mke-rotaciono simerticno telo

8/18/2019 MKE-Rotaciono Simerticno Telo

1/65

ГРАЂЕВИН

ВИШИ К

Студенти:

Бојана Пауновић 583/14

Дејан Матић 645/14

Алекан!а" Павићевић 5

Сте#ан Нов$ић 531/14

КИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗ

БЕ%ГРАДУ

ЕМИНАРСКИ РАД

РС ИЗ МЕТОДА КОНА

ЕЛЕМЕНАТА

Ментори:

П"о#. Д" Б"анил

Д" Ма"ија Не#ов

0/14

ИТЕТА У

ЧНИХ

в Пујевић

а-Даниловић


2/65

2

Са!"&ај

1. Рота'ионо и(ет"и$на тела .................................................................................. 4

1.1 %новни еле(енти ............................................................................................ 4

1.2 %новне је!на$ине ........................................................................................... 5

1.3 И)во*е+е (ат"и'е В ........................................................................................ 8

1.4 Мат"и'а к"утоти ........................................................................................... 11

1.5 Гауова инте,"а'ија ....................................................................................... 11

2. Matlab ..................................................................................................................... 13

2.1 Аналити$ко "е-е+е (Matlab) ......................................................................... 13

3. Ре)ултати и) Еxcela .............................................................................................. 21

3.1 Поаонов кое#и'ијент 0.2 ............................................................................. 21

3.1.1 П"ви кона$ни еле(ент ............................................................................. 26

3.1.2 Д"у,и кона$ни еле(ент ............................................................................ 27

3.1.3 Т"ећи кона$ни еле(ент ........................................................................... 28

3.1.4 .етв"ти кона$ни еле(ент ........................................................................ 29

3.2 Поаонов кое#и'ијент 0.3 ............................................................................. 31

3.2.1 П"ви кона$ни еле(ент ............................................................................. 36




3.3 Поаонов кое#и'ијент 0.4999 ...................................................................... 40 3.3.1 П"ви кона$ни еле(ент ............................................................................. 45




4. Тео"ијки /о!етник /ло$а на/"е,нути0 у војој "авни ..................................... 50

4.1 Мето! ила /"и "е-ава+у /ло$а на/"е,нути0 у "авни ............................... 52


3/65


4/65

4

1. Ротационо симетрична тела

1.1 Основни елементи

Тела која натају "ота'ијо( "авне о2лати око је!не ое (ое "ота'ије) е

на)ивају "ота'иона или оно-и(ет"и$на тела. По-то е оваква тела $ето

јав1ају у "а)ли$ити( ин&е+е"ки( конт"ук'ија(а, /от"е2но је !а е та+е

на/она и !е#о"(а'ија /ое2но "а)(от"и. Ако у и /о1а-+и ути'аји као -то у и

о/те"еће+е, те(/е"ату"а и !". као и улови ола+а+а и(ет"и$ни у о!ноу на

оу "ота'ије, -то је !ота $ет лу$ај, ва "а)(ат"а+а у ве)и а ови( тели(а у у

/о!"у$ју !во!и(ен)ионалне анали)е.

А/"оки(а'ија "ота'ионо и(ет"и$ни0 тела а ("е&о( кона$ни0 еле(ената

в"-и е /о(оћу еле(ената који и(ају и(ет"ију у о!ноу на оу "ота'ије. Кона$ни

еле(енти у /"тенови а контантни( /о/"е$ни( /"ее'и(а који (о,у 2ити

"а)ли$ито, о2лика. За /о/"е$не /"ееке /"тенова о2и$но е увајају је!нотавни

о2ли'и: т"оу,ао, /"авоу,аоник или неки !"у,и о2лик који је /о,о!ан )а

!во!и(ен)ионалну анали)у.


5/65

5

1.2 Основне једначине

По,о!но је увети 'илин!"и$ни коо"!инатни ите( r,z,3. На ли'и у

/"ика)ане ко(/оненте векто"а /о(е"а+а, тен)о"а !е#о"(а'ије и тен)о"а на/она

а конвен'ијо( о +и0ови( /о)итивни( (е"ови(а.

Ве)а и)(е*у ко(/онената !е#о"(а'ија и ко(/онената /о(е"а+а (о&е е

/"ика)ати (ат"и$но( је!на$ино(:

4 =L∙ ,!е у:

ε = εrεzεθɣrzɣrθɣzθ L =

01/1/ 0

001/ 0−1/+ 0001/

u=

4

- веко" !е#о"(а'ија


6/65

6

L - (ат"и'а о/е"ато"

U - векто" /о(е"а+а

Ве)а и)(е*у ко(/онената на/она и ко(/онената !е#о"(а'ија у лу$ају

и)от"о/ни0 елати$ни0 тела !ата је и)"а)о(:

5=D∗4 ,!е у:

5 =

σrσσθ!rz!rθ!zθ

D =)21)(1( vv

E

−+

*

1 − """000

"1 − ""000 ""1 − "000

000#1−$"%/$00 0000#1−$"%/$0

00000#1−$"%/$ 5 - векто" на/она

D – (ат"и'а кое#и'ијената елати$ноти

Улови "авноте&е у !ати је!на$ина(а:

σr + 1/r* !rθ + !rz + (σr − σθ)/r + Fr = 0σz + 1/r* !zθ + !rz *r + !rz /r + Fz = 01/r* σθ + !rθ + !zθ + 2* !rθ /r + F3 = 0

У лу$ају "ота'ионо и(ет"и$ни0 тела а "ота'ионо и(ет"и$ни( /о1а-+и(

ути'аји(а, ве ,ео(ет"ијке вели$ине /отају инва"ијантне у о!ноу на

коо"!инату 3. Поле!и'а је !а ко(/оненте /о(е"а+а у /"ав'у тан,енте на 3

линију 6 и ко(/оненте тен)о"а !е#о"(а'ија 7r3 и 7z3 ,у2и(о, )аје!но а

на/они(а 8r3 и 8z3, који у и!енти$ки је!наки нули. Та!а у векто"и /о(е"а+а,

!е#о"(а'ија и векто" на/она и)"а&ени као:


7/65

7

u=

& ' 4=

(

εrεzεθɣrz)

5=

*

σr

σzσθ!rz

u - векто" /о(е"а+а

4 - векто" !е#о"(а'ија

5 - векто" на/она

Док у (ат"и'е L и D !ате као:

L=

00 , 0 D=

)21)(1( vv

E

−+

1 − " "" 1 − " " 0" 0" "0 0 1 − " 00 ,-.. L - (ат"и'а о/е"ато"

D - (ат"и'а елати$ни0 контанти (ате"ијала


8/65

8

1.3 Извођење матрице В

В=L*N

L - (ат"и'а о/е"ато"

N - (ат"и'а инте"/ола'иони0 #унк'ија

За "ота'ионо-и(ет"и$на тела (ат"и'а L ,лаи:

L=

00

, 0

Мат"и'а N је (ат"и'а инте"/ола'иони0 #унк'ија. За /"авоу,аони кона$ни

еле(ент а оа( те/ени ло2о!е то је (ат"и'а о2лика:

N=

&1 00 1 $ 00 $ 00 2 00 2'

34#567%=,8 ∗ #1 + 9 ∙ 9 :% ∗ #1 + ; ∙ ; :% 4=16 51=?1 71=?1 31=,8 ∗ #1 − 9% ∗ # 1 − ; %4=$ > 5$=1 7$=?1 3$=,8 ∗ #1 + 9% ∗ # 1 − ; %4= > 5=1 7=1 3=,8 ∗ #1 + 9% ∗ # 1 + ; %

4=2 > 52=?1 72=1 32=,8 ∗ # 1 − 9 % ∗ # 1 + ; %Мат"и'а N у #унк'ији /"и"о!ни0 коо"!ината:

N(9,:)=

12 @#1 − 9%#1 − ;% 00 #1 − 9%#1 − ;% #1 + 9%#1 − ;% 00 #1 + 9%#1 − ;% #1 + 9%#1 + ;% 00 #1 + 9%#1 + ;% #1 − 9%#1 + ;% 00 #1 − 9%#1 + ;%A


9/65

9

Да 2и(о и)вели (ат"и'у В, /от"е2но је /ове)ати коо"!инатни ите( (r, z)

а /"и"о!ни( коо"!инатни( ите(о( (9, :).

