minimización de autómatas y operaciones sobre los lenguajes

Minimizaciónde autómatasy operaciones

sobre loslenguajesregulares.

Operacionesde cierreIntersección

Unión

Complementación yDiferencia

Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos

Minimizaciónde AFDsAlgoritmo

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Minimización de autómatas y operacionessobre los lenguajes regulares.

September 14, 2011

() Minimización de autómatas y operaciones sobre los lenguajes regulares.September 14, 2011 1 / 31




Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2

Operaciones de cierre

Un conjunto C es cerrado bajo una operación · si ysolamente si para cualquier elementos x , y ∈ C,x · y ∈ C.Ejemplos

Sea C = {L ⊆ Σ∗ | L es finito } entonces la unión y laintersección son operaciones de cierre para C, mientraque la operación complementario no lo es.





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2


Para estudias las operaciones de cierre, haremosoperaciones sobre los siguientes autómatas.

AFD A1 no completo. L(A1) = {(ab)n | n ≥ 0}.

1 2a

b





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2


AFD A2 no completo. L(A2) = {(ab)n | n ≥ 0}.

1 2

3

a

bba

a,b

AFD A3 completo. L(A3) = {x ∈ {a,b}∗ | |x |a > 0}.

A Ba

b a,b





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2

Intersección

Los lenguajes regulares si que son cerrados con respecto ala intersección:Sean L1,L2 ∈ L3 , entonces existen dos AFDs A1,A2 talesque L1 = L(A1),L2 = L(A2), dondeAi = (Qi ,Σ, δi ,qi ,Fi), i = 1,2Construimos A′ = (Q,Σ, δ,q0,F ) donde:

Q = Q1 × Q2

q0 = [q1,q2]

F = F1 × F2

δ([p1,p2],a) = [δ1(p1,a), δ2(p2,a)],p1 ∈ Q1,p2 ∈Q2,a ∈ Σ

L(A′) = L1 ∩ L2





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2

Intersección

AFD para L(A1) ∩ L(A3).

1,A 2,B 1,Ba

b

a





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2

Unión

Los lenguajes regulares si que son cerrados con respecto ala unión:Sean L1,L2 ∈ L3 , entonces existen dos AFDs completosA1,A2 tales que L1 = L(A1),L2 = L(A2), dondeAi = (Qi ,Σ, δi ,qi ,Fi), i = 1,2Construimos A′ = (Q,Σ, δ,q0,F ) donde:

Q = Q1 × Q2

q0 = [q1,q2]

F = F1 × Q ∪ Q × F2

δ([p1,p2],a) = [δ1(p1,a), δ2(p2,a)],p1 ∈ Q1,p2 ∈Q2,a ∈ Σ

L(A′) = L1 ∪ L2





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2

Unión

AFD para L(A2) ∪ L(A3).

1,A 2,B 1,B

3,A 3,B

a

b

b

aa

ba

b a,b





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2

Complementación y Diferencia

Los lenguajes regulares si que son cerrados conrespecto a la Complementación.Sea L ∈ L3 , entonces existe un AFD completo A talque L = L(A) donde A = (Q,Σ, δ,q0,F ). Definimos elautómata A′ = (Q,Σ, δ,q0,Q-F ).

L(A′) = L

Los lenguajes regulares si que son cerrados conrespecto a la Diferencia.Sean L1,L2 ∈ L3 . Nótese que L1-L2 = L1 ∩ L2.





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2

Complementación

AFD para L(A2).

1 2

3

a

bba

a,b





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2

Reverso

Los lenguajes regulares si que son cerrados con respectoal Reverso.Sea L ∈ L3 , entonces existe un autómataA = (Q,Σ, δ,q0,qf ) tal que L(A) = L. Si |F | > 1 puedemodificarse el autómata para que posea un único estadofinal. Construimos A′ = (Q,Σ, δ′,qf ,q0) donde:q ∈ δ(p,a) ↔ p ∈ δ′(q,a) para a ∈ Σ ∪ {λ}.

L(A′) = Lr





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2

Reverso

Autómata para (L(A2)c)r .

1 2

3 qf

b

a

ba

a,b

λ

λ





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2

Concatenación

Los lenguajes regulares si que son cerrados con respecto ala Concatenación.Sean L1,L2 ∈ L3 , entonces existen dos autómatas A1,A2

tales que L1 = L(A1),L2 = L(A2) dondeAi = (Qi ,Σ, δi ,qi ,Fi), (i = 1,2) y tales que Q1 ∩ Q2 = ∅Construimos A′ = (Q,Σ, δ′,q1,F2) donde:

Q = Q1 ∪ Q2

δ′ = δ1 ∪ δ2 ∪ δ′′ donde q2 ∈ δ′′(p, λ), for any p ∈ F1

L(A′) = L1 · L2





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2

Concatenación

Autómata para L(A1) · L(A3).

