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III Workshop de Algebra da UFG-CAC
Minicurso 2
O cubo magico e a Teoria dos Grupos
Prof. Dr. Agnaldo Jose FerrariFC-UNESP-Bauru
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Topicos
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Topicos
I Historias e curiosidades
I Conhecendo o Cubo de Rubik
I Metodos de resolucao
I Permutacoes e grupos
I Teoria de Grupos: Paridade no cubo
I Teoria de Grupos: Um passo no metodo de camadas
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Topicos
I Historias e curiosidades
I Conhecendo o Cubo de Rubik
I Metodos de resolucao
I Permutacoes e grupos
I Teoria de Grupos: Paridade no cubo
I Teoria de Grupos: Um passo no metodo de camadas
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Topicos
I Historias e curiosidades
I Conhecendo o Cubo de Rubik
I Metodos de resolucao
I Permutacoes e grupos
I Teoria de Grupos: Paridade no cubo
I Teoria de Grupos: Um passo no metodo de camadas
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Topicos
I Historias e curiosidades
I Conhecendo o Cubo de Rubik
I Metodos de resolucao
I Permutacoes e grupos
I Teoria de Grupos: Paridade no cubo
I Teoria de Grupos: Um passo no metodo de camadas
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I Historias e curiosidades
I Conhecendo o Cubo de Rubik
I Metodos de resolucao
I Permutacoes e grupos
I Teoria de Grupos: Paridade no cubo
I Teoria de Grupos: Um passo no metodo de camadas
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Topicos
I Historias e curiosidades
I Conhecendo o Cubo de Rubik
I Metodos de resolucao
I Permutacoes e grupos
I Teoria de Grupos: Paridade no cubo
I Teoria de Grupos: Um passo no metodo de camadas
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Historias e curiosidades
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Cubo de Rubik
Criado em 1974 por Ernst Rubik.Em 1980 inicia-se a producao industrial e a distribuicao mundial doCubo e 100 milhoes de cubos sao vendidos em 2 anos.Em 1980 inicia-se a producao industrial
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Cubo de Rubik
I Criado em 1974 pelo hungaro Ernst Rubik.
I Em 1980 inicia-se a producao industrial e a distribuicaomundial do Cubo e 100 milhoes de cubos sao vendidos em 2anos.
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Cubo de Rubik
I Criado em 1974 pelo hungaro Ernst Rubik.
I Em 1980 inicia-se a producao industrial e a distribuicaomundial do Cubo e 100 milhoes de cubos sao vendidos em 2anos.
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Cubo de Rubik
I O numero de configuracoes possıveis para o cubo e43.252.003.274.489.856.000.
I Para a maioria das configuracoes sao necessarios de 15 a 19movimentos para a resolucao.
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Cubo de Rubik
I O numero de configuracoes possıveis para o cubo e43.252.003.274.489.856.000.
I Para a maioria das configuracoes sao necessarios de 15 a 19movimentos para a resolucao.
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Cubo de Rubik
I Para ±300 milhoes de configuracoes sao necessarios 20movimentos para a resolucao.
I Foi provado que qualquer configuracao do cubo pode serresolvida com no maximo 20 movimentos.
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Cubo de Rubik
I Para ±300 milhoes de configuracoes sao necessarios 20movimentos para a resolucao.
I Foi provado que qualquer configuracao do cubo pode serresolvida com no maximo 20 movimentos.
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Cubo de Rubik
I A prova foi dada por Morley Davidson, John Dethridge,Herbert Kociemba e Tomas Rokicki.
I A ideia foi separar as configuracoes em grupos e resolverseparadamente.
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Cubo de Rubik
I A prova foi dada por Morley Davidson, John Dethridge,Herbert Kociemba e Tomas Rokicki.
I A ideia foi separar as configuracoes em grupos e resolverseparadamente.
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Cubo de Rubik
I O recorde de resolucao do cubo por tempo e do holandesMats Valk, com o tempo de 5, 55 segundos.
I Existem campeonatos em diversas outras modalidades:Resolucao com os olhos vendados, resolucao com os pes, etc.
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Cubo de Rubik
I O recorde de resolucao do cubo por tempo e do holandesMats Valk, com o tempo de 5, 55 segundos.
I Existem campeonatos em diversas outras modalidades:Resolucao com os olhos vendados, resolucao com os pes, etc.
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Outras versoes do cubo
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Outras versoes do cubo
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Outras versoes do cubo
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Outras versoes do cubo
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Outras versoes do cubo
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Outras versoes do cubo
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Outras versoes do cubo
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Conhecendo o Cubo de Rubik
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I O cubo possui 6 faces de cores distintas.
I Cada face possui 9 cubinhos, entao o cubo possui 27 cubinhos(1 virtual).
I Cada cubinho possui 6 facetas, mas somente sao visıveis asque apontam para fora do cubo.
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I O cubo possui 6 faces de cores distintas.
I Cada face possui 9 cubinhos, entao o cubo possui 27 cubinhos(1 virtual).
I Cada cubinho possui 6 facetas, mas somente sao visıveis asque apontam para fora do cubo.
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I O cubo possui 6 faces de cores distintas.
I Cada face possui 9 cubinhos, entao o cubo possui 27 cubinhos(1 virtual).
I Cada cubinho possui 6 facetas, mas somente sao visıveis asque apontam para fora do cubo.