Ко"ити(о већ /отојећу ве)у и)(е*у коо"!инантни0 ите(а (x, y) и (9, :)

која ,лаи:

5 = B/C ?1 D 5 D 17 = E/F ?1 D 7 D 1Коо"!инате x и y и)"а&ава(о /"еко r и z:

x=r-r* > 9=(r-r*)/a > ;9=,G ∙Hrr* је контанта и "а)ли$ита је )а ва $ети"и кона$на еле(ента

y=z > :=z/b > ;:=,I ∙HzИнте"/ола'ионе #унк'ије и)"а)иће(о у #унк'ији /а"а(ета"а r и z,

!и#е"ен'ијал инте"/ола'ионе #унк'ије /о r на)ваће(о Ni,r, а !и#е"ен'ијал

инте"/ола'ионе #унк'ије /о z на)ваће(о Ni,z.


10/65

10

Мат"и'а В а!а ,лаи:

B = 316 r 00 316 z 3$6 r 00 3$6 z 36 r 00 36 z 326 r 00 326 zJ, 0316 z 316 r J. 03$6 z 3$6 r JK 036 z 36 r J8 0326 z 326 r N1,r =

( ,8(1 − L-L∗M )(1 − N) )= #,8 #1 − N − L-L∗M + L-L∗M N))=,8( MN − ,M%= ,8M # ; − 1 % Анало,но /"ет0о!но(, и)во!и /о r ,лаиће:

N2,r= ,8M # 1 − ; % N3,r= ,8M # 1 + ; % N4,r= − ,8M # 1 + ; % И)во!и /о z 2иће:

N1,z= #,8(1 − L-L∗M )(1 − N) )= #,8 #1 − N − L-L∗M + L-L∗M N))=,8 #− ,N + -L∗MN % = ,8N # 9 − 1)N2,z

= −,

8N # 1 + 9 %

N3,z= ,8N # 1 + 9 % N4,z= ,8N # 1 − 9 % Да 2и(о !о2или $ланове т"еће в"те, r и)"а&ава(о као r=rO + C5J, =,8 #,-P%∙#,-Q%L∗RMP J. =

,8

#,RP%∙#,-Q%L∗RGS JK =,8 #,RP%∙#,RQ%L∗RMP J8 =,8 #,-P%∙#,RQ%L∗RMP


11/65

11

Кона$но, (ат"и'а B ,лаи:

B =

,8,M ∙ #; − 1% 00 ,N ∙ # 9 − 1 %#,-P%∙#,-Q%L∗RMP 0,N ∙ # 9 − 1 % ,M ∙ # ; − 1 %

,M ∙ #1 − ;% 00 -,N ∙ # 1 + 9 %#,RP%∙#,-Q%L∗RMP 0-,N ∙ # 1 + 9 % ,M ∙ # 1 − ; %,M ∙ #1 + ;% 00 ,N ∙ # 1 + 9 %#,RP%∙#,RQ%L∗RMP 0,N ∙ # 1 + 9 % ,M ∙ # 1 + ; %

-,M ∙ #1 + ;% 00 ,N ∙ # 1 − 9 %#,-P%∙#,RQ%L∗RMP 0,N ∙ # 1 − 9 % ,M ∙ # 1 + ; %

1.4 Матрица крутости

T=U VW ∙ X ∙ V YZT=U VW ∙ X ∙ V YZ=U [#96 ;%YZ\]=$r^YY\]=$^#_ 9 + ∗%_`Y9Y;

T= $^_` U U [#96 ;%,

-,,

-, ∙ #_ 9 + ∗

%Y9Y;За о!"е*ива+е (ат"и'е к"утоти еле(ента и векто"а на/она /отоје ну(е"и$ке -е(е инте,"а'ије које е $ето ко"ите у о#тве"ки( /акети(а који е 2аве (ето!о( кона$ни( еле(енти(а. Гауова инте,"а'ија је је!на о! +и0, /"е'и)на је и

ко"ити (ини(лни 2"ој та$ак a.

1.5 аусова инте!рација

З2о, ло&еноти и)"а$унава+а (ат"и'е к"утоти /"и(е+ују е ну(е"и$ки /оту/'и.


12/65

12

Уваја е n !ик"етни0 та$ака, /отоји 2n не/о)нати0, тако !а е уво!и /олино(

2n-1 "е!а /о(оћу ко,а е в"-и а/"оки(а'ија #унк'ије f(9) и в"-и инте,"а'ија

ква!"ату"а(а. На$ин инте,"а'ије /"ика)аће е на /"и(е"у линијко, инте,"ала:

Функ'ија е (о&е а/"оки(и"ати /олино(о( т"еће, "е!а (2n – 1), n=2, тј.

b#9% = g0 +g1 9 +g2 92 +g3 93 тако !а је инте,"ал h /оле не/о"е!не инте,"а'ије h = U b#9%Y 9 = $ g,-, 0+ .K g2 В"е!нот ово, инте,"ала (о&е е о!"е!ити и ну(е"и$ки као:

h = i : b#9:% =jb#−_% + b#+_%e k = $ # g0

+g2

_2

%

Ра)лика и)(е*у инте,"ала "а$унато, не/о"е!но( инте,"а'ијо( и ну(е"и$ки

т"е2а !а 2у!е (ини(ална, тако ће(о о!"е!ити не/о)нате кое#и'ијенте:

l=$j#g0+ ,K g2% − # g0 +g2 _2 %k И) улова (ини(у(а ле!и:

lmn = 0 > 1 − = 0 > = 1 lm. = 0

>

,K − _2

= 0 >

_ = ,oK

У на-е( лу$ају и(а(о !вот"уки, /ов"-инки, инте,"ал:

U U b#96 ;% pY9Y; = i i : q b#9:6;q% p#9:6;q%def,dsf,,-,,-, , ,!е је в"е!нот w i и w j је!нака 1, а ,"ани'е ну(е"и$ке инте,"а'ије е к"ећу о! _i,j=+/- ,oK.Гауову инте,"а'ију /"и(енили (о у /"о,"а(ко( /акету Мatlab и тако (о !о-ли

!о (ат"и'а к"утоти.


13/65

13

2. Matlab

2.1 Аналитичко ре"ење (Matlab)

%----------------------- interpolacione funkcije ------------------------

syms ksi eta a b;

N1=1/4*(1-ksi)*(1-eta);

N2=1/4*(1+ksi)*(1-eta);

N3=1/4*(1+ksi)*(1+eta);

N4=1/4*(1-ksi)*(1+eta);

N=[N1 0 N2 0 N3 0 N4 0;

0 N1 0 N2 0 N3 0 N4];

r1*=5.625;

r2*=6.875;

r3*=8.125;

r4*=9.375;

%-------------------------formiranje matrica B ----------------------------

B1=[diff(N1,ksi)/a 0 diff(N2,ksi)/a 0

diff(N3,ksi)/a 0 diff(N4,ksi)/a 0 ;

0 diff(N1,eta)/b 0 diff(N2,eta)/b 0

diff(N3,eta)/b 0 diff(N4,eta)/b;

1/(rm1+a*ksi)*N1 0 1/(rm1+a*ksi)*N2 0

1/(rm1+a*ksi)*N3 0 1/(rm1+a*ksi)*N4 0 ;

diff(N1,eta)/b diff(N1,ksi)/a diff(N2,eAta)/b diff(N2,ksi)/a

diff(N3,eta)/b diff(N3,ksi)/a diff(N4,eta)/b diff(N4,ksi)/a;]




14/65

14



1/(rm2+a*ksi)*N1 0 1/(rm2+a*ksi)*N2 01/(rm2+a*ksi)*N3 0 1/(rm2+a*ksi)*N4 0 ;

diff(N1,eta)/b diff(N1,ksi)/a diff(N2,eta)/b diff(N2,ksi)/a






1/(rm3+a*ksi)*N1 0 1/(rm3+a*ksi)*N2 0

1/(rm3+a*ksi)*N3 0 1/(rm3+a*ksi)*N4 0 ;







1/(rm4+a*ksi)*N1 0 1/(rm4+a*ksi)*N2 0

1/(rm4+a*ksi)*N3 0 1/(rm4+a*ksi)*N4 0 ;



J=[a 0;

0 b];

%-------------------formiranje transponovanih matrica B--------------------

Bt1=[a a a a;

a a a a;

a a a a;

a a a a;

a a a a;

a a a a;


