mislav Šramek - seninarski rad iz kolegija optimiranje konstrukcija
DESCRIPTION
Energija elasticne deformacije savijanjaOdređivanje momenta savijanjaQ i M dijagramTopološko optimiranjeOptimiranje projektni prostorTRANSCRIPT
![Page 1: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/1.jpg)
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
Zavod za motore i transportna sredstva Katedra za transportne uređaje i konstrukcije
OPTIMIRANJE KONSTRUKCIJA Seminarski rad – zadatak br. M13 – 2012/13.
Optimizacijske metode u analizi i projektiranju konstrukcija
Mentor:
Prof.dr.sc. Dragutin Šćap Mislav Šramek
0035165363
Studeni,2012.
![Page 2: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Sadržaj 1. Primjena potencijalne energije elastične deformacije u riješavanju statički
neodređenih problema ................................................................................................ 4
2. Zadatak 1 ........................................................................................................... 9
2.1. U točki D je horizontalno pomični oslonac ..................................................... 10
2.1.1. Određivanje momenata savijanja po presjecima nosive konstrukcije ...... 10
2.1.2. Energija elastične deformacije od savijanja i uzdužnih sila, za slučaj
pomičnog oslonca u točki D ............................................................................... 14
2.1.3. Projektni prostor, za slučaj pomičnog oslonca u točki D .......................... 17
2.2. U točki D je zglob ........................................................................................... 19
2.2.1 Određivanje momenata savijanja po presjecima nosive konstrukcije ....... 19
2.2.2 Energija elastične deformacije od savijanja i uzdužnih sila, za slučaj
zgloba u točki D ................................................................................................. 23
2.2.3. Projektni prostor, za slučaj zgloba u točki D ............................................ 26
2.3. Q i M dijagrami ............................................................................................... 28
2.3.1. Q dijagram štapa D-C .............................................................................. 28
2.3.2. Q dijagram štapa C-B .............................................................................. 28
2.3.3. Q dijagram štapa B-A .............................................................................. 29
2.3.4. M dijagram štapa D-C .............................................................................. 30
2.3.5. M dijagram štapa C-B .............................................................................. 30
2.3.6. M dijagram štapa B-A .............................................................................. 31
3. Zadatak 2 .......................................................................................................... 32
Topološko optimiranje............................................................................................... 32
Opis algoritma ESO/BESO za topološko optimiranje ............................................ 32
Opis korištenog programa BESO2D ..................................................................... 33
3.1. Konstrukcija 1................................................................................................. 35
3.1.1 Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti ..... 35
3.1.2. Definiranje karakteristika: ........................................................................ 36
3.1.3. Proces optimizacije .................................................................................. 36
3.1.4. Rezultat procesa optimizacije .................................................................. 38
3.1.5. Deformirani oblik i naprezanja ................................................................. 38
3.1.6. Grafički prikaz procesa optimizacije ........................................................ 39
3.2. Konstrukcija 2................................................................................................. 39
3.2.1.Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti ..... 40
![Page 3: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/3.jpg)
3
3.2.2. Definiranje karakteristika ......................................................................... 40
3.2.3. Proces optimizacije .................................................................................. 41
3.2.4. Rezultat procesa optimizacije .................................................................. 42
3.2.5. Deformirani oblik i naprezanja ................................................................. 43
3.2.6. Grafički prikaz procesa optimizacije ........................................................ 44
3.3. Konstrukcija 3................................................................................................. 44
3.3.1. Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti .... 45
3.3.2. Definiranje karakteristika ......................................................................... 45
3.3.3. Proces optimizacije .................................................................................. 46
3.3.4. Rezultat procesa optimizacije .................................................................. 47
3.3.5. Deformirani oblik i naprezanja ................................................................. 48
3.3.6. Grafički prikaz procesa optimizacije ........................................................ 48
3.4. Konstrukcija 4................................................................................................. 49
3.4.1.Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti ..... 49
3.4.2. Definiranje karakteristika ......................................................................... 50
3.4.3. Proces optimizacije .................................................................................. 51
3.4.4. Rezultat procesa optimizacije .................................................................. 52
3.4.5. Deformirani oblik i naprezanja ................................................................. 53
3.4.6. Grafički prikaz procesa optimizacije ........................................................ 53
4. Zaključak ........................................................................................................... 54
5. Popis literature................................................................................................... 55
![Page 4: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/4.jpg)
4
1. Primjena potencijalne energije elastične deformacije u
riješavanju statički neodređenih problema
Energija deformacije proizvoljno opterećene konstrukcije:
Ako je konstrukcija opterećena općenito, u njegovu se poprečnom presjeku može
pojaviti svih šest komponenata unutarnjih sila, i to uslijed: uzdužnih sila N, poprečnih
sila Qy i Qz, momenata savijanja My i Mz, te momenta uvijanja Mt.