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Conhecendo o Cubo de Rubik
FACES
F (Front)
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Conhecendo o Cubo de Rubik
FACES
F (Front)
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Conhecendo o Cubo de Rubik
FACES
B (Back)
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Conhecendo o Cubo de Rubik
FACES
U (Upper)
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Conhecendo o Cubo de Rubik
FACES
D (Down)
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Conhecendo o Cubo de Rubik
FACES
L (Left)
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Conhecendo o Cubo de Rubik
FACES
R (Right)
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Conhecendo o Cubo de Rubik
CUBINHOS
cubinhos centrais
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Conhecendo o Cubo de Rubik
CUBINHOS
cubinhos centrais
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Conhecendo o Cubo de Rubik
CUBINHOS
cubinhos de aresta
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Conhecendo o Cubo de Rubik
CUBINHOS
cubinhos de canto
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Movimentos do cubo
I Cada face pode ser girada um quarto de volta tanto nosentido horario quanto no anti-horario.
I Convencionaremos indicar os respectivos movimentos de umquarto de volta no sentido horario por F, B, U, D, L e R.
I E os respectivos movimentos de um quarto de volta nosentido anti-horario por F−1, B−1, U−1, D−1, L−1 e R−1.
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Movimentos do cubo
I Cada face pode ser girada um quarto de volta tanto nosentido horario quanto no anti-horario.
I Convencionaremos indicar os respectivos movimentos de umquarto de volta no sentido horario por F, B, U, D, L e R.
I E os respectivos movimentos de um quarto de volta nosentido anti-horario por F−1, B−1, U−1, D−1, L−1 e R−1.
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Movimentos do cubo
I Cada face pode ser girada um quarto de volta tanto nosentido horario quanto no anti-horario.
I Convencionaremos indicar os respectivos movimentos de umquarto de volta no sentido horario por F, B, U, D, L e R.
I E os respectivos movimentos de um quarto de volta nosentido anti-horario por F−1, B−1, U−1, D−1, L−1 e R−1.
![Page 46: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/46.jpg)
Movimentos do cubo
Exemplo 1
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Movimentos do cubo
Exemplo 2
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Movimentos do cubo
Exemplo 3
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Sequencias de movimento
I Normalmente faremos varias sequencias de movimento.
I Por exemplo, S = LUB−1 significa que movemos a face daesquerda uma volta no sentido horario, depois movemos aface superior uma volta no sentido horario e finalmentemovemos a face inferior uma volta no sentido anti-horario.
I A esta sequencia atribuimos a letra S.
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Sequencias de movimento
I Normalmente faremos varias sequencias de movimento.
I Por exemplo, S = LUB−1 significa que movemos a face daesquerda uma volta no sentido horario, depois movemos aface superior uma volta no sentido horario e finalmentemovemos a face inferior uma volta no sentido anti-horario.
I A esta sequencia atribuimos a letra S.
![Page 51: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/51.jpg)
Sequencias de movimento
I Normalmente faremos varias sequencias de movimento.
I Por exemplo, S = LUB−1 significa que movemos a face daesquerda uma volta no sentido horario, depois movemos aface superior uma volta no sentido horario e finalmentemovemos a face inferior uma volta no sentido anti-horario.
I A esta sequencia atribuimos a letra S.
![Page 52: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/52.jpg)
Sequencias de movimento
I O numero de quartos de volta (q) da sequencia e o seucomprimento, no exemplo acima o comprimento de S e 3q.
I Uma sequencia longa finita S consistindo de dois ou maismovimentos e chamada macro.
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Sequencias de movimento
I O numero de quartos de volta (q) da sequencia e o seucomprimento, no exemplo acima o comprimento de S e 3q.
I Uma sequencia longa finita S consistindo de dois ou maismovimentos e chamada macro.
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Sequencias de movimento
I O movimento fazer nada e deixar o cubo inalterado.Indicamos esse movimento por I, e o chamamos identidade.
I Claramente, FF−1 = I, pois fazer F seguido de F−1 e omesmo que nao fazer nada com o cubo. Temos tambem queF−1F = I, logo (F−1)−1 = F .
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Sequencias de movimento
I O movimento fazer nada e deixar o cubo inalterado.Indicamos esse movimento por I, e o chamamos identidade.
I Claramente, FF−1 = I, pois fazer F seguido de F−1 e omesmo que nao fazer nada com o cubo. Temos tambem queF−1F = I, logo (F−1)−1 = F .
![Page 56: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/56.jpg)
Sequencias de movimento
I O movimento fazer nada e deixar o cubo inalterado.Indicamos esse movimento por I, e o chamamos identidade.
I Claramente, FF−1 = I, pois fazer F seguido de F−1 e omesmo que nao fazer nada com o cubo. Temos tambem queF−1F = I, logo (F−1)−1 = F .
![Page 57: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/57.jpg)
Comutatividade
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Comutatividade
Lei da aritmetica: “A ordem dos fatores nao altera o produto”
I No cubo alguns movimentos sao comutativos, por exemplo,os movimentos que envolvem faces opostas: FB = BF ,RL = LR e UD = DU .
I Mas existem movimentos nao-comutativos, por exemplo, osmovimentos que envolvem faces adjacentes: UR 6= RU ,FL 6= LF , etc.
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Comutatividade
Lei da aritmetica: “A ordem dos fatores nao altera o produto”
I No cubo alguns movimentos sao comutativos, por exemplo,os movimentos que envolvem faces opostas: FB = BF ,RL = LR e UD = DU .
I Mas existem movimentos nao-comutativos, por exemplo, osmovimentos que envolvem faces adjacentes: UR 6= RU ,FL 6= LF , etc.
![Page 60: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/60.jpg)
Comutatividade
Lei da aritmetica: “A ordem dos fatores nao altera o produto”
I No cubo alguns movimentos sao comutativos, por exemplo,os movimentos que envolvem faces opostas: FB = BF ,RL = LR e UD = DU .
