

A B

D C

M 0

N

P

45

Q

U

V

Traits : ABCD un carré, M, P deux points resp. de [BC], [CD] tels que <MAP = 45°, 0 le cercle circonscrit à ABCD, N, Q les seconds points d'intersection de (AM), (AP) avec 0, U l'antipôle de N relativement à 0 et V le point d'intersection de (UD) et (NQ). Donné : (VP) est perpendiculaire à (AN). 5

VISUALISATION

5 Ayme J.-L., Square and circumcircle III , Inspired by sunken rock, AoPS du 27/07/2017

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1484985_square_and_circumcircle_iii

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8

8

A B

D C

M 0

N

P

45

Q

U

V

• D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'' appliqué * au triangle ACN, (NC)⊥ (AN) * au triangle NUA, (AN)⊥ (AU) * d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (NC) // (AU).

A B

D C

M 0

N

P

45

Q

U

V

1

2

3 4

5

6

• D'après Aubert-Pascal ''Hexagramma mysticum'' 6 appliqué à l'hexagone cyclique UDCNQAU, (1) (VP) en est la pascale (2) (VP) // (NC). • Conclusion : (VP) est perpendiculaire à (AN).

Scolie : des parallèles

6 Ayme J.-L., Hexagramma mysticum, G.G.G. vol. 12, p. 14-16 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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9

9

A B

D C

M 0

N

P

45

Q

U

• Conclusion : (AN), (CU) et (DQ) sont parallèles entres elles. 4. Un point sur (PV)

Angle de <45°

VISION Figure :

A B

D C

M 0

N

P

45

Q

U

V

W

Traits : ABCD un carré, M, P deux points resp. de [BC], [CD] tels que <MAP = 45°, 0 le cercle circonscrit à ABCD, N, Q les seconds points d'intersection de (AM), (AP) avec 0, U l'antipôle de N relativement à 0 et V, W les points d'intersection de (UD) et (NQ), (AN) et (BD). Donné : W est sur (VP). 7

VISUALISATION

7 Ayme J.-L., Square and circumcircle IV , Inspired by sunken rock, AoPS du 27/07/2017

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1485555_square_and_circumcircle_iv

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10

10

A B

D C

M 0

N

P

45

Q

U

V

W

1

2

3

4 5

6

• Scolie : (AU) // (BQ) • D'après Aubert-Pascal ''Hexagramma mysticum'' 8 appliqué à l'hexagone cyclique DBQNAUQ, (1) (WV) en est la pascale (2) (WV) // (VP). • Conclusion : d'après l'axiome d'incidence Ia, W est sur (VP).

5. Trois droites concourantes

Angle de <45°

VISION Figure :

A B

D C

M 0

N

P

45

Q

U

V

W X

Traits : ABCD un carré, M, P deux points resp. de [BC], [CD] tels que <MAP = 45°,

8 Ayme J.-L., Hexagramma mysticum, G.G.G. vol. 12, p. 14-16 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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11

11

0 le cercle circonscrit à ABCD, N, Q les seconds points d'intersection de (AM), (AP) avec 0, X le second point d'intersection de (QM) avec 0 et U l'antipôle de N relativement à 0. Donné : (UX), (AN) et (BD) sont concourantes. 9

VISUALISATION

A B

D C

M 0

N

P

Q

U

V

W', W X

1

2

3

4

5

6

45

• D'après Problème 3, (AMN), (CU) et (DQ) sont parallèles entre elles. • Notons W, W' les points d'intersection de (AN) et (BD), (XU) et (BD). • D'après Aubert-Pascal ''Hexagramma mysticum'' 10 appliqué à l'hexagone cyclique QXUCBDQ, (1) (MW’) en est la pascale (2) (MW’) // (AMN). • D'après l'axiome d'incidence Ia, W' étant sur (AMN), W' et W sont confondus. • Conclusion : (UX), (AN) et (BD) sont concourantes. 6. Trois points alignés

Angle de <45°

VISION Figure :

9 Ayme J.-L., Square and circumcircle V, Inspired by sunken rock, AoPS du 27/07/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1485570_square_and_circumcircle_v 10 Ayme J.-L., Hexagramma mysticum, G.G.G. vol. 12, p. 14-16 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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12

12

A B

D C

M 0

N

P

45

Q

U

V

W X

S

Traits : ABCD un carré, M, P deux points resp. de [BC], [CD] tels que <MAP = 45°, 0 le cercle circonscrit à ABCD, N, Q les seconds points d'intersection de (AM), (AP) avec 0, X le second point d'intersection de (QM) avec 0, U l'antipôle de N relativement à 0 et S, V, W les points d'intersection de (AD) et (XQ), (UD) et (NQ), (AN) et (XU). Donné : S est sur (VW). 11

VISUALISATION

A B

D C

M 0

N

P

45

Q

U

V

W X

S

1 2

3

4

5

6

• D'après Pascal ''Hexagramma mysticum'' 12, (SVW) est la pascale de l'hexagone cyclique ADUXQNA • Conclusion : S est sur (VW). Scolies : (1) quatre points alignés 11 Ayme J.-L., Square and circumcircle VII , Inspired by sunken rock, AoPS du 27/07/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1485580_square_and_circumcircle_vii 12 Ayme J.-L., Hexagramma mysticum, G.G.G. vol. 12, p. 14-16 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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13

13

A B

D C

M 0

N

P

45

Q

U

V

W X

S

• D'après * Problème 4, P, V, W sont alignés * Problèm 6, S, V, W sont alignés • Conclusion : d'après l'axiome d'incidence Ia, P, S, V et W sont alignés. (2) Une perpendiculaire • Conclusion : d'après Problème 3, (PS) ⊥ (AN) (3) Deux parallèles • Nous avons : (PS) ⊥ (AN). • D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (AN)⊥ (NC). • Conclusion : d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (PS) // (NC). 7. Deux triangles homothétiques

VISION

Figure :

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14

14

A B

D C

M 0

N

P

Q

S

45

Traits : ABCD un carré, M, P deux points resp. de [BC], [CD] tels que <MAP = 45°, 0 le cercle circonscrit à ABCD, N, Q les seconds points d’intersection de (AM), (AP) avec 0 et S le point d'intersection de (AD) et (MQ). Donné : le triangle APS est homothétique au triangle BMC. 13