Te se komponente pri izračunavanju energije deformacije mogu razmatrati
nezavisno, pa je ukupna energija jednaka zbroju energija pojedinačnih opterećenja.
U tom slučaju može se pisati:
Vidi se da je svih 6 predbrojnika na desnoj strani građeno na isti način. Pod znakom
integrala nalazi se kvadrat pojedinačnih komponenata unutarnjih sila, koje se dijele
odgovarajućom krutošću. U slučaju osnog opterećenja imamo osnu krutost EA, u
slučaju smicanja smičnu krutost GA. Kad se radi o savijanju, to je fleksijska ili
savojna krutost EIy ili EIz, a u slučaju uvijanja imamo torzijsku krutost GIp. Svi se
integrali protežu po čitavoj duljini štapa l. U slučaju smicanja integrali se još množe s
ky, odnosno kz.
Teorem o minimumu energije deformiranosti:
Drugi Castiglianov teorem može se primijeniti ne samo za određivanje pomaka na
željenom mjestu i u željenom smjeru nego se pomoću njega mogu odrediti i
prekobrojne reakcije veza u statički neodređenim konstrukcijama. Sljedeća slika
prikazuje primjer tri puta statički neodređene konstrukcije:
![Page 5: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Budući da konstrukcija ima šest nepoznatih reakcija i tri nezavisna uvjeta ravnoteže,
ona je tri puta statički neodređena, tj. nedostaju tri jednadžbe ravnoteže da bismo
mogli odrediti svih šest nepoznatih reakcija veza. Prema tome tri su reakcije
prekobrojne. Reakcije u osloncima B i C su označene kao prekobrojne. One su
označene s velikim slovima X i razmatraju se kao poopćene sile. Prema tome, tri su
nepoznate poopćene sile X1, X2 i X3. Poopćeni pomaci u smjeru X1, X2 i X3 jednaki su
nuli, pa prema drugom Castiglianovu teoremu vrijedi:
��
���= 0,
��
���= 0,
��
���= 0.
To su tri dopunske jednadžbe koje zajedno s tri uvjeta ravnoteže omogućuju da se
odredi šest nepoznatih reakcija veza.
Ako se kao prekobrojne sile odaberu unutarnje sile u nekom presjeku, tj. normalnu i
poprečnu silu te moment savijanja, poopćeni pomaci nisu uvijek jednaki nuli, pa se
ne može neposredno primijeniti drugi Castiglianov teorem. U tom slučaju može se
vrlo uspješno primijeniti teorem o minimumu energije deformiranosti.
![Page 6: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Sljedeća slika prikazuje statički neodređenu konstrukciju koja je opterećena s više
vanjskih sila F1, F2, F3:
Konstrukcija je u točki C podijeljena na dva dijela. Na mjestu presjeka djeluje
normalna sila X1, poprečna sila X2 i moment savijanja X3. Vrijednosti poopćenih sila
X1, X2 i X3 nisu poznate. Ako te sile imaju pravu vrijednost, u presječenu lijevom dijelu
konstrukcije akumulirat će se jednaka energija UL kao i u dijelu AC izvorne
konstrukcije. Isto vrijedi i za desni odsječeni dio BC. Prema tome može se pisati:
� = �� + ��
gdje je UL energija deformiranosti lijevog dijela, UD energija deformiranosti desnog
dijela, a U ukupna energija čitave konstrukcije. Odabirom bilo koje unutarnje sile, npr.
X2 i deriviranjem UL, odnosno UD po toj sili, dobiva se:
���
���= ��� ,
���
���= ��� .