15/65

15

a a a a;

a a a a];

Bt2=Bt1;

Bt3=Bt1;

Bt4=Bt1;

for i=1:8

for j=1:4

Bt1(i,j)=B1(j,i);

end

end

for i=1:8

for j=1:4

Bt2(i,j)=B2(j,i);

end

end

for i=1:8

for j=1:4

Bt3(i,j)=B3(j,i);

end

end

for i=1:8

for j=1:4

Bt4(i,j)=B4(j,i);

end


16/65

16

end

%---------------formiranje matrice materijala---------------------

syms E ni konst;

konst=E/((1+ni)*(1-2*ni));

D=[1-ni ni ni 0;

ni 1-ni ni 0;

ni ni 1-ni 0;

0 0 0 (1-2*ni)/2;]

D=konst*D;

%-------------formiranje podintegralnih funkcija----------------

K1=Bt1*D*B1*(r1*+a*ksi)*2*pi*det(J);

disp(K1);


disp(K2);


disp(K3);


disp(K4);

%---------------------Gauss-ova integracija--------------------------

ni=0.2;

a=0.625;

b=0.5;

a1=1/sqrt(3);

E=10^2;

I1=zeros(8,8);

for i=1:4

switch i


17/65

17

case 1

ksi=-a1;

eta=-a1;

f1=subs(K1);

case 2

ksi=a1;

eta=-a1;

f2=subs(K1);

case 3

ksi=a1;

eta=a1;

f3=subs(K1);

case 4

ksi=-a1;

eta=a1;

f4=subs(K1);

end

end

I1=(f1+f2+f3+f4);

I1=subs(I1);

disp(I1);

I2=zeros(8,8);

for i=1:4

switch i

case 1


18/65

18

ksi=-a1;

eta=-a1;

f1=subs(K2);

case 2

ksi=a1;

eta=-a1;

f2=subs(K2);

case 3

ksi=a1;

eta=a1;

f3=subs(K2);

case 4

ksi=-a1;

eta=a1;

f4=subs(K2);

end

end

I2=(f1+f2+f3+f4);

I2=subs(I2);

disp(I2);

I3=zeros(8,8);

for i=1:4

switch i

case 1

ksi=-a1;


19/65


20/65

20

f1=subs(K4);

case 2

ksi=a1;

eta=-a1;

f2=subs(K4);

case 3

ksi=a1;

eta=a1;

f3=subs(K4);

case 4

ksi=-a1;

eta=a1;

f4=subs(K4);

end

end

I4=(f1+f2+f3+f4);

I4=subs(I4);

disp(I4);

%--------------------------kraj---------------------------------


21/65

21

3. Резултати из Еxcela

3.1 #оасонов кое$ицијент 0.2

Мат"и'е к"утоти:

1 11 2 12 3 13 4 14

1586,794 554,506 -731,747 -118,173 -826,068 -590,867 -75,859 154,534 1

554,506 1938,043 127,264 425,424 -636,318 -1014,473 -154,534 -1348,994 11

-731,747 127,264 1769,403 -672,679 -86,819 -90,903 -826,068 636,318 2

K1= -118,173 425,424 -672,679 2119,848 90,903 -1530,799 590,867 -1014,473 12

-826,068 -636,318 -86,819 90,903 1769,403 672,679 -731,747 -127,264 3

-590,867 -1014,473 -90,903 -1530,799 672,679 2119,848 118,173 425,424 13

-75,859 -154,534 -826,068 590,867 -731,747 118,173 1586,794 -554,506 4

154,534 -1348,994 636,318 -1014,473 -127,264 425,424 -554,506 1938,043 14

2 12 5 15 6 16 3 13

1952,374 690,859 -897,864 -145,444 -1011,391 -727,221 -97,600 181,805 2

690,859 2388,919 154,534 519,963 -772,672 -1239,911 -181,805 -1668,971 12

-897,864 154,534 2135,620 -809,033 -108,242 -118,173 -1011,391 772,672 5

K2= -145,444 519,963 -809,033 2570,725 118,173 -1850,776 727,221 -1239,911 15

-1011,391 -772,672 -108,242 118,173 2135,620 809,033 -897,864 -154,534 6

-727,221 -1239,911 -118,173 -1850,776 809,033 2570,725 145,444 519,963 16

-97,600 -181,805 -1011,391 727,221 -897,864 145,444 1952,374 -690,859 3

181,805 -1668,971 772,672 -1239,911 -154,534 519,963 -690,859 2388,919 13


22/65

22

Мат"и'а к"утототи Кnn:

Мат"и'а ила у) не/о)ната /о(е"а+а:

5 15 7 17 8 18 6 16

2319,070 827,213 -1063,490 -172,715 -1196,470 -863,574 -118,782 209,076 5

827,213 2839,796 181,805 614,501 -909,026 -1465,349 -209,076 -1988,948 15

-1063,490 181,805 2502,682 -945,387 -129,242 -145,444 -1196,470 909,026 7K3= -172,715 614,501 -945,387 3021,601 145,444 -2170,753 863,574 -1465,349 17

-1196,470 -909,026 -129,242 145,444 2502,682 945,387 -1063,490 -181,805 8

-863,574 -1465,349 -145,444 -2170,753 945,387 3021,601 172,715 614,501 18

-118,782 -209,076 -1196,470 863,574 -1063,490 172,715 2319,007 -827,213 6

209,076 -1988,948 909,026 -1465,349 -181,805 614,501 -827,213 2839,796 16

7 17 9 19 10 20 8 18

2686,420 963,567 -1228,823 -199,986 -1381,402 -999,928 -139,638 236,347 7

963,567 3290,673 209,076 709,040 -1045,379 -1690,788 -236,347 -2308,925 17

-1228,823 209,076 2870,262 -1081,741 -149,982 -172,715 -1381,402 1045,379 9K4= -199,986 709,040 -1081,741 3472,478 172,715 -2490,730 999,928 -1690,788 19

-1381,402 -1045,379 -149,982 172,715 2870,262 1081,741 -1228,823 -209,076 10

-999,928 -1690,788 -172,715 -2490,730 1081,741 3472,478 199,986 709,040 20

-139,638 -236,347 -1381,402 999,928 -1228,823 199,986 2686,420 -963,567 8

236,347 -2308,925 1045,379 -1690,788 -209,076 709,040 -963,567 3290,673 18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1586,794 -731,747 -826,068 -75,859 0 0 0 0 0 0 1

-731,747 3721,777 -184,419 -826,068 -897,864 -1011,391 0 0 0 0 2

-826,068 -184,419 3721,777 -731,747 -1011,391 -897,864 0 0 0 0 3

-75,859 -826,068 -731,747 1586,794 0 0 0 0 0 0 4

Knn= 0 -897,864 -1011,391 0 4454,690 -227,024 -1063,490 -1196,470 0 0 5

0 -1011,391 -897,864 0 -227,024 4454,627 -1196,470 -1063,490 0 0 6

0 0 0 0 -1063,490 -1196,470 5189,103 -268,879 -1228,823 -1381,402 7

0 0 0 0 -1196,470 -1063,490 -268,879 5189,103 -1381,402 -1228,823 8

0 0 0 0 0 0 -1228,823 -1381,402 2870,262 -149,982 9

0 0 0 0 0 0 -1381,402 -1228,823 -149,982 2870,262 10

0,157080 1

0 20 3

0,157080 4

Pn= 0 5

0 6

0 7

0 8

0 9

0 10


23/65

23

Не/о)ната /о(е"а+а:

Мат"и'е B )а /"ви кона$ни еле(ент:

0,000913 1

0,000785 2

0,000785 3

0,000913 4

qn= 0,000709 5

0,000709 6

0,000664 7

0,000664 8

0,000637 9

0,000637 10

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B1A= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0,2 0 0 0 0 0 0 0

-1 -0,8 0 0,8 0 0 1 0

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B1B= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0,16 0 0 0 0 0

0 -0,8 -1 0,8 1 0 0 0

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0B1C= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0 0 0,16 0 0 0

0 0 -1 0 1 0,8 0 -0,8

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B1D= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0,2 0

-1 0 0 0 0 0,8 1 -0,8


24/65

24

Мат"и'е В )а !"у,и кона$ни еле(ент:

Мат"и'е В )а т"ећи кона$ни еле(ент:

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B2A= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0,16 0 0 0 0 0 0 0