VISUALISATION • Par hypothèse, (AS) //(BC). • D'après Problème 1, (AP) // (BN). • D'après Problème 6, scolie 3, (PS) // (NC). • Conclusion : le triangle APS est homothétique au triangle BNC. 8. Trois points alignés

Restitution du problème

de

Stan Fulger (Roumanie) 14

VISION

Figure :

13 Ayme J.-L., Square and circumcircle VIII , Inspired by sunken rock, AoPS du 27/07/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1485583_square_and_circumcircle_viii 14 Fulger S., Square and circumcircle, AoPS du 21/07/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1481472_square_and_circumcircle

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15

15

A B

D C

M

P

Q

S

N

R

0

45

Traits : ABCD un carré, M, P deux points resp. de [BC], [CD] tels que <MAP = 45°, 0 le cercle circonscrit à ABCD, N, Q les seconds points d’intersection de (AM), (AP) avec 0 et R, S les points d'intersection de (AB) et (PN), (AD) et (MQ). Donné : S, C et R sont alignés.

VISUALISATION

• D'après Problème 7, le triangle APS est homothétique au triangle BNC. • BNC étant ''plus petit'' que APS, (AB), (PN) et (SC) concourent en R. • Conclusion : S, C et R sont alignés.

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16

16

9. Parallèle à une diagonale

VISION

Figure :

A B

D C

P

V

K 0

Traits : ABCD un carré, 0 le cercle circonscrit à ABCD,

P un point de l'arc CD ne contenant pas A et K, V les points d'intersection resp. de (PA) et (BD), (PB) et (CD). Donné : (VK) est parallèle à (AC). 15

VISUALISATION

A B

D C

P

V

K 0

5

4

2

1

6

Tb

3

• Notons Tb la tangente à 0 en B. • Scolie : Tb // (AC). • D'après Carnot-Pascal ''Pentagramma mysticum'' 16

15 Ayme J.-L., Two parallels in a square, AoPS du 05/08/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1490497_two_parallels_in_a_square 16 Carnot, De la corrélation des figures de Géométrie (1801) 455-456 Ayme J.-L., Hexagramma mysticum, G.G.G. vol. 12 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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17

17

appliqué à l'hexagone dégénéré cyclique APB Tb DCA (1) (VK) en est la pascale (2) (VK) // (AC). • Conclusion : (VK) est parallèle à (AC).

10. Deux parallèles

VISION

Figure :

A B

D C

P

V

K 0

L Y

M

Traits : ABCD un carré, 0 le cercle circonscrit à ABCD,

P un point de l'arc CD ne contenant pas A, K, L, V les points d'intersection resp. de (PA) et (BD), (PB) et (AC), (PB) et (CD), Y le point d'intersection de (KL) et (BC), et M le pied de la perpendiculaire à (CD) issue de K. Donné : (VY) est parallèle à (ML). 17

VISUALISATION

17 Ayme J.-L., Two parallels in a square, AoPS du 06/08/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1490844_two_parallels

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18

18

A B

D C

P

V

K 0

L Y

M

1

2 3

4 5

6

• Scolie : (KM) // (CY). • D'après Problème 9, (VK) // (AC). • D'après Pappus d'Alexandrie ''Le petit théorème'' 18 appliqué au quadrilatère sectoriel KMLCYVK de frontières (KY) et (MC), (VY) // (ML).

• Conclusion : (VY) est parallèle à (ML).

11. Deux parallèles

VISION

Figure :

A B

D C

P

V

K 0 L

M

X

S

Traits : ABCD un carré, 0 le cercle circonscrit à ABCD,

P un point de l'arc CD ne contenant pas A, K, L, V les points d'intersection resp. de (PA) et (BD), (PB) et (AC), (PB) et (CD), M le pied de la perpendiculaire à (CD) issue de K, X le point d'intersection de (ML) et (BC),

18 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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19

19

et S le point d'intersection de (DX) et (KL). Donné : (SV) est parallèle à (AD). 19

VISUALISATION

A B

D C

P

V

K 0 L

M

X

S

• Scolie : (KM) // (BX). • D'après Pappus d'Alexandrie ''Le petit théorème'' 20 (BX) étant la pascale du quadrilatère sectoriel KMLVSDK de frontières (KL) et (CD), (SV) // (KM).

• Conclusion : (SV) est parallèle à (AD). 12. Deux parallèles

VISION Figure :

A B

D C

O

P

K 0

M

19 Ayme J.-L., Two parallels in a square, AoPS du 06/08/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1490869_two_parallels 20 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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20

20

Traits : ABCD un carré, 0 le cercle circonscrit à ABCD, O le centre de 0,

P un point de l'arc CD ne contenant pas A, K le point d'intersection de (PA) et (BD),

et M le pied de la perpendiculaire à (CD) issue de K. Donné : (OM) est parallèle à (PB). 21

VISUALISATION

A B

D C

O

P

V

K 0

M

1

2 3

4

5

6

• Notons V le point d'intersection de (PB) et (CD). • Scolie : (KM) // (BC). • D'après Problème 9, (KV) // (AC). • D'après Pappus d'Alexandrie ''Le petit théorème'' 22 appliqué au quadrilatère sectoriel KMOCBVK de frontières (DC) et (DB), (OM) // (BV).

• Conclusion : (OM) est parallèle à (PB). 13. Deux parallèles

VISION Figure :

21 Ayme J.-L., Two parallels in a square, AoPS du 06/08/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1490884_two_parallels 22 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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21

21

A B

D C

O

P

V

K 0 L

M

X

Traits : ABCD un carré, 0 le cercle circonscrit à ABCD, O le centre de 0,

P un point de l'arc CD ne contenant pas A, K, L les points d'intersection resp. de (PA) et (BD), (PB) et (AC), M le pied de la perpendiculaire à (CD) issue de K et X le point d'intersection de (ML) et (BC). Donné : (OX) est parallèle à (KL). 23

VISUALISATION

A B

D C

O

P

K 0 L

M

X

1

2 3

4

5 6

• Scolie : (KM) // (BX). • D'après Problème 12, (OM) // (BL). • D'après Pappus d'Alexandrie ''Le petit théorème'' 24 appliqué au quadrilatère sectoriel OXBLKMO de frontières (BD) et (MX), (OX) // (KL).

