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Mtodos NumricosInterpolacin mediante splinesMsC. Juniel AlmeidaPablo VelsquezProblema de interpolacin localSe utilizan pocos nodos (3 4) para hallar un valor interpolado o para determinar un polinomio interpolador, vlido en un pequeo intervalo. Grficamente Problema localxp(x)Grficamente Grficamente Problema globalUna solucin que a veces sirveConvertir el problema global en varios problemas locales.Una solucin que a veces sirve p1(x)p2(x)p3(x)p4(x)p5(x)Punto anguloso Una mala solucinUtilizar un polinomio interpolador de grado suficientemente alto.Una mala solucin

Una mala solucin

MoralejaLa interpolacin polinomial de grado alto no es una solucin adecuada al problema de interpolacin global. Funcin splineEs una funcin polinomial por tramos que es continua y posee derivadas continuas hasta de un cierto orden.Spline cbico interpoladorEs una funcin polinomial por tramos. Los polinomios que lo componen son de grado menor o igual que tres.Es una funcin continua y posee primera y segunda derivadas continuas.Se emplea como funcin global de interpolacin.Spline cbico interpolador

s(xi) = f(xi) = yi i = 0, 1,..., nCondicin de interpolacin: Spline cbico interpolador

i = 1, 2,..., n-1 Condicin de continuidad: s(x) es continua en xiSpline cbico interpolador

i = 1, 2,..., n-1 Condiciones de suavidad: s(x) y s(x) son continuas en xiCondicionesi = 1, 2,..., n-1 s(xi) = f(xi) = yii = 1, 2,..., n-1 s(x) es continua en xii = 0, 1,..., ns(x) es continua en xis(x) es continua en xii = 1, 2,..., n-1 NotacinMi = s(xi)i = 0,1,2,...,nhi = xi+1 - xii = 0,1,2,...,n-1Segunda derivada de s(x)s(x)M0M1M2Mnx0x1x2xnxNotacinConsidrese el intervalo xi x xi+1i = 0,1,2,...,n-1Segunda derivada de s(x)

Derivada de s(x)

Expresin de s(x)

Evaluando las constantes K1 y K2

La ecuacin del spline cbico

xi x xi+1 Tramo iDerivada laterales en xi

La condicin fundamental

i = 1, 2, ..., n-1El spline natural

i = 1, 2, ..., n-1

El spline natural

Es la funcin interpoladora que minimiza la integral:El spline natural

Haciendo i = 1= 0El spline natural

Haciendo i = 2El spline natural

Haciendo i = 3El spline natural

Haciendo i = n-1= 0El spline natural

0M1M2M3Mn-10

El spline natural=

EjemploCalcular el spline cbico natural correspondiente a los nodos:x y1 22 2,23 34 2,76 2,8El spline natural

Ejemplox y1 22 2,23 34 2,76 2,8h0 = 1h1 = 1h2 = 1h3 = 2y0y1y2y3y4M0 = 0M1 = ?M2 = ?M3 = ?M4 = 0El spline natural

0M1M2M3Mn-10

Ejemplo

M1M2M300=El spline natural=

Ejemplo=

=0,6-1,10,35Ejemplo=0,6-1,10,35M1 = 2,0775M2 = - 2,355M3 = 0,7425M0 = 0M4 = 0

M1M2M300La ecuacin del spline cbico

xi x xi+1 Tramo iEjemplo

x0 x x1 Tramo 0Ejemplo 1 x 2 0,245732 x3 0,737195 x2 + + 0,691463 x + 1,8 Tramo 0Ejemplo

x1 x x2 Tramo 1Ejemplo 2 x 3 - 0,628659 x3 + 4,509146 x2 + - 9,80122 x + 8,795122 Tramo 1Ejemplo

x2 x x3 Tramo 2Ejemplo 3 x 4 0,568902 x3 6,268902 x2 + + 22,532927 x 23,539024 Tramo 2Ejemplo

x3 x x4 Tramo 3Ejemplo 4 x 6 - 0,092988 x3 + 1,673780 x2 + - 9,620732 x + 20,353659 Tramo 3El spline natural: tramo 0

El spline natural: tramo 1

El spline natural: tramo 2

El spline natural: tramo 3

El spline natural

Ejemplo

spline cbico polinomio de grado 4Algoritmo del spline cbico natural x0, x1, x2, ..., xnDistintos y ordenados de menor a mayor. Datos: y0, y1, y2, ..., ynAlgoritmo del spline cbico natural x0, x1, x2, ..., xnDistintos y ordenados de menor a mayor. Datos: y0, y1, y2, ..., yn x [x0, xn]Algoritmo del spline cbico natural for i = 0 to n-1 hi := xi+1 - xi end Formar la matriz H del sistema Formar la matriz Y del sistema Resolver el sistema HM = Y while xi > x do i := i 1 endAlgoritmo del spline cbico natural while xi > x do i := i 1 end u := x xi v := xi+1 x

Algoritmo del spline cbico natural while xi > x do i := i 1 end u := x xi v := xi+1 x

TerminarSpline cbico naturalx0xnxSpline cbico naturals(x0+) = 0x0xnxSpline cbico naturals(x0+) = 0s(xn-) = 0x0xnxSpline cbico ancladox0xnxSpline cbico ancladox0xnxs(x0+) = Spline cbico ancladox0xnxs(x0+) = s(xn-) = Spline cbico peridicox0xnxy0ynSpline cbico peridicox0xnxy0yny0 = yn Spline cbico peridicox0xnxs(x0+) = s(xn-)y0yny0 = yn Spline cbico peridicos(x0+) = s(xn-)x0xnxs(x0+) = s(xn-)y0yny0 = yn Spline cbico peridicos(x0+) = s(xn-)x0xnxs(x0+) = s(xn-)y0yny0 = yn Spline cbico peridicos(x0+) = s(xn-)x0xnxs(x0+) = s(xn-)y0yny0 = yn