I Mas existem movimentos nao-comutativos, por exemplo, osmovimentos que envolvem faces adjacentes: UR 6= RU ,FL 6= LF , etc.
![Page 61: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/61.jpg)
Embaralhar e resolver o cubo
![Page 62: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/62.jpg)
Embaralhar e resolver o cubo
Embaralhar o Cubo: Aplicar uma macro aleatoria de movimentosS a um cubo resolvido.
![Page 63: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/63.jpg)
Embaralhar e resolver o cubo
Resolver o Cubo: Encontrar alguma macro T tal que ST = I.Encontrar alguma macro Encontrar alguma macro
![Page 64: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/64.jpg)
Metodos de resolucao
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I Metodo de camadas
I Metodo de Fridrich
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I Metodo de camadas
I Metodo de Fridrich
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Metodo de camadas
![Page 68: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/68.jpg)
Metodo de camadas
![Page 69: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/69.jpg)
Metodo de camadas
![Page 70: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/70.jpg)
Metodo de camadas
![Page 71: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/71.jpg)
Metodo de camadas
![Page 72: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/72.jpg)
Metodo de Fridrich
![Page 73: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/73.jpg)
Metodo de Fridrich
O metodo completo se divide em 4 passos
1. Cruz branca - solucao intuitiva
2. F2L - Finish Two Layers / 41 casos
3. OLL - Orientation Last Layer / 57 casos
4. PLL - Permutation Last Layer / 21 casos
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Permutacoes e grupos
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Permutacoes
Definicao
Uma permutacao e um rearranjo de um conjunto de objetos.
![Page 76: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/76.jpg)
Permutacoes
Definicao
Uma permutacao e um rearranjo de um conjunto de objetos.
![Page 77: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/77.jpg)
Permutacoes
I Uma permutacao pode ser descrita pelo seguinte esquema
(1 2 3 · · · n2 3 1 · · · n
)
I Maneira mais simples para descrever uma permutacao: ciclos
I Um ciclo pode ser pensado como uma serie de transicoes deestado que acaba por retornar ao estado inicial.
S1 → S2 → · · · → Sn → S1
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Permutacoes
I Uma permutacao pode ser descrita pelo seguinte esquema
(1 2 3 · · · n2 3 1 · · · n
)I Maneira mais simples para descrever uma permutacao: ciclos
I Um ciclo pode ser pensado como uma serie de transicoes deestado que acaba por retornar ao estado inicial.
S1 → S2 → · · · → Sn → S1
![Page 79: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/79.jpg)
Permutacoes
I Uma permutacao pode ser descrita pelo seguinte esquema
(1 2 3 · · · n2 3 1 · · · n
)I Maneira mais simples para descrever uma permutacao: ciclos
I Um ciclo pode ser pensado como uma serie de transicoes deestado que acaba por retornar ao estado inicial.
S1 → S2 → · · · → Sn → S1
![Page 80: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/80.jpg)
Permutacoes
I Exemplo
σ =
(1 2 3 4 53 4 5 2 1
)
I Representando em ciclos
σ : 1→ 3→ 5→ 1
2→ 4→ 2
I Simplificandoσ = (135)(24)
Notacao de ciclos de σ
![Page 81: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/81.jpg)
Permutacoes
I Exemplo
σ =
(1 2 3 4 53 4 5 2 1
)I Representando em ciclos
σ : 1→ 3→ 5→ 1
2→ 4→ 2
I Simplificandoσ = (135)(24)
Notacao de ciclos de σ
![Page 82: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/82.jpg)
Permutacoes
I Exemplo
σ =
(1 2 3 4 53 4 5 2 1
)I Representando em ciclos
σ : 1→ 3→ 5→ 1
2→ 4→ 2
I Simplificandoσ = (135)(24)
Notacao de ciclos de σ
![Page 83: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/83.jpg)
Permutacoes
I Exemplo
σ =
(1 2 3 4 55 4 3 1 2
)
I Representando em ciclos
σ : 1→ 5→ 2→ 4→ 1
I Simplificandoσ = (1524)
I Na notacao canonica de ciclos o menor objeto entreparenteses deve iniciar o ciclo.
![Page 84: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/84.jpg)
Permutacoes
I Exemplo
σ =
(1 2 3 4 55 4 3 1 2
)I Representando em ciclos
σ : 1→ 5→ 2→ 4→ 1
I Simplificandoσ = (1524)
I Na notacao canonica de ciclos o menor objeto entreparenteses deve iniciar o ciclo.
![Page 85: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/85.jpg)
Permutacoes
I Exemplo
σ =
(1 2 3 4 55 4 3 1 2
)I Representando em ciclos
σ : 1→ 5→ 2→ 4→ 1
I Simplificandoσ = (1524)
I Na notacao canonica de ciclos o menor objeto entreparenteses deve iniciar o ciclo.
![Page 86: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/86.jpg)
Permutacoes
I Exemplo
σ =
(1 2 3 4 55 4 3 1 2
)I Representando em ciclos
σ : 1→ 5→ 2→ 4→ 1
I Simplificandoσ = (1524)
I Na notacao canonica de ciclos o menor objeto entreparenteses deve iniciar o ciclo.
![Page 87: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/87.jpg)
Permutacoes das facetas do cubo
Os movimentos R,L, F,B,U,D permutam o conjunto das facetas.
![Page 88: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/88.jpg)
Permutacoes das facetas do cubo
Os movimentos R,L, F,B,U,D permutam o conjunto das facetas.