• Conclusion : (OX) est parallèle à (KL). 23 Ayme J.-L., Two parallels in a square, AoPS du 06/08/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1490887_two_parallels_a_better_formulation 24 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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22

22

Scolie : une jolie parallèle à (KL)

A B

D C

O

P

K 0

L

M

X

T

N

• Notons N le pied de la perpendiculaire à (CD) issue de L et T le point d'intersection de (NK) et (AD). • Mutatis mutandis nous montrerions que (KL) // (OT) ; par transitivité de //, (OX) // (OT) ; d’après le postulat d’Euclide, (OX) = (OT) ; en conséquence, X, O et T sont alignés. • Conclusion : (XOT) est parallèle à (KL). 14. Trois points alignés

VISION Figure :

A B

D C

O

P

V

K 0

L

M

X

S T

N

I

Traits : ABCD un carré, 0 le cercle circonscrit à ABCD, O le centre de 0,

P un point de l'arc CD ne contenant pas A, K, L les points d'intersection resp. de (PA) et (BD), (PB) et (AC),

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23

23

M, N les pieds des perpendiculaires à (CD) issues resp. de K, L, X, T les points d'intersection resp. de (ML) et (BC), (NK) et (AD), V le point d'intersection de (PB) et (CD), S le point d'intersection de (DX) et (KL), et I le point d'intersection de (SV) et (ML). Donné : C, I et T sont alignés. 25

VISUALISATION

A B

D C

O

P

V

K 0

L

M

X

S T

N

I

• D'après Problème 11, (TD) // (IV). • D'après Problème 13, scolie, T, O et X sont alignés. • Scolie : (TD), (IV) et (BX) sont parallèles entre elles. • Conclusion : d'après Girard Desargues ''Le théorème des deux triangles'' 26 (BX) étant l'arguésienne des triangles TDO et IVL, C, I et T sont alignés. 15. Trois points alignés

VISION Figure :

25 Ayme J.-L., Three collinear points, AoPS du 06/08/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1490911_three_collinear_points 26 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 42 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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24

24

A B

D C

P

V

K 0

L

M N

Q

Traits : ABCD un carré, 0 le cercle circonscrit à ABCD, O le centre de 0,

P un point de l'arc CD ne contenant pas A, K, L les points d'intersection resp. de (PA) et (BD), (PB) et (AC), M, N les pieds des perpendiculaires à (CD) issues resp. de K, L et V, Q les points d'intersection de (PB) et (CD), (ML) et (MK). Donné : V, Q et A sont alignés. 27

VISUALISATION

A B

D C

P

V

K 0

L

M

T

N

I

Q

1 2

3

4 5

6

• Notons X, T les points d'intersection resp. de (ML) et (BC), (NK) et (AD), S le point d'intersection de (DX) et (KL), et I le point d'intersection de (SV) et (ML). • Conclusion : d'après Pappus d'Alexandrie ''Le petit théorème'' 28 (CTI) étant la pappusienne du quadrilatère sectoriel 123456 dont une frontière (NL),

V, Q et A sont alignés. Scolie : un second alignement

27 Sunken rock, Square, circumcircle and concurrency, AoPS du 06/08/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1490873_square_circumcircle_and_concurrency 28 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 18 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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25

25

A B

D C

P

V

K 0

L

M N

Q

U

• Notons U le point d'intersection de (PA) et (CD). • Conclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que U, Q et B sont alignés. 16. Trois points alignés

Sharygin Finals 2017, Problem 8.8

Restitution du problème

de

Tran Quang Hung (Vietnam) 29

VISION

Figure :

29 Median through point on circumcircle of square, AoPS du 04/08/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1490023_median_through_point_on_circumcircle_of_square Official solution ; http://geometry.ru/olimp/2017/final_sol_en.pdf

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26

26

A B

D C

P

K

L

M N

Q

J

0

Traits : ABCD un carré, 0 le cercle circonscrit à ABCD, O le centre de 0,

P un point de l'arc CD ne contenant pas A, K, L les points d'intersection resp. de (PA) et (BD), (PB) et (AC), M, N les pieds des perpendiculaires à (CD) issues resp. de K, L et J le milieu de [AB]. Donné : (PQ) passe par J. Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 30

VISUALISATION

30 Fulger S., Square and circumcircle, AoPS du 21/07/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1481472_square_and_circumcircle Ayme J-L., Breaking down a problem, G.G.G. vol. 38 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

Diophante, Problème D1821, La sage des dichotomies (2e episode) ; http://www.diophante.fr/problemes-par-themes/geometrie/d1-geometrie-plane-triangles-et-cercles/3897-d1826-la-saga-des-

dichotomies-2eme-episode

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27

27

A B

D C

P

K

L

M N

Q

J

0

U V

• Notons U, V les points d'intersection de (CD) resp. avec (PA), (PB). • D'après Problème 15, (1) V, Q et A sont alignés (2) U, Q et B sont alignés. • Conclusion : d'après ''Le trapèze complet'' appliqué au trapèze ABVU, (PQ) passe par J. Archive

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28

28

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29

29

17. Deux segment égaux

VISION

Figure :

A B

D C

X

Y Z

S

U

Traits : XYZ un triangle X-rectangle,

ABCD un carré inscrit dans ABCD comme indiqué sur la figure, et S, U les points d'intersection resp. de (YC) et (AD), (XZ) et (AD). Donné : DU = AY.