-1 -0,8 0 0,8 0 0 1 0

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B2B= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0,13333333 0 0 0 0 0

0 -0,8 -1 0,8 1 0 0 0

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B2C= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0 0 0,13333333 0 0 0

0 0 -1 0 1 0,8 0 -0,8

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B2D= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0,16 0

-1 0 0 0 0 0,8 1 -0,8

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B3A= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0,13333333 0 0 0 0 0 0 0

-1 -0,8 0 0,8 0 0 1 0

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B3B= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0,11428571 0 0 0 0 0

0 -0,8 -1 0,8 1 0 0 0


25/65

25

Мат"и'е В )а $етв"ти кона$ни еле(ент:

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B3C= 0 0 0 -1 0 1 0 00 0 0 0 0,11428571 0 0 0

0 0 -1 0 1 0,8 0 -0,8

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B3D= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0,13333333 0

-1 0 0 0 0 0,8 1 -0,8

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B4A= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0,11428571 0 0 0 0 0 0 0

-1 -0,8 0 0,8 0 0 1 0

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B4B= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0,1 0 0 0 0 0

0 -0,8 -1 0,8 1 0 0 0

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B4C= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0 0 0,1 0 0 0

0 0 -1 0 1 0,8 0 -0,8

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B4D= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0,11428571 0

-1 0 0 0 0 0,8 1 -0,8


26/65

26

Мат"и'а елати$ни0 контанти (ате"ијала:

3.1.1 #рви коначни елемент

По(е"а+а $во"ова кона$но, еле(ента [m]:

Дилата'ије у $во"ови(а кона$но, еле(ента:

111,111 27,778 27,778 0

27,778 111,111 27,778 0

D= 27,778 27,778 111,111 0

0 0 0 41,667

0,000913 1

0 110,000785 2

0 12

q1= 0,000785 3

0 13

0,000913 4

0 14

-0,00010266 εr

0 εz

ε1A= 0,00018268 εθ

1,577E-11 γrz

-0,00010266 εr

0 εz

ε1B= 0,00012561 εθ

-2,7799E-10 γrz


27/65

27

На/они у $во"ови(а кона$но, еле(ента [KN/m]:

3.1.2 Дру!и коначни елемент



-0,00010266 εr

0 εz

ε1C= 0,00012561 εθ

-2,7799E-10 γrz

-0,00010266 εr

0 εz

ε1D= 0,00018268 εθ

1,577E-11 γrz

-0,00633174 σr

0,00222292 σz

σ1A= 0,01744635 σθ

6,5709E-10 τrz

-0,00791695 σr

0,00063772 σz

σ1B= 0,01110552 σθ

-1,1583E-08 τrz

-0,00791697 σr

0,00063771 σz

σ1C= 0,01110551 σθ

-1,1583E-08 τrz

-0,00633177 σr

0,00222292 σz

σ1D= 0,01744634 σθ

6,5709E-10 τrz

0,000785 2

0 12

0,000709 5

0 15

q2= 0,000709 6

0 16

0,000785 3

0 13

-6,0642E-05 εr

0 εz

ε2A= 0,00012561 εθ

-2,7799E-10 γrz

-6,0642E-05 εr

0 εz

ε2B= 9,4571E-05 εθ

9,5518E-09 γrz


28/65

28


3.1.3 %ре&и коначни елемент



-6,0634E-05 εr

0 εz

ε2C= 9,4572E-05 εθ

9,5518E-09 γrz

-6,0634E-05 εr

0 εz

ε2D= 0,00012561 εθ

-2,7799E-10 γrz

-0,00324872 σr

0,00180477 σz

σ2A= 0,01227258 σθ

-1,1583E-08 τrz

-0,00411101 σr

0,00094248 σz

σ2B= 0,0088234 σθ

3,9799E-07 τrz

-0,0041101 σr

0,00094273 σz

σ2C= 0,00882376 σθ

3,9799E-07 τrz

-0,00324785 σr

0,00180499 σz

σ2D= 0,0122728 σθ

-1,1583E-08 τrz

0,000709 5

0 15

0,000664 7

0 17

q3= 0,000664 8

0 18

0,000709 6

0 16


29/65

29


3.1.4 'етврти коначни елемент


-3,6556E-05 εr

0 εz

ε3A= 9,4571E-05 εθ

9,5518E-09 γrz

-3,6556E-05 εr

0 εz

ε3B= 7,5839E-05 εθ

-2,3305E-10 γrz

-3,6564E-05 εr

0 εz

ε3C= 7,5839E-05 εθ

-2,3305E-10 γrz

-3,6564E-05 εr

0 εz

ε3D= 9,4572E-05 εθ

9,5518E-09 γrz

-0,00143483 σr

0,00161152 σz

σ3A= 0,00949245 σθ

3,9799E-07 τrz

-0,00195517 σr

0,00109118 σz

σ3B= 0,00741106 σθ

-9,7105E-09 τrz

-0,00143566 σr

0,00161134 σz

σ3D= 0,00949237 σθ

3,9799E-07 τrz

-0,00195604 σr

0,00109096 σz

σ3C= 0,00741084 σθ

-9,7105E-09 τrz


30/65

30



0,000664 7

0 17

0,000637 9

0 19

q4= 0,000637 10

0 20

0,000664 8

0 18

-2,1477E-05 εr

0 εz

ε4A= 7,5839E-05 εθ

-2,3305E-10 γrz

-2,1477E-05 εr

0 εz

ε4B= 6,3674E-05 εθ

1,1774E-11 γrz

-2,1477E-05 εr

0 εz

ε4C= 6,3674E-05 εθ

1,1774E-11 γrz

-2,1477E-05 εr

0 εz

ε4D= 7,5839E-05 εθ

-2,3305E-10 γrz

-0,00027976 σr

0,00151003 σz

σ4A= 0,00782992 σθ

-9,7105E-09 τrz

-0,00061766 σr

0,00117213 σz

σ4B= 0,00647831 σθ

4,9056E-10 τrz

-0,00061764 σr

0,00117213 σz

σ4C= 0,00647831 σθ

4,9056E-10 τrz

-0,00027974 σr

0,00151004 σz

σ4D= 0,00782992 σθ

-9,7105E-09 τrz


31/65


32/65

32




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1704,952 -975,038 -912,314 50,086 0 0 0 0 0 0 1-975,038 4115,748 169,897 -912,314 -1195,962 -1117,174 0 0 0 0 2

-912,314 169,897 4115,748 -975,038 -1117,174 -1195,962 0 0 0 0 3

50,086 -912,314 -975,038 1704,952 0 0 0 0 0 0 4

Knn= 0 -1195,962 -1117,174 0 4925,034 196,946 -1416,291 -1321,738 0 0 5

0 -1117,174 -1195,962 0 196,946 4925,034 -1321,738 -1416,291 0 0 6

0 0 0 0 -1416,291 -1321,738 5736,138 224,902 -1636,265 -1526,124 7

0 0 0 0 -1321,738 -1416,291 224,902 5736,138 -1526,124 -1636,265 8

0 0 0 0 0 0 -1636,265 -1526,124 3222,949 148,293 9

0 0 0 0 0 0 -1526,124 -1636,265 148,293 3222,949 10

0,157080 1

0 2

0 3

0,157080 4

Pn= 0 5

0 6

0 7

0 8

0 9

0 10

0,000944 1

0,000794 2

0,000794 3

0,000944 4

qn= 0,000702 5

0,000702 6

0,000642 7

0,000642 8

0,000602 9

0,000602 10


33/65

33



-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B1A= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0,2 0 0 0 0 0 0 0

-1 -0,8 0 0,8 0 0 1 0

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B1B= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0,16 0 0 0 0 0

0 -0,8 -1 0,8 1 0 0 0

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B1C= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0 0 0,16 0 0 0

0 0 -1 0 1 0,8 0 -0,8

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B1D= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0,2 0-1 0 0 0 0 0,8 1 -0,8

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B2A= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0,16 0 0 0 0 0 0 0

-1 -0,8 0 0,8 0 0 1 0

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B2B= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0,13333333 0 0 0 0 0

0 -0,8 -1 0,8 1 0 0 0


34/65

34


0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B2C= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0 0 0,13333333 0 0 0

0 0 -1 0 1 0,8 0 -0,8

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B2D= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0,16 0