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Permutacoes das facetas do cubo
Os movimentos R,L, F,B,U,D permutam o conjunto das facetas.
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Decomposicao em ciclos
I Fato: Toda permutacao se decompoe como “produto” deciclos disjuntos.
I Repeticao de ciclos:I(1 2 3)(1 2 3)2 = (1 2 3)(1 2 3) = (1 3 2)(1 2 3)3 = (1 2 3)(1 2 3)(1 2 3) = I
I Em geral a ordem do n-ciclo (i1 i2 · · · in) e igual a n.
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Decomposicao em ciclos
I Fato: Toda permutacao se decompoe como “produto” deciclos disjuntos.
I Repeticao de ciclos:I(1 2 3)(1 2 3)2 = (1 2 3)(1 2 3) = (1 3 2)(1 2 3)3 = (1 2 3)(1 2 3)(1 2 3) = I
I Em geral a ordem do n-ciclo (i1 i2 · · · in) e igual a n.
![Page 92: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/92.jpg)
Decomposicao em ciclos
I Fato: Toda permutacao se decompoe como “produto” deciclos disjuntos.
I Repeticao de ciclos:I(1 2 3)(1 2 3)2 = (1 2 3)(1 2 3) = (1 3 2)(1 2 3)3 = (1 2 3)(1 2 3)(1 2 3) = I
I Em geral a ordem do n-ciclo (i1 i2 · · · in) e igual a n.
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Ordem de uma permutacao qualquer
Se uma permutacao σ consiste de m1-ciclos, m2-ciclos, · · · ,mk-ciclos, entao sua ordem e o MMC(m1,m2, · · · ,mk).
![Page 94: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/94.jpg)
Ordem de uma permutacao qualquer
Se uma permutacao σ consiste de m1-ciclos, m2-ciclos, · · · ,mk-ciclos, entao sua ordem e o MMC(m1,m2, · · · ,mk).
![Page 95: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/95.jpg)
Ordem de uma permutacao qualquer
Se uma permutacao σ consiste de m1-ciclos, m2-ciclos, · · · ,mk-ciclos, entao sua ordem e o MMC(m1,m2, · · · ,mk).
![Page 96: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/96.jpg)
Ordem de uma permutacao qualquer
I Se σ = (a b)(c d e) entao ◦(σ) =MMC(2, 3) = 6, isto e,σ6 = I.
I Mas, σ3 = (a b), isto e, aplicando a permutacao σ tres vezesfaz com que o 3-ciclo (c d e) volte a sua posicao inicial,enquanto o 2-ciclo (a b) e permutado um numero ımpar devezes, permanecendo como esta.
![Page 97: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/97.jpg)
Ordem de uma permutacao qualquer
I Se σ = (a b)(c d e) entao ◦(σ) =MMC(2, 3) = 6, isto e,σ6 = I.
I Mas, σ3 = (a b), isto e, aplicando a permutacao σ tres vezesfaz com que o 3-ciclo (c d e) volte a sua posicao inicial,enquanto o 2-ciclo (a b) e permutado um numero ımpar devezes, permanecendo como esta.
![Page 98: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/98.jpg)
Grupos
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Grupos
Um grupo e um conjunto G com uma operacao binaria ∗,satisfazendo as seguintes propriedades:
I Dados g, h ∈ G, temos que g ∗ h ∈ G. (fechamento)
I Dados f, g, h ∈ G, temos que (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).(associativa)
I Dado g ∈ G, existe e ∈ G tal que g ∗ e = e ∗ g = g.(existencia do elemento identidade)
I Dado g ∈ G, existe g−1 ∈ G tal que g ∗ g−1 = g−1 ∗ g = e.(existencia do elemento inverso)
![Page 100: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/100.jpg)
Grupos
Um grupo e um conjunto G com uma operacao binaria ∗,satisfazendo as seguintes propriedades:
I Dados g, h ∈ G, temos que g ∗ h ∈ G. (fechamento)
I Dados f, g, h ∈ G, temos que (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).(associativa)
I Dado g ∈ G, existe e ∈ G tal que g ∗ e = e ∗ g = g.(existencia do elemento identidade)
I Dado g ∈ G, existe g−1 ∈ G tal que g ∗ g−1 = g−1 ∗ g = e.(existencia do elemento inverso)
![Page 101: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/101.jpg)
Grupos
Um grupo e um conjunto G com uma operacao binaria ∗,satisfazendo as seguintes propriedades:
I Dados g, h ∈ G, temos que g ∗ h ∈ G. (fechamento)
I Dados f, g, h ∈ G, temos que (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).(associativa)
I Dado g ∈ G, existe e ∈ G tal que g ∗ e = e ∗ g = g.(existencia do elemento identidade)
I Dado g ∈ G, existe g−1 ∈ G tal que g ∗ g−1 = g−1 ∗ g = e.(existencia do elemento inverso)
![Page 102: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/102.jpg)
Grupos
Um grupo e um conjunto G com uma operacao binaria ∗,satisfazendo as seguintes propriedades:
I Dados g, h ∈ G, temos que g ∗ h ∈ G. (fechamento)
I Dados f, g, h ∈ G, temos que (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).(associativa)
I Dado g ∈ G, existe e ∈ G tal que g ∗ e = e ∗ g = g.(existencia do elemento identidade)
I Dado g ∈ G, existe g−1 ∈ G tal que g ∗ g−1 = g−1 ∗ g = e.(existencia do elemento inverso)
![Page 103: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/103.jpg)
Grupos
I Para simplificar, denotaremos gh (ao inves de g ∗ h).
