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Métodos Numéricos Juan Manuel Rodríguez
PrietoI.M., M.Sc., Ph.D.
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Integración numérica
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Integración numérica
• Objetivo: aproximar el valor de laintegral
• Limitaciones de la integración
analítica• Las expresiones analíticas de son
desconocidas
•
tiene una integral analíticacom licada o desconocida
I = f ( x )dx a
b
∫ f ( x )
f ( x )
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Integración numéricade Newton!otes
• Métodos que remplazan una funcióncomplicada o datos tabulados por unpolinomio de aproximación que esfácil de integral
• onde es un polinomio de laforma
I = f ( x )dx a
b
∫ ≅ f n( x )dx a
b
∫
f n( x )
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Integración numéricade Newton!otes
!proximación de una integralmediante el área ba"o una parabola#
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"a reg#a de# tra$ecio
.eométricamente/ la regla del trapecio equivale a
aproximar el área ba"o la curva f(x)/ como el área deltrapecio que se forma al unir los puntos
I = f ( x )dx a
b
∫ ≅ (b− a) f (a) + f (b)2
(a, f (a)) (b, f (b))
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%rror de #a reg#a de# tra$ecio
'uando usamos la integral ba"o un segmento de línearecta para aproximar la integral ba"o una curva/ setiene un error que puede ser importante# 0naestimación al error de truncamiento para una solaaplicación de la regla del trapecio es
onde esta en alg1n lugar del intervalo de a a b
Et = − 112 f ''(ξ )(b− a)3
ξ
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%jem$#o de #a reg#a de# tra$ecio
!proxime la integral de la curva
,ntre a23 * b23#4 usando la regla del trapeciof ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5
f (a= 0) = 0.2
f (b= 0.8) = 0.232
b− a= 0.8
I ≅ (b− a) f
(a
)+ f
(b
)2 =
0.8 0.2+
0.2322 =
0.1728
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%jem$#o de #a reg#a de# tra$ecio
!proxime la integral de la curva
f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5
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%jem$#o de #a reg#a de# tra$ecio
!proxime la integral de la curva
,l área ba"o la curva es muc5o ma*or que el áreadeba"o de la aproximación lineal/ de acuerdo a lagrá6ca mostrada en la diapositiva anterior#
7'uanto es el error debido al aproximar la integraldel polinomio de grado usando la regla del
trapecio8
f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5
I = f ( x )dx 0
0.8
∫ = (0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5 )dx0
0.8
∫
= 1.640533
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%jem$#o de #a reg#a de# tra$ecio
,l error porcentual es de
7'ómo se puede disminuir el error8
9e puede dividir el intervalo deinterés/ en más intervalos# ,n otras
palabras aplicar varias veces la regladel trapecio en el intervalo deinteres
E(%) = 1.640533 − 0.1728
1.640533*100 = 89.5%
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"a reg#a de# tra$ecio dea$#icación mti$#e
0na forma de me"orar laprecisión de la regla deltrapecio consiste endividir el intervalo deintegración de a a b en varios segmentos/ *
aplicar el método a cadauno de ellos# La áreaasociada a cada uno de losintervalos se sumandespués para obtener laintegral en todo elintervalo# Las ecuacionesresultantes se llamanfórmulas de integración/de aplicación m1ltiple ocompuesta#
:amos a dividir elintervalo de interés en n
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"a reg#a de# tra$ecio dea$#icación mti$#e
!plicando la regla del trapecio a cada una de lasintegrales
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"a reg#a de# tra$ecio dea$#icación mti$#e
9impli6cando/ se
obtiene
I = f ( x )dx a
b
∫ ≅ h
2f (a) + 2 f ( x
i)
i=1
n−1
∑ + f (b)
I = f ( x )dx a
b
∫ ≅ (b− a)f (a) + 2 f ( x
i)
i=1
n−1
∑ + f (b)
2n