VISUALISATION

A B

D C

X

Y Z

S

U

• Nous avons : (1) les triangles DUC et AYD sont resp. rectangles en D, C (2) CD = DA (3) <UCD = <AYD. • Conclusion : DUC et AYD étant égaux, DU = AY. 18. Deux parallèles

VISION Figure :

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30

30

A B

D C

X

Y Z

S

Q

U

V

Traits : XYZ un triangle X-rectangle,

ABCD un carré inscrit dans ABCD comme indiqué sur la figure, S, Q les points d'intersection resp. de (YC) et (AD), (ZD) et (BC), et U, V les points d'intersection resp.

de (XZ) et (AD), (ZD) et la parallèle à (AD) issue de Y. Donné : (UV) est parallèle à (AQ).

VISUALISATION

A B

D C

X

Y Z

S

Q

U

V

• Une chasse de rapport : * par hypothèse et d'après Problème 17 , DU/DA = AY/AB * par projection, AY/AB = DV/DQ * par transitivité de =, DU/DA = DV/DQ * d'après Thalès ''Rapports'', (UV) // (AQ). • Conclusion : (UV) est parallèle à (AQ). 19. Deux parallèles

VISION Figure :

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31

31

A B

D C

X

Y Z

S

Q

Traits : XYZ un triangle X-rectangle,

ABCD un carré inscrit dans ABCD comme indiqué sur la figure, et S, Q les points d'intersection resp. de (YC) et (AD), (ZD) et (BC).

Donné : (AQ) est parallèle à (YC).

VISUALISATION

A B

D C

X

Y Z

S

Q

U

V

1 2

3 4

5 6

• Notons U, V les points d'intersection resp. de (XZ) et (AD), (ZD) et la parallèle à (AD) issue de Y.

• D'après Problème 18, (AQ) // (UV). • D'après Pappus d'Alexandrie 31 (UV) étant la pappusienne de l'hexagone sectoriel 123456 de frontières (YZ) et (BC), (UV) // (YC) ; par transitivité de //, (AQ) // (YC). • Conclusion : (AQ) est parallèle à (YC). Scolie : deux autres parallèles

A B

D C

X

Y Z

S

Q

31 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 18 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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32

32

• Conclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que (AQ) est parallèle à (YC). 20. Deux triangles homothétiques

VISION Figure :

A B

D C

X

Y Z

S

Q

O

Traits : XYZ un triangle X-rectangle,

ABCD un carré inscrit dans ABCD comme indiqué sur la figure, O le centre de ABCD

et S, Q les points d'intersection resp. de (YC) et (AD), (ZD) et (BC).

Donné : O est le milieu de [SQ].

VISUALISATION

A B

D C

X

Y Z

S

Q

• D'après Problème 18 et hypothèse, les triangles AQD et CSB sont homothétiques.

A B

D C

X

Y Z

S

Q

O

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33

33

• D'après Girard Desargues 32, (AC), (QS) et (DB) concourent en O. • Conclusion : par symétrie de centre O, O est le milieu de [SQ]. 21. La médiatrice de [SQ]

VISION Figure :

A B

D C

X

Y Z

S

Q

O

M

1

Traits : XYZ un triangle X-rectangle,

ABCD un carré inscrit dans ABCD comme indiqué sur la figure, O le centre de ABCD,

S, Q les points d'intersection resp. de (YC) et (AD), (ZD) et (BC), 1 le cercle passant par S, D, O et M le second point d'intersection de 1 avec (DC).

Donné : (OM) est la médiatrice de [SQ].

VISUALISATION

A B

D C

X

Y Z

S

Q

O

M

1

• D'après Problème 19, O est le milieu de [SQ]. • D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (OM)⊥ (OS). • Conclusion : (OM) est la médiatrice de [SQ].

32 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 42 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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34

34

Scolie : 1 est le cercle de diamètre [SM]. 22. Deux cercles égaux

VISION Figure :

A B

D C

X

Y Z

S

Q

O

M

1

Traits : XYZ un triangle X-rectangle,

ABCD un carré inscrit dans ABCD comme indiqué sur la figure, O le centre de ABCD,

S, Q les points d'intersection resp. de (YC) et (AD), (ZD) et (BC), 1 le cercle passant par S, D, O et M le second point d'intersection de 1 avec (DC).

Donné : O, M, Q et C sont cocycliques.

VISUALISATION

• Scolie : (SD) // (QC). • Conclusion : le cercle 1, les points de base O et M, les moniennes naissantes (SOQ) et (DMC), les parallèles (SD) et (QC), conduisent au théorème 0'' de Reim ; en conséquence, O, M, Q et C sont cocycliques. • Notons 2 ce cercle. Scolies : (1) 1 et 2 sont égaux

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35

35

A B

D C

X

Y Z

S

Q

O

M

1

2

• D'après Problème 21, le triangle MSQ est M isocèle. • Conclusion : 1 et 2 sont égaux. (2) Trois points alignés

A B

D C

X

Y Z

S

Q

O

M

1

K

J

2

3

• Notons J, K les seconds points d'intersection de 1, 2 resp. avec (XZ), (XY) et 3 le cercle de diamètre [CD] ; il passe par O. • Conclusion : d'après Auguste Miquel ''La droite de Miquel-Wallace'' 33 appliqué au triangle XCD avec J sur (XC), M sur (CD) et K sur (DX), du point de Miquel-Wallace O, J, M et K sont alignés. (3) Six points cocycliques

A B

D C

X

Y Z

S

Q

O

M

1

K

J

2

4

• Notons 4 le cercle circonscrit à ABCD ; il a pour centre O.

33 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 15-16 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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36

36

• Les cercles 1 et 2 étant égaux, OJ = OK = OA = OB = OC = OD. • Conclusion : 4 passe par J, K (et A, B, C, D). 23. Deux segments égaux

Restitution du problème

de

Stan Fulger (Roumanie) 34

VISION

Figure :

A B

D C

X

Y Z

S

Q

Traits : XYZ un triangle X-rectangle,

ABCD un carré inscrit dans ABCD comme indiqué sur la figure et S, Q les points d'intersection resp. de (YC) et (AD), (ZD) et (BC). Donné : XS = XQ.