-1 0 0 0 0 0,8 1 -0,8

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B3A= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0,13333333 0 0 0 0 0 0 0

-1 -0,8 0 0,8 0 0 1 0

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B3B= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0,11428571 0 0 0 0 00 -0,8 -1 0,8 1 0 0 0

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B3C= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0 0 0,11428571 0 0 0

0 0 -1 0 1 0,8 0 -0,8

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B3D= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0,13333333 0

-1 0 0 0 0 0,8 1 -0,8


35/65

35



-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B4A= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0,11428571 0 0 0 0 0 0 0

-1 -0,8 0 0,8 0 0 1 0

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B4B= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0,1 0 0 0 0 0

0 -0,8 -1 0,8 1 0 0 0

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B4C= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0 0 0,1 0 0 0

0 0 -1 0 1 0,8 0 -0,8

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B4D= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0,11428571 0-1 0 0 0 0 0,8 1 -0,8

134,615 57,692 57,692 0

57,692 134,615 57,692 0

D= 57,692 57,692 134,615 00 0 0 38,462


36/65

36





0,000944 1

0 11

0,000794 2

0 12

q1= 0,000794 3

0 13

0,000944 4

0 14

-0,00011952 εr

0 εz

ε1A= 0,00018877 εθ

-2,1684E-19 γrz

-0,00011952 εr

0 εz

ε1B= 0,00012711 εθ

0 γrz

-0,00011952 εr

0 εz

ε1C= 0,00012711 εθ

0 γrz

-0,00011952 εr

0 εz

ε1D= 0,00018877 εθ

-2,1684E-19 γrz

-0,00519837 σr

0,00399524 σz

σ1A= 0,01851583 σθ

-8,34E-18 τrz

-0,00875549 σr

0,00043811 σz

σ1B= 0,01021586 σθ

0 τrz

-0,00875549 σr

0,00043811 σz

σ1C= 0,01021586 σθ

0 τrz

-0,00519837 σr

0,00399524 σz

σ1D= 0,01851583 σθ

-8,34E-18 τrz


37/65

37





0,000794 2

0 12

0,000702 5

0 15

q2= 0,000702 6

0 16

0,000794 3

0 13

-7,412E-05 εr

0 εz

ε2A= 0,00012711 εθ

0 γrz

-7,412E-05 εr

0 εz

ε2B= 9,3572E-05 εθ

-1,0842E-19 γrz

-7,412E-05 εr

0 εz

ε2C= 9,3572E-05 εθ

-1,0842E-19 γrz

-7,412E-05 εr

0 εz

ε2D= 0,00012711 εθ

0 γrz

-0,00264432 σr

0,00305718 σz

σ2A= 0,01283494 σθ

0 τrz

-0,00457923 σr

0,00112228 σz

σ2B= 0,00832015 σθ

-4,17E-18 τrz


38/65

38





-0,00457923 σr

0,00112228 σz

σ2C= 0,00832015 σθ

-4,17E-18 τrz

-0,00264432 σr

0,00305718 σz

σ2D= 0,01283494 σθ

0 τrz

0,000702 5

0 15

0,000642 7

0 17

q3= 0,000642 8

0 18

0,000702 6

0 16

-4,8097E-05 εr

0 εz

ε3A= 9,3572E-05 εθ

-1,0842E-19 γrz

-4,8097E-05 εr

0 εz

ε3B= 7,3334E-05 εθ

0 γrz

-4,8097E-05 εr

0 εz

ε3C= 7,3334E-05 εθ

0 γrz

-4,8097E-05 εr

0 εz

ε3D= 9,3572E-05 εθ

-1,0842E-19 γrz

-0,00107617 σr

0,00262359 σz

σ3A= 0,00982146 σθ

-4,17E-18 τrz

-0,00224377 σr

0,00145599 σz

σ3B= 0,00709706 σθ

0 τrz


39/65

39





-0,00224377 σr

0,00145599 σz

σ3C= 0,00709706 σθ

0 τrz

-0,00107617 σr

0,00262359 σz

σ3D= 0,00982146 σθ

-4,17E-18 τrz

0,000642 7

0 17

0,000602 9

0 19

q4= 0,000602 10

0 20

0,000642 8

0 18

-3,1802E-05 εr

0 εz

ε4A= 7,3334E-05 εθ

0 γrz

-3,1802E-05 εr

0 εz

ε4B= 6,0192E-05 εθ

0 γrz

-3,1802E-05 εr

0 εz

ε4C= 6,0192E-05 εθ

0 γrz

-3,1802E-05 εr

0 εz

ε4D= 7,3334E-05 εθ

0 γrz


40/65

40

3.3 #оасонов кое$ицијент 0.4999

Мат"и'е к"утоти:

-5,0246E-05 σr

0,00239607 σz

σ4A= 0,00803714 σθ

0 τrz

-0,00080844 σr

0,00163788 σz

σ4B= 0,00626802 σθ

0 τrz

-0,00080844 σr

0,00163788 σz

σ4C= 0,00626802 σθ

0 τrz

-5,0246E-05 σr

0,00239607 σz

σ4D= 0,00803714 σθ

0 τrz

1 11 2 12 3 13 4 14

1250072,868 1200037,496 -1557984,531 1417607,292 -779360,445 -1418174,562 624340,983 -1199470,227 1

1200037,496 2318947,772 -1526654,007 1227197,721 -1527264,913 -1227668,991 1199470,227 -2318476,501 11

-1557984,531 -1526654,007 1945280,412 -1745401,979 971862,937 1744791,073 -779360,445 1527264,913 2

K1= 1417607,292 1227197,721 -1745401,979 2591728,194 -1744791,073 -2591256,924 1418174,562 -1227668,991 12

-779360,445 -1527264,913 971862,937 -1744791,073 1945280,412 1745401,979 -1557984,531 1526654,007 3

-1418174,562 -1227668,991 1744791,073 -2591256,924 1745401,979 2591728,194 -1417607,292 1227197,721 13

624340,983 1199470,227 -779360,445 1418174,562 -1557984,531 -1417607,292 1250072,868 -1200037,496 4

-1199470,227 -2318476,501 1527264,913 -1227668,991 1526654,007 1227197,721 -1200037,496 2318947,772 14

2 12 5 15 6 16 3 13

1594111,725 1527308,549 -1909464,374 1744747,437 -955182,185 -1745445,615 796196,776 -1526610,371 2

1527308,549 2864578,435 -1853794,152 1499908,326 -1854535,966 -1500484,323 1526610,371 -2864002,437 12

-1909464,374 -1853794,152 2290275,826 -2072673,032 1144197,009 2071931,217 -955182,185 1854535,966 5

K2= 1744747,437 1499908,326 -2072673,032 3137358,857 -2071931,217 -3136782,860 1745445,615 -1500484,323 15

-955182,185 -1854535,966 1144197,009 -2071931,217 2290275,826 2072673,032 -1909464,374 1853794,152 6

-1745445,615 -1500484,323 2071931,217 -3136782,860 2072673,032 3137358,857 -1744747,437 1499908,326 16

796196,776 1526610,371 -955182,185 1745445,615 -1909464,374 -1744747,437 1594111,725 -1527308,549 3-1526610,371 -2864002,437 1854535,966 -1500484,323 1853794,152 1499908,326 -1527308,549 2864578,435 13

5 15 7 17 8 18 6 16

1939826,636 1854579,602 -2260208,085 2071887,581 -1130635,858 -2072716,668 968890,596 -1853750,515 5

1854579,602 3410209,097 -2180934,296 1772618,931 -2181807,019 -1773299,654 1853750,515 -3409528,374 15

-2260208,085 -2180934,296 2636539,716 -2399944,085 1317165,318 2399071,362 -1130635,858 2181807,019 7

K3= 2071887,581 1772618,931 -2399944,085 3682989,520 -2399071,362 -3682308,796 2072716,668 -1773299,654 17

-1130635,858 -2181807,019 1317165,318 -2399071,362 2636539,716 2399944,085 -2260208,085 2180934,296 8

-2072716,668 -1773299,654 2399071,362 -3682308,796 2399944,085 3682989,520 -2071887,581 1772618,931 18

968890,596 1853750,515 -1130635,858 2072716,668 -2260208,085 -2071887,581 1939826,636 -1854579,602 6

-1853750,515 -3409528,374 2181807,019 -1773299,654 2180934,296 1772618,931 -1854579,602 3410209,097 16