I Definimos tambemg2 = ggg3 = gggg0 = eg−n = (gn)−1
I O elemento identidade e e unico.
I Dado g ∈ G, o inverso g−1 e unico.
![Page 104: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/104.jpg)
Grupos
I Para simplificar, denotaremos gh (ao inves de g ∗ h).
I Definimos tambemg2 = ggg3 = gggg0 = eg−n = (gn)−1
I O elemento identidade e e unico.
I Dado g ∈ G, o inverso g−1 e unico.
![Page 105: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/105.jpg)
Grupos
I Para simplificar, denotaremos gh (ao inves de g ∗ h).
I Definimos tambemg2 = ggg3 = gggg0 = eg−n = (gn)−1
I O elemento identidade e e unico.
I Dado g ∈ G, o inverso g−1 e unico.
![Page 106: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/106.jpg)
Grupos
I Para simplificar, denotaremos gh (ao inves de g ∗ h).
I Definimos tambemg2 = ggg3 = gggg0 = eg−n = (gn)−1
I O elemento identidade e e unico.
I Dado g ∈ G, o inverso g−1 e unico.
![Page 107: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/107.jpg)
Grupos
Exemplos de grupos
I (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+).
I (N,+) nao e grupo (dado a ∈ N , a > 0, a nao possui inversoem N).
I Zn = {0, 1, 2, · · · , n− 1}∀a, b ∈ Zn, a⊕ b e o resto da divisao de a+ b por n.(Zn,⊕) e um grupo.
I Z∗p = {1, 2, · · · , p− 1}, p: primo∀a, b ∈ Z∗
p, a� b e o resto da divisao de ab por n.(Z∗
p,�) e um grupo.
I Zn e Z∗p sao grupos cıclicos: seus elementos sao da forma
e, a, a2, · · · , para algum a 6= e.
![Page 108: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/108.jpg)
Grupos
Exemplos de grupos
I (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+).
I (N,+) nao e grupo (dado a ∈ N , a > 0, a nao possui inversoem N).
I Zn = {0, 1, 2, · · · , n− 1}∀a, b ∈ Zn, a⊕ b e o resto da divisao de a+ b por n.(Zn,⊕) e um grupo.
I Z∗p = {1, 2, · · · , p− 1}, p: primo∀a, b ∈ Z∗
p, a� b e o resto da divisao de ab por n.(Z∗
p,�) e um grupo.
I Zn e Z∗p sao grupos cıclicos: seus elementos sao da forma
e, a, a2, · · · , para algum a 6= e.
![Page 109: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/109.jpg)
Grupos
Exemplos de grupos
I (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+).
I (N,+) nao e grupo (dado a ∈ N , a > 0, a nao possui inversoem N).
I Zn = {0, 1, 2, · · · , n− 1}∀a, b ∈ Zn, a⊕ b e o resto da divisao de a+ b por n.(Zn,⊕) e um grupo.
I Z∗p = {1, 2, · · · , p− 1}, p: primo∀a, b ∈ Z∗
p, a� b e o resto da divisao de ab por n.(Z∗
p,�) e um grupo.
I Zn e Z∗p sao grupos cıclicos: seus elementos sao da forma
e, a, a2, · · · , para algum a 6= e.
![Page 110: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/110.jpg)
Grupos
Exemplos de grupos
I (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+).
I (N,+) nao e grupo (dado a ∈ N , a > 0, a nao possui inversoem N).
I Zn = {0, 1, 2, · · · , n− 1}∀a, b ∈ Zn, a⊕ b e o resto da divisao de a+ b por n.(Zn,⊕) e um grupo.
I Z∗p = {1, 2, · · · , p− 1}, p: primo∀a, b ∈ Z∗
p, a� b e o resto da divisao de ab por n.(Z∗
p,�) e um grupo.
I Zn e Z∗p sao grupos cıclicos: seus elementos sao da forma
e, a, a2, · · · , para algum a 6= e.
![Page 111: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/111.jpg)
Grupos
Exemplos de grupos
I (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+).
I (N,+) nao e grupo (dado a ∈ N , a > 0, a nao possui inversoem N).
I Zn = {0, 1, 2, · · · , n− 1}∀a, b ∈ Zn, a⊕ b e o resto da divisao de a+ b por n.(Zn,⊕) e um grupo.
I Z∗p = {1, 2, · · · , p− 1}, p: primo∀a, b ∈ Z∗
p, a� b e o resto da divisao de ab por n.(Z∗
p,�) e um grupo.
I Zn e Z∗p sao grupos cıclicos: seus elementos sao da forma
e, a, a2, · · · , para algum a 6= e.
![Page 112: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/112.jpg)
Grupos de Permutacoes
I Alguns conjuntos de permutacoes tambem formam grupos.
I Sejam a e b permutacoes, entao a ∗ b significa aplicar apermutacao a e em seguida aplicar a permutacao b.(Simplificando: ab)
I O conjunto de todas as permutacoes das facetas do cuboforma um grupo R, chamado Grupo de Rubik.
I O grupo R consiste dos movimentos L,R, F,B,U,D e detodas as macros S, assumindo que duas macros que produzemo mesmo resultado sao vistas como iguais.
![Page 113: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/113.jpg)
Grupos de Permutacoes
I Alguns conjuntos de permutacoes tambem formam grupos.
I Sejam a e b permutacoes, entao a ∗ b significa aplicar apermutacao a e em seguida aplicar a permutacao b.(Simplificando: ab)
I O conjunto de todas as permutacoes das facetas do cuboforma um grupo R, chamado Grupo de Rubik.