VISUALISATION

A B

D C

X

Y Z

S

Q

O

M

1

K

J

2

4

• Notons 1 le cercle passant par S, D, O, M le second point d'intersection de 1 avec (DC), 34 Fulger S., Surprising perpendicularity in a right-angled triangle

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1491448_surprising_perpendicularity_in_a_rightangled_triangle

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37

37

2 le cercle passant par O, M, Q, C, 4 le cercle circonscrit à ABCD ; il a pour centre O. O le centre de ABCD

et J, K les seconds points d'intersection de 1, 2 resp. avec (XZ), (XY).

• D'après Gaspard Monge ''Le théorème des trois cordes'' 35 appliqué aux cercles 1, 2 et 4, (OM) passe par X. • Conclusion : d'après Problème 21, (OM) étant la médiatrice de [SQ], XS = XQ.

24. Deux parallèles

VISION Figure :

A B

D C

X

Y Z

S

Q

O

M

1

Traits : XYZ un triangle X-rectangle,

ABCD un carré inscrit dans ABCD comme indiqué sur la figure, O le centre de ABCD,

S, Q les points d'intersection resp. de (YC) et (AD), (ZD) et (BC), 1 le cercle passant par S, D, O et M le second point d'intersection de 1 avec (DC).

Donné : (SM) est parallèle à (XY).

35 Ayme J.-L., Two parallels, inspired by sunken rock, AoPS du 09/08/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1492554_two_parallels

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38

38

VISUALISATION

A B

D C

X

Y Z

S

Q

O

M

1

3

• Notons 3 le cercle de diamètre [CD] ; il passe par O. • Scolie : 3 est tangent à (AD) en D. • D'après Problème 22, M, O et X sont alignés. • Les cercles 1 et 3, les points de base D et O, les moniennes (SDD) et (MOX), conduisent au théorème 3 de Reim ; il s'en suit que (SM) // (DX). • Conclusion : (SM) est parallèle à (XY). Scolies : (1) deux autres parallèles

A B

D C

X

Y Z

S

Q

O

M

1

3

2

• Notons 2 le cercle passant par S, D, O et M. • Conclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que (QM) est parallèle à (XZ). (2) Une bissectrice

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39

39

A B

D C

X

Y Z

S

Q

O

M

• D'après Problèmes 21, (MO) est la M-bissectrice intérieure du triangle M-isocèle MSQ. • D'après Problèmes 22, O, M et X sont alignés. • Conclusion : par parallélisme, (XO) est la X-bissectrice intérieure du triangle XTZ. 25. Une relation

Deux points variables sur deux côtés

VISION Figure :

A B

D C

M

N

P

Q

O

Traits : ABCD un carré, O le centre de ABCD,

M, N deux points resp. de [AB], [CD] et P, Q les points d'intersection resp. de (AN) et (DM), (BN) et (CM).

Donné : MA/BA + ND/CD = 2.OQ/PQ. 36

VISUALISATION

36 Trois rapports de section, Les-Mathematiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1510488

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40

40

A B

D C

M

N

P

Q

O

1

2

3

4

5

6

• Scolie : O est le point d'intersection de (AC) et (BD). • D'après Pappus d'Alexandrie ''Le petit théorème'' 37, (PQO) est la pappusienne de l'hexagone sectoriel ANBDMCA de frontière (AB) et (CD).

A B

D C

M

N

P

Q

O

Y

Z

• Notons Y, Z les points d'intersection resp. de (AM) et (BN), (AN) et (CM). • Une première chasse de rapports par le théorème de Ménélaüs appliqué * au triangle OPD et à la ménélienne (QYB) : QO/QP . YP/YD . BD/BO = 1 2. QO/QP = YD/YP * au triangle OPA et à la ménélienne (QZC) : QO/QP . ZP/ZA . CA/CO = 1 2. QO/QP = ZA/ZP.

37 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 3-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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41

41

• Une seconde chasse de rapports par le théorème de Ménélaüs appliqué * au triangle MBY et à la ménélienne (ANP) : AM/AB . NB/NY . PY/PM = 1 * par Thalès ''Rapports'', NB/NY = DM/DY

* par substitution et réarrangement, AM/AB = DY/PY . PM/DM. * au triangle NCZ et à la ménélienne (DMP) : DN/DC . MC/MZ . PZ/PN = 1 * par Thalès ''Rapports'', MC/MZ = AN/AZ

* par substitution et réarrangement, DN/DC = AZ/PZ . PN/AN.

• Par addition, AM/AB + DN/DC = 2. QO/QP . (PM/DM + PN/AN) • Les triangles PAM et PND étant homothétiques, PM/DM = PA/AN • Par substitution, AM/AB + DN/DC = 2. QO/QP . (PA/AN + PN/AN). • Conclusion : AM/AB + DN/DC = 2. QO/QP. 26. Deux aires égales

AMTI

un point variable sur une diagonale

VISION Figure :

A B

D C

P F

H Q

Traits : ABCD un carré, P un point de [BD], F le pied de la perpendiculaire à (BC) issue de P, H le symétrique de B par rapport à F et Q le point d'intersection de (AH) et (PC).

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42

42

Donné : [APQ] = [CQH]. 38

VISUALISATION

A B

D C

P F

H Q

• Scolie : FP = FB = FH. • Le triangle PBH étant P-rectangle, (PH)⊥ (BD) ; nous savons que (BD)⊥ (AC) ; d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (PH) // (AC). • (AC) étant parallèle à (PH), [APH] = [CPH] •••• Conclusion : par soustraction de l'aire commune [QPH], [APQ] = [CQH]. 27. Évaluation d'une aire

VISION Figure :

A B

D C E

F G

H

I

Traits : ABCD un carré tel que [ABCD] = 70, E le milieu de [CD], F, G les premier, second tiers-points [AB] à partir de A, et H, I les points d'intersection de (AC) resp. avec (EF), (EG).