1 2

A B

a

bλ

b a,b

a





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2

Clausura

Los lenguajes regulares si que son cerrados con respecto ala Clausura.Sea L ∈ L3 , entonces existe un autómata A tal queL = L(A) donde A = (Q,Σ, δ0,q0,F ) ConstruimosA′ = (Q′,Σ, δ′,qn,F ′) donde:

Q′ = Q ∪ {qn}, qn ∈ Q

F ′ = F ∪ {qn}

δ′(p,a) = δ(p,a), para todo p ∈ Q y para todo a ∈ Σ

qn ∈ δ′(p, λ), para todo p ∈ F

δ′(qn, λ) = {q0}

L(A′) = L∗





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2

Clausura

Autómata para (L(A2)c)∗.

1 2

3 qn

a

bba

a,b

λ

λ

λ





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2

Homomorfismos

Los lenguajes regulares si que son cerrados con respecto aHomomorfismo. Sea h : Σ → ∆ y L ∈ L3. Existe unautómata A tal que L = L(A). Construimos un autómata A′

a partir de A, donde sustituimos cada transicion con unsímbolo a ∈ Σ por el conjunto de transiciones de la palabracorrespondinte a h(a).

L(A′) = h(L)





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2

Homomorfismo

Autómata para h(A1) donde h(a) = 01 y h(b) = λ.

1 2

0 1

λ





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2

Homomorfismo Inverso

Los lenguajes regulares si que son cerrados con respecto aHomomorfismo Inverso. Sea h : Σ → ∆∗ y L ∈ L3 ,entonces existe un autómata A tal que L = L(A) y dondeA = (Q,∆, δ,q0,F ) Construimos A′ = (Q,Σ, δ′,q0,F )donde:

δ′(p,a) =δ(p,h(a))siδ(p,h(a)) 6= ∅

∅ en otro caso

L(A′) = h−1(L)





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2

Homomorfismo Inverso

Σ = {0,1}, ∆ = {a,b}. g(0) = ab, h(1) = ba. Autómatapara g−1(L(A2)

c).

1 2

3

10

0 1

0,1





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2

Minimización de AFDs

Un AFD A = (Q,Σ, δ,q0,F ) es accesible si para todoq ∈ Q existe una palabra x ∈ Σ∗ tal que δ(q0, x) = q

Sea A = (Q,Σ, δ,q0,F ) un AFD completo y accesible.Definimos la relación de indistiguibilidad ∼ en Q como:para cualquier q,q′ ∈ Q : (q ∼ q′ ↔ for every x ∈ Σ,(δ(q, x) ∈ F ↔ δ(q′, x) ∈ F ))

Sea A = (Q,Σ, δ,q0,F ) un AFD completo y accesible ysea la relación de indistiguibilidad ∼. Se define elautómata cociente A/ ∼= (Q,Σ, δ′,q0,F ) como:

Q = {[q]∼ | q ∈ Q}q0 = [q0]∼F = {[q] | q ∈ F}δ′([q]∼, a) = [δ(q, a)]∼





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2


Sea A = (Q,Σ, δ,q0,F ) un AFD completo y accesible ysea la relación de indistiguibilidad ∼. El automata A/ ∼es el AFD mínimo que acepta L(A)

Sea A = (Q,Σ, δ,q0,F ) un AFD completo y accesible ysea un entero k ≥ 0. Se define la relación dek-indistinguibilidad ∼k como: para cualquierq,q′ ∈ Q : (q ∼k q ↔ para todax ∈ Σ∗, |x | ≤ k , (δ(q, x) ∈ F ↔ δ(q′, x) ∈ F ))

Se cumple que:para cualquier k ≥ 0, p ∼k+1 q → p ∼k qpara cualquier k ≥ 0, p ∼ q → p ∼k qpara cualquier k ≥ 0, p ∼k+1 q ↔ p ∼k q y paracualquier a ∈ Σ, δ(p, a) ∼k δ(q, a)





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2


Algoritmo de minimización de AFD:

1. π0 = {Q − F ,F}

2. Obtener πk+1 a partir de πkB(p, πk+1) == B(q, πk+1) si y solo si

B(p, πk ) == B(q, πk )y para todo a ∈ Σ,B(δ(p, a), πk ) == B(δ(q, a), πk )

3. Si πk+1 es distinta a πk ir a 2





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2


Ejemplo de minimización 1.

q0 q1

q2 q3

q4 q5

b

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

a





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2


π0 :

a bB0 q0 B0 B1

q1 B0 B0

q3 B1 B0

q5 B1 B0

B1 q2 B0 B1

q4 B0 B0





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2


π1 :

a bB0 q0 B1 B3

B1 q1 B0 B2

B2 q3 B3 B2

q5 B4 B1

B3 q2 B2 B4

B4 q4 B2 B0





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2


π2 :

a bB0 q0 B1 B4

B1 q1 B0 B2

B2 q3 B4 B3

B3 q5 B5 B1

B4 q2 B2 B5

B5 q4 B3 B0





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2


π3 = π2 B0 B1

B4 B2

B5 B3

b

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

a





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2


Ejemplo de minimización 2.

q0 q1

q2 q3

q4 q5

b

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

a





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2


π0 :

a bB0 q1 B1 B0

q3 B1 B0

q5 B1 B0

B1 q0 B0 B1

q2 B0 B1

q4 B0 B1





Unión


Reverso

Concatenación

Clausura

Homomorfismos


Ejemplo 1

Ejemplo 2


π1 = π0 B1 B0

a

a

b b


minimización de autómatas y operaciones sobre los lenguajes

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