Gdje je ��� poopćeni pomak lijevog dijela konstrukcije, a ��� odgovarajući pomak
desnog dijela konstrukcije. Ti su pomaci po veličini jednaki jer se odnose na istu
![Page 7: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/7.jpg)
7
točku i C. Po predznaku, oni su suprotni kako je prikazano na slici iznad, po zakonu
akcije i reakcije vrijedi:
��� = −���
Ako se to uvrsti u prethodni izraz, dobiva se:
���
���= −
���
���,
odnosno:
�
���
(�� + ��) =��
���= 0.
Općenito vrijedi:
��
���= 0,
��
���= 0,
��
���= 0.
To je nužan uvjet da funkcija � = �(��, ��, ��) ima ekstrem. U nastavku je vidljivo da
je to minimum.
Ako se zamisli konstrukcija koja je � puta statički neodređena, u tom slučaju ima �
prekobrojnih poopćenih sila ��, �� … �� … ��. Derivacija energije deformabilnosti po
bilo kojoj nepoznatoj sili jednaka je nuli,
��
���= 0,
što je nužan uvjet za ekstrem. Da bi se pokazalo kako je to minimum, potrebno je
zamisliti da na tijelo ili konstrukciju dijeluju sve sile osim sile ��, te tada energija
deformiranosti iznosi:
� = � (��, ��, … ����, ����, … ��).
![Page 8: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Ako sada na konstrukciju počne djelovati sila �� ,tako da postupno raste od nule do
svoje konačne vrijednosti, energija će se povećati za iznos:
∆� = � ������� +1
2�����
�
�
���
.
Prvi član na desnoj strani izraza označava rad svih sila osim sile �� na pomacima
koje uzrokuje sila ��. Drugi član predstavlja rad sile ��.
Ukupna energija deformiranosti konstrukcije sada iznosi:
� = � (��, ��, … ����, ����, … ��) + � ����� �� +1
2�����
�
�
���
.
Prva derivacije energije � po sili ��, iznosi:
��
���= ����� + �����.
Druga derivacija u tom slučaju iznosi:
���
���� = ��� > 0.
Kako je ova druga derivacija veća od nule, energija deformacije statički neodređene
konstrukcije ima minimum.
![Page 9: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/9.jpg)
9
2. Zadatak 1
Statički neodređenu nosivu konstrukciju prema skici riješiti postupkom
traženja minimuma potencijalne energije elastične deformacije.
Zadano:
� = �(2�)� , ℎ = 4
5� �, � = �4� , � = �1
2� �ℎ,
�� = ��, �� = 1.5��, � =��
(� 40)⁄ �� .
Problem riješiti za 2 slučaja:
a) U točki D je horizontalno pomični oslonac,
b) U točki D je zglob prema skici.
![Page 10: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/10.jpg)
10
2.1. U točki D je horizontalno pomični oslonac
2.1.1. Određivanje momenata savijanja po presjecima nosive konstrukcije
Presijek �� prije štapa:
![Page 11: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Presijek �� poslije štapa:
Presijek �� prije sile F:
![Page 12: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Presijek �� između sila F:
Presijek �� poslije sile F:
![Page 13: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Presijek �� prije štapa:
Presijek �� poslije štapa:
![Page 14: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/14.jpg)
14
2.1.2. Energija elastične deformacije od savijanja i uzdužnih sila, za slučaj
pomičnog oslonca u točki D
Ulazni podaci:
� = �(2�)� , ℎ = 4
5� �, � = �4� , � = �1
2� �ℎ,
�� = ��, �� = 1.5��, � =��
(� 40)⁄ �� .