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%jem$#o de #a reg#a de# tra$ecio
!proxime la integral de la curva
,ntre a23 * b23#4 usando la regla del trapecio deaplicación m1ltiple0saremos inicialmente n2=/ lo cual da un 523#<
f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5
f (a= 0) = 0.2
f ( x 1 = 0.4) = 2.456
f (b= 0.8) = 0.232b− a
n = 0.4
I = f ( x )dx a
b
∫ ≅ h
2 f (a) + 2 f ( x 1) + f (b)[ ]
= 0.4
20.2 + 2*2.456 + 0.232[ ]
= 1.0688
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%jem$#o de #a reg#a de# tra$ecio
!proxime la integral de la curva
,ntre a23 * b23#4 usando la regla del trapecio deaplicación m1ltiple0saremos inicialmente n2=/ lo cual da un 523#<
f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5
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%jem$#o de #a reg#a de# tra$ecio
!proxime la integral de la curva
,ntre a23 * b23#4 usando la regla del trapecio deaplicación m1ltiple0saremos inicialmente n2=/ lo cual da un 523#<
0tilizando dos divisiones del intervalo el error 5adisminuido de un 4>#?@ a un A@
f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5
E(%) = 1.640533 −1.06881.640533
*100 = 34.9%
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%jem$#o de #a reg#a de# tra$ecio
!proxime la integral de la curva
,ntre a23 * b23#4 usando la regla del trapecio deaplicación m1ltiple0saremos n2A/ lo cual da un 523#=BBC
f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5
f (a= 0) = 0.2
f ( x 1 = 0.2667) = 1.4327
f ( x 2 = 0.5333) = 3.4872
f (b= 0.8) = 0.232
b− a
n = 0.2667
I = f ( x )dx a
b
∫ ≅ h
2f (a) + 2 f ( x 1) + 2 f ( x 2 ) + f (b)[ ]
= 0.4
20.2 + 2*1.4327 + 2*3.4872 + 0.232[ ]
= 1.3695
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%jem$#o de #a reg#a de# tra$ecio
!proxime la integral de la curva
,ntre a23 * b23#4 usando la regla del trapecio deaplicación m1ltiple0saremos inicialmente n2A/ lo cual da un 523#=BBC
f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5
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%jem$#o de #a reg#a de# tra$ecio
!proxime la integral de la curva
,ntre a23 * b23#4 usando la regla del trapecio deaplicación m1ltiple0saremos inicialmente n2A/ lo cual da un 523#=BBC
0tilizando dos divisiones del intervalo el error 5adisminuido de un 4>#?@ a un A@
f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5
E(%) = 1.640533 −1.36951.640533*100 = 16.5%
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%jem$#o de #a reg#a de# tra$eciomti$#e en Mat#ab
n ' ne!"al
2 0,4000 1,0688
3 0,2667 1,3696
4 0,2000 1,4848
5 0,1600 1,53996 0,1333 1,5703
7 0,1143 1,5887
8 0,1000 1,6008
9 0,0889 1,6091
10 0,0800 1,6150
11 0,0727 1,6195
12 0,0667 1,6228
13 0,0615 1,625414 0,0571 1,6275
15 0,0533 1,6292
Resultados obtenidos paradiferentes valores de n
! medida que n incrementa/ el valor de la integral que seobtiene usando la regla del
trapecio m1ltiple se aproxima
#$" n= 2%15a = 0;b = 0.8;x = linspace(a,b,n+1);x2 = x.*x;x3 = x2.*x;
x4 = x3.*x;x5 = x4.*x;y = 0.2+25*x-200*x2+675*x3-900*x4+400*x5; ine!"al = y(1);
#$" i = 2%n ine!"al = ine!"al + 2*y(i);en&ine!"al = ine!"al + y(n+1);' = (b-a)n;ine!"al = ine!"al*'2;
"esla&$(n-1,%)= n,', ine!"al;
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'eg#a de Sim$son ()*
!demás de aplicar la regla deltrapecio con una segmentación 6na/otra forma de obtener unaestimación más exacta de unaintegral consiste en usar polinomiosde grados superior para unir los
puntos#Por e"emplo/ otro punto entre lamitad entre f(a) * f(b)/ los tres puntosse pueden unir con una parábola# 9i5a* dos puntos igualmenteespaciados entre f(a) * f(b)/ los
cuatro puntos se pueden unir conmediante un polinomio de tercergrado#Las formulas que resultan de tomarlas integrales ba"o esos polinomios seconocen como reglas de 9impson
f ( x 0 ) = a0 + a1 x 0 + a2 x 02
f ( x 1) = a0 + a1 x 1 + a2 x 12
f ( x 2 ) = a0 + a1 x 2 + a2 x 22
1 x 0
x 0
2
1 x 1 x 12
1 x 2 x 22