38 Thought provoking, AoPS du 21/08/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1499873_thought_provoking

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43

43

Donné : évaluer [EHI]. 39

VISUALISATION

A B

D C E

F G

V U

H

I

• Notons DCVY le triple carré construit à partir de ABCD. • Scolie : (1) E, F et U sont alignés (2) E, F et U sont alignés. • Notons AC = d, HI = x. • Nous avons : [ABCD] = 1/2 . d² = 70 • Par le théorème de Ménélaüs appliqué au triangle ACD et à la ménélienne (HRU), HA/HC . EC/ED . UD/UA = 1 ;

HA/HC = 2/3. • Par le théorème de Ménélaüs appliqué au triangle ACD à la ménélienne (IEX), IA/IC . EC/ED . XD/XA = 1 ;

IA/IC = 4/3 i.e. IA/2.IC = 2/3

• Calcul de IC : IA/IC + 1= 4/3 +1

39 Aire d’un triangle, Les-Mathematiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1529676

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44

44

d/IC = 7/3 i.e. IC = 3.d/7.

• Par les proportions, * HA/HC = IA/2.IC = (IA-HA)/(2.IC-HC) = x/(IC + IC – HC) = x/ (IC – (HC-IC) = x/(IC-x) = 2/3 * 5.x = 2.IC * x = 6.d/35

A B

D C E

F G

H

I U

O

T

• Notons U le milieu de [AD], T le point d'intersection de (UE) et (BD), et O le point d'intersection de (AC) et (BD). • Scolies : (1) OT est la longueur de la E-hauteur de EHI (2) OT = 1/4.d. • Par la formule égyptienne, [EHI] = 1/2 . HI. OT ; [EHI] = 1/2 . x . 1/4 .d ; [EHI] = 1/2 . 6.d/35. 1/4 .d = 1/2 . d² .6/140 = 70/140 = 6/2 = 3. • Conclusion : [EHI] = 3. 28. Évaluation d'un angle

Sharygin Geometry Olympiad 2014

Problem 8

by

Р.Садыков)

VISION Figure :

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45

45

A B

D C

K

F

45

Traits : ABCD un carré, K un point de [AB] et F le point de [AC] tel que <FKD = 45°.

Donné : <DFK = 90°. 40

VISUALISATION

A B

D C

K

F

45 45

1

• Scolies : (1) <CAD = 45° (2) (AD) // (CL). • D'après ''Le théorème de l'angle inscrit'', A, K, F et D sont cocycliques.

A B

D C

K

F

45

1

• Notons 1 ce cercle de diamètre [KD] ; il passe par F. • Conclusion : d'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi cercle’'', <DFK = 90°.

40 Десятаяолимпиадапогеометрииим.И.Ф.Шарыгина, Заочныйтур.Решения ; http://geometry.ru/olimp/2014/zaochsol.pdf Very small problem, AoPS du 25/09/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1518524_a_very_small_problem

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46

46

29. Longueur tangente

VISION Figure :

A B

D C

E

1

Traits : ABCD un carré, 1 le demi-cercle de diamètre [AB] intérieur à ABCD et E le point d'intersection de la seconde tangente à 1 issue de C avec (AD). Donné : évaluer CE. 41

VISUALISATION

A B

D C

E

1

• Notons T le point de contact de (CE) avec 1. • Posons AB = a , AE = x. • D'après Euclide ''Tangentes égales'' 42, (1) ET = EA (= x) (2) CT = CB (= a). • D'après ''Le théorème de Pythagore''

41 AMC 10A (2004)

Evaluation, AoPS du 24/03/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c4h1409935_evaluation Square un a Semicircle, AoPS du 23/06/2006 ; https://artofproblemsolving.com/community/c4t48f4h71598_square_and_semicircle

42 Conséquence de la proposition 36 du Livre III des Éléments d'Euclide

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47

47

appliqué au triangle D-rectangle, EC² = DE² + DC² i.e. (x + a)² = (a – x)² + a² par développement et simplification, x = a/4 • Nous avons : CE = CT + TE par substitution, CE = a + x i.e. CE = a + a/4 • Conclusion : CE = 5/4.a. 30. Une relation

Irish Mathematical Olympiad 2014

Paper 2 Question 2

VISION

Figure :

A B

D C

O

0

E

F

H

Traits : ABCD un carré, 0 le cercle circonscrit à ABCD O le centre de 0, E le milieu de [AD], F le point d'intersection de (CE) avec 0 et H le point d'intersection de (FB) et (AD). Donné : HD = 2.AH. 43

VISUALISATION

43 Geometry Irish MO, AoPS du 20/04/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1434339_geometry_irish_mo

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48

48

• Notons T le point d'intersection de (AB) et (CE). • Scolie : A est le milieu de [TB]. • D'après ''Le théorème de la tangente'', (TD) est la tangente à 0 en D. • Notons Td cette tangente.

• D'après Carnot-Pascal ''Pentagramma mysticum'' (THO) est la pascale de l'hexagone dégénéré cyclique Td ACFBD. • D'après Archimède de Syracuse, H est le point médian du triangle DTB. • Conclusion : HD = 2.AH.

31. Une relation

vankhea (Thaïlande)

VISION Figure :

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49

49

A B

D C

X

Y

Z

T

P

Traits : ABCD un carré tel que AB = a, X, Y, Z, T les milieux resp. de [AB], [BC], [CD], [DA] et P un point intérieur à ABCD. Donné : PA² + PB² + PC² + PD² = a² + PX² + PY² + PZ² + PT². 44

VISUALISATION

A B

D C

X

Y

Z

T

P

• D'après ''Le théorème de la médiane'' appliqué au * triangle PAB, PA² + PB² = 1/2 .AB² + 2.PX² * triangle PBC, PB² + PC² = 1/2 .BC² + 2.PY² * triangle PCD, PC² + PD² = 1/2 .CD² + 2.PZ² * triangle PDA, PD² + PA² = 1/2 .DA² + 2.PT². • Conclusion : par addition membre à membre

et simplification, PA² + PB² + PC² + PD² = a² + PX² + PY² + PZ² + PT².