Savijanje:
Momenti savijanja po poljima:
� = {x1, x2, x2, x2, x3, x3}; vektori položaja po poljima
Mx = {X2 ∗ (x1 − �),
X2 ∗ (ℎ − �) + X1 ∗ x2 −����
�,
X2 ∗ (ℎ − �) + X1 ∗ x2 −����
�− � ∗ (x2 − �),
X2 ∗ (ℎ − �) + X1 ∗ x2 −����
�− � ∗ (2 ∗ x2 − �),
X1 ∗ � − X2 ∗ (x3 − ℎ + �) −���
�− � ∗ �,
X1 ∗ � − X2 ∗ (x3 − ℎ + �) − ���/2 − � ∗ � + X2 ∗ (x3 − (ℎ − �))};
np = Length[Mx];
Gornje i donje granice po poljima:
xd = {0,0, �, L − a, 0, ℎ − �}; xg = {ℎ, �, L − a, �, ℎ − �, ℎ};
Momenti tromosti po poljima:
Iyp = {I2, I3, I3, I3, I1, I1};
Računanje unutarnje energije deformacije uslijed savijanja:
U2E = �1
Iyp[[�]]� Mx[[�]]� ��[[�]]
��[[�]]
��[[�]]
��
���
![Page 15: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Uzdužne sile:
Računanje unutarnje energije deformacije uslijed uzdužnih sila:
UstE =X2��
2A2
Ukupna energija elastične deformacije:
Usum = U2E + UstE
Svođenje na bezdimenzijski oblik i računanje optimalnih vrijednosti reakcija:
X1 = X1F�; X2 = X2F�
U2E = Simplify[U2E]
FU = UsumI1
����
Rjes=Minimize[FU,{X1F,X2F}];Print[N[Rjes]] opt=Rjes[[1]];xopt={X1F/.Rjes[[2]],X2F/.Rjes[[2]]};
Rješenje – optimalne vrijednosti reakcija u osloncu F, izražene kao bezdimenzijske
veličine:
��
�= 1.31197
��
�= −0.142302
![Page 16: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Ciljna funkcija energije deformiranja u ovisnosti o reakcijama �� i ��, prikazana 3D
grafom.
![Page 17: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/17.jpg)
17
2.1.3. Projektni prostor, za slučaj pomičnog oslonca u točki D
Izgled projektnog prostora:
![Page 18: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Grafički prikaz projektnog prostora s riješenjem:
![Page 19: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/19.jpg)
19
2.2. U točki D je zglob
2.2.1 Određivanje momenata savijanja po presjecima nosive konstrukcije
Presijek �� prije štapa:
![Page 20: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Presijek �� poslije štapa:
Presijek �� prije sile F:
![Page 21: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Presijek �� između sila F:
Presijek �� poslije sile F:
![Page 22: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Presijek �� prije štapa:
Presijek �� poslije štapa:
![Page 23: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/23.jpg)
23
2.2.2 Energija elastične deformacije od savijanja i uzdužnih sila, za slučaj
zgloba u točki D
Ulazni podaci:
� = �(2�)� , ℎ = 4
5� �, � = �4� , � = �1
2� �ℎ,
�� = ��, �� = 1.5��, � =��
(� 40)⁄ �� .
Savijanje:
Momenti savijanja po poljima:
� = {x1, x1, x2, x2, x2, x3, x3}; vektori položaja po poljima
Mx = {�3 ∗ �1,
�2 ∗ (�1 − �) + �3 ∗ �1,
�2 ∗ (ℎ − �) + �1 ∗ �2 + �3 ∗ ℎ − (� ∗ �2^2/2),
�2 ∗ (ℎ − �) + �1 ∗ �2 + �3 ∗ ℎ − (� ∗ �2^2/2) − � ∗ (�2 − �),
�2 ∗ (ℎ − �) + �1 ∗ �2 + �3 ∗ ℎ − (� ∗ �2^2/2) − � ∗ (2 ∗ �2 − �),
�1 ∗ � − �2 ∗ (�3 − ℎ + �) + �3 ∗ (ℎ − �3) − (� ∗ �^2/2) − � ∗ �,
�1 ∗ � − �2 ∗ (�3 − ℎ + �) + �3 ∗ (ℎ − �3) − (� ∗ �^2/2) − � ∗ � +
�2 ∗ (�3 − (ℎ − �))};
np = Length[Mx];
Gornje i donje granice po poljima:
xd = {0, �, 0, �, L − a, 0, ℎ − �}; xg = {�, ℎ, �, L − a, �, ℎ − �, ℎ};
Momenti tromosti po poljima:
Iyp = {I2, I2, I3, I3, I3, I1, I1};
![Page 24: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Računanje unutarnje energije deformacije od savijanja:
U2E = �1
Iyp[[�]]� Mx[[�]]� ��[[�]]
��[[�]]
��[[�]]
��
���
Uzdužne sile:
Računanje unutarnje energije deformacije uslijed uzdužnih sila:
UstapE =2X2��
2A
Ukupna energija elastične deformacije:
Uuk = U2E + UstapE
Svođenje na bezdimenzijski oblik i računanje optimalnih vrijednosti reakcija:
X1 = X1F�; X2 = X2F�; X3 = X3F�
U2E = Simplify[U2E]
FU = UsumI1
����
Rjes=Minimize[FU,{X1F,X2F,X4F}];Print[N[Rjes]] opt=Rjes[[1]];xopt={X1F/.Rjes[[2]],X2F/.Rjes[[2]],X4F/.Rjes[[2
]]};
Rješenje – optimalne vrijednosti reakcija u osloncu F, izražene kao bezdimenzijske
veličine:
��
�= 1.34013
��
�= 0.057282
��
�= 0.121665
![Page 25: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Ciljna funkcija energije deformiranja u ovisnosti o reakcijama �� i ��, prikazana 3D
grafom.