41/65

41




7 17 9 19 10 20 8 18

2286522,895 2181850,655 -2610512,368 2399027,726 -1305869,817 -2399987,721 1142075,090 -2180890,660 72181850,655 3955839,760 -2508074,440 2045329,535 -2509078,072 -2046114,986 2180890,660 -3955054,310 17

-2610512,368 -2508074,440 2983579,971 -2727215,137 1490521,810 2726211,506 -1305869,817 2509078,072 9

K4= 2399027,726 2045329,535 -2727215,137 4228620,183 -2726211,506 -4227834,732 2399987,721 -2046114,986 19

-1305869,817 -2509078,072 1490521,810 -2726211,506 2983579,971 2727215,137 -2610512,368 2508074,440 10

-2399987,721 -2046114,986 2726211,506 -4227834,732 2727215,137 4228620,183 -2399027,726 2045329,535 20

1142075,090 2180890,660 -1305869,817 2399987,721 -2610512,368 -2399027,726 2286522,895 -2181850,655 8

-2180890,660 -3955054,310 2509078,072 -2046114,986 2508074,440 2045329,535 -2181850,655 3955839,760 18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1250072,868 -1557984,531 -779360,445 624340,983 0 0 0 0 0 0 1

-1557984,531 3539392,138 1768059,714 -779360,445 -1909464,374 -955182,185 0 0 0 0 2

-779360,445 1768059,714 3539392,138 -1557984,531 -955182,185 -1909464,374 0 0 0 0 3

624340,983 -779360,445 -1557984,531 1250072,868 0 0 0 0 0 0 4

Knn= 0 -1909464,374 -955182,185 0 4230102,462 2113087,604 -2260208,085 -1130635,858 0 0 5

0 -955182,185 -1909464,374 0 2113087,604 4230102,462 -1130635,858 -2260208,085 0 0 6

0 0 0 0 -2260208,085 -1130635,858 4923062,611 2459240,408 -2610512,368 -1305869,817 7

0 0 0 0 -1130635,858 -2260208,085 2459240,408 4923062,611 -1305869,817 -2610512,368 8

0 0 0 0 0 0 -2610512,368 -1305869,817 2983579,971 1490521,810 9

0 0 0 0 0 0 -1305869,817 -2610512,368 1490521,810 2983579,971 10

0,157080 1

0 2

0 3

0,157080 4

Pn= 0 5

0 6

0 7

0 80 9

0 10


42/65

42


0,000059 1

0,000048 2

0,000048 3

0,000059 4

qn= 0,000040 5

0,000040 6

0,000034 7

0,000034 8

0,000030 9

0,000030 10

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B1A= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0,2 0 0 0 0 0 0 0

-1 -0,8 0 0,8 0 0 1 0

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B1B= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0,16 0 0 0 0 0

0 -0,8 -1 0,8 1 0 0 0

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0B1C= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0 0 0,16 0 0 0

0 0 -1 0 1 0,8 0 -0,8

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B1D= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0,2 0

-1 0 0 0 0 0,8 1 -0,8


43/65

43



-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B2A= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0,16 0 0 0 0 0 0 0

-1 -0,8 0 0,8 0 0 1 0

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B2B= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0,13333333 0 0 0 0 0

0 -0,8 -1 0,8 1 0 0 0

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B2C= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0 0 0,13333333 0 0 0

0 0 -1 0 1 0,8 0 -0,8

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B2D= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0,16 0

-1 0 0 0 0 0,8 1 -0,8

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B3A= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0,13333333 0 0 0 0 0 0 0

-1 -0,8 0 0,8 0 0 1 0

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B3B= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0,11428571 0 0 0 0 0

0 -0,8 -1 0,8 1 0 0 0


44/65

44


0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B3C= 0 0 0 -1 0 1 0 00 0 0 0 0,11428571 0 0 0

0 0 -1 0 1 0,8 0 -0,8

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B3D= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0,13333333 0

-1 0 0 0 0 0,8 1 -0,8

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B4A= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0,11428571 0 0 0 0 0 0 0

-1 -0,8 0 0,8 0 0 1 0

-0,8 0 0,8 0 0 0 0 0

B4B= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0,1 0 0 0 0 0

0 -0,8 -1 0,8 1 0 0 0

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B4C= 0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0 0 0,1 0 0 0

0 0 -1 0 1 0,8 0 -0,8

0 0 0 0 0,8 0 -0,8 0

B4D= 0 -1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0,11428571 0

-1 0 0 0 0 0,8 1 -0,8


45/65

45






166711,1141 166644,443 166644,443 0

166644,443 166711,1141 166644,443 0

D= 166644,443 166644,443 166711,1141 0

0 0 0 33,3355557

0,000059 1

0 11

0,000048 2

0 12

q1= 0,000048 3

0 13

0,000059 4

0 14

-9,477E-06 εr

0 εz

ε1A= 1,1895E-05 εθ

-3,361E-18 γrz

-9,477E-06 εr

0 εz

ε1B= 7,6202E-06 εθ

-2,6427E-18 γrz

-9,477E-06 εr

0 εz

ε1C= 7,6202E-06 εθ

-2,6427E-18 γrz

-9,477E-06 εr

0 εz

ε1D= 1,1895E-05 εθ

-3,361E-18 γrz


46/65

46




0,40223435 σr

0,40286619 σz

σ1A= 0,40365921 σθ

-1,1204E-16 τrz

-0,31005719 σr

-0,30942535 σz

σ1B= -0,3089173 σθ

-8,8097E-17 τrz

-0,31005719 σr

-0,30942535 σz

σ1C= -0,3089173 σθ

-8,8097E-17 τrz

0,40223435 σr

0,40286619 σz

σ1D= 0,40365921 σθ

-1,1204E-16 τrz

0,000048 2

0 12

0,000040 5

0 15

q2= 0,000040 6

0 16

0,000048 3

0 13

-6,3299E-06 εr

0 εz

ε2A= 7,6202E-06 εθ

-2,6427E-18 γrz

-6,3299E-06 εr

0 εz

ε2B= 5,2952E-06 εθ

-2,1752E-18 γrz

-6,3299E-06 εr

0 εz

ε2C= 5,2952E-06 εθ

-2,1752E-18 γrz

-6,3299E-06 εr

0 εz

ε2D= 7,6202E-06 εθ

-2,6427E-18 γrz


47/65

47





0,2146047 σr

0,21502672 σz

σ2A= 0,21553477 σθ

-8,8097E-17 τrz

-0,17284765 σr

-0,17242562 σz

σ2B= -0,17207259 σθ

-7,2511E-17 τrz

-0,17284765 σr

-0,17242562 σz

σ2C= -0,17207259 σθ

-7,2511E-17 τrz

0,2146047 σr

0,21502672 σz

σ2D= 0,21553477 σθ

-8,8097E-17 τrz

0,000040 5

0 15

0,000034 7

0 17

q3= 0,000034 8

0 18

0,000040 6

0 16

-4,5259E-06 εr

0 εz

ε3A= 5,2952E-06 εθ

-2,1752E-18 γrz

-4,5259E-06 εr

0 εz

ε3B= 3,8922E-06 εθ

-1,8364E-18 γrz

-4,5259E-06 εr

0 εz

ε3C= 3,8922E-06 εθ

-1,8364E-18 γrz

-4,5259E-06 εr

0 εz

ε3D= 5,2952E-06 εθ

-2,1752E-18 γrz


48/65

48





0,12790046 σr

0,12820221 σz

σ3A= 0,12855525 σθ

-7,2511E-17 τrz

-0,10590438 σr

-0,10560264 σz

σ3B= -0,10534314 σθ

-6,1216E-17 τrz

-0,10590438 σr

-0,10560264 σz

σ3C= -0,10534314 σθ

-6,1216E-17 τrz

0,12790046 σr

0,12820221 σz

σ3D= 0,12855525 σθ

-7,2511E-17 τrz

0,000034 7

0 17

0,000030 9

0 19

q4= 0,000030 10

0 20

0,000034 8

0 18

-3,3963E-06 εr

0 εz

ε4A= 3,8922E-06 εθ

-1,8364E-18 γrz

-3,3963E-06 εr

0 εz

ε4B= 2,9811E-06 εθ

-1,606E-18 γrz


49/65

49


-3,3963E-06 εr

0 εz

ε4C= 2,9811E-06 εθ

-1,606E-18 γrz

-3,3963E-06 εr

0 εz

ε4D= 3,8922E-06 εθ

-1,8364E-18 γrz

0,08241617 σr

0,08264261 σz

σ4A= 0,0829021 σθ

-6,1216E-17 τrz

-0,0694068 σr

-0,06918037 σz

σ4B= -0,06898161 σθ

-5,3536E-17 τrz

-0,0694068 σr

-0,06918037 σz

σ4C= -0,06898161 σθ

-5,3536E-17 τrz

0,08241617 σr

0,08264261 σz

σ4D= 0,0829021 σθ

-6,1216E-17 τrz


50/65

50

4. %еоријски (одсетник (лоча на(ре!нути) у својој

равни

За /ло$е о/те"ећене )а/"е(инки( или /ов"-инки( ила(а "авно(е"но "а/о!е1ени( /о !е21ини /ло$е и /а"алелни( "е!+ој "авни, ка&е(о !а у напрегнуте у својој равни.