44 vankhea, Geometry, Square,, AoPS du 21/07/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1481837_geometry_square

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50

50

32. Tangente passant par le milieu d'un côté

Sharygin Finals 2017, Problem 8.5

E.Bakaev

VISION Figure :

A B

D C

P

X

Q

Y

1p

1q

M

T

Traits : ABCD un carré tel que AB = a, 1p un cercle intérieur à ABCD tangent à (AB) et (AD), P le centre de 1p, X le point de contact de 1p avec (AB), 1q un cercle intérieur à ABCD tangent à (AB) et (BC), Q le centre de 1q, Y le point de contact de 1q avec (AB), T l'une des deux tangente commune intérieure à 1p et 1q, et M le milieu de [AB]. Donné : si, 2.PX + 2.QY = a alors, la tangente ''non verticale'' T passe par M. 45

VISUALISATION

45 Inner tangent passes through midpoint, AoPS du 04/08/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1490015_inner_tangent_passes_through_midpoint XII I Geometrical Olympiad in honour of I.F.Sharygin Solutions. Final round. First day. 8 grade, Problem 5 ; http://geometry.ru/olimp/2017/final_sol_en.pdf

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51

51

A B

D C

P

X

V

Q

Y

V'1p

1q

M

U

U'

T

N

T'

• Par condition, l'une des deux tangentes communes intérieures à 1p et 1q est ''verticale''. • Notons T' cette tangente

N le point d'intersection de T' et (AB), U, V les points de contact resp. de 1p resp. avec T, T’

et U', V' les points de contact resp. de 1q resp. avec T, T’. • Scolies : (1) d'après Euclide ''Tangentes égales'', NY = MV' (2) par hypothèse, NX + NY = a/2 (3) par hypothèse, NY = YB. • Une chasse segmentaire : * par culture géométrique 46, MY = NX

* par substitution, MY = a/2 - NY * par transposition, MY + NY = a/2 * par hypothèse, MY + YB = a/2 * par réduction, MB = a/2.

• Conclusion : la tangente ''non verticale'' T passe par M. 46 Ayme J.-L., Le théorème de Feuerbach-Ayme, vol. 5, p. 11-12 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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52

52

33. Un Sangaku de 1838

Iwate prefecture

on

a tablet which has not survived

VISION Figure :

A B

D C

G

1

2

R

N

M

3

Traits : ABCD un carré tel que AB = a, 1 le demi-cercle de diamètre [AB] intérieur à ABCD, G le point d'intersection de la tangente à 1 issue de C avec (AD), 2 le cercle inscrit au triangle CDG, r2 le rayon de 2, T la seconde tangente extérieure commune à 1 et 2, M, N, R les points d'intersection de T resp. avec (AC), (BC), (CD) 3 le cercle inscrit au triangle CMN et r3 le rayon de 3. Donné : r2/r3 = 3/2 . 47

VISUALISATION

47 Fukagawa, H., Pedoe D., Japanese Temple Geometry Problem, Problem 3.2.5., p. 40,

The Charles Babbage Research Center, Winnipeg (1989)

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53

53

• Calcul du rayon r1 : r1 = a/2. • D'après Problème 29, CG = 5/4.a. • D'après ''Le théorème de Pythagore'' appliqué au triangle CDG, DG = 3/4.a. • Calcul du rayon r2 :

* par la formule égyptienne, [CDG] = ½.CD.DG = 3/8.a² * demi-périmètre p de CDG, p = ½.(CD + DG +CG) = 3/2 .a * par le formule ''S = p.r'', r2 = ¼ .a. • Notons ABXY le demi-carré construit à l'extérieur de ABCD, Z le point d'intersection de (CG) et (YZ), et V le milieu de [AD]. • Scolies : (1) Y est le milieu de [XZ] (2) (CG) est une tangente extérieure commune à 1 et 2 (3) (CG) n'est pas parallèle à (CD) (4) 2.r1+ 2.r2 = 3/2.a (5) r1 = 2.r2 . • D'après Problème 32, la seconde tangente extérieure commune à 1 et 2, est parallèle à (CD) et passe par V. • Notons U le point de contact de cette seconde tangente avec 1.

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54

54

• Par symétrie d'axe la droite des centre de 1 et 2, la symétrique (MG) de (UV) est perpendiculaire à (NR). • Par symétrie d'axe la droite des centre de 1 et 3, la symétrique de (NR) est perpendiculaire à (BC). en conséquence, cette symétrique est (UV). 3.r3 = r1 = 2.r2 r2/r3 = 3/2

34. Évaluation d'un angle

A math contest in Iran

VISION Figure :

A B

D C

E

F

Traits : ABCD un carré, et E, F deux points resp. de [BC], [BD]

tels que (1) A, F, E soient alignés (2) EF = EC.

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55

55

Donné : évaluer <DFA. 48

VISUALISATION

A B

D C

E

F

O

x

x

2x

2x

• Notons O le point d'intersection de (AC) et (BD). • Posons x = <ACF. • Une chasse angulaire : * le triangle FCA étant F-isocèle, <FAC = x * en conséquence, <EFC = 2x * le triangle ECF étant E-isocèle, <FCE = 2x * par addition, <ACB = 3x * le triangle BCA étant B-rectangle isocèle, 3x = 45° i.e. x = 15°. • Conclusion : le triangle OAF étant O-rectangle, d'après ''Le théorème 180'', <DFA = 75°. 35. Une relation entre distance

2017 Indonesia MO Problem 1

VISION

Figure :

48 In square $ABCD$ find angle $∠DFA$ given that…

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1494612_in_square_abcd_find_angle_angdfa_given_thathellip

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56

56

A B

D C

D'

C'

B'

Da

Traits : ABCD un carré, Da une droite passant par A ne coupant pas ABCD et B', C', D' les pieds des perpendiculaires à Da issues resp. de B, C, D.

Donné : CC' = BB' + DD'. 49

PROOF WITHOUT WORDS

A B

D C

O

D'

C'

B'

Da

B''

• Notons O le centre de ABCD et B'' le symétrique de B par rapport à O.

49 Distances on a parallelogram, AoPS du 07/07/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1474362_distances_on_a_parallelogram

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57

57

36. Un point sur une diagonale

Canadian Mathematical Olympiad 2017

VISION

Figure :

A B

D C

P

Q T

Pp

Pq

Traits : ABCD un carré, P, Q deux points intérieurs à ABCD tels que

les triangles PAB, QBC soient équilatéraux, Pp la perpendiculaire à (PD) en P, Pq la perpendiculaire à (QD) en Q Et T le points d'intersection de Pp et Pq. Donné : T est sur (BD). 50

VISUALISATION

A B

D C

P

Q T

Pp

Pq

• D'après ''Une miniature interne de Victor Thébault'' 51, le triangle DPQ est équilatéral ; en conséquence, DP = DQ. • Scolie : BP = BQ. • D'après ''Le théorème de la médiatrice'', (BD) est la médiatrice de [PQ].