![Page 26: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/26.jpg)
26
2.2.3. Projektni prostor, za slučaj zgloba u točki D
Izgled projektnog prostora:
![Page 27: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Grafički prikaz projektnog prostora s riješenjem:
![Page 28: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/28.jpg)
28
2.3. Q i M dijagrami
2.3.1. Q dijagram štapa D-C
2.3.2. Q dijagram štapa C-B
![Page 29: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/29.jpg)
29
2.3.3. Q dijagram štapa B-A
![Page 30: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/30.jpg)
30
2.3.4. M dijagram štapa D-C
2.3.5. M dijagram štapa C-B
![Page 31: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/31.jpg)
31
2.3.6. M dijagram štapa B-A
![Page 32: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/32.jpg)
32
3. Zadatak 2
Potrebno je topološki optimirati četiri različite 2D konstrukcije, koristeći slobodno
dostupni program BESO2D.
Topološko optimiranje
Postoje dva osnovna tipa topološkog optimiranja, ovisno o tipu konstrukcije čija se
topologija optimira. Za one konstrukcije koje su po prirodi diskretne (primjerice
rešetkaste konstrukcije), problem optimalne topologije sastoji se u određivanju
optimalnog broja, pozicija, međusobne povezanosti strukturnih elemenata.
Drugi tip topološkog optimiranja namjenjen je optimiranju kontinuiranih struktura.
Ovdje se oblik vanjskih i unutrašnjih rubova (kontura) optimiraa istodobno s brojem
unutrašnjih otvora s ciljem optimalnog zadovoljavanja zadanog projektnog kriterija.
Često se optimalna konstrukcija dobivena kontinuiranim topološkim optimiranjem
može interpretirati kako rešetkasta, tj. diskretna konstrukcija. Iz tog se razloga
metode kontinuiranog optimiranja često koriste i za optimiranje topologije rešetkastih
konstrukcija.
Opis algoritma ESO/BESO za topološko optimiranje
Metoda ESO (evolucijsko strukturno optimiranje), razvijena je 1992 godine od strane
dvaju znanstvenika: Mike Xie-a i Grant Steven-a. Cilj njenog razvoja bila je težnja da
se razvije relativno jednostavna i svestrana metoda za pronalaženje optimalnog
strukturnog oblika. Metoda se temelji na principu polakog ukljanjanja neučinkovitog
materijala iz strukture, tako da se preostala struktura kroz iteracije razvija prema
optimalnoj.
Metoda ESO je u stanju riješavati veličinu, oblik i topologiju strukturne optimizacije
statičkih i dinamičkih problema, problema stabilnosti, toplinskih problema ili njihovih
kombinacija. Zbog izražene jednostavnosti i učinkovitosti ovu metodu primjenjuju
brojni inženjeri i arhitekti. Također može je razumjeti i primjeniti svatko tko ima
osnovno znanje o metodi konačnih elemenata (FEA). Velika prednost ove metode
krije se u tome što se relativno jednostavno može povezati s komercijalnim paketima,
kao što su primjerica NASTRAN, ANSYS i ABAQUS.
ESO metoda temelji se na von Mises-ovim naprezanjima ili energiji deformacije
svakog elementa. Za postizanje optimalne strukture, prvo se uklanjaju elementi s
najvećim naprezanjem, zatim se iz strukture uklanjaju elementi sa manjim
naprezanjem, i tako dalje postupkom iteracije sve dok se ne dobije optimalna
struktura.
![Page 33: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Naprezanje svakog konačnog elementa u trenutnoj iteraciji (��) je određeno u
odnosu na najveće naprezanje u konstrukciji (����).
Elementi koji zadovoljavaju uvjet će biti izbaćeni iz konstrukcije u toj
iteraciji.