%ва в"та на/"е)а+а е на)ива "авни( на/"е)а+е(. С"е!+а "аван /ло$е

)а ову в"ту на/"е)а+а отаје "авна и након !е#о"(а'ије. Д"у,и( "е$и(а,

!е#о"(а'ија е о!вија 2е) к"ив1е+а /ло$е.

Равно на/"е)а+е ка"акте"и-у у Дека"тово( коо"!инатно( ите(у

/"ее$не иле: Nx, Ny, Nxy. (лика 1)

С о2)и"о( !а је /"е(а у$и+еној /"ет/отав'и, о/те"еће+е /ло$е

"авно(е"но "а/о!е1ено /о +еној !е21ини, у тео"ији /ло$а на/"е,нути0 у војој

"авни у)и(а е !а у и на/они 5x, 5y и !tu "авно(е"но "а/о"е*ени /о !е21ини /ло$е. С0о!но овој /"ет/отав'и, /"ее$не иле у !ате и)"а)и(а:

Nx= h* 5x Ny= h* 5y Nxy= h* !tu Ито тако /"е!/отав1а е !а у на/они 5z, !v6!zE у 'елој о2лати

и!енти$ки "авни нули. %ви на/они у, вакако, о2)и"о( на то !а онове /ло$е


51/65

51

ниу о/те"ећене, )а z = ± h/2 је!наки нули. Како је !е21ина /ло$е (ала, (о&е е

а "а)ло,о( (ат"ати !а ти на/они и)(е*у онова (o,у и(ати (але в"е!ноти у

/о"е*е+у а отали( ко(/онентални( на/они(а и !а е (о,у )ане(а"ити.

Ве)у и)(е*у /"ее$ни0 ила и /ов"-инко, о/те"еће+а !о2иће(о и) улова

"авноте&е ила које на/а!ају еле(ента"ну /"и)(у ие$ену и) /ло$е а !ве "авни

/а"алелне а xz и !ве "авни /а"алелне а zy.

Потав1ајући улов !а је )2и" ви0 ила у /"ав'у те&и-не ое /а"алелне

x- ои је!нак нули нала)и(о, /оле к"аће+а а dx*dy:

wxx + wxyy + X = 0 Анало,но ово(е улов "авноте&е /"ојек'ија ви0 ила на /"ава' /а"алелан

y- ои !аје:

wyy + wyxx + Y = 0И)је!на$авајући )2и" (о(ената ви0 ила око z ое !о2ија(о:

Nxy = Nyx

%вај и)"а) је !о2"о /о)нати тав о коњугованости смичућих напона. Б"ој

/"ее$ни0 ила већи је )а је!ан о! улова "авноте&е. За!атак је, !"у,и( "е$и(а тати$ки нео!"е*ен и )а +е,ово "е-е+е т"е2а !а "а)(от"и(о и !е#о"(а'ију

/ло$е.


52/65

52

4.1 Метод сила (ри ре"авању (лоча на(ре!нути) у равни

Мето! !е#о"(а'ије ко! /ло$а на/"е,нути0 у војој "авни, )а "а)лику о!

/ло$а на/"е,нути0 на авија+е, није на-ао већу /"и(ену у "е-ава+у /оје!ини0

/"о2ле(а. Ра)ло, )а то ле&и у то(е -то (ето! ила а (ате(ати$ко, ,ле!и-та

/"у&а веће (о,ућноти )а /"акти$но "е-е+е /оје!ини0 )а!атака. %во !ола)и

на"о$ито он!а !о и)"а&аја, ако у ,"ани$ни улови !ати /о ила(а.

Мето! ила је ите( о! т"и је!на$ине, о! који0 у !ве већ /о(енуте и то у

је!на$ине које /"е!тавлјају улов "авноте&е у x и y /"ав'у. За !о2ија+е т"еће

је!на$ине,коју ће(о и)"а)ити /"еко /"ее$ни0 ила Nx, Ny, Nxy, т"е2аће на(

ле!еће је!акоти:

- Контитутивне "ела'ије:

x = ,{∗| ∗ #v − " ∗ }% y = ,{∗| ∗ #} − " ∗ v% z = - {∗| ∗ #}+v%

~xy =

.∗#,R%{∗|

∗ v}

Кине(ати$ке "ела'ије:

x = •x y = €y z = ~xy = •y + €x И) кине(ати$ки0 "ела'ија ле!и улов ко(/ати2илноти !е#о"(а'ија:

‚ƒty‚ + ‚ƒux‚ = ‚„tuxy За(ено( контитутивни0 "ела'ија у ову је!на$ину !о2ија(о т"ећу је!на$ину (ето!е

иле (на/иаће(о ве т"и је!на$ине) :

wxx + wxyy + X = 0wyy + wyxx + Y = 0‚#wx- ∗wy%y‚ + ‚#wy- ∗wx%x‚ = $#1 + "% ‚wtuxy


53/65

53

П"и"о!а ови0 је!на$ина је таква !а е она лако - уво*е+е( тако)ване на/онке

#унк'ије F (Airy-ева #унк'ија) а оо2ино(:

‚…xy = - Nxyи /о! /"ет/отавко( !а е ко(/оненте о/те"еће+а X, Y (о,у и)"а)ити као

/а"'ијални и)во!и неке #унк'ије /отен'ијала U - (о,у лако вети на је!ну

/а"'ијалну !и#е"ен'ијалну је!а$ину $етв"то, "е!а. Дакле:

X= -†x , Y= - †y

Та!а /"ве !ве је!на$ине ,лае:

x # v − ‚…y‚ − ‡ % = 0 > Nx= ‚…y‚ + Uy # } − ‚…x‚ − ‡ % = 0 > Ny= ‚…x‚ + UКа!а у т"ећу је!на$ину унее(о овако !о2ијене и)"а)е )а Nx, Ny:

ˆ…xˆ + 2* ˆ…x‚y‚ + ˆ…yˆ + (1- ")*( ‚†x‚ + ‚†y‚ ) = 0Или к"аће:

l = ‚x‚ + ‚y‚ ll[+ #1 − "%l ‡ = 0 У на-и( /"и(е"и(а /ло$а је о/те"ећена а(о /о конту"и, /а у X и Y је!наки

нули, а евентуална /ов"-инки "а/о!е1ена о/те"еће+а е (о,у /"ика)ати као

тати$ки еквивалентна о/те"еће+а /о конту"и. На онову ово,а е је!на$ина

во!и на:


54/65

54

4.2 Равно на(резање у (оларним координатама

По анало,ији а /"о2ле(о( /ло$е на/"е,нуте на авија+е, !и#е"ен'ијална

је!на$ина на/"е)а+а у "авни и(а ити о2лик . Наи(е, ако у !и#е"ен'ијалну

је!на$ину /ло$е на/"е,нуте на авија+е у(ето #унк'ије w тави(о #унк'ију F

!о2иће(о је!на$ину на/"е)а+а у "авни. З2о, то,а анало,ија /отоји и ко!