50 CMO 2017 P4, AoPS du 01/04/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1414674_cmo_2017_p4 51 Ayme J.-L., Miniatures géométriques sur un carré, Addentum II , p. 15-16 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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58

58

• Par une chasse angulaire, le triangle TPQ est T-isocèle ; en conséquence, TP = TQ. • Conclusion : d'après ''Le théorème de la médiatrice'', T est sur (BD). 37. Un parallélogramme

VISION

Figure :

A B

D C

P

Q

V

T

Traits : ABCD un carré, P, Q deux points intérieurs à ABCD tels que

les triangles PAB, QBC soient équilatéraux et V, T les point d'intersection of (PB) et (AC), (PC) et (AD). Donné : le quadrilatère PVQT est un parallélogramme 52.

VISUALISATION

A B

D C

P

Q

V

T

• Première chasse angulaire : le triangle PDC est P-isocèle ; <DCP = 15°.

52 Ayme J.-L., A parallelogram, AoPS du 03/04/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1421068_a_parallelogram

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59

59

• Deuxième chasse angulaire : le triangle VCQ est V-isocèle ; <QCV = 15°. • Troisième chasse angulaire 53: le triangle TQD est T-isocèle ; <TDQ = 15°. • Scolie : TQD, VCQ et PDC sont isocèles et semblables. • Relativement au triangle QCD, (1) TQD et VCQ sont extérieurs à QCD (2) PDC est intérieur à QCD. • Conclusion : d'après Hendricus Hubertus van Aubel ''Le parallélogramme'' 54,

le quadrilatère PVQT est un parallélogramme. 38. Un cercle passant par le milieu d'un côté

Tran Quang Hung (Hanoï, Vietnam)

VISION

Figure :

A B

D C

P

X

M

Y Z

Traits : ABCD un carré, M le milieu de [BC], P le point intérieur à ABCD tels que le triangle PAB soit équilatéral, X, Y, Z les points d'intersection de (PB) et (CD), (PC) et (BD), (PD) et (BC). et 1 le cercle circonscrit au triangle XYZ. Donné : 1 passe par M 55.

VISUALISATION

53 Penser au théorème de la médiatrice 54 Ayme J.-L., Le premier point de Napoléon, G.G.G. vol. 5, p. 7-9 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 55 Equilateral Triangle in Square with the Cevians through Its Apex ;

https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/SquareTriangleCircle2.shtml Through the midpoint of a side of a square, AoPS du 06/10/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1524243_through_the_midpoint_of_a_side_of_a_square

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60

60

A B

D C

P

X

M

Y Z

1

• Une chasse angulaire montrerait que <XBY = <XCY (= 15°) ; en conséquence, B, C, X et Y sont cocycliques. • Notons 1 ce cercle.

A B

D C

P

X

M

Y Z

1

• Conclusion : d'après Nathan Altshiller-Court 56, 1 passe par M. 39. Perpendiculaire passant par un sommet

Tran Quang Hung (Hanoï, Vietnam)

VISION

Figure :

56 Altshiller-Court N., College Geometry, Richmond (1923) 247, exercise 5 Ayme J.-L., Parallel tangent theorem, G.G.G. vol. 11, p. 21-23 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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61

61

A B

D C

P

M

0

N

Traits : ABCD un carré, P le point intérieur à ABCD tels que le triangle PAB soit équilatéral, 0 le cercle circonscrit à PAB, M le second point d'intersection de 0 avec (BC) et N l'isotome de M relativement à [BC]. Donné : (DN) est perpendiculaire à (PA) 57.

VISUALISATION

A B

D C

P

M

0

N

X

• Notons X le point d'intersection de (AP) et (CD). • Par une chasse angulaire, nous montrerions que <XAD = <MBP = <MAP = <BAM. • Par ''Le théorème a.c.a.'', les triangles BAM et DAX sont égaux ; en conséquence, BM = DX. • Par une chasse segmentaire, nous montrerions que CX = BM. 58

57 Equilateral Triangle in Square and its Circumcircle ; https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/SquareTriangleCircle.shtml Perpendicular in a square, AoPS du 06/10/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1524284_perpendicular_in_a_square 58 Two equal segments, AoPS du 07/10/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1524711_two_equal_segments

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62

62

A B

D C

P

M

0

N

X

Q 1

T

2 3

• Notons Q le pied de la perpendiculaire à (AX) issue de N 1 le cercle de diamètre [NX] ; il passe par Q et C ; 2 le cercle de diamètre [NA] ; il passe par Q et B ;

et T le symétrique de N par rapport à la médiatrice de [AB]. • Scolie : AT = CX. • Le quadrilatère ACXT étant un trapèze isocèle est cyclique • Notons 3 ce cercle. • D'après Gaspard Monge ''Le théorème des trois cordes'' 59, (NQ) passe par D. • Conclusion : (DN) est perpendiculaire à (PA).

40. Une relation

VISION

Figure :

A B

D C

E

F

59 Ayme J.-L., Le théorème des trios cordes, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

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63

63

Traits : ABCD un carré et E, F deux points resp. de [AB[, [AD[ tels que E, C et F soit alignés. Donné : 1/AB = 1/AE + 1/AF. 60

VISUALISATION • Les triangles FDC et FAE étant semblables, FD/FA = DC/AE. • Une chasse segmentaire : * FD = AF – AD * AD = AB et CD = AB. • Par substitution, (AF – AD)/FA = AB/AE i.e. (AF – AB)/FA = AB/AE i.e. 1 – AB/FA = AB/AE. • Conclusion : par réarrangement, 1/AB = 1/AE + 1/AF.

60 1/x = 1/AB +1/AC, AoPS du 21/05/2012 ; https://artofproblemsolving.com/community/q4h480570p2691439