a0
a1
a2
=
f ( x 0)
f ( x 1)
f ( x 2 )
a0
a1
a2
=
−( x 1 x 2 ) / ( x 0 x 1 + x 0 x 2 − x 1 x 2 − x 02 ) −( x 0 x 2 ) / ( x 0 x 1 − x 0 x 2 + x 1 x 2 − x 1
2 ) ( x 0 x 1) / ( x 0 x 1 − x 0 x 2 − x 1 x 2 + x 22 )
( x 1 + x 2 ) / ( x 0 x 1 + x 0 x 2 − x 1 x 2 − x 02 ) ( x 0 + x 2 ) / ( x 0 x 1 − x 0 x 2 + x 1 x 2 − x 1
2 ) −( x 0 + x 1) / ( x 0 x 1 − x 0 x 2 − x 1 x 2 + x 22 )
−1/ ( x 0 x 1 + x 0 x 2 − x 1 x 2 − x 02 ) −1/ ( x 0 x 1 − x 0 x 2 + x 1 x 2 − x 1
2 ) 1 / ( x 0 x 1 − x 0 x 2 − x 1 x 2 + x 22 )
f ( x 0 )
f ( x 1)
f ( x 2 )
-
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'eg#a de Sim$son ()*
I = f ( x )dx
a
b
∫ ≅ f 2( x )dx a
b
∫ = h
3
f ( x 0 ) + 4 f ( x 1) + f ( x 2 )[ ]
I ≅ (b− a) f ( x 0 ) + 4 f ( x 1) + f ( x 2 )
6
I ≅ Ancho por altura prom!"o
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'eg#a de Sim$son ()*%rror
!sí/ la regla de 9impson -DA es más exacta que la regla deltrapecio# !demás/ es más exacta de lo esperado/ porque enlugar de ser el error proporcional a la tercera derivada/ el
error es proporcional a la cuarta derivada# ,n otraspalabras/ da resultados exactos para polinomios c1bicosaun cuando se obtenga un parábola#
Et = −
1
90h
5f
4 (ξ )
Et = −
(b− a)5
2880
f 4 (ξ )
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+$#icación de #a reg#a deSim$son ()*
!proxime el valor de la integral de la siguiente función
0sando la regla de 9impson -DA
f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5
f (a= 0) = 0.2f ( x 1 = 0.4) = 2.456
f (b= 0.8) = 0.232
I ≅ 0.8 0.2+
4 *2.456 +
0.2326 =
1.367467
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+$#icación de #a reg#a de Sim$son ()*%rror
!proxime el valor de la integral de la siguiente función
,s aproximadamente ? veces más precisa que una solaaplicación de la regla del trapecio
f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5
Et =
1.640533−1.367467( )
1.640533100 =16.6%
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'eg#a de Sim$son ()* dea$#icación mti$#e
La regla de 9impson se me"ora al dividir el intervalo deintegración en varios segmentos de un mismo tamaEo#9e debe utilizar un n1mero par de segmentos paraimplementar el método !proxime el valor de la integral de la siguiente función
0sando la regla de 9impson -DA de aplicación m1ltiple
f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5
f (a= 0) = 0.2f ( x 1 = 0.2) =1.288
f ( x 2 = 0.4) = 2.456
f ( x 3 = 0.6) = 3.464
f (b= 0.8) = 0.232
I ≅ 0.8 0.2 + 4(1.288 + 3.464) + 2(2.456) + 0,232
12
= 1.623467
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'eg#a de Sim$son*)
e manera similar a la obtención de la regla deltrapecio * 9impson -DA/ es posible a"ustar un polinomiode Lagrange de tercer grado a cuatro puntos eintegrarlo
La regla AD4 es más exacta que la regla de -DA#Por lo general/ se pre6ere la regla de 9impson -DA/ *aque alcanza una exactitud de tercer orden con trespuntos en lugar de los cuatro puntos requeridos en la versión AD4# $o obstante/ la regla de AD4 es 1til cuando
el n1mero de segmentos es impar#
I ≅ 3h8
f ( x 0 ) + 3f ( x 1) + 3f ( x 2 ) + f ( x 3)( )
Et = −
(b− a)5
6480f
4 (ξ )
-
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'eg#a de Sim$son*)
!proxime el valor de la integral de la siguiente función
0sando la regla de 9impson AD4
f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5
f (a= 0) = 0.2
f ( x 1 = 0.2667) = 1.432724
f ( x
2 = 0.5333) = 3.487177
f (b= 0.8) = 0.232
I ≅ 0.8 0.2 + 3(1.432774 + 3.487177) + 0.232
8
= 1.519170
Et =
1.640533 −1.519170
1.640533100 = 7.4%
-
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-area
,valué la integral siguiente+
(a)e forma analítica
(b)'on una aplicación de la regla de trapecio(c)'on aplicación m1ltiple de la regla de trapecio n2A(d)'on una aplicación de la regla de 9impson -DA(e)'on una aplicación de la regla de 9impson AD4
8 + 4co#( x )dx 0
π /2
∫
Et =
1.640533 −1.519170
1 640533100 = 7.4%