авија+а к"у&не /ло$е и на/"е)а+а у "авни ко! к"у&не /ло$е, тј на/"е)а+а у

/ола"ни( коо"!ината(а. Дакле:

Ди#е"ен'ијална је!на$ина авија+а к"у&не /ло$е:

# ‚‚ + , + ,‚ ‚‰‚%#‚‚ + , + ,‚ ‚‰‚% = 0Ди#е"ен'ијална је!на$ина "авно, на/"е)а+а к"у&не /ло$е:

# ‚‚ + , + ,‚ ‚‰‚%#‚…‚ + , … + ,‚ ‚…‰‚% = 0 Анало,ија /отоји и)(е*у !и#е"ен'ијални0 је!на$ина, (е*ути(, не и и)(е*у

/"ее$ни0 ила. По!ети(о е, !а /"ее$не иле у #унк'ији у,и2а )а авија+е у

Дека"тови( коо"!ината(а ,лае:

Mx = -K*(‚x‚ + " ‚y‚) My = -K*(‚y‚ + " ‚x‚) Mxy = -K*(1- ") ‚xy

Tx = -K*(ŠxŠ + Šxy‚) Ty = -K*(ŠyŠ + Šyx‚)

Ви!и(о !а не /отоји ли$нот а #о"(ула(а )а на/"е)а+е у "авни:

Nx =‚…y‚ Ny = ‚…x‚ Nxy = ‚…xy

Зато /"и2е,ава(о ле!еће( /оту/ку - наћиће(о /а"'ијалне и)во!е #унк'ије F /о

x и y и)"а&ене /"еко r и =.


55/65

55

…y = … y + …‰ ‰y== … ‹:Œ+ , …‰ Ž‹…y = y …y = … ‹:Œ+ . …‰ ‹:ŒŽ‹− . …‰ ‹:ŒŽ‹+ , …‰ Ž‹+ , …‰ Ž‹ За = > 0, Nx > Nr , ‘’“” > 1, “4” > 0 и(а(о: = …y = , … + , …‰ За = > –., Nx > N , ‘’“” > 0, “4” > 1 и(а(о:

=…

y =…

На ли$ан на$ин нала)и(о и (е-овит !"у,и и)во! и)"а&ен /"еко r и = тако !а :

За = > 0, Nxy > Nr и(а(о: = − …xy = − , …‰ + , …‰ = − #, …‰%

Слу$ај "ота'ионе и(ет"ије /о!"а)у(ева !а је 'елоку/на (ате(ати$ка

#о"(ула'ија не)авина о! = коо"!инате.

Ди#е"ен'ијална је!на$ина и /"ее$не иле /"и "ота'ионој и(ет"ији:

# —‚—‚ + , ——%#—‚…— ‚ + , —…—% = 0Nr =

, —…— N= = —‚…—‚ Nr= = 0Опште решење диференцијалне једначине :

F = D + A*lnr + B*r2 + C*r2*lnr

A,B,C,D у инте,"а'ионе контанте које о!"*ује(о и) ,"ани$ни0 улова

Коначни изрази за пресечне силе:

Nr = A,‚ + 2*B + C*(1+ 2*lnr)

N= = - A,‚ + 2*B + C*(3+ 2*lnr)

Nr= = 0


56/65

56

5. Aналитичко ре"ење задатка

На-е тело је "ота'ионо и(ет"и$но (ви!ети лику и/о!), виине 1 m,

!е21ине 5 m. З2о, овакве ,ео(ет"ије /о!ећа на /"тенату /ло$у, а како је

тео"ија !е2ели0 1уки )натно ко(/ликованија, "е-е+е ће(о !о2ити /о(ат"ајући

на-е тело као к"у&ну /ло$у а к"у&ни( отво"о(.

Г"ани$ни улови:

r = 5 m r = 10 m

Nr = -10 N/m Nr = 0 N/m

%/-те "е-е+е на/онке #унк'ије F

F = A*lnr + B*r2

И)"а)и )а /"ее$не иле:

Nr =,L*˜™˜L = šL‚ + 2*B

N= =˜™‚

˜L‚ = -

šL‚

+ 2*B

Nr= = 0 ("ота'иона и(ет"ија)

Сите( је!на$ина !о2ијен и) ,"ани$ни0 улова:

›œ‚ + 2*B = -10 N/m > 0.04*A +2*B = -10 / *(-1) > -0.03*A = 10 > A = - 333.3333›,n‚ + 2*B = 0 N/m > 0.01*A + 2*B = 0 > B = 1.6667И)"а)и )а /"ее$не иле а!а ,лае:


57/65

57

Nr = -KKKKKKKL‚ + 3.3333

N= = KKKKKKKL‚ + 3.3333Nr= = 0

И)"а)и )а !е#о"(а'ијке вели$ине:

ε= = ˜L˜ž + ŸL = ŸL εr = ˜Ÿ˜L

r= = 0 ("ота'иона и(ет"ија)Или /"еко унут"а-+и0 ила:ε= = ,¡¢*(N= – £*Nr) εr = ,¡¢*(Nr– £*N=) r= = 0И)"а)и )а /о(е"а+а:

U = r*

ε= =r*

,

¡¢*(N= –

£*Nr)

По-то у !е#о"(а'ијке вели$ине и /о(е"а+а и)"а&ени /"еко /"ее$ни0 ила,

лако !о2ија(о ове вели$ине након !о2ија+а !ија,"а(а )а Nr и N=, који ће 2ити

о!"е*ени у они( та$ка(а ,!е /о$и+у и ,!е е )ав"-авају кона$ни еле(енти, "а!и

лак-е, /о"е*е+а "е)ултата !о2ијени( (ето!о( MKE.

r (m) 5 6,25 7,5 8,75 10

N=(N/m) 16,6666 11,8667 9,2592 7,687 6,6666

Nr(N/m) -10 -5,2 -2,5926 -1,0204 0

v1=0.2 -0,133333 -0,075733 -0,044444 -0,025578 -0,013333

4r(‰) v2=0.3 -0,150000 -0,087600 -0,053704 -0,033265 -0,020000

v3=0.4999 -0,183316 -0,111322 -0,072213 -0,048631 -0,033326v1=0.2 0,186666 0,129067 0,097777 0,078911 0,066666

4=(‰) v2=0.3 0,196666 0,134267 0,100370 0,079931 0,066666v3=0.4999 0,216656 0,144662 0,105552 0,081971 0,066666

v1=0.2 0,933330 0,806669 0,733329 0,690470 0,666660

U(mm) v2=0.3 0,983330 0,839169 0,752774 0,699398 0,666660

v3=0.4999 1,083280 0,904136 0,791643 0,717246 0,666660


58/65

58

(!ија,"а(и ила и /о(е"а+а)


59/65

59

6. *-D Модел у (ро!рамском (акету “TOWER 6 DEMO”

На/"авили (о (о!ел /"тенате к"у&не /ло$е и о/те"етили је о/те"еће+е( о!

10 KN/m2 umesto 10 N/m2, је" /"о,"а( не !о)во1ава уно тако (ало, о/те"еће+а.

Све !о2ијене "е)ултате ће(о у(а+ити 1000 /ута. На лика(а у /"ика)ани ула)ни

/о!а'и о ка"акте"итика(а (ате"ијала и (о!елу уо/-те


60/65

60


61/65

61

6.1 Модел у (ро!рамском (акету “TOWER 6 DEMO”, за #оасонов

кое$ицијент 0.2

На ли'и је /"ика)ан !ија,"а( /о(е"а+а. До2ијено је /о(е"а+е о! 1052.19*10^-6

m.


62/65

62




m.


63/65

63




m.


64/65

64

7. *ак+учак

Ра$унки /"и(е" (о у"а!или на т"и на$ина. Мето!о( кона$ни0 еле(ената,

аналити$ки( /оту/ко( и /о(оћу о#тве"а (тако*е (ето!а кона$ни0 еле(ената).

И)в"-иће(о анали)у !о2ијени0 /о(е"а+а на унут"а-+е( о2и(у )а т"и в"е!ноти

/оаоново, кое#и'ијента.

Поаонов кое#и'ијент 0.2 0.3 0.499Мето! кона$ни0 еле(ената 0.913 mm 0.940 mm 0.060 mm

Аналити$ки /оту/ак 0.930 mm 0.980 mm 1.080 mmСо#тве" 1.052 mm 1.100 mm 1.194 mm


65/65

8. ,итература

1. ''Мето! кона$ни0 еле(ената'', Мио!"а, Секуловић, Г"а*евинка к+и,а,Бео,"а! 1984.

2. https://www.gradst.hr/Portals/9/PropertyAgent/1167/Files/3818/Ravninski%20pro

blemi1.pps

3. https://books.google.rs

mke-rotaciono simerticno telo

Documents