1

Matematike metode u kemiji-ispitna pitanja:

1. Vektorski prostori 1.1 Denicija vektora u geometrijskom smislu. Svojstva zbrajanja vektora i svojstva mnoenja vektora skalarima.

1.2 Vektorski prostor i openita denicija vektora. 1.3 Linearna zavisnost i linearna nezavisnost vektora.

1.4 Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav.

1.5 Element volumena u sfernom polarnom koordinatnom sustavu.

1.6 Skalarni produkt vektora i svojstva. Poopenje skalarnog produkta. 1.7 Vektorski produkt vektora i svojstva.

1.8 Mjeoviti produkt vektora i znaenje. 1.9 Projekcija vektora na pravac. Projekcija vektora na ravninu. Gram-Schmidtov postupak

ortogonalizacije baze.

2. Matrice i determinanta 2.1 Denicija matrice. 2.2 Kvadratna matrica. Glavna dijagonala i trag kvadratne matrice. Primjeri.

2.3 Transponirana matrica. Adjungirana matrica. Primjeri.

2.4 Linearna kombinacija matrica.

2.5 Denicija i svojstva produkta matrica. Komutator kvadratnih matrica. 2.6 Gornja i donja trokutasta matrica. Dijagonalna matrica. Skalarna matrica. Jedinina matrica. Primjeri.

2.7 Simetrina i antisimetrina matrica. Hermitska i antihermitska matrica. Primjeri. 2.8 Regularna i singularna matrica. Ortogonalna matrica. Unitarna matrica.

2.9 Matrini zapis skalarnog produkta u ortonormiranoj i neortonormiranoj bazi. 2.10 Denicija i svojstva determinante.

3. Rang i inverz matrice 3.1 Inverzna matrica. Jednoznanost inverzne matrice. 3.2 Elementarne matrice za permutaciju stupaca (redaka) matrice. Primjeri.

3.3 Elementarne matrice za mnoenje stupca (retka) matrice skalarom. Primjeri. 3.4 Elementarne matrice za dodavanje jednom stupcu (retku) matrice linearne kombinacije

preostalih stupaca (redaka). Primjeri.

3.5 Ekvivalentne matrice.

3.6 Rang matrice. Odreivanje ranga matrice. Jedinstveni reducirani oblik matrice. 3.7 Gauss-Jordanova eliminacija.

3.8 Cramerovo pravilo za odreivanje inverza matrice.

4. Sustavi linearnih jednadbi 4.1 Homogeni i nehomogeni sustav linearnih jednadbi. 4.2 Vektorski i matrini zapis sustava linearnih jednadbi. 4.3 Matrica koecijenata i proirena matrica sustava. 4.4 Rjeenje sustava linearnih jednadbi. Ekvivalentni sustavi linearnih jednadbi. 4.5 Rjeenje homogenog i nehomogenog sustava linearnih jednadbi. Primjeri. 4.6 Geometrijski prikazi rjeenja sustava dviju linearnih jednadbi s dvije nepoznanice. 4.7 Geometrijski prikazi rjeenja sustava od tri linearne jednadbe s tri nepoznanice. 4.8 Gaussova eliminacija i primjena.

2

4.9 Kronecker-Capelli-Rouchov teorem. 4.10 Cramerovo pravilo za odreivanje rjeenja sustava linearnih jednadbi i primjena

5. Vlastiti vektori i vlastite vrijednosti 5.1 Jednadba vlastitih vrijednosti. Vlastita jednadba. Spektar matrice. 5.2 Poveznica izmeu sume svih vlastitih vrijednosti i traga matrice. 5.3 Poveznica izmedu umnoka svih vlastitih vrijednosti i determinante matrice. 5.4 Odreivanje vlastitih vektora. Primjeri. 5.5 Dijagonalizacija matrice.

5.6 Linearna nezavisnost vlastitih vektora. Dokaz.

5.7 Dijagonalizacija matrice s degeneriranim vlastitim vrijednostima.

6. Linearni operatori

6.1 Denicija linearnog operatora. Primjeri. 6.2 Osnovna svojstva mnoenja operatora. 6.3 Komutator operatora. Fizikalno znaenje komutatora operatora. 6.4 Jednadba vlastitih vrijednosti za operatore. 6.5 Srednja ili oekivana vrijednost dinamike varijable ako se sustav nalazi u stanju koje se moe opisati valnom funkcijom koja je vlastita funkcija odgovarajueg operatora. 6.6 Denicija i svojstva hermitskog operatora.

7. Simetrija molekula 7.1 Elementi i operatori simetrije.

7.2 Centar inverzije. Prave i neprave osi simetrije. Primjeri molekula.

7.3 Ravnine simetrije. Primjeri molekula.

7.4 Operatori prave i neprave rotacije. Operator identinosti. Operator inverzije. Operator zrcaljenja.

7.5 Klasikacija molekula po tokinim grupama. Elementi simetrije koje molekule imaju u pojedinim tokinim grupama. 7.6 Dipolni moment molekule u ovisnosti o simetriji. Primjeri.

7.7 Optika aktivnost.

8. Priblini brojevi 8.1 Definicija priblinog broja. 8.2 Apsolutna i relativna pogreka. 8.3 Izvori pogreaka u matematici. 8.4 Kriterij odreivanja broja znaajnih znamenki. 8.5 Tonost i preciznost. 8.6 Pravila zaokruivanja. 8.7 Propagacija pogreke.

9. Nelinearne jednadbe 9.1 Izolacija nultoke. 9.2 Newtonova metoda.

9.3 Metoda sekante.

9.4 Metoda iteracije.

9.5 Metoda raspolavljanja.

10. Teorija vjerojatnosti

3

10.1 Osnovni statistiki pojmovi. 10.2 Definicija a priori, definicija a posteriori.

10.3 Svojstva vjerojatnosti-primjeri.

10.4 Teorem o uzastopnom prebrojavanju.

10.5 Permutacije, varijacije, kombinacije.

10.6 Uvjetna vjerojatnost.

10.7 Bayesov teorem.

11. Osnove statistike

11.1 Definicija i vrste statistike.

11.2 Srednja vrijednost, medijan i mod.

11.3 Varijanca, standardna devijacija.

11.4 Koeficijent varijacije.

12. Diskretna sluajna varijabla 12.1 Sluajna varijabla definicija i primjeri. 12.2 Srednja vrijednost i varijanca diskretne sluajne varijable. 12.3 Bernoullijevi pokusi.

12.4 Hipergeometrijska raspodjela.

12. 5 Binomna raspodjela.

12.6 Poissonova raspodjela.

12.7 Primjer radioaktivnog raspada.

13. Kontinuirana sluajna varijabla 13.1 Kumulativna funkcija raspodjele.

13.2 Funkcija gustoe vjerojatnosti. 13.3 Oekivanje, varijanca, st. devijacija. 13.4 Poetni i centralni moment. 13.5 Uniformna raspodjela.

13.6 Normalna raspodjela.

14. Linearna regresija

14.1 Definicija.

14.2 Metoda najmanjih kvadrata.

14.3 Koeficijent korelacije.