I O grupo R consiste dos movimentos L,R, F,B,U,D e detodas as macros S, assumindo que duas macros que produzemo mesmo resultado sao vistas como iguais.
![Page 114: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/114.jpg)
Grupos de Permutacoes
I Alguns conjuntos de permutacoes tambem formam grupos.
I Sejam a e b permutacoes, entao a ∗ b significa aplicar apermutacao a e em seguida aplicar a permutacao b.(Simplificando: ab)
I O conjunto de todas as permutacoes das facetas do cuboforma um grupo R, chamado Grupo de Rubik.
I O grupo R consiste dos movimentos L,R, F,B,U,D e detodas as macros S, assumindo que duas macros que produzemo mesmo resultado sao vistas como iguais.
![Page 115: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/115.jpg)
Grupos de Permutacoes
I Alguns conjuntos de permutacoes tambem formam grupos.
I Sejam a e b permutacoes, entao a ∗ b significa aplicar apermutacao a e em seguida aplicar a permutacao b.(Simplificando: ab)
I O conjunto de todas as permutacoes das facetas do cuboforma um grupo R, chamado Grupo de Rubik.
I O grupo R consiste dos movimentos L,R, F,B,U,D e detodas as macros S, assumindo que duas macros que produzemo mesmo resultado sao vistas como iguais.
![Page 116: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/116.jpg)
Grupos de Permutacoes
Exemplo
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Grupos de Permutacoes
I O numero total de elementos do grupo R e exatamente onumero de todas as possıveis configuracoes do cubo.
I Nao significa que R deva conter todas as permutacoes dasfacetas, mas apenas aquelas que podem ser atingidas pormeio dos movimentos acima.
(Exemplo: A faceta de um cubinho de centro nao podepermutar com a faceta de um cubinho de canto/aresta)
I Se uma permutacao nao esta em R entao a configuracaocorrespondente e impossıvel no cubo.
![Page 118: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/118.jpg)
Grupos de Permutacoes
I O numero total de elementos do grupo R e exatamente onumero de todas as possıveis configuracoes do cubo.
I Nao significa que R deva conter todas as permutacoes dasfacetas, mas apenas aquelas que podem ser atingidas pormeio dos movimentos acima.
(Exemplo: A faceta de um cubinho de centro nao podepermutar com a faceta de um cubinho de canto/aresta)
I Se uma permutacao nao esta em R entao a configuracaocorrespondente e impossıvel no cubo.
![Page 119: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/119.jpg)
Grupos de Permutacoes
I O numero total de elementos do grupo R e exatamente onumero de todas as possıveis configuracoes do cubo.
I Nao significa que R deva conter todas as permutacoes dasfacetas, mas apenas aquelas que podem ser atingidas pormeio dos movimentos acima.
(Exemplo: A faceta de um cubinho de centro nao podepermutar com a faceta de um cubinho de canto/aresta)
I Se uma permutacao nao esta em R entao a configuracaocorrespondente e impossıvel no cubo.
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O grupo simetrico Sn
I Grupo simetrico Sn: grupo de todas as permutacoes doconjunto {1, 2, · · · , n}. (Total: n! permutacoes)
I Todo n-ciclo, n > 1 se escreve como produto de 2-ciclos.
Se n e par, o numero de 2-ciclos e impar.Se n e impar, o numero de 2-ciclos e par.
(12) = (12)(12)(13) = (123)(12)(13)(14) = (1234)(12)(13)(14)(15) = (12345)
(12)(13)(14)(15) · · · (1n) = (12345 · · ·n)
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O grupo simetrico Sn
I Grupo simetrico Sn: grupo de todas as permutacoes doconjunto {1, 2, · · · , n}. (Total: n! permutacoes)
I Todo n-ciclo, n > 1 se escreve como produto de 2-ciclos.
Se n e par, o numero de 2-ciclos e impar.Se n e impar, o numero de 2-ciclos e par.
(12) = (12)(12)(13) = (123)(12)(13)(14) = (1234)(12)(13)(14)(15) = (12345)
(12)(13)(14)(15) · · · (1n) = (12345 · · ·n)
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O grupo simetrico Sn
Exemplo
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O grupo simetrico Sn
Exemplo
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O grupo simetrico Sn
Exemplo
![Page 125: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/125.jpg)
O grupo simetrico Sn
Exemplo
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O grupo simetrico Sn
Exemplo
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O grupo simetrico Sn
Exemplo
![Page 128: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/128.jpg)
O grupo simetrico Sn
Exemplo
![Page 129: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/129.jpg)
O grupo simetrico Sn
Exemplo
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O grupo simetrico Sn
Exemplo
![Page 131: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/131.jpg)
O grupo simetrico Sn
Exemplo
![Page 132: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/132.jpg)
O grupo simetrico Sn
Exemplo
![Page 133: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/133.jpg)
O grupo simetrico Sn
Exemplo
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O grupo simetrico Sn
Exemplo
![Page 135: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/135.jpg)
O grupo simetrico Sn
Exemplo
![Page 136: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/136.jpg)
O grupo simetrico Sn
Exemplo
![Page 137: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/137.jpg)
O grupo simetrico Sn
Exemplo
![Page 138: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/138.jpg)
O grupo simetrico Sn
Exemplo
![Page 139: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/139.jpg)
O grupo simetrico Sn
Exemplo
![Page 140: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/140.jpg)
O grupo simetrico Sn
Exemplo
![Page 141: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/141.jpg)
O grupo simetrico Sn
Exemplo
![Page 142: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/142.jpg)
O grupo simetrico Sn
Exemplo
![Page 143: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/143.jpg)
O grupo simetrico Sn
Exemplo
![Page 144: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/144.jpg)
Permutacao par/impar
I Permutacao par: Que se escreve com produto par de2-ciclos.