��� (rejection ratio) predstavlja omjer odbacivanja elemenata iz konstrukcije, a iznos
mu se jasno povećava nakon svake iteracije, ����� = ��� + ��. �� (evolutionary
rate), predstavlja korak evolucije, koji se unosi kao ulazni podatak.
ESO metoda za nelinearne strukture – za postizanje nelinearne ESO strukture,
model konačnog elementa se analizira s obzirom na materijalnu i/ili geometrijsku
nelinearnost.
Postoje dva kriterija za uklanjanje materijala, od kojih se jedan temelji na uklanjanju
elemenata s niskim von Mises-ovim naprezanjem, a drugi na uklanjanju elemenata s
niskom energijiom naprezanja.
Kratica BESO (Bi-directional Evolutionary Structual Optimisation), označava metodu
dvosmjernog evolucijskog strukturnog optimiranja. Valjanost ESO metode uvelike
ovisi o pretpostavkama da je struktura promjene (evolucija) u svakom koraku mala, te
da je mreža konačnih elemenata za analizu gusta. U slučaju da je previše materjala
uklonjeno iz strukture u jednom koraku, ESO metoda ne može vratiti te elemente koji
su prerano izbrisani.
Godine 1999, u cilju povećanja učinkovitosti ESO metode, razvijena je dvosmjerna
ESO (BESO) metoda u kojoj se materijal može brisati iz strukture i dodavati na
najopterećenija područja.
Metode ESO/BESO je osim za 2D probleme moguće primjeniti i na 3D probleme.
Opis korištenog programa BESO2D
BESO2D je slobodno dostupni program koji se primjenjuje u topološkom optimiranju
pojedinih dvo-dimenzionalnih konstrukcija.
Opremljen je slijedećim funkcijama: crtanje domene konstrukcije, definiranje
opterećenja i rubnih uvjeta, generiranje mreže konačnih elemenata, provjera
naprezanja i deformacija pomoću MKE- metode, te provedbom BESO optmizacije.
Postupak optimiranja:
a) Definiranje domene
![Page 34: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/34.jpg)
34
b) Diskretizacija domene generiranjem mreže konačnih elemenata (program
koristi pravokutne konačne elemente sa četiri čvora i dva stupnja slobode po
čvoru). U postupku je potrebno definirati razmak između pojedinih čvorova,
odnosno gustoći mreže konačnih elemenata.
c) Nakon toga zadaju se rubni uvjeti, uvjeti opterećenja i značajke materijala
(Young-ov modul elastičnosti, Poisson-ov koeficijent, te gustoću materijala).
d) Zatim se provodi postupak topološke optimizacije
e) Nakon završenog procesa optimizacije i dobivanja optimalne konstrukcije,
moguće je prikazati tijek optimiranja, te naprezanja i deformacije. Također je
moguće promjeniti pojedine parametre i nastaviti danji postupak optimiranja.
Izgled sučelja programa BESO2D1
![Page 35: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/35.jpg)
35
3.1. Konstrukcija 1
Konstrukcijska domena nalik na most poduprta sa 4 oslonca. Dio mosta gdje bi
trebala biti cesta opterećen kontinuirano.
3.1.1 Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti
Definiranje mreže konačnih elemenata:
Broj konačnih elemenata: 7200 (120x60).
Vrsta konačnih elemenata: pravokutni konačni elementi sa četiri čvora i dva stupnja
slobode po čvoru.
Broj stupnjeva slobode: 7381.
Razmak među čvorovima (DBN): 0,05.
![Page 36: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/36.jpg)
36
3.1.2. Definiranje karakteristika:
¸
Značajke materijala
3.1.3. Proces optimizacije
Iteracija 10
![Page 37: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Iteracija 20
Iteracija 30
Iteracija 40
![Page 38: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/38.jpg)
38
3.1.4. Rezultat procesa optimizacije
Konačan oblik – iteracija 53
3.1.5. Deformirani oblik i naprezanja
![Page 39: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/39.jpg)
39
3.1.6. Grafički prikaz procesa optimizacije
Graf prikazuje konvergenciju prema riješenju.
3.2. Konstrukcija 2
Konstrukcijska nalik na kotač opterećen silama F.
![Page 40: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/40.jpg)
40
3.2.1.Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti
Definiranje mreže konačnih elemenata:
Broj konačnih elemenata: 8200
Vrsta konačnih elemenata: pravokutni konačni elementi sa četiri čvora i dva stupnja
slobode po čvoru.