Permutacao ımpar: Que se escreve com produto ımpar de2-ciclos.
I Metade dos elementos de Sn e par e a outra metade e ımpar.
I A metade par, chamada An, forma um grupo chamado degrupo alternante.
![Page 145: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/145.jpg)
Permutacao par/impar
I Permutacao par: Que se escreve com produto par de2-ciclos.
Permutacao ımpar: Que se escreve com produto ımpar de2-ciclos.
I Metade dos elementos de Sn e par e a outra metade e ımpar.
I A metade par, chamada An, forma um grupo chamado degrupo alternante.
![Page 146: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/146.jpg)
Permutacao par/impar
I Permutacao par: Que se escreve com produto par de2-ciclos.
Permutacao ımpar: Que se escreve com produto ımpar de2-ciclos.
I Metade dos elementos de Sn e par e a outra metade e ımpar.
I A metade par, chamada An, forma um grupo chamado degrupo alternante.
![Page 147: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/147.jpg)
Teoria de Grupos: Paridade no cubo
![Page 148: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/148.jpg)
I Vimos que somente podemos trocar cubinhos que tenham omesmo “genero”.
central ←→ centralaresta ←→ arestacanto ←→ canto
I Qual a relacao de paridade entre cada tipo de cubinho?
![Page 149: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/149.jpg)
I Vimos que somente podemos trocar cubinhos que tenham omesmo “genero”.
central ←→ centralaresta ←→ arestacanto ←→ canto
I Qual a relacao de paridade entre cada tipo de cubinho?
![Page 150: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/150.jpg)
Teoria de Grupos: Paridade no cubo
E possivel trocar 2 pares de cubinhos (de mesmo genero) deixandoos demais como estao.
![Page 151: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/151.jpg)
Teoria de Grupos: Paridade no cubo
E possivel trocar 2 pares de cubinhos (de mesmo genero) deixandoos demais como estao.
![Page 152: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/152.jpg)
Teoria de Grupos: Paridade no cubo
E possivel trocar 2 pares de cubinhos (de mesmo genero) deixandoos demais como estao.
![Page 153: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/153.jpg)
Teoria de Grupos: Paridade no cubo
E possivel trocar 2 pares de cubinhos (de mesmo genero) deixandoos demais como estao.
![Page 154: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/154.jpg)
Teoria de Grupos: Paridade no cubo
E possivel trocar 2 pares de cubinhos (de mesmo genero) deixandoos demais como estao.
![Page 155: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/155.jpg)
Teoria de Grupos: Paridade no cubo
Nao existe nenhuma combinacao de movimentos que consigatrocar apenas um par de cubinhos.
![Page 156: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/156.jpg)
Teoria de Grupos: Paridade no cubo
![Page 157: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/157.jpg)
Teoria de Grupos: Paridade no cubo
![Page 158: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/158.jpg)
Teoria de Grupos: Paridade no cubo
![Page 159: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/159.jpg)
Teoria de Grupos: Paridade no cubo
![Page 160: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/160.jpg)
Teoria de Grupos: Paridade no cubo
![Page 161: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/161.jpg)
Teoria de Grupos: Um passo no metodo decamadas
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Subgrupo
I Sejam (G, ∗) um grupo e H ⊆ G. Dizemos que H esubgrupo de G se H com a operacao ∗ for um grupo.
I Sejam g1, g2, · · · , gk ∈ G. O subgrupo gerado porg1, g2, · · · , gk e o menor subgrupo de G contendog1, g2, · · · , gk.
H =< g1, g2, · · · , gk >
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Subgrupo
I Sejam (G, ∗) um grupo e H ⊆ G. Dizemos que H esubgrupo de G se H com a operacao ∗ for um grupo.
I Sejam g1, g2, · · · , gk ∈ G. O subgrupo gerado porg1, g2, · · · , gk e o menor subgrupo de G contendog1, g2, · · · , gk.
H =< g1, g2, · · · , gk >
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Comutador
I Dados g, h ∈ G, o elemento
[g, h] = ghg−1h−1
e chamado de comutador. O conjunto
[G,G] = {[g, h]; g, h ∈ G}
e um subgrupo de G chamado de grupo dos comutadoresde G.
![Page 165: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/165.jpg)
Homomorfismo de grupos
I Sejam (G, ∗) e (H,#) grupos. A funcao
ϕ : G→ H
e um homomorfismo de grupos se para todo g, h ∈ G,tivermos(i) ϕ(eG) = eH .(ii) ϕ(g ∗ h) = ϕ(g)#ϕ(h).
I Se ϕ e bijetora, entao ϕ e um isomorfismo, e dizemos que G eisomorfo a H.
G ∼= H
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Homomorfismo de grupos
I Sejam (G, ∗) e (H,#) grupos. A funcao
ϕ : G→ H
e um homomorfismo de grupos se para todo g, h ∈ G,tivermos(i) ϕ(eG) = eH .(ii) ϕ(g ∗ h) = ϕ(g)#ϕ(h).
I Se ϕ e bijetora, entao ϕ e um isomorfismo, e dizemos que G eisomorfo a H.
G ∼= H
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I Vimos que
S4: Grupo de todas as permutacoes do conjunto {1, 2, 3, 4}.(Total: 24 permutacoes)
I Em S4, temos que
A4 =< (1 2 3), (1 2 4) >
Em geral, se n ≥ 3, An e gerado por 3-ciclos.
![Page 168: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/168.jpg)
I Vimos que
S4: Grupo de todas as permutacoes do conjunto {1, 2, 3, 4}.(Total: 24 permutacoes)
I Em S4, temos que
A4 =< (1 2 3), (1 2 4) >
Em geral, se n ≥ 3, An e gerado por 3-ciclos.
![Page 169: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/169.jpg)
Tomando,S = L−1URU−1LUR−1U−1
T = F−1UBU−1FUB−1U−1,
e definindoρ : A4 →< S, T >⊂ R
tal que ρ(1 2 3) = S e ρ(1 2 4) = T , temos que
A4∼=< S, T >
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Permutacao dos cantos numa camadaS e T sao permutacoes pares. A4
∼=< S, T >. S = (1 2 3) eT = (1 2 4). Permutacoes dos cantos em uma camada tem queser uma permutacao par de {1, 2, 3, 4}, isto e, tem quecorresponder a um elemento de A4.
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Permutacao dos cantos numa camada
I S e T sao permutacoes pares.
I A4∼=< S, T >.
I S = (1 2 3) e T = (1 2 4).
I Permutacoes dos cantos em uma camada tem que ser umapermutacao par de {1, 2, 3, 4}, isto e, tem que corresponder aum elemento de A4.
![Page 172: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/172.jpg)
Permutacao dos cantos numa camada
I S e T sao permutacoes pares.
I A4∼=< S, T >.
I S = (1 2 3) e T = (1 2 4).
I Permutacoes dos cantos em uma camada tem que ser umapermutacao par de {1, 2, 3, 4}, isto e, tem que corresponder aum elemento de A4.
![Page 173: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/173.jpg)
Permutacao dos cantos numa camada
I S e T sao permutacoes pares.
I A4∼=< S, T >.
I S = (1 2 3) e T = (1 2 4).
I Permutacoes dos cantos em uma camada tem que ser umapermutacao par de {1, 2, 3, 4}, isto e, tem que corresponder aum elemento de A4.
![Page 174: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/174.jpg)
Permutacao dos cantos numa camada
I S e T sao permutacoes pares.
I A4∼=< S, T >.
I S = (1 2 3) e T = (1 2 4).
I Permutacoes dos cantos em uma camada tem que ser umapermutacao par de {1, 2, 3, 4}, isto e, tem que corresponder aum elemento de A4.
![Page 175: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/175.jpg)
Permutacao dos cantos numa camada
σ = (1 2)(3 4). (1 2)(3 4) = (1 2 3)(1 2 4)2(1 2 3) = ST 2S.Como (1 2)(3 4) tem ordem 2, entao (ST 2S)2 = I.
![Page 176: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/176.jpg)
Permutacao dos cantos numa camada
I σ = (1 2)(3 4).
I (1 2)(3 4) = (1 2 3)(1 2 4)2(1 2 3) = ST 2S.
I Como (1 2)(3 4) tem ordem 2, entao (ST 2S)2 = I.
I Para resolver o cubo abaixo, basta aplicar a macro ST 2S, quee um comutador, pois
[S, T ] = STS−1T−1 = STS2T 2 = ST 2S.
![Page 177: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/177.jpg)
Permutacao dos cantos numa camada
I σ = (1 2)(3 4).
I (1 2)(3 4) = (1 2 3)(1 2 4)2(1 2 3) = ST 2S.
I Como (1 2)(3 4) tem ordem 2, entao (ST 2S)2 = I.
I Para resolver o cubo abaixo, basta aplicar a macro ST 2S, quee um comutador, pois
[S, T ] = STS−1T−1 = STS2T 2 = ST 2S.
![Page 178: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/178.jpg)
Permutacao dos cantos numa camada
I σ = (1 2)(3 4).
I (1 2)(3 4) = (1 2 3)(1 2 4)2(1 2 3) = ST 2S.
I Como (1 2)(3 4) tem ordem 2, entao (ST 2S)2 = I.
I Para resolver o cubo abaixo, basta aplicar a macro ST 2S, quee um comutador, pois
[S, T ] = STS−1T−1 = STS2T 2 = ST 2S.
![Page 179: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/179.jpg)
Permutacao dos cantos numa camada
I σ = (1 2)(3 4).
I (1 2)(3 4) = (1 2 3)(1 2 4)2(1 2 3) = ST 2S.
I Como (1 2)(3 4) tem ordem 2, entao (ST 2S)2 = I.
I Para resolver o cubo abaixo, basta aplicar a macro ST 2S, quee um comutador, pois
[S, T ] = STS−1T−1 = STS2T 2 = ST 2S.
![Page 180: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/180.jpg)
Permutacao dos cantos numa camada
![Page 181: Minicurso 2 O cubo m agico e a Teoria dos GruposCubo de Rubik. I. O recorde de resolu˘c~ao do cubo por tempo e do holandes Mats Valk, com o tempo de 5;55 segundos. I. Existem campeonatos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071505/61256d3234a44b15b428ff46/html5/thumbnails/181.jpg)
Referencias
Waldeck Schutzer, “Aprendendo Algebra com o cubo magico”,V Semana da Matematica da UFU, 2005
Tom Davis, “Group Theory via Rubik’s Cube”, draft,http://www.geometer.org/rubik.
Nathan Jacobson, “Basic Abstract Algebra”, 2nd Ed., W. H.Freeman and Co., 1996.
Edward C. Turner Karen F. Gold, “Rubik’s Groups”, TheAmerican Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 9, 1985.
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Obrigado!