Broj stupnjeva slobode:9140
Razmak među čvorovima (DBN): 0,1.
3.2.2. Definiranje karakteristika
![Page 41: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/41.jpg)
41
Značajke materijala
3.2.3. Proces optimizacije
Iteracija 10
Iteracija 20
![Page 42: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Iteracija 30
3.2.4. Rezultat procesa optimizacije
Konačan oblik – iteracija 43
![Page 43: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/43.jpg)
43
3.2.5. Deformirani oblik i naprezanja
![Page 44: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/44.jpg)
44
3.2.6. Grafički prikaz procesa optimizacije
Graf prikazuje konvergenciju prema riješenju
3.3. Konstrukcija 3
Konstrukcija zamišljena kao spremnik za tekućinu otvoren odozgora. Tekućina
opterećuje kontinuirano stijenke spremnika.
![Page 45: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/45.jpg)
45
3.3.1. Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti
Definiranje mreže konačnih elemenata:
Broj konačnih elemenata: 2000.
Vrsta konačnih elemenata: pravokutni konačni elementi sa četiri čvora i dva stupnja
slobode po čvoru.
Broj stupnjeva slobode: 2122.
Razmak među čvorovima (DBN): 0,05.
3.3.2. Definiranje karakteristika
![Page 46: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/46.jpg)
46
Značajke materijala
3.3.3. Proces optimizacije
Iteracija 10
Iteracija 20
![Page 47: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/47.jpg)
47
Iteracija 30
3.3.4. Rezultat procesa optimizacije
Konačan oblik – iteracija 34
![Page 48: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/48.jpg)
48
3.3.5. Deformirani oblik i naprezanja
3.3.6. Grafički prikaz procesa optimizacije
Graf prikazuje konvergenciju prema riješenju
![Page 49: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/49.jpg)
49
3.4. Konstrukcija 4
Konstrukcija nalik stepenicama, kontinuirano opterećena. U donjem dijelu na
krajevima oslonjena na nepomičnim osloncima.
3.4.1.Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti
Definiranje mreže konačnih elemenata:
Broj konačnih elemenata: 2450.
Vrsta konačnih elemenata: pravokutni konačni elementi sa četiri čvora i dva stupnja
slobode po čvoru.
Broj stupnjeva slobode: 2520.
Razmak među čvorovima (DBN): 0,1.
![Page 50: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/50.jpg)
50
3.4.2. Definiranje karakteristika
Značajke materijala
![Page 51: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/51.jpg)
51
3.4.3. Proces optimizacije
Iteracija 20
Iteracija 40
![Page 52: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/52.jpg)
52
Iteracija 60
3.4.4. Rezultat procesa optimizacije
Konačni oblik – iteracija 72
![Page 53: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/53.jpg)
53
3.4.5. Deformirani oblik i naprezanja
3.4.6. Grafički prikaz procesa optimizacije
Graf prikazuje konvergenciju prema rješenju
![Page 54: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/54.jpg)
54
4. Zaključak
Optimalna rješenja konstrukcija razlikuju se u ovisnosti o gustoći mreže konačnih
elemenata, međutim te razlike su vrlo male.
Prednost gušće mreže sa više konačnih elemenata krije se u tome što ona
omogućuje preciznije i bolje krajnje rješenje, međutim kako raste broj konačnih
elemenata raste i broj potrebnih iteracija, što znači da je potrebno dulje vrijeme
računanja.
Također se može zaključiti da manji relativni volumen konstrukcije također povećava
broj potrebnih iteracija.
![Page 55: Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042703/55cf9dc5550346d033af1bf0/html5/thumbnails/55.jpg)
55
5. Popis literature
D. Šćap, Optimiranje mehaničkih konstrukcija, udžbenik raspoloživ za
studente. Zagreb.
Alfirević, (1999), Nauka o čvrstoći II. Zagreb: Golden Marketing.
X. Huang, Y.M. Xie. Evolutionary topology optimization of continuum
structures, methods and applications, School of Civil, Environmental and
Chemical Engineering. RMIT University, Australia
Z. Tonković, D. Pustaić, H. Wolf (2005), Mehanika III. Zagreb: Golden
Marketing.
Program Wolfram Mathematica v.7.0.
Program BESO2D.